一次函数知识梳理

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八年级上学期知识梳理

《变量与函数》知识梳理

一、学习目标

1、通过简单实例，了解常量，变量的意义。

2、能结合实例，了解函数概念和三种表示方法。

3、理解函数的对应值与函数图象上的点之间一一对应关系。

4、能结合图象对简单的实际问题的函数关系进行分析，并会确定简单实际问题的函数的自 变量的取值范围，并会求函数值。

5、会用描点法画出函数的图象。

6、能对一个变化过程进行恰当地估计和分析。 二、重点难点

重点：1、函数概念的形成

2、理解函数概念，并能根据具体问题得出相应的函数关系式。

3、把实际问题转化为函数图象

4、了解画函数图象的一般步骤，会画出简单的函数图象。

5、函数的三种表示方法及其应用

难点：1、正确理解函数的概念

2、理解函数概念，并能根据具体问题得出相应的函数关系式。

3、根据函数图像研究实际问题

4、函数关系式与函数图象之间的对应关系。

5、函数的三种表示方法及其应用

三、知识梳理 1、变量与常量

在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量；数值始终不变的量为常量。

2、函数、函数值

一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量 x 与 y ，并且对于 x 的每个确定的值，y 都 有唯一确定的值与其对应，那么我们就说 x 是自变量，y 是 x 的函数，如果当 x ＝a ，y ＝b ， 那么 b 叫做当自变量的值为 a 的函数值。 3、函数的图象

一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那 么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象。函数图象能把复杂的函数关系直 观地表示出来，帮助我们发现一些规律。

4、描点法画函数图象的一般步骤

第一步：列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值） 第二步：描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出 表格中数值对应的各点）；

第三步：连线（按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来）

不管以何种方式得到的函数图象，关键是找准点的位置，再用平滑的曲线连结，当然要注 意自变量的取值范围。

5、函数的三种表示方法

（1）列表法：列表法一目了然，给出自变量的一个值，从表中可直接查出它对应的函数值， 使用起来很方便，但列出的 x 、y 的值有限。

（2）解析式法：解析法简单明了，准确反映变化过程中两个变量之间的相依关系。

（3）图象法：图象法形象直观，通过函数图象，可以直接、形象地把函数关系表示出来，直观判断出函数y随自变量x变化情况。

表示函数时，要根据具体的情况选择适当的方法，有时为全面地认识问题，需要几种方法同时使用。

6、自变量取值范围的确定

必须考虑自变量所取的值使解析式有意义，具体地，整式型的自变量的取值范围是全体实数，分式型的自变量的取值范围是使分母不为0的实数，偶次根型的自变量的取值范围是使被开方数为非负数的实数，复合型的自变量的取值范围由所列不等式组的解集来确定，应用型的

自变量的取值范围要考虑实际意义。

7、观察函数图象的题目，一般考察的是函数图象信息提取的能力，如特殊点的坐标的实际意义，满足特定要求的取值区域，图形的变化趋势等等。

论推断。比如由“1、3、5、7、9……”我们可以推断第n个数是2n－1。

四、误区警示

1、不能认为式中出现常数就是常量，字母就是变量，如圆的面积公式S＝πr2，圆周率π就

是常量。

2、常量与变量的关系不是固定的，要根据具体的问题确定，如路程（S）、速度（v）、时间（t）三者的关系中，有s=vt，当速度v一定时，v是常数，s，t是变量；当路程一定时，s是常量，v，t是变量。

3、构成函数需要两个变量，既不能多，也不能少。

4、实际问题中要考虑自变量的取值范围是否符合实际意义。

《一次函数》知识梳理

一、学习目标

1、理解正比例函数的性质，根据条件确定正比例函数解析式，会画出它的图象并能结合图象回答问题。

2、能利用待定系数法确定一次函数解析式。

3、会画出一次函数图象，理解一次函数的性质，并能结合性质解决图象位置、面积等问题。

4、会通过“平移”的方法探寻一次函数的图象的有关性质。

5、能根据问题的信息确定自变量在不同范围内的一次函数关系式。

二、重点难点

重点：1、正比例函数的概念、图象与性质

2、一次函数、正比例函数的概念及关系

3、会根据已知信息写出一次函数的表达式

4、一次函数（包括正比例函数）图象与性质。

5、根据所给信息确定一次函数的表达式。

6、分段函数的初步认识与简单多变量问题

难点：1、体验研究函数的一般思路与方法。

2、理解一次函数、正比例函数的概念及关系。在探索过程中，发展抽象思维及概括能力。

3、如何使学生通过自己的实践与探究发现图象的特点与性质，并培养属性结合解决问题的能力。

4、对数学建模的过程、思想、方法的领会，提升分析解决问题的能力。

三、知识梳理

1、一次函数、正比例函数：若两个变量x，y之间的关系可以表示为y=kx+b（k、b为常

直线，一次函数 y = kx + b （k ≠0）的图象是经过两点（0，b ），（－ ，0）的一条直线， （

数，k ≠0）的形式，称 y 是 x 的一次函数，特别地，当 b ＝0 时，称 y 是 x 的正比例函数， 显然，正比例函数是一次函数，而一次函数不一定是正比例函数，即正比例函数是一次函数 的一个特殊情况。

注意：条件中的 k ≠0 千万不要忽视，如果 k ＝0，直线 y ＝b 不是一次函数。

2、一次函数图象：正比例函数 y = kx （k ≠0）的图象是经过两点（0，0）（1，k ）的一条

b

k

我们把这条直线成为直线 y = kx + b 。具体性质如下表。

图象

k > 0

y

k < 0

y

正比例函数

o x o x

b > 0

y

b < 0

y b > 0

y

b < 0

y

一次函数

o x o x o x o x

3、k 、b 对一次函数图象的影响：

（1）当 k > 0 时，y 随 x 的增大而增大，当 k < 0 时，y 随 x 的增大而减小。

（2）k 决定着一次函数图象的倾斜程度， k 越大，其图象与 x 轴的夹角就越大。

（3）b 决定着直线与 y 轴的交点，当 b 大于 0 时，交点在 y 轴正半轴；当 b 小于 0 时，交 点在 y 轴负半轴。

（4）直线 y = kx + b 可以看作由直线 y = kx 平移 b 个长度单位得到（当 b > 0 时，向上平

移；当 b < 0 时，向下平移）

（5）直线 y = k x + b 、 y = k x + b 的几种位置关系：

1 1

2

2

平行：k = k ，b ≠b ；重合：k = k ，b ＝b ；关于 y 轴对称：k ＋k ＝0 ，b ＝b ；

1 2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

关于 x 轴对称： k ＋k ＝0 ， b ＋b ＝0 ；垂直： k • k ＝－1

1 2

1

2

1

2

4、一次函数表达式的确定：一次函数表达式的确定通常有下列几种情况： 1）利用待定系 数，根据直线上两点坐标列出方程组确定 k 、b 的值，进而求出一次函数的表达式；（2）根 据图表求出一次函数的表达式；（3）从已知条件出发，逐层求解得出一次函数表达式。

注意：已知一次函数上两点坐标可以确定一次函数解析式，可以理解为“两点确定一条直线”；

已知一点坐标不可以确定一次函数解析式，因为“经过一点的直线有无数条” 但可以确定