插补的基本概念、脉冲增量插补与数据采样插补的特点和区别、逐点比较法的基本原理、直线插补和圆弧插补

插补模块
目标 位置
当前 位置 误差 实际 位置
调整运算
进给 速度
驱动装置 测量元件
工作台
位置控制软件
综上所述，各类插补算法都存在着速度与精度之间的矛盾。为解决这个 问题，人们提出了以下几种方案。 ① 软件/硬件相配合的两级插补方案 在这种方案中，插补任务分成两步完成： 首先，使用插补软件（采用数据采样法）将零件轮廓按插补周期（10～ 20ms）分割成若干个微小直线段，这个过程称为粗插补。 随后，使用硬件插补器对粗插补输出的微小直线段做进一步的细分插补， 形成一簇单位脉冲输出，这个过程称为精插补。 ② 多个CPU的分布式处理方案 首先，将数控系统的全部功能划分为几个子功能模块，每个子功能模块 配置一个独立的CPU来完成其相应功能，然后通过系统软件来协调各个CPU之 间的工作。
（5）插补算法分类 脉冲增量插补算法 通过向各个运动轴分配驱动脉冲来控制机床坐标轴相互协调运动，从而加工出一 定轮廓形状的算法。 特点： ① 每次插补运算后，在一个坐标轴方向（X、Y或Z） ，最多产生一个单位脉冲 形式的步进电机控制信号，使该坐标轴最多产生一个单位的行程增量。 每个单位脉冲所对应的坐标轴位移量称为脉冲当量，一般用δ或BLU来表示。 ② 脉冲当量是脉冲分配的基本单位，它决定了数控系统的加工精度。 普通数控机床： δ = 0.01mm； 精密数控机床： δ = 0.005mm 、 0.0025mm 或0.001mm； ③ 算法比较简单，通常只需要几次加法操作和移位操作就可以完成插补运算，因 此容易用硬件来实现。 ④ 插补误差 < δ；输出脉冲频率的上限取决于插补程序所用的时间。因此该算法 适合于中等精度（ δ = 0.01mm ）和中等速度（1~4m/min）的机床数控系统。
第三章 轮廓插补原理 第一节 概述 （1）插补模块在数控系统软件中的作用 数控系统的一般工作过程如下。
图纸 人 工 处 理 数 控 系 统 自 动 处 理 编写数控加工程序 （个人计算机等）
数控加工程序
输入数控加工程序 （通信接口、键盘等） 驻留内存的数控加工程序 译码和预处理 （刀具补偿计算等）
刀具中心轨迹
当前 位置 误差 实际 位置
插补模块
目标 位置
调整运算
进ห้องสมุดไป่ตู้ 速度
驱动装置 测量元件
工作台
位置控制软件
特点： ① 每次插补运算的结果不再是某坐标轴方向上的一个脉冲，而是与各坐标 轴位置增量相对应的几个数字量。此类算法适用于以直流伺服电机或交流伺服 电机作为驱动元件的闭环或半闭环数控系统。 ② 数据采样插补程序的运行时间已不再是限制加工速度的主要因素。加工 速度的上限取决于插补精度要求以及伺服系统的动态响应特性。
逐点比较法的工作过程 逐点比较法插补过程的每一步都要经过以下四 个工作节拍。 ① 偏差判别 根据偏差值的符号，判别当前刀具相对于零件 轮廓的位置偏差。 ② 坐标进给 根据偏差判别的结果，控制相应的坐标轴进给 一步，使刀具向零件轮廓靠拢。 ③ 偏差计算 刀具进给一步后，针对新的刀具位置，计算新 的偏差值。 ④ 终点判别 刀具进给一步后，需要判别刀具是否已经到达 零件轮廓的终点。 如果已经到达终点，则停止插补过程； 如果未到达终点，则返回到第①步，重复上述 四个节拍。
② 投影法 在插补处理开始之前，先确定直线轮廓终点坐标绝对值中较大的那根轴， 并求出该轴运动的总步数，然后存放在总步长计数器∑ 中。 ∑=max（|Xe|， |Ye|） 在插补过程中，每进行一次插补计算，如果终点坐标绝对值较大的那根坐 标轴进给一步，则计数器∑做减1操作。当计数器∑内容减到零时，表示刀具 在终点坐标绝对值较大的那根坐标轴方向上已经走了规定的步数，应该已经抵 达直线轮廓的终点，系统停止插补计算。 ③ 终点坐标法 在插补处理开始之前，先设置两个步长计数器∑1 和∑2 ，分别用来存放 刀具在两个坐标轴方向上应该走的总步数： ∑1 = |Xe|， ∑2 = |Ye| 在插补过程中，每进行一次插补计算，如果X方向进给一步，则计数器∑1 做减1操作；如果Y方向进给一步，则计数器∑2做减1操作。当两个步长计数器 都为零时，表示刀具已经抵达直线轮廓的终点，系统停止插补计算。
