图论与组合数学期末复习题含答案

组合数学部分第1章 排列与组合例1：1)、求小于10000的含1的正整数的个数；2、)求小于10000的含0的正整数的个数；解：1)、小于10000的不含1的正整数可看做4位数,但0000除外.故有9×9×9×9－1＝6560个.含1的有：9999－6560=3439个2)、“含0”和“含1”不可直接套用。

0019含1但不含0。

在组合的习题中有许多类似的隐含的规定，要特别留神。

不含0的1位数有19个，2位数有29个，3位数有39个，4位数有49个 不含0小于10000的正整数有()()73801919999954321=--=+++个含0小于10000的正整数9999－7380=2619个。

例2：从[1,300]中取3个不同的数，使这3个数的和能被3整除，有多少种方案？解：将[1,300]分成3类：A={i|i ≡1(mod 3)}={1,4,7,…,298},B={i|i ≡2(mod 3)}={2,5,8,…,299},C={i|i ≡0(mod 3)}={3,6,9,…,300}.要满足条件，有四种解法：1)、3个数同属于A;2)、3个数同属于B ；3)、3个数同属于C;4)、A,B,C 各取一数；故共有3C(100,3)+1003=485100+1000000=1485100。

例3：（Cayley 定理：过n 个有标志顶点的数的数目等于2-n n ）1）、写出右图所对应的序列；2）、写出序列22314所对应的序列；解：1）、按照叶子节点从小到大的顺序依次去掉节点（包含与此叶子节点相连接的线），而与这个去掉的叶子节点相邻的另外一个点值则记入序列。

如上图所示，先去掉最小的叶子节点②，与其相邻的点为⑤，然后去掉叶子节点③，与其相邻的点为①，直到只剩下两个节点相邻为止，则最终序列为51155.。

2）、首先依据给定序列写出（序列长度+2）个递增序列，即1234567，再将给出序列按从小到大顺序依次排列并插入递增序列得到：7。

我们再将给出序列22314写在第一行，插入后的递增序列写在第二行。

如下图第一行所示：−−→−⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--②⑤67112223344522314−−→−⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--②⑥11223344672314 −−→−⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--③②11233447314−−→−⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--①③11344714−−→−⎪⎪⎭⎫⎝⎛--④①14474⎪⎪⎭⎫⎝⎛47。

我们每次去掉第一行第一个数，并在第二行寻找第一个无重复的元素5并将它取出，将⑤与②连接起来，并在第二行去掉第一行的第一个元素②，剩下的序列为1122334467，依次执行下去。

最终剩下的两个元素（47）连在一起。

则形成了以下的树。

例4：（圆排列问题：从n个字符中取r个不同的字符构成圆排列的个数为()()nrrrnP≤≤,。

）5对夫妇出席一宴会，围一圆桌坐下有多少种方案？要求每对夫妇相邻而坐，方案有多少种？解：1）、此问便是考查圆排列的公式定义，由()()()nrrrnPrnQ≤≤=0,,可得，排列方式有()()!910!101010,1010,10===PQ种。

2）、同样，先将5个丈夫进行圆排列则有245!5=种，再将5个妻子插到丈夫的空隙之中，每个妻子只有两种选择，要么在丈夫的左边，要么在右边。

因此由52种插入的方法，所以一共有52!4⨯种。

有错误！例5：（允许重复的排列）已知重集{}dcbaS3,4,5,6=，做重集S的全排列，问有多少中排列方案？解：设可重复{}kkanananS⋅⋅⋅=,,,2211，其中，kaaa,,,21为S中k个不同元素，则S的个数为knnnn+++=21，S的全排列为：!!!!21knnnn则据题意可得：方案数为!3!4!5!6!18⋅⋅⋅。

列6：（允许重复的组合）试问()4zyx++有多少项？解：由于()()zyxzyx++=++4()zyx++()zyx++()zyx++，相当于从右边每个括号里取一个元素相乘，而元素可以对应相同（如4个括号我都取x ）或者不同。

这就相当于将4个无区别的球放进3个有区别的盒子，由于在n 个不同元素中取r 个进行组合，允许重复，则组合数为()r r n C ,1-+。

（或者说r 个无区别的球放进n 个有区别的盒子里，每个盒子球数不限，则共有()r r n C ,1-+种）。

问题等价于从3个元素中取4个做允许重复的组合，15230!2!4!6464134===⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+项。

例6：（线性方程的整数解个数问题）已知线性方程b x x x n =+++ 21，n 和b 都是整数，1≥n ，求此方程非负整数解的个数？解：方程的非负整数解{}n ξξξ,,,21 对应一个将b 个无区别的球放进n 个有区别的盒子()n x x x ,,,21 的情况，允许一盒多球，故原式可以等价转化为将将1到n 的正整数取b 个作为允许重复的组合，其组合数为⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+b b n 1个。

例7：（不相邻的组合） 从{}7,6,5,4,3,2,1=A 中取三个元素做不相邻的组合，有多少种方式？ 解：由于从{}n A ,,2,1 =中，取r 个作不相邻的组合，其组合数为()r r n c ,1+-，因此在此题中3,7==r n ，组合数种类有1012120!2!3!5353137===⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-种。

