一些常用函数及其泰勒(Taylor)展开式的图像
泰勒展开.ppt
>>f=sym('exp(-x)'); >>f1=taylor(f,4) >>f2=taylor(f,5) >>f3=taylor(f) >>x=0.1; >>ff=[f f1 f2 f3]; >>yy=eval(ff) >>e=yy([2 3 4])-yy(1) >>ezplot(f1,[-6,5]) >>text(-5,40,'f1') >>hold on
[例4] 求函数
y 2x3 9x2 12x 3
的极值。 >>y1='2*x^3-9*x^2+12*x-3'; >>ezplot(y1,[0,4]) >>[xmin,ymin]=fminbnd(y1,1.5,2.5) >>y2='-2*x^3+9*x^2-12*x+3'; >>[xmax,y]=fminbnd(y2,0.5,1.5)
>>ezplot(y,[-2*pi,4*pi]) >>text(3,0,'cos(x)') >>axis([-2*pi,4*pi,-2,2]) >>hold off f1 =
1-1/2*x^2 f2 =
cos(10)-sin(10)*(x-10)-1/2*cos(10)* (x-10)^2+1/6*sin(10)*(x-10)^3
对默认变量在x0点 展开n项
taylor(f,t,n, x0 )
对指定变量 t 在 x0 点展开n 项
常见函数泰勒公式展开式大全
常见函数泰勒公式展开式大全泰勒公式是数学分析中的重要工具，用于将一个函数在某个点的局部行为用多项式来近似表示。
它的形式如下：设函数f(x)在点x=a处n阶可导，那么对于x在a附近的数值，f(x)可以展开为泰勒公式：f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)²/2! + f'''(a)(x-a)³/3! + ... +fⁿ(a)(x-a)ⁿ/n!其中f(a)表示函数在点x=a处的函数值，f'(a)表示函数在点x=a处的一阶导数值，f''(a)表示函数在点x=a处的二阶导数值，以此类推。
n!表示n的阶乘。
泰勒公式的一个重要应用是计算函数的近似值，当x离a越近，展开式的高阶项对应的值就越小，因此可以用前面几项来近似表示函数的值。
泰勒公式也是微积分中很多重要定理的基础，如拉格朗日中值定理、柯西中值定理等。
下面是一些常见函数的泰勒展开式：1. 指数函数e^x的泰勒展开：e^x = 1 + x + x²/2! + x³/3! + x⁴/4! + ...2. 正弦函数sin(x)的泰勒展开：sin(x) = x - x³/3! + x⁵/5! - x⁷/7! + ...3. 余弦函数cos(x)的泰勒展开：cos(x) = 1 - x²/2! + x⁴/4! - x⁶/6! + ...4. 自然对数函数ln(1+x)的泰勒展开：ln(1+x) = x - x²/2 + x³/3 - x⁴/4 + ...5. 反正切函数arctan(x)的泰勒展开：arctan(x) = x - x³/3 + x⁵/5 - x⁷/7 + ...通过使用泰勒公式展开式，我们可以将复杂的函数转化为多项式进行分析，从而得到函数在某一点附近的近似值和行为趋势。
常见函数的泰勒展开式
常见函数的泰勒展开式泰勒展开式是一种将函数表示为无穷级数的方法，通过这种展开式可以在某一点附近用多项式近似表示函数的值。
在数学和物理的各个领域中，泰勒展开式常被用于分析函数的性质和计算函数的值。
本文将介绍几种常见函数的泰勒展开式，并探讨其应用。
一、指数函数的泰勒展开式指数函数的泰勒展开式在数学和物理中广泛应用。
对于指数函数e^x，在x=0的附近进行泰勒展开得到：e^x = 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + ...其中，x^n/n!表示x的n次幂除以n的阶乘。
这个展开式在x趋近于0时收敛到e^x，而对于其他x值，则通过不断递增幂次的加法运算来逼近e^x。
