第一章 线性方程组的解法(新)
线性方程组的解法
线性方程组的解法线性方程组是数学中一种重要的数学模型，它描述了线性关系的集合。
解决线性方程组的问题在数学和应用数学中具有广泛的应用。
本文将介绍线性方程组的两种常见解法：矩阵消元法和矩阵求逆法。
一、矩阵消元法矩阵消元法是解决线性方程组的常见方法之一。
它通过对增广矩阵进行一系列的行变换来化简线性方程组，最终达到求解方程组的目的。
步骤如下：1. 将线性方程组写成增广矩阵的形式。
2. 选取主元，即第一行第一列的元素作为主元，将主元移到对角线上。
3. 利用主元，通过一系列的行变换，将主元下方的元素化为零。
4. 对于主元右方的元素，依次选取主元，重复第2、3步，将其化为零。
5. 重复以上步骤，直到将矩阵化为上三角矩阵。
6. 反向求解未知数，得到线性方程组的解。
这种方法的优点是简单易行，适用于任意大小的线性方程组。
然而，该方法在某些情况下可能会出现无法求解的情况，例如矩阵的某一行全为零或等于其他行。
二、矩阵求逆法矩阵求逆法是另一种常见的解决线性方程组的方法。
该方法利用矩阵的逆矩阵，通过左乘逆矩阵将线性方程组转化为标准形式，从而求解未知数。
步骤如下：1. 将线性方程组写成矩阵形式：AX = B，其中A为系数矩阵，X为未知数向量，B为常数向量。
2. 判断系数矩阵A是否可逆，若可逆，则存在逆矩阵A^-1。
3. 左乘逆矩阵A^-1，得到X = A^-1 * B。
4. 计算逆矩阵A^-1和常数向量B的乘积，得到未知数向量X，即线性方程组的解。
矩阵求逆法相较于矩阵消元法更加灵活，但对于大规模矩阵的求逆可能会涉及到较复杂的计算。
此外，在某些情况下，系数矩阵A可能不存在逆矩阵，此时该方法无法求解。
总结线性方程组是数学领域中研究的重要课题，矩阵消元法和矩阵求逆法都是常见的解决线性方程组的方法。
选择合适的解法取决于问题的具体要求和所涉及的矩阵特性。
在实际问题中，我们根据具体情况选择适当的方法，以求得线性方程组的解。
注：本文中所使用的线性方程组解法仅涵盖了部分常见方法，并不是穷尽全部解法。
线性代数方程组的解法
说明：线性方程组的初等变换是可逆的。 即，方程组（1）经初等变换化为一个新方 程组，那么新方程组也可以经过初等变换还 原为原方程组（1）。因而，方程组（1）与 它经过若干此初等变换之后得到的新方程组 是同解的。
⎧ a11 x1 + a12 x 2 + L + a1n x n = b1 ⎪ a x + a x + L+ a x = b ⎪ 21 1 22 2 2n n 2 ⎨ ⎪ LLLLLLLLLLLL ⎪a m 1 x1 + a m 2 x 2 + L + a mn x n = bm ⎩
L a1n ⎞ ⎟ L a2 n ⎟ L L⎟ ⎟ L amn ⎟ ⎠
矩阵A的 (m , n)元
这m × n个数称为 A的元素 , 简称为元素 (元 ).
元素是实数的矩阵称为实矩阵, 元素是复数的矩阵称为复矩阵.
例如
⎛ 1 0 3 5⎞ ⎟ 是一个 2 × 4 实矩阵, ⎜ ⎝ − 9 6 4 3⎠ ⎛ 1⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 2⎟ ⎜ 4⎟ ⎝ ⎠
问题：是否每个矩阵都可以经过初等行变换化 为梯矩阵呢？ 定理1 任意m × n矩阵A总可以经初等行变换化为梯
矩阵及最简形。
证明 Step1 若A的元全为0, A已经是一个阶梯矩阵。
Step2 设非零矩阵A的第 j1 列是自左而右的第 一个非零列，设 a1 j ≠ 0 (否则，若 a ij1 非零，作 行变换 r1 ↔ ri ，总可使第j1列的第一个元非零)， 矩阵A的各行分别作行变换：
解
同理可得
−2 −2 1 1 −2 1 0 1 − 3 = −10, −1
D1 = 1 0
1
1 1
− 3 = −5, D2 = 2 −1 −1 1 = −5, 0
线性方程组的直接解法1
（续3）
设为
A
(k )
(k ) x b
Step k： 若 a ( k ) kk
o
,令
l ik
a ik
(k )
a kk
(k )
, （i=k+1,k+2,…n)
用- l ik 来乘以第k个方程，加到第i个方程，并保留第k 个方程， 得： （i=k+1,k+2,…n）
August 6, 2012 yfnie@ 9
Step1： 若a
(1 ) 11
0 ,令 l i 1
a i1
(1 )
a 11
(1 )
( i 2 ,3 ,... n )
,用
l i1 乘
第一个方程加到第 i 个方程 式，得
( i 2 , 3 ,... n ) ，并保留第一
August 6, 2012
yfnie@
k 1 1
k 1
n
n ( n 1) 2
11
yfnie@
• 计算量
• Gauss顺序消去法消去过程所需的乘除运算次数为
2 ( n k ) ( n k )
2 k 1
n 1
n
3
n
2
n 3
5n 6
O (n )
3
3
n
2
a kk 0
(k )
(1 k n )
k 0
(1 k n )
August 6, 2012
yfnie@
14
命题证明
A A
(1 )ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
A
(k )
线性方程组的解法
线性方程组的解法一、引言线性方程组是数学中的重要概念，广泛应用于各个领域，包括物理学、经济学、工程学等。
解决线性方程组有多种方法，本文将介绍常见的三种解法：高斯消元法、矩阵法和克拉默法。
二、高斯消元法高斯消元法是一种基于矩阵变换的解法，可以将线性方程组转化为简化行阶梯形矩阵，从而快速求解解向量。
具体步骤如下：1. 将线性方程组写成增广矩阵形式；2. 选择一个非零首元，在该列中其余元素乘以某个系数并相减，使得除首元外该列其他元素变为零；3. 重复第二步，直至将矩阵转化为简化行阶梯形矩阵；4. 从简化行阶梯形矩阵中读出解。
三、矩阵法矩阵法是一种基于矩阵运算的解法，将线性方程组转化为矩阵形式，并求解矩阵的逆矩阵，从而得到解向量。
具体步骤如下：1. 将线性方程组写成矩阵形式；2. 求解矩阵的逆矩阵；3. 用逆矩阵乘以等号右边的向量，得到解向量。
四、克拉默法克拉默法是一种利用行列式性质求解线性方程组的方法，适用于方程组个数与未知数个数相等的情况。
