高等数学教案

《高等数学》教案
第一章：函数与极限（18课时）
第一节：映射与函数
教学目的与要求：理解函数的概念，掌握函数的初等函数的性质及其图形，并会建立简单应用问题中的函数关系式。

教学重点（难点）：理解复合函数及分段函数，反函数及隐函数的概念，基本初等函数的性质及其图形。

一、集合 1、集合概念
具有某种特定性质的事物的总体叫做集合。

组成这个集合的事物称为该集合的元素。

表示方法：用A ，B ，C ，D 表示集合；用a ，b ，c ，d 表示集合中的元素。

1)},,,{321 a a a A = 2)
}{P x x A 的性质=
元素与集合的关系：A a ∉，A a ∈
一个集合，若它只含有有限个元素，则称为有限集；不是有限集的集合称为无限集。

常见的数集：N ，Z ，Q ，R ，N +
元素与集合的关系：A 、B 是两个集合，如果集合A 的元素都是集合B 的元素，则称A 是B 的子集，记作B A ⊂。

如果集合A 与集合B 互为子集，则称A 与B 相等，记作B A = 若作B A ⊂且B A ≠则称A 是B 的真子集。

全集I ：A i ⊂I （I=1，2，3，……..）。

空集φ：A ⊂φ。

2、集合的运算
并集B A ⋃：}A x |{x B A B x ∈∈=⋃或 交集B A ⋂：}A x |{x B A B x ∈∈=⋂且 差集B A \：
}|{\B x A x x B A ∉∈=且
补集（余集）C
A ：I ＼A
集合的并、交、余运算满足下列法则：
交换律：A B B A ⋃=⋃A B B A ⋂=⋂
结合律：)()(C B A C B A ⋃⋃=⋃⋃，)()(C B A C B A ⋂⋂=⋂⋂
分配律：)()()(C B C A C B A ⋂⋃⋂=⋂⋃，)()()(C B C A C B A ⋃⋂⋃=⋃⋂
对偶律： (c c c B A B A =⋃)c
c c B A B A ⋃=⋂)(
笛卡儿积： A ×B }|),{(B y A x y x ∈∈=且 3、区间和邻域
1）有限区间：开区间),(b a ，闭区间[]b a ,，半开半闭区间]
()[b a b a ,,。

2）无限区间：（,a -∞），(],a -∞，[),a +∞，(),a +∞，(),-∞+∞。

3）邻域：
}{),(δδδ+-=a x a x a U
注：a 邻域的中心，δ邻域的半径；去心邻域记为),(δa U。

二、映射 映射概念
定义设X ，Y 是两个非空集合，如果存在一个法则f ，使得对X 中的每一个元素x ，按法则f ，在Y 中有唯一确定的元素y 与之对应，则称f 为从X 到Y 的映射，记作
Y X f →：
其中y 称为元素x 的像，并记作)(x f ，即)(x f y =。

注意：每个X 有唯一的像；每个Y 的原像不唯一。

三、函数 1、函数的概念
定义 设数集R D ⊂，则称映射R D f →:为定义在D 上的函数，记为
D x x f y ∈=,)(。

注：函数相等：定义域、对应法则相等。

2、函数的几种特性
1）函数的有界性（上界、下界；有界、无界），有界的充要条件：既有上界又有下界。

2）函数的单调性（单增、单减），在x 1、x 2点比较函数值)(1x f 与)(2x f 的大小（注：与区间有关）。

3）函数的奇偶性(定义域对称、)(x f 与)(x f -关系决定)，图形特点 (关于原点、Y 轴对称)。

4)函数的周期性(定义域中成立：)()(x f l x f =+)
3、 函数与复合函数
1）反函数：函数)(:D f D f →是单射，则有逆映射x y f =-)(1
，称此映射1
-f
为f
函数的反函数。

函数与反函数的图像关x y =于对称。

2）复合函数：函数)(y g u =定义域为D 1，函数)(x f y =在D 上有定义、且1)(D D f ⊂。

则)())((x f g x f g u ==为复合函数。

3）分段函数：分段函数的统一表达式。

结论：对于分段函数
f （x ）=12()
()()
()
f x x a f x x a ≥⎧⎨
⎩
若初等数函f 1（x ）和f 2（x ）满足f 1（a ）=f 2（a ），则 f （x ）= f 1[
12（
]+ f 1[1
2
（
]- f 1（a ） 4、初等函数 1）幂函数：a
x y =
2)指数函数：x
a y =
3)对数函数：)(log x y a = 4)三角函数：
)cot(),tan(),cos(),sin(x y x y x y x y ====
5)反三角函数：
)arcsin(x y =，)arccos(x y =
)cot()
arctan(x arc y x y ==
以上五种函数为基本初等函数。

