图论 的配对问题
图论中的二分图匹配问题及其算法设计思路
图论中的二分图匹配问题及其算法设计思路图论是数学中一个重要的分支，研究图的性质和结构，以及解决与图相关的问题。
其中，二分图匹配问题是图论中的经典问题之一。
本文将介绍二分图匹配问题的定义、特性，并讨论相关的算法设计思路。
一、二分图匹配问题的定义二分图是一种特殊的图结构，其中的顶点可以分为两个互不相交的集合，且每条边都只连接两个集合之间的顶点。
对于一个二分图，如果存在一种边的划分方式，使得每个顶点都与边集中的一条边相连，那么我们称这个边集为二分图的一个匹配。
二分图匹配问题的目标是寻找出一个匹配，使得匹配的边数最大。
这个问题在实际应用中有许多场景，比如婚姻匹配、求职配对等。
为了解决这个问题，人们提出了多种算法，下面将介绍其中两个常用的算法。
二、匈牙利算法匈牙利算法是用于求解二分图最大匹配的一种经典算法，它基于深度优先搜索的思想。
算法的基本思路是从一个没有匹配边的顶点开始，逐个尝试与其相连的顶点进行匹配，如果能成功匹配则将边加入匹配集合中，如果不能成功匹配则继续尝试下一个顶点。
当所有的顶点都尝试过后，即得到一个最大匹配。
以下是匈牙利算法的伪代码：1. 初始化匹配集合为空2. 从一个未匹配的顶点开始，对其进行深度优先搜索3. 如果找到了增广路径，则更新匹配集合4. 重复步骤2和3，直到无法找到增广路径5. 返回最大匹配匈牙利算法的时间复杂度为O(V*E)，其中V表示顶点数，E表示边数。
虽然算法的时间复杂度较高，但它在实际应用中仍然具有一定的效率和适用性。
三、Hopcroft-Karp算法Hopcroft-Karp算法是用于求解二分图最大匹配的另一种算法，它是对匈牙利算法的改进和优化。
Hopcroft-Karp算法的核心思想是通过多次的广度优先搜索来寻找增广路径，从而提高算法的效率。
以下是Hopcroft-Karp算法的伪代码：1. 初始化匹配集合为空2. 初始化标记集合为空3. 利用广度优先搜索寻找增广路径4. 如果找到增广路径，则更新匹配集合5. 重复步骤3和4，直到无法找到增广路径6. 返回最大匹配Hopcroft-Karp算法的时间复杂度为O(E*sqrt(V))，相比于匈牙利算法有较大的优势。
图的匹配与覆盖问题
图的匹配与覆盖问题图是一种用边来表示对象之间关系的数据结构。
在图论中，匹配与覆盖问题是指在给定的图中找到一组特定的边或顶点子集，使得满足一定的条件。
本文将探讨图的匹配与覆盖问题的概念、应用以及解决方法。
一、图的匹配问题图的匹配问题是指在一个无向图中，找到一组边的集合，使得任意两条边都没有公共的顶点。
这样的边集被称为匹配。
图的匹配问题有很多实际应用，比如稳定婚姻问题、配对问题等。
解决图的匹配问题的方法有多种，其中最常见的是匈牙利算法。
匈牙利算法采用增广路径的方法，通过不断增加匹配的边，直到无法找到新的匹配边为止。
该算法具有很高的时间效率，适用于大规模的图。
二、图的覆盖问题图的覆盖问题是指在一个无向图中，找到一组顶点的集合，使得图中的每条边都至少与集合中的一个顶点相邻。
这样的顶点集合被称为图的覆盖集。
图的覆盖问题在实际应用中也非常常见，比如任务分配问题、资源分配问题等。
解决图的覆盖问题的方法有多种，其中一种常见的方法是使用最小点覆盖定理。
最小点覆盖定理指出，在一个图中，最少的顶点个数的集合，使得该集合中的顶点覆盖整个图的边，即为最小点覆盖集。
通过求解最小点覆盖问题，可以得到图的最小覆盖集。
三、图的匹配与覆盖问题的应用图的匹配与覆盖问题在实际应用中有着广泛的应用。
以下是几个常见的应用场景：1. 稳定婚姻问题稳定婚姻问题是图的匹配问题的一种具体表现形式。
在稳定婚姻问题中，有一组男性和女性，每个人对异性有着不同的偏好。
稳定婚姻问题的目标是找到一组完美匹配，使得不存在任何一个男性和女性同时都喜欢对方而不喜欢自己匹配的对象。
这个问题可以通过图的匹配问题来求解。
2. 任务分配问题任务分配问题是图的覆盖问题的一种具体表现形式。
在任务分配问题中，有一组需要完成的任务和一组可以执行任务的人员。
每个任务需要特定的技能和资源，每个人员也有不同的技能和资源。
任务分配问题的目标是找到一种最优的分配方案，使得每个任务都被分配到合适的人员，并且每个人员分配到的任务不会使其超负荷。
图论——染色、二部图匹配问题
1
四色问题(Four Color Problem)
2
着色(coloring)
着色: 给图的某类元素(点,边,面)中每个 指定1种颜色,使得相邻元素有不同颜色 点着色,边着色,面着色
3
着色(例)
边着色
点着色
面着色
4
色数
[着色] 图 G=(V,E) 的一个 k 顶点着色指用 k 种颜色 对G的各顶点的一种分配方案。若着色使得相邻顶
Def 设G = (V, E)是任意简单无向图. 若 M E且中任何两条边都不相邻, 则称M为G 的一个匹配(matching)或边独立集, M中每条 边的两个节点在M中匹配.
