第八讲向量组及其线性组合
向量组及其线性组合

★定理1★向量组间的线性表示 ★内容小结 ★习题3-2★返回★ 向量组与矩阵★ 例1★ 例2第二节向量组及其线性组合内容分布图示内容要点: 一、n 维向量及其线性运算定义1 n 个有次序的数 印卫2,…,码所组成的数组称为n 维向量,这n 个数称为该向量 的n 个分量,第i 个数a j 称为第i 个分量.注:在解析几何中,我们把“既有大小又有方向的量”称为向量,并把可随意平行移动 的有向线段作为向量的几何形象 •引入坐标系后,又定义了向量的坐标表示式(三个有次序 实数),此即上面定义的 3维向量.因此,当n 岂3时,n 维向量可以把有向线段作为其几何 形象•当n 3时,n 维向量没有直观的几何形象•若干个同维数的列向量(或行向量)所组成的集合称为向量组 •例如,一个m n 矩阵 每一列 组成的向量组 冷,>2,…,〉n 称为矩阵A 的列向量组,而由矩阵 A 的的每一行 组成的向量组匚辽,…,十称为矩阵A 的行向量组•根据上述讨论,矩阵 A 记为pu A % A =(G I ,C (2,…,U n )或 A= 1 •"J这样,矩阵A 就与其列向量组或行向量组之间建立了一一对应关系矩阵的列向量组和行向量组都是只含有限个向量的向量组 •而线性方程组 的全体解当r (A ) ::: n 时是一个含有无限多个 n 维列向量的向量组•定义2 两个n 维向量〉=佝旧2,…,a .)与]=(b,,b 2,…,*)的各对应分量之和组成的向 量,称为向量爲与:的和,记为x 亠1:,,即由加法和负向量的定义,可定义向量的减法:(a1 _b 1, a2 "2, ,a n - bn ) •定义3 n 维向量〉珂①宀?,…,a .)的各个分量都乘以实数 k 所组成的向量,称为数 k 与向量二的乘积(又简称为数乘),记为k _:i ,即k : =(ka i ,ka 2, ,ka n ).向量的加法和数乘运算统称为 向量的线性运算•注:向量的线性运算与行(列)矩阵的运算规律相同,从而也满足下列运算规律:(1)?■■-■:■; (2) (、• I') (: ^ );(3) 小0-:;(4): (:) 0;★ n 维向量的概念★向量的线性运算 ★线性方程组的向量形式 ★向量组的线性组合(5)1:=■';(6)k(l:)=(kl):;(2)k i ,k 2/ ,k n 使得下列线性关系式:s ,对于任何一组实数 k i ,k 2,…,k s ,表达式A 的一个线性组合,k i ,k 2,…,k s 称为这个线性组合的系数. 给定向量组A::1,:2,…,:s 和向量-,若存在一组数k i ,k 2, ,k s ,使(7) k(、;、卜)=k :;亠 kl ,; (8) (k I): =k ::£ T :. 二、向量组的线性组合 考察线性方程组a ii X i - a i2X 2 ……ain X n 二b a 2l X i - a 22X 2 川…川‘a 2n X n 二 b 2ami x i ' a m2X 2 ::「八::「a mn xn = b ma 2jb 2G j =3(j =1,2,…,n), 3 = al bm 丿则线性方程组(i)可表为如下向量形式:込X 2亠.亠::皿--线性方程组(i)是否有解,就相当于是否存在一组数成立:定义4给定向量组A q ,。
向量组及线性组合

am1 x1 am2 x2 amn xn bm .
x x
L
11
22
n xn
方程组与增广矩阵的列向量组之间一一对应.
