电子科技大学研究生试题图论及其应用参考答案完整版
11年研究生试卷(答案)
五．(10分)今有赵、钱、孙、李、周五位教师，要承担语文、数学、物理、化学、英语五门课程。已知赵熟悉数学、物理、化学三门课程，钱熟悉语文、数学、物理、英语四门课程，孙、李、周都只熟悉数学、物理两门课程。问能否安排他们都只上他们熟悉的一门课程，使得每门课程都有人教（用图论方法求解）。
3．设 是图 的推广邻接矩阵，则 的 行 列元 等于由 中顶点 到顶点 的长度为_n_途径数目。
4．完全图 的邻接矩阵的最大特征值为_n_。
5.不同构的3阶单图共有___4___个。
6.设 阶图 是具有 个分支的森林，则其边数 。
7. 阶树( )的点连通度为___1___；边连通度为____1___；点色数为__2___； 若其最大度为 ，则边色数为___ __。
8.图 是 连通的，则 中任意点对间至少有_k__条内点不交路。
9.5阶度极大非哈密尔顿图族为___ ___和__ _____。
10.完全图 能够分解为 个边不相交的一因子之并。
11. 设连通平面图 具有5个顶点，9条边，则其面数为__6_； ( )阶极大平面图的面数等于__ ___； ( )阶极大外平面图的顶点都在外部面边界上时，其内部面共有 个。
A1: LA, S ; A2: MA, LA, G ; A3: MA, G, LA;
A4: G, LA, AC ; A5: AC, LA, S ; A6: G, AC;
A7: GT, MA, LA ; A8: LA,GT, S ; A9: AC, S, LA;
A10: GT, S。人只上一门自己所熟悉的课程。
六．(6分)设 是赋权完全偶图G=(V,E)的可行顶点标号，若标号对应的相等子图 含完美匹配 ,则 是G的最优匹配。
电子科技大学研究生试题《图论及其应用》(参考答案)
电子科技大学研究生试题《图论及其应用》(参考答案)考试时间：120分钟一．填空题(每题3分，共18分)1．4个顶点的不同构的简单图共有__11___个；2．设无向图G 中有12条边，已知G 中3度顶点有6个，其余顶点的度数均小于3。
则G 中顶点数至少有__9___个；3．设n 阶无向图是由k(k ?2)棵树构成的森林，则图G 的边数m= _n-k____;4．下图G 是否是平面图？答__是___; 是否可1-因子分解？答__是_.5．下图G 的点色数=)(G χ______, 边色数=')(G χ__5____。
图G二．单项选择(每题3分，共21分)1．下面给出的序列中，是某简单图的度序列的是( A )(A) (11123); (B) (233445); (C) (23445); (D) (1333).2．已知图G 如图所示，则它的同构图是（ D ）3． 下列图中，是欧拉图的是（ D ）4． 下列图中，不是哈密尔顿图的是（B ）5． 下列图中，是可平面图的图的是（B ）AC DA B CD6．下列图中，不是偶图的是（ B ）7．下列图中，存在完美匹配的图是（B ）三．作图(6分)1．画出一个有欧拉闭迹和哈密尔顿圈的图；2．画出一个有欧拉闭迹但没有哈密尔顿圈的图；3．画出一个没有欧拉闭迹但有哈密尔顿圈的图；解： 四．(10分)求下图的最小生成树，并求其最小生成树的权值之和。
解：由克鲁斯克尔算法的其一最小生成树如下图：权和为：20.五．(8分)求下图G 的色多项式P k (G).解：用公式(G P k -G 的色多项式：)3)(3)()(45-++=k k k G P k 。
六．(10分) 22，n 3个顶点的度数为3，…，n k 个顶点的度数为k ，而其余顶点的度数为1，求1度顶点的个数。
解：设该树有n 1个1度顶点，树的边数为m.一方面：2m=n 1+2n 2+…+kn k另一方面：m= n 1+n 2+…+n k -1 v v 13图G由上面两式可得：n 1=n 2+2n 3+…+(k -1)n k七．证明：(8分) 设G 是具有二分类(X,Y)的偶图，证明(1)G 不含奇圈；（2）若|X |≠|Y |，则G 是非哈密尔顿图。
电子科技大学《图论及其应用》复习总结--第四章欧拉图与哈密尔顿图
电⼦科技⼤学《图论及其应⽤》复习总结--第四章欧拉图与哈密尔顿图第四章欧拉图与哈密尔顿图(⼀)、欧拉图及其性质(1)、问题背景---欧拉与哥尼斯堡七桥问题问题：对于图G，它在什么条件下满⾜从某点出发，经过每条边⼀次且仅⼀次，可以回到出发点？注：⼀笔画----中国古⽼的民间游戏（存在欧拉迹）要求：对于⼀个图G, 笔不离纸, ⼀笔画成.拓展：三笔画：在原图上添加三笔，可使其变为欧拉图。
