高等数学教案

《高等数学》教案

第一章：函数与极限（18课时）

第一节：映射与函数

教学目的与要求：理解函数的概念，掌握函数的初等函数的性质及其图形，并会建立简单应用问题中的函数关系式。

教学重点（难点）：理解复合函数及分段函数，反函数及隐函数的概念，基本初等函数的性质及其图形。

一、集合 1、集合概念

具有某种特定性质的事物的总体叫做集合。组成这个集合的事物称为该集合的元素。 表示方法：用A ，B ，C ，D 表示集合；用a ，b ，c ，d 表示集合中的元素。

1)},,,{321 a a a A = 2)

}{P x x A 的性质=

元素与集合的关系：A a ∉，A a ∈

一个集合，若它只含有有限个元素，则称为有限集；不是有限集的集合称为无限集。 常见的数集：N ，Z ，Q ，R ，N +

元素与集合的关系：A 、B 是两个集合，如果集合A 的元素都是集合B 的元素，则称A 是B 的子集，记作B A ⊂。

如果集合A 与集合B 互为子集，则称A 与B 相等，记作B A = 若作B A ⊂且B A ≠则称A 是B 的真子集。 全集I ：A i ⊂I （I=1，2，3，……..）。 空集φ：A ⊂φ。 2、集合的运算

并集B A ⋃：}A x |{x B A B x ∈∈=⋃或 交集B A ⋂：}A x |{x B A B x ∈∈=⋂且 差集B A \：

}|{\B x A x x B A ∉∈=且

补集（余集）C

A ：I ＼A

集合的并、交、余运算满足下列法则：

交换律：A B B A ⋃=⋃A B B A ⋂=⋂

结合律：)()(C B A C B A ⋃⋃=⋃⋃，)()(C B A C B A ⋂⋂=⋂⋂

分配律：)()()(C B C A C B A ⋂⋃⋂=⋂⋃，)()()(C B C A C B A ⋃⋂⋃=⋃⋂

对偶律： (c c c B A B A =⋃)c

c c B A B A ⋃=⋂)(

笛卡儿积： A ×B }|),{(B y A x y x ∈∈=且 3、区间和邻域

1）有限区间：开区间),(b a ，闭区间[]b a ,，半开半闭区间]

()[b a b a ,,。

2）无限区间：（,a -∞），(],a -∞，[),a +∞，(),a +∞，(),-∞+∞。 3）邻域：

}{),(δδδ+-=a x a x a U

注：a 邻域的中心，δ邻域的半径；去心邻域记为),(δa U

。 二、映射 映射概念

定义设X ，Y 是两个非空集合，如果存在一个法则f ，使得对X 中的每一个元素x ，按法则f ，在Y 中有唯一确定的元素y 与之对应，则称f 为从X 到Y 的映射，记作

Y X f →：

其中y 称为元素x 的像，并记作)(x f ，即)(x f y =。 注意：每个X 有唯一的像；每个Y 的原像不唯一。

三、函数 1、函数的概念

定义 设数集R D ⊂，则称映射R D f →:为定义在D 上的函数，记为

D x x f y ∈=,)(。

注：函数相等：定义域、对应法则相等。 2、函数的几种特性

1）函数的有界性（上界、下界；有界、无界），有界的充要条件：既有上界又有下界。 2）函数的单调性（单增、单减），在x 1、x 2点比较函数值)(1x f 与)(2x f 的大小（注：与区间有关）。

3）函数的奇偶性(定义域对称、)(x f 与)(x f -关系决定)，图形特点 (关于原点、Y 轴对称)。

4)函数的周期性(定义域中成立：)()(x f l x f =+)

3、 函数与复合函数

1）反函数：函数)(:D f D f →是单射，则有逆映射x y f =-)(1

，称此映射1

-f

为f

函数的反函数。

函数与反函数的图像关x y =于对称。

2）复合函数：函数)(y g u =定义域为D 1，函数)(x f y =在D 上有定义、且1)(D D f ⊂。则)())((x f g x f g u ==为复合函数。

3）分段函数：分段函数的统一表达式。 结论：对于分段函数

f （x ）=12()

()()

()

f x x a f x x a ≥⎧⎨

⎩

若初等数函f 1（x ）和f 2（x ）满足f 1（a ）=f 2（a ），则 f （x ）= f 1[

12（

]+ f 1[1

2

（

]- f 1（a ） 4、初等函数 1）幂函数：a

x y =

2)指数函数：x

a y =

3)对数函数：)(log x y a = 4)三角函数：

)cot(),tan(),cos(),sin(x y x y x y x y ====

5)反三角函数：

)arcsin(x y =，)arccos(x y =

)cot()

arctan(x arc y x y ==

以上五种函数为基本初等函数。

6）双曲函数：2x

x e e shx --=

，2x x e e chx -+=，

x x x x e e e e chx shx thx --+-== 注：双曲函数的单调性、奇偶性。 双曲函数公式：

shy shx chy chx y x ch shy shx chy chx y x ch shy chx chy shx y x sh shy

chx chy shx y x sh ⋅-⋅=-⋅+⋅=+⋅-⋅=-⋅+⋅=+)()()()(

7）反双曲函数：