制作人:杨寿渊
第15页/共29页
能由向量组
A : a1, a2 ,L , am 线性表示
1.1 导入
线性方程组 Ax 有解
R(A) R(A | )
定理1. 向量能由向量组 A : a1, a2,L , am线性 表示的充分必要条件是 R(A) R(A | ).
k1, k2 , , km 称为这个线性组合的系数
制作人:杨寿渊
第11页/共29页
定义 3
1.1 导入
给定向量组 :1 ,2 ,m 和 b
如果存在一组数 使得
1 , 2 , , m ,
b 11 22 mm
则向量b是向量组A的一个线性组合
或向量b能由向量组A线性表示
制作人:杨寿渊
第12页/共29页
n维复向量
第2个分量 第1个分量
第n个分量
制作人:杨寿渊
第4页/共29页
向量的表示方法:
1.1 导入
n 维向量写成一行,称为行向量,也就是行
矩阵,通常用 aT ,bT , T , T 等表示,如:
aT (a1 ,a2 , ,an )
n 维向量写成一列,称为列向量,也就是列
矩阵,通常用 a,b, , 等表示,如:
制作人:杨寿渊
第16页/共29页
1.1 导入
例2.设
1
1
1
2
2
1
22131 Nhomakorabea3
1 4
0
1
0
,
3
向量组的线性组合(共29张PPT)

x2a2T
xm amT bT有解。
例3.零向量是任何一组向量的线性组合。 定义1对于向量组a1,a2,
,am ,如果有一组数
b=(-1,1, 5),证明b由向量组a1,a2, a3线性表示并写出具体的表示式。
定义1 对于向量组a1,a2,
,am ,如果有一组数
这是因为o=0 0 0 所以b 可由a1,a2 ,a3线性表示
线性方程组
向量组 A
线性表示
首页
Ax = b
有解
上页
返回
下页
a1m 1
a2m
2
b
anm
m
R(A)R(A,b)
17
结束
铃
4。向量组的等价.
定义:设有向量组 A:a1, a2, …, am 及 B:b1, b2, …, bl , 若 向量组 B 中的每个向量都能由向量组 A 线性表示,则称向 量组 B 能由向量组 A 线性表示. 若向量组 A 与向量组 B 能互相线性表示,则称这两个向量
x1 a11 a12
x1a1x2a2 xm ama1,a2, ,am x2 a21 a22
xm an1 an2
a1mx1 a2m x2
anmxm
b 1 a 1 2 a 2 m a m
P.83 定理1 的结论:
a11 a12
a21
a22
an1 an2
向量b 能由
例1.设 1(1, 0, 0),2(0, 1, 0),3(0, 0, 1),则
∵21-23 2(1, 0, 0)-(0, 1, 0)(0, 0, 1) (2, -1, 1),
(2, -1, 1)是向量组1,2 ,3的一个线性组合, 也就是可由1,2 ,3线性表示。 注意:(1)向量组1,2 ,3 的线性组合有无穷多个
线性代数课件

推论 向量组 A:a1 , a2 , ··· , am 与向量组
B:b1 , b2 , ··· , bl 等价的充要条件是 R(A) = R(B) = R(A , B) , R( R( 其中 A 和 B 是向量组 A 和 B 所构成的矩阵. 所构成的矩阵.
上页 返回 下页
例2 设
2 1 3 3 1 1 − 1 1 0 − 1 a1 = , a 2 = , b1 = , b2 = , b3 = , 1 1 1 0 2 2 0 − 1 3 1
有矩阵 K,使 B = AK
方程 AX = B 有解n 维向量组 A:a1 , a2 , ··· , am 构成 :
n × m 矩阵 A = (a1 , a2 , ··· , am ), n 阶单位矩阵 , E = (e1 , e2 , ··· , en ) 的列向量叫做 n 维单位坐标向量 向量. 证明: 证明: n 维单位坐标向量组 e1 , e2 , ··· , en 能由向量组 A 线性表示的充要条件是 R(A) = n . 对矩阵 An×m ,存在矩阵 Km×n ,使 AK = En × × 的充要条件是 R(A) = n . 也可叙述为 矩阵方程 An×m X = En 有解的充要条件是 R(A) = n . ×
上页 返回
下页
定理 3 设向量组 B:b1 , b2 , ··· , bl 能由向
量组 A:a1 , a2 , ··· , am 线性表示,则 线性表示, R(b1 , b2 , ··· , bl ) ≤ R(a1 , a2 , ··· , am ) .
