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高等代数（ II ）期末考试试卷及答案（ A 卷）

一、 填空题（每小题 3 分，共 15 分）

1、线性空间 P x 的两个子空间的交 L 1

x I L 1 x

2、设

1

,

2 ,...,

n

与

1

,

2

,..., n

是 n 维线性空间 V 的两个基， 由

1

,

2 ,..., n 到 1 ,

2 ,...,

n

的过渡矩阵是 C ，列向量 X 是 V

中向量 在基 1, 2 ,..., n 下的坐标，则 在基 1 , 2 ,..., n 下

的坐标是

3、设 A 、B 是 n 维线性空间 V 的某一线性变换在不同基下的矩阵，

则 A 与 B 的关系是

4、设 3 阶方阵 A 的 3 个行列式因子分别为： 1, ,

2

1 ,

则其特征矩阵

E A 的标准形是

5、线性方程组 AX B 的最小二乘解所满足的线性方程组是：

二、 单项选择题（每小题 3 分，共 15 分）

1、 （ ）复数域 C 作为实数域 R 上的线性空间可与下列哪一个

线性空间同构：

（A ）数域 P 上所有二级对角矩阵作成的线性空间；

（B ）数域 P 上所有二级对称矩阵作成的线性空间；（C ）数域 P 上所有二级反对称矩阵作成的线性空间；（D ）复数域 C 作为复数域 C 上的线性空间。

2、（ ）设 是非零线性空间 V 的线性变换，则下列命题正确的是：（A ）

的核是零子空间的充要条件是 是满射；（B ） 的核是 V 的充要条件是 是满射；

（C）的值域是零子空间的充要条件是是满射；

（D）的值域是V的充要条件是是满射。

3、（）矩阵A可逆的充要条件是：

A A0;

B A是一个非零常数；

C A是满秩的；

D A是方阵。

4、（）设实二次型f X AX（ A为对称阵）经正交变换后化为：

1 y1

2 2 y22...n y n2，则其中的 1 , 2 ,...n 是：

A1; B 全是正数； C 是A的所有特征值； D 不确定。

5、（）设 3 阶实对称矩阵 A 有三重特征根“2”，则A的若当

标准形是：

200200200

A 0 2 0;

B 1 2 0;

C 120;

002002012 D以上各情形皆有可能。

三、是非题（每小题 2 分，共 10 分）

（请在你认为对的小题对应的括号内打“√”，否则打“ ”）1、（）设V1，V2均是n维线性空间V的子空间，且V1I V20

则V V1 V2。

2、（）n 维线性空间的某一线性变换在由特征向量作成的基下

的矩阵是一对角矩阵。

3、（）同阶方阵 A 与 B 相似的充要条件是E A 与 E B

等价。

4、（）n 维欧氏空间的正交变换在任一基下的矩阵都是正交矩阵。

5、（）欧氏空间的内积是一对称的双线性函数。

四、解答题（每小题10 分，共 30 分）

1、在线性空间P4中，定义线性变换：

A a, b,c,d a, b,a c,b d a,b,c,d P4

（ 1）求该线性变换在自然基：11,0,0,0 , 20,1,0,0

30,0,1,0 , 40,0,0,1下的矩阵A；

（ 2）求矩阵 A 的所有特征值和特征向量。

2

2、（ 1）求线性空间P x3中从基I : 1, x 1 , x 1到基

2

II : 1, x 1 , x 1的过渡矩阵；

（ 2）求线性空间P x3中向量f x 1 2x 3x2在基

2

I : 1, x 1 , x 1下的坐标。

3、在 R2中，a1 , a2 ,b1 ,b2，规定二元函数：

,a1b1a1b2a2b14a2b2

（1）证明：这是 R2的一个内积。

（2）求 R2的一个标准正交基。

五、证明题（每小题10 分，共 30 分）

1、设 P3的两个子空间分别为：

W1x1 , x2 , x3x1x2x30 ,W2x1 , x2, x3x1x2x30

P3W1W2；

证明：（ 1）

（ 2）W1W2不是直和。

2、设是数域P上线性空间V的线性变换，证明W L1,2,...,r

是的不变子空间的兖要条件是A i W i1,2,..., r

3、已知A E 是n级正定矩阵，证明：

（1）A 是正定矩阵；

（2） A

2E 3n

答案

一、 填空题（每小题 3 分，共 15 分）

1、线性空间 P x

的两个子空间的交 L 1 x I L 1 x

2、设

1

,

2 ,..., n

与

1

,

2

,..., n

是 n 维线性空间 V 的两个基，

由

1

,

2 ,...,

n 到

1

,

2

,...,

n

的过渡矩阵是 C ，列向量 X 是 V

中向量 在基

1

,

2 ,...,

n 下的坐标，则 在基 1 , 2 ,..., n 下

的坐标是

C 1 X

3、设 A 、B 是 n 维线性空间 V 的某一线性变换在不同基下的矩阵，

则 A 与 B 的关系是

相似关系

4、设 3 阶方阵 A 的 3 个行列式因子分别为： 1, , 2

1 ,

1

0 0 则其特征矩阵 E

A 的标准形是

1

5、线性方程组 AX B 的最小二乘解所满足的线性方程组是：

A AX A B

二、 单项选择题（每小题 3 分，共 15 分）

2、 （ A ）复数域 C 作为实数域 R 上的线性空间可与下列哪一个