2020-2021学年度重庆市高三4月调研测试(二诊)数学试题(理)及答案

普通高等学校招生全国统一考试4月调研测试卷理科数学 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集U R =，集合{}1,0,1,2A =-，{}2|log 1B x x =<，则()U A B =I ð（ ） A ．{}1,2B ．{}1,0,2-C ．{}2D ．{}1,0-2.复数z 满足(12)3z i i +=+，则z =（ ） A ．1i -B ．1i +C ．15i - D ．15i + 3.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若37a =，312S =，则10a =（ ） A ．10 B ．28C ．30D ．1454.“1cos 22α=”是“()6k k Z παπ=+∈”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5.已知定义域为I 的偶函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，且0x I ∃∈，0()0f x <，则下列函数中符合上述条件的是（ ） A ．2()||f x x x =+ B ．()22x xf x -=- C ．2()log ||f x x =D ．43()f x x-=6.已知向量a r ，b r 满足||3a b -=r r 且(0,1)b =-r ，若向量a r 在向量b r 方向上的投影为2-，则||a =r（ ）A ．2B ．3C ．4D ．127.中国古代名著《孙子算经》中的“物不知数”问题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”即“有数被三除余二，被五除余三，被七除余二，问该数为多少？”为解决此问题，现有同学设计如图所示的程序框图，则框图中的“ ”处应填入（ ）A ．221a Z -∈ B ．215a Z -∈ C ．27a Z -∈ D ．23a Z -∈ 8.如图，在矩形ABCD 中，2AB =，3AD =，两个圆的半径都是1，且圆心1O ，2O 均在对方的圆周上，在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为（ ）A ．2312π B ．42324π- C ．10336π-D ．83336π+ 9.设函数6cos y x =与5tan y x =的图象在y 轴右侧的第一个交点为A ，过点A 作y 轴的平行线交函数sin 2y x =的图象于点B ，则线段AB 的长度为（ ）A 5B ．352C ．59D ．510.某几何体的三视图如图所示，其正视图为等腰梯形，则该几何体的表面积是（ ）A ．18B ．83+C ．24D ．1265+11.已知双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左右焦点分别为1F ，2F ，点P 在双曲线的左支上，2PF 与双曲线的右支交于点Q ，若1PF Q ∆为等边三角形，则该双曲线的离心率是（ ） A 2B ．2C 5D 712.已知函数()ln f x x a =+，()1g x ax b =++，若0x ∀>，()()f x g x ≤，则ba的最小值是（ ） A ．1e +B ．1e -C ．1e -D ．12e -第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.某公司对一批产品的质量进行检测，现采用系统抽样的方法从100件产品中抽取5件进行检测，对这100件产品随机编号后分成5组，第一组1~20号，第二组21~40号，…，第五组81~100号，若在第二组中抽取的编号为24，则在第四组中抽取的编号为．14.已知实数x ，y 满足330,10,10,x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩若目标函数z ax y =+在点(3,2)处取得最大值，则实数a 的取值范围为．15.根据党中央关于“精准”脱贫的要求，我市某农业经济部门决定派出五位相关专家对三个贫困地区进行调研，每个地区至少派遣一位专家，其中甲、乙两位专家需要派遣至同一地区，则不同的派遣方案种数为 （用数字作答）．16.设集合{}22(,)|(3sin )(3cos )1,A x y x y R ααα=+++=∈，{}(,)|34100B x y x y =++=，记P A B =I ，则点集P 所表示的轨迹长度为．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.设函数()cos(2)2sin cos 6f x x x x π=--．（1）求()f x 的单调递减区间； （2）在ABC ∆中，若4AB =，1()22C f =，求ABC ∆的外接圆的面积． 18.重庆市推行“共享吉利博瑞车”服务，租用该车按行驶里程加用车时间收费，标准是“1元/公里+0.2元/分钟”．刚在重庆参加工作的小刘拟租用“共享吉利博瑞车”上下班，同单位的邻居老李告诉他：“上下班往返总路程虽然只有10公里，但偶尔开车上下班总共也需花费大约1小时”，并将自己近50天的往返开车的花费时间情况统计如表：时间（分钟）[15,25)[25,35)[35,45)[45,55)[55,65)次数10181282间．（1）试估计小刘每天平均支付的租车费用（每个时间段以中点时间计算）；（2）小刘认为只要上下班开车总用时不超过45分钟，租用“共享吉利博瑞车”为他该日的“最优选择”，小刘拟租用该车上下班2天，设其中有ξ天为“最优选择”，求ξ的分布列和数学期望．19.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，AC BC =，1C C ⊥平面ABC ，侧面11ABB A 是正方形，点E 为棱AB 的中点，点M 、N 分别在棱11A B 、1AA 上，且11138A M A B =，114AN AA =．（1）证明：平面CMN ⊥平面CEN ；（2）若AC BC ⊥，求二面角1M CN A --的余弦值．20.椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点分别为1(1,0)F -，2(1,0)F ，左右顶点分别为1A ，2A ，P 为椭圆E 上的动点（不与1A ，2A 重合），且直线1PA 与2PA 的斜率的乘积为34-．（1）求椭圆E 的方程；（2）过2F 作两条互相垂直的直线1l 与2l （均不与x 轴重合）分别与椭圆E 交于A ，B ，C ，D 四点，线段AB 、CD 的中点分别为M 、N ，求证：直线MN 过定点，并求出该定点坐标． 21.已知函数()ln f x x =，2()g x ax bx =+（0a ≠，b R ∈）.（1）若2a =，3b =，求函数()()()F x f x g x =-的单调区间；（2）若函数()f x 与()g x 的图象有两个不同的交点11(,())x f x ，22(,())x f x ，记1202x x x +=，记'()f x ，'()g x 分别是()f x ，()g x 的导函数，证明：00'()'()f x g x <．