具体步骤如下：1. 将线性方程组写成矩阵形式；2. 计算行列式的值；3. 分别用等号右边的向量替换矩阵中对应的列，再求解行列式的值；4. 将第三步得到的值除以第二步得到的值，得到解向量。
五、比较与应用场景1. 高斯消元法在实际计算中具有高效性和稳定性，适用于任意线性方程组求解；2. 矩阵法需要先求解矩阵的逆矩阵，计算过程相对复杂，适用于方程组个数与未知数个数相等的情况；3. 克拉默法计算过程较为复杂，不适用于大规模方程组的求解，但对于小规模方程组求解比较便捷。
六、总结线性方程组的解法有多种，本文介绍了高斯消元法、矩阵法和克拉默法三种常见方法。
应根据具体情况选择合适的方法来求解线性方程组，以达到高效、准确的目的。
对于大规模方程组的计算，高斯消元法更具优势；对于方程组个数与未知数个数相等的情况，矩阵法和克拉默法更适用。
随着数学计算方法的不断发展，越来越多的解法将出现，为解决复杂的线性方程组提供更多选择。
线性方程组的解法
线性方程组的解法在数学中，线性方程组是由一系列线性方程组成的方程集合。
解决线性方程组是数学中的一个重要问题，在实际应用中也有广泛的应用。
本文将介绍几种常见的线性方程组的解法，以帮助读者更好地理解和应用这些方法。
一、高斯消元法高斯消元法是解决线性方程组的一种常见且经典的方法。
它通过一系列的行变换，将线性方程组化简为一个上三角矩阵，从而求得方程组的解。
具体步骤如下：步骤1：将线性方程组写成增广矩阵的形式。
步骤2：选取一个非零的系数作为主元素，并将该系数所在行作为当前行。
步骤3：将主元素所在列的其他行元素都通过初等变换变为0。
步骤4：重复步骤2和步骤3，直到将矩阵化简为上三角形式。
步骤5：回代求解，得到线性方程组的解。
高斯消元法是一种直观且容易理解的解法，但对于某些特殊的线性方程组，可能会遇到无解或者无穷多解的情况。
二、矩阵的逆乘法矩阵的逆乘法是另一种解决线性方程组的方法，它通过矩阵的逆和向量的乘法，将线性方程组表示为一个矩阵方程，从而求得方程组的解。
具体步骤如下：步骤1：将线性方程组表示为增广矩阵的形式。
步骤2：判断增广矩阵的系数矩阵是否可逆，如果可逆，则存在矩阵的逆。
步骤3：计算增广矩阵的系数矩阵的逆。
步骤4：将原始线性方程组表示为矩阵方程形式，即AX = B。
步骤5：求解矩阵方程，即X = A^(-1)B。
矩阵的逆乘法是一种简便且高效的解法，但需要注意矩阵的可逆性，在某些情况下可能不存在逆矩阵或者矩阵的逆计算比较困难。
三、克拉默法则克拉默法则是一种基于行列式求解线性方程组的方法。
它通过计算方程组的系数行列式和各个未知数在方程组中的代数余子式，从而求得方程组的解。
具体步骤如下：步骤1：将线性方程组的系数和常数项构成一个矩阵。
步骤2：计算系数矩阵的行列式，即主行列式D。
步骤3：分别将主行列式D中的每一列替换为常数项列，计算得到各个未知数的代数余子式。
步骤4：根据克拉默法则的公式，未知数的值等于其对应的代数余子式除以主行列式D。
线性方程组的解法详细教案(公开课)
线性方程组的解法详细教案(公开课)
前言
本文将详细介绍线性方程组的解法，希望通过此公开课，学生们能更好地掌握这一知识点。
一、什么是线性方程组
线性方程组是由若干个线性方程组成的集合，其中每个线性方程的未知数个数相同。
例如：
2x + 3y = 7
4x - 5y = 1
这就是一个由两个线性方程组成的线性方程组，其未知数个数为2。
二、解线性方程组的方法
1.高斯消元法
高斯消元法是一种基本的线性代数算法，方程组的增广矩阵可
以通过行初等变换来进行化简，从而得到其阶梯形矩阵或行最简阶
梯形矩阵，进而求解线性方程组。
2.克拉默法则
克拉默法则是一种基于行列式的方法，它可以求解规模较小的
线性方程组。
但由于其需要计算多个行列式，某些时候计算量较大，而且稳定性较差。
三、解线性方程组的步骤
1.对系数矩阵进行消元，通过行初等变换将其变为阶梯形矩阵
或行最简阶梯形矩阵。
2.根据阶梯形矩阵或行最简阶梯形矩阵，列出新的线性方程组。
例如：
2x + 3y = 7
0x - 1y = -5
3.反推得到未知数的值，从下往上推导出每个未知数的解。
例如：
y = 5
2x + 3(5) = 7
2x = -8
x = -4
四、总结
通过以上的讲解，我们可以简单地总结如何解一个线性方程组：
1.通过高斯消元法或者克拉默法则将系数矩阵转化为阶梯形矩
阵或行最简阶梯形矩阵
2.由阶梯形矩阵或行最简阶梯形矩阵列出新的线性方程组
3.通过反推的方式得出未知数的解
希望这份详细的教案可以帮助大家更好地掌握线性方程组的解法。
线性代数(第六版)课件：线性方程组
（第六版）
1
线性方程组
2
本章讨论关于线性方程组的两个问题： 一、探讨 n 个未知数 m 个方程的线性方程组的解法 （即下面介绍的高斯消元法）。 二、从理论上探讨线性方程组解的情况：何时有解， 何时无解。若有解，则有多少组解；若有无穷多解， 如何表示。
运用 n 维向量的理论可全面地解决第二个方面的 问题。
3
第一节 线性方程组的消元解法
例 用高斯消元法解线性方程组
2 x1 x2 x3 x4 2
1
4x1x1x62
2x3 x2 2
x3
x4
4 2 x4
4
2 3
(1)
3x1 6 x2 9 x3 7 x4 9 4
解
x1 x2 2 x3 x4 4
1
(1)
12 3 2
2 2
x1 x1
a11 x1 a12 x2 a1n xn 0 ,
a21
x1
a22 x2
a2n xn
0,
am1 x1 am2 x2 amn xn 0 .
显然零向量必为它的解，称为零解。
定理 若 r( A) n ,则齐次线性方程组只有零解；
若 r(A) n ,则齐次线性方程组有非零解. 推论 若 m n ,则齐次线性方程组必有非零解。
0
b
1 0
1
,
ba2 x1 a 1 ,
x2
a
2b a1
3
,
b1 x3 a 1 ,
x4 0 ;
当 a 1 , b 1 时, r( A) 2 r( A) 3 ,方程组无解；
当 a 1 , b 1 时, r( A) r( A) 2 4 ,方程组有无穷多组解，
线性代数-线性方程组的解
0 0 0 0
R(A) = R(B) < 3,方程组有无穷多解 .
