狄利克雷判别法和阿贝尔判别法
广义积分阿贝尔判别法和狄利克雷判别法
阿贝尔判别法和狄利克雷判别法是微积分中重要的判定法则，它们主要被用来判定数项级数的收敛、函数项级数的一致收敛、反常积分的收敛以及反常含参积分的一致收敛等。
它们都以数学家的名字命名，分别是尼尔斯·阿贝尔和约翰·彼得·狄利克雷。
阿贝尔判别法是说：如果∫baf(x,y)dx关于x一致收敛，g(x,y)对每一个x都单调（方向可以不同）且关于y一致有界，那么整体就一致收敛。
狄利克雷判别法则稍微有些不同：如果∫baf(x,y)dx关于y一致有界，g(x,y)对每一个x都单调（方向可以不同）且在x→b时一致收敛于0，那么整体也是一致收敛的。
请注意，这里的一致收敛性是一个非常重要的概念，在微积分理论中有着广泛的应用。
一致收敛的函数序列或函数项级数可以保持很多重要的分析性质，比如连续性、可积性等等。
总的来说，阿贝尔判别法和狄利克雷判别法为我们提供了判断广义积分收敛性的有效工具。
但是，它们的使用需要一定的数学知识和技巧，特别是在判断函数或函数序列的一致有界性、单调性和一致收敛性时。
数分论文三
云南大学数学分析习作课论文三题目：三个判别法的条件强弱学院：数学与统计学院专业：数学与应用数学姓名：学号：任课教师：时间：2012年12月摘要：莱布尼兹判别法、狄利克莱判别法和阿贝尔判别法是判断任意项级数的收敛性，但不可以判断发散。
它们的条件有相似之处，又有区别。
当然三个判别法也有强弱之分。
对于不同的级数，应具体问题具体分析，从而采用合适的判别法进行判别。
关键词：Cauchy收敛原理、阿贝尔变换、阿贝尔引理、莱布尼兹判别法、狄利克莱判别法、阿贝尔判别法、具体问题具体分析。
一、三个判别法的定义和相关证明： 补充：级数的Cauchy 收敛原理：。
的必要条件，于是就得到级数收敛，上式即为取成立。
与一切的正整数对一切，使得存在正整数定的也可叙述为：对任意给成立。
对一切，使得存在正整数：对任意给定的收敛的充分必要条件是级数01,0,0lim 1132113211=<=><=++++>>><=++++>∞→+=++++++=+++∞=∑∑∑x x xx x x xxx x x xx n n n pk kn p n n n n mn k km n n n n n p p N n N N n m N εεεεε阿贝尔变换：{}{}()()()B a a B a B a B a B a B a B a B a B B a B a b a B a aB a b a b B b a kp k k k p p pp p k k k p k k k pk k k p k k k pk k kkp k kkkp k k k ppp k kkki ikkkk ∑∑∑∑∑∑-∑∑∑∑-=+-=+-==-==-=-=+==--=+-=-+=+=--===11111111212112111111111,2,1,,证：）则（是两数列，记设阿贝尔引理：{}{}().,0),2,1,()2()1(2111a a ba Bb B B a ppk kkk ki i k k k MM k M k +≤≤>∃==∑∑==，则，成立对一切为有界数列，即为单调数列；设证：由阿贝尔变换得{}()().2....1111111111111111a a ba aa a a a a a a a a B a ab a b a Ppk kkpp k kk p k kk kp k k k p kp k kk ppp k kkMM +≤-=-=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+≤-+≤∑∑∑∑∑∑=-=+-=+-=+-=+=于是得到单调，所以由于① 莱布尼兹判别法：()()()){})()()().,.,.0lim ,0,1121k 1k 1111-2111-1-1-1-1-1-u r uu r u u u u u uu u u u n n n n n k n n n n n n n n n nn nn nn b a ii i +++∞+=+∞=-∞→+∞=≤==≥+++->∑∑∑且相同，的符号与余和首项余和收敛级数则：；，单调减少，即数列有交错级数即证明：莱布尼兹级数()()0,1111->=∑∑∞=+∞=uu x nn nn n n ，对N p +∈∀，有()uu u u x x x xx xpn P n n n p n n n n n pn ++++++++++-+-+-=++++=-11321321当 P 是奇数时()uu u u pn P n n n +++++-+-+-11321()()()()⎪⎩⎪⎨⎧≤----->++-+-=++-+++++++++u u u u u u u u u u u n p n p n n n n p n n n n n 1132143210 当 P 是偶数时()uu u u pn P n n n +++++-+-+-11321()()()()⎪⎩⎪⎨⎧<----≥-++-+-=++++++-+++++u u u u u u u u u u u n p n n n n p n p n n n n n 1321143210因而有()u uu u u x x x x n pn P n n n p n n n n 113213211++++++++++≤+-+-=++++- 成立成立有于是对成立使得对一切，，所以对由于,.,,00lim 113211εεε<≤++++∈∀<>∈∃>∀=++++++++∞→u x x x xN uN u n n n n n n n n p N n n根据级数的Cauchy 收敛原理知 莱布尼兹级数()()收敛0,111->∑∞=+uu nn nn 。
几个正项级数敛散性的判别法的强弱比较
《数学与应用数学》学年论文题目几个正项级数敛散性的判别法的强弱比较学号姓名教师评语：成绩指导教师摘要：级数理论在实际生活中的运用极为广泛，正项级数又是级数理论中重要的组成部分，级数的收敛性更是级数理论的核心问题，要想解决正项级数的求和问题必须先解决正项级数收敛性判断，正项级数敛散性判断的方法虽然较多，但使用起来仍有一定的技巧，归纳总结正项级数收敛性判断的一些典型方法，比较这些方法的不同特点，总结出一些典型的正项级数，根据不同的题目特点分析、判断选择适宜的方法进行判断，才能事半功倍. 我们在书上已经学了很多种正项级数敛散性的判定定理,但书上往往只是对定理本身做一个证明，然后举几个简单应用的例子就好了，没有做过多的分析.但是,我们在实际做题目时，常会有这些感觉：有时不知该选用哪种方法比较好；有时用这种或那种方法时，根本做不出来，也就是说，定理它本身存在着一些局限性.因此，我们便会去想，我们常用的这些定理到底有哪些局限呢，定理与定理之间会有些什么联系和区别呢，做题目时如何才能更好得去运用这些定理呢?下面就对正项级数的各种判别法强弱比较进行了讨论与分析。
1 正项级数相关概念 1.1正项级数的定义如果级数1n n x ∞=∑的各项都是非负实数，即0,1,2,,n x n ≥=则称此级数为正项级数1.2正项级数敛散性判别的充要条件正项级数的每一项都为正的基本特点导致正项级数部分和数列单调增加,从而有正项级数敛散性的基本判别定理:定理： 正项级数∑∞=1n n u 收敛⇔它的部分和数列{}n s 有上界.证明 由于),2,1(0 =>i u i ,所以{}n s 是递增数列.而单调数列收敛的充要条件是该数列有界(单调有界定理),从而本定理得证.例级数22(1)(1)n n n n ∞=⎤⎥-+⎦∑是正项级数。
它的部分和数列的通项2112212ln ln ln 2ln ln 2(1)(1)11n n n k k k k k n s k k k k n ++==⎤++⎡⎤=<-=-<⎥⎢⎥-+-+⎣⎦⎦∑∑，所以正项级数22(1)(1)n n n n ∞=⎤⎥-+⎦∑收敛。
反常积分的阿贝尔和迪利克雷判别法的教学初探
（积分第二中值定理）设函数 f 在 [a, b]
b
上可积。若 g 为单调函数，则存在 [a, b] ，使得
u1
f ( x) g ( x)dx
u2 u1
f ( x)dx f ( x) g ( x)dx g (a) f ( x)dx g (b)
a a
g (u1 ) f ( x)dx g (u2 ) f ( x)dx
WANG Wei-fang
(Department of Mathematics and Information Science, Tangshan Normal University, Tangshan 063000, China) Abstract: Most students have difficulty in studying Abel and Dirichlet discriminance. This paper takes the abnormal integral as an example to guide students how to grasp the conditions of the theorems and their application. Key Words: improper integral; Abel; Dirichlet
u
sin x 2 ，
且 1/x 在 1, 上当 x 时单调递减趋于 0，由迪利 克雷判别法，反常积分
1
sin x dx x 1
f ( x)dx
在 a, 有界， g ( x) 在 a, 上当 x 时趋于 0 即 可，再加上运用积分第二中值定理时要求 g ( x) 单调，就 得到了迪利克雷判别法的条件。 定理 2
数学分析12.3一般项级数
第十二章 数项级数2 一般项级数一、交错级数概念：若级数各项符号正负相间，即u 1-u 2+u 3-u 4+…+(-1)n+1u n +…(u n >0, n=1,2,…)，则称它为交错级数.定理12.11：(莱布尼茨判别法)若交错级数∑∞=+1n n 1n u (-1)满足：(1)数列{u n }单调递减；(2)∞n lim +→u n =0，则该级数收敛.证：交错级数的部分和数列{S n }的奇数项和偶数项分别为： S 2m-1=u 1-(u 2-u 3)-…-(u 2m-2-u 2m-1)，S 2m =(u 1-u 2)+(u 3-u 4)…+(u 2m-1-u 2m ). 由条件(1)知上述两式括号内的数皆非负，从而 数列{S 2m-1}递减，数列{S 2m }递增. 又由条件(2)知0<S 2m-1-S 2m =u 2m →0 (m →∞)，从而{[S 2m ,S 2m-1]}形成一个区间套， 由区间套定理，存在唯一的一个数S ，使得∞m lim +→S 2m-1=∞m lim +→S 2m =S.∴数列{S n }收敛，即该交错级数收敛.推论：若交错级数满足莱布尼茨判别法的条件，则该收敛级数的余项估计式为|R n |≤u n+1.二、绝对收敛级数及其性质概念：若级数各项绝对值所组成的级数|u 1|+|u 2|+…+|u n |+…收敛， 则称它为绝对收敛级数. 若级数收敛，但不绝对收敛，则称该级数为条件收敛级数.定理12.12：绝对收敛级数一定收敛.证：若级数|u 1|+|u 2|+…+|u n |+…收敛，由柯西收敛准则知， 对任意ε>0，总存在正数N ，使得对n>N 和任意正整数r ，有 |u n+1|+|u n+2|+…+|u n+r |<ε，∴|u n+1+u n+2+…+u n+r |<ε， ∴u 1+u 2+…+u n +…收敛. 得证！例1：证明：级数∑!n a n收敛.