CH174泰勒公式与极值问题

求 2z
y x
yx
解:
z y
x
f1
x y2
f
2
1 x
g
2z yx
f1
x[y
f11
1 y
f12]
1 y2
f2
x y2
[
yf21
1 y
f 22
]
1 x2
g
y x3
g
f1 x y
f11
1 y2
f2
x y3
f22
1 x2
g
y x3
g
11
注意: 熟记常用导数符号.
设 z f (u,v) u (x, y) v (x, y)
w x
f2 yz
x y zx y z
y z f2 (x y z, xyz)
2w xz
f12 xy
f22 x y
为简便 起f11见
,y引(x入 z记) f号12
f1xy
2zf u
f,22f12yf2u2fv
,
10
例4: 已知 Z f (x y, x ) g y 其中 f , g 二阶连续可导
0) x
f y (0, 0)
lim
x0
x x
1
不 等
5
例2. 证明函数
满足拉普拉斯
方程
u
2u x2
2u y2
2u z2
0
证：
r2
2u x2
1 r3
3 r
x
4
r x
1 r3
3x2 r5
利用对称性
,
有
2u y2
1 r3
3 y2 r5
,
2u z2
1 r3
3z2 r5
2u x2
2u y2
2u z2
m
Cmp
p0
h
pk
m
p
x
m f p ym
p
(x0 ,
y0 )
14
定理1. 设 z f (x, y) 在点(x0, y0 ) 的某一邻域内有直
到 n + 1 阶连续偏导数 , (x0 h, y0 k) 为此邻域内任
一点, 则有
f
(x0
h,
y0
k)
f
( x0 ,
y0
)
(h
x
k
y
)
f
(x0 ,
4ex2y
3z yx2
x
(
2z ) y x
2ex2y
注意:此处 2 z 2 z , 但这一结论并不总成立. xy yx
4
例如, f (x, y)
xy
x2 x2
y2 y2
,
0,
x2 y2 0 x2 y2 0
fx (x, y)
y
x4
4x2y2 (x2 y2)2
y4
,
0,
则
(0) f (x0, y0 ), (1) f (x0 h, y0 k)
利用多元复合函数求导法则可得:
(t) h f x (x0 ht , y0 kt) k f y (x0 ht , y0 kt)
(0)
(h
x
y0 )
1 2!
(h
x
k
y
)2
f
(x0 ,
y0 )
1 n!
(h
x
k
y
)n
f
(x0 ,
y0 )
Rn
①
其中
Rn
1 (n1)!
(h
x
k
y
)n1
f
( x0
h,
y0
k)
②
(0 1)
① 称为f 在点(x0 , y0 )的 n 阶泰勒公式, ②称为其拉格
朗日型余项 .
15
证: 令 (t) f (x0 th, y0 tk) (0 t 1),
3 r3
Байду номын сангаас
3(
x2
y2 r5
z2
)
0
6
定理. 若 f xy (x,y)和 f y x (x,y) 都在点(x0 , y0 )连续, 则 f x y (x0 , y0 ) f y x (x0 , y0 )
本定理对 n 元函数的高阶混合导数也成立. 例如, 对三元函数 u = f (x , y , z) , 当三阶混合偏导数 在点 (x , y , z) 连续时, 有
x2 y2 0 x2 y2 0
f y (x, y)
x
x4
4x2y2 (x2 y2)2
y4
,
0,
x2 y2 0 x2 y2 0
f xy (0,0)
lim
y 0
f x (0,
y) y
f x (0, 0)
lim
y 0
y y
1
二 者
f yx (0,0)
lim
x0
f y (x,
z = f (x , y) 关于 x 的 n –1 阶偏导数 , 再关于 y 的一阶
偏导数为
( y
)
nz xn1 y
3
例1. 求函数
z ex2y
的二阶偏导数及
3z y x 2
.
解 : z ex2y
z 2ex2y
x
y
2z x2
ex2y
2z 2ex2y x y
2z 2ex2y yx
2 z y2
y0 )
表示 h
f x (x0 ,
y0 ) k
f y (x0 ,
y0 )
•
(h
x
k
)2 y
f
(x0 ,
y0 ) 表示
h2 f xx (x0 , y0 ) 2hk f x y (x0 , y0 ) k 2 f y y (x0 , y0 )
•
一般地,
(h
x
k
)m y
f
(x0 ,
y0 )
表示
数:
(z) x x
2z x2
f xx (x, y);
(z) y x
2z x y
fx y (x, y)
(z) 2z x y yx
f yx (x, y);
y
(z y
)
2z y2
f y y (x, y)
2
类似可以定义更高阶的偏导数. 例如，z = f (x , y) 关于 x 的三阶偏导数为
说明: 因为初等函数的偏导数仍为初等函数 , 而初等 函数在其定义区域内是连续的 , 故求初等函数的高阶导 数可以选择方便的求导顺序.
7
例3. 设
f 具有二阶连续偏导数,
求 w, 2w .
x x z
w , f1 , f2
解: 令 u x y z , v xyz , 则
uv
w f (u, v)
第4节
第17章
泰勒公式与极值问题
一、高阶偏导数 二、中值定理与泰勒公式 三、极值问题
1
一、高阶偏导数
设 z = f (x , y)在域 D 内存在连续的偏导数
z x
fx (x, y) ,
z y
f y (x, y)
若这两个偏导数仍存在偏导数，则称它们是z = f ( x , y )
的二阶偏导数 . 按求导顺序不同, 有下列四个二阶偏导
在计算时注意合并同类项! 12
二、中值定理与泰勒公式
一元函数 f (x) 的泰勒公式:
f
( x0
h)
f
(x0 )
f
(x0 )h
f (x0 ) h2 2!
f (n) (x0 ) hn n!
推广
(0 1)
多元函数泰勒公式
13
记号 (设下面涉及的偏导数连续):
•
(h x
k
)f y
(x0 ,
z u
fu (u, v)
fu
f1
z v
fv (u, v)
fv
f2
2z u2
fuu (u, v)
fuu
f11
2z v2
fvv (u, v)
fvv
f 22
2z uv
fuv (u, v)
fuv
f12
2z vu
fvu (u, v)
fvu f21
称为混合偏导数
当 f12 和 f21 均连续时有 f12 f21