6）双曲函数：2x
x e e shx --=
，2x x e e chx -+=，
x x x x e e e e chx shx thx --+-== 注：双曲函数的单调性、奇偶性。

双曲函数公式：
shy shx chy chx y x ch shy shx chy chx y x ch shy chx chy shx y x sh shy
chx chy shx y x sh ⋅-⋅=-⋅+⋅=+⋅-⋅=-⋅+⋅=+)()()()(
7）反双曲函数：
arthx y archx y arshx y ===
例1 已知分段函数
22,10,()1,0,2,0 1.x x f x x x x -≤<⎧⎪==⎨⎪+<≤⎩
1）求其定义域并作图；2）求函数值11
22(),(0),().f f f -
例2 求由所给函数复合的函数，并求各复合函数的定义域：
y=10u ，u=1+x 2, y=arctanu 2, u=tanv, v=a 2+x 2. 例3 求函数的反函数及反函数的定义域：
y=x 2,（0≤x 〈+∞）， 2
21,01,
2(2),1 2.
x x y x x -<≤⎧=⎨--<≤⎩
作业：见课后各章节练习。

第二节：数列的极限
教学目的与要求：理解极限的概念，性质。

教学重点（难点）：极限的概念的理解及应用。

一、数列
数列就是由数组成的序列。

1）这个序列中的每个数都编了号。

2）序列中有无限多个成员。

一般写成： n
a a a a a 4321
缩写为{}n u
例1 数列⎭⎬⎫
⎩⎨⎧n 1是这样一个数列{}n x ，其中
n x n 1
=
， 5,4,3,2,1=n
也可写为：
51
4
131211
可发现：这个数列有个趋势，数值越来越小，无限接近0，记为01
lim
=∞→n n 。

1、 限的N -ε定义
εε a x N
n N n -∀∃∀0，则称数列{}n x 的极限为a ，记成
a
x n n =∞
→lim
也可等价表述： 1）ερε<>∀∃>∀)(0
a x N
n N n
2）)(0
εεa
O x N
n N n ∈>∀∃>∀。

极限是数列中数的变化总趋势，因此与数列中某个、前几个的值没有关系。

二、收敛数列的性质
定理1 如果数列{}n x 收敛，那么它的极限是唯一。

定理2 如果数列{}n x 收敛，那么数列{}n x 一定有界。

定理 3 如果
a
x n x =∞
→lim 且a>0(a<0)那么存在正整数N>0，当n>N 时，
)0(0
<>n n x x 。

例2 证明数列{}1n n +的极限是1。

例3 作出数列
{
}1
(1)n n n
-+-图形，讨论其极限值。

作业：见课后各章节练习。

第三节：函数的极限
教学目的与要求：理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系。

教学重点（难点）：理解函数左极限与右极限，极限性质。

一、极限的定义 1、在0x 点的极限 1）
0x 可在函数的定义域内，也可不在，不涉及f 在0x 有没有定义，以及函数值
)(0x f 的大小。

只要满足：存在某个0>ρ使：D x x x x ⊂+⋃-),(),(0000ρρ。

2）如果自变量x 趋于0x 时，
相应的函数值)(x f 有一个总趋势——以某个实数A 为极限，
则记为：A
x f x x =→)(lim 0。

形式定义为：
εδδε<-<-<∀⋅∃⋅>∀A x f x x x )()
0(00
2、∞→x 的极限 设),()
(+∞-∞∈=x x f y ，如果当时函数值)(x f 有一个总趋势--该曲线有一条水
平渐近线A y =--则称函数在无限远点∞有极限。

记为：A
x f x =∞→)(lim 。

在无穷远点∞的左右极限：
)
(lim )(x f f x +∞
→=+∞，
)
(lim )(x f f x -∞
→=-∞
关系为：
)
(lim )(lim )(lim x f A x f A x f x x x -∞
→+∞
→∞
→==⇔=
二、函数极限的性质 1、极限的唯一性 2、函数极限的局部有界性 3、限的局部保号性
4、函数极限与数列极限的关系 例1 讨论函数x x
y =
在x 0→的极限。