证：∵n1n ∞n u u lim++→=1n alim ∞n ++→=0<1,∴原级数绝对收敛.性质1：级数的重排：正整数列{1,2,…,n,…}到它自身的一一映射 f:n →k(n)称为正整数列的重排，相应地对数列{u n }按映射F:u n →u k(n)所得到的数列{u k(n)}称原数列的重排；同样的，级数∑∞=1n k(n)u 也是级数∑∞=1n nu 的重排. 记v n =u k(n)，即∑∞=1n k(n)u =v 1+v 2+…+v n +….定理12.13：若级数∑n u 绝对收敛，且其和等于S ，则任意重排后所得到的级数∑n v 也绝对收敛，且有相同的和数.证：不妨设∑n u 为正项级数，用S n 表示它的第n 个部分和， 记T m =v 1+v 2+…+v m 表示级数∑n v 的第m 个部分和.∵级数∑n v 是∑n u 的重排，∴对每一个v k 都等于某一ki u (1≤k ≤m).记n=max{i 1,i 2,…i m }, 则对任何m ，都存在n ，使T m ≤S n .由∞n lim +→S n =S 知，对任何正整数m 有T m ≤S, 即∑n v 收敛，其和T ≤S.又级数∑n u 也是∑n v 的重排，∴S ≤T ，推得T=S.若∑n u 为一般级数且绝对收敛，即正项级数∑n u 收敛，同理可推得 级数∑n v 收敛，∴级数∑n v 收敛. 令p n =2u u nn +，q n =2u u nn -；则当u n ≥0时，p n =u n ，q n =u n ；当u n <0时，p n =0，q n =-u n ≥0. 从而有 0≤p n ≤|u n |，0≤q n ≤|u n |，p n +q n =|u n |，p n -q n =u n . 又∑n u 收敛， ∴∑n p ,∑n q 都是正项的收敛级数，且S=∑n u =∑n p -∑n q .同理得：∑n v =∑'n p -∑'n q ，其中∑'n p ,∑'n q 分别是∑n p ,∑n q 的重排. ∴∑n v =∑'n p -∑'n q =∑n p -∑n q =S. 得证!性质2：级数的乘积：由a ∑n u =∑n au 可推得有限项和与级数的乘积：(a 1+a 2+…+a m )∑∞=1n n u =∑∑∞==1n n m1k k u a .继而可推广到无穷级数之间的乘积：设收敛级数∑n u =A, ∑nv=B.将两个级数中每一项所有可能的乘积列表如下：这些乘积u i v j按各种方法排成不同的级数，如按正方形顺序相加，得u1v1+u1v2+u2v2+u2v1+u1v3+u2v3+u3v3+u3v2+u3v1+…，如下表：或按对角线顺序相加，得u1v1+u1v2+u2v1+u1v3+u2v2+u3v1+…，如下表：定理12.14：(柯西定理) 设绝对收敛级数∑n u=A, ∑n v=B，则由它们中每一项所有可能的乘积u i v j按任意顺序排列所得到的级数∑n w绝对收敛，且其和等于AB.证：设级数∑n w,∑n u,∑n v的部分和分别为：S n =|w 1|+|w 2|+…+|w n |,A m =|u 1|+|u 2|+…+|u m |,B m =|v 1|+|v 2|+…+|v m |. 其中w k =kkj i v u (k=1,2,…,n)，m=max{i 1,j 1,i 2,j 2,…,i n ,j n }，则必有S n ≤A m B m .∵绝对收敛级数∑n u 与∑n v 的部分和数列{A m }和{B m }都有界， ∴{S n }有界，从而级数∑n w 绝对收敛. 利用绝对收敛级数的可重排性， 将绝对收敛级数∑n w 按正方形顺序重排如下： u 1v 1+(u 1v 2+u 2v 2+u 2v 1)+(u 1v 3+u 2v 3+u 3v 3+u 3v 2+u 3v 1)+…， 把每一括号作一项，得新级数：p 1+p 2+p 3+…+p m +…收敛， 且与∑n w 和数相同，其部分和P m =A m B m . 即有∞m lim +→P m =∞m lim +→A m B m =∞m lim +→A m ∞m lim +→B m =AB. 得证！例2：证明：级数1+2r+…+(n+1)r n +…(|r|<1)绝对收敛，并求其和.证：等比级数∑∞=0n n r =1+r+r 2+…+r n +…=r-11(|r|<1)，绝对收敛. 将(∑∞=0n n r )2的所有可能的项按对角线顺序相加得：1+(r+r)+(r 2+r 2+ r 2)+…+(r n +…+r n )+… (括号内共有n+1个r n ) =1+2r+…+(n+1)r n +…=2r)-(11. ∴所求级数绝对收敛，其和为2r)-(11.二、阿贝尔判别法和狄利克雷判别法引理：(分部求和公式，也称阿贝尔变换)设εi ,v i (i=1,2,…,n)为两组实数， 若令T k =v 1+v 2+…+v k (k=1,2,…,n)，则有如下分部求和公式成立：∑=n1i ii vε=(ε1-ε2)T 1+(ε2-ε3)T 2+…+(εn-1-εn )T n-1+εn T n .证：以v 1=T 1, v k =(T k -T k-1) (k=2,3,…,n)分别乘以εk (k=1,2,…,n)，则∑=n1i ii vε=ε1v 1+ε2v 2+…+εn v n =ε1T 1+ε2(T 2-T 1)+…+εn (T n -T n-1)=(ε1-ε2)T 1+(ε2-ε3)T 2+…+(εn-1-εn )T n-1+εn T n .推论：(阿贝尔引理)若(1)ε1, ε2,…, εn 是单调数组；(2)对任一正整数k(1≤k ≤n)有|T k |=|v 1+v 2+…+v k |≤A ，记ε=kmax {|εk |},有∑=n1k k k v ε≤3εA.证：由(1)知ε1-ε2, ε2-ε3, …, εn-1-εn 同号，于是由分部求和公式及(2)有∑=n1k k kv ε=|(ε1-ε2)T 1+(ε2-ε3)T 2+…+(εn-1-εn )T n-1+εn T n |≤A|(ε1-ε2)+(ε2-ε3)+…+(εn-1-εn )|+A|εn |=A|(ε1-εn )|+ A|εn | ≤A(|ε1|+2|εn |)≤3εA.定理12.15：(阿贝尔判别法)若{a n }为单调有界数列，且级数∑n b 收敛, 则级数∑n n b a =a 1b 1+a 2b 2+…+a n b n +…收敛.证：由级数∑n b 收敛，依柯西准则，对任给正数ε, 存在正数N, 使 当n>N 时，对一切正整数p ，都有∑++=pn 1n k kb<ε.又数列{a n }单调有界，∴存在正数M ，使|a n |≤M ，根据阿贝尔引理有∑++=pn 1n k k kb a≤3εM. ∴级数∑n n b a 收敛.注：由阿贝尔判别法知，若级数∑n u 收敛，则下述两个级数：(1)∑p nn u (p>0)；(2)∑+1n u n 都收敛.定理12.16：(狄利克雷判别法)若数列{a n }单调递减，且∞n lim +→a n =0，又且级数∑n b 的部分和数列有界，则级数∑n n b a 收敛.例3：证明：若数列{a n }单调递减，且∞n lim +→a n =0，则级数∑sinnx a n 和∑cosnx a n 对任何x ∈(0,2π)都收敛.证：2sin 2x (21+∑=n 1k coskx )=sin 2x +2sin 2x cosx+2sin 2x cos2x+…+2sin 2xcosnx= sin 2x +(sin 23x-sin 2x )+…+[sin(n+21)x-sin(n-21)x]=sin(n+21)x. 当x ∈(0,2π)时，sin 2x ≠0, cot 2x ≠+∞.∴∑=n1k coskx =2x 2sinx 21n sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-21=21sinnxcot 2x +2cosnx -21.又-21cot 2x -1≤21sinnxcot 2x +2cosnx -21≤21cot 2x ，即当x ∈(0,2π)时，∑cosnx 的部分和数列有界，由狄利克雷判别法知级数∑cosnx an收敛.2sin 2x (∑=n 1k sinkx -21cot 2x )=2sin 2x sinx+2sin 2x sin2x+…+2sin 2x sinnx-cos 2x= (cos 2x-cos 23x) +…+[cos(n-21)x-cos(n+21)x]-cos 2x =-cos(n+21)x. 当x ∈(0,2π)时，sin 2x ≠0, cot 2x ≠+∞.∴∑=n1k sinkx =21cot 2x -2x 2sin x 21n cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=2x 2sinx 21n cos -2x cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+.又- csc 2x =2x sin 1-≤2x 2sin x 21n cos -2x cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤2x sin1=csc 2x ，即当x ∈(0,2π)时，∑sinnx 的部分和数列有界，由狄利克雷判别法知级数∑sinnx an收敛.注：作为例3的特例，级数∑n sinnx 和∑ncosnx对一切x ∈(0,2π)都收敛.习题1、下列级数哪些是绝对收敛，条件收敛或发散的：(1)∑!n sinnx ；(2)∑+-1n n )1(n；(3)∑+n1p n n (-1)；(4)∑-n 2sin )1(n ；(5)∑⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+n 1n (-1)n ；(6)∑++1n 1)ln(n (-1)n ；(7)n n 13n 1002n )1(∑⎪⎭⎫ ⎝⎛++-；(8)nn x !n ∑⎪⎭⎫ ⎝⎛. 解：(1)∵!n sinnx <2n 1(n>4)；又级数∑2n1收敛，∴原级数绝对收敛. (2)∵1n n)1(limn ∞n +-+→=1≠0；∴原级数发散. (3)∵当p ≤0时，n1p n ∞n n(-1)lim++→≠0；∴原级数发散；当p>1时，n1p n n(-1)+≤p n 1；又级数∑p n1(p>1)收敛，∴原级数绝对收敛. 当0<p ≤1时，令u n =n1p n1+，则n1n u u +=1n 1p n 1p 1)(n n++++=1n 1pn1)1n (n 11n++⎪⎭⎫⎝⎛+<1n 1pn 1n n 11n+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=p1)n(n 1n 11n⎪⎭⎫ ⎝⎛++，∵np ∞n n 11lim ⎪⎭⎫ ⎝⎛++→=e p>1, 1n 1∞n n lim ++→=1，∴当n 充分大时，npn 11⎪⎭⎫ ⎝⎛+>1n 1n +，即 p n 11⎪⎭⎫ ⎝⎛+>1)n(n 1n+，从而n1n u u +<1，即u n+1<u n ，∴{u n }在n 充分大后单调减. 又∞n lim +→u n =n1p ∞n n1lim++→=0(0<p ≤1)，由莱布尼兹判别法知原级数条件收敛.(4)∵n2n2sin)1(limn ∞n -+→=1, 且级数∑n2发散，∴原级数不绝对收敛. 