电子科技大学研究生图论总结
电子科技大学研究生试题《图论及其应用》(参考答案)
电子科技大学研究生试题《图论及其应用》(参考答案)考试时间：120分钟一．填空题(每题3分，共18分)1．4个顶点的不同构的简单图共有__11___个；2．设无向图G 中有12条边，已知G 中3度顶点有6个，其余顶点的度数均小于3。
则G 中顶点数至少有__9___个；3．设n 阶无向图是由k(k ?2)棵树构成的森林，则图G 的边数m= _n-k____;4．下图G 是否是平面图？答__是___; 是否可1-因子分解？答__是_.5．下图G 的点色数=)(G χ______, 边色数=')(G χ__5____。
图G二．单项选择(每题3分，共21分)1．下面给出的序列中，是某简单图的度序列的是( A )(A) (11123); (B) (233445); (C) (23445); (D) (1333).2．已知图G 如图所示，则它的同构图是（ D ）3． 下列图中，是欧拉图的是（ D ）4． 下列图中，不是哈密尔顿图的是（B ）5． 下列图中，是可平面图的图的是（B ）AC DA B CD6．下列图中，不是偶图的是（ B ）7．下列图中，存在完美匹配的图是（B ）三．作图(6分)1．画出一个有欧拉闭迹和哈密尔顿圈的图；2．画出一个有欧拉闭迹但没有哈密尔顿圈的图；3．画出一个没有欧拉闭迹但有哈密尔顿圈的图；解： 四．(10分)求下图的最小生成树，并求其最小生成树的权值之和。
解：由克鲁斯克尔算法的其一最小生成树如下图：权和为：20.五．(8分)求下图G 的色多项式P k (G).解：用公式(G P k -G 的色多项式：)3)(3)()(45-++=k k k G P k 。
六．(10分) 22，n 3个顶点的度数为3，…，n k 个顶点的度数为k ，而其余顶点的度数为1，求1度顶点的个数。
解：设该树有n 1个1度顶点，树的边数为m.一方面：2m=n 1+2n 2+…+kn k另一方面：m= n 1+n 2+…+n k -1 v v 13图G由上面两式可得：n 1=n 2+2n 3+…+(k -1)n k七．证明：(8分) 设G 是具有二分类(X,Y)的偶图，证明(1)G 不含奇圈；（2）若|X |≠|Y |，则G 是非哈密尔顿图。
图论总结(超强大)
图论总结（超强大）-标准化文件发布号：（9556・EUATWK・MWUB-WUNN・INNUL-DDQTY-KII 1.图论Graph Theory1 丄定义与术语Definition and Glossary1.1.1.图与网络Graph and Network1.1.2.图的术语Glossary of Graph1.1.3.路径与回路Path and Cycle1.1.4.连通性Connectivity1.1.5.图论中特殊的集合Sets in graph1.1.6.匹配Matching1.1.7.树Tree1.1.8.组合优化Combinatorial optimization12 图的表示Expressions of graph1.2.1.邻接矩阵Adjacency matrix1.2.2.关联矩阵Incidence matrix1.2.3.邻接表Adjacency list1.2.4.弧表Arc list1.2.5.星形表示Star1・3・图的遍历Traveling in graph1.3.1.深度优先搜索Depth first search (DFS)1.3.1.1・概念1.3.1.2・求无向连通图中的桥Finding bridges in undirected graph1.3.2.广度优先搜索Breadth first search (BFS)14 拓扑排序Topological sort1.5.路径与回路Paths and circuits1.5.1.欧拉路径或回路Eulerian path1.5.1.1.无向图1.5.1.2.有［句图1.5.13. 7昆合图1.5.1.4 ・无权图Un weighted1.5.1.5・有权图Weighed —中国邮路问题The Chinese post problem1.5.2.Hamiltonian Cycle 哈氏路径与回路1.5.2.1.无权图Un weighted1.5.2.2・有权图Weighed —旅行商问题The travelling salesman problem 1.6.网络优化Network optimization1.6.1.最小生成树Minimum spanning trees1.6.1.1.基本算法Basic algorithms1.6.1.1.1.Prim1.6.1.1.2.Kruskal1.6.1.1.3・ Sollin ( Boruvka)1.6.1.2.扩展模型Extended models1.6.1.2.1.度限制生成树Minimum degree-bounded spanning trees1.6.1.2.2.k 小生成树The k minimum spanning tree problem(k-MST)1.6.2.最短路Shortest paths1.6.2.1.单源最短路Single-source shortest paths1.6.2.1.1.基本算法Basic algorithms1.6.2.1.1.1 ...................................................................................... Dijkstra1.6.2・1・1.2 ......................................................................... B ellman-Ford1.6.2.1.1.2.1 ........................... S hortest path faster algorithm(SPFA)1.6.2.1.2. 应用 Applications1.6.2.1.2.1 ......................差分约束系统 System of difference constraints1. 6.2. 1. 2. 2 ........... 有向无环图上的最短路Shortest paths in DAG1. 6.2. 2.所有顶点对间最短路 Al 1-pairs shortest paths1. 6.2. 2. 1 ........................................................ 基本算法 Basic algor it hms1.6.2. 