证明 记 A = (a1 , ··· , am ) , B = (b1 , ··· , bl ) .
向量与向量组的线性组合

例 证
设 n 维 向 量 组 α 1 , α 2 , α n可 以 线 性 表 示 e1 , e 2 , , e n .
证 明α 1 , α 2 , , α n 与 e1 , e 2 , , e n 等 价 。
α 1 , α 2 , , α n 显 然 可 由 e1 , e 2 , , e n 线 性 表 示 ,
定义3.3 n 维向量 α ( a1 , a 2 , , a n ) 数乘 α ( a1 , a 2 , , a n ) ①
α β βα
( 是实数)
向量的线性运算满足以下运算规律: (线性运算指加法与数乘) ⑤ α + (-α ) 0 ⑥ k ( l α ) ( kl ) α ⑦ k (α + β ) k α k β ⑧ ( k l )α k α lα ② (α + β ) γ α (β + γ ) ③ α+0α ④ 1α α
0, 0, 0,
则 ( k1 k 3 , k1 2 k 2 3 k 3 , k1 5 k 2 6 k 3 ) 0
亦即
1 D 1 1
0 2 5
1 3 6
0
这是关于 k 1 , k 2 , k 3 的齐次方程组
据定 理1.4 有非 零解
即有不全为零的数 k 1 , k 2 , k 3 ,使 从而向量组 a 1 , a 2 , a 3 线性相关.
(Ⅰ) α 1 α
2
αr
(Ⅱ) β 1 β 2 β s
若(Ⅰ)中每一个向量都能由向量组(Ⅱ)线性表示,则称 向量组(Ⅰ)可由向量组(Ⅱ)线性表示. 若向量组(Ⅰ) 与向量组(Ⅱ)可以互相线性表示,则称 向量组(Ⅰ)与向量组(Ⅱ)等价. 向量组之间的等价关系具有以下性质:
向量组及其线性组合

1
,
m
)
2
m
在n 维向量的全体
x1
Rn
x
x2
xn
x1, x2 ,
, xn
R
中,向量组
1 0
1
0
,
2
1
,
0
0
0
,n
0
1
称为n 维基本单位向量组。
a1
任一n 维向量
a2
Rn
都可以由
1, 2 ,
an
, n 表示成
B
1T
T 2
T m
1.2 向量组的线性组合
设向量组
1 2 4
1
2 1
,
2
3 1
,
3
11
由向量的线性运算知道, 3 22 1
这时称α3 是α1,α2 的线性组合。
定义2 设有向量组
:1,2 , ,m
,对于任意一组数
k1, k1, , km ,向量:
k11 k22 kmm
n 维向量也可以写成一行,记作
T (1,2 , ,n )
称为行向量,也就是1×n 行矩阵。
规定:n 维向量的运算按矩阵运算规则进行,即设λ 是数,n 维向量
a1 b1
=
a2
,
=
b2
an
bn
a1 b1
a1
则
=
a2
b2
,
=
a2
an
bn
an
x
y z
同维数向量的集合称为向量组。例如,n 维向量的全体所组成 的集合为
x1
Rn
x
x2 xn
x1, x2 ,
向量组及其线性组合

1 0 0 0
3 2 0 0
2 1 0 0
1 1 0 0
3 1 0 0
R( A) 2
R( A, B) 2
A
B
R( B) 2 R( A) R( B) R( A, B) 2
所以:向量组 A : 1 , 2与向量组 B : 1 , 2 , 3 等价
T
求出表达式。
பைடு நூலகம்
解: 1 , 2 , 3
1 0 0 1 1 0 0 1 r2 r1 1 1 0 3 r3 r1 0 1 0 2 1 1 1 4 0 1 1 3
《线性代数》课题组
,
知识点3---向量组的线性组合
1. 向量组的定义
2. 向量与向量组的关系
3. 向量组之间的关系
《线性代数》课题组
一、向量组的定义
定义1 若干个同维数的列向量(或同维数行
向量)所组成的集合叫做向量组.