又{n2sin }单调减，且n2sin lim ∞n +→=0，由莱布尼兹判别法知原级数条件收敛. (5)∵级数∑n(-1)n收敛，而级数∑n1发散，∴原级数发散.(6)∵1n 1)ln(n (-1)n ++>1n 1+(n ≥2)，且∑+1n 1发散，∴原级数不绝对收敛.又{1n 1)ln(n ++}单调减且1n 1)ln(n lim ∞n +++→=0，∴原级数条件收敛. (7)记u n =n13n 1002n ⎪⎭⎫⎝⎛++，则n ∞n u lim +→=13n 1002n lim ∞n +++→=32，∴原级数绝对收敛. (8)记u n =n n x !n ⎪⎭⎫ ⎝⎛，则n 1n ∞n u u lim ++→=n∞n 1n n x lim ⎪⎭⎫⎝⎛++→=|e x |， ∴当-e<x<e 时，n1n ∞n u u lim++→<1，原级数绝对收敛； 当x ≥e 或x ≤-e 时，n1n ∞n u u lim++→≥1，即当n 充分大时，|u n+1|≥|u n |>0，∴n ∞n u lim +→≠0，∴原级数发散.2、应用阿贝尔判别法或狄利克雷判别法判断下列级数的收敛性：(1)nn n x 1x n (-1)+⋅∑ (x>0)； (2)∑a n sinnx, x ∈(0,2π) (a>0)； (3)nnxcos )1(2n∑-, x ∈(0,π).解：(1)∵当x>0时，0<n n x 1x +<n n x x =1，且n n1n 1n x 1xx 1x ++++=1n 1n x 1x x ++++； 若0<x ≤1，则1n 1n x 1x x ++++≤1；若x>1，则1n 1n x1x x ++++>1， 即数列{n n x 1x +}单调有界. 又级数∑n(-1)n收敛，由阿贝尔判别法知原级数收敛. (2)∵当a>0时，数列{a n1}单调递减，且∞n lim +→a n 1=0， 又当x ∈(0,2π)时，∑=n1k sinkx ≤csc 2x，即∑sinnx 的部分和数列有界，由狄利克雷判别法知原级数收敛. (3)∵数列{n 1}单调递减，且∞n lim+→n1=0，又当x ∈(0,π)， ∑=n1k 2kkx cos (-1)=∑=+n1k k21cos2kx (-1)≤∑=n 1k k 2(-1)+∑=n1k k 2cos2kx (-1)≤21+∑=n1k cos2kx 21.又由2sinx ∑=n 1k cos2kx =4sin(2n+1)x-4sinx ，得∑=n1k cos2kx =2sinx4sinx -1)x 4sin(2n +≤sinx 2+2， 即对任意x ∈(0,π)，级数nx cos )1(2n ∑-有界， 根据狄利克雷判别法知原级数收敛.3、设a n >a n+1>0 (n=1,2,…)且∞n lim +→a n =0.证明：级数∑+⋯++na a a (-1)n211-n 收敛.证：由a n >a n+1>0 (n=1,2,…)且∞n lim +→a n =0知， {na a a n21+⋯++}单调减且趋于0，由莱布尼茨判别法知原级数收敛.4、设p n =2u u nn +，q n =2u u nn -.证明：若∑n u 条件收敛，则级数∑n p 与∑n q 都是发散的. 证：若∑n u 条件收敛，则∑n u 发散， ∴∑n p =∑+2u u nn =∑2u n +∑2u n，发散； ∑n q =∑-2u u nn =∑2u n -∑2u n，发散.5、写出下列级数的乘积：(1)⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑∞=∞=1n 1-n 1-n 1n 1-n nx (-1)nx ； (2)⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑∞=∞=0n n 0n n!(-1)n!1. 解：(1)当|x|<1时，两个级数均绝对收敛，乘积按对角线一般项为：w n =k-n k-n n1k 1-k 1)xk -(n (-1)·kx +∑==xn-1∑=+n1k k-n 1)k -k(n (-1), 从而有w 2m =x2m-1∑=+2m1k k-2m 1)k -k(2m (-1)=[-2m+…+(-1)m (m 2+m)+2m+…+(-1)m-1(m 2+m)]=0； w 2m+1=x 2m∑+=++12m 1k 1k -2m 2)k -k(2m (-1)=x 2m[∑+=++12m 1k 1k -2m 1)k -k(2m (-1)+∑+=+12m 1k 1k -2m k (-1)]=-x 2m∑+=+12m 1k k-2m 1)k -k(2m (-1)+x2m∑+=+12m 1k 1k -2m k (-1)=- w 2m +x2m∑+=-12m 1k 1k k (-1)=x2m∑+=-12m 1k 1k k (-1)=x 2m(1-2+3-4+…-2m+2m+1)=(m+1) x 2m.∴⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑∞=∞=1n 1-n 1-n 1n 1-n nx (-1)nx =∑∞=+0m 2m 1)x (m . (|x|<1).(2)两个级数均绝对收敛，其乘积按对角线一般项为：w 0=1, w n =k)!-(n (-1)·k!1k -n nk ∑==n!1∑=nk k -n k)!-(n k!n!(-1)=n!1)-(1n=0(n=1,2,…) ∴⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑∞=∞=0n n0n n!(-1)n!1=1.注：二项式n 次幂展开式：(1-1)n=∑=nk k -n k)!-(n k!n!(-1).6、证明级数∑∞=0n n n!a 与∑∞=0n n n!b 绝对收敛，且它们的乘积等于∑∞=+0n nn!b)(a .证：n!a 1)!(n a limn 1n ∞n +++→=1n alim ∞n ++→=0,∴∑∞=0n n n!a 绝对收敛. 同理∑∞=0n nn!b 绝对收敛. 按对角线顺序，其乘积各项为：C 0=1=!0b)(a 0+, ……,C n =k)!-(n b k!a k -n n1k k ⋅∑==n!∑=n 0k k -n k k)!-(n k!n!b a =n!b)(a n +. ∴∑∞=0n n n!a ·∑∞=0n n n!b =∑∞=+0n nn!b)(a .7、重排级数∑+-n1)1(1n ，使它成为发散级数. 解：∑+-n 1)1(1n =1-21+31-41+…+n 1)1(1n +-+…=∑∞=1k 1-2k 1-∑∞=1k 2k 1，∑∞=1k 1-2k 1∵∑∞=1k 2k 1和∑∞=1k 1-2k 1是发散的正项级数，∴存在n 1，使u 1=∑=1n 1k 1-2k 1-21>1，又∑∞+=1n k 11-2k 1发散，∴存在n 2>n 1，使u 2=∑+=21n 1n k 1-2k 1-41>21，同理存在n 3>n 2，使u 3=∑+=32n 1n k 1-2k 1-61>31,…,u i+1=∑++=1i i n 1n k 1-2k 1-1)2(i 1+>1i 1+，可得原级数的一个重排∑∞=1i i u . ∵u i >i 1,且∑i 1发散，∴∑∞=1i i u 必发散.8、证明：级数∑-n)1(]n [收敛.证：记A L ={n|[n ]=L}, L=1,2,…，显然A L 中元素n 满足L 2≤n<(L+1)2,且A L 中元素个数为2L+1. 记U L =∑∈-L A n ]n [n )1(，则有u L =∑∈-LA n Ln )1(=(-1)L V L , 其中V L =∑∈L A n n 1，则V L -V L+1=∑=+2L0s 2s L 1-∑+=++1)2(L 0s 2s)1(L 1=∑=++++2Ls 22s])1s)[(L (L 1L 2-1L 2)1(L 12+++-2L 2)1(L 12+++≥∑=+++2L0s 22L]2)1[(L 1L 2-L 2)1(L 22++=222L]2)1[(L L]2)12[(L -1)L 2(L 2+++++=2222L]2)1[(L L)2-1-L 2L -L L 2(2++-+=222L]2)1[(L 1)-3L L (2++->0(当L ≥4时). ∴当L ≥4时, { V L }是单调下降数列. 当n ∈A L 时，21)(L 1+<n 1≤2L 1， ∴21)(L 1L 2++<V L ≤2L 1L 2+，可见∞L lim +→V L =0，从而∑∞=1L L u =∑∞=1L L LV (-1)收敛. 设级数∑∞=-1n ]n [n )1(的部分和为S N ，记级数∑∞=1n n u 的部分和为U M ，则S N =∑=-N1n ]n [n )1(，U M =∑=M1n n u ，任一个S N 均被包含在某相邻两个部分和U M , U M+1之间，即有|S N -U M |≤|U M+1-U M |，由级数∑∞=1n n u 收敛，知∞M lim +→U M+1-U M =0，∴∞N lim +→S N -U M =0，即极限∞N lim +→S N =∞N lim +→U M =∑∞=1n n u 存在，∴级数∑-n)1(]n [收敛.。
14第十四讲 阿贝尔判别法和狄利克雷判别法
数学分析第十二章数项级数阿贝尔判别法狄利克雷判别法第十四讲数学分析第十二章数项级数引理（分部求和公式，也称阿贝尔变换）阿贝尔判别法和狄利克雷判别法下面介绍两个判别一般项级数收敛性的方法.=,(1,2,,),,i i v i n ε 设两组实数若令=+++=12(1,2,,),k k v v v k n σ 121232111()()().(18)ni in n n n n i vεεεσεεσεεσεσ--==-+-++-+∑则有如下分部求和公式成立:证-==-=111,(2,3,,)k k k v v k n σσσ 以分别乘以=(1,2,,),k k n ε 整理后就得到所要证的公式(18).数学分析第十二章数项级数推论（阿贝尔引理）=12(i),,,max{};n k kεεεεε 是单调数组,记(ii)(1),k k k n A σ对任一正整数有则有≤≤≤=≤∑13.(19)nk kk v A εε12231,,,n n εεεεεε ----若证由(i)知都是同号的.121232111()()()nk kn n n n nk v εεεσεεσεεσεσ--==-+-++-+∑12231()()()n n n A A εεεεεεε-≤-+-++-+1n n A A εεε=-+1(2)n A εε≤+3.A ε≤于是由分部求和公式及条件(ii)推得数学分析第十二章数项级数定理12.15（阿贝尔判别法）且级数∑n b 收敛, {}n a 0,.n M a M 使>≤证由于数列单调有界,使当n >N 时,对任一正整数p ,都有+=<∑.n p kk nbε若{}n a 为单调有界数列,故存在,收敛又由于∑n b ,ε数依柯西准则，对任意正存在正数N ,n n a b ∑则级数收敛.+=≤∑3.n p k kk na bM ε(阿贝尔引理条件(ii)). 