二阶线性微分方程解的构造
6考研数学大纲知识点解析(第六章微分方程和差分方程(数学一))
满足初始条件
的特
【解析】令
，则
，原方程化为
，即
，
于是 因
，得
，故
，由
，
知，应取
.
即
，解得
，又由
，得
，故
．
（3）型如： 间变量，即
.方程的特点是不显含自变量 ．令 ，由复合函数求导的链式法，则有
，视 为中
将之代入方程，得 这是函数 关于变量 的一阶微分方程．若能求出其通解
则可再由方程
或
两边积分后求得方程的通解
【解析】 将
代入方程
（D）
．
，得
由题设可知 从而有
类似地，将
代入方程
解得
，故选（A）．
．
，得
，
【例题】（89 年，数学一/数学二/数学三）设线性无关的函数
都是二阶非齐次线性
方程 ．
的解，
是任意常数，则该非齐次方程的通解是
（A）
．
（B）ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
．
（C）
． （D）
．
【答案】（D）．
【解析】根据解的性质，
均为齐次方程的解，且线性无关，因此
；
（2） 求出特征根 和 ；
（3） 根据特征根的不同情形按下表写出方程（1）的通解：
表 二阶常系数线性齐次微分方程的通解
特征根情形
通解形式
相异实根 相同实根 共轭复根
【例题】求微分方程 【解析】特征方程为 故齐次微分方程的通解为
的通解．
，解特征根为
．
．其中
为任意常数．
【例题】求微分方程 【解析】特征方程为 故齐次方程的通解为
．
设非齐次方程
二阶阶微分方程的解法及应用课件
参数法是一种求解二阶微分方程的方法，通 过引入参数，将微分方程转化为关于参数的 常微分方程。这种方法适用于具有特定形式 的一阶和二阶微分方程，特别是当微分方程 的解与某个参数有关时。通过求解关于参数 的常微分方程，我们可以找到微分方程的解
二阶阶微分方程的解法及应用课件
目 录
• 二阶阶微分方程的基本概念 • 二阶阶微分方程的解法 • 二阶阶微分方程的应用 • 二阶阶微分方程的数值解法 • 二阶阶微分方程的边界值问题
01 二阶阶微分方程的基本概 念
二阶阶微分方程的定义
二阶阶微分方程是包含两个未知函数 和它们的二阶导数的方程。
二阶阶微分方程的一般形式为 F(x, y, y', y''...) = 0，其中 F 是一个给定的函 数，x 和 y 是未知函数及其导数。
供需模型
01
二阶微分方程可以用来描述商品价格随时间和供需关系的变化
。
投资回报
02
在金融领域，二阶微分方程可以用来预测股票价格的变化和投
资回报。
经济增长
03
在研究经济增长时，二阶微分方程可以用来描述人均收入随时
间的变化。
在工程中的应用
控制系统
在自动化和控制工程中，二阶微分方程被用来描述系 统的动态响应和稳定性。
一维边界值问题
一维边界值问题是指求解一个关于一个自变量的二阶微分方程，同时给出该自变 量在两个特定点的取值条件。
一维边界值问题通常用于描述一个物理系统在一维空间中的行为，例如弦的振动 、波的传播等。解决这类问题通常需要使用打靶法、有限差分法等数值方法。
多维边界值问题
多维边界值问题是指求解一个关于多个自变量的二阶微分方 程组，同时给出这些自变量在多维空间中的边界条件。
高数部分知识点总结
高数部分知识点总结1 高数部分1.1 高数第一章《函数、极限、连续》求极限题最常用的解题方向:1.利用等价无穷小;2.利用洛必达法0,,0,0,1则，对于型和型的题目直接用洛必达法则，对于、、型0,0,的题目则是先转化为型或型，再使用洛比达法则;3.利用重要极0,1xx1x,1(1，x),e限，包括、、;4.夹逼定理。
(1，),exlimlimlimsinxxx,0,0x,,1.2 高数第二章《导数与微分》、第三章《不定积分》、第四章《定积分》第二章《导数与微分》与前面的第一章《函数、极限、连续》、后面的第三章《不定积分》、第四章《定积分》都是基础性知识，一方面有单独出题的情况，如历年真题的填空题第一题常常是求极限;更重要的是在其它题目中需要做大量的灵活运用，故非常有必要打牢基础。
对于第三章《不定积分》，陈文灯复习指南分类讨论的非常全面，范围远大于考试可能涉及的范围。
在此只提醒一点:不定积分f(x)dx,F(x)，C中的积分常数C 容易被忽略，而考试时如果在答,案中少写这个C会失一分。
所以可以这样建立起二者之间的联系以加f(x)dx深印象:定积分的结果可以写为F(x)+1，1指的就是那一分，,f(x)dx,F(x)，C把它折弯后就是中的那个C,漏掉了C也就漏掉了,这1分。
第四章《定积分及广义积分》可以看作是对第三章中解不定积分方法的应用，解题的关键除了运用各种积分方法以外还要注意定积分与不定积分的差异——出题人在定积分题目中首先可能在积分上下af(x)dx限上做文章:对于型定积分，若f(x)是奇函数则有,,aaaaf(x)dxf(x)dxf(x)dx=0;若f(x)为偶函数则有=2;对于,,,,a,a0,,2t,,xf(x)dx型积分，f(x)一般含三角函数，此时用的代换是常,02用方法。
所以解这一部分题的思路应该是先看是否能从积分上下限中入手，对于对称区间上的积分要同时考虑到利用变量替换x=-u和利aaa奇函数,0偶函数,2偶函数用性质、。
二阶微分方程解
二阶微分方程解二阶微分方程分为齐次和非齐次两种类型。
在这里，我们主要讨论二阶常系数齐次线性微分方程的解法。
二阶常系数齐次线性微分方程的一般形式为：ayy'' + by' + cy = 0其中，a、b、c为常数。
求解过程如下：1. 特征方程：首先求出微分方程的特征方程。
特征方程为：r^2 - pr - q = 0其中，p、q为常数。