a11 a12 a21 a22 A am1 am 2
1 a1n a2 n 按行分块 A 2 m amn
《线性代数》课题组
给定两个向量组 A: 1, 2, …, r
B: 1, 2, …, s
若向量组B能由向量组A线性表示,同时 向量 组A能由向量组B线性表示,则称这两个向量组
等价.
(1)向量组A与其自身等价(反身性); (2) 若A与B等价, 则B与A等价(对称性);
(3) 若A与B等价且B与C等价, 则B与A等价 (传递性).
3= 3 1+ 1 2,
2 2 1 1 1= 1+ 2+03, 2 2 即B可以由A线性表示.
向量组及其线性组合

向量组的等价 若向量组B b1 b2 bl中的每个向量都能由向量组A a1 a2 am线性表示 则称向量组B能由向量组A线性表示 使
若向量组B组能由向量组A线性表示 则存在矩阵K(kij)
k11 k (b1, b2, , bl ) (a1, a2, , am ) 21 km1 k12 k22 km2 k1l k2l kml
注 bj k1ja1k2ja1 kmjam(j1 2 l) 矩阵K称为这一线性表示的系数矩阵
向量组的等价 若向量组B b1 b2 bl中的每个向量都能由向量组A a1 a2 am线性表示 则称向量组B能由向量组A线性表示 若向量组B组能由向量组A线性表示 则存在矩阵K(kij) 使 k11 k12 k1l k k k 2l (b1, b2, , bl ) (a1, a2, , am ) 21 22 km1 km2 kml 也即矩阵方程(a1, , am )X (b1, , bl )有解。 定理2 向量组B b1 b2 bl能由向量组A a1 a2 am线性表示 的充分必要条件是R(A)R(A B) 若向量组A与B能相互表示 则称这两个向量组等价
a1 a a 2 或aT(a1 a2 an) an 其中a称为列向量(即列矩阵) aT称为行向量(即行矩阵)
•说明 (2)分量全为实数的向量称为实向量 分量为复数的向量 称为复向量
Hale Waihona Puke 向量 n个有次序的数a1 a2 an所组成的数组称为n维向量 这n个数称为该向量的n个分量 第i个数ai称为第i个分量 由数组a1 a2 an所组成的n维向量可记为
3.2 向量组及其线性组合

首页 上 页 下 页 尾 页
类似地, 矩阵A (aij )mn 又有m个n维行向量
a11 a12 a 21 a 22 A ai1 ai 2 a m1 a m 2
T 1 T 2
首页 上 页 下 页 尾 页
解
定义2 设有两个向量组
A : 1 , 2 , , m 及B : 1 , 2 , , s . 若B组中的每个向量都能由向量组A线性表示,则 称 向量组 B 能由向量组 A 线性表示 . 若向量组A与向 量组B能相互线性表示,则称这两个向量组等价.
1 n 0时, 才有 1 1 2 2 n n 0 成立 .
2. 对于任一向量组, 不是线性无关就是 线性相关 .
首页 上 页 下 页 尾 页
3.向量组只包含一个向量 时, 若 0 则说 线性相关, 若 0, 则说 线性无关 .
4.包含零向量的任何向量组是线性相关的.
5.对于含有两个向量的向量组, 它线性相关的 充要条件是两向量的分量对应成比例,几何意义 是两向量共线;三个向量相关的几何意义是三向 量共面.