定义1 对于连通图G，如果G中存在经过每条边的闭迹，则称G为欧拉图，简称G为E图。
欧拉闭迹⼜称为欧拉环游，或欧拉回路。
定理1 下列陈述对于⾮平凡连通图G是等价的：(1) G是欧拉图；(2) G的顶点度数为偶数；(3) G的边集合能划分为圈。
推论1 连通图G是欧拉图当且仅当G的顶点度数为偶。
推论2 连通⾮欧拉图G存在欧拉迹当且仅当G中只有两个顶点度数为奇数。
证明：若G和H是欧拉图，则G×H是欧拉图。
若G是⾮平凡的欧拉图，则G的每个块也是欧拉图。
(⼆)、Fleury算法(欧拉图中求出⼀条具体欧拉环游的⽅法)⽅法是尽可能避割边⾏⾛(三)、中国邮路问题（最优欧拉环游，管梅⾕）定理2 若W是包含图G的每条边⾄少⼀次的闭途径，则W具有最⼩权值当且仅当下列两个条件被满⾜：(1) G的每条边在W中最多重复⼀次；(2) 对于G的每个圈上的边来说，在W中重复的边的总权值不超过该圈⾮重复边总权值。
(四)、哈密尔顿图的概念定义1 ：如果经过图G的每个顶点恰好⼀次后能够回到出发点，称这样的图为哈密尔顿图，简称H图。
所经过的闭途径是G的⼀个⽣成圈，称为G的哈密尔顿圈。
定义2: 如果存在经过G的每个顶点恰好⼀次的路，称该路为G的哈密尔顿路，简称H路。
(五)、哈密尔顿图性质与判定1、性质定理【必要条件】；定理1 (必要条件) 若G为H图，则对V(G)的任⼀⾮空顶点⼦集S，有：w(G−S)≤|S|注：不等式为G是H图的必要条件，即不等式不满⾜时，可断定对应图是⾮H、图。
图论及其应用习题答案
图论及其应用习题答案图论及其应用习题答案图论是数学的一个分支，研究的是图的性质和图之间的关系。
图是由节点和边组成的，节点表示对象，边表示对象之间的关系。
图论在计算机科学、电子工程、物理学等领域有着广泛的应用。
下面是一些图论习题的解答，希望对读者有所帮助。
1. 问题：给定一个无向图G，求图中的最大连通子图的节点数。
解答：最大连通子图的节点数等于图中的连通分量个数。
连通分量是指在图中，任意两个节点之间存在路径相连。
我们可以使用深度优先搜索（DFS）或广度优先搜索（BFS）来遍历图，统计连通分量的个数。
2. 问题：给定一个有向图G，判断是否存在从节点A到节点B的路径。
解答：我们可以使用深度优先搜索（DFS）或广度优先搜索（BFS）来遍历图，查找从节点A到节点B的路径。
如果能够找到一条路径，则存在从节点A到节点B的路径；否则，不存在。
3. 问题：给定一个有向图G，判断是否存在环。
解答：我们可以使用深度优先搜索（DFS）或广度优先搜索（BFS）来遍历图，同时记录遍历过程中的访问状态。
如果在搜索过程中遇到已经访问过的节点，则存在环；否则，不存在。
4. 问题：给定一个加权无向图G，求图中的最小生成树。
解答：最小生成树是指在无向图中，选择一部分边，使得这些边连接了图中的所有节点，并且总权重最小。
我们可以使用Prim算法或Kruskal算法来求解最小生成树。
5. 问题：给定一个有向图G，求图中的拓扑排序。
解答：拓扑排序是指将有向图中的节点线性排序，使得对于任意一条有向边(u, v)，节点u在排序中出现在节点v之前。
我们可以使用深度优先搜索（DFS）或广度优先搜索（BFS）来遍历图，同时记录节点的访问顺序，得到拓扑排序。
6. 问题：给定一个加权有向图G和两个节点A、B，求从节点A到节点B的最短路径。
解答：我们可以使用Dijkstra算法或Bellman-Ford算法来求解从节点A到节点B的最短路径。
这些算法会根据边的权重来计算最短路径。
电子科大研究生图论考试 附答案
1电子科技大学研究生试卷（考试时间： 至 ，共__2_小时）课程名称 图论及其应用 教师 学时 60 学分 教学方式 讲授 考核日期_2013__年_6__月__20__日 成绩 考核方式： （学生填写）一．填空题(每空2分，共20分)1． n 阶k 正则图G 的边数m =_____。
2．4个顶点的不同构单图的个数为________。
3．完全偶图,r s K (,2r s ≥且为偶数)，则在其欧拉环游中共含____条边。
4．高为h 的完全2元树至少有_______片树叶。
5. G 由3个连通分支124,,K K K 组成的平面图，则其共有_______个面。
6. 设图G 与5K 同胚，则至少从G 中删掉_______条边，才可能使其成为可平面图。