2.1.1 ..................................................................... Floyd-War shall1.6.2. 2.1.2网络流 Flow network 1. 6. 3. 1.最大流 Maximum flow最小费用流Minimum cost flow............... 找最小费用路 Finding minimum cost pathJohnson 1.6.3 16. 3 1.1 ................................................... 1.6. 3.1.1.1 • •••••• 1.6. 3.1 1.1.1.. • ••••••••• 1.6 3. 1. 1. 1 1・ 1・ ・・・・1.6 3. 1. 1. 1 1.2 ..........1.6. 3.1.1.2 • •••••• • ••••••••1.6. 3.1 1.2.1..1.6. 3.1 1.2. 2..1. 6. 3.1.1. 31.6. 3.1.2 ............1.6. 3.1.2.1 • •••••• • •••••••••基本算法 Basic algor it hmsFord-Fulkerson method Edmonds-Karp algorithmMinimum length path Maximum capability path 预流推进算法Pref low pushmethod Push-relabelRelabel-to-front Dinic method 扩展模型 Extendedmodels 有上下界的流冋题 1.6. 3. 2.1. 6. 3.2. 2 .......................................... 找负权圏Finding negative circle1. 6. 3.2. 3 .................................... 网络单纯形Network simplex algorithm1. 6. 4 ....................................................................................................... 匹酉己Matching1. 6. 4. 1.二分图Bipartite Graph1. 6. 4.1.1.无权图-匈牙利算法Unweighted - Hopcroft and Karp algorithm1. 6. 4.1.2...带权图-KM 算法Weighted - Kuhn-Munkres(KM) algorithm1. 6. 4.2. 一般图General Graph1. 6. 4.2.1 ............ 无权图-带花树算法Unweighted - Blossom (Edmonds) 1.图论Graph Theory1.1.定义与术语Definition and Glossary1.1.1.图与网络Graph and Network二元组(H,E)称为图(graph) V为结点(node)或顶点(vertex)集。
图论期末总结
图论期末总结一、引言图论是一门研究图和网络结构的数学学科。
图论不仅在数学领域中有着广泛的应用，而且在计算机科学、物理学、化学、生物学等交叉学科中也扮演着重要的角色。
在本学期的图论课程中，我系统地学习了图论的基本概念、算法和应用，对图论的知识有了更深入的理解和认识。
在本文中，我将对本学期学习的图论知识进行总结和归纳。
二、基本概念1. 图的定义与表示：图是由一组顶点和一组边组成的数学模型。
在图中，顶点表示图中的实体，边表示顶点之间的关系。
图可以用邻接矩阵或邻接表来表示。
2. 图的类型：图可以分为有向图和无向图、加权图和非加权图、简单图和多重图等。
有向图的边具有方向性，无向图的边没有方向性。
加权图的边带有权重，非加权图的边没有权重。
简单图没有自环和平行边，多重图可以有自环和平行边。
3. 图的基本术语：顶点的度数是指与该顶点相关联的边的数量。
入度是有向图中指向该顶点的边的数量，出度是有向图中从该顶点发出的边的数量。
路径是由边连接的一系列顶点，路径的长度是指路径上边的数量。
连通图是指从一个顶点到任意其他顶点都存在路径。
三、图的算法1. 图的遍历算法：深度优先搜索（DFS）和广度优先搜索（BFS）是两种常用的图遍历算法。
DFS从一个顶点出发，探索所有可能的路径，直到无法继续深入为止。
BFS从一个顶点开始，逐层探索图中的其他顶点，直到所有顶点都被访问过为止。
2. 最短路径算法：最短路径算法用来计算图中两个顶点之间的最短路径。
迪杰斯特拉算法和弗洛伊德算法是两种常用的最短路径算法。
迪杰斯特拉算法适用于没有负权边的图，通过每次选择到某个顶点的最短路径来逐步扩展最短路径树。
弗洛伊德算法适用于有负权边的图，通过每次更新两个顶点之间的最短路径来逐步求解最短路径。
3. 最小生成树算法：最小生成树算法用于找到连接图中所有顶点的最小代价树。
克鲁斯卡尔算法和普林姆算法是两种常用的最小生成树算法。
克鲁斯卡尔算法通过每次选择代价最小的边来逐步扩展最小生成树。
电子科技大学-图论第二次作业
复杂性分析：在第 k 次循环里，找到点 u0 与 v0，要做如下运算: (a) 找出所 有不邻接点对----需要 n(n-1)/2 次比较运算；(b) 计算不邻接点对度和----需要做 n(n-1)/2-m(G)次加法运算;(c ),选出度和最大的不邻接点对----需要 n(n-1)/2-m(G)次
2) 若 ek 不在 Ck 中，令 Gk-1=Gk-ek, Ck-1=Ck; 否则转 3); 3) 设 ek=u0v0 ∈Ck, 令 Gk-1=Gk-ek; 求 Ck 中两个相邻点 u 与 v 使得 u0,v0,u,v 依序 排列在 Ck 上，且有：uu0,vv0 ∈E(Gk-1),令：
Ck1 Ck u0v0,uvuu0,vv0
如果在
中有 H 圈
如下： Ck1 (u0 , v0 , v1,..., vn2 , u0 )
我们有如下断言： 在Ck1上，vi , vi1, 使得u0vi , v0vi1 E(Gk )
若不然，设
那么在 Gk 中，至少有 r 个顶点与 v0 不邻接，则
≦(n-1)-r < n-r， 这样与 u0，v0 在 Gk 中度和大于等于 n 矛盾！
图的闭包算法：
1) 令 =G ,k=0;
2) 在 中求顶点 与 ,使得：
dGk (u0 ) dGk (v0 ) max dGk (u) dGk (v) uv E(Gk )
3) 如果 此时得到 G 的闭包；
dGk (u0 ) dGk (v0 ) n
则转 4);否则，停止，
4) 令
,
,转 2).