其通解为
x1 x2
=1− = x2
x2
−
x3
x3 = x3
(x2 , x3为任意实数 ).
(2) 当λ ≠ 1时,
1 1 λ
λ2
B ~ 0 1 −1 −λ
0
0
2+λ
(1
+
λ
)2
=
−2
x3
−
4 3
x4
,
( x3 , x4 可任意取值).
令 x3 = c1, x4 = c2，把它写成通常的参数 形式
x1
x2 x3
=
= =
2c2
+
5 3
c2
,
−2c2
−
4 3
c2
c1 ,
,
x4 = c2,
∴
x1 x2 x3 x4
=
c1
2 −2 1 0
+
c2
由于原方程组等价于方程组
x2 x3
− −
x3 x4
= a2 = a3
由此得通解：
x4 − x5 = a4
x1 = a1 + a2 + a3 + a4 + x5
x2 = a2 + a3 + a4 + x5 x3 = a3 + a4 + x5
x4 = a4 + x5
(x5为任意实数 ).
例５ 设有线性方程组
1 1 2 3 1 1 1 2 3 1
B
~
0 0 0
解线性方程组的解法_图文
线性方程组是线性代数中最重要最基本的内容之 一，是解决很多实际问题的的有力工具，在科学技术 和经济管理的许多领域（如物理、化学、网络理论、 最优化方法和投入产出模型等）中都有广泛应用. 第一章介绍的克莱姆法则只适用于求解方程个数 与未知量个数相同，且系数行列式非零的线性方程组. 本章研究一般线性方程组，主要讨论线性方程组解的 判定、解法及解的结构等问题，还要讨论与此密切相 关的向量线性相关性等. 其主要知识结构如下：
为方程组（3.1）的增广矩阵(augmented matrix). 因为 一个线性方程组由它的系数和常数项完全确定，所以 线性方程组与它的增广矩阵是一一对应的. 如果 x1 c1 , x2 c2 ,, xn cn 可以使（3.1）中的每个等式都 T x ( c , c , , c ) 成立，则称 为线性方程组（3.1）的一个 1 2 n 解(solution). 线性方程组（3.1）的解的全体称为它的解
集(solution set). 若两个线性方程组的解集相等，则称 它们同解(same solution). 若线性方程组（3.1）的解存 在，则称它有解或相容的. 否则称它无解或矛盾的. 解 线性方程组实际上先要判断它是否有解，在有解时求 出它的全部解.
例1 解线性方程组
2 x1 x2 3 x3 1 2 x3 6 2 x1 4 x 2 x 5 x 4 2 3 1
( 2 ) (1)
x2 x3
1 6
显然原方程组与最后的方程组（叫阶梯形方程组） 同解，所以原方程组有唯一解 x1 9, x2 1, x3 6
由此不难发现，在求解线性方程组的过程中，可 以对方程组反复施行以下三种变换： 1. 交换两个方程的位置； 2. 用一个非零数乘某个方程的两边； 3. 把一个方程的倍数加到另一个方程上. 称它们为线性方程组的初等变换. 显然：线性方程组的初等变换不改变线性方程组 的同解性. 在例1的求解过程中，我们只对方程组的系数和 常数项进行了运算，对线性方程组施行一次初等变 换，就相当于对它的增广矩阵施行一次相应的初等行 变换，用方程组的初等变换化简线性方程组就相当于 用矩阵的初等行变换化简它的增广矩阵. 下面我们将 例1的求解过程写成矩阵形式：
全面解读新人教版九年级数学上册教案：线性方程组的解法
数学是一门重要的学科，在学生的学习过程中扮演着极其重要的角色。
在九年级数学上册中，线性方程组是一个非常重要的知识点，是以后学习更高级别的数学知识的基础。
新人教版九年级数学上册教案中呈现的线性方程组的解法，是同学们学习该知识点的基石。
本文将全面解析该教案内容，为同学们提供更好的数学学习经验。
一、线性方程组的概念及性质什么是线性方程组呢？线性方组是指一组形如$ a_1x_1+a_2x_2+……+a_nx_n=b $的方程组，其中$a_1,a_2,……,a_n和b$为已知常数，$x_1,x_2,……,x_n$为未知数，且$ n,b\in N+^* (\mathrm{N}^*=\mathrm{N} - \{0\}) $。
线性方程组的求解就是找出一组$ x_1,x_2,……,x_n$ ，使得它们代入原方程组中可以使得每一个方程都成立，这些未知数就是方程组的解。
线性方程组中的参数可以是任意实数，也就可以求得一组实数解，这是线性方程组的一个非常重要的性质。
并且，如果线性方程组有解，则它必定有无数个解。
这听起来很难理解，但实际上是很容易解释的。
因为对于任意两组解，它们都可以通过差一个全为常数的解得到，这样的解就有无数个。
二、线性方程组解法1. 列方程法列方程法是一种应用最为广泛的线性方程组解法。
在学习这种解法时，我们要做的就是将问题转化为一个或多个方程，再运用基本的代数知识进行求解。
这种方法不仅简单易行，而且适用于大部分线性方程组求解问题。
考虑如下两个方程组：$ 2x+3y=11 $$ 4x-3y=1 $我们可以通过公式$ y=\frac{1}{3}(2x-11) $得到$ y$的值，并将其代入其中一个方程中，比如说第一个方程式中我们得到$$ 2x+3\cdot\frac{1}{3}(2x-11)=11 $$移项可得$$ 4x-11=11 $$解得$x=3$,代入$ y=\frac{1}{3}(2x-11)$可得$ y=-2$。
线性方程组的解法(代入消元法)
线性方程组的解法(代入消元法)引言线性方程组是数学中常见的问题之一，解决线性方程组的方法有很多种。
其中，代入消元法是一种比较常用且简单的解法。
本文将介绍代入消元法的原理和步骤，以及具体的示例。
原理代入消元法的基本思想是：将一个方程的解代入到其他方程中，通过逐步消去未知数的方法求得最终的解。
这种方法适用于方程组的规模较小的情况。
步骤代入消元法的步骤如下：1. 确定方程组的个数和未知数的个数，假设方程组有n个方程和n个未知数。
2. 选择一个方程作为基本方程，将其化简为只含有一个未知数的形式。
3. 将已知方程的解代入到其他方程中，并逐步消去未知数。
4. 重复步骤2和步骤3，直到最后一个未知数的解求得。
5. 将求得的未知数的值代入到其他方程中，验证解是否正确。
示例假设有如下线性方程组：2x + y = 53x - 2y = -4我们可以选择第一个方程作为基本方程，将其化简为只含有一个未知数的形式：y = 5 - 2x然后，将y的值代入到第二个方程中：3x - 2(5 - 2x) = -4通过展开和合并同类项的运算，得到：7x - 10 = -4继续化简，得到：7x = 6解得x的值为x = 6/7。
将x的值代入到第一个方程中，得到：2(6/7) + y = 5y = 5 - 12/7化简，得到：y = 23/7因此，线性方程组的解为x = 6/7，y = 23/7。
结论代入消元法是一种简单而有效的解线性方程组的方法。
通过选择一个方程作为基本方程，并逐步代入其他方程中消去未知数，最终可以求得方程组的解。
在实际应用中，代入消元法常用于解决线性方程组个数较少的情况。
以上是关于线性方程组的解法(代入消元法)的介绍，希望对你有所帮助。
第一节 线性方程组的消元解法
解
用消元法
