浙江省2020-2021学年第一学期五校联考高三数学试题(含答案解析)
浙江省联考部分市学校2020届高三上学期数学试题Word版含解析
浙江省联考部分市学校2020届高三上学期数学试题第Ⅰ卷（共40分）一、选择题：本大题共10个小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，那么（）A. B. C. D.2. 设为虚数单位，表示复数的共轭复数，若，则（）A. B. C. D.3. “”是“直线与直线平行”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件4. 已知，满足约束条件若恒成立，则的取值范围是（）A. B. C. D.5. 已知函数（），下列选项中不可能是函数图象的是（）A. B. C. D.6. 已知实数，，，则的最小值是（）A. B. C. D.7. 已知等差数列、的前项和分别为、，若，则的值是（）A. B. C. D.8. 设点是双曲线（，）上异于实轴端点上的任意一点，，分别是其左右焦点，为中心，，则此双曲线的离心率为（）A. B. C. D.9. 已知是正四面体（所有棱长都相等的四面体），是中点，是上靠近点的三等分点，设与、、所成角分别为、、，则（）A. B. C. D.10. 如图，点在以为直径的圆上，其中，过向点处的切线作垂线，垂足为，则的最大值是（）A. B. C. D.第Ⅱ卷（共110分）二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分，将答案填在答题纸上）11. 16/17世纪之交，随着天文、航海、工程、贸易以及军事的发展，改进数字计算方法成了当务之急，约翰纳皮尔正是在研究天文学的过程中，为了简化其中的计算而发明了对数.后来天才数学家欧拉发现了对数与指数的关系，即.现在已知，，则__________.12. 设，，则__________；__________.13. 在的展开式中，各项系数之和为64，则__________；展开式中的常数项为__________.14. 4支足球队两两比赛，一定有胜负，每队赢的概率都为0.5，并且每队赢的场数各不相同，则共有__________种结果；其概率为__________.15. 某几何体的三视图如图所示，则俯视图的面积为__________；此几何体的体积__________.16. 已知圆：（），点，若在圆上存在点，使得，的取值范围是__________.17. 当时，不等式恒成立，则的最大值是__________.三、解答题（本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）18. 设函数.（1）求的单调递增区间；（2）若角满足，，的面积为，求的值.19. 如图，在三棱锥中，是正三角形，面面，，，和的重心分别为，.（1）证明：面；（2）求与面所成角的正弦值.20. 已知函数.（1）讨论的单调性；（2）证明：当时，存在实数，使.21. 如图，在平面直角坐标系中，设点是椭圆：上一点，从原点向圆：作两条切线分别与椭圆交于点，，直线，的斜率分别记为，.（1）求证：为定值；（2）求四边形面积的最大值.22. 已知数列满足：，，.（1）证明：；（2）证明：；（3）证明：.浙江省联考部分市学校2020届高三上学期数学试题参考答案第Ⅰ卷（共40分）一、选择题：本大题共10个小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，那么（）A. B. C. D.【答案】C【解析】∵集合∴∵集合∴故选C2. 设为虚数单位，表示复数的共轭复数，若，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】∵∴∴故选B3. “”是“直线与直线平行”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当时，两直线不平行当时，由两直线平行可得，且，解得或∴“”是“直线与直线平行”的充分不必要条件故选A4. 已知，满足约束条件若恒成立，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】作出满足约束条件的可行域如图所示：平移直线到点时，有最小值为∵恒成立∴，即故选D点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一、准确无误地作出可行域；二、画标准函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三、一般情况下，目标函数的最大或最小会在可行域的端点或边界上取得.5. 已知函数（），下列选项中不可能是函数图象的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】∵（）∴当时，，易得在上为减函数，在上为增函数，故可能；当时，，，为增函数，故可能；当时，，有两个不相等且互为异号的实数根，先递减再递增然后再递减，故可能；当时，，有两个不相等的负实数根，先递增再递减然后再递增，故错误.故选D6. 已知实数，，，则的最小值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】∵，，∴当且仅当，即，时取等号.故选B点睛：本题主要考查了不等式，不等式求最值问题，属于中档题。
浙江省高三“五校联考”考试参考答案
2020学年第一学期浙江省高三“五校联考”考试参考答案1-10.CBCADCDBBA11.{|1}x x ≠，{|12}x x << 12.43π，1213.2y x =±，8314.54e -，(27,12](11,)---+∞ 15.43 16.1217.335[,]41218.解：1cos 2()sin (sin )22-=+=x f x x x x x 1sin(2)62π=-+x (3)分由3222262πππππ+≤-≤+k x k ，∈k Z 得536ππππ+≤≤+k x k ，∈k Z ∴()f x 的单调递减区间为5[,]36k k k Z ππππ++∈ ……………6分 （2）∵13()sin(2)622π=-+=f A A ，则sin(2)16π-=A ， ∵0π<<A ，∴112666πππ-<-<A ， 262ππ-=A ，解得3π=A . ……………8分 法一： ∵2=a ，3π=A ，由余弦定理得，2222cos3a b c bc π=+-，即224b c bc +-= ……10分∴2()43b c bc +-=，则22()43()2b c b c ++-≤ …………12分 又∵2b c +>，∴24b c <+≤ …………13分 ∴△ABC 周长的范围是(6,8] …………14分法二：由正弦定理得2sin sin sin a b cR A B C====∴sin )b c B C +=+ …………10分∵23sin sin sin sin()sin )3226B C B B B B B ππ+=+-=+=+ ………12分 又∵2(0,)3B π∈，∴1sin()(,1]62B π+∈，∴(4,6]b c +∈ …………13分∴△ABC 周长的范围是(6,8] …………14分 19．（1）BC ABAM PB PA ABCD BC PA BC PAB AM BC AM PBC BC ABCD AB PA A PB BC B AM PAB PC PBC ⊥⊥⎫⎫⎫⎫⊥⎫⎪⎪⎪⎪⇒⊥⇒⊥⇒⊥⇒⊥⎬⎬⎬⎬⎬⊂⎭⎪⎪⎪⎪==⊂⊂⎭⎭⎭⎭面面面面面面 =PC AMPC AN PC AMN AM AN A ⇒⊥⎫⎪⊥⇒⊥⎬⎪⎭面 ………7分（2）方法一：作DE AC E ⊥于，EF PC F ⊥于，连DF ，PA ABCD ⊥面，PAC ABCD ∴⊥面面，DE PAC ∴⊥面，DDE PC ∴⊥，EF PC ⊥，EF DE E =，PC DEF ∴⊥面，DF PC ∴⊥，DFE ∴∠是二面角D PC A --的平面角，………11分2PA AD ==，AB =AC ∴=，30PCA ∴∠=︒DE ∴=，CE =，EF =tan DE DFE EF ∴∠== DFE ∴∠是二面角D PC A --. ………15分方法二：建立坐标系（以AD 为x 轴，以AB 为y 轴，以AP 为z 轴）.(0,0,0),(0,(2,(2,0,0),(0,0,2)A B C D P (0,22,0),(2,22,2),(0,0,2)DC PC AP ==-=平面DPC 的法向量1(1,0,1)n =，平面APC 的法向量2(2,1,0)n =-设二面角D PC A --的平面角为α，12cos |cos ,|n n α=<>=tan α= 20. （1）证明：1222a a +-＝，23210a a +＝，两式作差得112c =…………3分对任意*n N ∈，21212231n n n a a ---++＝①，2221231n n n a a ++＝＋② …………2分②－①，得21212134n n n a a -+-⨯-=，即2134n n c -⨯=，于是14n nc c +=.所以{}n c 是等比数列． …………7分 （2）证明当*n N ∈且2n ≥时，2113153752123()()()()n n n a a a a a a a a a a =+-+-+-+⋅⋅⋅-+－－－22131(19)92922129n n --=+++++⋅⋅⋅=⋅+ …………10分由(1)得112339321922n n n a --⋅++=-⋅+，所以2194n n a -= …………12分12123(19)4n n n a a --+=-，得2391()48n n S n -=- …………15分21.解：（1）由已知c e a ==，2b =，222a b c =+得2b a ==，故椭圆C 的22142x y +=；……………………5分（2）设()()()112200,,,,,A x y B x y M x y ，则由2224x y y kx m⎧+=⎨=+⎩得()222214240k x mkx m +++-= 2121222424,2121mk m x x x x k k -⇒+=-=++，点O 到直线l的距离d =1122S d AB =⋅⋅=()222242221m k m k ++-=≤=+S 22242m k m =+-即2221m k =+，① ……………10分此时21200022221,221x x mk k k x y kx m m k m m m+==-=-=+=-+=+，法一：即00001,22x m m k x y y ==-=-代入①式整理得()22000102x y y +=≠，即点M 的轨迹为椭圆()221:102x C y y +=≠ ………13分且点N 恰为椭圆1C 的左焦点，则MN的范围为)1 ……………15分法二：MN ==由①得kMN m===- ………13分 设k t m =代入2221m k =+得22221m m t =+，即22(12)1t m -=，221012m t =>-∴22t -<<，即22k m -<<∴)1MN ∈……………15分22、解答：（Ⅰ）当2a =时，()2sin sin 2f x x x =+，于是()2cos 2cos22(1cos )(2cos 1)f x x x x x '=+=+- …………3分于是()0f x '>，解得(0,)3x π∈；()0f x '<，解得(,)3x ππ∈即(0,)3x π∈函数()f x 单调递增，(,)3x ππ∈函数()f x 单调递减 …………6分（Ⅱ）当1a =时，()sin sin 2cos f x x x bx x =+≥对任意2(0,)3x π∈恒成立首先考察(0,)2x π∈时，易得0b >∵()sin sin 2sin (12cos )cos f x x x x x bx x =+=+≥∴2(,)23x ππ∈时，()0cos f x bx x ≥≥，显然成立 …………9分于是只考察()sin sin 2cos f x x x bx x =+≥对任意(0,)2x π∈恒成立由()14242f b ππ=+≥⋅，于是18b +≤138+>，所以3b ≤…11分 下证：()sin sin 23cos f x x x x x =+≥对任意(0,)2x π∈恒成立考察函数()tan 2sin 3g x x x x =+-，(0,)2x π∈32222212cos 3cos 1(cos 1)(2cos 1)()2cos 30cos cos cos x x x x g x x x x x-+-+'=+-==> 于是()g x 在(0,)2x π∈上单调递增，则()(0)0g x g >=即tan 2sin 30x x x +->，则sin sin 23cos x x x x +≥ 综上可知，max 3b = ………15分。
浙江省五校2020届高三上学期联考数学试题 含解析
由图像可得：平面区域面积： S 16 1 4 2 12 ， 2
-4-
故选 D 【点睛】本题考查根据新定义表示线性规划区域，对可行域面积的求解，难点在于通过分类 讨论合理表示出符合条件的区域
8.函数 f x sin 2x 2 cos x 0 x ，则 f x （ ）
A.
在
0,
值；当公差 d 0 时， d 0 ， Sn 有最小值， d 0 ， Sn 有最大值
-2-
5.已知关于 x 的不等式 ax2 2x 3a 0 在 0, 2 上有解，则实数 a 的取值范围是（ ）
A.
,
3 3
B.
,
4 7
C.
3 3
,+
D.
4 7
,
【答案】A
【解析】
【分析】
【点睛】本题考查集合的交运算，属于基础题.
2.已知向量
a
1，
b
2
，且
a
与
b
的夹角为
60
，则（
）
A. a a b
B. b a b
C. a a b
b ab
【答案】C
【解析】
【分析】
逐项采用向量数量积的公式进行验证即可
【详解】解析：对 A： a
a
b
2020 学年浙江五校联考
1.已知集合 A x lg x 0 ， B x x2 4 ，则 A B （ ）
A. 1, 2
B. 1, 2
C. 0, 2
【答案】B 【解析】 【分析】
分别计算出集合 A, B 后可得两个集合的交集.