则 是非 Hamilton 图
(2)因为 是具有二分类 的偶图，又因为
，在这里假设
,则有
,也就是说：对于
电子科技大学《图论及其应用》复习总结--第四章欧拉图与哈密尔顿图
电⼦科技⼤学《图论及其应⽤》复习总结--第四章欧拉图与哈密尔顿图第四章欧拉图与哈密尔顿图(⼀)、欧拉图及其性质(1)、问题背景---欧拉与哥尼斯堡七桥问题问题：对于图G，它在什么条件下满⾜从某点出发，经过每条边⼀次且仅⼀次，可以回到出发点？注：⼀笔画----中国古⽼的民间游戏（存在欧拉迹）要求：对于⼀个图G, 笔不离纸, ⼀笔画成.拓展：三笔画：在原图上添加三笔，可使其变为欧拉图。
定义1 对于连通图G，如果G中存在经过每条边的闭迹，则称G为欧拉图，简称G为E图。
欧拉闭迹⼜称为欧拉环游，或欧拉回路。
定理1 下列陈述对于⾮平凡连通图G是等价的：(1) G是欧拉图；(2) G的顶点度数为偶数；(3) G的边集合能划分为圈。
推论1 连通图G是欧拉图当且仅当G的顶点度数为偶。
推论2 连通⾮欧拉图G存在欧拉迹当且仅当G中只有两个顶点度数为奇数。
证明：若G和H是欧拉图，则G×H是欧拉图。
若G是⾮平凡的欧拉图，则G的每个块也是欧拉图。
(⼆)、Fleury算法(欧拉图中求出⼀条具体欧拉环游的⽅法)⽅法是尽可能避割边⾏⾛(三)、中国邮路问题（最优欧拉环游，管梅⾕）定理2 若W是包含图G的每条边⾄少⼀次的闭途径，则W具有最⼩权值当且仅当下列两个条件被满⾜：(1) G的每条边在W中最多重复⼀次；(2) 对于G的每个圈上的边来说，在W中重复的边的总权值不超过该圈⾮重复边总权值。
(四)、哈密尔顿图的概念定义1 ：如果经过图G的每个顶点恰好⼀次后能够回到出发点，称这样的图为哈密尔顿图，简称H图。
所经过的闭途径是G的⼀个⽣成圈，称为G的哈密尔顿圈。
定义2: 如果存在经过G的每个顶点恰好⼀次的路，称该路为G的哈密尔顿路，简称H路。
(五)、哈密尔顿图性质与判定1、性质定理【必要条件】；定理1 (必要条件) 若G为H图，则对V(G)的任⼀⾮空顶点⼦集S，有：w(G−S)≤|S|注：不等式为G是H图的必要条件，即不等式不满⾜时，可断定对应图是⾮H、图。
图论算法总结及图论建模
else if (v in S)
// 如果节点v还在栈内
Low[u] = min(Low[u], DFN[v])
if (DFN[u] == Low[u])
// 如果节点u是强连通分量的根
repeat
v = S.pop
// 将v退栈，为该强连通分量中一个顶点
print v
until (u== v)
}
算法演示
边的分类
一条边(u, v)可以按如下规则分类
• 树边(Tree Edges, T): v通过边(u, v)发现 • 后向边(Back Edges, B): u是v的后代 • 前向边(Forward Edges, F): v是u的后代 • 交叉边(Cross Edges, C): 其他边，可以连接同一个DFS树中没
1. 2. procedure tarjan(u:longint); var p:node; v:longint; begin f[u]:=false;inc(top);stack[top]:=u; instack[u]:=true;p:=head[u]; inc(time);dfn[u]:=time;low[u]:=time; while p^.key<>u do begin v:=p^.key; if f[v] then begin tarjan(v); low[u]:=min(low[u],low[v]);
tarjan(j); if (LOW[j]<LOW[i])
LOW[i]=LOW[j]; } else if (instack[j] && DFN[j]<LOW[i])
LOW[i]=DFN[j]; }
if (DFN[i]==LOW[i]){ Bcnt++; do { j=Stap[Stop--]; instack[j]=false; Belong[j]=Bcnt; } while (j!=i);
西安电子科技大学考研复试科目-离散数学08图论b
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路径和回路
在图G=<V,E>中，从结点vi到vj最短路径的长度称为从vi到vj 的距离，记为d(vi,vj)。若从vi到vj不存在路径，则d(vi,vj)＝ ∞。 在有向图中，d(vi,vj)不一定等于d(vj,vi)。 d(vi,vj)≥0。 d(vi,vi)＝0。 d(vi,vj) + d(vj,vk)≥d(vi,vk)。 －三角不等式
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数 学 离 散
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图论
图的基本概念 路径与回路 图的矩阵表示 二部图 平面图 树和有向树
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图的基本概念
H = G ，显然G = G。
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路径和回路
在有向图中，从顶点v0到顶点vn的一条路径(walk)是图的一 个点边交替序列(v0e1v1e2v2...envn)，其中vi-1和vi分别是边ei 的始点和终点，i=1,2,...,n。在序列中，如果同一条边不出现 两次，则称此路径是简单路径(迹，trail)，如果同一顶点不出 现两次，则称此路径是基本路径（或称为通路，path）。如 果路径的始点v0和终点vn相重合，即v0＝vn，则此路径称为 回路（curcuit），没有相同边的回路称为简单回路（闭迹， closed trail），通过各顶点不超过一次的回路称为基本回路 （圈，cycle）。
3 e2 2 e1 e4 e3 1 4 e5 5 6 e6 e8 e7 8 7
弱分图
图论常考知识点总结
图论常考知识点总结1. 图的基本概念图是由顶点集合和边集合构成的。
顶点之间的连接称为边，边可以有方向也可以没有方向。
若图的边没有方向，则称图为无向图；若图的边有方向，则称图为有向图。
图的表示方式：邻接矩阵和邻接表。
邻接矩阵适合存储稠密图，邻接表适合存储稀疏图。
2. 图的连通性连通图：如果图中任意两点之间都存在路径，则称该图是连通图。
强连通图：有向图中，任意两个顶点之间都存在方向相同的路径，称为强连通图。
弱连通图：有向图中，去掉每条边的方向之后，所得到的无向图是连通图，称为弱连通图。
3. 图的遍历深度优先搜索（DFS）：从起始顶点出发，沿着一条路往前走，走到不能走为止，然后退回到上一个分支点，再走下一条路，直到走遍图中所有的顶点。
广度优先搜索（BFS）：从起始顶点出发，先访问它的所有邻居顶点，再按这些邻居顶点的顺序依次访问它们的邻居顶点，依次类推。
4. 最短路径狄克斯特拉算法：用于计算图中一个顶点到其他所有顶点的最短路径。
弗洛伊德算法：用于计算图中所有顶点之间的最短路径。