7. 设G 为偶图，其最小点覆盖数为α，则其最大匹配包含的边数为________。
8. 完全图6K 能分解为________个边不重合的一因子之并。
9. 奇圈的边色数为______。
10. 彼得森图的点色数为_______。
二．单项选择(每题3分，共15分) 1．下面说法错误的是( )学 号 姓 名 学 院…………………… 密……………封……………线……………以……………内……………答…… ………题……………无……………效……………………2(A) 图G 中的一个点独立集，在其补图中的点导出子图必为一个完全子图；(B) 若图G 连通，则其补图必连通； (C) 存在5阶的自补图； (D) 4阶图的补图全是可平面图. 2．下列说法错误的是（ ） (A) 非平凡树是偶图；(B) 超立方体图(n 方体,1n ≥)是偶图； (C) 存在完美匹配的圈是偶图； (D) 偶图至少包含一条边。
3.下面说法正确的是( )(A) 2连通图一定没有割点（假定可以有自环）； (B) 没有割点的图一定没有割边；(C) 如果3阶及其以上的图G 是块，则G 中无环，且任意两点均位于同一圈上；(D) 有环的图一定不是块。
07年研究生试卷(答案)备课讲稿
07年研究生试卷(答案)仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢2 电子科技大学研究生试卷（考试时间： 至 ，共_____小时） 课程名称 图论及其应用 教师 学时 60 学分 教学方式 讲授 考核日期_2007__年___月____日 成绩 考核方式： （学生填写） 一．填空题(每题2分，共12分) 1．简单图G=(n,m)中所有不同的生成子图(包括G 和空图)的个数是____个； 2．设无向图G=(n,m)中各顶点度数均为3，且2n=m+3,则n=_ 6__; m=_9__； 3．一棵树有i n 个度数为i 的结点，i=2,3,…,k,则它有个度数为1的结点； 4．下边赋权图中，最小生成树的权值之和为__20___; 5、某年级学生共选修9门课。
期末考试时，必须提前将这9门课先考完，每天每人只在下午考一门课，则至少需要___9__天才能考完这9门课。
二．单项选择(每题2分，共10分)1．下面给出的序列中，不是某简单图的度序列的是( D )学 姓 名 学 院 …………………… 密……………封……………线……………以……………内……………答…… ………题……………无……………效…………………… v 5v 4v v v 11624568107496(A) (11123); (B) (22222); (C) (3333); (D) (1333). 2．下列图中，是欧拉图的是（D）A B3．下列图中，不是哈密尔顿图的是（B）A D 4．下列图中，是可平面图的图的是（B）A B C D5．下列图中，不是偶图的是（B）A B DC三、 (8分)画出具有7个顶点的所有非同构的树解：仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢3仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢4……四， 用图论的方法证明：任何一个人群中至少有两个人认识的朋友数相同(10分) 证明：此题转换为证明任何一个没有孤立点的简单图至少有两个点的度数相同。
2019电子科技大学研究生试卷答案
2019电⼦科技⼤学研究⽣试卷答案电⼦科技⼤学研究⽣试卷（考试时间：⾄，共 2 ⼩时）课程名称图论及应⽤教师学时 60 学分 3 教学⽅式堂上授课考核⽇期 2019 年 5 ⽉⽇成绩考核⽅式：（学⽣填写）⼀．填空题(每空3分，共15分) 1. 图G 的邻接矩阵为0111101111001100?? ? ? ? ? ???, 则G 的⽣成树的棵数为 8 . 2. 设1G 是11(,)n m 简单图,2G 是22(,)n m 简单图,则1G 和2G 的(Cartesian)积图12G G ?的边数()m G =1221n m n m +. 3. 图1中最⼩⽣成树T 的权值()W T = 23 .4. 图2中S 到T 的最短路的长度为 8 .5. 设G 是n 阶简单图,且不包含三⾓形,则其边数⼀定不超过24n . ⼆．单项选择题(每题3分，共15分) 学号姓名学院……………………密……………封……………线……………以……………内……………答……………题……………⽆……………效……………………座位号图1 图21. 