2 x1 − 3 x2 + 2 x3 = 9 3 x1 + 2 x2 + 9 x3 = 19 x1 + x2 + 2 x3 = 4 x1 + x2 + 2 x3 = 4 ①,③ 3 x + 2 x + 9 x = 19 1 2 3 互换 2 x1 − 3 x2 + 2 x3 = 9 x1 + x2 + 2 x3 = 4 − x + 3x = 7 2 3 −17 x3 = −34
(-3)①+② 3)① (-2)①+③ 2)①
x1 + x2 + 2 x3 = 4 (-5)②+③ 5)② − x2 + 3 x3 = 7 −5 x 2 − 2 x 3 = 1
阶梯形方程组
x1 + x 2 + 2x 3 = 4
− x 2 + 3x 3 = 7 −17x 3 = −34
− 1 ③ 17
x1 + x 2 + 2x 3 = 4 − x 2 + 3x 3 = 7 x3 = 2 =0 =1
x3 = 2
阶梯形方程组
(-3)③+② 3)③ (-2)③+① 2)③
x1 + x 2 − x2
x1
=1 x2 = −1
x3 = 2
简化阶梯形矩阵每个1对应的未知量为非自由未知量其余的为自由未知量令自由未知量为任意常数将非自由未知量用自由未知量表示出来就得到方程的全部解
第三章
线性方程组
克莱姆法则
线性方程组的解法
• 【例2】已知向量v，试建立以向量v作为主对角线 例 的对角阵A；建立分别以向量v作为主对角线两侧 的对角线的对角阵B和C。 • MATLAB程序如下： MATLAB
一、 特殊矩阵的实现
% 按各种对角线情况构成相应的对角阵A、B和C
• • • • • • • • • • • • • • •
v =[1;2;3]; % 建立一个已知的向量A A=diag(v) A= 1 0 0 0 2 0 0 0 3 B=diag(v,1) B = 0 1 0 0 0 0 2 0 0 0 0 3 0 0 0 0 C=diag(v,-1) C = 0 0 0 0 1 0 0 0 0 2 0 0 0 0 3
一、 特殊矩阵的实现
• 【例 4】试分别用triu(A)、triu(A,1)和、triu(A,例 1)从矩阵A提取相应的上三角部分构成上三角 阵B、C和D。
• MATLAB程序如下：
• • • • • • • • • A=[1 2 3;4 5 6;7 8 9;9 8 7]; % 一个已知的43阶矩阵A % 构成各种情况的上三角阵B、C和D B=triu(A) B = 1 2 3 0 5 6 0 0 9 0 0 0 C=triu(A,1) D=triu(A,-1)
x1 x2 X = ⋮ x n
称为n元未知量矩阵 称为 元未知量矩阵.
b1 b2 称为(2.1)的常数项矩阵. 的常数项矩阵 B = 称为 ⋮ b m
于是线性方程组(2.1)写成矩阵方程形式 写成矩阵方程形式 于是线性方程组 将系数矩阵A和常数项矩阵 放在一起构成的矩阵 将系数矩阵 和常数项矩阵B放在一起构成的矩阵 即 和常数项矩阵 放在一起构成的矩阵,即
线性方程组的基本概念与解法
线性方程组的基本概念与解法线性方程组是数学中常见且重要的概念，广泛应用于各个领域。
在本文中，我们将介绍线性方程组的基本概念和解法，并探讨其在实际问题中的应用。
通过深入理解线性方程组，我们可以更好地解决复杂的数学和实际问题。
一、线性方程组的定义线性方程组由一系列线性方程组成，其表示形式为：a_11x_1 + a_12x_2 + ... + a_1nx_n = b_1a_21x_1 + a_22x_2 + ... + a_2nx_n = b_2...a_m1x_1 + a_m2x_2 + ... + a_mnx_n = b_m其中，a_11、a_12、...、a_mn为已知系数，x_1、x_2、...、x_n为未知数，b_1、b_2、...、b_m为已知常数。
线性方程组的解即为一组满足所有方程的数值解。
二、线性方程组的解法解线性方程组的常用方法有高斯消元法、矩阵法和矩阵的逆等。
下面我们将分别介绍这些解法。
1. 高斯消元法高斯消元法是一种基于初等行变换的解线性方程组的方法。
其基本思想是通过逐步化简系数矩阵，将线性方程组转化为上三角形式或行阶梯形式，从而得到方程组的解。
具体步骤如下：a) 将线性方程组写成增广矩阵的形式；b) 选取一个基准元素，通常选择第一行第一列的元素；c) 通过初等行变换，将基准元素下方的所有元素消为0；d) 选取下一行新的基准元素，并重复步骤c)直到将增广矩阵转化为上三角矩阵；e) 通过回代法求解出线性方程组的解。
2. 矩阵法矩阵法是通过将线性方程组的系数矩阵和常数项向量进行运算，得到方程组的解。
常用的矩阵法有求逆矩阵法和克拉默法则。
求解线性方程组的步骤如下：a) 将线性方程组的系数矩阵和常数项向量组合成增广矩阵；b) 对增广矩阵进行初等行变换，将增广矩阵转化为简化行阶梯形式；c) 根据简化行阶梯形矩阵得到线性方程组的解。
3. 矩阵的逆对于一个n阶方阵A，如果存在一个n阶方阵B，使得AB=BA=I （单位矩阵），则称A为可逆矩阵，B为A的逆矩阵。
线性方程组的解法
线性方程组的解法线性方程组是高中数学中非常基础的一部分，但是线性方程组的求解方法却有很多种。
在这篇文章中，我们将系统地介绍几种线性方程组的常用求解方法。
一、高斯消元法高斯消元法是最基本的线性方程组求解方法之一，其基本思想是通过不断消元，将一组线性方程转化成简单的形式，从而求解出未知数的值。
这种方法的主要步骤是：1. 构造增广矩阵；2. 选出第一个主元素，采用行变换使其成为1；3. 将第一个主元素以下的所有元素消为0；4. 选出下一个主元素，执行第二步和第三步，直到所有主元素都被选完或没有解。
这种方法的时间复杂度为O(n^3)，但是它是一种通用的求解方法，能够解决任意规模的线性方程组。
二、列主元高斯消元法列主元高斯消元法在高斯消元法的基础上进行了改进，它能够更准确地选出主元素，从而加速求解过程。
其主要步骤是：1. 构造增广矩阵；2. 在每一列中选出绝对值最大的元素作为主元素；3. 采用行变换使得主元素所在行的其他元素都消为0；4. 重复2和3步，直到所有未知数的值都解出或者出现无解的情况。
列主元高斯消元法比普通的高斯消元法要更快一些，其时间复杂度为O(n^3)。
三、LU分解法LU分解法将线性方程组的系数矩阵分解成一个下三角矩阵和一个上三角矩阵的乘积，从而将原问题转化成两个较为简单的子问题。
其主要步骤是：1. 将系数矩阵分解为下三角矩阵L和上三角矩阵U；2. 将线性方程组Ax=b转化为LUx=b；3. 解Ly=b和Ux=y。
LU分解法虽然时间复杂度为O(n^3)，但是它可以节省计算量，特别是当需要解多个方程组时，分解过程只需要进行一次，即可解出多个方程组。
四、Jacobi迭代法Jacobi迭代法是一种通过迭代逐步求解的方法，其主要思想是将待求解的线性方程组分解成一个对角线矩阵和一个非对角线矩阵的和，从而通过迭代求解整个线性方程组。
算法步骤如下：1. 将线性方程组Ax=b化为对角线矩阵D和非对角线矩阵R的和，即A=D-R；2. 取一个初始向量X0；3. 迭代，直到误差小于精度要求或者迭代次数超过预设值为止。
计算机方法线性方程组的解法
高斯-塞德尔迭代格式
k k x1k 1 0.1x 2 0.2 x 3 0.72 k 1 k 1 k x 0 . 1 x 0 . 2 x 0.83 2 1 3 k 1 k 1 k 1 x 0 . 2 x 0 . 2 x 0.84 1 2 3
重要性：解线性代数方程组的有效方法在计算数学和
科学计算中具有特殊的地位和作用。如弹性力学、电