5. 最小生成树普里姆算法：用于计算无向图的最小生成树。
克鲁斯卡尔算法：用于计算无向图的最小生成树。
6. 拓扑排序拓扑排序用于有向无环图中对顶点进行排序，使得对每一条有向边(u,v)，满足排序后的顶点u在顶点v之前。
以上就是图论中一些常考的知识点，希望对大家的学习有所帮助。
当然，图论还有很多其他的知识点，比如欧拉图、哈密顿图、网络流等，这些内容都值得我们深入学习和探讨。
图论在实际应用中有着广泛的应用，掌握好图论知识对于提升计算机科学和工程学的技能水平有着重要的意义。
图论-总结
定义1 设(G,V)是一个图，则包含图的所有顶 点和所有边的闭迹称为欧拉闭迹；存在一 条欧拉闭迹的图称为欧拉图。
定理1 图G是欧拉图当且仅当G是连通的且每 个顶点的度都是偶数。
(定理1对多重图也成立)
第六节 哈密顿图
6.1 哈密顿图 定义1 设G是一个图，则图G中包含G的所有顶
点的生成 圈称为哈密顿圈； 具有哈密顿 圈的图称为哈密顿图。 有割点的图一定不是哈密顿图； 有割点的图不一定不是欧拉图（可能是）；
(1) 若Δ(G)=δ(G)=3，则称3-度正则图,也叫做三次 图。
(2) 若Δ(G)=δ(G)=0，则称为零图，即0-度正则图。
(3) 若Δ(G)=δ(G)=p-1，则称为p-1度正则图，即 degv=p-1。
(4) p-1度正则图也称为p个顶点的完全图，记为Kp。 在Kp中，每个顶点与其余各顶点均邻接。
第六章 树和割集
第一节 树及其性质 1.1树和森林 定义1 连通且无回路的无向图称为无向树，简称树。 定义2 没有回路的无向图称为无向森林，简称森林。 1.2 树的特征性质 与无向树等价的几个特征性质 推论1 任一非平凡树中至少有两个度为1的顶点。 推论2任一非平凡树的最长路的两个端点一定是树叶。 推论3 任意非平凡树都是偶图(显然，树中无圈)。 推论4 任意非平凡树都是2-色的。
则 p-q+f=2。 推论1 若G=(p,q)是平面连通图且每个面都是由长为n
的回路围成的，则q=n(p-2)/(n-2) 推论2 设G=(p,q)是一个最大可平面图，则G的每个面
都是三角形，而且q=3p-6。 推论3 若G=(p,q)是一个可平面连通图，而且G的每个
面都是一个长为4的回路围成的，则q=2p-4 推论4 若G=(p,q)是一个连通的平面图，p≥3，则
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路径和回路
最邻近算法 选任意点作为始点，找出一个与始点最近的点，形成一条边 的初始路径，然后用第二步的方法逐步扩充这条路径； 设x表示最新加到这条路径上的点，从不在路径上的所有点 中，选一个与x最邻近的点，把连接x与此点的边加到这条路 径中。重复这一步，直至G中所有顶点包含在路径中。 把始点和最后加入的顶点之间的边放入，就得出一个回路。
A = ∑ A( i )
+ i =1 ∞
而在n个结点的简单有向图中，基本路径长度不超过n-1，基 本回路长度不超过n，因此仅需考察 Bn-1＝A＋A(2)＋ A(3)＋···＋ A(n-1)，i≠j时 Bn＝A＋A(2)＋ A(3)＋···＋ A(n)，i＝j时 此时，bij≠0，i≠j时表示从vi到vj是可达的，i＝j时表示经过vi 的回路存在；bij＝0，i≠j时表示从vi到vj是不可达的，分属于 不同强分图，i＝j时表示经过vi的回路不存在。即bij表明了结 点间的可达性。 西安电子科技大学计算机学院 毛立强
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路径和回路
a 13 b 12 10 14 6 d e 7 9 8 15 c 11
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路径和回路
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路径和回路
|S|＝3，w(G-S)=4，4>3，所以该图不是汉密尔顿图。
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路径和回路
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图论总结(超强大) -标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII1.图论 Graph Theory1.1.定义与术语 Definition and Glossary1.1.1.图与网络 Graph and Network1.1.2.图的术语 Glossary of Graph1.1.3.路径与回路 Path and Cycle1.1.4.连通性 Connectivity1.1.5.图论中特殊的集合 Sets in graph1.1.6.匹配 Matching1.1.7.树 Tree1.1.8.组合优化 Combinatorial optimization1.2.图的表示 Expressions of graph1.2.1.邻接矩阵 Adjacency matrix1.2.2.关联矩阵 Incidence matrix1.2.3.邻接表 Adjacency list1.2.4.弧表 Arc list1.2.5.星形表示 Star1.3.图的遍历 Traveling in graph1.3.1.深度优先搜索 Depth first search (DFS)1.3.1.1.概念1.3.1.2.求无向连通图中的桥 Finding bridges in undirected graph1.3.2.广度优先搜索 Breadth first search (BFS)1.4.拓扑排序 Topological sort1.5.路径与回路 Paths and circuits1.5.1.欧拉路径或回路 Eulerian path1.5.1.1.无向图1.5.1.2.有向图1.5.1.3.混合图1.5.1.4.无权图 Unweighted1.5.1.5.有权图 Weighed —中国邮路问题The Chinese post problem1.5.2.Hamiltonian Cycle 哈氏路径与回路1.5.2.1.无权图 Unweighted1.5.2.2.有权图 Weighed —旅行商问题The travelling salesman problem1.6.网络优化 Network optimization1.6.1.最小生成树 Minimum spanning trees1.6.1.1.基本算法 Basic algorithms1.6.1.1.1.Prim1.6.1.1.2.Kruskal1.6.1.1.3.Sollin（Boruvka）1.6.1.2.扩展模型 Extended models1.6.1.2.1.度限制生成树 Minimum degree-bounded spanning trees1.6.1.2.2.k小生成树 The k minimum spanning tree problem(k-MST)1.6.2.最短路Shortest paths1.6.2.1.