开始 偏差计算 Y F>0 E（Xe，Ye）
偏差判别
坐标进给
到达终点？ Y 结束 N O
F<0
X
偏差值的迭代计算公式 通过以上讨论，逐点比较法直线插补的偏差值计算公式为 Fi = XeYi – XiYe
该式有一个缺点：需要做乘法运算。对于硬件插补器或者使用汇编语言的 软件插补器，这将产生一定的困难。
Y F>0 E（Xe，Ye）
F<0
O X
综合上述讨论，有如下结论。 ① 偏差值 Fi = XeYi - XiYe ② 当 Fi ≥ 0 时，动点在直线上，或在直线上方区域，应该向 +X 方向进 给一步； ③ 当 Fi ＜ 0 时，动点在直线下方区域，应该向 +Y 方向进给一步。
据此可设计出逐点比较法直线插补的计算流程如下。
② 在数控机床的加工过程中，刀具只能以折线的形式去逼近需要被加工的 曲线轮廓，其实际运动轨迹是由一系列微小直线段所组成的折线，而不是光滑 的曲线，如下图所示。
a0
a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7
a0
a1
a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9
(a)
(b)
（3）插补定义 在机床运动过程中，为了实现轮廓控制，数控系统必须根据零件轮廓 的曲线形式和进给速度的要求 ，实时计算出介于轮廓起点和终点之间的所 有折线端点的坐标（a1、a2、a3、…、），这种实时运算操作就是插补运 算。
③ 采用单台高性能微型计算机方案
第二节 逐点比较法 逐点比较法的基本原理 在刀具运动过程中，不断比较刀具与零件轮廓之间的相对位置，并根据 比较结果使刀具平行于坐标轴向减小偏差的方向进给。 逐点比较法的特点 ① 可以实现直线插补和圆弧插补； ② 每次插补运算后，只有一个坐标轴方向有进给； ③ 插补误差不超过一个脉冲当量； ④ 运算简单直观，输出脉冲均匀。 缺点：不容易实现两坐标以上的联动插补。 在两坐标联动的数控机床中应用比较普遍。
② 直线和圆弧是构成零件轮廓的基本线型，所以绝大多数数控系统都 具有直线插补和圆弧插补功能。 本课程将重点介绍直线插补和圆弧插补的计算方法。
③ 插补运算速度是影响刀具进给速度的重要因素。为减少插补运算时 间，在插补运算过程中，应该尽量避免三角函数、乘、除以及开方等复杂运 算。因此插补运算一般都采用迭代算法。 ④ 插补运算速度直接影响数控系统的运行速度；插补运算精度又直接 影响数控系统的运行精度。 插补速度和插补精度之间是相互制约、互相矛盾的，因此只能折中选择。
为简化偏差值Fi的计算，通常采用迭代公式，即根据当前点的偏差值推算 出下一点的偏差值。 根据这个思想，对上述偏差值计算公式进行离散处理，最后有如下结论。
① 当 Fi ≥ 0 时，动点在直线上 或 在直线上方区域 向 +X 方向进给一步 新位置的偏差计算公式为： Fi+1 = Fi – Ye ② 当 Fi ＜ 0时，动点在直线下方区域 向 +Y 方向进给一步 新位置的偏差计算公式为： Fi+1 = Fi + Xe ③ 开始加工直线轮廓时，刀具总是处在直线轮廓的起点位置。因此偏差 值的初始值 F0 = 0
E（Xe，Ye）
N（Xi，Yi） X
Yi Ye Xi Xe
使用一个正数XeXi乘以该式，最后得
Fi X eYi X iYe
（3-1）
很显然，偏差值Fi的符号反映了动点N相对于直线OE的位置偏离情况。 ① Fi = 0 时，动点N在直线上； ② Fi ≻ 0 时，动点N在直线的上方区域； ③ Fi ≺ 0 时，动点N在直线的下方区域。
例题3-2: 在插补处理开始之前，应该先对偏差值F和总步长计数器∑进行初始化。 F0 = 0； ∑= 3 + 5 = 8 整个插补过程见下表所示。
序号 起点 Y 5 4 3 2 1 O 1 2 3 4 X E（ 3 ， 5 ） 0 1 2 3 4 5 6 F0 = 0 F1=-5≺0 F2=-2≺0 F3=1≻0 F4=-4≺0 F5=-1≺0 F6=2≻0 +X +Y +Y +X +Y +Y +X 偏差判别 坐标进给 偏差计算 F0 = 0 F1=F0–Ye=0-5=-5 F2=F1+Xe=-5+3=-2 F3=F2+Xe=-2+3=1 F4=F3–Ye=1-5=-4 F5=F4+Xe=-4+3=-1 F6=F5+Xe=-1+3=2 F7=F6–Ye=2-5=-3 终点判别 ∑0 = 8 ∑0 = 7 ∑0 = 6 ∑0 = 5 ∑0 = 4 ∑0 = 3 ∑0 = 2 ∑0 = 1