【详解】 A 1, ， B 2,2 ，故 A B 1, 2 ，故选 B.
a
高三试卷数学-浙江省2021届高三上学期12月百校联考数学试卷及参考答案 (1)
浙江省2020〜2021学年高三百校12月联考数学注意事项：1.本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答.答题前，请在答题卷的密封线内填写学校、班级、学号、姓名；2.本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页，全卷满分150分，考试时间120分钟.参考公式：球的表面积公式柱体的体积公式24S R π=V Sh=球的体积公式其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高343V R π=台体的体积公式其中R 表示球的半径()1213V h S S =++锥体的体积公式其中1S ，2S 分别表示台体的上、下底面积，h 表示台体的高13V Sh=其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高第Ⅰ卷（共40分）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合{}04P x x =∈≤≤R ，集合{}220Q x x x =∈-<R ，则P Q ⋂=（）A.{}02x x ≤≤ B.{}02x x << C.{}04x x ≤≤ D.{}24x x ≤≤2.已知a ∈R ，若2i3i 1ia +=++，则a =（）A.2B.2-C.3D.43.在《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马.已知四棱锥S ABCD-为阳马，SD⊥底面ABCD，其三视图如图所示，正视图是等腰直角三角形，其直角边长为2，俯视图是边长为2的正方形，则该阳马的表面积为（）正视图侧视图俯视图A.8B.4C.8D.834.若实数x，y满足约束条件40,3540,5340,x yx yx y-+≥⎧⎪++≥⎨⎪+-≤⎩则2z x y=+的最大值为（）A.5-B.1C.2D.55.已知函数()22logf x x x=⋅，其图象可能是（）A B C D6.已知,a b∈R，条件p：a b>，条件q：lg lg1a b>+，则p是q的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7.设1F，2F分别是椭圆1C和双曲线2C的公共焦点，P是的一个公共点，且12PF PF<，线段1PF的垂直平分线经过点2F，若1C和2C的离心率分别为1e，2e，则1211e e+的值为（）A.2B.3C.32D.528.已知数列{}n a 是首项为a ，公差为1的等差数列，数列{}n b 满足1nn na b a +=.若对任意的*n ∈N ，都有5n b b ≥成立，则实数a 的取值范围是（）A.[]6,5-- B.()6,5-- C.[]5,4-- D.()5,4--9.已知函数()()()22210,e e 0x ax x xf x ax x ⎧-+<⎪=⎨-+-≥⎪⎩有两个零点，则实数a 的取值范围是（）A.(),e +∞ B.()2e ,+∞C.()20,eD.()0,e 10.在正四面体ABCD 中，M ，N 分别为AD ，BC 的中点，P 为线段MB 上的动点（包括端点），记PN 与CD 所成角的最小值为α，PN 与平面BCD 所成角的最大值为β，则（）A.αβ= B.αβ> C.αβ< D.2παβ+=第Ⅱ卷（共110分）二、填空题（本大题共7小题，单空每题4分，双空每题6分，共36分）11.已知5sin 5x =，且 0,4x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则tan x =，sin 21cos 2sin sin 24x xx x ππ++=⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.12.已知()()4234501234512x x a a x a x a x a x a x +-=+++++，则3a =，024a a a ++=.13.抛物线24y x =-的焦点在直线l ：210x my ++=上，则m =，若焦点在y 轴上的双曲线的一条渐近线与直线l 平行，则双曲线的离心率为.14.一袋中有除颜色不同其他都相同的2个白球，2个黄球，1个红球，从中任意取出3个，有黄球的概率是，若ξ表示取到黄球球的个数，则()E ξ=.15.若实数x ，y 满足条件222x y -=，且2122yM x x+<，则M 的最小值为.060816.已知平面向量a r ，b r ，c r ，d u r 满足1a b ==r r ，2c =r ，0a b ⋅=r r ，1c d -=r u r ，则2a b d ++r r u r的取值范围为.17.已知1a >，若对于任意的1,3x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，不等式()4ln 3e ln xx x a a -≤-恒成立，则a 的最小值为.三、解答题（本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算过程）18.（本小题满分14分）在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，sin sin sin sin A C bB C a c-=-+.（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若ABC △为锐角三角形，且2a =，求ABC △周长的取值范围.19.（本小题满分15分）如图，在四棱锥P ABCD -中，60APB BPD APD ∠=∠=∠=︒，4PB PD BC CD ====，6AP =.（Ⅰ）证明：AP BD ⊥；（Ⅱ）求PC 与平面PAD 所成角的正弦值.20.（本小题满分15分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，()121n n a S n ++=+∈N ，数列{}n b 满足11b =，1n n n b b a +=+.（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n c 满足1nn n n a c b b +=⋅且()12211n n c c c b λ+++≥-+L 对任意n +∈N 恒成立，求实数λ的取值范围.21.（本小题满分15分）已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的长轴长为4，焦距为（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）设直线l ：y kx m =+与椭圆C 交于P ，Q 两个不同的点，且0OP OQ ⋅=uu u r uuu r，O 为坐标原点，问：是否存在实数λ，使得PQ OP OQ λ=⋅uu u r uu u r uuu r恒成立？若存在，请求出实数λ，若不存在，请说明理由.22.（本小题满分15分）已知函数()e sin 1xf x ax x =-+-.（Ⅰ）当2a =时，求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）当12a ≤<时，证明：函数()f x 有2个零点.2020〜2021学年高三百校12月联考数学参考答案1.B 由题意可得{}02Q x x =<<，{}02P Q x x ⋂=<<.故选B.2.D由题意可得()()2i 3i 1i 24i a +=++=+，4a =.故选D.3.A 由本题三视图知，该阳马是底面为正方形的四棱锥，两个侧面是等腰直角三角形，另外两个侧面是直角三角形，2248S =++=.故选A.4.C可如图所示，数形结合可知，当直线2z x y =+经过点()2,2-时，max 2z =.故选C.5.A 根据题意，函数()f x 为偶函数，图象关于y 轴对称，有两个零点为1x =±，排除B 和C ，同时利用二次函数2y x =和对数函数2log y x =对图象在x →+∞的趋势影响，可知答案选A.6.B由题意可得，若lg lg 1a b >+，则100a b >>，故a b >；反之，若a b >，当其中有负数时，q 不成立.故选B.7.A根据题意，设双曲线2C 的方程为22221x y a b-=，焦点()2,0F c ，则2122PF F F c ==，122PF c a =-，121122c a a e e c c-+=+=.故选A.8.D根据题意，1n a n a =+-，111n n n n a b a a +==+，有511n a a ≥对任意*n ∈N 成立.因此数列{}n a 单调递增且50a <，60a >，所以56510,610,a a a a =+-<⎧⎨=+->⎩故54a -<<-.故选D.9.B当0x =时，()201e f =--，∴0x =不是函数()f x 的零点.当0x <时，由()0f x =，得221x a x -=，设()221x h x x -=，()()3210x h x x-'=<，则()h x 在(),0-∞上单调递减，且()0h x <.当0x >时，()0f x =等价于2e e x a x +=，令()2e e x g x x +=，()22e e e x x x g x x --'=，得()g x 在()0,2上单调递减，在()2,+∞上单调递增，()2min (2)e g x g ==，()2e g x ≥.因为()f x 有2个零点，所以2e a >.故选B.10.C 最小角、最大角定理，PN 与CD 所成最小角为CD 与平面BCM 所成的角，即DCM ∠，PN与平面BCD 所成最大角为二面角M BC D --，在正四面体中，易得tan tan 3DCM α∠==，tan tan 2DNM β∠==，则αβ<.故选C.11.1212.16113.1614.9106515.2原式()2222121122244x y y y y x x x x -⎛⎫=+=-++ ⎪⎝⎭，令y t x =，有2222x x t -=，则22201x t =≥-，因此()1,1t ∈-，则原式2112244t t =-++<，M 的最小值为2.16.3⎡⎤+⎣⎦令()1,0a =r ，()0,1b =r ，(),c x y =r，设C 的坐标为(),x y ，C 的轨迹为圆心在原点，半径为2的圆上.设(),d x y '='u r，D 的坐标为(),x y ''，D 的轨迹为圆心在原点，大圆半径为3，小圆半径为1的圆环上.()22,1a b d d ++=---r r u r u r 表示D 与点()2,1P --的距离，由图可知，故2a b d ++r r u r的取值范围为3⎡⎤+⎣⎦.17.3e()()4ln 3e ln 3ln 3e ln x x x x a a x x a a x-≤-⇔-≤--()()3ln 3e ln e x x x x a a ⇔-≤-令()ln f x x x =-，()111x f x x x'-=-=，∴()f x 在[)1,+∞上单调递增.∵1a >，1,3x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，∴[)3,e 1,xx a ∈+∞，∴33e exx xx a a ⇔≤⇔≤恒成立，只需max ()a g x ≥.令()3e x x g x =，()33e xxg x -'=，∴当1x =时，()g x 的最大值为3e，∴3e a ≥，∴a 的最小值为3e.18.解：（Ⅰ）由sin sin sin sin A C b B C a c -=-+，利用正弦定理可得a c bb c a c-=-+，化为222b c a bc +-=.由余弦定理可得2221cos 22b c a A bc +-==，()0,A π∈，所以3A π=.（Ⅱ）在ABC △中由正弦定理得sin sin sin3a b cB Cπ==，又2a =，所以sin 3b B =，43432sin sin 333c C B π⎛⎫==- ⎪⎝⎭，故434324333sin sin cos 4sin 3333226b c B B B B B ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.因为02B π<<且()3B b c π≠≠，且B ，C 都是锐角，从而62B ππ<<且3B π≠，故2363B πππ<+<且62B ππ+≠，所以3sin 126B π⎛⎫<+< ⎪⎝⎭，()b c +∈，故周长a b c ++的取值范围是()2+.19.解：（Ⅰ）因为60APB APD ∠∠==︒，PD PB =，所以APB APD ≌△△，所以AD AB =.取BD 的中点E ，连接AE ，PE ，所以AE BD ⊥，PE BD ⊥，所以BD ⊥平面PAE .又AP ⊂平面PAE ，所以AP BD ⊥.（Ⅱ）解法1（几何法）：在APB △中，根据余弦定理得2222cos 6028AB AP PB AP PB =+-⋅⋅⋅︒=，所以AB =.又因为2BE =，所以AE =，PE =，所以222AP AE PE =+，即AE PE ⊥.设点C 到平面PAD 的距离为h ，PC 与平面PAD 所成角为θ，因为C PAD P ACD V V --=，即1133PAD ACD h S PE S ⋅=⋅⋅△△，所以23ACD PADPE S h S ⋅==△△，所以22sin 6h PC θ+==，所以PC 与平面PAD 所成角的正弦值为226+.解法2（坐标法）：在APB △中，根据余弦定理得2222cos 6028AB AP PB AP PB =+-⋅⋅⋅︒=，所以AB =.又因为2BE =，所以AE =，PE =，所以222AP AE PE =+，即AE PE ⊥.又因为PE DB ⊥，AE DB E ⋂=，AE ，DB ⊂平面ABCD ，所以PE ⊥平面ABCD .如图，以E 为原点，分别以ED ，EA ，EP 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系E xyz -，则()A ，()2,0,0D，(P，()0,C -，()2,AD =-uuu r，(DP =-uu u r，(0,PC =--uu u r.0608设平面PAD 的法向量为(),,n x y z =r，则0,0,n AD n DP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r uuu r r uu u r即20,20,x x ⎧-=⎪⎨-+=⎪⎩令1y =，则x =，z =，所以n =r.设PC 与平面PAD 所成角为θ，22sin cos ,6PC n θ+==uu u r r ，所以PC 与平面PAD所成角的正弦值为26+.20.