二、三角函数的泰勒展开式三角函数在物理、工程和数学中经常出现，其泰勒展开式用于计算和研究各种波动现象。
例如，正弦函数sin(x)的泰勒展开式为：sin(x) = x - x^3/3! + x^5/5! - x^7/7! + ...而余弦函数cos(x)的泰勒展开式为：cos(x) = 1 - x^2/2! + x^4/4! - x^6/6! + ...这些展开式可以用于计算任意角度的正弦和余弦值，通过不断递增幂次的加减运算来逼近精确值。
三、自然对数函数的泰勒展开式自然对数函数ln(x)也有其泰勒展开式。
对于x>0的情况，ln(x)的泰勒展开式为：ln(x) = (x-1) - (x-1)^2/2 + (x-1)^3/3 - (x-1)^4/4 + ...这个展开式可以用于近似计算ln(x)的值，通过不断递增幂次的加减运算来逼近精确值。
四、常见函数的应用示例泰勒展开式在实际问题中有广泛的应用。
以物理学中的简谐振动为例，假设振动的位移与时间的关系为sin(t)，根据泰勒展开式，我们可以将其展开为：sin(t) = t - t^3/3! + t^5/5! - t^7/7! + ...通过截断到一定的项数，我们可以使用泰勒展开式来计算各个时间点上的振幅，从而研究振动的特性。
泰勒级数课件
e , 例如 f ( x ) 0,
1 x2
x0 x0
(n)
在x=0点任意可导, 且 f
(0) 0 ( n 0,1,2,)
f ( x )的麦氏级数为 0 x n
n 0
该级数在(,)内和函数s( x ) 0. 可见
除 x 0 外, f ( x ) 的麦氏级数处处不收敛 f ( x ). 于
例5 将函数
1 (1) n x n ( 1 x 1 ) 解: f ( x) 1 x n 0 从 0 到 x 积分, 得 x (1) n n 1 ln(1 x) (1) n x n d x x , 1 x 1 1 x 1 n 0 n 0 n 1 0
如果函数 f ( x )
a n ( x x0 ) n ， 即
n 0
f ( x ) a0 a1 ( x x0 ) a n ( x x0 )
n
易得a0 f ( x0 ),
逐项求导任意次,得
f ( x ) a1 2a 2 ( x x0 ) na n ( x x0 ) n1
令 S n 1 ( x)
k 0
n
f
(k )
( x0 ) ( x x0 ) k k!
f ( x) S n 1 ( x) Rn ( x)
n
lim Rn ( x) lim f ( x) S n 1 ( x) 0 ,
n
x ( x0 )
二、函数展开成幂级数
x
例8 将
展成
的幂级数.
解: sin x sin ( x ) 4 4
高中数学(人教版)泰勒公式课件PPT课件演示文稿
第22页，共27页。
例1 计算无理数 的近似值,使其误差不超过
例2 在区间
上用近似公式
计算Байду номын сангаас
当用下列各式计算时,欲使误差小于0.001，
A可取多大？ (1)
y
x
x3 3!
4 yx
2
y
x
x3 3!
x5 5!
(2)
6 4 2 024 6
(3)
2
4
第23页，共27页。
三、泰勒公式的应用
(一) 近似计算
(二) 求极限 (三) 其它应用
x0 )n2
用 洛 必 达
Rn( x0 ) 0
lim
R(n1) n
(
x)
xx0 n!( x x0 )
法
则
R(n1) n
(
x0
)
0
1 lim
n! x x0
R(n1) n
(
x)
R(n1) n
(
x0
)
x x0
1 n!
R(n) n
(
x0
)
0
第7页，共27页。
➢ 泰勒(Taylor)中值定理1
如果函数
(1在x0与x 之间)
用 柯
Rn (1 ) Rn ( x0 ) (n 1)(1 x0 )n 0
(n
Rn(2 ) 1)n(2
x0
)n1
西 中 值
( 2在x0与1之间)
定 理
R(n) n
(n
)
Rn( n )
(
x0
)
(n 1)2(n x0 ) 0
R(n1) n
(
)
(n 1) !
