第八讲向量组及其线性组合

第2个分量 第1个分量
第n个分量
n维实向量 n维复向量
n维向量写成一行，称为行向量，也就是行
矩阵，通常用 aT,bT,T,T等表示，如：
aT(a 1,a 2, ,a n)
n维向量写成一列，称为列向量，也就是列
矩阵，通常用 a,b,,等表示，如：
a 1
a
a2
a n
注意
１．行向量和列向量总被看作是两个不同的 向量；
一、n维向量的概念
定义1 n个有次序 a1,a的 2, 数 ,an所组成的 组称n维 为向量n个 ，数 这称为该 n个向分量量的 第i个数 ai称为i个 第分. 量
分量全为实数的向量称为实向量，
分量全为复数的向量称为复向量.
例如 (1,2,3, ,n)
( 1 2 i , 2 3 i , , n ( n 1 ) i )
２．行向量和列向量都按照矩阵的运算法则 进行运算；
３．当没有明确说明是行向量还是列向量时， 都当作列向量.
本书中, 常用黑体小写字母 、 、a 、b 等表
示列向量, 用 T、T、 aT、bT等来表示行
向量, 所讨论的向量在没有特别指明的情况
下都当作列向量.
注: n3时, n维向量 具有直观的几何
图像.
例如, n3时, 三维向量 : 空间向量; n2时, 二维向量 : 平面向量;
n3时, R ຫໍສະໝຸດ Baidu 没有直观的几何图像.
由 空空间间, 而解空析间几点何知P(,x,空y间,z通)与常三作维为向点量的集r 合(,x 称,y 为,z点)T 一一对应, R 故3 又 把{ r 三 维( x 向,y 量,z 的) T 全x , 体y 所,z 组 成R } 的集合 称为三维向量空间. 类似地, n维向量的全体所组 成的R 集n 合 { x ( x 1 , x 2 , , x n ) T x 1 , x 2 , , x n R } 称为 n维向量空间.
若A为n阶可逆,矩 则阵
(1) A的最高阶非零子式A为; (2) R(A) n; (3) A的标准形为单位矩E阵 ; (4) A ~ E. (5) A是满秩矩阵
线性方程组
a11x1 a12x2 a1nxn b1
a21x1
a22x2
a2nxn
b2
am1x1 am2x2 amnxn bn
a11x1a12x2 a1nxn 0
其余未知量为自由未知量 令自由未知量为c,从而得到方程组的通解（一般解）
第四章
主要内容
向量组的线性相关性
➢向量组及其线性组合 ➢向量组的线性相关性 ➢向量组的秩 ➢线性方程组的解的结构 ➢向量空间
第一节 向量组及其线性组合
主要内容
❖n维向量、向量组的概念 ❖向量、向量组与矩阵、方程组之间的联系 ❖向量组的线性组合
3 r i k jc ir k j.c
2. A 初等变换 B A ~B . 3.行阶梯形矩阵，行最简形矩阵，标准形矩阵 4.若A可逆，则A与单位阵E等价
初等矩阵
一次初等变换
1. 单位矩阵
初等矩阵.
E (i, j) E(i(k)) E(i, j(k))
2. 初等矩阵的结论:
性1质 用 初 等(右 矩)矩 乘 阵A 阵 ， 左等 乘 A施 于行 对使E 单 位 变 成 初 等等 矩(列 行 阵 )变 的 换 同 一 初
b
n
解向量
A称为系数矩阵，B=（A,b）称为增广矩阵
0
0
0
线性方程组解的存在性判定定理
定理： 若线性方程组 Axb 增广矩阵为（Ab）记为B B ( Ab)
则有下列结论：
R (B )R (A ) A xb无解
❖ R(B)＝ R(A)＝ nA xb有唯一解 R(B)＝R(A)nAxb有无穷多个
第三章小结
矩阵的初等变换
矩阵
的初
等变 换与 线性
方程
组
矩阵的初 初等矩阵 等变换
矩阵初等变换的应用
矩阵秩的定义
矩阵的秩
矩阵秩的求法
线性方程组
线 组性 的方 解程 线性方程组解的存在性判定定理 线性方程组通解的求法
矩阵的初等变换
1.初等行(列)变换 1 2 r r i i k r c jic ik ;c j;
推论 1：对于齐次线性方程组 Ax0
则： R(A)n Ax0只有零解
❖ R(A)nAx0有非零解
求解线性方程组的步骤：
写出增广矩阵，对于齐次线性方程组写出系数矩阵 ❖ 用初等行变换化增广矩阵为阶梯形矩阵 根据增广矩阵与系数矩阵秩的关系判断是否有解 如果有解，进一步化为行最简形矩阵 行最简形矩阵首非零元素1对应的未知量为非自由未知量，
例 设 1(2 , 4 ,1 , 1 )T , 2 ( 3 , 1 ,2 , 5 /2 ) T , 如果向量满足 31 2 (2 ) 0 ,求 .
向量的线性运算
注: 向量的加、减及数乘运算统称为向量的线性运算. 向量的线性运算与行(列)矩阵的运算规律相同. 即有
① ;
② ( ) ( );
③ 0;
④ ( )0 ;
⑤ 1;
⑥ k (l)(k) l;
⑦ k () k k ;
⑧ (k l) k l .
其中 ,,Rn, k,lR.
(A, B)
(E,X )
（3）求XA=B
一系列初等行变换
( AT , BT )
(E, X T )
矩阵的秩 1. 矩阵秩的概念 最高阶非零子式 满秩矩阵 降秩矩阵
2. 求矩阵秩的方法
定理 若 A ~ B ,则 R (A ) R (B ); 行阶梯形矩阵的秩等于非零行的行数．
(把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行 阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩).
定理：A方 可阵 逆的充要条在件有是限：个存初等矩 使A 得 P1P2 PN
推论 mn矩A 阵 与 B等价的充分 存 必 m 在 阶 要可 条逆 件 P 矩 是 及 可 逆 Q 矩 使阵 得P： A＝ QB
初等变换的应用:
（1）求A-1
(A, E)
一 系列初等行变换
(E, A1)
（2）求AX=B
一系列初等行变换
a21x1
a22x2
a2nxn
0
am1x1am2x2 amnxn 0
(1) 如果右端 b1,b 常 2, 数 bn不项 全为
则称为非齐次线性方程 组
如果右端b1,常 b2, 数 bn全 项为零 (2) 则称为齐次方程组
(1)、(2)用矩阵分别表示：Axb Ax0
x
x1
x
n
b
b1