路分析、热传导和振动、以及社会科学及定量分析商 业经济中的各种问题。 求解线性方程组 Ax b 的求解方法，其中
A R nn
， x, b R n 。
* x* ( x1* , x2 , * T , xn )
… … …
…
( k 1 ) ( k 1 ) ( k 1 ) ( k 1 ) ( k 1 ) xn 1 ( a n1 x1 an 2 x2 an 3 x3 a nn 1 x n 1 bn ) a nn
写成矩阵形式： x( k 1) D1 ( Lx( k 1) Ux( k ) ) D1b
其准确解为X*={1.1, 1.2, 1.3}。
x1 0.1 x2 0.2 x3 0.72 x2 0.1 x1 0.2 x3 0.83 x 0.2 x 0.2 x 0.84 1 2 3
据此建立迭代公式：
(k ) (k ) x1(k +1) =0.1x2 +0.2x3 +0.72 (k +1) (k ) (k ) x2 =0.1x1 +0.2x3 +0.83 (k +1) (k ) (k ) x =0.2 x +0.2 x 1 2 +0.84 3
线性代数方程组的解法
线性代数方程组的解法关键词：线性代数方程组；高斯消元法；列主元消元法；三角分解法；杜立特尔分解法；迭代法；雅可比迭代法；高斯-赛德尔迭代法1引言目前，解线性代数方程组在计算机上常用的的方法大致把它分为两类：“直接法”与“迭代法”.在线性代数中曾指出阶线性代数方程组有唯一的解，并且可以用克拉默法则求方程组的解，初次看来问题已经解决，但从使用效果看并不是这样的.因为求阶线性代数方程组，如果用克拉默法则，需要计算个阶行列式，每个阶行列式为项之和，每项又是个元素的乘积，所以计算中仅乘法次数就高达次，当较大时，它的计算量是非常惊人的.因为现在所碰到的很多问题都需要很大的计算量，故需要好用的算法来求解.先来回顾一下回代过程和迭代过程.(1)是一个三角形方程组，当有唯一解时，可以用反推的方式求解，也就是先从第个方程解得， (2)然后代入第个方程，可得到， (3)如此继续下去，假设已得到，， , ,代进第个方程即得的计算， (4)上述求解的过程叫做回代过程.定义1[1] (向量的范数) 若向量的某个实值函数满足1.是非负的，即且的充要条件是 ;2.是齐次的，即 ;3.三角不等式，即对，总是有.那么上向量的范数（或模）就是 .下面给几个最常遇到的向量范数.向量的“1”范数：(5)向量的“2”范数：(6)向量的范数：(7)例1设求 , , .解由式（5）,（6）及（7）知.定义2若矩阵的某个实值函数满足1.是非负的，即且的充要条件是 ;2.是齐次的，即 ;3.三角不等式，即对总有;1.矩阵的乘法不等式，即对总有，那么称为上矩阵的范数（或模）.表 1是矩阵几个常用算子范数的定义与算式.表 1范数名称记号定义计算公式“1”范数（又名列模）“2”范数（又名谱模）“”范数（又名行模）的极限就是方程组的解向量，这时候在给定允许的误差内，只要适当的大,就可以作为方程组在满足精度要求条件下的近似解.这种求近似解的方法就是解线性方程组的一类基本的迭代解法，其中称为迭代矩阵，公式（9）称迭代公式（或迭代过程）,由迭代公式得到的序列叫做迭代序列.如果迭代的序列是收敛的，则称为迭代法收敛；如果迭代的序列是不收敛，则称它是迭代法发散.定理3设 .如果约化主元素，则可以利用高斯消元的方法把方程组约化成三角形方程组来求解，其计算公式如下：（1）消元计算：对依次计算（2）回代计算：3用高斯消元法与列主元消元法解线性代数方程组（重点）！3.1 高斯消元法解方程组用高斯消元的方法求线性代数方程组的解的整个计算过程可分为两个环节，也就是利用按照次序消去未知数的方法，把原来的方程组转化成跟它同解的三角形方程组（这个转化的过程叫消元过程），再通过回代过程求三角形方程组的解，最终得到原来方程组的解.其中按照方程的顺进行消元的高斯消元法，又叫顺序消元法.3.2列主元消元法解方程组列主元消元法实际上是一种行交换的消元法，它跟顺序消元法比较而言，主要特点是在进行第次消元前，不管的值是否等于零，都在子块的第一列中选择一个元，使，并将中的第行元与第行元互相变换（相当于交换同解方程组中的第个方程），然后再进行消元计算得到结果.注：列主元素法的精度虽然稍低于全主元素法[1]，但它计算简单，相对比全主元素法它的工作的量大大减少，并且从计算经验和理论分析都可以表明，它与全主元素法同样拥有很好的值稳定性，列主元素法是求解中小型浓密型方程组的最好的方法之一.4用三角分解法解线性代数方程组4.1 矩阵的三角分解定义4把一个阶矩阵分解成两个三角矩阵相乘的形式称为矩阵的三角分解.常见的矩阵三角分解是其中是下三角形的矩阵,是上三角形的矩阵.定理5[1]（矩阵三角分解基本定理）设 .若的顺序主子式，那么存在唯一的杜利特尔分解其中是单位下三角形矩阵，为非奇异的上三角形矩阵.如果是单位下三角形的矩阵，是上三角形的矩阵，那么把这种分解法称为杜利特尔分解法，其中杜利特尔分解法是这种三角分解的一种特例，下面主要介绍利用杜利特尔分解法来求方程组的解.4.2 用杜利特尔分解法解线性代数方程组用杜利特尔分解法解方程组的步骤可以把它归纳为（1）实现分解，也就是1.按算式（11）（12）依次计算的第一行元与的第一列元；1.对按算式（13）（14）依次计算的第行元与的第列元.（2）求解三角形方程组，即按算式依次计算 .（3）求解三角形方程组，即按算式依次计算.利用杜利特尔分解法解方程组与高斯消元法是相似的，它重要的优点是：在利用分解，解有相同的系数矩阵的方程组时,用杜利特尔分解法非常方便，只用两个式子就可以得到方程组的解.5用迭代法解线性代数方程组用迭代法求方程组的解，需要考虑迭代过程的收敛性，在下面的讨论中，都假设方程组的系数矩阵的对角阵是不为零的.5.1 用雅可比迭代法解方程组对于一般线性方程组，如果从第个方程解出，就可以把它转化成等价的方程组. （15）从而可以得到对应的迭代公式（16）这就是解一般方程组的分量形式的雅可比(Jacobi)迭代公式.如果把它改成（17）并把系数矩阵表示成（18）其中则可以看出式的左右两端分别是向量和的第个分量，故因为可逆，所以于是就可以得到是雅可比迭代的公式.其中（称为雅可比迭代矩阵）， .5.2 用高斯-赛德尔迭代法解方程组高斯-赛德尔迭代法也是常用的迭代法，设线性代数方程组为，则高斯-赛德尔迭代法的迭代公式为（19）其中迭代法（19）就称为高斯-赛德尔迭代法.通过雅可比迭代法类似的途径，就可以得到矩阵的表达式其中（称为高斯-赛德尔迭代矩阵）， .高斯-赛德尔迭代法与雅可比迭代法都有算式简单、容易在计算机上实现等优点，但是用计算机来计算时，雅可比迭代法需要两组工作单元用来寄存与的量，而高斯赛-德尔迭代法只需一组工作单元存放或的分量.对于给定的线性方程组，用这两种方法求解可能都收敛或者都不收敛，也可能一个收敛另一个不收敛，两种方法的收敛速度也不一样.5.3 迭代法的收敛条件与误差分析定义6[1]矩阵全部的特征值的模的最大值，叫做矩阵的谱半径，记作 ,即.定理7[1]对任意初始向量迭代过程收敛的充要条件是；当时，越小，那么其收敛的速度是越快的.由定理7可知，用雅可比迭代法求解时，其迭代的过程是收敛的，而用高斯-赛德尔迭代法来求解,其迭代的过程是发散的.在不同条件下，收敛的速度是不同的，对同一矩阵，一种方法是收敛的，一种方法发散.第 7 页。