例2 求下面函数极限：
lim
n →∞221
n n
+， 33
1111
lim()x x x ++→-- 。

作业：见课后各章节练习。

第四节：无穷小与无穷大
教学目的与要求：掌握无穷小与无穷大概念。

教学重点（难点）：理解无穷小与无穷大的关系。

一、无穷小定义
定义 对一个数列{}n x ，如果成立如下的命题：
εε<⋅>∀⋅∃⋅>∀n x N n N 0则称它为无穷小量，即0lim =∞→n x x
注：1）ε∃
∀的意义；
2）
ε<n x 可写成ε<-0n x ；ερ<),0(n x ；
3）上述命题可翻译成：对于任意小的正数ε，存在一个号码N ，使在这个号码以后的所有的号码n ，相应的n x 与极限0的距离比这个给定的ε还小。

它是我们在直观上对于一个
数列趋于0的认识。

定理1 在自变量的同一变化过程0x x →（或)∞→x 中，函数()x f 具有极限A 的充分必要条件是α+=A x f )(，其中α是无穷小。

二、无穷大定义
一个数列{}n x ，如果成立：
G x N n N G n >⋅>∀⋅∃⋅>∀0那么称它为无穷大量。

记成：∞=∞→n x x lim 。

特别地，如果G x N n N G n >⋅>∀⋅∃⋅>∀0，则称为正无穷大，记成+∞=∞→n x x lim 。

特别地，如果G x N n N G n -<⋅>∀⋅∃⋅>∀0，则称为负无穷大，记成
-∞
=∞
→n x x lim 。

注：无法区分正负无穷大时就笼统地称之为无穷大量。

三、无穷小和无穷大的关系
定理2 在自变量的同一变化过程中，如果)(x f 为无穷大，则)(1
x f 为无穷小；反之，如果)(x f 为无穷小，且0)(≠x f 则)(1
x f 为无穷大。

即非零的无穷小量与无穷大量是倒数关系：当0≠n x 时：有
∞=⇒=∞→∞
←n x x x 1
lim
0lim
01
lim
lim =⇒∞=∞→∞
←n x x x
注意是在自变量的同一个变化过程中。

四、无穷小的性质
设{}n x 和{}n y 是无穷小量于是： 1）两个无穷小量的和差也是无穷小量：
)(lim 0lim 0
lim =±⇒==∞
←∞
→∞
→n n x n x n x y x y x
2）对于任意常数C ，数列{}n x c ⋅也是无穷小量：
)(lim 0lim =⋅⇒=∞
←∞
→n x n x x c x
3）
{}n
y x
n
⋅也是无穷小量，两个无穷小量的积是一个无穷小量。

)(lim 0lim 0
lim =⋅⇒==∞
→∞
→∞
→n n x n x n x y x y x
4）
{}n
x 也是无穷小量：
lim 0lim 0
=⇔=→→n x x n x x x x
5）无穷小与有界函数的积为无穷小。

五、函数极限的四则运算
1）若函数f 和g 在点0x 有极限，则
)
(lim )(lim ))()((lim 0
x g x f x g x f x x x x x x →→→+=+
2）函数f 在点0x 有极限，则对任何常数a 成立
)
(lim ))((lim 0
x f a x f a x x x x →→⋅=⋅
3）若函数f 和g 在点0x 有极限，则
)
(lim )(lim ))()((lim 0
x g x f x g x f x x x x x x →→→⋅=⋅
4）函数f 和g 在点0x 有极限，并且
)(lim 0
≠=→βx g x x ，则
βα=
=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→→→)(lim )(lim )()(lim 0
0x g x f x g x f x
x
x x x x
极限的四则运算成立的条件是若函数f 和 g 在点0x 有极限。

定理 3 设函数)}([x g f y =是由函数)(u f y =与)(x g u =复合而成，)]([x g f 在点
0x 的某去心邻域内有定义，若0)(lim 0
u x g x x =→，A u f u u =→)(lim 0，且存在00>δ，当
),(000
δx u x ∈时，有0)(u x g ≠，则
例1 下面函数在x 趋向什么时是无穷小，又当x 趋向什么时是无穷大：
sin 1cos x
x
+ 。

例2 求下面函数极限：
A
u f x g f u u x x ==→→)(lim )]([lim 0
9
3lim
23
--→x x x 4
532lim
21
+--→x x x x
作业：见课后各章节练习。

