高等数学教案

《高等数学》教案第一章：函数与极限（18课时）第一节：映射与函数教学目的与要求：理解函数的概念，掌握函数的初等函数的性质及其图形，并会建立简单应用问题中的函数关系式。

教学重点（难点）：理解复合函数及分段函数，反函数及隐函数的概念，基本初等函数的性质及其图形。

一、集合 1、集合概念具有某种特定性质的事物的总体叫做集合。

组成这个集合的事物称为该集合的元素。

表示方法：用A ，B ，C ，D 表示集合；用a ，b ，c ，d 表示集合中的元素。

1)},,,{321 a a a A = 2)}{P x x A 的性质=元素与集合的关系：A a ∉，A a ∈一个集合，若它只含有有限个元素，则称为有限集；不是有限集的集合称为无限集。

常见的数集：N ，Z ，Q ，R ，N +元素与集合的关系：A 、B 是两个集合，如果集合A 的元素都是集合B 的元素，则称A 是B 的子集，记作B A ⊂。

如果集合A 与集合B 互为子集，则称A 与B 相等，记作B A = 若作B A ⊂且B A ≠则称A 是B 的真子集。

全集I ：A i ⊂I （I=1，2，3，……..）。

空集φ：A ⊂φ。

2、集合的运算并集B A ⋃：}A x |{x B A B x ∈∈=⋃或 交集B A ⋂：}A x |{x B A B x ∈∈=⋂且 差集B A \：}|{\B x A x x B A ∉∈=且补集（余集）CA ：I ＼A集合的并、交、余运算满足下列法则：交换律：A B B A ⋃=⋃A B B A ⋂=⋂结合律：)()(C B A C B A ⋃⋃=⋃⋃，)()(C B A C B A ⋂⋂=⋂⋂分配律：)()()(C B C A C B A ⋂⋃⋂=⋂⋃，)()()(C B C A C B A ⋃⋂⋃=⋃⋂对偶律： (c c c B A B A =⋃)cc c B A B A ⋃=⋂)(笛卡儿积： A ×B }|),{(B y A x y x ∈∈=且 3、区间和邻域1）有限区间：开区间),(b a ，闭区间[]b a ,，半开半闭区间]()[b a b a ,,。

2）无限区间：（,a -∞），(],a -∞，[),a +∞，(),a +∞，(),-∞+∞。

3）邻域：}{),(δδδ+-=a x a x a U注：a 邻域的中心，δ邻域的半径；去心邻域记为),(δa U。

二、映射 映射概念定义设X ，Y 是两个非空集合，如果存在一个法则f ，使得对X 中的每一个元素x ，按法则f ，在Y 中有唯一确定的元素y 与之对应，则称f 为从X 到Y 的映射，记作Y X f →：其中y 称为元素x 的像，并记作)(x f ，即)(x f y =。

注意：每个X 有唯一的像；每个Y 的原像不唯一。

三、函数 1、函数的概念定义 设数集R D ⊂，则称映射R D f →:为定义在D 上的函数，记为D x x f y ∈=,)(。

注：函数相等：定义域、对应法则相等。

2、函数的几种特性1）函数的有界性（上界、下界；有界、无界），有界的充要条件：既有上界又有下界。

2）函数的单调性（单增、单减），在x 1、x 2点比较函数值)(1x f 与)(2x f 的大小（注：与区间有关）。

3）函数的奇偶性(定义域对称、)(x f 与)(x f -关系决定)，图形特点 (关于原点、Y 轴对称)。

4)函数的周期性(定义域中成立：)()(x f l x f =+)3、 函数与复合函数1）反函数：函数)(:D f D f →是单射，则有逆映射x y f =-)(1，称此映射1-f为f函数的反函数。

函数与反函数的图像关x y =于对称。

2）复合函数：函数)(y g u =定义域为D 1，函数)(x f y =在D 上有定义、且1)(D D f ⊂。

则)())((x f g x f g u ==为复合函数。

3）分段函数：分段函数的统一表达式。

结论：对于分段函数f （x ）=12()()()()f x x a f x x a ≥⎧⎨⎩若初等数函f 1（x ）和f 2（x ）满足f 1（a ）=f 2（a ），则 f （x ）= f 1[12（]+ f 1[12（]- f 1（a ） 4、初等函数 1）幂函数：ax y =2)指数函数：xa y =3)对数函数：)(log x y a = 4)三角函数：)cot(),tan(),cos(),sin(x y x y x y x y ====5)反三角函数：)arcsin(x y =，)arccos(x y =)cot()arctan(x arc y x y ==以上五种函数为基本初等函数。

6）双曲函数：2xx e e shx --=，2x x e e chx -+=，x x x x e e e e chx shx thx --+-== 注：双曲函数的单调性、奇偶性。