2. 求解特征方程：求出特征方程的两个根r1和r2。
可以使用公式：r1,2 = (-p ±√(p^2 - 4q)) / 23. 根据根与系数的关系，得出二阶微分方程的通解：通解= yC1* e^(r1x) + yC2 * e^(r2x)其中，yC1和yC2为待定系数，可通过初始条件求解。
4. 求解特解：若需要求解特解，可以先设特解的形式为y = yE(x)，然后将其代入原方程，求解待定系数。
举例：求解二阶常系数齐次线性微分方程：yy'' - 2y' + 3y = 01. 特征方程：r^2 - 2r + 3 = 02. 求解特征方程：r1= 1，r2 = 33. 通解：通解= yC1* e^x + yC2* e^-x4. 求解特解：设特解为y = yE(x) = e^(x^2)将其代入原方程，求解得到yE(x)为原方程的特解。
需要注意的是，二阶微分方程的解法不仅限于齐次方程，还包括非齐次方程。
非齐次方程的解法通常需要先求解齐次方程的通解，然后通过待定系数法求解特解。
此外，还有其他类型的二阶微分方程，如艾里方程等，其解法更为复杂。
二阶常微分方程的特解
二阶常微分方程的特解（原创版）目录1.二阶常微分方程的一般形式2.特解的定义和性质3.求解二阶常微分方程特解的方法4.二阶常微分方程特解的应用实例正文二阶常微分方程的一般形式为：a * y"" +b * y" +c * y = 0其中，a、b、c 为常数，y 为函数，y"表示 y 的一阶导数，y""表示y 的二阶导数。
二阶常微分方程的解法有多种，其中一种较为常见的方法是求解特解。
特解是指二阶常微分方程的一组特例解，它具有以下性质：1.特解是二阶常微分方程的解，即满足微分方程；2.特解是线性无关的，即不同特解之间不能通过线性组合得到；3.特解是特例的，即特解的存在性和性质与微分方程的系数有关。
求解二阶常微分方程特解的方法有多种，其中较为常见的有以下几种：1.常数变易法：适用于 a*y"" + b*y" + c*y = 0 型微分方程，通过变易常数，将微分方程转化为一阶线性微分方程求解；2.待定系数法：适用于形如 a * y"" + b * y" + c * y = f(x) 的微分方程，通过设定特解的形式，将系数与待定系数联系起来求解；3.矩阵法：适用于高阶微分方程，通过构造齐次线性微分方程组，利用矩阵的性质求解特解。
二阶常微分方程特解在实际应用中有广泛的应用，例如在物理、化学、生物等学科中，常常需要通过求解微分方程特解来描述某一现象或过程。
以下是一个二阶常微分方程特解的应用实例：考虑以下一阶线性微分方程：y" + 3y = exp(x)该微分方程的特解为：y = C * exp(-3x)其中，C 为任意常数。
二阶线性偏微分方程的分类与小结
第六章 二阶线性偏微分方程的分类与小结一 两个自变量的二阶线性方程 1 方程变换与特征方程两个自变量的二阶线性偏微分方程总表示成f cu u b u b u a u a u a y x yy xy xx =+++++212212112 ①它关于未知函数u 及其一、二阶偏导数都是线性的，其中f u c b b a a a ，，，，，，，21221211都是自变量y x ,的已知函数，假设它们的一阶偏 导数在某平面区域D 内都连续，而且221211a a a ，，不全为0 。
设),(000y x M 是D 内给定的一点，考虑在0M 的领域内对方程进行简化。
取自变量变换),(y x ξξ=,),(y x ηη=其中它们具有二连续偏导数，而且在0M 处的雅可比行列式。
=∂∂),(),(y x ηξyx yx ηηξξ =x y y x ηξηξ- 根据隐函数存在定理，在0M 领域内存在逆变换,),(ηξx x =,),(ηξy y =因为x x x u u u ηξξξ+=，y y y u u u ηξξξ+=xx xx x x x x xx u u u u u u ηξηηξξηξηηξηξξ++++=222 yy yy y y y y yy u u u u u u ηξηηξξηξηηξηξξ++++=222 xy xy y x x y y x x x xy u u u u u u ηξηηηξηξξξηξηηξηξξ+++++=)(将代入①使其变为F Cu u B u B u A u A u A =+++++ηξηηξηξξ212212112经过变换后，方程的阶数不会升高，由变换的可逆性，方程的阶数也不会降低，所以221211,,A A A 不全为0。
并可验证222112122211212))((x y y x a a a A A A ηξηξ--=-这表明，在可逆变换下22211212A A A -与2211212a a a -保持相同的正负号。
二阶常系数非齐次线性微分方程省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件
0 1
i不是根 i是单根,
上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程.
总结如下:
19
待定系数法
非齐次方程 y py qy f ( x)
(1)
特征方程 r 2 pr q 0
(2)
即
一.
f ( x) Pm ( x) e x y py qy Pm ( x) e x
Pm ( x) Qm ( x)
比较系数得 :
2a 1 2a b 0
a
1 2
,
b 1 .
通解
y*
1 2
x2
x
e2x
.
y
Y
y *
C1e 2 x
C2e3x
1 2
x2
x e 2x
.
