2015年高考广东文科数学试题 及答案(word解析版)

代这三个个边界点进行检验，易
知当，时，取得最大值5．本题也可以通过平移直线，
当直线经过时，截距达到最大，即取得最大值5，故选
C．
（5）【2015年广东，文5，5分】设的内角，，的对边分别为，，．
若，，，且，则（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
【答案】B
【解析】由余弦定理得：，所以，即，解得或．因为，所以，故选B．
2015年普通高等学校招生全国统一考
试（广东卷）
数学（文科）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出
的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
（1）【2015年广东，文1，5分】若集合，，则（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
【答案】C
【解析】，故选C．
（2）【2015年广东，文2】已知是虚数单位，则复数（ ）
，用表示集合中的元素个数，则（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
【答案】D
【解析】对于，当，可以从0,1,2,3这四个数任取一个，因而有；当，可以
从0,1,2这三个数任取一个，因而有；当，可以从0,1这两个数任取
一个，因而有；当，，，，只有一种，故 ；对于，先处理前面两
个，当，可以从0,1,2,3这四个数任取一个，有4种；当，可以从 0,1,2这3个数任取3个；当，可以从0,1，这四个数任取2个；当，
（18）【2015年广东，文18，14分】如图，三角形所在的平面与长方形所 在的平面垂直，，，．
（1）证明：平面；
（2）证明：； （3）求点到平面的距离．
解：（1）因为四边形为矩形，所以．因为平面， （2）取的中点为，连接，因为，所以．又平面平面，平面
平面，平面，所以平面，因为平面，所以． 又，所以平面，因为平面，所以． （3）因为平面，即到平面的距离为，． 因为，，所以，所以， 设点到平面的距离为，由得， 即到平面的距离为为． （19）【2015年广东，文19，14分】设数列的前项和为，．已知，，， 且当时，． （1）求的值；
（6）【2015年广东，文6，5分】若直线和是异面直线，在平面内，在平
面内，是平面与平面的交线，则下列命题正确的是（ ）
（A）至少与，中的一条相交
（B）与，都相交
（C）至多与，中的一条相交 （D）与，都不相交
【答案】A
【解析】以正方体为模型，易知至少与，中的一条相交，故选A．
（7）【2015年广东，文7，5分】已知件产品中有件次品，其余为合格
点． 综上，当时，有一个零点；当，与有两个零点．
（2）求线段的中点的轨迹的方程；
（3）是否存在实数，使得直线与曲线只有一个交点？若存在，求出 值范围；若不
存在，说明理由． 解：（1）由题意知：圆方程为：，∴圆的圆心坐标为．
（2）由图可知，令，， ，，， ∵直线与圆交于、两点，∴直线与圆的距离：
，， 轨迹的方程为：． （3）∵直线：与曲线仅有1个交点， 联立方程：
量在 的用户中应抽取多少户？
解：（1）由题意得：，解得． （2）由频率分布直方图可知众数为，设中位数为，则有 ，解得， 所以月平均用电量的中位 数为224．
（3）月平均用电量为的频率为，月平均用电量为的频率 为 ，月平均用电量为的频率为，月平均用电量 为的 频率为，设月平均用电量在的用户中应抽取 户,则 ，解得所以用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量 在 的用户中应抽取5户．
过作圆的切线，切点为，过作直线的垂线，垂足
为．若，，则 ．
【答案】8 【解析】因为是圆的切线方程，所以,所以，解得 或（舍去）．连接，则，由，得，所以， 所以，故． 三、解答题：本大题共6题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程 或演算步骤．
（16）【2015年广东，文16，12分】已知．
（1）求的值；
品．现从这件产品中任取件，恰有一件次品的概率为（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
【答案】B 【解析】采用列举法，记件产品中分别为，其中为分别对应2件次品， 从5件产品中任取2件有