解：（Ⅰ），∵11a =，()121n n a S n ++=+∈N ，∴()121,2n n a S n n -+=+∈≥N ，∴()112n n n n a a S S +--=-，即12n n n a a a +-=，∴()13,2n n a a n n ++=∈≥N ，而21213a a =+=，∴213a a =，∴数列{}n a 是以1为首项，3为公比的等比数列，∴()13n n a n -+=∈N .∵113n n n b b -+=+，∴()()()112211n n n n n b b b b b b b b ---=-+-++-+L ()0112303133133311132n n n n ----⨯-+=++++=+=-L .（Ⅱ）()()11111134311231313131313122n n n n n n n n n n n n a c b b -----+⋅⎛⎫====- ⎪⋅++⎛⎫⎛⎫++++⎝⎭⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令123n n T c c c c =++++L ，则011211111112313131313131n n n T -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦L112231n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭2131n =-+，∵()211n n T b λ≥-+对任意n +∈N 恒成立，∴12311211312n n λ-⎛⎫+-≥⨯-⋅+ ⎪+⎝⎭对任意n +∈N 恒成立，∴只需()1min2313n n λ-⎛⎫ ⎪- ⎪+⋅⎝⎭即可.()()211122313333n n n n y ----=-=+⋅⋅+，令131n t -=≥，则223y t t -=+，在1t =，即当1n =时取到最小值12-，∴12λ≤-.21.解：（Ⅰ）由题意可知2a =，c =2221b a c =-=，∴椭圆C 的标准方程为2214x y +=.（Ⅱ）∵0OP OQ ⋅=uu u r uuu r，故OPQ △为直角三角形，设原点到直线l 的距离为d ，由1122OPQ S PQ d OP OQ =⋅⋅=⋅⋅uu u r uu u r uuu r △，要求实数λ，使得PQ OP OQ λ=⋅uu u r uu u r uuu r 恒成立，即1dλ=.设点()11,P x y ，()22,Q x y ，联立方程221,4,x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩∴()222148440k x kmx m +++-=，∴12221228,1444,14km x x k m x x k -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪⋅=⎪+⎩()()22222(8)41444014km k m m k ∆=-+->⇒<+.∴()22222222222212121222448441414m k k k m m k m k m y y k x x km x x m k k --++-+⋅=+++==++，∵0OP OQ ⋅=uu u r uuu r ，∴2222212122224445440141414m k m m k x x y y k k k --+--+=+==+++，∴22544m k =+，d =，∴222415m d k ==+，∴152d λ==.22.解：（Ⅰ）当2a =时，()e 2sin 1x f x x x =-+-，则()e 2cos x f x x =-+'，可得()e sin x f x x ='-'.当(],0x ∈-∞时，可得e 1x ≤，所以()1cos 0f x x ≤-+≤'，所以()f x 在(],0-∞单调递减；当()0,x ∈+∞时，e 1x >，所以()1sin 0f x x >-'≥'，所以()f x '在()0,+∞单调递增，所以()()00f x f ''>=，所以()f x 在()0,+∞单调递增.综上可得，()f x 在(],0-∞单调递减，在()0,+∞单调递增.（Ⅱ）当0x =时，()00e 01sin 00f =--+=，所以0x =是()f x 的一个零点，由()e cos x f x a x =-+'，令()e cos x g x a x =-+，可得()e sin x g x x '=-.因为12a ≤<，①当()0,x ∈+∞时，()0e sin e sin 0x g x x x >-'=-≥，()f x '在()0,+∞单调递增，则()()020f x f a >=-'>'，()f x 在()0,+∞单调递增，()()00f x f >=，所以()f x 在()0,+∞无零点.②当(],x π∈-∞-时，ax π-≥，有()e sin 10x f x x π≥++->，所以()f x '在(],π-∞-无零点.③当(),0x π∈-时，sin 0x <，()0g x '>，()f x '在(),0π-单调递增，又()020f a ='->，()e 10f a ππ-'-=--<，所以存在唯一()0,0x π∈-，使得()00f x '=.当()0,x x π∈-时，()0f x '<，()f x 在()0,x π-单调递减，当()0,0x x ∈时，()0f x '>，()f x 在()0,0x 单调递增，又()e 10f a πππ--=+->，()()000f x f <=，所以()f x 在(),0π-有1个零点.综上，当12a ≤<时，()f x 有2个零点.。
2020-2021学年高三年级第一学期第一次五校联考五校联考数学试题
2020-2021学年高三年级第一学期第一次五校联考数学试题一、单项选择题（本大题共8小题，共40.0分） 1.函数 的定义域为A.B. C.D.2.已知 ，则下列不等式一定成立的是A.B. C.D.3.已知 是定义在R 上的偶函数，且在 上是增函数， ，则不等的解集为A.B. C.D.4.我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休. 在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，如函数(1)e sin ()e 1x xxf x =-+在区间ππ(-,)22上的图象的大致形状是( ) A ． B ．C ．D ．5.已知 ，则的最小值是 ．A. 3B.C.D. 96．已知函数()sin f x x x =+，x ∈R ，若()2l og 3a f =，13log 2b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()22c f -=则,,a b c 的大小为（ ） A ．a b c >> B ．a c b >>C ．c b a >>D ．b a c >>27．已知命题：，；命题q: ，，若、都为真命题，则实数的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．8.已知函数 有两个极值点，则实数a 的取值范围是A.B.C. D.二、不定项选择题（本大题共4小题，共20.0分，每小题全对得5分，部分对得3分，有错得零分）9.若直线是函数 图象的一条切线，则函数 可以是A.B. C. D.10．设正实数m n 、满足2m n +=，则下列说法正确的是( ) A ．2n m n+的最小值为3 B ．mn 的最大值为1 C的最小值为2 D ．22m n +的最小值为211.下列命题中正确命题的是.已知a ，b 是实数，则“”是“ ”的充分而不必要条件； ，使 ；设 是函数 的一个极值点，则若角 的终边在第一象限，则的取值集合为 ．12.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用 表示不超过x 的最大整数，则 称为高斯函数，例如： ， 已知函数，则关于函数 的叙述中正确的是 A. 是偶函数B. 是奇函数C. 在 上是增函数D. 的值域是三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知扇形的圆心角为，半径为5，则扇形的面积 ______．14.已知函数 ，且，则 ______． 15.已知三个函数ℎ ℎ′ ， ℎ若 ， ，都有 成立，求实数b 的取值范围16.设 是定义在R 上的偶函数，且 ，当 时，，若在区间 内关于x 的方程 有3个不同的根，则a 的范围是 ．p x ∀∈R 220mx +>x ∃∈R 2210x mx -+≤p q m [1,)+∞(,1]-∞-(,2]-∞-[1,1]-四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.（本题共10分）已知角为第一象限角，且．求，的值；求的值．18.（本题共12分）已知集合，求集合A；若p：，q：，且p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围．19.（本题共12分）已知函数，满足： ；．求函数的解析式；若对任意的实数，都有成立，求实数m的取值范围．20. （本题共12分）已知函数是定义在R上的奇函数．求a的值；判断并证明函数的单调性，并利用结论解不等式：；是否存在实数k，使得函数在区间上的取值范围是？若存在，求出实数k的取值范围；若不存在，请说明理由．21.（本题共12分）如图，公园内直线道路旁有一半径为10米的半圆形荒地圆心O在道路上，AB为直径，现要在荒地的基础上改造出一处景观．在半圆上取一点C，道路上B点的右边取一点D，使OC垂直于CD，且OD的长不超过20米．在扇形区域AOC 内种植花卉，三角形区域OCD内铺设草皮．已知种植花卉的费用每平方米为200元，铺设草皮的费用每平方米为100元．设单位：弧度，将总费用y表示为x的函数式，并指出x的取值范围；当x为何值时，总费用最低？并求出最低费用．22.已知函数，其中a为正实数．若函数在处的切线斜率为2，求a的值；求函数的单调区间；若函数有两个极值点，，求证：．4。
浙江省“七彩阳光”新高考研究联盟2020-2021学年高三上学期返校联考数学试题 含答案
A． −3
B． −2
C． −1
D．1
4．若双曲线 C :
y2 a2
−
x2 b2
= 1(a
0,b 0) 的一条渐近线为
y
=
3x ，则双曲线 C 的离心率为（
）
A． 2 3 3
B． 3
C．2
D．3
5．已知空间中的三条不同直线 l ， m ， n ．则“ l ， m ， n 两两垂直”是“ l ， m ， n 不共面”的（ ）
________．
15．已知点 A( 3,1) ，直线 l 与圆 x2 + y2 = 4 交于 M ， N 两点，若△AMN 的垂心恰为原点 O ，则直线l
的方程是________． 16．盒中有 4 个质地，形状完全相同的小球，其中 1 个红球，1 个绿球，2 个黄球；现从盒中随机取球，每
次取 1 个，不放回，直到取出红球为止．设此过程中黄球在第 次被首次取到（ = 0 表示黄球未被取
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
10．设集合 S ，T 中至少有两个元素，且 S ，T 满足：①对任意 x, y S ，若 x y ，则 x + y T ②对任
2
意 x, y T ，若 x y ，则 x − y S ，下列说法正确的是（ ） A．若 S 有 2 个元素，则 S T 有 4 个元素 B．若 S 有 2 个元素，则 S T 有 3 个元素 C．存在 3 个元素的集合 S ，满足 S T 有 5 个元素 D．存在 3 个元素的集合 S ，满足 S T 有 4 个元素
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
6．已知 a 0 ， b 0 ， a + b = 1 ，则（ ）
浙江省2020-2021学年第一学期高三百校联考9月联考数学试题PDF版数学CM01C答案
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浙江省2019-2020学年第一学期五校联考试题高三年级数学试题卷
2020届浙江省五校联考高三数学试卷考生须知：1．本卷共4页满分120分，考试时间100分钟；2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字。
3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效； 4．考试结束后，只需上交答题纸。
一、选择题：本大题共10小题，共40分 1. 已知集合{}|lg 0A x x =>，{}2|4B x x =≤，AB =（ ） A ．()1,2B ．(]1,2C ．(]0,2D ．()1,+∞ 2. 已知向量1=a ，2=b ，且a 与b 的夹角为60︒，则（ ） A ．()⊥+a a b B ．()+⊥b a bC ．()⊥-a a bD ．()⊥-b a b3. 函数()332xx xf x =+的值域为（ ） A ．[)1,+∞B ．()1,+∞C ．(]0,1D ．()0,14. 已知数列{}n a 是公差为d 的等差数列，其前n 项和为n S ，则（ ）A ．0d <时，n S 一定存在最大值B ．0d >时，n S 一定存在最大值C ．n S 存在最大值时，0d <D ．n S 存在最大值时，0d >5. 已知关于x 的不等式2230ax x a -+<在(]0,2上有解，则实数a 的取值范围是（ ）A．⎛-∞ ⎝⎭ B ．4,7⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ C．⎫+∞⎪⎪⎝⎭ D ．4,7⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ 6. 已知a ，b 为实数，则01b a <<<，是log log a b b a >的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7. 定义{}max ,a a ba b b a b ≥⎧=⎨<⎩，则关于实数x ，y 的不等式组{}22max ,0x y x y x y ⎧≤⎪≤⎨⎪+-≥⎩所表示的平面区域的面积是（ ）A ．4B ．6C ．8D ．128. 函数()()sin 22cos 0f x x x x π=+≤≤，则()f x （ ）A ．在0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递增B ．在0,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递减C ．在5,66ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递减D ．在2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递增9. 在三角形ABC 中，已知sin cos 0sin AC B+=，tan A =tan B =（ ） AB．CD10. 