首页
上 页
下 页尾Βιβλιοθήκη 页三、线性相关性的判定定理 向量组 1 , 2 ,,(当 m 2 时)线性相关 m 的充分必要条件是 1 , 2 , , m 中至少有一个向 量可由其余 m 1个向量线性表示.
证 有不全为零的数 k1, k2, …, km ,k 使 k11+ k22+ …+ kmm + k = 0. k11+ k22+ …+ kmm = 0.
线性代数课件--08向量组的线性关系-PPT精选文档

k k , ,k 称为向量组 A 的一个线性组合, 称为这 1, 2 m 个线性组合的系数.
说明 向量组的线性组合就是向量的线性运算的表达式. 线性组合的系数可以是任意实数.
课件
9
四、线性表示的概念
定义 给定向量组 A 和向量 ,如果 : , , , 1 2 m 存在一组数 k ,使得 k , ,k 1, 2 m 即 是向量组A 的线性组合,则称向量 能由向量 组 A线性表示. 定义 设有两个向量组 A 和B : , , , : , , 1 2 m 1 2 , l , 如果向量组 B 中的每个向量都能由向量组 A 线性表示,则称向量组 B 能由向量组 A 线性表示. 如果向量组 A 与向量组 B 能互相线性表示,则称这 两个向量组等价.
课件 10
k k k ,
1 1 22
m m
说明
, , , 向量 能由向量组 线性表示,就是存 1 2 m 在k ,使 k , ,k 1, 2 m
, , , 向量组 线性 , , , m 1 2 l 能由向量组 1 2 k ,k (j 1 , 2 , ,l ), 表示,就是存在 l组数k 1j , 2j, mj 使得 k1 j k2 j k k k ( 1 , 2, , m ) j 1 j 1 2 j 2 mj m k mj j 1 , 2 , , l 课件
R { P ( x , y , z ) | x , y , z R }——3维空间 3 T R {( x , y , z ) | x , y , z R } ——3维向量空间
3
课件 5
{ P ( x , y , z ) | ax by cz d } ( a, b, c不全为 0 ) ——3维空间中的一个平面
线性代数08 向量组线性关系

T 2
T m
a21 am1
a22
a 课件 m2
a2l 2T
aml
lT
13
若矩阵 A与矩阵 B行等价,则 A的行向量组与 B的行向量组等价;
若矩阵 A与矩阵 B列等价,则 A的列向量组与 B的列向量组等价.
课件
4
“向量”几何术语,可以说,本章是介绍线性代 数的几何理论把. 线性方程组的理论、矩阵理论 “翻
译可”以成把几有何向语线言段. 作为 n(n3)维向量的几何形象, 但是当 n3时,n维向量就不再有这种几何形象了.
点的集合通常称为“空间”,引入坐标系后,点的 坐标与向量之间有一一对应关系,因此,某些向量 的集合称为向量空间,沿用几何术语,如
1
1 1
1
r3
r2
0
1 1
1 2
1 1
1
r1
r2
0
0 1
3 2
2 1
r4
r2
0 0
0 0
0 0
0 0
可见 R(A)R(B),
0 0
0 0
0 0
0 0
因此,向量 能由向量组课件1,2,3 线性表示. 18
也就是线性方程 x 11 x 22 x mm 有解.
表向示量,组就1是,存2,在l,组l数能k由1j向,k量2j,组,k1,m (j2,j 1,,2,m 线,性l),
使得
k1 j
j k 1 j 1 k 2j
向量组及其线性组合

m个n维向量 组成的向量 组,当维数 n小于向量 个数m 个数m时, 一定线性相 关吗? 关吗?