应用(19)式得到这就说明级数收敛.n n a b ∑数学分析第十二章数项级数定理12.16（狄利克雷判别法）若数列{a n }单调递减, →∞=lim 0,n n a 且∑n b 又级数的部分和数列有界, ∑n b 1n n n k V b ==∑证由于部分和数列有界,数M , 使||,n V M ≤因此当n , p 为任何正整数时,故存在正n n a b ∑则级数收敛.12||||2.n n n p n p n b b b V V M +++++++=-≤ {}n a →∞=lim 0,n n a 又由于数列单调递减, 且0,ε∀>对++++++11|| n n n p n p a b a b 6.M ε=,N ∃.n n N a ε><当时，有(19)于是根据式得到32M ε≤⋅数学分析第十二章数项级数有了阿贝尔判别法就知道: 若级数∑n u 收敛, 则(0),1n np u u p n n >+∑∑级数都收敛.例3 若数列{a n }具有性质:12,lim 0n n n a a a a ，→∞≥≥≥≥= sin cos (0,2π)n n a nx a nx x 则和对任何收敛.∈∑∑112sin cos 22nk x kx =⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑11sin sin 22n x n x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫++-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦解因为1sin ,2n x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭3sin sin sin 222x x x ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭数学分析第十二章数项级数(0,2π),sin 0,2xx 当时故得到∈≠11sin 12cos .(21)22sin2nk n x kx x =⎛⎫+ ⎪⎝⎭=-∑∑cos nx (0,2π)x ∈所以级数的部分和数列当时有sin .n a nx ∑理可证级数也是收敛的(0,2π).x 都收敛∈sin cos nx nxn n和对一切∑∑作为例3 的特例, 级数界，cos .n a nx ∑由狄利克雷判别法得级数收敛同数学分析第十二章数项级数*例4 级数21sin (1)nn nn ∞=-∑收敛但不绝对收敛. 解由于21sin (1)nn nn ∞=-∑的绝对值级数为211sin 11cos2,2n n n n n n n ∞∞==⎛⎫=- ⎪⎝⎭∑∑∞=∑21sin n n n发散.21sin (1cos2),2n n =-又因得11n n ∞=∑其中发散，1cos23n nn ∞=∑收敛(根据例结论),故数学分析第十二章数项级数∞=-∑11(1),n n n 由于级数收敛而11cos 2cos(2π)(1),n n n n n n n ∞∞==+-=∑∑21sin (1)n n n n ∞=-∑所以级数为条件收敛.211sin 11cos2(1)(1)2nn n n n n n n n ∞∞==⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭∑∑，也收敛，根据例321sin (1).n n n n 因此级数收敛∞=-∑复习思考题数学分析第十二章数项级数n u ∑n v ∑1.假设级数绝对收敛, 级数条件收敛, 问级数()n n u v +∑是绝对收敛还是条件收敛?lim 0,2,nn n n nu u v l v →∞=≠∑∑对于一般项级数与从.能?n n u v ∑∑否得出与同敛散3.总结一般项级数条件收敛或绝对收敛的判别步骤.。
一致收敛判别法总结
学年论文题目：一致收敛判别法总结学院：数学与统计学院专业：数学与应用数学学生姓名：***学号：************指导教师：***一致收敛判别法总结学生姓名：张学玉 指导教师：陶菊春摘要： 函数项级数一致收敛性的证明是数学分析中的难点，为了开阔思路，更好的理解和掌握函数项级数一致收敛的方法，本文对函数项级数一致收敛的几种判别法进行了分析、归纳、总结。
首先对用定义判断函数项级数一致收敛的方法进行了研究,介绍了函数项级数一致收敛的充要条件,近而提供了证明函数项级数一致收敛的一般方法。
同时介绍了几个较为方便适用的关于函数序列一致收敛的判别法法。
并通过例题的讨论说明这些判别法的可行性及特点。
Abstract ：Function Series Uniform Convergence prove mathematical analysisof the difficulties, in order to broaden their thinking, to better understand and master the functions Seies Convergence approach, this paper uniformly convergent series of functions of several discriminant method were analyzed, summarized, summary. First, determine the definition of series of functions with uniform convergence methods were studied, introduced uniformly convergent series of functions necessary and sufficient conditions, while providing nearly proved uniformly convergent series of functions of the general method. Also introduced several relatively easy to apply uniform convergence on the discriminant function sequence Law Act. And through discussion of examples illustrate the feasibility of these discriminant method and characteristics.关键词： 函数项级数；函数序列；一致收敛；判别法Keywords: series of functions; function sequence; uniform convergence; Criterion引言： 函数项级数一致收敛性的证明是初学者的一个难点，教材中给出了用定义法、定理及判别法来证明函数项级数的一致收敛性。
《高等数学教学课件汇编》abel判别法与dirichlet判别法.ppt
2n
;
(2) (1
n1
1 )n n
bn ;
n
(3)
n1
n
1
bn ;
(4)
n1
1 n bn .
证明 : (1)由于
(3n 1)(2n 2) 6n2 8n 2 6n2 8n 2n3(n 1) 1
于是
3n 1 3(n 1) 1 ln 3n 1 ln 3(n 1) 1
).由于 bn收敛, 0,N , n1
对n N 及p N ，有
由Abel引理，可得
n p
bk
k n1
n p
akbk ( an1
k n1
由Cauchy原理，知 anbn收敛. n1
2 an p ) 3M
例：设 bn收敛收敛，证明如下级数收敛：
n1
3n 1
(1) bn ln
k 1
k 1
于是得到
p
akbk M ( a p a p a1 ) M ( a1 2 a p )
k 1
1. Abel判别法
定理( Abel判别法).设 anbn满足 n1
(1) an单调有界； (2) bn收敛. n1
则 anbn收敛. n1
证明：由(1)有，an M ,(n 1、2、3
2n 2(n 1)
2n
2(n 1)
故
ln
3n 2n
1
单调, 又
3n 1 ln
2n
ln
3n 2n
ln 3 ,由Abel判别法知 2
类似地可证(2)(3)(4)
n1
bn
ln
3n 2n
1
收敛.
2. Dirichlet判别法
狄利克雷与阿贝尔收敛判别法的教学研究
狄利克雷与阿贝尔收敛判别法的教学研究以《狄利克雷与阿贝尔收敛判别法的教学研究》为标题，本文旨在从教学角度分析狄利克雷与阿贝尔收敛判别法，研究它们在实际教学中如何发挥作用。
狄利克雷（Dillow）和阿贝尔（Abel）收敛判别法是一种概念运用法，它是由美国教育家狄利克雷（Dillow）和阿贝尔（Abel）二人发展而来，并在1965被正式提出。
狄利克雷与阿贝尔收敛判别法在教学实践中有着重要作用，它同时兼具收敛和判别的功能，有利于把学生从个人学习经验中发掘出知识，让学习得以继续发展。
首先，狄利克雷与阿贝尔收敛判别法有助于帮助学生以更完整的有序的方式学习。
这种法能够帮助学生将新知识融入自己的现有知识世界，从而形成更丰富的教学轨迹。
学生在学习新概念时，可以通过对现有知识的收敛，把新知识融入自己的知识体系；而在将这些知识融入自己知识体系中时，又可以发挥判别功能，运用已有知识进行比较，得出正确结论。
其次，狄利克雷与阿贝尔收敛判别法有利于提升学习效率。
通过利用这种方法，学生可以根据自己的现有知识和收敛判断，主动发现问题，从而更有效率的学习。
此外，学生还可以利用收敛知识的判断来检验自己的推理，并根据判断结果来调整自己的推理方式，以求在学习过程中达到最高效率。
最后，狄利克雷与阿贝尔收敛判别法能够提高学习者的学习能力和能力提升。
通过学习使用狄利克雷和阿贝尔的收敛判断，学生能够认识到自己现有的知识的有限性，并从不同的视角看待问题，从而发现新的解决方法。
因此，运用这种法可以让学生在学习过程中发现问题，发挥创新能力，提高自身的学习能力和能力提升。
综上所述，狄利克雷与阿贝尔收敛判别法可以有效地帮助学生在学习中获得更多新知识，提升学习效率，同时也能提高学习者的学习能力和能力提升。
因此，我们可以看出，在现代教学实践中，应该更多地运用狄利克雷与阿贝尔收敛判别法，以求在教学中发挥更大的作用。
阿贝尔判别法和狄利克雷判别法的关系
阿贝尔判别法和狄利克雷判别法的关系1. 引言阿贝尔判别法（Abel’s test）和狄利克雷判别法（Dirichlet’s test）是数学中常见的两种判别法，用于研究级数的敛散性。
这两个方法从不同的角度出发，对级数进行分析和判别。
本文将深入探讨阿贝尔判别法和狄利克雷判别法的关系，并从它们的原理、适用范围和应用举例等方面进行详细介绍。
2. 阿贝尔判别法2.1 原理阿贝尔判别法是由挪威数学家阿贝尔于1828年提出的，用于判别无界函数项级数的敛散性。
该判别法的基本思想是通过对级数进行变换，将原级数转化为易于判断的形式。
2.2 适用范围阿贝尔判别法主要适用于满足以下条件的级数： - 级数中的项为实数或复数。
- 级数中的部分和序列有界。
- 级数中的部分和序列单调。
2.3 应用举例以下是一个应用阿贝尔判别法的例子：例1： 考虑级数∑(−1)n n p ∞n=1，其中p >0。
通过阿贝尔判别法，我们可以先观察到该级数的部分和序列{S n }满足以下条件： - 部分和序列有界，即存在正数M ，使得对于任意n ，有|S n |≤M 。
- 部分和序列单调递减，即对于任意n ，有S n ≥S n+1。
根据阿贝尔判别法的结论，当满足以上条件时，级数∑(−1)n n p ∞n=1收敛。
3. 狄利克雷判别法3.1 原理狄利克雷判别法是由德国数学家狄利克雷于1837年提出的，也用于判别级数的敛散性。
该判别法的基本思想是通过对级数的部分和序列进行分析，利用部分和序列的某种特性来判断级数的敛散性。