若不等式()sin 06x a b x ππ⎛⎫--+≤ ⎪⎝⎭对[]1,1x ∈-上恒成立，则a b +=（ ）A ．23B ．56C ．1D ．2二、填空题：本大题共7小题，共36分11. 已知集合{}2|210A x x x =--<，{}|B x a x b =<<，若{}|21AB x x =-<<，则a = ；若(){}|13A B x x =≤<R，则b = ．12. 已知0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，若2sin sin 21αα+=，则tan α= ；sin 2α= ．13. 不等式1231122xx --⎛⎫< ⎪⎝⎭的解集是 ；不等式212log (31)log 4x -<的解集是 ．14. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足()()*112nnn n S a n N ⎛⎫=--∈ ⎪⎝⎭，则3a = ，7S = ．15. 定义{},max ,,a a ba b b a b ≥⎧=⎨<⎩，已知(){}max 11,2f x x x =++，()g x ax b =+．若()()f x g x ≤对[)1+x ∈∞，恒成立，则2a b +的最小值是 ．16. 已知向量,,a b c ，其中||2-=a b ，||1-=a c ，b 与c 夹角为60︒，且()()1-⋅-=-a b a c ．则a 的最大值为 ．17. 已知实数,a b 满足：2224b a -=，则2a b -的最小值为 ．三、解答题：本大题共5小题，共74分18. （14分）已知()sin 3f x x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，ABC △中，角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ．（1）若,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，求()f x 的值域；（2）若()13f A =，a =2b =，求sin B 的值．19. （15分）已知多面体P ABCD -中，AB CD ∥，90BAD PAB ==︒∠∠，12AB PA DA PD DC ====， M 为PB 中点．（1）求证：PA CM ⊥；（2）求直线BC 与平面CDM 所成角的正弦．20. （15分）设数列{}n a 是等比数列，数列{}n b 是等差数列，若223a b ==，359a b ==．（1）若nn n n b c a ⋅=，数列{}n c 中的最大项是第k 项，求k 的值；（2）设n n n d a b =⋅，求数列{}n d 的前n 项和n T ．21. （15分）过椭圆2212x y +=的左焦点F 作斜率为1k （10k ≠）的直线交椭圆于A ，B 两点，M 为弦AB的中点，直线OM 交椭圆于C ，D 两点． （1）设直线OM 的斜率为2k ，求12k k 的值；（2）若F ，B 分别在直线CD 的两侧，2MB M M C D =⋅，求△FCD的面积．22. （15分）设函数()1x f x e x =+≥-M BPAD C（1）当1a =-时，若0x 是函数()f x 的极值点，求证：0102x -<<；（2）（i ）求证：当0x ≥时，()2112f x x x ≥+++（ii ）若不等式()25242f x ax x a++≤对任意0x ≥恒成立，求实数a 的取值范围．注：e=2.71828…为自然对数的底数.。
2020-2021学年浙江省七彩阳光新高考研究联盟高三(上)返校联考数学试卷 (含答案解析)
2020-2021学年浙江省七彩阳光新高考研究联盟高三(上)返校联考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知集合A={x|x<2}，B={x≥1}，则A∪B=()A. {x|x<2}B. {x|1≤x<2}C. {x|x≥1}D. R2.若复数z=(a−√2)+3i为纯虚数，则log2a的值为()A. iB. 1C. 12D. −i3.已知等比数列{a n}中，a5=4，a7=6，则a9等于()A. 7B. 8C. 9D. 104.双曲线x29−y2b2=1(b>0)的一条渐近线方程为y=23x，则双曲线的离心率等于()A. √53B. 53C. 43D. √1335.“m>3”是“曲线mx2−(m−2)y2=1为双曲线”的()A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件6.已知−1<a<4，1<b<2，则a−b的取值范围是()A. (−2,3)B. (−2,2)C. (−3,2)D. (−3,3)7.已知圆C1：(x+1)2+(y+1)2=1，圆C2：(x−3)2+(y−4)2=9，A、B分别是圆C1和圆C2上的动点，则|AB|的最大值为()A. √41+4B. √41−4C. √13+4D. √13−48.已知(1−2x)8=a0+a1x+a2x2+⋯a8x8，则a1+2a2+3a3+⋯8a8=()A. −8B. 8C. −16D. 169.已知函数f(x)=ae x+bx2(a,b∈R)的图像如图，则()A. a <0,b >0B. a >0,b <0C. a >0,b >0D. a <0,b <010. 已知集合S ={x|3x +a =0}，如果1∈S ，那么a 的值为( )A. −3B. −1C. 1D. 3二、填空题（本大题共7小题，共36.0分）11. 已知|a −8b |+(4b −1)2=0，则log 2a b =__________． 12. 若sin 2θ+2cosθ=−2，则cosθ=______．13. 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长的棱为______．14. 设x ，y 满足约束条件{x −y ≥1x +y ≥12x −y ≤4，则z =x 2+(y +2)2的最小值为_______．15. 已知直线l 与圆M ：x 2+y 2=4交于A ，B 两点．若线段AB 的中点为P(1,1)，则直线l 的方程是______，直线l 被圆M 所截得的弦长等于______．16. 口袋中有5个形状和大小完全相同的小球，编号分别为0，1，2，3，4，从中任取3个球，以ξ表示取出球的最小号码，则Eξ=________．17. 边长为2的等边△ABC 中，点M 为BC 边上的一个动点，则AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=______． 三、解答题（本大题共5小题，共74.0分）18.已知在锐角△ABC中，∠A=45°，a=2，c=√6，求B和边b．19.如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=AC=AA1，平面AA1C1C⊥平面AA1B1B，∠CAA1=∠BAA1=60°，点D是AA1的中点．(1)求证：BD⊥平面AA1C1C；(2)求直线BC1与平面AA1C1C所成角的正弦值．20.已知等比数列{a n}的公比为q>1，a1+a3+a5=42，a3+9是a1,a5的等差中项.数列{b n}的通项公式为b n=n√a−1+√a−1，n∈N∗．(1)求数列{a n}的通项公式;(2)证明：b1+b2+...+b n<√2n+1−1,n∈N∗．21.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点(√3,12)，离心率e=√32(1)求椭圆的方程：(2)若直线y=kx+2与椭圆有两个交点，求出k的取值范围．22.已知函数．(Ⅰ)当a=3时，求函数f(x)在[12,2]上的最大值和最小值；(Ⅱ)函数f(x)既有极大值又有极小值，求实数a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：解：∵集合A={x|x<2}，B={x≥1}，∴A∪B=R．故选：D．利用并集定义直接求解．本题考查并集的求法，考查并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.答案：C解析：【试题解析】本题考查复数的概念，对数的运算，属于基础题．由复数z=(a−√2)+3i为纯虚数，求出a的值，然后再由对数运算进行求解即可．解：复数z=(a−√2)+3i为纯虚数，所以a−√2=0，解得a=√2，所以log2a=log2√2=12，故选C．3.答案：C解析：本题考查等比数列的通项公式，属于基础题．设等比数列{a n}的公比为q，由题意可求得q2，a9=a7q2，代入求解即可．解：设等比数列{a n}的公比为q，则q2=a7a5=64=32，∴a9=a7q2=6×32=9．故选C．4.答案：D解析：解：根据题意，得a=3，ba =23，∴b=2，∴c=√a2+b2=√13，∴e=ca =√133．故选：D．首先，根据双曲线的焦点在x轴上，且渐近线方程已知，得到b的取值，然后，求解离心率即可．本题重点考查了双曲线的几何性质，理解双曲线的渐近线方程和离心率是解题关键，属于中档题．5.答案：A解析：当m>3时，m−2>0，mx2−(m−2)y2=1⇒x 21 m −y21m−2=1，原方程是双曲线方程；当原方程为双曲线方程时，有m>0,m−2>0⇒m>2；由以上说明可知m>3是“曲线mx2−(m−2)y2= 1是双曲线”充分而非必要条件．故本题正确选项为A．6.答案：D解析：本题考查了不等式的性质，是一道基础题．由1<b<2，得出−b的范围，然后利用不等式的基本性质求解即可．解：−1<a<4，①，∵1<b<2，∴−2<−b<−1，②，①+②得：−3<a−b<3，故选：D．7.答案：A解析：本题考查了圆与圆的位置关系应用问题，是基础题．求出两圆的圆心距d，再求圆C1、C2上的两点间的距离最大值．解：圆C1：(x+1)2+(y+1)2=1的圆心为(−1,−1)，半径为1，圆C2：(x−3)2+(y−4)2=9的圆心为(3,4)，半径为3，则圆心距为d=√(−1−3)2+(−1−4)2=√41>1+3，两圆外离，∴圆C1和圆C2上的两点|AB|的最大值为d+r1+r2=√41+4．故选：A．8.答案：D解析：解：∵(1−2x)8=a0+a1x+a2x2+⋯+a8x8，∴两端求导得：8(1−2x)7×(−2)=a1+2a2x+3a3x2+⋯+8a8x7，令x=1得：a1+2a2+3a3+⋯8a8=8×(−1)×(−2)=16．故选：D．利用导数法与赋值法可求得a1+2a2+3a3+⋯8a8的值．本题考查导数与二项式定理的应用，对(1−2x)8=a0+a1x+a2x2+⋯+a8x8两端求导是关键，也是难点，属于中档题．9.答案：B解析：本题考查了函数图象和利用导数研究函数的极值，属于基础题．由图象可得f(0)=a>0，故排除A，D，又由图象可得f(x)有极大值极小值，所以f′(x)=ae x+2bx= 0有两解，可得b<0，即可得出结论．解：由图象可得f(0)=a>0，故排除A，D，又由图象可得f(x)有增有减，有极大值和极小值，所以f′(x)=ae x+2bx=0有两不等的解，所以ae x=−2bx有两不等的解，即y=ae x与y=−2bx有两个不同的交点，所以−2b>0，即b<0，故排除C，选项B符合题意，故选B．10.答案：A解析：解：∵S ={x|3x +a =0}，且1∈S ， ∴3×1+a =0， 解得：a =−3． 故选：A ．根据集合S ={x|3x +a =0}，且1∈S ，知道1满足等式，解此方程即可求得实数a 的值． 此题考查元素与集合之间的关系，以及分式不等式的求解，对题意的正确理解和转化是解决此题的关键，属基础题．11.答案：14解析：本题考查了对数的运算性质，属于基础题．根据绝对值和偶次方的非负性，得{a −8b =04b −1=0，求出a ，b 的值，然后利用对数的运算性质可得结果．解：由|a −8b |+(4b −1)2=0，得{a −8b =04b −1=0, 解得a =2，b =14， 所以log 2a b =log 2214=14．故答案为14．12.答案：−1解析：本题主要考查同角三角函数的基本关系的应用，属于中档题．利用同角三角函数的基本关系可得(cosθ−3)(cosθ+1)=0，由此解得cosθ的值． 解：∵sin 2θ+2cosθ=−2，∴1−cos 2θ+2cosθ=−2，(cosθ−3)(cosθ+1)=0， 解得cosθ=−1，或cosθ=3(舍去)， 故答案为：−1．13.答案：3解析：本题考查三视图求解几何体的棱长，考查计算能力．难度不大，属于基础题．由已知画出几何体，分别求出各棱长，得到最大值．解：由三视图得到几何体如图，CD=1，BC=√5，BE=√5，CE=2√2，DE=3；所以最大值为3，故最长边为DE=3．故答案为3．14.答案：92解析：本题主要考查线性规划的应用，属于中档题．作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义求解最小值．解：作出不等式组对应的平面区域，z的几何意义为区域内的点到定点C(0,−2)的距离的平方，则由图象可知，当z=x2+(y+2)2所表示的圆与直线x+y−1=0相切时，距离最小，即C(0,−2)到直线x+y−1=0的距离d=√2=√2，所以z=d2=92，故答案为92．15.答案：x+y−2=02√2解析：解：∵P(1,1)为线段AB的中点，∴OP⊥AB，∵k OP=1，∴k AB=−1，则A，B所在直线l的方程为y−1=−1×(x−1)，即x+y−2=0；∵|OP|=√2，圆M：x2+y2=4的半径为2，∴直线l被圆M所截得的弦长等于2√22−(√2)2=2√2．故答案为：x+y−2=0，2√2．由已知求得OP的斜率，得到AB所在直线当斜率，由直线方程的点斜式可得直线l的方程，再由垂径定理求直线l被圆M所截得的弦长．本题考查直线与圆位置关系的应用，考查两直线垂直与斜率的关系，是基础题．16.答案：0.5解析：【试题解析】本题考查离散型随机变量的期望的计算，属基础题．首先确定ξ的可能取值，再分别求出相应的概率，则数学期望Eξ可求．解：ξ的可能取值为0，1，2，则P(ξ=0)=C42C53=35，P(ξ=1)=C32C53=310，P(ξ=2)=1C53=110，∴Eξ=0×35+1×310+2×110=0.5．故答案为0.5．17.答案：6解析：解：设BC 中点为D ，则AM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ =22+2×2×cos60°+BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC⃗⃗⃗⃗⃗ ) =4+2+2BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =6．故答案为：6．设BC 中点为D ，则AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，由此能求出结果．本题考查与向量的数量积的求法，考查向量加法定理、向量的坐标运算法则等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．