26
例4 求特解 y 5 y 6 y e2x . 解 特征方程 r 2 5r 6 0 . r1 2 , r2 3 .
y1
1 D2 1
xe 2ix2.
e 2ix
(D
1 2i)2
x 1
e 2ix
D2
1 4iD
3
x
(公式 3.)
e 2ix
1 3
4 9
iD x
e 2ix
1 3
x
4 9
i
1 3x 4icos 2x i sin 2x
9
1 9
(3x
cos
2
x
4
sin
2
x)
i(4
cos
2
x
3
x
sin
0 不是根 k 1 是单根,
2 是重根
注意 上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性 微分方程（k是重根次数）.
二元二阶微分方程组
二元二阶微分方程组
摘要：
1.二元二阶微分方程组的定义与概念
2.二元二阶微分方程组的解法
3.二元二阶微分方程组的应用
正文：
二元二阶微分方程组是指包含两个二阶微分方程的方程组，其中每个微分方程包含两个未知数，且未知数的最高次数为二次。
在数学和物理学等领域，二元二阶微分方程组是一种非常常见的问题。
求解这类方程组，对于理解现象和解决问题具有重要意义。
求解二元二阶微分方程组的方法有很多，其中最常见的方法是使用线性代数的知识，通过构造矩阵并求解矩阵的特征值和特征向量来解决。
此外，还可以使用数值方法，如有限差分法、有限元法等，对二元二阶微分方程组进行求解。
二元二阶微分方程组在实际应用中具有广泛的应用，例如在物理学中的牛顿运动定律、电磁学中的麦克斯韦方程组等。
在生物学中，种群动力学模型也通常可以表示为二元二阶微分方程组。
在经济学中，二元二阶微分方程组可以用来描述两个变量之间的动态关系，如通货膨胀率和失业率之间的关系等。
综上所述，二元二阶微分方程组是一种重要的数学模型，对于理解和解决实际问题具有重要意义。
2023考研数学必须掌握七大知识点
2023考研数学必须掌握七大知识点2023考研数学必须掌握七大知识点1、两个重要极限，未定式的极限、等价无穷小代换这些小的知识点在历年的考察中都比较高。
而透过我们分析，假设考极限的话，主要考的是洛必达法那么加等价无穷小代换，特别针对数三的同学，这儿可能出大题。
2、处理连续性，可导性和可微性的关系要求掌握各种函数的求导方法。
比方隐函数求导，参数方程求导等等这一类的，还有注意一元函数的应用问题，这也是历年考试的一个重点。
数三的同学这儿结合经济类的一些试题进展考察。
3、微分方程：一是一元线性微分方程，第二是二阶常系数齐次/非齐次线性微分方程对第一部分，考生需要掌握九种小类型，针对每一种小类型有不同的解题方式，针对每个不同的方程，套用不同的.公式就行了。
对于二阶常系数线性微分方程大家一定要理解解的构造。
另一块对于非齐次的方程来说，考生要注意它和特征方程的联络，有齐次为方程可以求它的通解，当然给出的通解大家也要写出它的特征方程，这个变化是咱们这几年的一个趋势。
这一类问题就是逆问题。
对于二阶常系数非齐次的线性方程大家要分类掌握。
当然，这一块对于数三的同学来说，还有一个差分方程的问题，差分方程不作为咱们的一个重点，而且提醒大家一下，学习的时候要注意，差分方程的解题方式和微方程是相似的，学习的时候要注意这一点。
4、级数问题，主要针对数一和数三这部分的重点是：一、常数项级数的性质，包括敛散性;二、牵扯到幂级数，大家要纯熟掌握幂级数的收敛区间的计算，收敛半径与和函数，幂级数展开的问题，要掌握一个纯熟的方法来进展计算。
对于幂级数求和函数它可能直接给咱们一个幂级数求它的和函数或者给出一个常数项级数让咱们求它的和，要转化成适当的幂级数来进展求和。
5、一维随机变量函数的分布这个要重点掌握连续性变量的这一块。
这里面有个难点，一维随机变量函数这是一个难点，求一元随机变量函数的分布有两种方式，一个是分布函数法，这是最根本要掌握的。
高数部分知识点总结
1 高数部分1.1 高数第一章《函数、极限、连续》求极限题最常用的解题方向：1.利用等价无穷小；2.利用洛必达法则，对于00型和∞∞型的题目直接用洛必达法则，对于∞0、0∞、∞1型的题目则是先转化为00型或∞∞型，再使用洛比达法则；3.利用重要极限，包括1sin lim 0=→x x x 、e x x x =+→10)1(lim 、e x x x =+∞→)1(1lim ；4.夹逼定理。
1.2 高数第二章《导数与微分》、第三章《不定积分》、第四章《定积分》第二章《导数与微分》与前面的第一章《函数、极限、连续》、后面的第三章《不定积分》、第四章《定积分》都是基础性知识，一方面有单独出题的情况，如历年真题的填空题第一题常常是求极限；更重要的是在其它题目中需要做大量的灵活运用，故非常有必要打牢基础。
对于第三章《不定积分》，陈文灯复习指南分类讨论的非常全面，范围远大于考试可能涉及的范围。
在此只提醒一点：不定积分⎰+=C x F dx x f )()(中的积分常数C 容易被忽略，而考试时如果在答案中少写这个C 会失一分。
所以可以这样建立起二者之间的联系以加深印象：定积分⎰dx x f )(的结果可以写为F(x)+1，1指的就是那一分，把它折弯后就是⎰+=C x F dx x f )()(中的那个C,漏掉了C 也就漏掉了这1分。
第四章《定积分及广义积分》可以看作是对第三章中解不定积分方法的应用，解题的关键除了运用各种积分方法以外还要注意定积分与不定积分的差异——出题人在定积分题目中首先可能在积分上下限上做文章：对于⎰-aa dx x f )(型定积分，若f(x)是奇函数则有⎰-a a dx x f )(=0；若f(x)为偶函数则有⎰-a a dx x f )(=2⎰a dx x f 0)(；对于⎰20)(πdx x f 型积分，f(x)一般含三角函数，此时用x t -=2π的代换是常用方法。
所以解这一部分题的思路应该是先看是否能从积分上下限中入手，对于对称区间上的积分要同时考虑到利用变量替换x=-u 和利用性质0=⎰-a a 奇函数 、⎰⎰=-aa a 02偶函数偶函数。