关于彼得森(Petersen)图, 下⾯说法正确的是 ( B )A. 彼得森图是哈密尔顿图;B. 彼得森图是超哈密尔顿图;C. 彼得森图可1-因⼦分解;D. 彼得森图是可平⾯图.2. 下⾯说法正确的是 ( C )A. 有割点的三正则图⼀定没有完美匹配;B. 有割边的三正则图⼀定没有完美匹配;C. 存在哈密尔顿圈的三正则图必能1因⼦分解;D. 正则的哈密尔顿图必能2因⼦分解.3. 关于图的度序列, 下⾯说法正确的是 ( B )A. 任意两个有相同度序列的图都同构;B. 若图G 度弱于图H ，则图G 的边数⼩于等于图H 的边数;C. 若⾮负整数序列12(,,,)n d d d π=满⾜1ni i d =∑为偶数，则它⼀定是图序列;D. 如果图G 所有顶点的度和⼤于或等于图H 所有顶点的度和，则图G 度优于图H.4. 关于图的补图, 下⾯说法错误的是 ( A )A. 若图G 连通，则其补图必连通;B. 若图G 不连通，则其补图必连通;C. 图G 中的⼀个点独⽴集，在其补图中的点导出⼦图必为⼀个团;D. 存在5阶的⾃补图.5. 关于欧拉图, 下⾯说法正确的是 ( D )A. 每个欧拉图有唯⼀的欧拉环游;B. 每个顶点的度均为偶数的图是欧拉图;C. 欧拉图中⼀定没有割点;D. 欧拉图中⼀定没有割边.(三).(10分)若阶为25且边数为62的图G 的每个顶点的度只可能为3，4，5或6，且有两个度为4的顶点，11个度为6的顶点，求G 中5度顶点的个数。
最新电子科大图论 第二次作业(4、5章) 答案资料
习题四3.（1）画一个有Euler 闭迹和Hamilton圈的图；（2）画一个有Euler 闭迹但没有Hamilton圈的图；（3）画一个有Hamilton圈但没有Euler闭迹的图；（4）画一个即没有Hamilton圈也没有Euler闭迹的图；解：找到的图如下：(1)一个有Euler 闭迹和Hamilton圈的图；(2)一个有Euler闭迹但没有Hamilton圈的图；(3) 一个有Hamilton圈但没有Euler闭迹的图;(4)一个即没有Hamilton圈也没有Euler闭迹的图.7. 将G中的孤立点去掉后的图为G1，则G1也是没有奇度点的，且G1的最小度大于等于2.则G1存在一个圈S1，在G1 –S1中去除孤立的点，得到一个新的图G2，显然G2也没有奇度的点，且G2的最小度大于等于2.这样G2中也存在一个圈S2，这样一直下去，指导Gm中有圈Sm，且Gm-Sm都是孤立的点。
这样E(G) = E(G1)并E(G2)…并E(Gm).命题得证。
10．证明：若：（1）不是二连通图，或者（2）是具有二分类的偶图，这里,则是非Hamilton图。
证明：（1）不是二连通图，则不连通或者存在割点,有,由于课本上的相关定理：若是Hamilton图，则对于的任意非空顶点集，有：,则该定理的逆否命题也成立，所以可以得出：若不是二连通图，则是非Hamilton图(2)因为是具有二分类的偶图，又因为，在这里假设,则有,也就是说：对于的非空顶点集，有：成立，则可以得出则是非Hamilton图。
习题五1.(1)证明：每个k方体都有完美匹配(k大于等于2)(2) 求K2n和K n,n中不同的完美匹配的个数。
证明一：证明每个k方体都是k正则偶图。
事实上，由k方体的构造：k方体有2k个顶点，每个顶点可以用长度为k的二进制码来表示，两个顶点连线当且仅当代表两个顶点的二进制码只有一位坐标不同。
如果我们划分k方体的2k个顶点，把坐标之和为偶数的顶点归入X，否则归入Y。
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电子科技大学研究生试题图论及其应用参考答
案
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电子科技大学研究生试题
《图论及其应用》(参考答案)
考试时间：120分钟
一．填空题(每题3分，共18分)
1．4个顶点的不同构的简单图共有__11___个；
2．设无向图G 中有12条边，已知G 中3度顶点有6个，其余顶点的度数均小于3。
则G 中顶点数至少有__9___个；
3．设n 阶无向图是由k(k2)棵树构成的森林，则图G 的边数m= _n-k____;
4．下图G 是否是平面图？答__是___; 是否可1-因子分解？答__是_.