第五节：极限存在准则两个重要极限
教学目的与要求：掌握极限存在准则，透彻理解两个重要极限。

教学重点（难点）：极限存在准则，两个重要极限的应用。

定理1（夹逼定理） 三数列{}n x 、{}n y 和{}n z ，如果从某个号码起成立：
1）n n n z y x <<，并且已知{}n x 和{}n z 收敛， 2）n
x n x z a x ∞
→∞
→==lim lim ，则有结论：
a
y n x =∞
→lim
定理2 单调有界数列一定收敛。

单调增加有上界的数列一定收敛；单调减少有下界的数列一定收敛。

Ⅰ极限0
lim x →[sinx/x] =1
该极限的证明，关键是证不等式:sinx <x<
如图.设单位圆⊙O 的渐开线为
AB .若记∠TOA ＝x ，并过Ｔ作ＴＨ
⊥Ｘ轴于Ｈ，ＴＢC 切⊙Ｏ且交AB 及Ｘ轴分别于Ｂ、Ｃ，则
Sinx =TH<AT<AT =（x ）=TB <TC=tanx
我们说这个证明不仅是一个创造性的，更主要它避免了传统证法中的“循环论证”. 因扇形面积ＯAT ＝
1
2
x 的求得，一般是n 等分∠ＡＯT 成n 个等腰△A i OA i-1(i=1.2,…,n,A=A 0,T=A n )，则
∑△A i OA i-1=∑
12Sin （x/n ）=1
2
n Sin （x/n ） 此时，扇形面积ＯA T=lim n →∞∑△A i OA i-1=∑12Sin （x/n ）=1
2x lim n →∞
[Sin （x/n ）/（x/n ）]
显然当lim n →∞[Sin （x/n ）/（x/n ）]=1时，扇形面积ＯAT ＝1
2
x ，但令t= x / n ，则该极限为
要证明的重要极限Ｉ，即出现循环论证。

Ⅱ极限lim n →∞
（1+1/n ）n = e
设A n =（1+1/n ）n ，利用算术和几何不等式关系，得：
A n =（1+1/n ）（1+1/n ）……（1+1/n ）･1≦[（n （1+1/n ）+1）/（n+1）] n+1
即数列{A n }单增。

另外，设Ｂn ＝n/（n+1） ，利用算术和几何不等式关系，得：
Ｂn ＝1- 1/（n+1）>1- 1/n=[（2･(1/2)+（n-2））/n ]≥[（1/2）2･1n-2
]=（1/4）1/n
则 4≥ [（n+1）/ n ]= （1+1/n ）n 即数列{A n }有上界。

于是，极限Ⅱ存在，并记为数e 。

例1求下面函数极限：
x x x tan lim
0→，20cos 1lim
x x
x -→，x x x arcsin lim 0→
例2 证明x x x )11(lim +∞
→有界，并求x
x x )11(lim -∞→的极限。

作业：见课后各章节练习。

第六节：无穷小的比较
教学目的与要求：理解无穷小的比较概念。

教学重点（难点）：熟练应用等价无穷小求极限。

定义 若βα,为无穷小，且
1
lim 0
lim 0
lim lim 0lim
=≠=≠=∞
==αβαβ
αβ
αβαβ
c c K
则α与β的关系，依次是高阶、低阶、同阶、k 阶、等价（α～β） 1）若βα,为等价无穷小，则)(ααβ +=。

2）若α～1
α、β～1
β且
1
1
lim
αβ存在，则：
1
1
lim lim αβαβ
=
例1 证明下面各无穷小量之间的关系：
x （x 0→+） tanx-sinx 与sinx （x 0→）。

例2 求下面函数极限：
x x x 5sin 2tan lim 0→，x x x x 3sin lim 30+→， 1cos 1)1(lim 3120--+→x x x 。

作业：见课后各章节练习。

第七节：函数的连续性与间断点
教学目的与要求：利用定义判断连续或间断点。

教学重点（难点）：判断函数连续。

一、函数在一点的连续性
函数f 在点0x 连续，当且仅当该点的函数值)(0x f 、左极限)0(0-x f 与右极限)0(0+x f 三者相等：
)0()()0(000+==-x f x f x f
或者：当且仅当函数f 在点0x 有极限且此极限等于该点的函数值。

)()(lim 00x f x f x x =→
其形式定义如下：
εδδε<-<-∀∃<∀)()()(000x f x f x x x
函数在区间（a,b ）连续指：区间中每一点都连续，函数在区间［a,b ］连续时包括端点。

注：1）左右连续，在区间上连续(注意端点)；
2）连续函数的图像是一条连续且不间断的曲线。

二、间断点
若：)0()()0(000+==-x f x f x f 中有某一个等式不成立，就间断，分为：
1、第一类间断点
)0()0(00-≠+x f x f
即函数在点的左右极限皆存在但不相等，曲线段上出现一个跳跃。