18.答案：解：在锐角△ABC 中，由正弦定理得：a sinA =c sinC ，即√22=√6sinC ，解得sinC =√32，∴C =60°，∴B =180°−A −C =75°． ∴b =asinA sinB =2√22×√6+√24=√3+1．解析：在锐角△ABC 中，由正弦定理求得sinC =√32，可得C =60°，再由三角形内角和公式求得B ，利用正弦定理求得b 的值．本题主要考查正弦定理、根据三角函数的值求角，属于基础题． 19.答案：(1)证明：连接A 1B ，∵AB =A 1A ，∠BAA 1=60°，∴△BAA 1为正三角形;∵D 是AA 1的中点，∴BD ⊥AA 1，又∵平面AA 1C 1C ⊥平面AA 1B 1B ，平面AA 1C 1C ∩平面AA 1B 1B =AA 1，BD ⊂平面AA 1B 1B ， ∴BD ⊥平面AA 1C 1C .(2)解：连接DC1，由(1)知BD⊥平面AA1C1C，又DC1⊂平面AA1C1C，∴∠BC1D为直线BC1与平面AA1C1C所成的角，BD⊥DC1．设AB=2a，则正三角形△BAA1中，BD=√3a，△A1DC1中，A1D=a，A1C1=2a，∠DA1C1=120°，∴DC12=a2+(2a)2−2×a×2a×cos120°=7a2．故DC1=√7a，在Rt△BDC1中，BC1=√3a2+7a2=√10a，则sin∠BC1D=BDBC1=√3a10a=√3010，即直线BC1与平面AA1C1C所成角的正弦值为√3010．解析：本题考查线面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，属于中档题．(1)连接A1B，推导出BD⊥AA1，由此能证明BD⊥平面AA1C1C.(2)连接DC1，则∠BC1D为直线BC1与平面AA1C1C所成的角，由此能求出直线BC1与平面AA1C1C所成角的正弦值．20.答案：解：(I)由a3+9是a1，a5的等差中项得a1+a5=2a3+18，所以a1+a3+a5=3a3+18=42，解得a3=8，由a1+a5=34，得8q2+8q2=34，解得q2=4或q2=14，因为q>1，所以q=2，所以a n=2n；(II)证明：由(I)可得b n=n√2n−1+√2n+1−1n∈N∗，∴b n=2n(√2n−1−√2n+1−1)(√2n−1+√2n+1−1)(√2n−1−√2n+1−1)=2n(√2n−1−√2n+1−1)−2n=√2n+1−1−√2n −1，∴b 1+b 2+⋯…+b n=(√22−1−√21−1)+(√23−1−√22−1)+⋯…+(√2n+1−1−√2n −1)=√2n+1−1−1<√2n+1−1．解析：(Ⅰ)由等差中项的性质可求得a 3=8，进而得到a 1+a 5=34，进一步求得公比q ，由此即可得解；(Ⅱ)化简b n ，由此即可得证．本题考查等差数列与等比数列的综合运用，考查化简运算能力及逻辑推理能力，属于中档题． 21.答案：解：(1)把点(√3,12)代入椭圆x 2a 2+y 2b 2=1，得3a 2+14b 2=1，由c a =√32及c 2=a 2−b 2， 可得a 2=4，b 2=1．则椭圆的方程为：x 24+y 2=1；(2)联立直线方程y =kx +2和椭圆方程x 24+y 2=1，化简得，(4k 2+1)x 2+16kx +12=0根据题意，得△=(16k)2−48(4k 2+1)=16(4k 2−3)>0，解得k >√32或k <−√32， 则k 的取值范围是(−∞,−√32)∪(√32,+∞)．解析：(1)代入点得到关于a ，b 的方程，由离心率公式和a ，b ，c 的关系，解出a ，b ，得到椭圆方程；(2)联立直线方程y =kx +2和椭圆方程x 24+y 2=1，消去y ，得到关于x 的方程，由判别式大于0，即可得到k 的范围．本题考查椭圆的方程和性质，考查联立椭圆方程和直线方程，消去一个未知数，运用判别式大于0，属于基础题． 22.答案：解：(Ⅰ)a =3时，f′(x)=−2x +3−1x =−2x 2−3x+1x =−(2x−1)(x−1)x ，令f ′(x)>0，得12<x <1，令f ′(x)<0，得x >1 或 0<x <12，由于x ∈[12,2]，故此时x ∈(1,2], 故函数f(x)在区间(12,2)仅有极大值点x =1，故这个极大值点也是最大值点，故函数在[12,2]最大值是f(1)=2，又f(2)−f(12)=(2−ln2)−(54+ln2)=34−2ln2<0，故f(2)<f(12)，故函数在[12,2]上的最小值为f(2)=2−ln2；(Ⅱ)若f(x)既有极大值又有极小值，则必须f′(x)=0有两个不同正根x 1，x 2，即2x 2−ax +1=0有两个不同正根．故a 应满足{Δ>0a 2>0⇒{a 2−8>0a >0⇒a >2√2, ∴函数f(x)既有极大值又有极小值，实数a 的取值范围是a >2√2．解析：本题主要考查学生会利用导数求闭区间上函数的最值，会利用导数研究函数的单调性，会求函数在某点取极值的条件．(Ⅰ)把a =3代入到f(x)中，求出导函数=0时x 的值为1得到函数的最大值为f(1)，然后判断f(12)和f(2)即可；(Ⅱ)若f(x)既有极大值又有极小值，首先必须f′(x)=0有两个不同正根，即2x 2−ax +1=0有两个不同正根，即可得到根的判别式大于0且两根之和大于0，求出a 的范围得到必要性；然后证明充分性：由a 的范围得到f′(x)=0有两个不等的正根，讨论导函数的正负即可得到函数既有极大值又有极小值．所以得到函数既有极大值又有极小值的a 的范围．。
2020-2021学年浙江省五校联考高考数学二模试卷(理科)及答案解析
浙江省五校联考高考数学二模试卷（理科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．）1．定义集合A={x|f（x）=}，B={y|y=log2（2x+2）}，则A∩∁R B=（）A．（1，+∞）B．[0，1] C．[0，1）D．[0，2）2．△ABC的三内角A，B，C的对边分别是a，b，c，则“a2+b2＜c2”是“△ABC为钝角三角形”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．对任意的θ∈（0，），不等式+≥|2x﹣1|恒成立，则实数x的取值范围是（）A．[﹣3，4] B．[0，2] C．D．[﹣4，5]4．已知棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，下列命题不正确的是（）A．平面ACB1∥平面A1C1D，且两平面的距离为B．点P在线段AB上运动，则四面体PA1B1C1的体积不变C．与所有12条棱都相切的球的体积为πD．M是正方体的内切球的球面上任意一点，N是△AB1C外接圆的圆周上任意一点，则|MN|的最小值是5．设函数f（x）=，若函数g（x）=f（x）﹣m在[0，2π]内恰有4个不同的零点，则实数m的取值范围是（）A．（0，1）B．[1，2] C．（0，1] D．（1，2）6．已知F1，F2是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左右焦点，以F1F2为直径的圆与双曲线在第一象限的交点为P，过点P向x轴作垂线，垂足为H，若|PH|=a，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．7．已知3tan+=1，sinβ=3sin（2α+β），则tan（α+β）=（）A．B．﹣C．﹣D．﹣38．如图，棱长为4的正方体ABCD﹣A1B1C1D1，点A在平面α内，平面ABCD与平面α所成的二面角为30°，则顶点C1到平面α的距离的最大值是（）A．2（2+）B．2（+）C．2（+1）D．2（+1）二、填空题（本大题共7小题，前4题每题6分，后3题每题4分，共36分）9．已知空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是；几何体的体积是．10．若x=是函数f（x）=sin2x+acos2x的一条对称轴，则函数f（x）的最小正周期是；函数f（x）的最大值是．11．已知数列{a n}满足：a1=2，a n+1=，则a1a2a3…a15= ；设b n=（﹣1）n a n，数列{b n}前n项的和为S n，则S2016= ．12．已知整数x，y满足不等式，则2x+y的最大值是；x2+y2的最小值是．13．已知向量，满足：||=2，向量与﹣夹角为，则的取值范围是．14．若f（x+1）=2，其中x∈N*，且f（1）=10，则f（x）的表达式是．15．从抛物线y2=2x上的点A（x0，y0）（x0＞2）向圆（x﹣1）2+y2=1引两条切线分别与y轴交B，C两点，则△ABC的面积的最小值是．三、解答题（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．如图，四边形ABCD，∠DAB=60°，CD⊥AD，CB⊥AB．（Ⅰ）若2|CB|=|CD|=2，求△ABC的面积；（Ⅱ）若|CB|+|CD|=3，求|AC|的最小值．17．如图（1）E，F分别是AC，AB的中点，∠ACB=90°，∠CAB=30°，沿着EF将△AEF折起，记二面角A﹣EF﹣C的度数为θ．（Ⅰ）当θ=90°时，即得到图（2）求二面角A﹣BF﹣C的余弦值；（Ⅱ）如图（3）中，若AB⊥CF，求cosθ的值．18．设函数f（x）=ax2+bx+c，g（x）=c|x|+bx+a，对任意的x∈[﹣1，1]都有|f（x）|≤．（1）求|f（2）|的最大值；（2）求证：对任意的x∈[﹣1，1]，都有|g（x）|≤1．19．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，焦点与短轴的两顶点的连线与圆x2+y2=相切．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点（1，0）的直线l与C相交于A，B两点，在x轴上是否存在点N，使得•为定值？如果有，求出点N的坐标及定值；如果没有，请说明理由．20．已知正项数列{a n}满足：S n2=a13+a23+…+a n3（n∈N*），其中S n为数列{a n}的前n项的和．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求证：＜（）+（）+（）+…+（）＜3．参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．）1．定义集合A={x|f（x）=}，B={y|y=log2（2x+2）}，则A∩∁R B=（）A．（1，+∞）B．[0，1] C．[0，1）D．[0，2）【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】求出A中x的范围确定出A，求出B中y的范围确定出B，找出A与B补集的交集即可．【解答】解：由A中f（x）=，得到2x﹣1≥0，即2x≥1=20，解得：x≥0，即A=[0，+∞），由2x+2＞2，得到y=log2（2x+2）＞1，即B=（1，+∞），∵全集为R，∴∁R B=（﹣∞，1]，则A∩∁R B=[0，1]．故选：B．2．△ABC的三内角A，B，C的对边分别是a，b，c，则“a2+b2＜c2”是“△ABC为钝角三角形”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】在△ABC中，由“a2+b2＜c2”，利用余弦定理可得：C为钝角，因此“△ABC为钝角三角形”，反之不成立．【解答】解：在△ABC中，“a2+b2＜c2”⇔cosC=＜0⇒C为钝角⇒“△ABC为钝角三角形”，反之不一定成立，可能是A或B为钝角．∴△ABC的三内角A，B，C的对边分别是a，b，c，则“a2+b2＜c2”是“△ABC为钝角三角形”的充分不必要条件．故选：A．3．对任意的θ∈（0，），不等式+≥|2x﹣1|恒成立，则实数x的取值范围是（）A．[﹣3，4] B．[0，2] C．D．[﹣4，5]【考点】基本不等式．【分析】对任意的θ∈（0，），sin2θ+cos2θ=1，可得+=（sin2θ+cos2θ）=5++，利用基本不等式的性质可得其最小值M．由不等式+≥|2x﹣1|恒成立，可得M≥|2x﹣1|，解出即可得出．【解答】解：∵对任意的θ∈（0，），sin2θ+cos2θ=1，∴+=（sin2θ+cos2θ）=5++≥5+2×2=9，当且仅当时取等号．∵不等式+≥|2x﹣1|恒成立，∴9≥|2x﹣1|，∴﹣9≤2x﹣1≤9，解得﹣4≤x≤5，则实数x的取值范围是[﹣4，5]．故选：D．4．已知棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，下列命题不正确的是（）A．平面ACB1∥平面A1C1D，且两平面的距离为B．点P在线段AB上运动，则四面体PA1B1C1的体积不变C．与所有12条棱都相切的球的体积为πD．M是正方体的内切球的球面上任意一点，N是△AB1C外接圆的圆周上任意一点，则|MN|的最小值是【考点】命题的真假判断与应用．【分析】A．根据面面平行的判定定理以及平行平面的距离进行证明即可．B．研究四面体的底面积和高的变化进行判断即可．C．所有12条棱都相切的球的直径2R等于面的对角线B1C的长度，求出球半径进行计算即可．D．根据正方体内切球和三角形外接圆的关系进行判断即可．【解答】解：A．∵AB1∥DC1，AC∥A1C1，且AC∩AB1=A，∴平面ACB1∥平面A1C1D，长方体的体对角线BD1=，设B到平面ACB1的距离为h，则=×1=h，即h=，则平面ACB1与平面A1C1D的距离d=﹣2h==，故A正确，B．点P在线段AB上运动，则四面体PA1B1C1的高为1，底面积不变，则体积不变，故B正确，C．与所有12条棱都相切的球的直径2R等于面的对角线B1C=，则2R=，R=，则球的体积V==×π×（）3=π，故C正确，D．设与正方体的内切球的球心为O，正方体的外接球为O′，则三角形ACB1的外接圆是正方体的外接球为O′的一个小圆，∵点M在与正方体的内切球的球面上运动，点N在三角形ACB1的外接圆上运动，∴线段MN长度的最小值是正方体的外接球的半径减去正方体的内切球相切的球的半径，∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，∴线段MN长度的最小值是﹣．故D错误，故选：D．5．设函数f（x）=，若函数g（x）=f（x）﹣m在[0，2π]内恰有4个不同的零点，则实数m的取值范围是（）A．（0，1）B．[1，2] C．（0，1] D．（1，2）【考点】函数零点的判定定理．【分析】画出函数f（x）的图象，问题转化为f（x）和y=m在[0，2π]内恰有4个不同的交点，结合图象读出即可．【解答】解：画出函数f（x）在[0，2π]的图象，如图示：，若函数g（x）=f（x）﹣m在[0，2π]内恰有4个不同的零点，即f（x）和y=m在[0，2π]内恰有4个不同的交点，结合图象，0＜m＜1，故选：A．6．