3.2 适用范围狄利克雷判别法主要适用于满足以下条件的级数： - 级数中的项为实数或复数。
- 级数中的部分和序列有界。
- 级数中的项满足单调性或趋于零。
3.3 应用举例以下是一个应用狄利克雷判别法的例子：例2： 考虑级数∑sinnx n ∞n=1，其中x 为实数。
通过狄利克雷判别法，我们可以观察到该级数的部分和序列{S n }满足以下条件： - 部分和序列有界，即存在正数M ，使得对于任意n ，有|S n |≤M 。
数学分析11.2无穷积分的性质与收敛判别
第十一章 反常积分 2 无穷积分的性质与收敛判别定理：无穷积分⎰+∞a f(x )dx 收敛的充要条件是：任给ε>0，存在 G ≥a ，只要u 1,u 2>G ，便有|⎰2u a f(x )dx-⎰1u a f(x )dx |=|⎰21u u f(x)dx |<ε.性质1：若⎰+∞a 1(x )f dx 与⎰+∞a 2(x )f dx 都收敛，则⎰++∞a2211(x )]f k (x )f [k dx 也收敛(k 1,k 2为任意常数)，且 ⎰++∞a2211(x )]f k (x )f [k dx=k 1⎰+∞a1(x )f dx+k 2⎰+∞a2(x )f dx.性质2：若f 在任何有限区间[a,u]上可积，a<b ，则⎰+∞a f(x )dx 与⎰+∞b f(x )dx 同敛态(即同时收敛或同时发散)，且有⎰+∞a f(x )dx=⎰b a f(x )dx+⎰+∞b f(x )dx.注：性质2相当于定积分区间可加性，由它又可导出⎰+∞a f(x )dx 收敛的另一充要条件：任给ε>0，存在G ≥a ，只要u>G ，总有|⎰+∞a f(x )dx|<ε. 又可由⎰+∞a f(x )dx=⎰ua f(x )dx+⎰+∞u f(x )dx 结合无穷积分的收敛定义而得.性质3：若f 在任何有限区间[a,u]上可积，且有⎰+∞a |f(x )|dx 收敛，则⎰+∞af(x )dx 亦必收敛，并有|⎰+∞af(x )dx |≤⎰+∞a|f(x )|dx.证：由⎰+∞a |f(x )|dx 收敛，根据柯西准则的必要性，任给ε>0， 存在G ≥a ，当u 2>u 1>G 时，总有|⎰21u u |f(x)|dx |=⎰21u u |f(x)|dx <ε.利用定积分的绝对值不等式，又有|⎰21u u f(x)dx |≤⎰21u u |f(x)|dx<ε.又根据柯西准则的充分性，证得⎰+∞a f(x )dx 收敛.对|⎰u a f(x )dx |≤⎰ua |f(x )|dx(u>a)两边令u →+∞取极限，可得 |⎰+∞a f(x )dx |≤⎰+∞a |f(x )|dx.注：当⎰+∞a |f(x )|dx 收敛时，称⎰+∞a f(x )dx 为绝对收敛. 性质3指出：绝对收敛的无穷积分，它自身也一定收敛. 但逆命题一般不成立. 收敛而不绝对收敛的反常积分又称为条件收敛.二、比较判别法定理：(比较法则)设定义在[a,+∞)上的两个函数f 和g 都在任何有限区间[a,u]上可积，且满足|f(x)|≤g(x), x ∈[a,+∞)，则当⎰+∞ag(x )dx 收敛时⎰+∞a|f(x )|dx 必收敛(或者当⎰+∞a|f(x )|dx 发散时，⎰+∞ag(x )dx 必发散).证：若⎰+∞a g(x )dx 收敛，则任给ε>0，存在G ≥a ，只要u 2>u 1>G ， 总有|⎰21u u g(x)dx|<ε. 又|f(x)|≤g(x), x ∈[a,+∞)，∴|⎰21u u |f(x)|dx |=⎰21u u |f(x)|dx ≤⎰21u u g(x)dx ≤|⎰21u u g(x)dx|<ε，∴⎰+∞a |f(x )|dx 收敛.若⎰+∞a |f(x )|dx 发散，则存在ε0>0，对任何G ≥a ，只要u 2>u 1>G ， 总有|⎰21u u |f(x)|dx |>ε0. 又|f(x)|≤g(x), x ∈[a,+∞)，∴|⎰21u u g(x)dx|≥⎰21u u g(x)dx ≥⎰21u u |f(x)|dx =|⎰21u u |f(x)|dx|>ε0.∴⎰+∞a g(x )dx 发散.例1：讨论⎰++∞2x1sinxdx 的收敛性.解：∵2x 1sinx +≤2x11+, x ∈[0,+∞)；又⎰++∞02x 11dx=∞u lim +→arctanu=2π, 收敛.根据比较法则知：⎰++∞02x1sinxdx 绝对收敛.推论1：若f 和g 都在[a,u]上可积，g(x)>0，且)x (g |)x (f |lim∞x +→=c ，则有： (1)当0<c<+∞时，⎰+∞a |f(x )|dx 与⎰+∞a g(x )dx 同敛态；(2)当c=0时，由⎰+∞a g(x )dx 收敛可推知⎰+∞a |f(x )|dx 也收敛； (3)当c=+∞时，由⎰+∞a g(x )dx 发散可推知⎰+∞a |f(x )|dx 也发散. 证：∵)x (g |)x (f |lim∞x +→=c ，∴任给ε>0，存在N ，当x>N 时，有|)x (g |)x (f |-c|<ε， 即有(c-ε)g(x)<|f(x)|<(c+ε)g(x).(1)由比较原则得⎰+∞a |f(x )|dx 与⎰+∞a g(x )dx 同敛态；(2)由|f(x)|<εg(x)知，若⎰+∞a g(x )dx 收敛，则⎰+∞a |f(x )|dx 也收敛； (3)当x=+∞时，)x (g |)x (f |lim∞x +→=+∞，任给M>0，存在G ，当x>G 时，就有 )x (g |)x (f |>M ，即|f(x)|>Mg(x)，∴当⎰+∞a g(x )dx 发散，⎰+∞a |f(x )|dx 也发散.推论2：设f 定义于[a,+∞)(a>0)，且在任何有限区间[a,u]上可积，则有：(1)当|f(x)|≤p x1, x ∈[a,+∞), 且p>1时，⎰+∞a |f(x )|dx 收敛；(2)当|f(x)|≥p x1, x ∈[a,+∞), 且p ≤1时，⎰+∞a |f(x )|dx 发散.推论3：设f 定义于[a,+∞)，在任何[a,u]上可积，且∞x lim +→x p |f(x)|=λ.则有：(1)当p>1, 0≤λ<+∞时，⎰+∞a |f(x )|dx 收敛； (2)当p ≤1, 0<λ≤+∞时，⎰+∞a |f(x )|dx 发散.注：推论2、3又称为柯西判别法.例2：讨论下列无穷限积分的收敛性： (1)⎰+∞1x-ae x dx ；(2)⎰++∞521x x dx.解：(1)∵对任意实数a ，有-xa 2∞x e x x lim⋅+→=x 2a ∞x e x lim ++→=0， 由推论3(p=2, λ=0)可知， 对任何实数a, ⎰+∞1x -a e x dx 收敛.(2)∵有1x x x lim5221∞x ++→=1，由推论3(p=21, λ=1)可知，⎰++∞0521x x dx 发散.三、狄利克雷判别法与阿贝尔判别法定理：(狄利克雷判别法)若F(u)=⎰ua f(x )dx 在[a,+∞)上有界，g(x)在[a,+∞)上当x →+∞时单调趋于0，则⎰+∞a f(x )g(x )dx 收敛.证：由条件设|⎰ua f(x )dx |≤M, u ∈[a,+∞), 任给ε>0，∵∞x lim +→g(x)=0,∴存在G ≥a, 当x>G 时，有|g(x)|<M4ε. 又g 为单调函数， 利用积分第二中值定理，对任何u 2>u 1>G, 存在ξ∈[u 1,u 2], 使得⎰21u u f(x)g(x)dx=g(u 1)⎰ξu 1f(x)dx+g(u 2)⎰2u ξf(x)dx. 于是有|⎰21u u f(x)g(x)dx |≤|g(u 1)|·|⎰ξu 1f(x)dx|+|g(u 2)|·|⎰2u ξf(x)dx|=|g(u 1)|·|⎰ξa f(x )dx-⎰1u af(x )dx|+|g(u 2)|·|⎰2u af(x )dx -⎰ξaf(x )dx|=M 4ε·2M+M4ε·2M=ε. 由柯西准则可知：⎰+∞a f(x )g(x )dx 收敛.定理：(阿贝尔(Abel)判别法)若⎰+∞a f(x )dx 收敛，g(x)在[a,+∞)上单调有界，则⎰+∞a f(x )g(x )dx 收敛.证：记F(u)=⎰ua f(x )dx, ∵⎰+∞a f(x )dx 收敛，∴⎰+→ua∞u f(x )lim dx 存在，记为J ， 取ε=1，存在A ，当n>A 时，有|F(u)-J|<1，∴|F(u)|<|J|+1. 又F(u)在[a,+∞)上连续，从而有界.又g(x)在[a,+∞)上单调有界，∴∞x lim +→g(x)存在，记为B ，令g 1(x)=g(x)-B ，则有∞x lim +→g 1(x)= ∞x lim +→g(x)-B=0，∴g 1(x)单调趋于0，由狄利克雷判别法知：⎰+∞a 1(x )f(x )g dx=⎰+∞a B]-f(x )[g(x )dx 收敛. ∴⎰+∞a f(x )g(x )dx=⎰+∞a B]-f(x )[g(x )dx+B ⎰+∞a f(x )dx 收敛.例3：讨论⎰+∞1p x sinxdx 与⎰+∞1p xcosx dx (p>0)的收敛性. 解：当p>1时，p x sinx ≤p x 1, x ∈[1,+∞)，而⎰+∞1p xdx 当p>1时收敛，由比较法则推知：⎰+∞1p x sinxdx 收敛，即⎰+∞1p xsinx dx 绝对收敛. 同理，可证当p>1时，⎰+∞1p xcosxdx 绝对收敛. 当0<p ≤1时，对任意u ≥1, 有|⎰u1px sinxdx|=|cos1-cosu|<2, 当p>0时，p ∞x x 1lim+→=0，且p x1在[1,+∞)单调减， 根据狄利克雷判别法知：⎰+∞1p xsinxdx (p>0)收敛. 又由p x sinx≥x x sin 2=2x 1-2xcos2x , x ∈[1,+∞)，其中⎰+∞12x cos2x dx =⎰+∞1tcost 21dt 满足狄利克雷判别条件而收敛， 而⎰+∞12x dx发散，∴当0<p ≤1时，⎰+∞1px cosx dx 条件收敛. 同理，可证当0<p ≤1时，⎰+∞1p xcosxdx 条件收敛.例4：证明下列无穷积分都是条件收敛的：⎰+∞12x sin dx; ⎰+∞12cosx dx; ⎰+∞14x cosx dx.证：⎰+∞12x sin dx=⎰+∞1t2t sin dt; ⎰+∞12cosx dx=⎰+∞1t2cost dt;由例3可知⎰+∞12x sin dx 和⎰+∞12cosx dx 都是条件收敛.又⎰+∞14x cosx dx=⎰+∞12cost 21dt ，∴⎰+∞14x cosx dx 条件收敛.习题1、设f 与g 是定义在[a,+∞)上的函数，对任何u>a ，它们在[a,u]上都可积. 证明：若⎰+∞a 2)x (f dx 与⎰+∞a 2)x (g dx 都收敛，则⎰+∞a )x (f(x )g dx与⎰++∞a 2)]x (g [f(x )dx 也都收敛证：∵⎰+∞a 2)x (f dx 与⎰+∞a 2)x (g dx 都收敛，∴)]x (g )x ([f 2∞a 2+⎰+dx 也收敛. 又|2f(x)g(x)|≤f 2(x)+g 2(x)，由比较法则知2⎰+∞a |)x (f(x )g |dx 也收敛. ∴⎰+∞a )x (f(x )g dx 收敛.∴⎰++∞a 2)]x (g [f(x )dx=⎰+∞a 2)x (f dx+2⎰+∞a )x (f(x )g dx+⎰+∞a 2)x (g dx ，也收敛.2、设f,g,h 是定义在[a,+∞)上的三个连续函数，且有h(x)≤f(x)≤g(x).