阶线性微分方程解的结构与通解性质
稳定性应用举例
控制系统设计
在控制系统中，稳定性是至关重要的指标。通过设计控制器使 得系统达到稳定状态，可以确保系统的正常运行和安全性。
生态学研究
在生态学中，研究生物种群的动态变化时，稳定性是一个重要概念。通过 分析种群的稳定性，可以预测种群的发展趋势和制定相应的保护措施。
经济学分析
在经济学中，稳定性与经济增长、通货膨胀等宏观经济指标密切相关 。通过分析经济系统的稳定性，可以为政策制定者提供决策依据。
微分方程是描述自然现象、工程技术和社会科学等领域中变量间关系的数 学模型。
微分方程按照自变量个数可分为常微分方程和偏微分方程，其中常微分方 程研究一个自变量的函数与其导数之间的关系。
微分方程在物理学、化学、生物学、经济学等领域有广泛应用。
线性微分方程定义
线性微分方程是指关于未知函数及其各 阶导数都是一次方的方程，即方程中不 会出现未知函数及其导数的二次及以上 的项。
高阶线性微分方程的通解表达式较为复杂， 一般通过特征方程、比较系数等方法求解。
通解性质分析
唯一性
对于给定的初始条件，线性微分方程的通解是唯一的。
叠加性
若y1和y2分别是线性微分方程对应于f1(x)和f2(x)的特解，则 y=c1y1+c2y2（c1、c2为任意常数）也是该方程的解。
齐次性
若y1和y2是齐次线性微分方程的解，则它们的线性组合c1y1+c2y2 （c1、c2为任意常数）也是该方程的解。
积分因子法
通过构造一个积分因子$mu(x) = e^{int p(x)dx}$，将原方程转化为$mu(x)y' + mu(x)p(x)y = mu(x)q(x)$，即 $(mu(x)y)' = mu(x)q(x)$，然后两边积分得到通解。
利用二阶导数构造的数值积分公式
利用二阶导数构造的数值积分公式陈亚婷;冀德刚;贾鹂;张雅静【摘要】为解决积分的近似计算问题,利用二阶导数,构造了利用3个节点满足6个条件的一种数值积分公式,验证了该公式具有7次代数精度,并给出了其复合公式和加速公式,对于每个公式也进行了余项研究和误差分析.最后通过几个典型的例子验证公式的有效性.【期刊名称】《河北大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2014(034)004【总页数】5页(P347-350,356)【关键词】数值积分公式;代数精度;复合公式【作者】陈亚婷;冀德刚;贾鹂;张雅静【作者单位】河北农业大学理学院,河北保定071001;河北农业大学理学院,河北保定071001;河北农业大学理学院,河北保定071001;河北农业大学理学院,河北保定071001【正文语种】中文【中图分类】O241.4在工业生产和科学实践中，常常需要计算大量的积分问题.有些数值方法，如微分方程和积分方程的求解，也都和积分计算相联系.依据微积分基本定理，对于积分只要找到被积函数f（x）的原函数F（x），便可利用牛顿－莱布尼茨公式但实际使用这种求积方法往往有困难，因为大量的被积函数，其原函数不能用初等函数表示，故不能用上述公式计算；有些函数，即使能求得原函数的积分有时计算也是十分困难.另外，当f（x）是由测量或数值计算给出的一张数据表，牛顿－莱布尼茨公式也不能直接应用.因此有必要研究积分的数值计算方法［1－3］.本文在文献［4－11］基础上，利用二阶导数，构造了一种新的具有7次代数精度的数值积分公式，并给出了其复合公式和加速公式，对于每个公式也进行了余项研究和误差分析，最后通过几个典型的例子验证本文得到的公式的有效性.1 构造公式首先假定被积函数f（x）在积分区间［a，b］上足够光滑，并且其在［a，b］上每一点处的二阶导数都可求得.在积分区间［a，b］上取其中点设已知被积函数f（x）在点上函数值f（b）和二阶导数值构造如下的求积公式：其中为待定参数.现需确定公式（1）的待定参数Ai，Bi（i＝0，1，2），使求积公式具有尽可能高的代数精度.令求积公式对f（x）＝1，x，x2，…，x6精确成立，可解得于是可得到求积公式令f（x）＝x7，该公式也精确成立，但是f（x）＝x8时该公式不精确成立，因此该求积公式具有7次代数精度.根据广义皮亚诺定理，经计算得余项2 复合公式及其加速将积分区间［a，b］分成2n等分，记节点x＝a＋ih，i＝0，1，2，…，2n，其中在每个小区间i1［x2i－2，x2i］（i＝1，2，…，n）上应用公式（2）得把式（4）整理即可得如下形式：对式（4），令则它们都是f（x）相应于区间［a，b］的分割［x0，x2］，［x2，x4］，…，［x2n－2，x2n］的一个黎曼和.由定积分定义知，当n→∞时，J1，J2，J3都收敛于积分令则它们都是f″（x）相应于区间［a，b］的分割［x0，x2］，［x2，x4］，…，［x2n－2，x2n］的一个黎曼和.由定积分定义知，当n→∞时，L1，L2，L3都收敛于积分综上知，当n→∞时，式（4）右端In收敛于积分即复合公式（4）收敛.假设f（x）∈C［8］［a，b］，则复合求积公式的余项为然后将积分区间［a，b］分成4n等分，记节点xi＝a＋ih1，（i＝0，1，2，…，2n）及＝，（i＝1，2，…，2n）.在每个小区间［x，x］和［x，x］（i＝1，2，…，n）上应用公式（2）得2i－22i－12i－12i其余项由假设f（x）∈C［8］［a，b］，并假定当n充分大时则有即I≈这里I表示真值. 记则是比In和I2n更好的接近于I的近似值.其余项为对于上述余项的估计，有如下定理.定理1 设函数，则公式（6）有余项估计3 数值实验例1 计算，结果如下：已知真值I＝0.946 083 070 367 18，本文公式（2）：近似值为0.946 083 069 878 380，误差为4.888 000 004 754 645×10－10.