已知F1，F2是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左右焦点，以F1F2为直径的圆与双曲线在第一象限的交点为P，过点P向x轴作垂线，垂足为H，若|PH|=a，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】运用双曲线的定义和直径所对的圆周角为直角，运用勾股定理，化简可得|PF1|•|PF2|=2c2﹣2a2，再由三角形的等积法，结合离心率公式，计算即可得到所求值．【解答】解：由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|=2a，①由直径所对的圆周角为直角，可得PF1⊥PF2，可得|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4c2，②②﹣①2，可得2|PF1|•|PF2|=4c2﹣4a2，即有|PF1|•|PF2|=2c2﹣2a2，由三角形的面积公式可得，|PF1|•|PF2|=|PH|•|F1F2|，即有2c2﹣2a2=2ac，由e=可得，e2﹣e﹣1=0，解得e=（负的舍去）．故选：C．7．已知3tan+=1，sinβ=3sin（2α+β），则tan（α+β）=（）A．B．﹣C．﹣D．﹣3【考点】两角和与差的正切函数．【分析】由已知式子可得sin[（α+β）﹣α]=3sin[（α+β）+α]，保持整体展开变形可得tan（α+β）=2tanα，再由3tan+=1和二倍角的正切公式可得tanα的值，代入计算可得．【解答】解：∵sinβ=3sin（2α+β），∴sin[（α+β）﹣α]=3sin[（α+β）+α]，∴sin（α+β）cosα﹣cos（α+β）sinα=3sin（α+β）cosα+3cos（α+β）sinα，∴2sin（α+β）cosα=4cos（α+β）sinα，∴tan（α+β）===2tanα，又∵3tan+=1，∴3tan=1﹣，∴tanα==，∴tan（α+β）=2tanα=，故选：A．8．如图，棱长为4的正方体ABCD﹣A1B1C1D1，点A在平面α内，平面ABCD与平面α所成的二面角为30°，则顶点C1到平面α的距离的最大值是（）A．2（2+）B．2（+）C．2（+1）D．2（+1）【考点】点、线、面间的距离计算．【分析】如图所示，O在AC上，C1O⊥α，垂足为E，则C1E为所求，∠OAE=30°，由题意，设CO=x，则AO=4﹣x，由此可得顶点C1到平面α的距离的最大值．【解答】解：如图所示，AC的中点为O，C1O⊥α，垂足为E，则C1E为所求，∠AOE=30°由题意，设CO=x，则AO=4﹣x，C1O=，OE=OA=2﹣x，∴C1E=+2﹣x，令y=+2﹣x，则y′=﹣=0，可得x=，∴x=，顶点C1到平面α的距离的最大值是2（+）．故选：B．二、填空题（本大题共7小题，前4题每题6分，后3题每题4分，共36分）9．已知空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是8π；几何体的体积是．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据三视图可知几何体是组合体：中间是圆柱上下是半球，由三视图求出几何元素的长度，利用柱体、球体的体积公式计算出几何体的体积，由面积公式求出几何体的表面积．【解答】解：根据三视图可知几何体是组合体：中间是圆柱上下是半球，球和底面圆的半径是1，圆柱的母线长是2，∴几何体的表面积S=4π×12+2π×1×2=8π，几何体的体积是V==，故答案为：．10．若x=是函数f（x）=sin2x+acos2x的一条对称轴，则函数f（x）的最小正周期是π；函数f（x）的最大值是．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】利用辅助角公式化f（x）=sin2x+acos2x=（tanθ=a），由已知求出θ得到a值，则函数的周期及最值可求．【解答】解：∵f（x）=sin2x+acos2x=（tanθ=a），又x=是函数的一条对称轴，∴，即．则f（x）=．T=；由a=tanθ=tan（）=tan=，得．∴函数f（x）的最大值是．故答案为：．11．已知数列{a n}满足：a1=2，a n+1=，则a1a2a3…a15= 3 ；设b n=（﹣1）n a n，数列{b n}前n 项的和为S n，则S2016= ﹣2100 ．【考点】数列的求和．【分析】利用递推式计算前5项即可发现{a n}为周期为4的数列，同理{b n}也是周期为4的数列，将每4项看做一个整体得出答案．【解答】解：∵a1=2，a n+1=，∴a2==﹣3，a3==﹣，a4==，a5==2．∴a4n+1=2，a4n+2=﹣3，a4n+3=﹣，a4n=．∴a4n+1•a4n+2•a4n+3•a4n=2×=1．∴a1a2a3…a15=a13a14a15=a1a2a3=2×（﹣3）×（﹣）=3．∵b n=（﹣1）n a n，∴b4n+1=﹣2，b4n+2=﹣3，b4n+3=，b4n=．∴b4n+1+b4n+2+b4n+3+b4n=﹣2﹣3++=﹣．∴S2016=﹣×=﹣2100．故答案为：3，﹣2100．12．已知整数x，y满足不等式，则2x+y的最大值是24 ；x2+y2的最小值是8 ．【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，代入最优解的坐标得答案．第二问，转化为点到原点的距离的平方，求出B的坐标代入求解即可．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，由z=2x+y，得y=﹣2x+z，由图可知，当直线y=﹣2x+z过A时，直线在y轴上的截距最大，由可得，A（8，8）z最大等于2×8+8=24．x2+y2的最小值是可行域的B到原点距离的平方，由可得B（2，2）．可得22+22=8．故答案为：24；8．13．已知向量，满足：||=2，向量与﹣夹角为，则的取值范围是．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】不妨设=（x，0）（x≥0），=θ，=，=，=．由于向量与﹣夹角为，可得：∠AOB=θ∈.∈[﹣1，1]．在△OAB中，由正弦定理可得：==，化简整理可得：=2+﹣=+2，即可得出．【解答】解：不妨设=（x，0）（x≥0），=θ，=，=，=．∵向量与﹣夹角为，∴∠AOB=θ∈．∴∈，∈[﹣1，1]．在△OAB中，由正弦定理可得：==，∴=，=sinθ=，∴=2+﹣=+2=+2=+2∈．∴的取值范围是．故答案为：．14．若f（x+1）=2，其中x∈N*，且f（1）=10，则f（x）的表达式是f（x）=4•（）（x∈N*）．【考点】数列与函数的综合．【分析】由题意可得f（x）＞0恒成立，可对等式两边取2为底的对数，整理为log2f（x+1）﹣2=（log2f（x）﹣2），由x∈N*，可得数列{log2f（x）﹣2）}为首项为log2f（1）﹣2=log210﹣2，公比为的等比数列，运用等比数列的通项公式，整理即可得到f（x）的解析式．【解答】解：由题意可得f（x）＞0恒成立，由f（x+1）=2，可得：log2f（x+1）=1+log2，即为log2f（x+1）=1+log2f（x），可得log2f（x+1）﹣2=（log2f（x）﹣2），由x∈N*，可得数列{log2f（x）﹣2）}是首项为log2f（1）﹣2=log210﹣2，公比为的等比数列，可得log2f（x）﹣2=（log210﹣2）•（）x﹣1，即为log2f（x）=2+log2•（）x﹣1，即有f（x）=22•2=4•（）．故答案为：f（x）=4•（）（x∈N*）．15．从抛物线y2=2x上的点A（x0，y0）（x0＞2）向圆（x﹣1）2+y2=1引两条切线分别与y轴交B，C两点，则△ABC的面积的最小值是8 ．【考点】抛物线的简单性质．【分析】设B（0，y B），C（0，y C），A（x0，y0），其中x0＞2，写出直线AB的方程为（y0﹣y B）x ﹣x0y+x0y B=0，由直线AB与圆相切可得（x0﹣2）y B2+2y0y B﹣x0=0，同理：（x0﹣2）y A2+2y0y A﹣x0=0，故y A，y B是方程（x0﹣2）y2+2y0y﹣x0=0的两个不同的实根，因为S=|y C﹣y B|x0，再结合韦达定理即可求出三角形的最小值．【解答】解：设B（0，y B），C（0，y C），A（x0，y0），其中x0＞2，所以直线AB的方程，化简得（y0﹣y B）x﹣x0y+x0y B=0直线AB与圆相切，圆心到直线的距离等于半径，两边平方化简得（x0﹣2）y B2+2y0y B﹣x0=0同理可得：（x0﹣2）y A2+2y0y A﹣x0=0，故y C，y B是方程（x0﹣2）y2+2y0y﹣x0=0的两个不同的实根，所以y C+y B=，y C y B=，所以S=|y C﹣y B|x0==（x0﹣2）++4≥8，所以当且仅当x0=4时，S取到最小值8，所以△ABC的面积的最小值为8．故答案为：8．三、解答题（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．如图，四边形ABCD，∠DAB=60°，CD⊥AD，CB⊥AB．（Ⅰ）若2|CB|=|CD|=2，求△ABC的面积；（Ⅱ）若|CB|+|CD|=3，求|AC|的最小值．【考点】余弦定理．【分析】（Ⅰ）由已知可求∠DCB，利用余弦定理可求BD，进而求得AC，AB，利用三角形面积公式即可得解．（Ⅱ）设|BC|=x＞0，|CD|=y＞0，由已知及基本不等式可求BD的最小值，进而可求AC的最小值．【解答】（本题满分为15分）解：（Ⅰ）∵∠DAB=60°，CD⊥AD，CB⊥AB，可得A，B，C，D四点共圆，∴∠DCB=120°，∴BD2=BC2+CD2﹣2CD•CB•cos120°=1+4+2=7，即BD=，∴，∴，∴．…（Ⅱ）设|BC|=x＞0，|CD|=y＞0，则：x+y=3，BD2=x2+y2+xy=（x+y）2﹣xy，∴，当时取到．…17．如图（1）E，F分别是AC，AB的中点，∠ACB=90°，∠CAB=30°，沿着EF将△AEF折起，记二面角A﹣EF﹣C的度数为θ．（Ⅰ）当θ=90°时，即得到图（2）求二面角A﹣BF﹣C的余弦值；（Ⅱ）如图（3）中，若AB⊥CF，求cosθ的值．【考点】二面角的平面角及求法．【分析】（Ⅰ）推导出AE⊥平面CEFB，过点E向BF作垂线交BF延长线于H，连接AH，则∠AHE 为二面角A﹣BF﹣C的平面角，由此能求出二面角A﹣BF﹣C的余弦值．（Ⅱ）过点A向CE作垂线，垂足为G，由AB⊥CF，得GB⊥CF，由此能求出cosθ的值．【解答】解：（Ⅰ）∵平面AEF⊥平面CEFB，且EF⊥EC，∴AE⊥平面CEFB，过点E向BF作垂线交BF延长线于H，连接AH，则∠AHE为二面角A﹣BF﹣C的平面角设，，，∴，∴二面角A﹣BF﹣C的余弦值为．（Ⅱ）过点A向CE作垂线，垂足为G，如果AB⊥CF，则根据三垂线定理有GB⊥CF，∵△BCF为正三角形，∴，则，∵，∴，∴cosθ的值为．18．设函数f（x）=ax2+bx+c，g（x）=c|x|+bx+a，对任意的x∈[﹣1，1]都有|f（x）|≤．（1）求|f（2）|的最大值；（2）求证：对任意的x∈[﹣1，1]，都有|g（x）|≤1．【考点】二次函数的性质；绝对值三角不等式．【分析】（1）由|f（x）|≤得|f（0）|≤，|f（1）|≤，|f（﹣1）|≤，代入解析式即可得出a，b，c的关系，使用放缩法求出|f（2）|的最值；（2）由（1）得出|g（±1）|，故g（x）单调时结论成立，当g（x）不单调时，g（x）=a，利用不等式的性质求出a的范围即可．【解答】解：（1）∵对任意的x∈[﹣1，1]都有|f（x）|≤．|f（0）|≤，|f（1）|≤，|f（﹣1）|≤，∴|c|≤，|a+b+c|≤，|a﹣b+c|≤；∴|f（2）|=|4a+2b+c|=|3（a+b+c）+（a﹣b+c）﹣3c|≤|3（a+b+c）|+|（a﹣b+c）|+|﹣3c|≤=．∴|f（2）|的最大值为．（2）∵﹣≤a+b+c≤，﹣≤a﹣b+c≤，﹣≤c≤，∴﹣1≤a+b≤1，﹣1≤a﹣b≤1，∴﹣1≤a≤1，若c|x|+bx=0，则|g（x）|=|a|，∴|g（x）|≤1，若c|x|+bx≠0，则g（x）为单调函数，|g（﹣1）|=|a﹣b+c|≤，|g（1）|=|a+b+c|≤，∴|g（x）|．综上，|g（x）|≤1．19．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，焦点与短轴的两顶点的连线与圆x2+y2=相切．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点（1，0）的直线l与C相交于A，B两点，在x轴上是否存在点N，使得•为定值？如果有，求出点N的坐标及定值；如果没有，请说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由椭圆的离心率为，焦点与短轴的两顶点的连线与圆x2+y2=相切，列出方程组，求出a，b，由此能求出椭圆方程．（Ⅱ）当直线l的斜率存在时，设其方程为y=k（x﹣1），A（x1，y1），B（x2，y2），直线方程与椭圆立，利用韦达定理、根的判别式、向量的数量积，结合已知条件能求出存在点满足．【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，焦点与短轴的两顶点的连线与圆x2+y2=相切，∴，解得c2=1，a2=4，b2=3∴椭圆方程为（Ⅱ）当直线l的斜率存在时，设其方程为y=k（x﹣1），A（x1，y1），B（x2，y2），则△＞0，，若存在定点N（m，0）满足条件，则有=（x1﹣m）（x2﹣m）+y1y2=如果要上式为定值，则必须有验证当直线l斜率不存在时，也符合．故存在点满足20．已知正项数列{a n}满足：S n2=a13+a23+…+a n3（n∈N*），其中S n为数列{a n}的前n项的和．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求证：＜（）+（）+（）+…+（）＜3．【考点】数列与不等式的综合；数列递推式．【分析】（Ⅰ）通过S n2=a13+a23+…+a n3（n∈N*）与S n﹣12=a13+a23+…+a n﹣13（n≥2，n∈N*）作差、计算可知S n+S n﹣1=，并与S n﹣1﹣S n﹣2=作差、整理即得结论；（Ⅱ）通过（Ⅰ）可知，一方面利用不等式的性质、累加可知（）+（）+（）+…+（）＞，另一方面通过放缩、利用裂项相消法计算可知++…+＜2，进而整理即得结论．【解答】解：（Ⅰ）∵S n2=a13+a23+…+a n3（n∈N*），∴S n﹣12=a13+a23+…+a n﹣13（n≥2，n∈N*），两式相减得：﹣=，∴a n（S n+S n﹣1）=，∵数列{a n}中每一项均为正数，∴S n+S n﹣1=，又∵S n﹣1﹣S n﹣2=，两式相减得：a n﹣a n﹣1=1，又∵a1=1，∴a n=n；证明：（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，∵，∴，即，令k=1，2，3，…，n，累加后再加得：（）+（）+（）+…+（）＞2+2+…+2+=（2n+1）=，又∵+++…+＜3等价于++…+＜2，而=＜=（﹣）=（﹣）＜（﹣）=2（﹣），令k=2，3，4，…，2n+1，累加得：++…+＜2（1﹣）+2（﹣）+…+2（﹣）=2（1﹣）＜2，∴．。