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第一章 线性方程组的解法求解线性方程组是科学研究和工程应用中最普遍和最重要的问题，超过75%的科学研究和工程应用中的数学问题，在某一阶段都与线性方程组的求解有关．本章介绍求解线性方程组的消元法及其矩阵形式．引例 交通流量问题随着城市人口以及交通流量的增加，城市道路交通拥堵问题已成为制约经济发展、降低人民生活质量、削弱经济活力的瓶颈之一.为解决这个世界性难题，各国政府和民间都进行了广泛的研究，提出了提高交通管理水平、增强交通参与者的素质、扩大道路容量、限制车辆增长速度等政策及车牌限行、设置单向行驶道路等措施.以上的政策和措施的一个基础性工作就是各道路的车流量的统计与分流控制.使各道路的交通流量要达到平衡,所谓交通流量平衡是指在每个路口进入的车辆数与离开的车辆数相等．图1是某一城市的道路交通网络图，所有车道都是单行道．箭头给出了车辆的通行方向，数字是高峰期每小时进入和离开路口的车辆数．在满足交通流量平衡的条件下，试问如何分流车辆．图1为了保证交通流量平衡，得线性方程组122334546156300,200,300,100,300.x x x x x x x x x x x x +=⎧⎪-=-⎪⎪-+=⎨⎪-=-⎪⎪-+=⎩ （） 问题归结为讨论线性方程组（）是否有解若有解，求出方程组的解．第一节 线性方程组的消元法一、线性方程组的概念设12,,,n x x x L 为实未知量，12,,,,n a a a b L 为实数，n 为正整数．方程1122n n a x a x a x b +++=L称为含未知量12,,,n x x x L 的线性方程．由m 个含未知量12,,,n x x x L 的线性方程组成的方程组11112211211222221122,,,n n n n m m mn n m a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩L L L L L L L L L L L L L L （）称为n 元线性方程组，其中,(1,2,,;1,2,,)ij i a b i m j n ==L L 为实数．若1122,,,n n x c x c x c ===L （）使（）中的每一个方程都成立，则称（）为方程组（）的解．如果线性方程组（）有解，则称方程组（）是相容的；否则，称方程组（）是不相容的． 线性方程组解的全体所构成的集合称为该线性方程组的解集．显然，如果线性方程组不相容，其解集必为空集．能表示线性方程组全部解的表达式称为方程组的通解或一般解． 具有相同解集的线性方程组称为同解方程组或等价方程组．二、线性方程组的消元法中学所学的解线性方程组的消元法是求解线性方程组简单有效的方法．现在我们回忆消元法的过程．例1 利用消元法求解线性方程组121223,(1)45 6.(2)x x x x +=⎧⎨+=⎩解 将方程（1）乘以4-加到方程（2）上，得等价方程组12223,(3)3 6.(4)x x x +=⎧⎨-=-⎩ 由方程（4）解得22x =，再代入方程（3），得11x =-，则原方程组的解为121,2x x =-=．该方程组有唯一解．例2 利用消元法求解线性方程组（I ）1231231235675,(1)4845,(2)3639.(3)x x x x x x x x x ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩； （II ）1231231231,(1)23,(2)5811.(3)x x x x x x x x x ++=⎧⎪+-=⎨⎪+-=⎩ 解 （I ）方程（3）的两边乘以不为零的常数13，得 1231231235675,(4)4845,(5)2 3.(6)x x x x x x x x x ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩ 交换方程（4）与（6）的位置，得12312312323,(7)4845,(8)567 5.(9)x x x x x x x x x ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩ 方程（7）乘以4-加到方程（8）上；方程（7）乘以5-加到方程（9）上，得1232323,(10)07,(11)4210.(12)x x x x x ++=⎧⎪=-⎨⎪-+=-⎩交换方程（11）与（12）的位置，得1232323,(13)4210,(14)07.(15)x x x x x ++=⎧⎪-+=-⎨⎪=-⎩方程（15）是矛盾方程，则方程组（I ）无解．（II ）方程（1）乘以1-加到方程（2）上；方程（1）乘以5-加到方程（3）上，得12323231,(4)22,(5)36 6.(6)x x x x x x x ++=⎧⎪-=⎨⎪-=⎩方程（5）乘以3-加到方程（6）上，得123231,(7)22,(8)00.(9)x x x x x ++=⎧⎪-=⎨⎪=⎩解得⎩⎨⎧+=--=,22,133231x x x x 令3x c =，得方程组的通解为⎪⎩⎪⎨⎧=+=--=,,22,13321c x c x c x 其中c 为任意常数．此时方程组有无穷多解．总结例1与例2，我们发现利用消元法求解线性方程组的过程，本质上是对线性方程组的方程进行下列三种变换：（1）交换任意两个方程的位置；（2）某一方程两边乘以不为零的常数； （3）把某一方程的倍数加到另一方程上去． 上述三种变换称为线性方程组的同解变换．另外，我们还可以看到，线性方程组可能无解、可能有解，在有解时可能是唯一解或无穷多解，关于这方面的更深入的研究可参考下一节与第三章第六节．思 考 题 一1． 在例1与例2中，细心的读者会发现，这里用消元法求解线性方程组与中学所介绍的形 式上有所不同，您能指出它们各自的优点所在吗 2．线性方程组的解与未知量的符号表示有关吗 3．给定方程组⎩⎨⎧=+=+.654,32y x y x 将每个方程交换未知量x 与y 的位置，得方程组⎩⎨⎧=+=+.645,32y x y x 试问这两个方程组同解吗第二节 矩阵及其初等行变换一、矩阵例3 利用消元法求解线性方程组23,(1)45 6.(2)x y x y +=⎧⎨+=⎩ 解 将方程（1）乘以4-加到方程（2）上，得23,(3)3 6.(4)x y y +=⎧⎨-=-⎩ 由方程（4）解得2y =，代入方程（3），得1x =-，则原方程组的解1,2x y =-=． 仔细比较例1和例3两个方程组，我们发现线性方程组的解是由未知量系数ij a 和方程右边的常数j b 所决定，而与线性方程组的未知量用哪个符号表示无关．鉴于此，在讨论线性方程组（）的求解时，我们可以舍弃未知量（但把未知量牢记于心中），建立方程组（）与m 行1n +列的数表11121121222212nn m m mn m a a a b a a a b a a a b ⎛⎫⎪⎪⎪⎪⎝⎭L M LM M M M M M L M （）的一一对应关系：该数表的第(1,2,,)j j n =L 列是未知量j x 前的系数，第1n +列是方程右边的常数i b (1,2,,)i m =L ；第i 行代表方程组（）的第i 个方程．我们称该数表为方程组（）的增广矩阵，简记为B ．而把数表111212122212n n m m mn a a a a a a a a a ⎛⎫⎪⎪⎪⎪⎝⎭LLM M M L（） 称为方程组（）的系数矩阵，简记为A ．