开始 偏差判别
坐标进给
偏差计算 到达终点？ Y 结束 N
一、逐点比较法Ⅰ象限直线插补 Y 位置偏差计算 设有第一象限直线OE，起点O为坐标系原点， 终点为E（Xe，Ye），坐标系中各点坐标的单位 为脉冲当量数。 假设在直线OE附近有一个动点N（Xi，Yi）， 则该点相对于轮廓OE的位置偏差，可以用轮廓终 点E的位矢和动点N的位矢与X轴的夹角正切差来 O 表示。即
刀具进给 逐点比较法刀具进给方向的选择原则： ① 平行于某个坐标轴； ② 减小动点相对于零件轮廓的位置偏差。 根据这个原则可以判断出直线插补的刀具进给方向为： ① 当动点在直线上方区域时， 应 +X 方向进给一步； ② 当动点在直线下方区域时，应 +Y 方向进给一步； ③ 动点在直线上时， 既可以+X方向也可以+Y方向进给一步，在此约定 取+X方向。
a0 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a0 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9
(a)
(b)
（4）有关插补问题的几点说明
① 插补运算可以采用数控系统硬件或数控系统软件来完成。 硬件插补器：速度快，但缺乏柔性，调整和修改都困难。 软件插补器：速度慢，但柔性高，调整和修改都很方便。 早期硬件数控系统：采用由数字逻辑电路组成的硬件插补器； CNC系统：采用软件插补器，或软件、硬件相结合的插补方式。
Y E（Xe，Ye）
F>0
F<0 O X
终点判别 确定刀具是否已经抵达直线终点。如果到了终点，则停止插补计算；否 则继续循环处理插补计算。常用的终点判别方法有以下三种。 ① 总步长法 在插补处理开始之前，先设置一个总步长计数器∑，其初值为： ∑=|Xe|+ |Ye| 其中， |Xe|：在X轴方向上刀具应该走的总步数； |Ye|：在Y轴方向上刀具应该走的总步数； ∑ ：整个插补过程中，刀具应该走的总步数。 在插补过程中，每进行一次插补计算，无论哪根坐标轴进给一步，计数 器∑都做一次减1操作。当计数器∑内容减到零时，表示刀具已经走了规定的 步数，应该已经抵达直线轮廓的终点，系统停止插补计算。
数据采样插补算法 根据数控加工程序所要求的进给速度，按照插补周期的大小，先将零件轮 廓曲线分割为一系列首尾相接的微小直线段，然后输出这些微小直线段所对应 的位置增量数据，控制伺服系统实现坐标轴进给。 采用数据采样插补算法时，每调用一次插补程序，数控系统就计算出本插 补周期内各个坐标轴的位置增量以及各个坐标轴的目标位置。 随后伺服位置控制软件将把插补计算求得的坐标轴位置与采样获得的坐标 轴实际位置进行比较求得位置跟踪误差，然后根据当前位置误差计算出坐标轴 的进给速度并输出给驱动装置，从而驱动移动部件向减小误差的方向运动。
插补运算处理
产生刀具坐标移动的实际控制信号
插补模块是数控系统软件中的一个及其重要的功能模块，其算法选择将 直接影响到数控系统的运动精度、运动速度和加工能力等。
（2）数控机床的运动特点 ① 在数控机床中，刀具的基本运动单位是脉冲当量，刀具沿各个坐标轴方 向的位移的大小只能是脉冲当量的整数倍。 因此，数控机床的运动空间被被离散化为一个网格区域，网格大小为一个 脉冲当量，刀具只能运动到网格节点的位置。 如下图所示。
a0 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a0 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9
(a)
(b)
所谓插补，就是根据零件轮廓的几何形状、几何尺寸以及轮廓加工的 精度要求和工艺要求，在零件轮廓的起点和终点之间插入一系列中间点 （折线端点）的过程，即所谓“数据点的密化过程”，其对应的算法称为 插补算法。