本文公式（4）：n＝2时，近似值为0.946 083 070 365 313，误差为1.869 542 824 855 863 0×10－12.n＝4时，近似值为0.946 083 070 367 176，误差为7.143 701 047 162 9565×10－15.n＝8时，近似值为0.946 083 070 367 183，误差为7.274 861 290 056 10×10－17.本文公式（6）：n＝2时可见，如果保留到小数点后15位，该结果可以作为精确值的很好的近似.尤其对式（6），只需用n＝2情形计算即可达到很高的精度，计算量也较小.例2 计算，结果如下：已知真值I＝0.785 398 163 397 448，本文公式（2）：近似值为0.785 439 682 539 683，误差为4.151 914 223435×10－5.本文公式（4）：n＝2时，近似值为0.785 398 258 555 694，误差为9.515 824 614 106 20×10－8.n＝4时，近似值为0.785 398 163 395 992，误差为1.456 088 112 965 87×10－12.n＝8时，近似值为0.785 398 163 397 447，误差为3.330 669 073 875470×10－16.4 结论通过上面的数值计算结果表明：在计算数值积分时，本文构造的数值积分公式能很好地作为积分值的近似，而且精确程度较高.同时，所得到的积分公式还易于编程.本文的优点在于利用了较少的条件构造了一个高次代数精度的数值积分公式，由此用较少的计算量就可以达到精度的要求，因而在实际计算中有广泛的应用.参考文献：［1] 李庆扬，王能超，易大义.数值分析［M］.北京：清华大学出版社，2008. ［2] 杨涛，王爱茹，王增辉.计算方法［M］.北京：中国水利水电出版社，2005. ［3] 陈公宁，沈家骥.计算方法导引［M］.北京：北京师范大学出版社，2009. ［4] 郑华盛，唐经纶，危地.高精度数值积分公式的构造及其应用［J］.数学的实践与认识，2007，37（15）：141－148.ZHENG Huasheng，TANG Jinglun，WEI Di.Constructions of high accurate numerical integration formula andits applications［J］.Mathematics in Practice and Theory，2007，37（15）：141－148.［5] 徐伟，郑华盛，李曦.一类高精度数值积分公式的构造［J］.数学的实践与认识，2012，42（18）：207－215.XU Wei，ZHENG Huasheng，LIXi.Constructions of new high accurate numerical integration formula［J］.Mathematics in Practice and Theory，2012，42（18）：207－215. ［6] 许江浩，陈志坤，刘斌.一个高精度数值积分公式［J］.四川理工学院学报，2011，24（2）：168－170.XU Jianghao，CHEN Zhikun，LIU Bin.A higher order accuracy numerical quadrature rule［J］.Journal of Sichuan University of Science and Engineering：Natural Science Edition，2011，24（2）：168－170.［7] 吴新元.一个高精度数值积分公式［J］.计算物理，1988，5（4）：473－477.WU Xinyuan.A high accurate numerical integration formula［J］.Journal of Computational Physics，1988，5（4）：473－477.［8] 吴新元，吴宏伟.一个新的高精度二重数值积分公式［J］.计算物理，1991，8（4）：437－441.WU Xinyuan，WU Hongwei.A high accurate numerical integration formula［J］.Journal of Computational Physics，1991，8（4）：437－441.［9] 娄爱芳，胡军浩.一个新的数值积分公式［J］.数学理论与应用，2010，30（4）：72－74.LOU Aifang，HU Junhao.A type of integrating formula ［J］.Mathematical Theory and Applications，2010，30（4）：72－74. ［10] 刘学飞.复化Newton－Cotes公式及其误差［J］.重庆三峡学院学报，2007，23（3）：52－54.LIU Xuefei.On compound Newton－Cotes multi－integral formula and their errors［J］.Journal of Chongqing Three Gorges University，2007，23（3）：52－54.［11] 杨录峰，马宁，赵双锁.一种变步长和变阶计算的自适应数值积分算法［J］.云南民族大学学报：自然科学版，2011，20（1）：32－36.YANG Lufeng，MA Ning，ZHAO Shuangsuo.An adaptive numerical quadrature algorithem of computing with both changeable step and changeable order［J］.Joumalof Yunnan University of Nationalities：Natural Sciences Edition，2011，20（1）：32－36.。
第四章-4.1线性微分方程的一般理论
推论 若函数组x1 (t ), x2 (t ) , xn (t )的Wronsky行列式
在区间 [a, b]上某点t0处不等于零,即W (t0 ) 0, 则该函 数组在[a, b]上线性无关 .