单源最短路 Single-source shortest paths1.6.2.1.1.基本算法 Basic algorithms1.6.2.1.1.1...................................................................................................... Dijkstra1.6.2.1.1.2........................................................................................... Bellman-Ford1.6.2.1.1.2.1. ................................... S hortest path faster algorithm(SPFA)1.6.2.1.2.应用Applications1.6.2.1.2.1............................ 差分约束系统 System of difference constraints1.6.2.1.2.2. ...... 有向无环图上的最短路 Shortest paths in DAG1.6.2.2.所有顶点对间最短路 All-pairs shortest paths1.6.2.2.1................................. 基本算法 Basic algorithms1.6.2.2.1.1. ......................................Floyd-Warshall1.6.2.2.1.2. ............................................. Johnson 1.6.3...................................................... 网络流 Flow network1.6.3.1.最大流 Maximum flow1.6.3.1.1................................. 基本算法 Basic algorithms1.6.3.1.1.1. .............................. F ord-Fulkerson method1.6.3.1.1.1.1....................... Edmonds-Karp algorithm1.6.3.1.1.1.1.1.................... Minimum length path1.6.3.1.1.1.1.2............... Maximum capability path1.6.3.1.1.2. ................. 预流推进算法 Preflow push method1.6.3.1.1.2.1................................... Push-relabel1.6.3.1.1.2.2.............................. Relabel-to-front1.6.3.1.1.3. ........................................ Dinic method1.6.3.1.2.................................. 扩展模型 Extended models1.6.3.1.2.1. ................................... 有上下界的流问题1.6.3.2.最小费用流 Minimum cost flow1.6.3.2.1.................. 找最小费用路 Finding minimum cost path1.6.3.2.2......................... 找负权圈 Finding negative circle1.6.3.2.3.....................网络单纯形 Network simplex algorithm1.6.4............................................................. 匹配 Matching1.6.4.1.二分图 Bipartite Graph1.6.4.1.1.无权图-匈牙利算法Unweighted - Hopcroft and Karpalgorithm1.6.4.1.2... 带权图-KM算法 Weighted –Kuhn-Munkres(KM) algorithm1.6.4.2.一般图General Graph1.6.4.2.1....... 无权图-带花树算法 Unweighted - Blossom (Edmonds) 1.图论 Graph Theory1.1.定义与术语 Definition and Glossary1.1.1.图与网络 Graph and Network,V E称为图(graph)。
图论总结(超强大)
1.图论Graph Theory1.1.定义与术语Definition and Glossary1.1.1.图与网络Graph and Network1.1.2.图的术语Glossary of Graph1.1.3.路径与回路Path and Cycle1.1.4.连通性Connectivity1.1.5.图论中特殊的集合Sets in graph1.1.6.匹配Matching1.1.7.树Tree1.1.8.组合优化Combinatorial optimization1.2.图的表示Expressions of graph1.2.1.邻接矩阵Adjacency matrix1.2.2.关联矩阵Incidence matrix1.2.3.邻接表Adjacency list1.2.4.弧表Arc list1.2.5.星形表示Star1.3.图的遍历Traveling in graph1.3.1.深度优先搜索Depth first search (DFS)1.3.1.1.概念1.3.1.2.求无向连通图中的桥Finding bridges in undirected graph1.3.2.广度优先搜索Breadth first search (BFS)1.4.拓扑排序Topological sort1.5.路径与回路Paths and circuits1.5.1.欧拉路径或回路Eulerian path1.5.1.1.无向图1.5.1.2.有向图1.5.1.3.混合图1.5.1.4.无权图Unweighted1.5.1.5.有权图Weighed —中国邮路问题The Chinese post problem1.5.2.Hamiltonian Cycle 哈氏路径与回路1.5.2.1.无权图Unweighted1.5.2.2.有权图Weighed —旅行商问题The travelling salesman problem1.6.网络优化Network optimization1.6.1.最小生成树Minimum spanning trees1.6.1.1.