{ab, h c d
{ab, fi, cd, hj} {af, bg, ch, di, ej}
k-色图: 可k-着色,但不可(k-1)-着色 色数: 着色所需最少颜色数 点色数(G), 边色数’(G), 面色数*(G) 例: (G)=2, ’(G)=4, *(G)=3
7
色数
[特殊图的色数]
① 零图：(G)=1
② 完全图 Kn：(G)=n 若一个图的每一对不同顶点恰有一条边相连则称为完全图。
③ G是一条回路：(G)=2 若|V|是偶数
(G)=3 若|V|是奇数 ④ (G)=2的充要条件是: (a) |E|1；(b) G中不存在边数为 奇数的回路。（此时G为二部图） ⑤ 若G1、G2为G的两个连通分支，则
(G)=max{(G1), (G2)}
色数
[Hajó s猜想] 若G是 k 色图, 则G包含 Kk 的一个同胚图
V1和V2称为互补节点集合, 一般不唯一:
图论的配对问题课件
x1
x2
x3
x4
x5
y1
y2
y3
y4
y5
M={(x1,y1 ),(x3,y5),(x5,y3)}
V1={x2,x5,x3}；V2 ={y3,y5}；
M=ME(P)={(x1,y1 ),(x2,y图3论),(的x配3对,y问2题),( x5,y5)}
（2）若X已经饱和，结束；否则转（3）； 解 （（y34∈） ）N在 若(VXN1中()V-V找1)2=一V2个则非停饱止和，点否x则0，任V选1=一{x点0}，V2={}
图论 的配对问题
匹配问题是运筹学的重要问题之一，也是图论的重要 内容，它在所谓“人员分配问题”和“最优分配问题” 中有重要作用。 假定有一个男生有穷集合，其中每个男生认识一些女 生，在什么条件下每个男生都可以和他认识的女生配对？
类似的工作分配问题：现有n个人，m份工作，每个人 有其擅长的工作。在什么条件下每个人都可以得到一份 他擅长的工作？如何分配？
V1={x2},V2=空集
N(V1)={y2, y3}
图论 的配对问题
解 （∪条（5）从{2）z若}x0】y，到已yV饱的2和=可V，增2∪M广{中道y}必路；有P转，(y（,对z)4之；）进作】行【，增否V广1则=；V【1转求一
x1
x2
x3
x4
x5
y1
y2
y3
y4
y5
M={(x1,y1 ),(x3,y5),(x5,y3)} V1={x2},V2=空集 V1=V1∪{x5}={x2,x5}； V2=V2∪ {y3} ={y3}
x1
x2
x3
x4
x5
y1
y2
y3
y4
离散数学中的图的匹配和匹配理论
离散数学是数学中的一个重要分支，它研究的是离散的、离散的、不连续的数学结构与问题。
而图论是离散数学的一个重要领域，它研究的是图的性质和关系。
在离散数学中，图是一个由节点（顶点）和边组成的网络结构。
节点表示实体，边表示节点之间的关系。
图的匹配是指一种边的选择方式，使得没有两个边具有相同的起点或终点。
图的匹配问题是图论中的一个经典问题，匹配理论则是研究匹配问题的理论基础。
图的匹配在实际中有广泛的应用，比如在交通规划、人员分配等领域中都涉及到匹配问题。
在图的匹配问题中，存在两种不同的匹配，分别是最大匹配和完美匹配。
最大匹配是指在所有可能的匹配中，边数最多的匹配，而完美匹配是指图中的每个节点都被匹配。
在图的匹配问题中，一个重要的概念是增广路径。
增广路径是指一个由未匹配的顶点和匹配点依次相连所构成的路径。
通过寻找增广路径，可以使得匹配数增加，从而逐步逼近最大匹配。
图的匹配理论主要围绕匹配数的计算和匹配的寻找展开。
最简单的匹配算法是贪心算法，即每次找到一个未匹配的节点，与之相连的边进行匹配，并不断更新匹配的边。
然而，贪心算法无法保证得到最优解，因此需要其他更加高效的算法来解决匹配问题。
其中一种经典的算法是匈牙利算法，它以增广路径为基础，通过不断寻找增广路径来找到最大匹配。
匈牙利算法的核心思想是通过不断寻找增广路径来增加匹配数。
具体步骤如下：1.初始化所有节点都未匹配2.对每个未匹配的节点，进行深度优先搜索，寻找增广路径3.如果找到增广路径，则将路径上的边匹配4.重复步骤2和步骤3，直到无法找到增广路径5.返回匹配结果匈牙利算法的时间复杂度为O(V * E)，其中V为节点数，E为边数。
虽然匈牙利算法在时间复杂度上不是最优的，但它具有简单易懂、容易实现的优点。
在实际应用中，匹配问题往往需要考虑更多的因素，比如权重、容量等。
为了解决带权匹配问题，可以使用最小权重匹配算法，比如Dijkstra算法或Floyd-Warshall算法。
离散数学中的图的匹配与匹配算法
图论是离散数学中的一个重要分支，其中图的匹配问题被广泛研究和应用。
图的匹配是指在一个图中找到一组边，使得每个顶点都与其中的一条边相关联。
匹配问题在实际生活中有着广泛的应用，例如婚姻问题中的稳定婚姻匹配、求解工程布线问题、计算机网络中的路由问题等等。
在图的匹配问题中，一个匹配是指一个边集，其中任意两条边的两个顶点都不相同。
一个最大匹配是指具有最多边数的匹配，而完美匹配是指包含图中所有顶点的匹配。
为了求解图的最大匹配和完美匹配问题，研究者们提出了多种匹配算法。
下面介绍两种常见的匹配算法：增广路径算法和匈牙利算法。
增广路径算法是一种基于搜索的匹配算法。
该算法通过递归地搜索增广路径来不断扩展当前匹配的边集。
增广路径是指一条从未匹配的顶点开始，交替经过边集中的匹配边和未匹配边的路径。
当找到一个增广路径时，可以通过将路径上的未匹配边和已匹配边进行交换来增加匹配的边数。
该算法重复执行这一步骤，直到没有增广路径可以找到为止。
最终得到的边集就是一个最大匹配。
匈牙利算法是一种贪心算法。
该算法从一个未匹配的顶点开始，尝试将其与任意还未匹配的邻接顶点进行匹配，并递归地对邻接顶点进行匹配。
如果当前的匹配可以被改进，则进行匹配的调整。