(2)定理4 如果方程(4.2)的解x1 (t ), x2 (t ) , xn (t )在区间
a t b上线性无关, 则它们Wronsky的行列式在 [ a, b] 上任何点都不等于零 ,即W (t ) 0(a t b)
解： c1 1, c2 1, c3 1
c1 x1 (t ) c2 x2 (t ) c3 x3 (t ) sin 2 t cos2 t 1 0, t ( , )
12
例3 函数组 1, t, t ,, t , 线性无关。 分析：我们假设存在
2 n
2
n
t [a, b]
c1x1 (t ) c2 x2 (t ) ck xk (t ) 0
对于所有 t [a, b] 都成立，则称这些函数是线性相关的， 否则就称这些函数在区间[a,b]上是线性无关的。
11
例2
考虑函数组的线性相关性
x1(t ) sin2 t, x2 (t ) cos2 t, x3 (t ) 1, t (, )
8
证明: 由于xi (t )(i 1,2,k )是方程(4.2)的k个解
故有
d n xi (t ) d n1 xi (t ) a1 (t ) an (t ) xi (t ) 0 n n 1 dt dt i 1,2, k
n n 1
上面的k个等式中 , 第i个乘ci , 然后相加得
其系数行列式为W (t0 ) 0 , 故它有非零解 c1 , c2 ,cn ,
二阶变系数齐次常微分方程的解法及其应用
2011届本科毕业论文二阶变系数齐次常微分方程的解法及其应用所在学院：数学科学学院专业班级：数学07-(4)实验班学生姓名：曼则热古丽．图尔荪指导教师：吐尔洪.艾尔米丁答辩日期：2011年5月11日新疆师范大学教务处目录引言................................................................................................................. 错误！未定义书签。
1 二阶变系数齐次常微分方程的通解及其应用..................................... 错误！未定义书签。
2 二阶变系数齐次方程的两个解法及其应用............................................. 错误！未定义书签。
2.1利用常数变易法解二阶变系数齐次线性微分方程....................... 错误！未定义书签。
2.2未知函数代换................................................................................... 错误！未定义书签。
3二阶变系数线性微分方程的一般求解法及其应用.................................. 错误！未定义书签。
3.1二阶变系数线性微分方程的一般求解法....................................... 错误！未定义书签。
3.2应用................................................................................................... 错误！未定义书签。
4 总结............................................................................................................. 错误！未定义书签。
2023年常微分方程与差分方程解法归纳
常微分方程解法归纳1.一阶微分方程部分①可分离变量方程（分离变量法）假如一阶微分方程中旳二元函数可表达为),(y x f dxdy =),(y x f 旳形式，我们称为可分离变量旳方程。
)()(),(y h x g y x f =)()(y h x g dx dy =对于此类方程旳求解我们首先将其分离变量为旳形dx x g y h dy )()(=式，再对此式两边积分得到从而解出C dx x g y h dy +=⎰⎰)()()()(y h x g dx dy =旳解，其中C 为任意常数。
详细例子可参照书本P10—P11旳例题。
②一阶线性齐次、非齐次方程（常数变易法）假如一阶微分方程中旳二元函数可表达为),(y x f dxdy =),(y x f 旳形式，我们称由此形成旳微分方程y x P x Q y x f )()(),(-=为一阶线性微分方程，尤其地，当时我们称其)()(x Q y x P dxdy =+0)(≡x Q 为一阶线性齐次微分方程，否则为一阶线性非齐次微分方程。
对于此类方程旳解法，我们首先考虑一阶线性齐次微分方程，这是可分离变量旳方程，两边积分即可得到0)(=+y x P dxdy ，其中C 为任意常数。
这也是一阶线性非齐次微分方程旳⎰=-dx x P Ce y )(特殊状况，两者旳解存在着对应关系，设来替代C ，于是一阶线)(x C 性非齐次微分方程存在着形如旳解。
将其代入⎰=-dx x P e x C y )()(我们就可得到)()(x Q y x P dx dy =+这其实也就是)()()()()()()()()(x Q e x C x P e x C x P e x C dx x P dx x P dx x P =⎰+⎰-⎰'---，再对其两边积分得，于是将其⎰='dx x P e x Q x C )()()(C dx e x Q x C dx x P +⎰=⎰)()()(回代入即得一阶线性微分方程旳通解⎰=-dx x P e x C y )()()()(x Q y x P dx dy =+。
二阶线性常微分方程的解的结构
二阶线性常微分方程的解的结构 二阶线性常系数微分方程的解的求法二阶线性常微分方程：y ’’+p(x)y ’+q(x)y=r(x) p(x)、q(x)、r(x)是区间I 上的已知函数 y ’’+p(x)y ’+q(x)y=0 齐次 y ’’+p(x)y ’+q(x)y=r(x)，r(x)≠0, 非齐次【一】对齐次方程：y ’’+p(x)y ’+q(x)y=01.若y 1(x)和y 2(x)都是上述齐次方程的解，则C 1y 1(x)+C 2y 2（x ）仍是上述方程的解.2.若y 1(x)和y 2(x)在区间I 上线性无关，即αy 1(x)+βy 2(x)=0仅当α=β=0时成立， 则y=C 1y 1(x)+C 2y 2（x ）即是y ’’+p(x)y ’+q(x)y=0的通解。