5．下图G 的点色数=)(G χ______, 边色数=')(G χ__5____。
图G
二．单项选择(每题3分，共21分)
1．下面给出的序列中，是某简单图的度序列的是( A )
(A) (11123); (B) (233445); (C) (23445); (D) (1333).
2．已知图G 如图所示，则它的同构图是（ D ）
3． 下列图中，是欧拉图的是（ D ）
4． 下列图中，不是哈密尔顿图的是（B ）
5． 下列图中，是可平面图的图的是（B ）
6．下列图中，不是偶图的是（ B ）
7．下列图中，存在完美匹配的图是（B ）
三．作图(6分)
1．画出一个有欧拉闭迹和哈密尔顿圈的图；
2．画出一个有欧拉闭迹但没有哈密尔顿圈的图；
3．画出一个没有欧拉闭迹但有哈密尔顿圈的图；
解： 四．
A C
D
1 2
3
A B C D
解：由克鲁斯克尔算法的其一最小生成树如下图：
权和为：20.
五．(8分)
求下图G 的色多项式P k (G). 解：用公式
)(e G P k -G 的色多项式：
)3)(3)()(345-++=k k k G P k 。
六．(10分) 一棵树有n 2个顶点的度数为2，n 3个顶点的度数为3，…，n k 个顶点的度数
为k ，而其余顶点的度数为1，求1度顶点的个数。
解：设该树有n 1个1度顶点，树的边数为m.
一方面：2m=n 1+2n 2+…+kn k
另一方面：m= n 1+n 2+…+n k -1 由上面两式可得：n 1=n 2+2n 3+…+(k -1)n k
七．证明：(8分) 设G 是具有二分类(X,Y)的偶图，证明(1)G 不含奇圈；（2）若|X |≠|Y |，则G 是非哈密尔顿图。
证明：(1) 若不然，设C=v 1v 2…v m v 1为G 的一个奇圈，不妨设v 1X,
v 5
v v v 6 图G
则：v m X,这样推出v 1与v m 邻接，与G 是偶图矛盾。
(2)若 |X |≠|Y |，设|X ||Y |，则 (G-Y)Y,由H 图的必要条件，G 为非哈密尔顿图。
八．（8分）设G 是边数m 小于30的简单连通平面图，证明:G 中存在顶点v ，使d(v)4. 证明：若不然，则对任意的vV(G),有d(v)5，这样，一方面有：
2m=d(v)5n (1)
另一方面，G 为简单连通平面图，有：
m3n-6 (2)
由(1),m n 52≤
,把该式代入(2)得：m30,与题设矛盾。
九．(8分) 证明：每个没有割边的3正则图都有完美匹配。
证明：设G 是没有割边的3正则图，S 是V 的真子集，用G 1, G 2,…,G n 表示G-S 的奇分
支，并设m i 是一个顶点在G i 中，另一个端点在S 中的那些边的条数。
由于G 是3正则
图，所以
,)(3)()(i
G V v G V v d =∑∈ 1in (1) 且
S v d S
v 3)(=∑∈ （2）
由(1)式，∑∈-=
)()(2)(Gi V v i i G E v d m 是奇数。
又由于G 没有割边，所以m i
1
因此，mi 3, 1 i n (3)由(3)可得：
由托特定理，G中有完美匹配。