当所有的顶点都被匹配上时，得到的边集就是一个完美匹配。
图的匹配问题具有多项式时间复杂度的解法，因此可以有效地求解大规模问题。
匹配算法在现实生活中的应用非常广泛，它们被广泛应用于计算机网络、人工智能、生物信息学等领域。
例如，在计算机网络中，匹配算法可以用于求解最优路由问题，以便在网络传输过程中选择最佳的路径。
在交通运输中，匹配算法可以用于最佳路径规划、货物调度等。
在社交媒体中，匹配算法可以用于推荐好友、推荐兴趣爱好等。
总结来说，离散数学中的图的匹配问题是一个重要而有趣的领域。
它的应用涉及广泛，算法也多样。
增广路径算法和匈牙利算法是两种常见的图匹配算法，它们在实际问题中具有重要的作用。
在未来的研究中，我们可以进一步研究图匹配问题的优化算法和高效实现方式，以满足不同实际问题的需求。
离散数学中的图的匹配和二分图
在离散数学中，图论是一门重要的理论基础课程，它研究的是由节点和边构成的图结构。
图的匹配和二分图是图论中的两个重要概念，它们在现实生活中有着广泛的应用。
首先，我们来介绍一下图的匹配。
图的匹配指的是在一个图中选取一些边，使得这些边彼此不相交，即任意两条边不共享同一个顶点。
图的匹配问题可以用最优化问题来描述，既需要满足匹配条件，还需要满足某种优化目标。
例如，在一个社交网络图中，选择一些用户与其他用户进行配对，使得两个不认识的用户不会被配对在一起，同时目标是使得配对用户的兴趣爱好相似度最大化。
在这个问题中，边表示用户之间是否认识，而边的权值表示兴趣爱好的相似度。
其次，我们来介绍一下二分图。
二分图是一种特殊的图结构，它可以被划分为两个独立的顶点集合，使得同一个顶点集合内的顶点之间没有边相连。
换句话说，二分图中不存在奇圈。
二分图的一个典型例子是婚姻匹配问题。
假设有n个男性和n个女性，他们之间有多种可能的配对方式，但是每个人只能与另一个不同性别的人结婚。
这时，我们可以用一个二分图来表示这个问题，其中男性和女性分别作为两个顶点集合，边表示可能的配对。
然后，我们可以使用图的匹配算法来找到一个最佳匹配方案。
图的匹配和二分图在离散数学中有着重要的研究价值和应用价值。
首先，图的匹配可以用于解决资源分配问题。
例如，在一个工厂中，有m个任务需要分配给n个员工进行处理，每个员工对某些任务有一定的能力要求，而每个任务也需要一定的时间完成。
这时，我们可以将员工和任务分别作为两个顶点集合，边的权值表示员工对任务的能力是否满足要求和任务完成时间。
然后，我们可以使用图的匹配算法来找到一个最佳的任务分配方案，使得员工的工作量最小。
其次，二分图可以用于解决社交网络分析问题。
如今，社交网络已经成为人们日常生活中重要的一部分，人们之间通过社交网络平台进行交流和连接。
我们可以使用二分图来表示社交网络的结构，其中一个顶点集合表示用户，另一个顶点集合表示用户之间的好友关系，边的权值表示用户之间的相似性度量。
学习图的最大匹配
学习图的最大匹配图论作为一门重要的数学理论，广泛应用于计算机科学、网络优化等领域。
其中，图的最大匹配问题是图论中的一个经典问题，它在实际中有着广泛的应用。
本文将重点介绍学习图的最大匹配问题的相关理论和算法，并探讨一些实际应用场景。
一、图的最大匹配问题的定义图的最大匹配问题是指在一个无向图中，找到一个最大的边集合，使得图中每个顶点最多与这个集合中的一条边相连。
这个集合就是图的最大匹配。
最大匹配问题可以描述为在一个集合中选取最多的元素，使得这些元素之间没有相同的关联，且集合的大小最大。
二、最大匹配问题的解决算法解决最大匹配问题的经典算法有匈牙利算法和增广路径算法。
1. 匈牙利算法匈牙利算法是最早提出来解决最大匹配问题的算法之一。
它通过不断寻找增广路径，来寻找增加匹配边的方法。
算法的基本思想是从未匹配的顶点开始，通过寻找增广路径不断扩展当前的匹配。
2. 增广路径算法增广路径算法是另一种解决最大匹配问题的有效方法。
它的基本思想是通过搜索图中的增广路径，并根据路径的特性来调整匹配的边集合。
增广路径算法的关键是寻找增广路径的方法。
三、实际应用场景最大匹配问题在实际中有着广泛的应用，例如：1. 人员配对在招聘场景下，企业需要根据职位需求和员工技能进行配对。
最大匹配问题可以帮助企业找到最佳的候选人。
2. 车辆调度在物流领域，需要根据货物的特性和运输车辆的特点进行合理的调度。
最大匹配问题可以帮助找到最佳的车辆安排方案。
3. 项目匹配在科研项目中，需要根据项目需求和研究人员的专长进行匹配。
最大匹配问题可以帮助找到最佳的项目与研究团队的匹配。
四、总结通过本文的介绍，我们了解了图的最大匹配问题的定义和解决算法。
最大匹配问题在实际应用中具有重要的价值和意义。
希望读者通过学习图的最大匹配问题，能够应用到实际问题的解决中，并进一步扩展图论的应用领域。
以上是对学习图的最大匹配问题的一些基本介绍，希望对您有所帮助。
谢谢阅读！。
图论匹配
的工作。匹配定理是他1935年在剑桥大学做讲师时发表的 结果。Hall是一名雅致的学者，对学生特别友好，当他觉 得有必要批评学生时，他都会以一种十分温和的方式建议 他们改正。 推论：若G是k (k>0)正则偶图，则G存在完美匹配。
证明：一方面，由于G是k (k>0)正则偶图,所以k|X|=k|Y|, 于是得|X| = |Y|；
E : a, c, d, f ; F : c, e ;
问：学生能找到理想工作吗？ 解：如果令X=｛A, B, C, D, E, F, G｝,Y=｛a, b, c, d, e, f , g｝,X中顶点与Y中顶点连线当且仅当学生申请了该工作。于 是，得到反映学生和职位之间的状态图：
7
A : b, c ;
1993年，他获得组合与图论领域颁发的欧拉奖章。
5