A是n × m 型的
R( A ) ≤ n < m
向量组一定线性相关
设向量组 :α1 α ⋯ αm线性无关, 而向量组 :α α ⋯ αm b A 线性无关, B 设向量组 A : α 1 ,,α 22⋯ ,,α m线性无关,而向量组 B : α 11,,α 22⋯ ,,α m ,,b 线性无关,
说明
线性组合
1 如果存在一组数 1 , λ2 ,⋯, λm使 、 λ
b = λ1α1 + λ2α2 +⋯+ λmαm
这时称向量b能由向量组A 这时称向量b能由向量组A线性表示
x1α1 + x2α2 +⋯+ xmαm = b 有解
⇔ R(α1 α2 ⋯αm ) = R(α1 α2 ⋯αm b)
等价
定理1 定理
向量b能由向量组 A:α 1 , α 2 , ⋯ , α m线性表示的充分必要条 件是 矩阵A = (α 1 , α 2 , ⋯ , α m )的秩等于矩阵 B = (α 1 , α 2 , ⋯ , α m , b )的秩
定义3 定义 设有两个向量组 A : α 1 , α 2 , ⋯ , α m 及B : b1 , b2 ,⋯ , bl 线性表示, 若B中的每个向量都能由向 量组A线性表示,则 称向量组 B可由向量组 A线性表示; 若A也能由向量 组B线性表示, 则称两个向量组等价
1 1 [ A b] = 2 2 1 1 1 1 2 − 1 0 行变换 0 → 0 1 4 3 3 0 1 0 0 3 2 1 − 2 − 1 0 0 0 0 0 0
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
第2个分量 第1个分量
第n个分量
n维实向量 n维复向量
n维向量写成一行,称为行向量,也就是行
矩阵,通常用 aT,bT,T,T等表示,如:
aT(a 1,a 2, ,a n)
n维向量写成一列,称为列向量,也就是列
矩阵,通常用 a,b,,等表示,如:
a 1
a
a2
a n
注意
1.行向量和列向量总被看作是两个不同的 向量;
一、n维向量的概念
定义1 n个有次序 a1,a的 2, 数 ,an所组成的 组称n维 为向量n个 ,数 这称为该 n个向分量量的 第i个数 ai称为i个 第分. 量
分量全为实数的向量称为实向量,
分量全为复数的向量称为复向量.
例如 (1,2,3, ,n)
( 1 2 i , 2 3 i , , n ( n 1 ) i )
3 r i k jc ir k j.c
2. A 初等变换 B A ~B . 3.行阶梯形矩阵,行最简形矩阵,标准形矩阵 4.若A可逆,则A与单位阵E等价
初等矩阵
一次初等变换
1. 单位矩阵
初等矩阵.
E (i, j) E(i(k)) E(i, j(k))
2. 初等矩阵的结论:
性1质 用 初 等(右 矩)矩 乘 阵A 阵 , 左等 乘 A施 于行 对使E 单 位 变 成 初 等等 矩(列 行 阵 )变 的 换 同 一 初
若A为n阶可逆,矩 则阵
(1) A的最高阶非零子式A为; (2) R(A) n; (3) A的标准形为单位矩E阵 ; (4) A ~ E. (5) A是满秩矩阵
线性方程组
a11x1 a12x2 a1nxn b1
a21x1
a22x2
a2nxn
b2
am1x1 am2x2 amnxn bn
a11x1a12x2 a1nxn 0
其余未知量为自由未知量 令自由未知量为c,从而得到方程组的通解(一般解)
第四章
主要内容
向量组的线性相关性
➢向量组及其线性组合 ➢向量组的线性相关性 ➢向量组的秩 ➢线性方程组的解的结构 ➢向量空间
第一节 向量组及其线性组合
主要内容
❖n维向量、向量组的概念 ❖向量、向量组与矩阵、方程组之间的联系 ❖向量组的线性组合
a21x1
a22x2
a2nxn
0
am1x1am2x2 amnxn 0
(1) 如果右端 b1,b 常 2, 数 bn不项 全为
则称为非齐次线性方程 组
如果右端b1,常 b2, 数 bn全 项为零 (2) 则称为齐次方程组
(1)、(2)用矩阵分别表示:Axb Ax0
x
x1
x
n
b
b1
向量的线性运算
注: 向量的加、减及数乘运算统称为向量的线性运算. 向量的线性运算与行(列)矩阵的运算规律相同. 即有
① ;
② ( ) ( );
③ 0;
④ ( )0 ;
⑤ 1;
⑥ k (l)(k) l;
⑦ k () k k ;
⑧ (k l) k l .