泰勒公式ppt课件
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泰勒(Taylor)中值定理 如果函数 f ( x) 在含有 x0 的某个开区间(a, b) 内具有直到(n 1) 阶的导数,则
当 x在(a,b)内时, f ( x)可以表示为( x x0 )的一个 n次多项式与一个余项 Rn ( x)之和:
f (x)
f (x0)
f ( x0 )( x x0 )
2! 4!
(2m) !
(1)m1 cos( x)
x2m2
(0 1)
(2m 2) !
又 cos2 x 1 1 cos 2x,
22
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所以 cos2 x 1 1 1 1 2x2 1 2x4
2 2 2!
4!
1m
1 2m
!
2
x
2
m
1 2m
2!
2
x
2m2
所以 f 0 f ' 0 f '' 0 f n 0 1.
高等数学3(6)泰勒公式课件
)
(
x
x00
)n
f (n1) ( )
(n 1)!
(
x
x00
)n1
n阶泰勒公式 (在x0与x之间).
(5)在泰勒公式中, 若x0 0, 则介于0, x之间,故
可表为 x (0 1),这时的泰勒公式,即
按x的幂(在零点)展开的泰勒公式称为: 麦克劳林(Maclaurin,C.(英)1698-1746)公式
f (n1) ( )
(n 1)!
得
Rn ( x)
(x)
Rn(n) (n ) (n) (n )
R(n) n
(
n
(n) (n
) )
R(n) n
(
x0
)
(n)( x0 )
R(n1) n
(
)
(n1) ( )
(在x0与 n之间也在x0与x之间)
注意到
R ( n 1) n
(
x)
f
(n1) (x), (n1) (x) (n 1)!
注意:
Pn(k )( x0 ) f (k )( x0 )
11
泰勒公式
下面给出带皮亚诺(Peano)余项的泰勒公式. 定理1 (带皮亚诺(Peano)余项的泰勒公式) 设
1函数f (x)在x0点的某个邻域O x0 内有定义;
2 在此邻域内f (x)有直到n 1阶导数;
3 f n (x0)存在. 称为f ( x)按( x x0 )的幂展开的
应用
理论分析 近似计算
特点(1)易计算函数值;
(2)导数与积分仍为多项式;
(3)多项式由它的系数完全确定, 而其系数
又由它在一点的函数值及导数值确定.
用怎样的多项式去逼近给定的函数
函数展开成幂级数泰勒公式
解 f ( x) sin x cos 2x 1[sin 3x sin x]
2 sin x x 1 x3 1 x5 (1)n
x 2n1
3! 5!
(2n 1)!
1 ( 1)n (3 x)2n1 1 ( 1)n x2n1
2
2
f (2n) (0) 0, f (2n1) (0) (1)n , (n 0,1,2,)
且 f (n) ( x) sin( x n) 1 x (,)
2
sin x x 1 x3 1 x5 (1)n x2n1
3! 5!
(2n 1)!
4 2x 在 x 2 展开成 幂级数
经济数学
三、小结
1.如何求函数的泰勒级数; 2.泰勒级数收敛于函数的条件; 3.函数展开成泰勒级数的方法.
经济数学
思考题
什么叫幂级数的间接展开法？
经济数学
思考题解答
从已知的展开式出发, 通过变量代换、四则运 算或逐项求导、逐项积分等办法,求出给定函数 展开式的方法称之.