贝尔热在博弈论、拓扑学领域里也有杰出贡献。在 博弈领域，他引入了Nash均衡之外的另一种均衡系统。 Nash的生活被改编成电影《美丽的心灵》，获02年奥 斯卡金像奖。 贝尔热对中国的手工艺很感兴趣。他也是一位象棋 高手，还创作过小说《谁杀害了Densmore公爵》。
M1=｛v6v7｝
v7
M2=｛v6v7, v1v8｝
M3=｛v6v7, v1v8, v3v4｝ M1,M2,M3等都是G的匹配。
v5
v6
v1
v8
v2
v4 G
v3
2
(2)、最大匹配 M--- 如果M是图G的包含边数最多的 匹配，称M是G的一个最大匹配。特别是，若最大匹配 饱和了G的所有顶点，称它为G的一个完美匹配。
匹配问题 (一)、图的匹配与贝尔热定理 (二)、偶图的匹配
1
(一)、图的匹配与贝尔热定理
六年级奥数——图论中的匹配与逻辑推理问题(附习题及解答)
第八讲 图论中的匹配与逻辑推理问题先看一个例题.中、日、韩三个足球队进行比赛，已知A不是第一名，B不是韩国队，也不是第二名，第一名不是日本队，中国队第二.问A、B、C各代表哪国队？各是第几名？一般解这类题都归于逻辑推理类问题.我们先来降低难度.先只要求你判断出中、日、韩各是第几名（不必判断A、B、C）.可以把中、日、韩各用一个点代表，列于上一行.第一、二、三名各用一个点代表，列于下一行，记为：V1=｛中，日，韩｝，V2=｛第1名，第2名，第3名｝.V1中的点与V2中某一个点有肯定关系的，就画一条实线，如和②.否定关系的两点之间画一条虚线，如不是②；不是①.把已知条件不加任何推理地表现于图上.虚线2条，实线1条，共3条线.现在，有两个明显的事实；第一，V1中每点有且只有一条实线与V2中相应点配对，V2中每点有且只有一条实线与V1中相应点配对.V1内部点之间不会有线相联结，V2内部点之间也不会有线相联结.第二，从V1（或V2）中某一个点，例如说a点如发出了一条实线向着V2（或V1）中某一个点，例如说x点，那么a点与V2（或V1）中其他点之间必然只能用虚线联结.（这是逻辑推理中的排它性）由此，我们很容易将中、日、韩的名次判出.这样的问题，抽象起来可归属于图论中称之为“二分图的匹配”问题.图论的名词术语太多，这里不作详细定义，只是描述性介绍一下，大家以前在“一笔画”等讲中已初步接触.所谓二分图，就是顶点集合可以划分成两个部分，V=V1＋V2，如V1有p个点，记为V1=｛v1，v2…，v p｝，V2有q个点，记为V2=｛v p+1，v p+2…，v p+q｝，而V1中任意一点，不会与V1中其他点联结，而只能与V2中某些点联结；V2也如此.大家看几个例.一般的图记为G＝（V，E），V是顶点集合，E是边（也可称为线）的集合.大家在哥尼斯堡七桥问题中已领略过这种抽象.现在的二分图是一类特殊的图，只不过顶点集V划分为两部分，而这只能“跨越”于V1中某个点和V2中另一个点.二分图的匹配问题，就是找一个边的集合，这些边之间都没有公共的端点.关于二分图的匹配，要研究的是“最大匹配”，即找一个边最多的匹配.就本讲开始引入的问题看，我们还没有解完，因为还有A、B、C三个代号到底如何归于中、日、韩三队的问题.一种解题办法，是把已判出的国籍和名次捆绑在一个顶点内，如（中2）、（韩1）、（日3），再和A、B、C构造一个新的二分图：显然，推知B是（日3），因为B有2条虚线，而必然有1条实线，只能推出B与（日3）之间为实线.同理，（韩1）只能为C；剩下的唯一的情况留给了A为（中2）.全部问题解决了.再看最初的题目，如果你选择先判断中、日、韩和A、B、C三个代号之间的匹配关系，将会怎样呢？画一个图看，利用已知条件画出实、虚线.只能利用B不是韩国队及中国队第二，B不是第二（因此B不是中国队）这样一些条件，题目中另二句话：A不是第一名，第一名不是日本队，这种否定关系之间，没有传递性，你不能判定A是不是日本队.因此根据已知条件所画的图中只有两条虚线，之后最多只能确定日、B之间为实线.所以对这样的二分图，无法找出合理的最大匹配.这方法使问题求解走进了死胡同.那么你选择先判A、B、C和第一、第二、第三名之间的匹配关系，又会怎样呢？画一个图看.现在也只有二条虚线，仍然无法找出最大匹配，或说解不唯一，对求解问题无助.现在回过头来看，先找国别与名次之间的匹配，似乎有些“碰运气”，因为完全可以把题目改动，使先找国别与名次的匹配无法解决，例如叙述改为：中、日、韩三足球队比赛，已知结果为：第1名不是A，第2名不是韩国队也不是B，A不是日本队，中国队为B，问A、B、C，和1、2、3名与各国队如何匹配？细心读者发现，这只是把原题中A、B、C的地位与1、2、3名的地位互换而已.所以现在改动后的题目，再先抓“国别”和“名次”的匹配，就无法求解.但是数学要求找出一种解一般问题的方法而不是“碰运气”，而且完全可以找一个例子，使得无论取国别与名次；或国别与代号（A，B，C）；或代号与名次这三类二分图的匹配都无法求解，而必须找更广泛意义下的匹配才能解决，为此先介绍一般的三个因素一起考虑的“匹配”方法.先结合前例，将国别用三个不同点表示于上方，三个名次点表示于左下方，三个代号点表示于右下方.用实线的肯定关系和虚线的否定关系把已知条件“翻译”于图上.我们现在的目的是要寻找一个捆绑三条实线边的一条广义边，使每个国别与一个名次及一个代号捆绑在一起，使问题一次性解决，遵循的原则有以下4条：①肯定关系具有排它性（如中=第2名，则中≠第1名，中≠第3名，第2名≠日，第2名≠韩）.②肯定关系具有传递性（如已知中=第2名，一旦推知肯定关系第2名=A，那么中=A）.③任意两个类别的点之间要建立一种合理的完全匹配.（如国别和名次之间；名次与代号之间；国别与代号之间）.④如果某一点与另一类点中除一点以外都是否定关系，那么与这一点只能是肯定关系.现在把这些原则具体操作于这个图上，就能把问题求解，请读者看图，不赘述.这类问题的思想方法上升到图论中，已经可以用一种更抽象的术语“超图”来描述，也就是顶点集合，仍用V来表示，而超图的边是一种抽象的“广义边”，把原来简单边捆绑在一起形成的一种“捆绑的边”.