【y ’’+p(x)y ’+q(x)y=0的任何一个解可表示成y=C 1y 1(x)+C 2y 2（x ）的形式】由上述1和2，求y ’’+p(x)y ’+q(x)y=0的通解，只需找到两个其两个线性无关的特解.【二】对非齐次方程：y ’’+p(x)y ’+q(x)y=r(x)，r(x)≠0y*(x)是其一y ’’+p(x)y ’+q(x)y=r(x)，r(x)≠0的一个特解Y(x)是对应齐次方程y ’’+p(x)y ’+q(x)y=0的某个解则1）y*’’+py*’+qy*=r 2) y ’’+py ’+qy=r两式相减：（y-y*）’’ + p(y-y*) ‘+q(y-y*)=0记Y=y-y*,则Y 是对应齐次方程y ’’+p(x)y ’+q(x)y=0的通解 y=y*+Y即：y ’’+p(x)y ’+q(x)y=r(x)，r(x)≠0的任何一个解y(x)都可以表示为：y(x)=y*(x)+Y(x) 即：非齐次方程的通解=非齐次方程的一个特解+对应其次方程的通解.如何求二阶线性常系数齐次微分方程y ’’+p(x)y ’+q(x)y=0 的通解？设y(x)是 y ’’+p(x)y ’+q(x)y=0 的解，p 、q 均为常数 则在I 内y ’’(x)+py ’(x)+qy(x)=0,恒成立所以y ’、py ’、qy 必须能够抵消掉，即y 、y ’、y ’’必须是同一类型的函数. 只能是指数函数令kxe =y 是方程y ’’+py ’+qy=0（p 、q 为常数）的解 即0k 2≡++kxe q pk ）（，可得02=++q pk k02=++q pk k 是一个一元二次方程，称为y ’’+py ’+qy=0的特征方程解一元二次方程得.24,24k 2221q p p k q p p ---=-+-=则与k 1k 2对应的.,y 2121xk xk e y e ==必是y ’’+py ’+qy=0（p 、q 为常数）的解但是.,y 2121xk xk e y e ==是否线性无关？【能否构成通解y ’’+py ’+qy=0（p 、q 为常数）】 分类讨论： 1.04p 2>-q即k 1k 2是两个不等实根，且常数≠=-)(2121e x k x k x k x k e e ，即.,y 2121xk x k e y e ==线性无关所以x k xk e C eC 2121y +=2.04p 2<-q.,k 21βαβα-=+=k i 是一对共轭的复根则)s i n (c o s )()s i n (c o s )()(2)(121x i x e eex y x i x e e e x y xxi xk x x i x k -===+===-+ββαβααβα 线性无关复函数用起来不方便，不用其来构造y ’’+py ’+qy=0（p 、q 为常数）的通解取其线性组合：x e e e ix yx e e e x yx x k x k x x k xk ββααsin )(21)(ˆcos )(21)(ˆ212121=-==+=)(y ˆ),(yˆ21x x 是y ’’+py ’+qy=0（p 、q 为常数）的解，且)(y ˆ),(y ˆ21x x 线性无关. y ’’+py ’+qy=0（p 、q 为常数）的通解：)sin cos ()(21x C x C e x y xββα+= 3.042=-q p此时k 1=k 2，即重根，记重根为k ，kxe x =)(y 1必是y ’’+py ’+qy=0（p 、q 为常数）的一个解 求通解，只需再找一个与kxe x =)(y 1线性无关的解.将上述这个解表示成为待定函数但非常数)(,)(y x u e x u kx=，代入y ’’+py ’+qy=0（p 、q 为常数），得到0])(')2(''[e 2=++++++u q pk k u p k u kx ，)2,0(k 212pk k q pk -===++ 所以u ’’=0.取u(x)=x,则得到y ’’+py ’+qy=0（p 、q 为常数）的另一个解kxxe y = 此时y ’’+py ’+qy=0（p 、q 为常数）的通解为kx e x C C x )()(y 21+=如何求二阶线性常系数非齐次微分方程y ’’+p(x)y ’+q(x)y=r(x)，r(x)≠0的通解？由刚开始的分析，只需求出它的一个特解y*(x)设齐次方程通解为)()()(2211x y C x y C x y +=，)()(y 21x y x 、是齐次方程的两个线性无关解 设非齐次方程有一个形如)()()()()(2211*x y x C x y x C x y +=的解.上一行中的21,C C 已变易为待定函数接下来的任务是选择)(),(21x C x C ，使)()()()()(2211*x y x C x y x C x y +=是y ’’+p(x)y ’+q(x)y=r(x)，r(x)≠0的一个解将)()()()()(2211*x y x C x y x C x y +=代入y ’’+p(x)y ’+q(x)y=r(x)，r(x)≠0中得到：()()()()()()()()()x y x C x y x C x y x C x y x C x '''''y 22112211*+++=因为只要求出一个特解，即只要确定一组函数)(),(21x C x C ，我们就有比较大的自由度对)(),(21x C x C 加以限制，如选择)(),(21x C x C 使()()()()0''2211=+x y x C x y x C这样，()()()()()()()()()()()()()()x y x C x y x C x y x C x y x C x x y x C x y x C x 22112211*2211*'''''''''y'''y'+++=+=将()()()()()()()()()()()()()()()()()()()x y x C x y x C x y x C x y x C x x y x C x y x C x x y x C x y x C x 22112211*2211*2211*'''''''''y'''y'y +++=+=+=代入y ’’+p(x)y ’+q(x)y=r(x)，r(x)≠0()()()()()()()()()()()()()()()()()()()x