解:
x2
1 4x
3
(x
1 1)( x
3)
x1
x1
2
4
1 (1)n (x 1)n
4 n0
2n
( x 1 2)
(1)n
n0
1 2n2
1 22n3
(x 1)n
(1 x 3 )
经济数学
思考： sin x 展开成 x 的幂级数
二、泰勒级数
上节例题 (1)n1 xn ln(1 x) (1 x 1)
泰勒展开.ppt
解：（1）梯长
l (x a)2 b 2 (1 a )2 a l
x
b
a 8,b 27
x
>>L='sqrt((x+8)^+2+27^2*(1+8/x)^2)';
>>ezplot(L,10,60)
>>[xmin,Lmin]=fminbnd(l,15,20)
xmin = 18.0000
[例2] 分别求函数
y 1 u 1 x
在 x 0 和 u 0 处的泰勒展开式的前
3 项。
>>syms x u; >>taylor((1/(1+x))^u,x,3,0) ans =
1-u*x+(u+1/2*u*(u-1))*x^2 >>taylor((1/(1+x))^u,u,3,0) ans =
f1 = 1-x+1/2*x^2-1/6*x^3
f2 = 1-x+1/2*x^2-1/6*x^3+1/24*x^4
f3 = 1-x+1/2*x^2-1/6*x^3 +1/24*x^4-1/120*x^5
yy = 0.9048 0.9048 0.9048 0.9048
e= 1.0e-005 * -0.4085 0.0082 -0.0001
（3）计算 sin 0.5 的近似值，并比较误差。
3、求函数
y 2x 的极值。 1 x2
二、应用型实验
1、一幢楼房的后墙紧靠一个温室，温室宽 a 2m, 高 b 3m, 现用一梯子越过温室，一头
放在地平面，一头靠在楼房墙上，问梯子的
高中数学(人教版)泰勒公式课件
1) 已知x 和误差限 , 确定近似公式的项数n ;
2) 已知近似公式的项数n和x , 计算近似值并估计误差; 3) 已知近似公式的项数n 和误差限 , 确定公式中x 的适用范围.
例1 计算无理数 的近似值,使其误差不超过
例2 在区间 上用近似公式
计算
当用下列各式计算时,欲使误差小于0.001，
拉格朗日中值定理 f ( x ) f ( x0 ) f ( )( x x0 )
余项Rn(x)的确定
(k ) (k ) Rn ( x 0 ) pn ( x0 ) f ( k ) ( x0 ) 0 ( k 0,1,2, , n)
( 1 ) Rn ( x ) Rn Rn ( x ) Rn ( x0 ) 多 n n1 n1 次 ( n 1 )( x ) ( x x ) ( x x0 ) 0 1 0 0 使 用 在x0与x 之间) ( 1 柯 ( 2 ) ( 1 ) Rn ( x0 ) 西 Rn Rn 中 n 1 n ( n 1)( 1 x0 ) 0 ( n 1)n( 2 x0 ) 值 定 在x0与 1之间) ( 2 理 (n) (n) ( n1) Rn ( n ) Rn ( x0 ) Rn ( ) f ( n 1) ( ) ( n 1) 2( n x0 ) 0 ( n 1) ! ( n 1) ! ( 在x0与 xn之间)
A可取多大？
(1)
y x
6
x3 3!
4 2 2 2 4 0
yx
3 5 x x y x 3! 5!
(2)
(3)
4
2
4
6
三、泰勒公式的应用
解析函数的Taylor展式PPT课件
2! 4!
(2n)!
( z )
6) ln(1 z) z z2 z3 (1)n zn1 ,
23
n1
(1)n zn1
n0
n1
( z 1)
7)(1 z) 1 z ( 1) z2 ( 1)( 2) z3
2!
3!
( 1)( n 1) zn , ( z 1)
第2页/共33页
当 时,
za
za
1;
1
un
1 u n0
a
u 1
故
1
1 za
n0
(z
a a
)n
,
在上关于
一致收敛,
a
以
上有界函数
f
( )
a
乘上式两边得,
f
( )
z
n0
(
f ( )
a)n1
(z
a)n ,
在上关于 仍一致收敛,
故由定理4.7,
上式两边沿
积分,
并乘以
1
2
i
得
第3页/共33页
1
f (z) 2i
f ( ) d z
1
n0 2 i
(
f ( )
a)n1
d
(
z
a)n
cn (z a)n
n0
n0
f (n) (a) (z a)n; n!
由z的任意性，定理前半部分得证。
下证唯一性,设另有展式
f (z) cn' (z a)n, z K : z a R,
n0
由定理4.13知
cn'
1 n!
f
(n) (a)
cn;
故展式唯一.