在这个具体例题中，就是要找出一套捆绑边，每一捆绑边，捆着一个国别，一个名次，一个代号.找出三套捆绑边，每套与别的套之间没有公共的点，也就是超图的匹配用了这种思想方法，去解决某些逻辑推理问题，变的非常快捷而准确了.再看例子，有A、B、C三位大学生，一位北京人，一位上海人，一位广州人，每人的业余爱好只是足球、围棋和歌舞三种中的一种.已知：A不喜欢足球，B不喜欢歌舞；喜欢足球的不是上海人；喜欢歌舞的是北京人；B不是广州人.请判断三市人的代号（指A、B、C）及爱好.现在把此逻辑推理问题，转化为图论中的“捆绑边”匹配问题，大家不难把此题的图和我们最初的例比较，它们完全“同构”.答为：B上海人，喜欢围棋；A喜欢歌舞，北京人；C喜欢足球，广州人.关于匹配问题本身，有很多问题和方法已经充分研究和圆满解决，并找到了可以利用电脑解决的很好的算法.例如从二分图的求最大匹配算法发展出称之为“交错路”的方法，直到网络上带权的最大（或最小）匹配.习题八1.小明、小强、小华三人参赛迎春杯，分别来自金城、沙市、水乡，并分获一、二、三等奖.现知：①小明不是金城选手；②小强不是沙市选手；③金城选手不是一等奖；④沙市选手得二等奖；⑤小强不是三等奖；问小华是何处选手，得几等奖？2.下面是一个一般的图，有9个点，V=｛v1，v2，…，v9｝，有16条边，E＝｛e1，e2，…，e16｝.请找一个边数最多的匹配（即找一个最大匹配）.3.有一个残缺棋盘（下图中的白格部分）.问是否可用1×2的骨牌将它完全覆盖？4.一张8×8的黑白相间国际象棋盘，任意挖去一个黑格和另一处的一个白格，剩下的62格残盘，可否用31张1×2骨牌完全覆盖？习题八解答1.作图，求捆绑的边匹配.再把剩下的六个点，找捆绑边.由于小明≠金城，所以小明=沙市，因而小明=沙市=三等.最后得：小华=金城=二等.这样的逻辑推理又直观又快捷，比文字叙述省力又准确.2.解：要找匹配，就是要把顶点集V分成两部分，并从边的集合E中选取一些连结这两部分的边，使得这些边无公共端点.要找最大匹配，即要使选取的边的数目最多.由于V中有9个点，因此最大匹配最多只能由4条边构成（否则必存在有公共端点的边）.而四条边｛e1，e3，e5，e7｝确实构成匹配边的集合.本题的最大匹配边的集合不是唯一的.还要注意，最大匹配边的集合中不能包含题图中e9，e11，e14，e16之任一.例如，设包含了e9.为了要使选出的边成为匹配，必须把以e9的顶点v2，v4为顶点之一的边都去掉，即要在下图中选取一个三条边的匹配.这显然是不可能的.3.答：可以覆盖，如下图.黑、白间隔染色，黑格用b i表示，白格用w i表示，每格对应成一个点，此问题转化成一个二分图寻找完全匹配问题，（具体分析略），覆盖方法为：把下标相同的b i和w i用一块骨牌覆盖（b1和w1；b2和w2等），共有九块.当然，覆盖方法也不止一种.4.答：可以.给出一个构造性解答.把一柄三齿叉和一柄四齿叉放于棋盘上，如下页下图所示.这迷宫式的效果就是把正方形小格排成一种循环次序，使得可循着迷宫次序走过所有小格各一次而回到开始的正方形小格.今设某黑格为A，白格为B，A、B挖去.小格的色仍黑白交替，沿着迷宫路，位于一个黑格和一个白格之间的格子个数总是偶数.设想在A、B处各粘有一个以小方格A、B为底面的正方体骰子.然后把31张1×2骨牌紧密无间地沿着叉子通道紧靠着骰子A开始一个一个地接着排列，贴着骰子B后再越过B紧靠着B接着排，直到再贴着骰子A.这样，31张1×2骨牌即盖满了挖去黑（A）、白（B）两格的棋盘.。
图论中的二分图匹配问题及其算法设计思路
图论中的二分图匹配问题及其算法设计思路二分图匹配问题是图论中的重要问题之一。
二分图是指一个图的顶点可以分为两个互斥的集合，并且图的边只能连接两个集合之间的顶点。
二分图匹配的目标是找到一个匹配，即找到一种对应关系，使得图中的所有顶点都能够与另一个集合中的顶点相连。
在实际应用中，二分图匹配有着广泛的应用。
比如在招聘网站中，求职者和企业可以被看作是一个二分图，通过匹配求职者和企业，可以使得求职者找到合适的工作岗位，企业找到合适的人才。
在网络流量调度中，可以将网络中的节点和链路看作一个二分图，通过匹配可以实现有效的数据传输。
那么如何解决二分图匹配问题呢？目前比较常用的算法有匈牙利算法和增广路径算法。
匈牙利算法，也称为增广路径算法，是解决二分图最大匹配问题的一种经典算法。
该算法从某一个未匹配的顶点开始，尝试去匹配其他的顶点。
如果当前顶点没有匹配的边，那么匈牙利算法会尝试寻找一个增广路径，即一条能够增加匹配数的路径。
当不存在增广路径时，匈牙利算法会返回当前匹配的结果。
增广路径算法是一个递归的过程。
首先，我们从一个未匹配的顶点开始，将其标记为已访问。
然后遍历与该顶点相连的所有边，如果边的另一个顶点没有被访问过，那么我们尝试去匹配这个顶点。
如果匹配成功，那么整个算法就结束了，返回当前的匹配结果。
如果匹配失败，我们需要尝试寻找另一个增广路径，这时我们会递归地调用增广路径算法，从当前的匹配边的另一个顶点开始。
增广路径算法的时间复杂度为O(V*E)，其中V是顶点数，E是边数。
在实际应用中，匈牙利算法已经被广泛应用，因为其算法简单易懂，同时具有较好的计算效率。
除了匈牙利算法，还有其他一些解决二分图匹配问题的算法，比如多项式时间的Hopcroft-Karp算法和Edmonds的算法。
这些算法在不同的应用场景中，可能有着更好的性能表现。
总结来说，二分图匹配问题在图论中具有重要的地位，它可以通过匈牙利算法等多种算法来解决。
在实际应用中，二分图匹配问题可以用于求职招聘、网络流量调度等领域。
图论讲义第3章-匹配问题