浙江省届高三下学期五校联考试题数学Word版含答案
2021学年浙江省高三“五校联考〞考试数学试题卷 命题学校：绍兴一中说明：本试题卷分选择题和非选择题两局部．全卷共4页，总分值150分，考试时间 120分钟．请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上．参考公式柱体的体公式：V=Sh ，其中S 表示柱体的底面,h 表示柱体的高；体的体公式：V=1Sh ，其中S 表示体的底面,h 表示体的高；3台体的体公式：V1 (S 1 S1S2S2)h ，其中S 1,S2分表示台体的上、下底面,h 表示台体的高；3球的外表公式： 2 ，球的体公式：V=4 3S=4πR πR ，其中R 表示球的半径；3假设事件A,B 互斥, P(A+B)=P(A)+P(B)；假设事件A,B 相互独立, P(A·B)=P(A)·P (B)；k假设事件A 在一次中生的概率是p,n 次独立重复中事件A 恰好生k 次的概率Pn(k)=Cn kpn-kn)⋯．, (1－p)(k=0,1,2,选择题局部〔共一、选择题：本大题共 10目要求的.40分〕小题，每题4分，共40分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题1.集合U 1,1,3,5,7,9，A{1,5}，B1,5,7，那么C U (AB) 〔▲〕A.3,9B.1,5,7C.1,1,3,9D.1,1,3,7,92.如图，网格纸上的小正方形的边长为 1，粗线画出的是某几何体的三视图，那么该几何体的外表积为〔 ▲ 〕A.426B.46C.422D.423.数列{a },满足 an 1 3an,且aa a69，那么n2 4log 3a 5log 3a 7log 3a 9 〔▲〕〔第2〕A.5B.6C.8D.114.xy0 ，那么“x0 〞是“2|x| x 22|y|y 2〞的〔 ▲〕A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5.函数y 1x e x的大致图象为〔▲〕1 xCy1,6.实数x,y满足y2x10,如果目标函数z x y的最小值为－1，那么实数m等于〔▲〕x y m0,A．7B．5C．4D．37.M tan sin cos，N tan(tan82)，那么M和N的关系是〔▲〕28A.M NB.M NC.M ND.M和N无关8.函数f(x)|log2x|,x0,|2f(x)m|1，且mZ，假设函数g(x)存在5个零1x,x，函数g(x)0.点，那么m的值为〔▲〕9.设a,b,c为平面向量，|a||b|2，假设(2c a)(c b)0，那么cb的最大值为〔▲〕A.2B.9C.17D.5 4410.如图，在三棱锥S ABC中，SC AC,SCB,ACB,二面角S BC A的平面角为，那么〔▲〕A. B.SCA C.SBA D.SBA非选择题局部〔共110分〕二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分. 11．复数z满足1+2iz2i，那么z=▲，|z|=▲.12．f(x)(x2x1)(2x1)5的展开式中各项系数的和为▲，该展开式中的常数项为▲.x13．函数f(x)cos(x)(0,||)象中两相的最高点和最低点分(,1),72121)，函数f(x)的增区▲，将函数f(x)的象至少平移▲个位度后关于直(,12x称.414．一个正四面体的四个面上分有1，2，3，4，将正四面体抛两次，向下一面的数字和偶数的概率▲，两个数字和的数学期望▲.15．双曲x2y21(a0,b0)中，A1,A2是左、右点，F是右焦点，B是虚的上端点．假设在a2b2段BF上〔不含端点〕存在不同的两点P i(i1,2)，使得PA i1PA i20，双曲离心率的取范是▲.16．从0,1,2,⋯,8九个数字中取五个不同的数成五位偶数，且奇数数字不能放在偶数位〔从万位到个位分是第一位，第二位⋯⋯〕，有▲个不同的数.〔用数字作答〕17．数x,y[1,1]a,a b,，max{a,b}b.b,amax{x2y21,|x2y|}的最小▲.三、解答：本大共5小，共74分，解答写出文字明、明程或演算步. 18．〔本分14分〕ABC中，角A,B,C所的分a,b,c，且cos AsinA2.222(Ⅰ)求角A的大小；(Ⅱ)当a7,sin(A C)21，求c的. 1419．〔本分15分〕如，ABC中，AB BC7,AC10，点A平面，点B,C在平面的同，且B,C在平面上的射影分E,D ，BE2CD2.(Ⅰ)求：平面ABE 平面BCDE；(Ⅱ)假设M是AD中点，求平面BMC 与平面所成二面角的余弦.20．〔此题总分值15分〕正项数列a n的前n项和为S n，满足2S n12a n2a n(nN).(Ⅰ)〔i〕求数列a n的通项公式；〔ii〕对于n 1111M的最小值；N，不等式S2S3M恒成立，求实数S1S n(Ⅱ)数列b n的前n项和为T n，满足42a n1T n2(n N)，是否存在非零实数，使得数列b n 为等比数列？并说明理由.21．〔此题总分值15分〕x2y21，抛物线x22y的准线与椭圆交于A,B两点，过线段AB上的动点P作斜率椭圆4为正的直线l与抛物线相切，且交椭圆于M,N两点.(Ⅰ)求线段AB的长及直线l斜率的取值范围；1MNQ面积的最大值.(Ⅱ)假设Q〔0，〕，求422．〔此题总分值15分〕函数 f(x) e x ax(Ⅰ)假设f(x)0恒成立，求b.(其中e为自然对数的底数ab的最大值；)(Ⅱ)设g(x)lnx 1，假设F(x)g(x)f(x)存在唯一的零点，且对满足条件的a,b不等式m〔ae1)b恒成立，求实数m的取值集合.。
浙江省五校联考2020届高三数学第一次联考试题 理
2020学年浙江省第一次五校联考数学（理科）试题卷第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合要求的． 1．在复平面内，复数1i i+＋(1＋3i )2对应的点位于 ( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 2．若nxx )2(2-的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是 （ ）A ．45B ．90C ．180D ．3603．若数列{}n a 满足p p a a nn (221=+为常数，)*N n ∈，则称数列{}n a 为等方比数列．已知甲：{}n a 是等方比数列，乙：{}n a 为等比数列，则命题甲是命题乙的 （ ）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分又不必要条件4．已知盒中装有3只螺口与7只卡口灯炮，这些灯炮的外形与功率都相同且灯口向下放着，现需要一只卡口灯炮使用，电工师傅每次从中任取一只且不放回，则他直到第3次才取得卡口灯炮的概率是( ) A ．2140 B ．1740C ．310 D ．71205.函数()sin()f x A x B ωϕ=++的一部分图象如图，则)(x f 的解析式和++=)1()0(f f S (2)(2011)f f +⋯+的值分别是（ ）A ．12sin 21)(+π=x x f ， 2011S =B ．12sin 21)(+π=x x f ， 2012S =C ．1()sin 124f x x π=+ ， 2012S =D．1 ()sin122f x xπ=+，2011S=6．函数)(xfy=的定义域是),(+∞-∞，若对于任意的正数a，函数()()()g x f x a f x=+-是其定义域上的增函数，则函数)(xfy=的图象可能是（）7．在锐角三角形ABC∆中，1tan,1tan-=+=tBtA，则t的取值范围是（）A．),2(+∞B．),1(+∞ C．)2,1(D．)1,1(-8．已知向量OA(1,sin)θ=u u u r，OB(cos,1)θ=u u u r，(0,)2πθ∈,则AOB∆面积的最小值是（）A．1B．18C．12D．149．若函数f(X)=x2+2ax+b有两个不同的零点，则a b+的取值范围是（）A．(0,3]B．(0,2)C．(1,3)D．[0,3]10．设三位数abcn=，若以cba,,为三条边的长可以构成一个等腰（含等边）三角形，则这样的三位数n共有（）A．185个B．170个C．165个D．156个第II卷（共100分）二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．11．执行如图的程序框图，那么输出S的值是 .12．定义：区间)](,[2121x x x x <长度为12x x -.已知函数|log |5.0x y =定义域为],[b a ，值域为]2,0[，则区间],[b a 长度的最大值为 .13．随机变量ξ的分布列如下：ξ 1-0 1Pabc其中a b c ，，成等差数列，若3E ξ=，则D ξ的值是 .14. 对于等差数列{n a }，有如下一个真命题：“若{n a }是等差数列，且1a ＝0，s 、t 是互不相等的正整数，则(1)(1)0t s s a t a ---=”．类比此命题，对于等比数列{n b }，有如下一个真命题：若{n b }是等比数列，且1b ＝1，s 、t 是互不相等的正整数，则 .15．若不等式组02(1)1y y x y a x ≥⎧⎪≤⎨⎪≤-+⎩表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是 .16.设G 为ABC ∆的内心, 5,4,3AB AC CB ===，AG x AB yBC =+u u u r u u u r u u u r （X,Y ∈R ），则y的值是 .17．已知函数22,1()44,1x xf xx x x⎧>⎪=⎨-+≤⎪⎩，若2(21)(2)f m f m+>-，则实数m的取值范围是.三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．(本题14分)设集合1{24}32xA x-=≤≤，{}012322<--+-=mmmxxxB.（1）当x Z∈时，求A的非空真子集的个数；（2）若BA⊇，求实数m的取值范围.19．(本题14分)（如右图）半径为1，圆心角为0120的扇形，点P 是扇形AB 弧上的动点，设POA x ∠=．（1）用x 表示平行四边形ODPC 的面积()S f x =； （2）求平行四边形ODPC 面积的最大值．20．(本题14分)数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知()211,1,1,2,2n n a S n a n n n ==--=⋅⋅⋅ （1）证明：数列1{}n n S n+是等差数列，并求n S ； （2）设3nn S b n =，求证：121n b b b +++<L .21. (本题15分)已知函数32(),(0)f x px qx r p =++>图象的对称中心为(1,0)，且()f x 的极小值为2-.（1）求()f x 的解析式；（2）设()()T x f x m =+，若()T x 有三个零点，求实数m 的取值范围； （3）是否存在实数k ，当2a b +≤时，使函数1()'()3g x f x k =+在定义域[a,b] 上的值域恰为[a,b]，若存在，求出k 的范围；若不存在，说明理由.22．(本题15分)已知函数b x x ax x f ++=ln )(是奇函数，且图像在点(,())e f e (e 为自然对数的底数）处的切线斜率为3. （1） 求实数a 、b 的值; （2） 若Z k ∈，且1)(-<x x f k 对任意1>x 恒成立，求k 的最大值; （3） 当1,(,)n m n m Z >>∈时，证明：()()nm mn nm mn >.2020学年浙江省第一次五校联考数学（理科）答案一、选择题二、填空题11． 2 ； 12．415； 13． 5.9； 14． 111=--t ss t b b15．(,0)a ∈-∞； 16．512；17. (3,1)(1,3)m ∈--U三、解答题18．解：化简集合A={}52≤≤-x x ，集合{}(1)(21)0B x x m x m =-+--<. ………….4分（1）{}5,4,3,2,1,0,1,2,--=∴∈A Z x Θ,即A 中含有8个元素，∴A 的非空真子集数为254228=-个. .7分（2）①m= －2时，B A =Φ⊆；………….9分②当m<－2 时，()()21120m m m +--=+<，所以B=()21,1m m +-,因此，要A B ⊆，则只要⎩⎨⎧≤≤-⇒≤--≥+62351212m m m ，所以m 的值不存在；…………11分③当m>－2 时, B=（m-1,2m+1）,因此，要A B ⊆，则只要⎩⎨⎧≤≤-⇒≤+-≥-2151221m m m . 综上所述，知m 的取值范围是：m=－2或.21≤≤-m …………14分 19．由题意得：001sin(120)sin 60a x ==- ………….3分0)a x =-000)sin ,(0,120)ODPC S x x x =-∈Y …………7分1cos sin sin 22x x x ⎤=+⎥⎦2cos sin x x x =1cos 2x x ⎤-=+⎥⎦11sin 2cos 22x x ⎡⎤=-+⎥⎦g()01sin 2302x ⎤=-+⎥⎦ ………….11分 当023090x -=时达最大值00029030120x =+=即，当060(0,120)x =∈． ………….14分20．解：（1）由()21n n S n a n n =--()2n ≥得：()21()1n n n S n S S n n -=---，即()221(1)1n n n S n S n n ---=-，所以1111n n n nS S n n -+-=-，对2n ≥成立。
浙江省衢州五校联盟2020-2021学年高一上学期期末联考数学试题含答案
B．若 ab = 4 ，则 a + b 4
C．若 a b ，则 ac2 bc2
D．若 a b 0 ， m 0 ，则 b b + m a a+m
10. 下列命题不正确的是（ ）
A．命题“ x0 R， x02 +1 3x0 ”的否定是“ x R， x2 +1 3x ”
B．“ = 2 ”是“函数 f (x) = sin(x +) 的最小正周期为 ”的充要条件
x + 1, x 0
是（ ） A. 0
B. − 1 2
C. −1
高一数学学科 试题 第2页（共 4 页）
D. − 1 3
第Ⅱ卷（非选择题 共 98 分）
三、填空题：本大题共 5 小题，多空题每小题 6 分，单空题每小题 4 分，共 24 分．
13. 函数 f (x) = log2(4 − x2 ) 的定义域为
即 h( x1 ) h ( x2 ) ...................................10 分
故 h(x) 在区间[0,t] 上为增函数
由 2k − 2x 2k + ， k Z 得出， k − x k + ， k Z ....................12 分
2.