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2,2x t y t ⎧=⎨=⎩（t 为参数），以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为5cos ρθ=． （1）写出曲线1C 的极坐标方程和2C 的直角坐标方程；（2）记曲线1C 和2C 在第一象限内的交点为A ，点B 在曲线1C 上，且2AOB π∠=，求AOB ∆的面积．23.选修4-5：不等式选讲已知函数2()|2|||f x x x a =-+-．（1）若关于x 的不等式()f x a ≤有解，求实数a 的取值范围； （2）若正实数m ，n 满足2m n a +=，当a 取（1）中最大值时，求11m n+的最小值．普通高等学校招生全国统一考试4月调研测试卷理科数学答案一、选择题1-5:BABBC 6-10:AADCC 11、12：DB 二、填空题13.64 14.1[,)3-+∞ 15.36 16.三、解答题17.解：（1）()cos(2)sin 26f x x x π=--12cos 2sin 2sin 2sin(2)223x x x x π=+-=+， 令23222232k x k πππππ+≤+≤+，解得51212k x k ππππ-≤≤+，k Z ∈，单调递减区间为5 [,]1212 kkππππ-+，k Z∈．（2）21sin()32Cπ+=，2536Cππ+=，6Cπ=，外接圆直径28sinABrC==，4r=，外接圆面积16Sπ=．18.解：（1）由题可得如下用车花费与相应频率的数表：估计小刘平均每天用车费用为140.2160.36180.24200.16220.0416.96⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．（2）ξ可能的取值为0,1,2，用时不超过45分钟的概率为0.8，~(2,0.8)Bξ，0022(0)0.80.20.04P Cξ==⋅=，1112(1)0.80.20.32P Cξ==⋅=，2202(2)0.80.20.64P Cξ==⋅=，ξ0 1 2P0.04 0.32 0.64()Eξ．19.解：（1）设8AB=，则13A M=，2AN=，16A N=，1tan2ANNEAAE∠==，111tan2A MMNAAN∠==，1NEA MNA∠=∠，又2NEA ENAπ∠=-∠，所以12MNA ENAπ∠=-∠，MN EN⊥，BC AC=，CE AB⊥，111ABC A B C-为直三棱柱，∴CE⊥平面11AA B B，∴MN CE⊥，MN⊥平面CEN，平面CMN⊥平面CEN．（2）由AC BC⊥，以C为原点CBu u u r，CAu u u r，1CCu u u u r分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，322(,22M，(0,2,2)N，设平面CMN的法向量为1(,,)n x y z=u r，由110,0,n CMn CN⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u r u u u u ru r u u u r解得1(92,2,4)n=-u r．平面1CNA的法向量2(1,0,0)n=u u r，设所求二面角平面角为θ，1212cos 10||||n n n n θ⋅==⋅u r u u r u r u u r ．20.解：（1）设00(,)P x y ，由题2200221x y a b +=，整理得2222002a y x a b-=-， 000034y y x a x a ⋅=--+，整理得2220043x a y -=-， 结合1c =，得24a =，23b =，所求椭圆方程为22143x y +=． （2）设直线AB ：(1)y k x =-，联立椭圆方程223412x y +=，得2222(43)84120k x k x k +-+-=，得222218424343M k k x k k =⋅=++，23(1)43M M k y k x k =-=-+，∴222444433N k x k k ==++，2213()13(1)4433N N k k y x k k k⋅-=--=-=++， 由题，若直线AB 关于x 轴对称后得到直线''A B ，则得到的直线''M N 与MN 关于x 轴对称，所以若直线MN 经过定点，该定点一定是直线''M N 与MN 的交点，该点必在x 轴上．设该点为(,0)P s ，(,)M M MP s x y =--u u u r ，(,)M N M N NM x x y y =--u u u u r， 由//MP NM u u u r u u u u r ，得N M M N M N x y x y s y y -=-，代入M ，N 坐标化简得47s =，经过定点为4(,0)7．21.解：（1）2()ln 23F x x x x =--，1(41)(1)'()43x x F x x x x-+=--=-， ()F x 在1(0,)4上单调递增，在1(,)4+∞上单调递减．（2）20000000121'()'()(2)ax bx f x g x ax b x x ---=-+=， 22212121212002()()1212()222x x x x a x x b x x ax bx a b ++-+-+--=--=，2111ln ax bx x +=，2222ln ax bx x +=，11212122()()()lnx a x x x x b x x x +-+-=，即1121221()ln x a x x b x x x ++=-，1212121*********21()()ln ln 1x x x x x xa x xb x x x x x x x x +++++==⋅--，不妨设12x x >，令1()ln 1x h x x x +=-（1x >）， 下证1()ln 21x h x x x +=>-,即2(1)4ln 211x x x x ->=-++，即4ln 21x x +>+， 4()ln 1u x x x =++，22214(1)'()(1)(1)x u x x x x x -=-=++，所以()(1)2u x u >=， ∴21212()()2a x x b x x +++>，00'()'()f x g x <．22.解：（1）由题1C ：24y x =，22sin 4cos ρθρθ=，即2sin 4cos ρθθ=，2C ：225x y x +=．（2）联立24y x =和225x y x +=，得1A x =，2A y =，设2(,)4m B m ，由OA OB ⊥，2124m m =-，得8m =-，(16,8)B -，11||||2022AOB S OA OB ∆=⋅==． 23.解：（1）222|2||||(2)()||2|x x a x x a a -+-≥---=-，2x =时等号成立，∴()f x 的最小值为2|2|a -，2|2|a a -≤，22a a a -≤-≤，[]1,2a ∈．（2）2a =时，211112()(2)()(1m n m n m n+=++≥，∴1132m n +≥，2m =，2n =。