第三章 匹配理论§3.1 匹配与最大匹配定义3.1.1 设G 是一个图, )(G E M ⊆，满足:对i e ∀,M e j ∈，i e 与j e 在G 中不相邻，则称M 是G 的一个匹配。
对匹配M 中每条边uv e =，其两端点 u 和 v 称为被匹配M 所匹配，而 u 和 v 都称为是M 饱和的(saturated vertex )。
注:每个顶点要么未被M 饱和, 要么仅被M 中一条边饱和。
定义3.1.2 设M 是G 的一个匹配, 若G 中无匹配M ′, 使得||||M M >′, 则称M 是G 的一个最大匹配；如果G 中每个点都是M 饱和的, 则称M 是G 的完美匹配(Perfect matching ).显然, 完美匹配必是最大匹配。
例如，在下图G 1中，边集{e 1}、{e 1,e 2}、{e 1,e 2,e 3}都构成匹配，{e 1,e 2,e 3}是G 1的一个最大匹配。
在 G 2中，边集{e 1,e 2,e 3,e 4}是一个完美匹配，也是一个最大匹配。
定义3.1.3 设M 是G 的一个匹配, G 的M 交错路是指其边M 和M G E \)(中交替出现的路。
如果G 的一条M 交错路(alternating path)的起点和终点都是M 非饱和的，则称其为一条M 可扩展路或M 增广路(augmenting path)。
定理 3.1.1(Berge,1957) 图G 的匹配M 是最大匹配的充要条件是G 中不存在M 可扩展路。
证明:必要性:设M 是G 的一个最大匹配。
如果G 中存在一个M 可扩展路P ,则将P 上所有不属于M 的边构成集合M ′。
显然M ′也是G 的一个匹配且比M 多一条边。
这与M 是最大匹配相矛盾。
充分性:设G 中不存在M 可扩展路。
若匹配M 不是最大匹配，则存在另一匹配M ′,使||||M M >′. 令][M M G H ′⊕=，(M M M M M M ′−′=′⊕∩∪称为对称差)。
离散数学--第7章 图论-5(匹配)
MM’
其中回路包含相同数目的M边和M’边。由|M’|>|M|, 必 存在M’边开始， M‘边终止的M交互道路，即M-可增广 道路，矛盾！
返回 结束
7.5 .2 最大匹配的基本定理
例] 从匹配M={(v6,v7)}开始，求下图的最大匹 配
11
(a)
(b)
系统地检查不饱和点出发有无可增 广道路，如，v1出发有可增广道路 v1,v7v6,v8(可画以v1为根的交互树)， 由此得到匹配(a), v2出发没有，v3出 发存在v3v4，可得更大匹配(b), 其他 点出发不存在可增广道路，故(b)是 最大匹配。
交错路为一条 M可增广路。
例
v1 v6 v2 v3 v4
匹配， M {v1v6 , v2v5 }是一个对集；但不是
最大对集，有路 P:v3v2v5v4，通过 匹配， ( M E ( P)) ( E ( P) M )得比M 更大的对集。 匹配，P称为M 可扩路。 增广路
返回 结束
v5
7.5 .2 最大匹配的基本定理
为图G的最大匹配。
[匹配数] G中最大匹配中的边数称为匹配数，记作
(G)。设G的所有匹配为M1、M2、… 、Mk，记
' (G) max | M i |
i 1,...,k
返回 结束
7.5 .1 匹配的基本概念
e2 e6 e1
5
最大匹配： {e1,e5 ,e6} e7
e4 e3 匹配数：3
返回 结束
7.5 .2 最大匹配的基本定理
[M交错路] 设G和M如上所述，G的一条M交错路 指G中一条路，其中的边在M和 EM 中交错出现 。
路是由属于M的匹配边和不属于M的非匹配边交替出现组成
《图论的配对问题》课件
PART 02
配对问题概述
配对问题的定义和分类
配对问题定义
在图论中，配对问题是指寻找图中的 一种特定类型的子集，即配对。配对 是指图中的一种顶点集合，其中任意 两个顶点之间都没有边相连。
配对问题分类
根据不同的标准，配对问题可以分为 多种类型，如最大匹配、完美匹配、 二分图匹配等。
匹配的计数和生成
总结词
匹配的计数是确定一个给定图中所有可能的匹配的数量，而匹配的生成则是找到一种方法来生成所有的匹配。
详细描述
匹配的计数是图论中的一个重要问题，它涉及到确定一个给定图中所有可能的匹配的数量。这通常通过使用一些 计数技巧和公式来完成，如Kempe变换和色多项式等。另一方面，匹配的生成是找到一种方法来生成所有的匹配 。这通常涉及到遍历图的所有可能边子集，并排除那些形成环或重复边的子集。
匹配和最小权重匹配等问题。
PART 03
图的匹配理论
匹配的定义和性质
总结词
匹配是图论中的基本概念，它描述了一组边，这些边在图中不相邻且不构成环。
详细描述
在图论中，匹配被定义为一种边子集，其中任意两条边在图中都不相邻，且这些 边也不构成环。也就是说，匹配中的边在图中的端点是两两不相同的。匹配的性 质包括匹配的计数、匹配的生成、最大匹配和最小匹配等。
匈牙利算法是一种经典的求解二分图最大匹配的算法，其基本思想是通
过增广路径不断扩大匹配规模。
02
回溯法
回溯法是一种通过穷举所有可能解来求解配对问题的算法，适用于小规
模问题。
03
贪心算法
贪心算法是一种在每一步选择中都采取当前最优的选择，从而希望导致
《图论的配对问题》课件
2
邻接表
使用链表方式表示图的节点和边。
3
关联矩阵
使用二维矩阵表示图的节点和边之间的关系。
配对问题的定义
二分图
一个二分图可以被分为左右 两个部分，每个部分内部的 节点没有边连接。
完美匹配
一个完美匹配是指一个二分 图中每个节点都与另一个部 分中的一个节点匹配。
稳定婚姻问题
将男士和女士进行匹配，每 个候选人都婚配自己喜欢的 对象。
3 学生宿舍分配
帮助学校将学生分配到适 合的宿舍。
图论配对问题的解决方法
1
贪心算法
在每次匹配时，选择最优的对偶。
最大流算法
2
将配对问题建为网络流图，利用最大流
算法求解。
3
离线算法