基本算法Basic algorithms1.6.1.1.1.Prim1.6.1.1.2.Kruskal1.6.1.1.3.Sollin（Boruvka）1.6.1.2.扩展模型Extended models1.6.1.2.1.度限制生成树Minimum degree-bounded spanning trees1.6.1.2.2.k小生成树The k minimum spanning tree problem(k-MST)1.6.2.最短路Shortest paths1.6.2.1.单源最短路Single-source shortest paths1.6.2.1.1.基本算法Basic algorithms1.6.2.1.1.1. ..................................................................................................... D ijkstra1.6.2.1.1.2. .......................................................................................... B ellman-Ford1.6.2.1.1.2.1.....................................Shortest path faster algorithm(SPFA)1.6.2.1.2.应用Applications1.6.2.1.2.1. ........................... 差分约束系统System of difference constraints1.6.2.1.2.2. .......................... 有向无环图上的最短路Shortest paths in DAG1.6.2.2.所有顶点对间最短路All-pairs shortest paths1.6.2.2.1.基本算法Basic algorithms1.6.2.2.1.1. ....................................................................................... F loyd-Warshall1.6.2.2.1.2. .................................................................................................... Johnson 1.6.3.网络流Flow network1.6.3.1.最大流Maximum flow1.6.3.1.1.基本算法Basic algorithms1.6.3.1.1.1. ........................................................................ Ford-Fulkerson method1.6.3.1.1.1.1.......................................................... E dmonds-Karp algorithm1.6.3.1.1.1.1.1. ................................................... M inimum length path1.6.3.1.1.1.1.2. ........................................... Maximum capability path1.6.3.1.1.2. ............................................... 预流推进算法Preflow push method1.6.3.1.1.2.1.................................................................................. P ush-relabel1.6.3.1.1.2.2........................................................................... Relabel-to-front1.6.3.1.1.3. .......................................................................................... Dinic method1.6.3.1.2.扩展模型Extended models1.6.3.1.2.1. ............................................................................... 有上下界的流问题1.6.3.2.最小费用流Minimum cost flow1.6.3.2.1.找最小费用路Finding minimum cost path1.6.3.2.2.找负权圈Finding negative circle1.6.3.2.3.网络单纯形Network simplex algorithm1.6.4.匹配Matching1.6.4.1.二分图Bipartite Graph1.6.4.1.1.无权图-匈牙利算法Unweighted - Hopcroft and Karp algorithm1.6.4.1.2.带权图-KM算法Weighted –Kuhn-Munkres(KM) algorithm1.6.4.2.一般图General Graph1.6.4.2.1.无权图-带花树算法Unweighted - Blossom (Edmonds)1.图论Graph Theory1.1. 定义与术语Definition and Glossary1.1.1.图与网络Graph and Network二元组(),V E称为图(graph)。
电子科大研究生图论——第1,2章基本概念,树
精品课件
例
G1
G2
K1,3
四个图均为偶图;
K 3,3
K1,3 , K3,3为完全偶图
精品课件
例
偶图
不是偶图
简单图G 的补图: 设 G =（V, E），则图 H =（V，E1\E） 称为G 的补图，记为 H G , 其中集合
例1 设 V ={v1, v2, v3, v4}，E ={v1v2 , v1v2, v2v3 }，则 G = (V, E) 是一个4阶图。
v1
v4
若用小圆点代
表点，连线代表边
，则可将一个图用
“图形”来表示,
如例精品课件
v3
注: 也可记边 uv 为e ，即 e = uv。
例2 设V = {v1,v2,v3,v4}，E = {e1,e2,e3,e4,e5}，其中 e1= v1v2， e2 = v2v3， e3 = v2v3， e4 = v3v4， e5
2. Hamilton 周游世界问题