双曲函数公式：shy shx chy chx y x ch shy shx chy chx y x ch shy chx chy shx y x sh shychx chy shx y x sh ⋅-⋅=-⋅+⋅=+⋅-⋅=-⋅+⋅=+)()()()(7）反双曲函数：arthx y archx y arshx y ===例1 已知分段函数22,10,()1,0,2,0 1.x x f x x x x -≤<⎧⎪==⎨⎪+<≤⎩1）求其定义域并作图；2）求函数值1122(),(0),().f f f -例2 求由所给函数复合的函数，并求各复合函数的定义域：y=10u ，u=1+x 2, y=arctanu 2, u=tanv, v=a 2+x 2. 例3 求函数的反函数及反函数的定义域：y=x 2,（0≤x 〈+∞）， 221,01,2(2),1 2.x x y x x -<≤⎧=⎨--<≤⎩作业：见课后各章节练习。

第二节：数列的极限教学目的与要求：理解极限的概念，性质。

教学重点（难点）：极限的概念的理解及应用。

一、数列数列就是由数组成的序列。

1）这个序列中的每个数都编了号。

2）序列中有无限多个成员。

一般写成： na a a a a 4321缩写为{}n u例1 数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n 1是这样一个数列{}n x ，其中n x n 1=， 5,4,3,2,1=n也可写为：514131211可发现：这个数列有个趋势，数值越来越小，无限接近0，记为01lim=∞→n n 。

1、 限的N -ε定义εε a x Nn N n -∀∃∀0，则称数列{}n x 的极限为a ，记成ax n n =∞→lim也可等价表述： 1）ερε<>∀∃>∀)(0a x Nn N n2）)(0εεaO x Nn N n ∈>∀∃>∀。

极限是数列中数的变化总趋势，因此与数列中某个、前几个的值没有关系。

二、收敛数列的性质定理1 如果数列{}n x 收敛，那么它的极限是唯一。

定理2 如果数列{}n x 收敛，那么数列{}n x 一定有界。

定理 3 如果ax n x =∞→lim 且a>0(a<0)那么存在正整数N>0，当n>N 时，)0(0<>n n x x 。

例2 证明数列{}1n n +的极限是1。

例3 作出数列{}1(1)n n n-+-图形，讨论其极限值。

作业：见课后各章节练习。

第三节：函数的极限教学目的与要求：理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系。

教学重点（难点）：理解函数左极限与右极限，极限性质。

一、极限的定义 1、在0x 点的极限 1）0x 可在函数的定义域内，也可不在，不涉及f 在0x 有没有定义，以及函数值)(0x f 的大小。

只要满足：存在某个0>ρ使：D x x x x ⊂+⋃-),(),(0000ρρ。

2）如果自变量x 趋于0x 时，相应的函数值)(x f 有一个总趋势——以某个实数A 为极限，则记为：Ax f x x =→)(lim 0。

形式定义为：εδδε<-<-<∀⋅∃⋅>∀A x f x x x )()0(002、∞→x 的极限 设),()(+∞-∞∈=x x f y ，如果当时函数值)(x f 有一个总趋势--该曲线有一条水平渐近线A y =--则称函数在无限远点∞有极限。

记为：Ax f x =∞→)(lim 。

在无穷远点∞的左右极限：)(lim )(x f f x +∞→=+∞，)(lim )(x f f x -∞→=-∞关系为：)(lim )(lim )(lim x f A x f A x f x x x -∞→+∞→∞→==⇔=二、函数极限的性质 1、极限的唯一性 2、函数极限的局部有界性 3、限的局部保号性4、函数极限与数列极限的关系 例1 讨论函数x xy =在x 0→的极限。

例2 求下面函数极限：limn →∞221n n+， 331111lim()x x x ++→-- 。

作业：见课后各章节练习。

第四节：无穷小与无穷大教学目的与要求：掌握无穷小与无穷大概念。

教学重点（难点）：理解无穷小与无穷大的关系。

一、无穷小定义定义 对一个数列{}n x ，如果成立如下的命题：εε<⋅>∀⋅∃⋅>∀n x N n N 0则称它为无穷小量，即0lim =∞→n x x注：1）ε∃∀的意义；2）ε<n x 可写成ε<-0n x ；ερ<),0(n x ；3）上述命题可翻译成：对于任意小的正数ε，存在一个号码N ，使在这个号码以后的所有的号码n ，相应的n x 与极限0的距离比这个给定的ε还小。

它是我们在直观上对于一个数列趋于0的认识。

定理1 在自变量的同一变化过程0x x →（或)∞→x 中，函数()x f 具有极限A 的充分必要条件是α+=A x f )(，其中α是无穷小。

二、无穷大定义一个数列{}n x ，如果成立：G x N n N G n >⋅>∀⋅∃⋅>∀0那么称它为无穷大量。

记成：∞=∞→n x x lim 。

特别地，如果G x N n N G n >⋅>∀⋅∃⋅>∀0，则称为正无穷大，记成+∞=∞→n x x lim 。

特别地，如果G x N n N G n -<⋅>∀⋅∃⋅>∀0，则称为负无穷大，记成-∞=∞→n x x lim 。

注：无法区分正负无穷大时就笼统地称之为无穷大量。

三、无穷小和无穷大的关系定理2 在自变量的同一变化过程中，如果)(x f 为无穷大，则)(1x f 为无穷小；反之，如果)(x f 为无穷小，且0)(≠x f 则)(1x f 为无穷大。