证明：(1)若⎰+∞a )x (h dx 与⎰+∞a )x (g dx 都收敛，则⎰+∞a f(x )dx 也收敛； (2)又若⎰+∞a )x (h dx=⎰+∞a )x (g dx=A ，则⎰+∞a f(x )dx=A. 证：(1)若0≤f(x)≤g(x)，∵⎰+∞a )x (g dx 收敛， 由比较法则知⎰+∞a f(x )dx 也收敛.若h(x)≤f(x)≤0，则|f(x)|≤-h(x)，∵⎰+∞a )x (h -dx=-⎰+∞a )x (h dx 收敛， 由比较法则知⎰+∞a |f(x )|dx 也收敛，∴⎰+∞a f(x )dx 也收敛.(2)由⎰+∞a )x (h dx=⎰+∞a )x (g dx=A 得，⎰+→u a ∞u )x (h limdx=⎰+→ua ∞u )x (g lim dx=A. 又h(x)≤f(x)≤g(x)，由极限的夹逼定理得：⎰+→ua ∞u )x (f limdx=A ， ∴⎰+∞a f(x )dx=A.3、讨论下列无穷积分的收敛性： (1)⎰+∞+0341x dx ；(2)⎰∞+1x e -1xdx ；(3)⎰+∞+0x1dx ；(4)⎰+∞+13x 1xarctanxdx ；(5)⎰+∞+1nxx)ln(1dx ；(6)⎰+∞+0n mx 1x dx (n,m ≥0). 解：(1)∵3434∞x 1x 1x lim +⋅+→=1，p>1，0<λ<+∞，∴⎰+∞+0341x dx 收敛.(2)∵x 2∞x e-1xx lim ⋅+→=0，p=2，λ=0，∴⎰∞+1x e -1x dx 收敛.(3)∵x11x lim∞x +⋅+→=1，p=21，λ=1，∴⎰+∞+0x 1dx dx 发散.(4)∵arctanx x 1xarctanxlim 3∞x ++→=0，且⎰∞+1arctanx dx=2π-arctan1收敛，∴⎰+∞+13x1xarctanxdx 收敛. (5)当n>1时，取p ∈(1,n)，∵n p ∞x xx)ln(1x lim +⋅+→=0，∴⎰+∞+1n x x)ln(1dx 收敛.当n ≤1时，∵n n ∞x xx)ln(1x lim +⋅+→=+∞，∴⎰+∞+1n x x)ln(1dx 发散. (6)∵n mm-n ∞x x1x x lim +⋅+→=1， ∴当n-m>1时，⎰+∞+0n mx 1x dx 收敛; 当n-m ≤1时，⎰+∞+0nmx 1x dx 发散.4、讨论下列无穷积分为绝对收敛还是条件收敛： (1)⎰∞+1x xsin dx ；(2)⎰+∞+02x 1sgn(sinx)dx ；(3)⎰+∞+0x 100cosx x dx ；(4)x sin nx1ln(lnx)∞+e⎰dx. 解：(1)⎰∞+1x x sin dx=2⎰∞+1t sint dt ，∵t1单调趋于0(t →+∞)，|⎰u 1sint dt|<2 (u>1); 由狄利克雷判别法知：⎰∞+1xxsin dx 收敛. 又t sint≥t t sin 2=2t 1-2tcos2t t ∈[1,+∞)，其中⎰∞+12t cos2tdt 收敛，而⎰∞+12tdt 发散，∴⎰∞+1x x sin dx ，即原积分条件收敛.(2)∵⎰+∞+02x 1sgn(sinx )dx =⎰+∞+02x11dx=2π，∴原积分绝对收敛. (3)∵x100x+在[0,+∞)上单调且调趋于0(x →+∞)，|⎰u 0cosx dx|≤1， 由狄利克雷判别法知：⎰+∞+0x100cosxx dx 收敛. 又x100cosxx +≥x 100x cos x 2+=x 2200x ++x 2200x 2cos x +，其中⎰+∞+0x 2200x 2cos x dx 收敛，⎰+∞+0x2200x dx 发散，∴⎰+∞+0x100cosxx dx 发散，即原积分条件收敛.(4)x sin nx 1ln(lnx)∞+e ⎰dx=x sin nx1ln(lnx)e e 0⎰dx +x sin nx 1ln(lnx)∞+e e ⎰dx ， ∵|⎰∞+e ex sin dx|<2 (u>e e)，且在[e e,+∞)上，'⎪⎭⎫ ⎝⎛nx 1ln(lnx)=2nx )1(x ln(lnx )-1+<0， ∴nx1ln(lnx)在[e e ,+∞)上单调减，且nx 1ln(lnx)lim ∞x +→=nx 11lim ∞x +→=0， 由狄利克雷判别法知，x sin nx1ln(lnx)∞+e e⎰dx 收敛，∴原积分收敛. 又x sin nx 1ln(lnx )≥x sin nx 1ln(lnx)2=nx 21ln(lnx)-x 2cos nx21ln(lnx)， 其中⎰∞+eenx 21ln(lnx)dx 发散，⎰∞+e ex 2cos nx21ln(lnx)dx 收敛，∴⎰∞+e ex sin nx1ln(lnx )dx 发散，即原积分条件收敛.5、举例说明：⎰+∞a f(x )dx 收敛时，⎰+∞a 2)x (f dx 不一定收敛；⎰+∞af(x )dx 绝对收敛时，⎰+∞a2)x (f dx 也不一定收敛.解：令f(x) =xsinx，由狄利克雷判别法知⎰+∞1f(x )dx 收敛，但⎰+∞12)x (f dx=⎰+∞12x xsin dx=⎰+∞1dx 2x 1+⎰+∞1dx 2xcos2x ，发散. 又令f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧+<≤++<≤1n x n 1n 0 n 1n x n n 33，，，则⎰+∞1|f(x )|dx=∑∞=1i 2n 1收敛， 但⎰+∞12)x (f dx=∑∞=1i n1发散.6、证明：若⎰+∞a f(x )dx 绝对收敛，且f(x)lim ∞x +→=0，则⎰+∞a 2)x (f dx 必收敛.证法1：∵f(x)lim ∞x +→=0，∴对ε=1，有M ，当x>M 时，|f(x)|<1.⎰+∞af(x )dx=⎰+1M af(x )dx+⎰++∞1M f(x )dx ，∵⎰+∞a f(x )dx 绝对收敛，∴⎰++∞1M f(x )dx 绝对收敛.又当x ∈[M+1,+∞)时，|f(x)|<1，∴|f 2(x)|<|f(x)|，∴⎰++∞1M 2(x )f dx 收敛.∴⎰+∞a 2)x (f dx=⎰+1M a 2(x )f dx+⎰++∞1M 2(x )f dx ，收敛.证法2：∵f(x )(x )f lim 2∞x +→=f(x)lim ∞x +→=0，又⎰+∞a f(x )dx 绝对收敛所以收敛， ∴⎰+∞a 2)x (f dx 收敛.7、证明：若f 是[a,+∞)上的单调函数，且⎰+∞a f(x )dx 收敛，则f(x)lim ∞x +→=0，且f(x)=o (x1), x →+∞.证：不妨设f(x)单调减，若存在x 1∈[a,+∞)，使f(x 1)<0， 则当x>x 1时，有f(x)<f(x 1) <0，即-f(x)>|f(x 1)|. 又⎰+∞a 1|)f(x |dx 发散，∴⎰+∞a f(x )dx 发散，矛盾. ∴f(x 1)≤0. ∵⎰+∞a f(x )dx 收敛，∴任给ε>0，存在M ≥a ，只要x>M ，就有 |⎰2xx f(t)dt |<ε, 即⎰2xx f(t)dt<ε. 当x>2M 时，0≤xf(x)=2⎰x2x f(x)dt ≤2⎰x2x f(t)dt<2ε. ∴xf(x)lim ∞x +→=0, 即有f(x)=o (x1), x →+∞，从而f(x)lim ∞x +→=0.若f(x)单调增，则取g(x)=-f(x)单调减，同理有g(x)=-f(x)= o (x1), x →+∞，从而g(x)lim ∞x +→=-f(x)lim ∞x +→=0. 结论仍成立.8、证明：若f 在[a,+∞)上一致连续，且⎰+∞a f(x )dx 收敛，则f(x)lim ∞x +→=0.证：∵f 在[a,+∞)上一致连续，∴任给ε>0，存在δ>0， 当x 1,x 2∈[a,+∞)，|x 1-x 2|<δ时，有|f(x 1)-f(x 2)|< ε. 又⎰+∞af(x )dx 收敛，∴对ε1=εδ，存在M>a ，当x>M 时，有|⎰+δx xf(t)dt|<εδ.对⎰+δx x f(t)dt ，∵x<t<x+δ，即|x-t|<δ，∴|f(x)-f(t)|< ε，即f(t)- ε<f(x)<f(t)+ε.从而⎰+δx x f(t)dt -εδ<⎰+δx x f(x )dt<⎰+δx x f(t)dt +εδ，即|⎰+δx x f(x )dt -⎰+δx x f(t)dt |<εδ. ∴当x>M 时，|f(x)|= δ1|⎰+δx x f(x )dt |≤δ1(|⎰+δx x f(x )dt-⎰+δx x f(t)dt|+|⎰+δx x f(t)dt|)<2ε. ∴f(x)lim ∞x +→=0.。
一致收敛判别法
(2) M判别法是绝对收敛的判 别法, 凡是能用M判别法判别函数项级数 一致收敛的, 此函数项级数一定是绝对收敛.
例6 讨论函数项级数
的一致收敛性
例7
定理12 狄利克雷判别法
若级数 anbn满足下列条件, 则级数 anbn收敛.
n 1 n 1
(1)数列{an }单调减少，且lim an 0.
i 1 n 1
y
a1 a2
3
ai bi
i 1
5
表示以bi 为底,以ai 为高的所有 竖条矩形面积之和 .
a a
a5
4
1 2
3
(ai ai 1 ) i a5 5
i 1
51
b1 b2 b3 b4
4
b5
5
x
推论(阿贝尔引理) 若 (i)a , a ,, a , 是单调数组
定理3 狄利克雷判别法
若函数项级数 an ( x)bn ( x)满足下列两个条件,
n 1
则函数项级数 an ( x)bn ( x)在区间一致收敛 .
n 1
(1)函数列{an ( x)}对每一个x I是单调的， 且在区间I一致收敛于0(an ( x) 0).
( 2)函数项级数 bn ( x) 的部分和函数列
u n ( x ) an ,
n 1
则称函数项 级数 un ( x)在 区间I上一致收敛.
注:魏尔斯特拉斯(Weierstrass)判别法
注 : (1)满足不等式un ( x) an的数项级数 an ,
n 1
称为函数项级数 un ( x)在 区间I上的
n 1
12-3阿贝尔判别法和狄利克雷判别法总结
其中
1 发散,
cos 2n 收敛(根据例3结论), 故
n1 n
n1 n
sin2 n发散.
n1 n
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又因 sin2 n 1 (1 cos 2n), 得 2
(1)n
n1
sin2 n
n
1 2
(1)n
n1
1 n
cos 2n n
x 2
sin
3 2
x
sin
x 2
L
sin
n
1 2
x
sin
n
1 2
x
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sin
n
1 2
x,
当 x (0, 2 ) 时, sin x 0, 故得到
2
1
n
cos kx
sin
三、阿贝尔判别法和狄利克雷判别法
下面介绍两个判别一般项级数收敛性的方法. 引理 (分部求和公式, 也称阿贝尔变换)
设 i ,v j (i 1,2,L ,n), 两组实数, 若令 k v1 v2 L vk (k 1, 2,L , n),
则有如下分部求和公式成立:
n
ivi (1 2 )1 (2 3 ) 2 L (n1 n ) n1 n n. (18)
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cos nx n
对一切 x (0,2 ) 都收敛.