已知函数
f
(
x
)
=
ex
x2
+1, x 1 + mx, x
1
，若
f
f
(0) = 4m ，则实数 m = （
）
A．0
B．1
C．2
D．3
3. 已知点 P(−1, tan 2 ) 是角 终边上一点，则 cos 的值为（ ）
高三数学：2024年浙江省五校(杭二金一绍一衢二温中)联盟高三3月联考答案
参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案CBDBCACA选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．题号 9 10 11 答案BCABDACD12. 3(1,)4 (答案不唯一) 13.2514. 6− 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（本小题满分13分）（第Ⅰ问，6分；第Ⅱ问，7分）解：（Ⅰ）取BC 中点为M ，连接1B M ，∵1B 在底面内的射影恰好是BC 中点， ∴1B M ⊥平面ABC ，又∵AC ⊂平面ABC ,∴1B M AC ⊥， 又∵90ACB ∠=，∴AC BC ⊥， ∵1,B M BC ⊂平面11B C CB ，1B MBC M =，∴AC ⊥平面11B C CB ，又∵AC ⊂平面11ACC A ，∴平面11ACC A ⊥平面11B C CB .（Ⅱ）以C 为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，∵2BC CA ==， ∴11(2,0,0),(0,2,0),(0,1,0),(0,1,3),(0,1,3),A B M B C − 111(2,1,3),(2,2,0),(0,2,0)AB AB B C =−=−=−，设平面1BAB 的法向量为(,,)n x y z =，∴100n AB n AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩则有230220x y z x y ⎧−++=⎪⎨−+=⎪⎩，令3,z =则3x y ==，∴(3,3,3)n =，设平面1BAB 的法向量为(,,)m a b c =，∴1110m AB m B C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩则有23020a b c b ⎧−++=⎪⎨−=⎪⎩，令3a =则0,2b c ==，∴(3,0,2)n =，∴||535|cos ,|||||7993304n m n m n m ⋅<>===++⨯++，平面1ABB 与平面11AB C 夹角的余弦值为57.16.（本小题满分15分）（第Ⅰ问，6分；第Ⅱ问，9分）∴f (x )的最大值是f (e)＝1－a e ＝－3，解得a ＝4e >0，舍去；②当a >0时，由f ′(x )＝1x －a ＝1－ax x ＝0，得x ＝1a，当0<1a <e ，即a >1e 时，∴x ∈⎝⎛⎭⎫0，1a 时，f ′(x )>0；x ∈⎝⎛⎭⎫1a ，e 时，f ′(x )<0， ∴f (x )的单调递增区间是⎝⎛⎭⎫0，1a ，单调递减区间是⎝⎛⎭⎫1a ，e ， 又f(x )在(0，e]上的最大值为－3，∴f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫1a ＝－1－ln a ＝－3，∴a ＝e 2； 当e≤1a ，即0<a ≤1e 时，f (x )在(0，e]上单调递增，∴f (x )max ＝f (e)＝1－a e ＝－3，解得a ＝4e >1e，舍去．综上，存在a 符合题意，此时a ＝e 217.（本小题满分15分） （第Ⅰ问，6分；第Ⅱ问，4分；第Ⅲ问，5分） （Ⅰ）由题意可知，可构成的复数为{}11i +， 且1112i i ====+=+=.X 的可能取值为1234,,，()11221166119C C P X C C ⋅===⋅,(1142116629C C P X C C ⋅===⋅,()11421166229C C P X C C ⋅===⋅,()11221166139C C P X C C ⋅===⋅,(1142116629C C P X C C ⋅===⋅,()11221166149C C P X C C ⋅===⋅,所以分布列为：（Ⅱ）共有666216C C C ⋅⋅=种， 满足32z ≤的情况有：①3个复数的模长均为1，共有1112228C C C ⋅⋅=种；②3个复数中，2个模长均为1，12，共有2111322448C C C C ⋅⋅⋅=种； 所以()38487221627P z +≤==. （Ⅲ）当1n =或2时，显然都满足，此时1n P =； 当3n ≥时，满足5n z <共有三种情况： ①n 个复数的模长均为1，则共有()122nn C =；②1n −个复数的模长为1，剩余12，则共有()11111242n n n n C C C n −−+⋅⋅=⋅；③2n −个复数的模长为1，剩余2或者2，则共有()()22111124412n n n n C C C C n n −−+⋅⋅⋅=−⋅.故()()()()211216212*********n n n n n nnnn n n n n P z C ++++⋅+−⋅+<===，此时当12n ,=均成立.所以()21253n nn P z +<=.18. （本小题满分17分）（第Ⅰ问，4分；第Ⅱ问，7分；第Ⅲ问，6分） 解：（Ⅰ）根据图形可知()()1,11232x x P x x +=++++=， （Ⅱ）固定x ，则(),P x y 为一个高阶等差数列，且满足()(),1,1P x y P x y x y +−=+−，()()1,,P x y P x y x y +−=+,所以()()()()()1,1,112112y y P x y P x y y x y x ++−=++++−=+−,()()()()11,1122y y x x P x y y x +++=+−+,所以()()()()()11,1122x x y y P x y x y +−=++−−,()()()()()111,2122x x y y P x y x y −−−=++−−，所以()()()()()()()()()()221111,11,21122222322,x x y y y y x x P x y P x y x y y x x y xy y x P x y −−++++−=++−−++−+=++−−+=（Ⅲ）()()()()1,1,11,1,12024P x y P x y P x y P x y +−+++++++=,等价于()()()(),,11,1,12023P x y P x y P x y P x y +++++++=,等价于()(),131,2023P x y P x y +++=,即()()()()()()131211212202322x x y y x x x y y x +++−++++−+=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦,化简得()()2221010121010y xy x y x x y x y x ++−+=⇔+−++=,由于x y +增大，()()1x y x y +−+也增大，当31x y +=时，()()129921010x y x y x +−++<<,当33x y +=时，()()1210561010x y x y x +−++>>,故当32x y +=时，()()1210109,23x y x y x x y +−++=⇒==， 即()91023229,2382247422P ⨯⨯=++⨯=.19. （本小题满分17分）（第Ⅰ问，4分；第Ⅱ问，5分；第Ⅲ问，8分） 解：（Ⅰ）设直线MN ：1x my =+，1122(,),(,)M x y N x y联立241x xy y m =+=⎧⎨⎩，消去x ，得2440y my −−=，所以12124,4y y m y y +=⋅=−，3MF NF =，则123y y =−∴122212224,34y y y m y y y +=−=⋅=−=−，则213m=，又由题意0,m >∴3m =，直线的方程是y =（Ⅱ）（ⅰ）方法1：设112233(,),(,),(,)M x y N x y D x y因为,,,O M D N 四点共圆，设该圆的方程为220x y dx ey +++=，联立22204x y dx ey y x⎧+++=⎨=⎩，消去x ，得()42416160y d y ey +++=，即()()3416160y y d y e +++=，所以123,,y y y 即为关于y 的方程()3416160y d y e +++=的3个根，则()()()()312341616y d y e y y y y y y +++=−−−，因为()()()()()32123123122313123y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y −−−=−+++++−，由2y 的系数对应相等得，1230y y y ++=，所以MND ∆的重心的纵坐标为0.方法2：设112233(,),(,),(,)M x y N x y D x y ，则1213234444,,,OM ON MD ND k k k k y y y y y y ====++， 因为,,,O M C N 四点共圆，所以MON MDN π∠+∠=，即tan tan 0MON MDN ∠+∠=，21124()tan 116OM ON OM ON k k y y MON k k y y −−∠==+⋅+，1213234()tan 1()()16ND MD ND MD k k y y MDN k k y y y y −−∠==+⋅+++，化简可得：312y y y =−−， 所以MND ∆的重心的纵坐标为0.（ⅱ）记,OMN MND △△的面积分别为12,S S ，由已知得直线MN 的斜率不为0 设直线MN ：1x my =+，联立241x xy y m =+=⎧⎨⎩，消去x ，得2440ymy −−=，所以12124,4y y m y y +=⋅=−，所以1121122S OF y y =⋅⋅−==， 由（i ）得，()3124y y y m =−+=−， 所以()22233114444x y m m ==⨯−=，即()24,4D m m −， 因为()212122444MN x x m y y m =++=++=+，点D 到直线MN的距离d =，所以()22211448122S MN d m m =⋅⋅=⋅+=−，所以)221281181S S S m m =+=+−=+− M 在第一象限，即120,0y y ><，340y m =−<，依次连接O ，M ，D ，N 构成凸四边形OMDN ，所以()3122y y y y =−+< ，即122y y −<，又因为124y y ⋅=−，2242y y <，即222y <，即20y <<，所以122244m y y y y =+=−>=，即4m >，即218m >，所以)218116S m m =+−=设t =4t >， 令()()2161f t t t =−，则()()()2221611614816f t t t t t '='=−+−−，因为4t >，所以()248160f t t −'=>，所以()f t在区间,4∞⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增， 所以()42f t f ⎛⎫>= ⎪⎪⎝⎭， 所以S的取值范围为,2∞⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭.。
2020届浙江省五校高三上学期联考数学试题(解析版)
（2）设 ，求数列 的前 项和
【答案】（1）
（2）
【解析】（1）根据题设已知条件利用通项公式直接表示出 ， 的关系式，求解出 与 的通项公式，表示出 的通项公式，利用 进行判断
（2）采用错位相减法进行求解即可
【详解】
解析：
（1）设公差为 ，公比为
则 ，
所以 ， ；
2020届浙江省五校高三上学期联考数学试题
一、单选题
1．已知集合 ， ，则 （）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】分别计算出集合 后可得两个集合的交集.
【详解】
， ，故 ，故选B.
【点睛】
本题考查集合的交运算，属于基础题.
2．已知向量 ， ，且 与 的夹角为 ，则（）
A. B. C. D.
【答案】C
22．设函数
（1）当 时，若 是函数 的极值点，求证： ；
（2）（i）求证：当 时， ；
（ii）若不等式 对任意 恒成立，求实数 的取值范围.
注：e=2.71828...为自然对数的底数.
【答案】（1）证明见解析
即有 ，
不妨设 ，即有： ，所以
法二：由 得： ； 如图建系得：
， ， ， , ，
（1） , 则
（2）设面 的法向量为 ， ， ，
即有： ，
故
【点睛】
本题考查利用线面垂直证线线垂直，求线面角的正弦值，相对来说，立体图形比较规整，也可采用建系法进行求解，属于中档题
20．设数列 是等比数列，数列 是等差数列，若 ， .
，由正弦定理得：
【点睛】
本题考查复合三角函数值域的求法，三角恒等变换中关于具体角的求解问题，正弦定理在解三角形中的应用，对于角的拼凑问题是解题过程中经常会遇到的问题，如本题中 ，常见的还有 ， ， 等