在观察一组匹配结果之后，在没有其他 限制的情况下，根据观察结果广泛地应 用贪心算法。
求职者与雇主问题 (JB)
求职者在雇主中选择合适的雇主， 雇主也选择最合适的求职者。求 职者将在不同的工作中获得不同 等级的快乐，雇主也需要对不同 等级的工作做出权衡。
实际应用中的配对问题
1 婚姻匹配
充分利用数学原理来帮助 交友、恋爱和婚姻。
2 旅游路线规划
帮助游客规划最合理的路 线，每日旅游花费达到最 小。
图论的配对问题
这个PPT课件将为您介绍图论的基本概念和配对问题，以及解决这些问题的 方法。
图的基本概念
图的定义
图由若干Байду номын сангаас节点和它们之间的 边构成。
有向图和无向图
有向图中边有方向，无向图中 边没有方向。
权重图
在图中给每条边赋予一个权值。
度数
节点上的边数称为度。
图的表示方法
图论中的匹配与覆盖
图论中的匹配与覆盖图论是数学的一个分支，研究的对象是图。
在图中，我们经常会遇到匹配（matching）和覆盖（covering）的问题。
本文将介绍图论中的匹配和覆盖，并探讨它们在实际问题中的应用。
一、匹配（Matching）匹配是指在一个图中，找出一组边，使得这组边两两之间没有公共顶点。
这样的边集称为匹配。
匹配的大小是指匹配中边的个数。
在匹配问题中，最基本的问题是最大匹配问题。
给定一个图，找出一个最大的匹配。
最大匹配问题可以使用一些经典的算法来解决，比如匈牙利算法。
匹配在实际应用中有很多应用。
例如，在航班调度中，可以将乘客和座位看作是图中的顶点；将每个乘客的偏好和能够满足的座位看作是图中的边。
通过匹配，可以将每个乘客和一个座位匹配，从而实现合理的航班调度。
二、覆盖（Covering）覆盖是指在一个图中，找出一组顶点，使得每条边至少与这组顶点中的一个顶点关联。
这样的顶点集称为覆盖。
覆盖的大小是指覆盖中顶点的个数。
覆盖问题也有一些经典的算法来解决，比如贪心算法。
贪心算法从一个空的覆盖开始，然后迭代地选择与最多未被覆盖边关联的顶点，直到所有边都被覆盖。
覆盖在实际应用中也有很多应用。
例如，在无线传感器网络中，每个传感器可以看作是图中的顶点；每个传感器的感知范围可以看作是边。
通过选择最小的覆盖，可以实现对传感器网络的有效监测和管理。
三、匹配与覆盖的关系匹配和覆盖在图论中有着密切的关系。
事实上，每个匹配都是一个覆盖，反之则不一定成立。
这是因为匹配要求边两两之间没有公共顶点，覆盖只要求每条边至少与一个顶点关联。
在实际问题中，匹配和覆盖往往是相辅相成的。
通过匹配，可以找出图中的一些特殊关系，然后通过覆盖来实现对这些关系的管理。
四、结语图论中的匹配与覆盖是一个复杂而有趣的领域。
匹配和覆盖问题有着广泛的应用，涉及到许多实际问题的解决。
通过对匹配和覆盖的研究，我们可以更好地理解图论，并将其应用于解决实际问题中。
本文介绍了匹配和覆盖的基本概念，并探讨了它们在实际应用中的重要性。
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饱和的
m1
m2
m3
m4
m5 不饱和 的
M={(f1,m3), (f2,m1) ,(f3,m2) ,(f5,m5)}
定义：若M是图G的一个匹配，若从G中一 ：若M是图G的一个匹配，若从G
个顶点到另一个顶点存在一条道路，此路 径由属于M和不属于M 径由属于M和不属于M的边交替出现组成的， 则称此路径为M 则称此路径为M-交错路。
x1 x2 x3 x4 x5
y1
y2
y3
y4
y5
M={(x1,y1 ),(x3,y5),(x5,y3)}
V1={x2,x5,x3}；V2 ={y3,y5}；
M=M⊕ E(P)={(x1,y1 ),(x2,y3),(x3,y2),( x5,y5)}
解
（2）若X已经饱和，结束；否则转（3）； ）若X已经饱和，结束；否则转（3 （3）在X中找一个非饱和点x0，V1={x0}，V2={} ）在X中找一个非饱和点x （4）若N(V1)=V2则停止，否则任选一点 ）若N(V y∈N(V1)-V2
x1 x2 x3 x4 x5
y1
y2
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y4
y5
M={(x1,y1 ),(x2,y3),(x3,y2),( x5,y5)}
V1={x4}；V2 =空集 N(V1)={y3}
解
（5）若y已饱和， M中必有(y,z) ；作【 V1 =V1 ）若y 中必有(y,z) ；作【 ∪{z} ， V2 =V2∪ {y}； 转（4）】，否则【求 {y}； 转（4 ，否则【 的可增广道路P 一条从x 一条从x0到y的可增广道路P，对之进行增广； 转（2 转（2）】
第五章
匹配
具体问题描述： 有n个女士和n个男士参加舞会，每位 个女士和n 女士与其中若干位男士相识，每位男士与 其中若干位女士相识，问如何安排，使得 尽量多配对的男女舞伴相识。
f1 f2 f3 f4 f5
§1 匹配
m1
m2
m3
m4
m5
下图就是一种分配方法：
f1 f2 f3 f4 f5
m1
m2
m3
定理7.1(Berge 1957)：M为最大匹配的充要条 1957)：
件是：图G 不存在可增广道路。 件是：图G中不存在可增广道路。
f1 f2 f3 f4 f5
m1
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m4
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M={(f1,m3), (f2,m1) ,(f3,m2) ,(f5,m5)}
[引理 设P是匹配Ｍ-可增广道路，则P⊕M是一个比M更大 引理] 是匹配Ｍ 可增广道路， 引理 是匹配 可增广道路 的匹配，且| P⊕M｜＝|M|+1.