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例4 级数 (1)n sin2 n 收敛但不绝对收敛.
交错级数.ppt
u1 (u2 u3 ) (u2m2 u2m1 ) (u2m u2m1 )
S2m1 即数列 {S2m-1 } 单调减少, 又因
un1 un 0,
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S2m1 (u1 u2 ) (u3 u4 ) (u2m3 u2m2 ) u2m1
(u1 u2 )
即数列
i1
证 以 v1 1,vk k k1 (k 2, 3,L , n) 分别乘以 k (k 2,3, , n), 整理后就得所要证的公式。
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推论 （阿贝耳引理）若
（1）1 , 2 ,L , n 是单调数组；
（2）对任一正整数k(1 k n)有 | k | A, 则记
max{| k
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三、阿贝耳判别法和狄利克雷判别法
引理（分部求和公式）设i ,vi (i 1, 2,L , n)为两组
实数，若令 k v1 v2 vk (k 1,2, , n)
则有如下分部求和公式成立 n
ivi (1 2 )1 ( 2 3 ) 2 ( n1 n ) n1 n n
所以交错级数 (1)n1un 收敛．
n1
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因为有
S2m u1 ,
所以
S
lim
n
Sn
lim
m
S2m
u1
.
即交错级数的和不大于第一项的绝对值 u1 ．
由于 (1)n1un 的余项 n1
| Rn | un1 un2 un3 un4
仍是交错级数，所以有 | Rn | un1 .
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n1
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例
判别级数
n1
sin n n2
的收敛性.
解
sin n ห้องสมุดไป่ตู้2
含参量的反常积分中的阿贝尔判别法及狄利克雷判别法的证明
阿贝尔判别法（Abel ）（1）(),cf x y dy +∞⎰在I 上一致收敛；（2）对x I ∀∈，函数(),g x y 关于y 单调，且对x ，(),g x y 在I 上一致有界，则含参量的反常积分()(),,cf x yg x y dy +∞⎰在I 上一致收敛.狄利克雷判别法（Dirichlet ）（1）对一切N c >，(),N cf x y dy ⎰对x 在I 上一致有界；（2）对x I ∀∈函数(),g x y 关于y 单调，且当y →+∞时，对x ，(),g x y 一致收敛于0，则含参量的反常积分()(),,cf x yg x y dy +∞⎰在I 上一致收敛.引理：（积分第二中值定理的推论）见数学分析上册P.227设函数()f x 在[],a b 上可积.若()g x 单调，则[],,..a b s tξ∃∈()()()()()().b b a a f x g x dx g a f x dx g b f x dx ξξ=+⎰⎰⎰阿贝尔判别法的证明证明：由于对参量x ，(),g x y 在I 上一致有界，于是'0M ∃>，对,x I y c ∀∈>，有(,)'g x y M ≤.因为(),cf x y dy +∞⎰在I 上一致收敛，由一致收敛的柯西准则对0,M c ε∀>∃>，当21A A M >>时，对x I ∀∈，有()21,2('1)A A f x y dy M ε<+⎰.又对x I ∀∈，函数(),g x y 关于y 单调，根据积分第二中值定理，对x I ∀∈，[]12,,..A A s tξ∃∈()()()()()()221112,,,,,,.A A A A f x y g x y dy g x A f x y dy g x A f x y dy ξξ=+⎰⎰⎰于是()()()()()()212112,,,,,,A A A A f x y g x y dyg x A f x y dy g x A f x y dy ξξ=+⎰⎰⎰()()()()()()2112,,,,'''.2'12'1'1A A g x A f x y dy g x A f x y dy M M M M M M ξξεεεε≤+≤⋅+⋅=<+++⎰⎰由一致收敛的柯西准则()(),,cf x yg x y dy +∞⎰在I 上一致收敛.狄利克雷判别法的证明证明：由于对一切N c >，(),N cf x y dy ⎰对x 在I 上一致有界，于是'0M ∃>，对,N c x I ∀>∈，有(),'.Ncf x y dy M ≤⎰由当y →+∞时，对x ，(),g x y 一致收敛于0，有对0,,M c ε∀>∃>当y M >时，对x I ∀∈，有(,).4('1)g x y M ε<+又对x I ∀∈函数(),g x y 关于y 单调，当21A A M >>时，由积分第二中值定理，[]12,A A ξ∃∈，使得()()()()()()221112,,,,,,.A A A A f x y g x y dy g x A f x y dy g x A f x y dy ξξ=+⎰⎰⎰于是()()()()()()212112,,,,,,A A A A f x y g x y dyg x A f x y dy g x A f x y dy ξξ=+⎰⎰⎰()()()()2112,,,,A A g x A f x y dy g x A f x y dy ξξ≤+⎰⎰()()()()()()()()()()211212,,4('1),,,,4('1),,,,4('1)'4'.4('1)'1A A A A c c c c A A c c c c f x y dy f x y dy M f x y dy f x y dy f x y dy f x y dy M f x y dy f x y dy f x y dy f x y dy M M M M M ξξξξξξεεεεεε⎛⎫ ⎪≤+ ⎪+⎝⎭⎛⎫≤-+- ⎪ ⎪+⎝⎭⎛⎫≤+++ ⎪ ⎪+⎝⎭≤⋅=<++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰根据一致收敛的柯西准则()(),,c f x y g x y dy +∞⎰在I 上一致收敛.。
数项级数中阿贝尔、狄里克雷和莱布尼兹判别法的推广
第２０卷第９期２∞Ｂ年９月辽宁教育行政学院学报Ｊ伽Ｉｍｄｌ０ｆｎ锄赫１１９Ｅ【Ｉｕｃ砸伽越ＡｄＩ证Ｉｌｉ蚰咖ｈ堪ｄｔｕｔｅＶ０１．２０Ｎｏ．９Ｓ叩２００３数项级数中阿贝尔、狄里克雷和莱布尼兹判别法的推广陈献跃，王庆丰，杨学锋（中国刑警学院，辽宁沈阳ｌｌＯ∞５）［摘要］在级数理论中阿贝尔（趾ｄ）判别法、狄里克雷（Ｄｉｒｉｃｌｌｌｅｔ）判别法和莱布尼兹（场蛐）判别法占有相当重要的位置可用“有界变差”代替阿贝尔判别法条件中的“单调有界”，用“趋于零的有界变差”代替狄里克雷判别法条件中的“单调趋于零”，在数项级数理论中推广了阿尔贝、狄里克雷和莱布尼兹判别法。
［关键词】判别法；收敛；级数；序列；阿尔贝；狄里克雷［中图分类号］０１７３［文献标识码】Ａ【文章编号】２００３—０９－００ｌ二０２定义１如果存在数ｃ，使得Ｉｘ２一ｘ１Ｉ＋Ｉｘ３一ｘ２Ｉ＋…＋Ｉｘｎ—ｘｎ—ｌ｝＜ｃ（ｎ＝ｌ，２，…），则称序列｛ｘｎ｝是有界变差序列，或称序列｛】【Ｉｌ｝有有界变差。
定理１凡是有界变差序列都是收敛的。
证明令Ｓ＝二Ｉｘ；＋ｌ—ｘｉＩ（ｎ＝１，２，…）。
由Ｓｎ＜ｃ知，Ｓｎ有上确界ｓ叩ＳＩＩ，又Ｓｎ显然是单调递增序列，故ｓｎ收敛，且ｌｉｍＳ＝ｓｕｐＳＩｌ。
于是，对任给￡＞０，存在自然数Ｎ，使当ｍ＞ｎ＞Ｎ时，恒有ＩＳｍ—ＳｎＩ＝∑ｌｘｉ＋１一ｘｉｌ＜￡，从而ｌ】【ｌＩｌ～ｘｎｌ＝Ｉ蚤（ｘＩ＋ｌ—ｘｉ）ｌ≤；ｌ】【ｉ＋ｌ—ｘｉＩ＝ＩＳⅡＩ—ＳｎＩ＜￡，由柯西（ｃａｕｃｈｙ）收敛准则知，序列｛ｈ｝。
：１．２．．收敛。
引理锄，啦…％，…和Ｂ１，陡，…艮，…为任意两个序列，ｓｎ＝荟ｆ吨＋１一讯Ｉ（ｎ＝ｌ，２，…），￥＝善艮（ｐ＝１，２，…）；如果（１）吨（ｋ＝ｌ，２，…）有有界变差；（２）譬≤正数Ｍ（ｐ＝１，２，…），则对任意正数ｍ，有Ｉ融艮ｌ≤Ｍ（ｓｕｐＳｎ＋Ｉ‰Ｉ），设Ａ为ｌ口ｎＩｌ的上确界，则显然有１荟ａｋｐｋｌ≤Ｍ（ｓｕｐｓ．十Ａ）。
12第十二讲 绝对收敛级数的性质-级数的重排
数学分析第十二章数项级数级数的重排第十二讲数学分析第十二章数项级数相应地称级数()1k n n u ∞=∑为级数(5)的重12.(7)n v v v ++++ 记作:()f n k n →称为正整数列的重排, →()(){}:{}n n k n k n u F u u u 按映射所得到的数列称为我们把正整数列{1,2,…,n , …}到它自身的一一映射1.级数的重排相应地对于数列原数列的重排..排(),n k n v u =为叙述上的方便,记()1k n n u ∞=∑即将级数12(5)n u u u ++++数学分析第十二章数项级数定理12.13第一步设级数(5)是正项级数, 部分和. =+++12m mv v v σ 表示级数(7)的第m 个部分和. ≤≤(1)k v k m ki u 的重排, 所以每一应等于某一(1).k m ≤≤记12max{,,,},m n i i i = *证只要对正项级数证明了定理的结论,对绝对收敛级数就容易证明定理是成立的.所得到的级数(7)绝对收敛且和也为S .设级数(5)绝对收敛, 且其和等于S , 则任意重排后用S n 表示它的第n 个用因为级数(7)为级数(5)数学分析第十二章数项级数即级数(7)收敛, 且其和≤.S σ由于级数(5)也可看作级数(7)的重排,所以也有S σ，≤.S σ=从而得到这就证明了对正项级数定理成立. 第二步证明(7)绝对收敛.且绝对收敛,∑nv收敛, 则对于任何,m .m n n S σ≤都存在，使,lim S S n n =∞→由于,,m m S σ≤所以对任何正整数都有设级数(5)是一般项级数则由级数(6)收敛第一步结论, 可得即级数(7)是绝对收敛的.数学分析第十二章数项级数0,0,0;n n n n u p u q ≥=≥=当时0,0,0.n n n n n u p q u u 当时从而<===-≥要把一般项级数(5)分解成正项级数的和. 第三步证明绝对收敛级数(7)的和也等于S .一步的证明, 收敛的正项级数重排后和不变, 根据第所以先为此令,2n nn u u p +=. (8)2n n n u u q -=0,n n p u ≤≤0, (9)n n q u ≤≤,n n n p q u +=. (10)n n n p q u -=∑∑,n n p q 知都是收敛的正项级数. 因此由级数(5)绝对收敛, 及(9)式,数学分析第十二章数项级数==-∑∑∑.n n n S u p q 对于级数(5)重排后所得到的级数(7), ''=-∑∑∑,nnnv p q ''∑∑∑∑,,nnnnp q p q 显然分别是正项级数的重排,办法, 把它表示为两个收敛的正项级数之差其和不变, 从而有''=-=-=∑∑∑∑∑.nnnnnv p q p qS 也可按(8)式的数学分析第十二章数项级数注定理12.13只对绝对收敛级数成立. 数重排后得到的新级数不一定收敛,不一定收敛于原来的和.当重排后, 既可以得到发散级数,设其和为A , 即+-=-+-+-+-+=∑111111111(1)1.2345678n A n 1,2乘以常数后有例如级数()1111n n n ∞+=-∑条件收敛,条件收敛级即使收敛, 也更进一步, 条件收敛级数适也可以收敛于任何事先指定的数.数学分析第十二章数项级数+-=-+-+=∑1111111(1).224682n A n +-++-+=1111131.325742A 将上述两个级数相加, 得到的是(2)的重排:我们也可以重排(2)使其发散(可参考《数学分析学习指导书(下册)》）.。