r x y x C x y x C q x y x C x y x C p x y x C x y x C x y x C x y x C =+++++++2211221122112211''''''''''()()x x 21y ,y 都是齐次方程的解，可将上式化简为()()()()()x r x y x C x y x C =+2211''()()()()0''2211=+x y x C x y x C 与()()()()()x r x y x C x y x C =+2211''是关于()()x C x C 21,的线性代数方程组，解之，得()()()()()()()()()()()()()()()()x y x y x y x y x r x y x y x C x y x y x y x y x y x r x y x C 21211122121221'''0','''0'==再积一次分即可求出()()x C x C 21,.这就是参数变易法求二阶线性常系数非齐次微分方程.。
二阶常系数齐次微分方程的通解推导
微分方程是数学中的重要内容，它描述了自然界和社会现象中许多变化规律。
在微分方程中，常系数齐次线性微分方程是一类常见且重要的微分方程。
本文将重点讨论二阶常系数齐次微分方程的通解推导，通过详细的推导过程，使读者能够清晰理解其中的数学原理和推导过程。
二、基本概念1. 二阶常系数齐次微分方程所谓二阶常系数齐次微分方程，是指具有形式为$ay''+by'+cy=0$的微分方程，其中a、b、c为常数。
2. 通解对于微分方程$ay''+by'+cy=0$，它的通解是指其所有解的集合。
通解包括了微分方程的所有特解，能够完整描述微分方程的解的形式。
三、推导过程1. 特征方程对于二阶常系数齐次微分方程$ay''+by'+cy=0$，我们首先构造其特征方程。
特征方程是指将微分方程中的y''、y'和y分别用r表示，得到的关于r的代数方程。
对于方程$ay''+by'+cy=0$，其特征方程为$ar^2+br+c=0$。
解特征方程$ar^2+br+c=0$得到其根$r_1$和$r_2$。
特征根的性质决定了微分方程的解的形式。
特征根的情况分为三种：（1）特征根为不相等的实数；（2）特征根为相等的实数；（3）特征根为共轭复数。
3. 解的形式根据特征根的情况，可以确定微分方程的解的形式。
当特征根为不相等的实数时，微分方程的解为$y=c_1e^{r_1x}+c_2e^{r_2x}$；当特征根为相等的实数时，微分方程的解为$y=(c_1+c_2x)e^{rx}$；当特征根为共轭复数时，微分方程的解为$y=e^{ax}(c_1\cos bx+c_2\sin bx)$。
4. 通解根据解的形式，我们可以得到微分方程的通解。
通解是微分方程的所有解的集合，包括了方程的特解。
通解的形式可以通过特征根的情况确定，并且包括了任意常数$c_1$和$c_2$，从而完整描述了微分方程的解的形式。
二阶齐次线性微分方程的特解
二阶齐次线性微分方程的特解
二阶齐次线性微分方程的特解形式为
y(x)=c1y1(x)+c2y2(x)，其中c1和c2是常数，y1(x)和y2(x)是方程的两个解，叫做基解。
对于方程y'' + p(x)y' + q(x)y = 0，通常可以使用分离变量法、牛顿-拉夫逊变换法等方法求出基解。
其中分离变量法就是将y(x)分解为y(x)=X(x)Y(x),然后把
微分方程转化为两个普通的一阶方程，进而得到基解。
牛顿-拉夫逊变换法就是将y(x)替换为z(x)=y(x)e^(-∫
p(x)dx),然后得到z(x)的微分方程为z''+q(x)z=0,进而得到基解。
不同的基解对应着不同的边界条件，而特解就是对应着特定边界条件的解。
通常使用积分常数法来求特解。
积分常数法是求特解的常用方法，它的基本思想是，通过已知的基解来构造出一个特解。
具体来说，对于方程y'' + p(x)y' + q(x)y = g(x)，我们可以找到两个基解y1(x)和y2(x)，然后构造出一个特解为yp(x) = c1y1(x) + c2y2(x) +∫
(g(x)-q(x)y1(x)-p(x)y1'(x))/(p(x)y2(x)-p(x)y1(x))dx 。
其中c1和c2是常数，通过边界条件确定。
综上,二阶齐次线性微分方程的特解可以通过求基解，结合特定边界条件来求解。
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y C1 cos x C2 sin x.
2.二阶非齐次线性方程的解的结构:
定理 3 设 y*是二阶非齐次线性方程
y P( x) y Q( x)特解, Y 是与(2)对应的齐次方程(1)的通
解, 那么 y Y y*是二阶非齐次线性微分方程(2
的通解.
定理 4 设非齐次方程(2)的右端 f ( x)是几个函
则函数y1 ( x)与 y2 ( x)在 I 上线性无关.
定理 2：如果y1( x)与 y2 ( x)是方程(1)的两个线
性无关的特解, 那么y C1 y1 C2 y2就是方程(1) 的通解.
例 如 y y 0, y1 cos x, y2 sin x,
且 y2 tan x 常数, y1
个函数．如果存在n个不全为零的常数，使得 当 x在该区间内有恒等式成立
k1 y1 k2 y2 kn yn 0，
那么称这n个函数在区间I 内线性相关．否则
称线性无关
例如 当x (, )时 e x，ex , e2 x 线性无关
1，cos2 x, sin2 x 线性相关
特别地: 若在 I 上有 y1 ( x) 常数， y2 ( x)
数之和, 如 y P( x) y Q( x) y f ( x) f (x)
1
2
而 y*与 y*分别是方程,
1
2
y P( x) y Q( x) y f ( x)
1
y P( x) y Q( x) y f ( x)
2
的特解,
那么
y* 1
y* 2
就
是原方程的
特解.
解的叠加原理
线性微分方程的解的结 构
1.二阶齐次方程解的结构:
y P( x) y Q( x) y 0
(1)
定理 1 如果函数 y1( x)与 y2 ( x)是方程(1)的两个
解,那末y C1 y1 C2 y2也是(1)的解.（C1, C2是常 数）
问题: y C1 y1 C2 y2一定是通解吗？
定义：设 y1 , y2 ,, yn为定义在区间I 内的n