2、第二类间断点0x
左极限)0(0-x f 与右极限)0(0+x f 两者之中至少有一个不存在。

例1 讨论函数在x=0处的连续性：
,0,()1,0.
x x f x x ⎧≠=⎨=⎩ 例2 求下面函数的间断点，判断其类型：
1(1),x y x =+1
cos x y x = 。

作业：见课后各章节练习。

第八节：连续函数的运算与初等函数的连续性
教学目的与要求：理解连续函数的性质和初等函数的连续性，并会利用函数的连续性求函数极限。

教学重点（难点）：函数连续性判定。

一、连续函数的四则运算
1） )
()(lim 00x f x f x x =→且)()(lim 00x g x g x x =→， ⇒{})
()()()(lim 000x g x f x g x f x x ⋅+⋅=⋅+⋅→βαβα 2） )
()(lim 00x f x f x x =→且)()(lim 00x g x g x x =→， ⇒{})
()()()(lim 000x g x f x g x f x x *=*→ 3） )()(lim 00x f x f x x =→且0)()(lim 00≠=→x g x g x x ， ⇒)()()()(lim 000x g x f x g x f x x =→
二、反函数连续定理 如果函数
f D x x f y f ∈=)(:是严格单调增加（减少）且连续的，则存在它的反函数1-f ：f D y y f x ∈=-)(1也是严格单调增加（减少）并且连续。

注：1）反函数的定义域就是原来的值域。

2）通常惯用X 表示自变量，Y 表示因变量。

反函数也可表成
1)(1-∈=-f D x x f y
三、复合函数的连续性定理：
设函数f 和g 满足复合条件g ℜf D ⊂，若函数g 在点x 0连续；00)(u x g =，又若f 函数
在点0u 连续，则复合函数g f 在点0x 连续。

注：复合函数的连续性可以保证极限号与函数符号的交换：
))(lim ())((lim 00x g f x g f x x x x →→=
从这些基本初等函数出,通过若干次四则运算以及复合，得到的种种函数统称为初等函数，并且初等函数在其定义区间内连续。

例1 求下面函数的连续区间：
lnsin y x =，
y =。

例2 求下面函数极限：
2x a x a π→ 2x a x a π→ 。

作业：见课后各章节练习。

第九节：闭区间上连续函数的性质
教学目的与要求：了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。

教学重点（难点）：利用性质解决问题。

一、最大、最小值
设函数：D x x f y ∈=,)(在上有界，现在问在值域
{}D x x f y y D ∈==),(1
中是否有一个最大的实数？如果存在，譬如说它是某个点D x ∈0的函数值)(00x f y =，则记{})(max 0x f y D x ∈=叫做函数在D 上的最大值。

类似地，如果f D 中有一个最小实数，譬如说它是某个点f D x ∈2的函数值)(22x f y =，则记{})(min 2x f y f D x ∈=称为函数在上的最小值。

二、有界性
有界性定理 如果函数f 在闭区间[]b a ,上连续，则它在[]b a ,上有界。

三、零点、介值定理
最大值和最小值定理 如果函数f 在闭区间[]b a ,上连续则它在[]b a ,上有最大值和最小值，也就是说存在两个点ς和η，使得
[]b a x f x f f ,,)()()(∈≤≤ης。

亦即
[]{})(min )(,x f f b a x ∈=ς[]{})(max )(,x f f b a x ∈=η
若x 0使0)(0=x f ，则称x 0为函数的零点。

四、零点定理
零点定理 如果函数f 在闭区间[]b a ,上连续，且f 在区间[]b a ,的两个端点异号：0)(*)(<b f a f 则至少有一个零点),(b a ∈ξ，使0)(=ξf 。

五、中值定理
中值定理如果函数f 在闭区间[]b a ,上连续，则f 在[]b a ,上能取到它的最大值和最小值之间的任何一个中间值。

例1 证明方程x=asinx+b （a 、b >0）至少有一个正根，并且它不超过a=b 。

例2（20XX 年全国高考题） 已知函数[]2472(),0,1x x f x x --=
∈。

1）求()f x 的单调区间和值域；
2）设a ≥1，函数[]32()32,0,1g x x a x a x =--∈，若对于任意[]10,1x ∈使得01()()g x f x =成立，求a 的取值范围。

作业：见课后各章节练习。