其中 ,,Rn, k,lR.
2.行向量和列向量都按照矩阵的运算法则 进行运算;
3.当没有明确说明是行向量还是列向量时, 都当作列向量.
本书中, 常用黑体小写字母 、 、a 、b 等表
示列向量, 用 T、T、 aT、bT等来表示行
向量, 所讨论的向量在没有特别指明的情况
下都当作列向量.
注: n3时, n维向量 具有直观的几何
图像.
推论 1:对于齐次线性方程组 Ax0
则: R(A)n Ax0只有零解
❖ R(A)nAx0有非零解
求解线性方程组的步骤:
写出增广矩阵,对于齐次线性方程组写出系数矩阵 ❖ 用初等行变换化增广矩阵为阶梯形矩阵 根据增广矩阵与系数矩阵秩的关系判断是否有解 如果有解,进一步化为行最简形矩阵 行最简形矩阵首非零元素1对应的未知量为非自由未知量,
第三章小结
矩阵的初等变换
矩阵
的初
等变 换与 线性
方程
组
矩阵的初 初等矩阵 等变换
矩阵初等变换的应用
矩阵秩的定义
矩阵的秩
矩阵秩的求法
线性方程组
线 组性 的方 解程 线性方程组解的存在性判定定理 线性方程组通解的求法
矩阵的初等变换
1.初等行(列)变换 1 2 r r i i k r c jic ik ;c j;
(A, B)
(E,X )
(3)求XA=B
一系列初等行变换
( AT , BT )
(E, X T )
矩阵的秩 1. 矩阵秩的概念 最高阶非零子式 满秩矩阵 降秩矩阵
2. 求矩阵秩的方法
定理 若 A ~ B ,则 R (A ) R (B ); 行阶梯形矩阵的秩等于非零行的行数.
(把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵,行 阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩).
b
n
解向量
A称为系数矩阵,B=(A,b)称为增广矩阵Βιβλιοθήκη 00 0
线性方程组解的存在性判定定理
定理: 若线性方程组 Axb 增广矩阵为(Ab)记为B B ( Ab)
则有下列结论:
R (B )R (A ) A xb无解
❖ R(B)= R(A)= nA xb有唯一解 R(B)=R(A)nAxb有无穷多个
例如, n3时, 三维向量 : 空间向量; n2时, 二维向量 : 平面向量;
n3时, R n 没有直观的几何图像.
由 空空间间, 而解空析间几点何知P(,x,空y间,z通)与常三作维为向点量的集r 合(,x 称,y 为,z点)T 一一对应, R 故3 又 把{ r 三 维( x 向,y 量,z 的) T 全x , 体y 所,z 组 成R } 的集合 称为三维向量空间. 类似地, n维向量的全体所组 成的R 集n 合 { x ( x 1 , x 2 , , x n ) T x 1 , x 2 , , x n R } 称为 n维向量空间.
例 设 1(2 , 4 ,1 , 1 )T , 2 ( 3 , 1 ,2 , 5 /2 ) T , 如果向量满足 31 2 (2 ) 0 ,求 .
定理:A方 可阵 逆的充要条在件有是限:个存初等矩 使A 得 P1P2 PN
推论 mn矩A 阵 与 B等价的充分 存 必 m 在 阶 要可 条逆 件 P 矩 是 及 可 逆 Q 矩 使阵 得P: A= QB
初等变换的应用:
(1)求A-1
(A, E)
一 系列初等行变换
(E, A1)
(2)求AX=B
一系列初等行变换