基本不等式知识点和基本题型

基本不等式专题辅导

一、知识点总结

1、基本不等式原始形式

（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ （2）若R b a ∈,，则2

2

2

b a

ab +≤ 2、基本不等式一般形式（均值不等式） 若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+ 3、基本不等式的两个重要变形

（1）若*

,R b a ∈，则ab b a ≥+2 （2）若*,R b a ∈，则2

2⎪

⎭

⎫ ⎝⎛+≤b a ab

总结：当两个正数的积为定植时，它们的和有最小值； 当两个正数的和为定植时，

它们的积有最小值；

4、求最值的条件：“一正，二定，三相等”

5、常用结论

（1）若0x >，则1

2x x

+≥ (当且仅当1x =时取“=”） （2）若0x <，则12x x

+≤- (当且仅当1x =-时取“=”） （3）若0>ab ，则2≥+a

b b

a (当且仅当

b a =时取“=”）

（4）若R b a ∈,，则2

)2(2

22b a b a ab +≤

+≤ （5）若*,R b a ∈，则

2

2111

22b a b a ab b

a +≤+≤≤+

6、柯西不等式

（1）若,,,a b c d R ∈，则22222()()()a b c d ac bd ++≥+

（2）若123123,,,,,a a a b b b R ∈，则有：22222221231123112233()()()a a a b b b a b a b a b ++++≥++ （3）设1212,,,,,,n n a a a b b ⋅⋅⋅⋅⋅⋅与b 是两组实数，则有22212(n a a a ++⋅⋅⋅+)2221

2)n b b b ++⋅⋅⋅+(21122()n n a b a b a b ≥++⋅⋅⋅+

二、题型分析

题型一：利用基本不等式证明不等式 1、设b a ,均为正数，证明不等式:ab ≥

b

a 112+

2、已知c b a ,,为两两不相等的实数，求证：ca bc ab c b a ++>++222

3、已知1a b c ++=，求证：22213

a b c ++≥

4、已知,,a b c R +∈，且1a b c ++=，求证：abc c b a 8)1)(1)(1(≥---

5、已知,,a b c R

+

∈，且1a b c ++=，求证：111

1118a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---≥ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

6、选修4—5：不等式选讲

设,,a b c 均为正数,且1a b c ++=,证明:(Ⅰ)13ab bc ca ++≤; (Ⅱ)222

1a b c b c a

++≥.

7、选修4—5：不等式选讲： 已知0>≥b a ，求证:b a ab b a 223322-≥-

题型二：利用不等式求函数值域 1、求下列函数的值域 （1）22213x x y +

= （2）)4(x x y -= （3）)0(1>+=x x x y （4）

)0(1<+=x x

x y

题型三：利用不等式求最值 （一）（凑项） 1、已知2>x ，求函数4

24

42-+

-=x x y 的最小值；

变式1：已知2>x ，求函数4

24

2-+=x x y 的最小值；

变式2：已知2

24

2-+

=x x y 的最大值；

练习：1、已知54

x >，求函数14245

y x x =-+

-的最小值；

2、已知54

x <，求函数14245

y x x =-+

-的最大值；

题型四：利用不等式求最值 （二）（凑系数） 1、当

时，求(82)y x x =-的最大值；

变式1：当

时，求4(82)y x x =-的最大值；

变式2：设2

3

0<

2、若02<

变式：若40<

3、求函数)2

5

21(2512<<-+-=

x x x y 的最大值； （提示：平方，利用基本不等式）

变式：求函数)4

11

43(41134<<-+-=

x x x y 的最大值；

题型五：巧用“1”的代换求最值问题 1、已知12,0,=+>b a b a ，求t a b

=+11

的最小值； 法一：

法二：

变式1：已知22,0,=+>b a b a ，求t a b

=

+11

的最小值； 变式2：已知28,0,1x y x

y

>+=，求xy 的最小值； 变式3：已知0,>y x ，且11

9x y

+

=，求x y +的最小值。

变式4：已知0,>y x ，且1

94x y

+=，求x y +的最小值；

变式5：（1）若0,>y x 且12=+y x ，求11x y

+的最小值；（2）若+∈R y x b a ,,,且1=+y

b x

a ，求y

x +的最小值；

变式6：已知正项等比数列{}n a 满足：5672a a a +=，若存在两项n m a a ,，使得14a a a n m =，求

n

m 4

1+的最小值；

题型六：分离换元法求最值（了解）

1、求函数)1(11072-≠+++=

x x x x y 的值域； 变式：求函数)1(1

8

2>-+=x x x y 的值域；

2、求函数522++=

x x y 的最大值；（提示：换元法） 变式：求函数9

41++=x x y 的最大值；

题型七：基本不等式的综合应用

1、已知1log log 22≥+b a ，求b a 93+的最小值

2、（2009天津）已知0,>b a ，求ab b

a

2

11++的最小值；