例4 写出线性方程组12312321231,,x x x x x x x x x λλλλλ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩ 的系数矩阵与增广矩阵．解 方程组的系数矩阵与增广矩阵分别为111111A λλλ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭；21111111B λλλλλ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭M M M ．以上讨论启发我们，为了简化线性方程组的求解，在代数上给出了数表——矩阵的概念．（名词“矩阵（Matrix ）”是由Sylvester 首先使用的）定义1 由n m ⨯个数(1,2,;1,2,)ij a i m j n ==L L 排成的m 行n 列的数表111212122212n n m m mn a a a a a a a a a ⎛⎫⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭LL M M M L 称为m 行n 列矩阵，简称n m ⨯矩阵，其中ij a 称为矩阵A 的第i 行第j 列的元素．n m ⨯矩阵可以表示为()ij m n a ⨯，一般用大写的英文字母,,,A B C L 等表示矩阵．元素为实数的矩阵称为实矩阵，元素为复数的矩阵称为复矩阵．本书如无特殊声明，所讨论的矩阵都是指实矩阵．二、矩阵的初等行变换矩阵的初等行变换起源于求解线性方程组的消元法．由方程组的同解变换可知，对线性方程组作同解变换相当于对方程组的增广矩阵的行作相应的变换．由此有 定义2 以下对矩阵的三种变换称为矩阵的初等行变换： （1）交换矩阵两行的位置；（2）不为零的数k 乘以矩阵的某一行中所有元素；（3）将矩阵的某一行乘以数k 加到另一行上去．为了说明方便，通常用i r 表示矩阵的第i 行．用i j r r ↔表示交换矩阵的第i 行与第j 行；用i r k ⨯表示数k 乘以矩阵的第i 行；用j i r kr +表示数k 乘以矩阵的第i 行加到第j 行上去．定义3 若矩阵A 经过有限次初等行变换变成矩阵B ，则称矩阵A 与B 行等价，记作r A B −−→．下面介绍消元法的矩阵形式。
例5 利用矩阵的初等行变换求解线性方程组121223,45 6.x x x x +=⎧⎨+=⎩ 解 方程组的增广矩阵2141123123456036r r B B -⎛⎫⎛⎫=−−−→= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭M M M M ，得同解方程组12223,36,x x x +=⎧⎨-=-⎩ （） 由第2个方程解得22x =，代入第1个方程，得11x =-，则方程组的解为121,2x x =-=． 消元法的代入过程也可以对增广矩阵作初等行变换来代替．要在（）的第2个方程解出2x ，则2x 的系数必须为1．将（）的第2个方程两边乘以13-，得12223,2,x x x +=⎧⎨=⎩（）得到（）的过程相当于21()3123123036012rr B ⨯-⎛⎫⎛⎫→−−−→ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭M M M M ．将2x 代入（）的第1个方程，即将（）的第1个方程中2x 的系数化为零，只需将（）的第2个方程两边乘以2-加到第1个方程上去，得方程组的解121,2.x x =-⎧⎨=⎩ （） 得到（）的过程相当于1222123101012012rr r B B --⎛⎫⎛⎫→−−−→= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭M M M M ，从而得方程组的解121,2x x =-=．现在我们可以给出例5的完整求解过程了．方程组的增广矩阵22112(3)42123123101456036012r r r r r B ÷----⎛⎫⎛⎫⎛⎫=−−−→−−−→ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭M M M M M M ，从而得方程组的解121,2x x =-=．一般地，消元法是由两个步骤所构成．第一个步骤是消元过程，在例5中得到矩阵1B ，称为矩阵B 的行阶梯形，其特点是：非零行的第一个非零元素的列标随着行标的增加而严格增加．如下列矩阵1232131213101010105,0015,0015000000000000A A A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（）都是行阶梯形矩阵．第二个步骤是代入过程，在例5中得到矩阵2B ，称为矩阵B 的行最简形，其特点是：它是特殊的行阶梯形矩阵，且非零行的第一个非零元素为1，而该元素所在列的其他元素全为0．如（）中的3A 是行最简形矩阵．例6 利用初等行变换，将矩阵111112422513A ⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭化成行阶梯形矩阵和行最简形矩阵．解 21312111111111242033325130331r r r r A +-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=--−−−→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭32111103330002r r -⎛⎫ ⎪−−−→- ⎪ ⎪-⎝⎭， 最后一个矩阵即为行阶梯形矩阵，进一步，13323212(2)3111111101020011101100110000100010001r r r r r r r r A -÷--÷-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪−−−→-−−−→-−−−→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，最后一个矩阵即为行最简形矩阵．总结例6利用初等行变换将矩阵化成行阶梯形矩阵和行最简形矩阵的方法，有定理1 任何一个矩阵都可经有限次初等行变换变成行阶梯形矩阵和行最简形矩阵．证 设()ij A a =为m n ⨯矩阵，对A 的行数m 利用数学归纳法．1m =时该矩阵为行阶梯形．不妨设110a ≠，作行变换1111r a ⨯，则矩阵化为行最简形． 设1m s =-结论成立．当m s =时，不妨设110a ≠，有1111111213111121312122232222322,3,,31323333233312323000i i n n a r r n n a i sn n s s s sn s s sn a a a a a a a a a a a a b b b A a a a a b b b a a a a b b b -=⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=−−−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭L L L L L L L M M M M MM M M LL． 