1859年 Hamilton 提出这样一个 问题：一个正十二面体有20个顶点，它 们代表世界上20个重要城市。正十二面 体的每个面均为五边形，若两个顶点之 间有边相连，则表示相应的城市之间有 航线相通。 Hamilton 提出 “能否从某 城市出发经过每个城市一次且仅一次然 后返回出发点？”
精品课件
定理5 设有非负整数组Π = (d1, d2,…, dn)，且
n
di 2m
i 1
是一个偶数，n-1≥d1≥d2≥…≥dn， Π是可图的充要条件为
( d 2 1 , d 3 1 , , d d 1 1 1 , d d 1 2 , , d n )
图论知识点总结笔记
图论知识点总结笔记一、图的基本概念1. 图的定义图是由节点（顶点）和连接节点的边构成的一种数据结构。
图可以用来表示各种关系和网络，在计算机科学、通信网络、社交网络等领域有着广泛的应用。
在图论中，通常将图记为G=(V, E)，其中V表示图中所有的节点的集合，E表示图中所有的边的集合。
2. 节点和边节点是图中的基本单位，通常用来表示实体或者对象。
边是节点之间的连接关系，用来表示节点之间的关联性。
根据边的方向，可以将图分为有向图和无向图，有向图的边是有方向的，而无向图的边是没有方向的。
3. 度度是图中节点的一个重要度量指标，表示与该节点相连的边的数量。
对于有向图来说，可以分为入度和出度，入度表示指向该节点的边的数量，出度表示由该节点指向其他节点的边的数量。
4. 路径路径是图中连接节点的顺序序列，根据路径的性质，可以将路径分为简单路径、环路等。
在图论中，一些问题的解决可以归结为寻找合适的路径，如最短路径问题、汉密尔顿路径问题等。
5. 连通性图的连通性是描述图中节点之间是否存在路径连接的一个重要特征。
若图中每一对节点都存在路径连接，则称图是连通的，否则称图是非连通的。
基于图的连通性，可以将图分为连通图和非连通图。
6. 子图子图是由图中一部分节点和边组成的图，通常用来描述图的某个特定属性。
子图可以是原图的结构副本，也可以是原图的子集。
二、图的表示1. 邻接矩阵邻接矩阵是一种常见的图表示方法，通过矩阵来表示节点之间的连接关系。
对于无向图来说，邻接矩阵是对称的，而对于有向图来说，邻接矩阵则不一定对称。
2. 邻接表邻接表是另一种常用的图表示方法，它通过数组和链表的组合来表示图的节点和边。
对于每一个节点，都维护一个邻接点的链表，通过链表来表示节点之间的连接关系。
3. 关联矩阵关联矩阵是另一种图的表示方法，通过矩阵来表示节点和边的关联关系。
关联矩阵可以用来表示有向图和无向图，是一种比较灵活的表示方法。
三、常见的图算法1. 深度优先搜索（DFS）深度优先搜索是一种常见的图遍历算法，通过递归或者栈的方式来遍历图中所有的节点。
电子科技大学《图论及其应用》复习总结--第一章图的基本概念
电⼦科技⼤学《图论及其应⽤》复习总结--第⼀章图的基本概念⼀、重要概念图、简单图、图的同构、度序列与图序列、偶图、补图与⾃补图、两个图的联图、两个图的积图1.1 图⼀个图G定义为⼀个有序对(V, E)，记为G = (V, E)，其中（1）V是⼀个有限⾮空集合，称为顶点集或边集，其元素称为顶点或点；（2）E是由V中的点组成的⽆序点对构成的集合，称为边集，其元素称为边，且同⼀点对在E中可出现多次。
注：图G的顶点数（或阶数）和边数可分别⽤符号n(G) 和m(G)表⽰。
连接两个相同顶点的边的条数，叫做边的重数。
重数⼤于1的边称为重边。
端点重合为⼀点的边称为环。
1.2 简单图⽆环⽆重边的图称为简单图。
（除此之外全部都是复合图）注： 1.顶点集和边集都有限的图称为有限图。
只有⼀个顶点⽽⽆边的图称为平凡图。
其他所有的图都称为⾮平凡图。
边集为空的图称为空图。
2.n阶图：顶点数为n的图，称为n阶图。
3.(n, m) 图：顶点数为n的图，边数为m的图称为(n, m) 图1.3 邻接与关联：顶点u与v相邻接：顶点u与v间有边相连接(u adj v)；其中u与v称为该边的两个端点。
注：1.规定⼀个顶点与⾃⾝是邻接的。
2.顶点u与边e相关联：顶点u是边e的端点。
3.边e1与边e2相邻接：边e1与边e2有公共端点。
1.4 图的同构设有两个图G1=(V1,E1)和G2=(V2,E2),若在其顶点集合间存在双射，使得边之间存在如下关系：u1,v1∈V1,u2,v2∈ V2 ，设u1↔u2，v1↔v2,; u1v1∈E1 当且仅当u2v2∈E2,且u1v1与u2v2的重数相同。
称G1与G2同构，记为：G1≌G2注：1、图同构的两个必要条件： (1) 顶点数相同；(2) 边数相同。
2、⾃⼰空间的理解：通过空间的旋转折叠可以进⾏形态转换1.5 完全图、偶图1、在图论中，完全图是⼀个简单图，且任意⼀个顶点都与其它每个顶点有且只有⼀条边相连接。
西安电子科技大学考研复试科目-离散数学05无限集合b-08图论a
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小结
明确有限集、可数无限集、不可数无限集及其基 数的概念 基数的比较
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作业
• 5-1 （3） • 5-2 （2） （10）
西安电子科技大学计算机学院 毛立强
基数的比较
如果A是无限集，那么s\s0 ≤|A|（ s\s0是最小的无限集基数） 证明：如果A是无限集合, 那么A包含一可数无限子集B。因 为映射f: B→A, f(x)=x, x∈B是从B到A的单射函数, 这得出 |B|≤|A|, 而|B|= s\s0 ，所以s\s0 ≤|A|。 虽然有上述两个结论，但目前为止，还没有人能够证明是否 有一无限集，其基数严格介于s\s0和c之间。于是，假定c是大 于s\s0的最小基数，即不存在任何基数|S|，使s\s0 <|S|< c成立。 （连续统假设） Cantor定理：设M是一个集合，T为M的幂集，则 |M|<|T|。 说明没有最大的基数，没有最大的集合
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lqmao@
基数的比较
例：证明 [ 0 ,1]和 ( 0 ,1)具有相同的基数。 证明：作单射函数： x 1 f : [ 0 ,1] → ( 0 ,1), f ( x ) = + 2 4 g : ( 0 ,1) → [ 0 ,1], g ( x ) = x
说明没有最大的基数没有最大的集合15西安电子科技大学计算机学院毛立强lqmaomailxidianeducn小结?明确有限集可数无限集不可数无限集及其基数的概念?基数的比较16西安电子科技大学计算机学院毛立强lqmaomailxidianeducn作业?513?5221017西安电子科技大学计算机学院毛立强lqmaomailxidianeducn图论?图的基本概念?路径与回路?图的矩阵表示?二部图?平面图?树和有向树18西安电子科技大学计算机学院毛立强lqmaomailxidianeducn图的基本概念?一个图graphg是一个三重组vgegg其中vg是一个非空的结点顶点vertices集合eg是边edge的集合g是从边集e到结点偶对集合上的函数