例8：（全排列的三种生成算法）（1）、已知4000=m ，!74000!6<<，求m 对应的序列。

（2）、利用字典序法求求839746521的下一个排列。

解：（1）、由于0到1!-n 中的任何整数m 都可以唯一表示为()()!1!2!2!11221⋅+⋅++-+-=--a a n a n a m n n 其中i a i ≤≤0，11-≤≤n i ，可以证明从0到1!-n 的!n 个整数与()1221,,,,a a a a n n --一一对应，我们要得到这些值就得每次除以与其相对应的数值，就可以得到与i a 相对应的余数值i r 。

因为!74000!6<<，所以：,!2!3!4!5!640001234561a a a a a a n +⋅+⋅+⋅+⋅+⋅==,0,2!32!42!52!62000240002112345612r a a a a a a n n ==+⋅+⋅+⋅+⋅==⎥⎦⎥⎢⎣⎢=⎥⎦⎥⎢⎣⎢=,2,!3!4!3!5!3!666632000322345623r a a a a a n n ==+⋅+⋅+⋅==⎥⎦⎥⎢⎣⎢=⎥⎦⎥⎢⎣⎢= ,2,!4!5!4!6166466643345634r a a a a n n ==+⋅+⋅==⎥⎦⎥⎢⎣⎢=⎥⎦⎥⎢⎣⎢= ,1,!5!63351665445645r a a a n n ==+⋅==⎥⎦⎥⎢⎣⎢=⎥⎦⎥⎢⎣⎢= ,3,5633655656r a a n n ====⎥⎦⎥⎢⎣⎢=⎥⎦⎥⎢⎣⎢= ,5,06566667r a n n ===⎥⎦⎥⎢⎣⎢=⎥⎦⎥⎢⎣⎢=所以：!22!32!41!53!654000⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=。

把n-1个元素的序列()1221,,,,a a a a n n --和n 个元素的排列建立一一对应关系，从而得到一种生成排列的算法——序数法。

将()1221,,,,a a a a n n --与给出序列相对应，例如给出4213，那么对应()123,,a a a ，由大到小的计算当前数值位置右边比此位置数值大的数值的个数，例如最大的数为4，4这个数右边有3个数比它小，所以33=a ，同理，第二个大的数为3，在3这个数右边有0个比它小的数，所以02=a ，同理对应2这个数右边有一个数比他小，所以11=a 。

综上所述，对应序列为()301。

同时，由()301也可以推出最大数4的右边有3个比它小的数，为：第二个大的数3右边比他小的数的个数为0，因此，为： 第三个大的数2右边比他小的数有1个，而1的位置也可以确定了因此为 （2）、字典序法首先从序列()n p p p ,,,21 后向前找出第一组i i p p <-1，记下此式1-i p 的值，然后有从后向前找第一个比1-i p 的值大的数k p ，并将1-i p 和k p 调换位置，然后再将原来1-i p （现在k p ）位置以后的全部序列倒序即可以了。

如题中所示的序列839746521中，首先找出从右向左第一组i i p p <-1的1-i p ，此处为4，然后找到k p 为5，将它们两调换得到839756421，然后将5后面的数逆序得到839751246。

例9：（格路模型）一场电影的票价是50元，排队买票的顾客中有n 位是持有50元的钞票，m 位是持有100元的钞票。

售票处没有准备50元的零钱。

试问有多少种排队的方法方法使得购票能顺利进行，不出现超不出零钱的状况。

假设每位顾客只限买一票，而且m n ≥。

解：在格路模型中，从()()n m ,0,0→的路径选择有()()m n m c m n m n m n m ,!!!+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+种。

因为这个问题可以看成是由m 个向右和n 个向上组成，就是一个可重复的全排列问题。

当然，将这一模型推广以后就可以应用于此题了，我们将问题简化就可以得到卖票者从没有钱到把所有票都卖完，在这个期间他必须实现每次卖票成功（即有足够的零钱找给顾客）。

在格路模型中，我们把x 轴看成是m 个100元，y 轴看成是n个50元，最重要实现将这m 个100元和n 个50元收入囊中，而且要满足不出现找不出50元钞票的情况。

问题等价于从()0,0到()n m ,的路径中，找出y>x 且不穿越（但可以接触）y=x 线上点的路径。

然而不允许接触的情况是从()1,0点出发到()n m ,的所有路径减去从()1,0点出发经过y=x 的路径，如右图所示，由对称性以及m n ≥可以知道，从()1,0出发经过y=x 的路径等于由()0,1出发到达()n m ,的路径，因为由()0,1出发到达()n m ,必须经过y=x 。

所以，原问题可以转化为：路径数=()()1,1,1--+--+m n m c m n m c =()()()()!!1!1!1!!1n m n m n m n m --+---+=()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛----+n m n m n m 11!1!1!1=()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛----+n m n m n m 11!1!1!1。

然而，此处是可以接触y=x 的，因此我们可以将纵坐标向下移动一个单位如右图所示：即可以接触y=x 但是不可以穿过y=x-1。