f1 f2 f3 f4 f5
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m3
m4
m5
M={(f1,m2),(f2,m1),(f3,m4),(f4,m5)}
定义：若图G中每个顶点均被M许配时，称 ：若图G中每个顶点均被M M为G中的一个完美匹配。
f1 f2 f3 f4 f5
m1
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m3
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m5
M={(f1,m3), (f2,m1) ,(f3,m2) ,(f4,m5) ,(f5,m4)}
x1 x2 x3 x4 x5
y1
y2
y3
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y5
M={(x1,y1 ),(x2,y3),(x3,y2),( x5,y5)}
V1={x4}；V2 =空集
V1=V1∪{x2}={x4,x2}；V2=V2∪{y3} ={y3}
解
（4）若N(V1)=V2则停止，否则任选一点 ）若N(V y∈N(V1)-V2
x1 x2 x3 x4 x5
y1
y2
y3
y4
y5
M={(x1,y1 ),(x3,y5),(x5,y3)} V1={x2},V2=空集 V1=V1∪{x5}={x2,x5}； V2=V2∪ {y3} ={y3}
解
（4）若N(V1)=V2则停止，否则任选一点 ）若N(V y∈N(V1)-V2；
x1 x2 x3 x4 x5
匈牙利(Hungarian)算法： 匈牙利(Hungarian)算法： （1）任给一个初始匹配； （2）若X已经饱和，结束；否则转（3）； ）若X已经饱和，结束；否则转（3 （3）在X中找一个非饱和点x0，V1={x0}， ）在X中找一个非饱和点x V2=空集； （4）若N(V1)=V2则停止，否则任选一点 ）若N(V y∈N(V1)-V2； （5）若y已饱和， M中必有(y,z) ；作【 V1 ）若y 中必有(y,z) ；作【 =V1 ∪{z} ， V2 =V2∪ {y}； 转（4）】，否 {y}； 转（4 则【求一条从x0到y的可增广道路P，对之进 求一条从x 的可增广道路P 行增广；转（2 行增广；转（2）】
f1 f2 f3 f4 f5
m1
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m5
M={(f1,m3),(f2,m1) ,(f3,m2) ,(f4,m5) ,(f5,m4)} P=f1m3f4m5f2m1f5m4
定义：若交错路的两个端点为关于M的不饱 ：若交错路的两个端点为关于M 和顶点时，称此交互道为可增广道路。
f1 f2 f3 f4 f5
x1 x2 x3 x4 x5
y1
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y5
M={(x1,y1 ),(x3,y5),(x5,y3)}
V1={x2,x5}；V2={y3}；
V1=V1∪{x3}={x2,x5,x3}；V2=V2∪ {y若N(V1)=V2则停止，否则任选一点 ）若N(V y∈N(V1)-V2；
§2 Hall定理 Hall定理
设有m个人，n 设有m个人，n项工作，每个人会做其 中的若干项工作，能不能适当安排，使得 每个人都有工作做？
w1 w2 w3 w4 w5
m1
m2
m3
m4
当m>n时，肯定是不可能的，即使是 m>n时，肯定是不可能的，即使是 m≤n也不一定。但如果每个人能做的工作越 m≤n也不一定。但如果每个人能做的工作越 多，越容易实现。
m4
m5
(f1,m3), (f2,m1) ,(f3,m2) ,(f4,m5) ,(f5,m4)
匹配问题是运筹学的重要问题之一，也是图论的重要 匹配问题是运筹学的重要问题之一， 内容，它在所谓“人员分配问题” 最优分配问题” 内容，它在所谓“人员分配问题”和“最优分配问题” 中有重要作用。 中有重要作用。 假定有一个男生有穷集合，其中每个男生认识一些女 假定有一个男生有穷集合， 在什么条件下每个男生都可以和他认识的女生配对？ 生，在什么条件下每个男生都可以和他认识的女生配对？ 类似的工作分配问题：现有n个人，m份工作，每个人 类似的工作分配问题：现有n个人， 份工作， 有其擅长的工作。 有其擅长的工作。在什么条件下每个人都可以得到一份 他擅长的工作？如何分配？ 他擅长的工作？如何分配？
y1
y2
y3
y4
y5
M={(x1,y1 ),(x3,y5),(x5,y3)}
V1={x2,x5}；V2={y3} N(V1)={y2,y3,y4,y5}
解
（5）若y已饱和， M中必有(y,z) ；作【 V1 =V1 ）若y 中必有(y,z) ；作【 ∪{z} ， V2 =V2∪ {y}； 转（4）】，否则【求 {y}； 转（4 ，否则【 一条从x 一条从x0到y的可增广道路P，对之进行增广； 的可增广道路P 转（2 转（2）】
例
用匈牙利算法求下图的最大匹配：
x1
x2
x3
x4
x5
y1
y2
y3
y4
y5
解
（1）任给一个初始匹配； （2）若X已经饱和，结束；否则转（3）； ）若X已经饱和，结束；否则转（3
x1 x2 x3 x4 x5
y1
y2
y3
y4
y5
M={(x1,y1 ),(x3,y5),(x5,y3)}
）在X中找一个非饱和点x 解 （3）在X中找一个非饱和点x0，V1={x0}，V2=空集 （4）若N(V1)=V2则停止，否则任选一点y∈N(V1)-V2 ）若N(V 则停止，否则任选一点y
w1 w2 w3 w4 w5
m1
m2
m3
m4
Hall定理(1935)： Hall定理(1935)： 二分图G存在一匹配M，使得X 二分图G存在一匹配M，使得X的所有顶 点关于M饱和的充要条件是：对于X 点关于M饱和的充要条件是：对于X任一子集 A，及与A邻接的点集为N(A)，恒有： ，及与A邻接的点集为N(A)，恒有： |N(A)|≥|A|。 |N(A)|≥|A|。
w1 w2 w3 w4 w5 Y
X m1 m2 m3 m4
§3 人员分派问题
工作分配问题：现有n个人， 份工作， 工作分配问题：现有n个人，n份工作，每 个人有其擅长的工作。 个人有其擅长的工作。在什么条件下每个 人都可以得到一份他擅长的工作？ 人都可以得到一份他擅长的工作？如何分 配？ 1965年，匈牙利著名数学家Edmonds设 1965年，匈牙利著名数学家Edmonds设 计了一种求最大匹配的算法，称为匈牙利 (Hungarian)算法。 (Hungarian)算法。
x1 x2 x3 x4 x5
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M={(x1,y1 ),(x3,y5),(x5,y3)}
V1={x2},V2=空集 N(V1)={y2, y3}
（5）若y已饱和， M中必有(y,z) ；作【 V1 =V1 ）若y 中必有(y,z) ；作【 解 ∪{z} ， V =V ∪ {y}； 转（4）】，否则【求一 {y}； 转（4 ，否则【 2 2 条从x 条从x0到y的可增广道路P，对之进行增广；转 的可增广道路P （2）】