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第一章：图论基本概念 1.定义
平凡图/非平凡图 简单图/复合图 空图 n 阶图 连通图/非连通图
完全图n K
12
n n n m K
偶图,m n K 完全偶图
,m n m K mn K 正则图
图和补图，自补图 自补图判定方法 定点的度 d v 最小度 最大度 握手定理
2d v m
图的度序列与图序列，图序列判定方法（注意为简单图） 图的频序列 2.图运算
删点/删边 图并/图交/图差/图对称差 图联 积图/合成图111122,u adjv u v u adjv 或 超立方体 3.连通性 途径 迹 路
图G 不连通，其补图连通
一个图是偶图当且仅当它不包含奇圈 4.最短路算法（b t A T ） 5.矩阵描述
邻接矩阵及其性质，图的特征多项式 关联矩阵 6.极图？？
L 补图 完全L 部图 完全L 几乎等部图 托兰定理
第二章：树 1.定义
树：连通的无圈图 森林 树的中心和树的形心？
入<=sqrt(2m(n-1)/n)
生成树 根树 出度 入度 树根 树叶 分支点 m 元根树 完全m 元根树 2.性质
每棵非平凡树至少有两片树叶
图G 是树当且仅当G 中任意两点都被唯一的路连接
T 是(n,m)树，则m = n – 1 具有k 个分支的森林有n-k 条边
每个n 阶连通图边数至少为n-1（树是连通图中边的下界） 每个连通图至少包含
一棵生成树 3.计算 生成树计数 递推计数法： G G e G e
关联矩阵计数法：去一点后，每个非奇异阵对应一棵生成树
最小生成树（边赋权）
避圈法 破圈法
完全m 元树： 11m i t
第三章：图的连通性
1. 割边、割点和块（性质使用反证法） 割边： w G e w G
边e 为割边当且仅当e 不在任何圈中
割点： w G v w G
v 是无环连通图G 的一个顶点，v 是G 的割点当且仅当V(G-e)可以被划分为两个子
集，v 在两个子集内点互连的路上 块：没有割点的连通子图 G 顶点数>=3，G 是块当且仅当G 无环且任意两顶点位于同一圈上
v 是割点当且仅当v 至少属于G 的两个不同的块
2. 连通度
点割 k 顶点割 最小点割（最少用几个点把图割成两份） G 的连通度 G
连通图没顶点割时连通度 1G n ，非连通图 0G
边割 k 边割 最小边割（最少用几条边把图割成两份） G 的边连通度 G
递推到无圈，自环不算圈
性质： 任意图G 有 G G G
G 是(n,m)连通图， 2m G n
G 是(n,m)单图，若 2n G
，则G 必定连通 G 是(n,m)单图，对应k n ，若 2
2
n k G
，则G 是k 连通
G 是(n,m)单图，若 2
n G
，则 G G
敏格尔定理： G 中分离不相邻x,y 的最小点数等于独立的x,y 路最大数目
G 中分离x,y 的最小边数等于边不重x,y 路最大数目
第四章 E 图与H 图 一、 E 图（走完所有边） 1. 定义，性质与判定
E 图（欧拉环游）与E 迹，走完所有边回到出发点与不回到出发点
E 图性质与判定：E 图 G 的顶点度数为偶数度 G 的边集合能划分为圈 E 迹性质与判定：E 迹 G 中只有两个顶点度为奇数 2. 求解路径算法 找欧拉环游：
都是偶数度点：Fleury 算法（避割边行走）
两奇数点欧拉环游：奇数点补充最短路后得到欧拉环游
多奇数点欧拉环游：补充偶数度并不断交换 （中国邮路问题算法） 二、 H 图（走完所有点） 1. 定义与性质
H 图（H 圈）与H 路：走完所有点回到出发点与不回到出发点 G 图是H 图 w G S S 2. H 图判定
3n 的单图G ，如果 2
n
G
G 是H 图
3n 的单图G ，任意不相邻u,v 有 d u d v n G 是H 图
图G 的闭包是H 图 G 是H 图 度序列判定法：
123n d d d d ，3n ，若对任意的2
n
m
，有m d m 或n m d n m ，则G 是H 图
123n d d d d ，3n ，若对任意的2
n
m
，有m d m 且n m d n m ，则G 是非H 图 2. 极大非哈密尔顿图
定义：如果图G 的度大于等于其他非H 图，则称G 为极大非H 图（非H 图的度上限）
,m n C 图： ,2m n m m n m C K K K
,m n C 图是非H 图
G 是非H 图 G 度弱于某个,m n C 图（证） N 阶单图G 度优于所有,m n C 图 G 为H 图 彼得森图是超H 图
4. TSP 问题（边赋权近似最优H 圈求解）
最优H 图下界：去点求最小生成树，选最小关联边12e e ， 11w T w e w e
第五章 图的匹配与因子分解 1.边匹配
定义： 匹配 饱和点/非饱和点 最大匹配/完美匹配 M 交错路/M 可扩路 贝尔热定理：G 的匹配M 是最大匹配，当且仅当G 不包含M 可扩路（反证） 2.偶图匹配
Hall 定理（偶图匹配存在性定理，完美匹配）： N S S 推论：k 正则偶图G 存在完美匹配（证） 匹配算法： 匈牙利算法
最优匹配算法
3.点覆盖
边匹配数等于点覆盖数时匹配为最大匹配覆盖为最小覆盖 哥尼定理：偶图中最大匹配边数等于最小覆盖点数（用） 4.托特定理
一般图G 有完美匹配当且仅当 G S S
推论：没有割边的3正则图存在完美匹配（充分条件）（证） 5.因子分解
因子分解，n 度正则因子 一因子分解：
2n K 可一因子分解
具有H 圈的三正则图可一因子分解 若三正则图有割边，则它不能一因子分解 二因子分解： G 的一个H 圈肯定是一个二因子，但二因子不一定是H 圈（二因子可以不连通）
21n K 可2因子分解
2n K 可分解为一个1因子和n-1个2因子之和。
第六章 平面图 1.概念 平面图 图G 的面
面的边界边数 deg f 2.公式
deg 2f m
2n m 或1n m k
21
l
m n l
或36m n 3.证明
判非可平面图：用36m n 或含5K 或含3,3K 判可平面图：不含与5K 和3,3K 同胚的子图
第七章：图的着色
一、边着色（边集合划分，解决配对问题）
1.偶图的边色数
2.一般图（单图）的边色数 G 或 1G
3.三类特殊简单图边色数： G 是单图，G 中只有一个最大度或有两个最大度相邻，则 G
G ，若21n k 且m k ，则 1G
G 奇数阶 正则单图，则 1G
二、点着色（点集合划分，解决冲突问题） 1. 任意图G ，1 点着色算法（兀{}，C{}, C-C{}） 2. G 是简单连通图，既不含奇圈也不是完全图，则 3. G 是非空简单图，则21 4. G 中最大度点互不邻接，则 三、色多项式 1.递推计数法
k k k P G P G e P G e
2.理想子图计数法
,m h G x h H x 1
,n
i i i h H x r x
i i r N G 11i x k k k i
第九章：有向图 1.定义
有向图，平行边
出度 d v ，入度 d v 有向图的邻接矩阵和关联矩阵 弱连通 单向连通 强连通
解决图的分配问题：排课表等偶图边划分解决冲突问题：时间冲突
单向连通分支，强连通分支 2.公式
d v d v d v
d v d v m D。