基本事件共10个，恰有一件次品的含有基本事件共6个，故恰 有一件次品的概率概率为，故选B． （8）【2015年广东，文8，5分】已知椭圆的左焦点为，则（ ）
（2）求的值． 解：（1）因为，所以．
（2） ．
（17）【2015年广东，文17，12分】某城市户 居民的月平均用电量（单位：
度），以，，，，，， 分组的频率分布直方图如图． （1）求直方图中的值；
（2）求月平均用电量的众数和中位
数； （3）在月平均用电量为，，，的 四组用户中，用分层抽样的方法抽取户居民，则月平均用电
选A．
（4）【2015年广东，文4，5分】若变量，满足约束条
件，则的最大值为（ ）
（A）
（B） （C） （D）
【答案】C
【解析】在平面直角坐标系中画图，作出可行
域，可得该可行域是由，，
组成的三角形．由于该区域是封闭的，可以通过分别
只有一种，故前面两个的可能结果有4+3+2+1=10种，同理可得后 面有10种，故． 二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20 分． （一）必做题（11~13） （11）【2015年广东，文11，5分】不等式的解集为 ． 【答案】 【解析】由得，即，所以，即的解集为
． （12）【2015年广东，文12，5分】已知样本数据，，，的均值，则样本
得：，在区间有且仅有1个解． 当时，，此时，，仅有一个交点，符合题意． 当时，令，则有： 解得： ，∴的取值范围为：或．
（21）【2015年广东，文21，14分】设为实数，函数． （1）若，求的取值范围；
（2）讨论的单调性； （3）当时，讨论在区间内的零点个数．
解：（1），因为，所以．当时，，显然成立；当， 则有，所以．所以．综上所述，的取值范围．
（A） （B）
（C）
（D）
【答案】C 【解析】由题意得，，故．因为，故，故选C． （9）【2015年广东，文9，5分】在平面直角坐标系中，已知四边形是平
行四边形，，，
则（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
【答案】D
【解析】由平行四边形法则，得，所以，故选D．
（10）【2015年广东，文10，5分】若集合，
（2），对于，其对称轴为，开口向上， 所以在单增；对于，其对称轴为，开口向上， 所以在单减．综上，在单增，在单减．
（3）由（2）得在单增，在单减，所以． （i）当时，，，令，即． 因为在单减，所以，而在单增，， 所以与在无交点． 当时，，即，所以，所以， 因为，所以，即当时，有一个零
点． （ii）当时，，当时，， ，而在单增，当时，． 下面比较与的大小 因为， 所以． 结合图像不难得当，与有两个交
（2）证明：为等比数列；
（3）求数列的通项公式． 解：（1）当时，，所以，
即． （2）因为，所以
所以，所以， 即，所以 当时，，所以，满足式，所以 所以，所以是以，公比为的等比数列． （3）由（2）得，两边同乘以，可得， 所以是以，公差为4的等差数列．所以， 所以． （20）【2015年广东，文20，14分】已知过原点的动直线与圆相交于不同 的两点，． （1）求圆的圆心坐标；
平面直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标 系．曲线的极坐标方程为，曲线的参数方程为（为参数），则与交
点的直角坐标为 ．
【答案】 【解析】由得，由得，所以，联立 解得，所以与交点的直角坐标为为．
（15）【2015年广东，文15，5分】（几何证明选讲选 做题）如图，为圆的直径，为的延长线上一点，
数据，，，的均值为 ．
【答案】11 【解析】由题意有，所以，所以
． （13）【2015年广东，文13，5分】若三个正数，，成等比数列，其
中，，则 ．
【答案】 【解析】因为正数，，成等比数列，所以，所以． （二）选做题（14-15题，考生只能从中选做一题）
（14）【2015年广东，文14，5分】（坐标系与参数方程选做题）在
（A）-2
（B）2
（C）
（D）
【答案】D
【解析】，故选D．
（3）【2015年广东，文3，5分】下列函数中，既不是奇函数，也不是
偶函数的是（ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】A
【解析】，所以非奇非偶，对于B，函数定义域为R，关于原点对称．，故
为偶函数；对于C，函数定义域为R，关于原点对称，因为，所