矩阵()(2,3,,;2,3,,)ij B b i s j n ===L L 为(1)(1)s n -⨯-矩阵，由归纳假设，知B 可化为行阶梯形矩阵，从而A 也可化为行阶梯形矩阵．由归纳假设，知B 可化为行最简形矩阵，有1112131411,11242,12343,13,10100001000001000000000000000t t n t n t n rt t tn a a a a a a a c c c c c c A c c ++++⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪⎪−−→ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭L L L L L L M M M M M M M L L L M M M M M M M M L， 11111141,11242,12343,13,2,3,,1,11000010000100000100000000000000j j t n t n t n r a r j tr a t t tn c c c c c c c c c c c +++-=⨯+⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪ ⎪−−−−−−→⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭L L L L L L L M M M M M M M L L L M M M MM M M M L，得A 的行最简形矩阵．要注意的是，矩阵的行阶梯形矩阵一般不唯一，而矩阵的行最简形矩阵是唯一的． 注 由例5可得，利用初等行变换求解线性方程组的方法（也称为Gauss-Jordan 消元法），其步骤是：（1）写出线性方程组的增广矩阵；（2）将增广矩阵用初等行变换化成行阶梯形（等价于消元法的消元过程）；（3）判断线性方程组是否有解．如果行阶梯形的最后一个非零行代表矛盾方程00≠=d ，则方程组无解；否则线性方程组有解，并进行下一步；（4）将行阶梯形矩阵用初等行变换化成行最简形矩阵（等价于代入过程）； （5）由行最简形矩阵得线性方程组的解．例7 利用Gauss-Jordan 消元法求解线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=---=+--=+++-=-+-.4246,322,02,122321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x 解 对方程组的增广矩阵进行初等行变换化为行阶梯形：134122112111223112101121011223211216420432102r r r B ↔⨯-----⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪--⎪⎪=−−−→ ⎪⎪-----⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭M M M M M M M M 2131412311223000330156701567r r r r r r +-----⎛⎫⎪- ⎪−−−→⎪-⎪-⎝⎭M M M M 233421311223015670001100000r r r r r ↔⨯----⎛⎫⎪- ⎪−−−→⎪- ⎪⎝⎭M M M M ——行阶梯形其最后一个非零行对应的不是矛盾方程，则方程组有解． 进一步，13232611201015010001100000r r r r B -+---⎛⎫ ⎪ ⎪−−−→ ⎪-⎪⎝⎭M M M M 1210300015010001100000r r +⎛⎫⎪⎪−−−→⎪-⎪⎝⎭M M M M ——行最简形得对应的方程组为⎪⎩⎪⎨⎧-==+=+.1,15,0343231x x x x x 解得⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=-=,1,15,343231x x x x x 其中3x 为自由变量．令3x k =，则方程组的通解为12343,51,,1,x k x k x k x =-⎧⎪=-+⎪⎨=⎪⎪=-⎩其中k 为任意常数． 例8 利用Gauss-Jordan 消元法求解线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+=-+-=++.352,242,1321321321x x x x x x x x x 解 方程组的增广矩阵21312111111111242033325130331r r r r B +-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=--−−−→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭M M M M M M 32111103330002r r -⎛⎫⎪−−−→- ⎪ ⎪-⎝⎭M M M ，因为20-=，矛盾，所以方程组无解．参考例5、例7、例8，对线性方程组有如下重要结论：定理 2 对于n 元线性方程组，当增广矩阵的行阶梯形最后一个非零行代表矛盾方程时，则方程组无解；否则方程组有解，且（1）当增广矩阵的行阶梯形有n 个非零行时，方程组有唯一解； （2）当增广矩阵的行阶梯形少于n 个非零行时，方程组有无穷多解．思 考 题 二1．为什么说对线性方程组作同解变换相当于对该方程组的增广矩阵作相应的初等行变换 2．比较行阶梯形矩阵与行最简形矩阵的相同点与不同点． 3．回忆利用Gauss-Jordan 消元法求解线性方程组的过程．4．怎样判别线性方程组有解或无解在有解时是唯一解还是无穷多解除了这三种情形， 线性方程组的解还有其它情形吗第三节 应用举例一、引例解答（）的增广矩阵1100003001000113000110002000100110001110300001011200000101100000101100100113000000000r B -⎛⎫⎛⎫⎪⎪--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=→-- ⎪⎪---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭M M M M M M M M M M ，由定理2得方程组有无穷多解，且方程组的通解为112212312425162300,,200,100,,,x k k x k k x k k x k x k x k =-+⎧⎪=-+⎪⎪=-++⎪⎨=-⎪⎪=⎪=⎪⎩其中12,k k 为任意常数． 要注意的是，方程组的解不一定都是实际问题的解．由未知量的实际意义，应满足1122123124251623000,0,2000,1000,0,0,x k k x k k x k k x k x k x k =-+≥⎧⎪=-+≥⎪⎪=-++≥⎪⎨=-≥⎪⎪=≥⎪=≥⎪⎩ 即有12,k k 还需满足2120300,100k k k ≤-≤≥的非负整数．二、化学方程式的平衡当丙烷（C 3H 8）气体燃烧时,会产生二氧化碳和水，该反应的化学反应式具有下列反应式C 3H 8+O 2→CO 2+H 2O ，试平衡此化学反应式。