正项级数敛散性的判别方法
正项级数敛散性的判别方法摘要:正项级数是级数内容中的一种重要级数，它的敛散性是其基本性质。
正项级数敛散性的判别方法虽然较多，但是用起来仍有一定的技巧，归纳总结正项级数敛散性判别的一些典型方法，比较这些方法的不同特点，总结出一些典型判别法的特点及其适用的正项级数的特征。
根据不同级数的特点分析、判断选择适宜的方法进行判别，才能事半功倍。
关键词:正项级数；收敛；方法；比较；应用1引言数项级数是伴随着无穷级数的和而产生的一个问题，最初的问题可以追溯到公元前五世纪，而到了公元前五世纪，而到了公元17、18世纪才有了真正的无穷级数的理论。
英国教学家Gregory J （1638—1675）给出了级数收敛和发散两个术语从而引发了数项级数敛散性广泛而深入的研究，得到了一系列数项级数的判别法。
因而，判断级数的敛散性问题常常被看作级数的首要问题。
我们在书上已经学了很多种正项级数敛散性的判定定理，但书上没有做过多的分析。
我们在实际做题目时，常会有这些感觉：有时不知该选用哪种方法比较好；有时用这种或那种方法时，根本做不出来，也就是说，定理它本身存在着一些局限性。
因此，我们便会去想，我们常用的这些定理到底有哪些局限呢？定理与定理之间会有些什么联系和区别呢？做题目时如何才能更好得去运用这些定理呢？这就是本文所要讨论的。
2正项级数敛散性判别法2.1判别敛散性的简单方法由级数收敛的基本判别定理——柯西收敛准则:级数1nn u∞=∑收敛⇔0,,,,N N n N p N ε+∀>∃∈∀>∀∈有12n n n p u u u ε++++++<。
取特殊的1p =，可得推论：若级数1nn u∞=∑收敛，则lim 0n n u →∞=。
2.2比较判别法定理一（比较判别法的极限形式）： 设1n n u ∞=∑和1n n v ∞=∑为两个正项级数，且有limnn nu l v →∞=，于是（1）若0l <<+∞，则1nn u∞=∑与1nn v∞=∑同时收敛或同时发散。
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狄利克雷判别法和阿贝尔判别法是数学分析中常用的两种判别法。
它们主要用于判断无穷级数的收敛性或发散性，是处理级数问题时的重要工具。
本文将分别介绍这两种判别法的原理和应用，帮助读者更好地理解和掌握这两种方法。
一、狄利克雷判别法
1. 狄利克雷判别法的基本原理
狄利克雷判别法是判断无穷级数收敛性的一种方法，主要适用于交错级数或者交替级数。
该判别法的基本原理是：若无穷级数
\(\sum_{n=1}^{\infty} a_n b_n\)满足以下两个条件：
1）\(a_n\)严格单调趋于0，即\(a_1 \geq a_2 \geq a_3 \geq \ldots \geq 0\)且\(\lim_{n \to \infty} a_n = 0\)；
2）\(b_n\)的部分和\(S_n = b_1 + b_2 + \ldots + b_n\)有界，即存在常数\(M\)使得对任意正整数\(n\)都有\(|S_1| \leq M\)。
2. 狄利克雷判别法的应用
以交错调和级数\(\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1}/n\)为例，根据狄利克雷判别法，可以将\(a_n = 1/n\)，\(b_n = (-1)^{n+1}\)，显然\(a_n\)严格单调趋于0，\(b_n\)的部分和\(S_n = 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + \ldots\)是交错有界数列，因此根据狄利克雷判别法，该级数收敛。
二、阿贝尔判别法
1. 阿贝尔判别法的基本原理
阿贝尔判别法是判断无穷级数收敛性的另一种方法，主要适用于幂级数。
该判别法的基本原理是：若幂级数\(\sum_{n=0}^{\infty} a_n
x^n\)满足以下两个条件：
1）\(a_n\)是一个关于\(n\)的数列，且有界，即存在常数\(M\)使得对
任意正整数\(n\)都有\(|a_n| \leq M\)；
2）对于固定的\(x\)，幂级数的部分和\(S_n = a_0 + a_1 x + \ldots + a_n x^n\)是有界的。
2. 阿贝尔判别法的应用
以幂级数\(\sum_{n=0}^{\infty} 2^{-n} x^n\)为例，根据阿贝尔判别法，可以将\(a_n = 2^{-n}\)，显然\(a_n\)是一个有界数列，对于固定的\(x\)，幂级数的部分和\(S_n = 1 + x + \ldots + 2^{-n} x^n\)是有界的，因此根据阿贝尔判别法，该幂级数在收敛域内收敛。
狄利克雷判别法和阿贝尔判别法是分析学中常用的两种判别法，它们
可以有效地判断无穷级数的收敛性或发散性，为数学分析领域的研究
和应用提供了重要的技术支持。
希望本文的介绍能够帮助读者更好地
理解和掌握这两种方法，为他们在数学分析领域的学习和研究提供帮助。
狄利克雷判别法和阿贝尔判别法是数学分析中常用的两种判别法。
它们主要用于判断无穷级数的收敛性或发散性，是处理级数问题时的
重要工具。
本文将分别介绍这两种判别法的原理和应用，帮助读者更
好地理解和掌握这两种方法。
一、狄利克雷判别法
1. 狄利克雷判别法的基本原理
狄利克雷判别法是判断无穷级数收敛性的一种方法，主要适用于交错级数或者交替级数。
该判别法的基本原理是：若无穷级数
\(\sum_{n=1}^{\infty} a_n b_n\)满足以下两个条件：
1）\(a_n\)严格单调趋于0，即\(a_1 \geq a_2 \geq a_3 \geq \ldots \geq 0\)且\(\lim_{n \to \infty} a_n = 0\)；
2）\(b_n\)的部分和\(S_n = b_1 + b_2 + \ldots + b_n\)有界，即存在常数\(M\)使得对任意正整数\(n\)都有\(|S_1| \leq M\)。
2. 狄利克雷判别法的应用
以交错调和级数\(\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1}/n\)为例，根据狄利克雷判别法，可以将\(a_n = 1/n\)，\(b_n = (-1)^{n+1}\)，显然\(a_n\)严格单调趋于0，\(b_n\)的部分和\(S_n = 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + \ldots\)是交错有界数列，因此根据狄利克雷判别法，该级数收敛。
二、阿贝尔判别法
1. 阿贝尔判别法的基本原理
阿贝尔判别法是判断无穷级数收敛性的另一种方法，主要适用于幂级
数。
该判别法的基本原理是：若幂级数\(\sum_{n=0}^{\infty} a_n
x^n\)满足以下两个条件：
1）\(a_n\)是一个关于\(n\)的数列，且有界，即存在常数\(M\)使得对任意正整数\(n\)都有\(|a_n| \leq M\)；
2）对于固定的\(x\)，幂级数的部分和\(S_n = a_0 + a_1 x + \ldots + a_n x^n\)是有界的。
2. 阿贝尔判别法的应用
以幂级数\(\sum_{n=0}^{\infty} 2^{-n} x^n\)为例，根据阿贝尔判别法，可以将\(a_n = 2^{-n}\)，显然\(a_n\)是一个有界数列，对于固定的\(x\)，幂级数的部分和\(S_n = 1 + x + \ldots + 2^{-n} x^n\)是有界的，因此根据阿贝尔判别法，该幂级数在收敛域内收敛。
3. 狄利克雷判别法和阿贝尔判别法的关系
需要指出的是，狄利克雷判别法和阿贝尔判别法并不是相互独立的两种判别法。
事实上，狄利克雷判别法可以视为阿贝尔判别法的推广和特殊情况。
当幂级数\(\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n\)中的\(a_n\)满足\(a_n = (-1)^n b_n\)时，狄利克雷判别法可以归纳为阿贝尔判别法的特殊情况。
在数学分析中，理解两种判别法的原理和使用方法对于研究级数的收敛性和发散性具有重要意义。
掌握狄利克雷判别法和阿贝尔判别法，可以帮助数学学习者更好地处理级数问题，拓展数学分析领域的知识
面，为进一步深化数学理论和应用奠定基础。
在实际应用中，狄利克雷判别法和阿贝尔判别法常常用于处理具体的
数学问题，并在物理学、工程学等其他学科领域的计算和建模中发挥
重要作用。
在电磁学中，对于多重极展开式的收敛性问题，可以借助
狄利克雷判别法和阿贝尔判别法进行分析和论证；在信号处理领域，
对于傅里叶级数的收敛性分析，也可以运用这两种判别法进行相关推
导和证明。
狄利克雷判别法和阿贝尔判别法作为数学分析中重要的工具，对于处
理级数问题和研究数学理论具有重要意义。
它们不仅为数学学习者提
供了丰富的思维和方法，也为实际问题的解决提供了有力的数学支撑。
希望本文介绍的内容能够帮助读者更深入地理解和应用这两种判别法，为数学分析领域的学习和研究提供帮助。
在学习和运用狄利克雷判别法和阿贝尔判别法的过程中，需要注意的
是对于具体问题的合理抽象和数学建模。
在运用判别法进行分析和推
导时，要对问题进行适当的简化和抽象，建立合适的数学模型，以便
更好地利用狄利克雷判别法和阿贝尔判别法进行求解和证明。
狄利克雷判别法和阿贝尔判别法作为数学分析领域的重要理论工具，
不仅在理论研究中有着重要的地位，也在实际问题的解决中发挥着重
要作用。
通过深入学习和理解这两种判别法的原理和应用，可以更好
地应对相关数学问题，并为数学分析领域的发展和应用做出更多的贡献。
希望本文的介绍能够引起读者对狄利克雷判别法和阿贝尔判别法的兴趣，促使他们深入学习和探索这一领域，为数学理论和实际应用的结合贡献自己的力量。