Jordan标准形与矩阵分解
矩阵理论(第三章矩阵的标准型)
100
2100 2 2101 2 0 100 101 2 1 2 1 0 2100 1 2101 2 1
第一节
矩阵的相似对角形
一、矩阵的特征值与特征向量 1、相似矩阵：设V是n维线性空间，T是线性变换， e1, e2,…,en与e'1,e'2,…,e' 是两组基，过渡矩阵 P，则T在这两组基下的矩阵A与B相似，
i
1
i Js
这些约当块构成的分块对角阵J，称为A的约当标准形。
J2
例5 Jordan标准形。
例5的初级因子为 ( 1),( 1),( 2) Jordan标准形为
1 J 1 2
2、k级行列式因子：特征矩阵A(λ)中所有非零的k 级子式的首项（最高次项）系数为1 的最大公因 式Dk(λ)称为 A(λ)的k级行列式因子。
A( ) E A
例5 求矩阵的特征矩阵的行列式因子 解：特征矩阵为
1 1 E A 2
若A能与对角形矩阵相似，对角阵是由特征值构 成的P是由对应特征值的特征向量构成的。
例3
解：
4 6 0 A 3 5 0 3 6 1
100 A ，计算：
4 A E 3 3
6
0
5 0 (1 )2 ( 2) 0 6 1
3级因子，因为
0 0 0 2 1 1 2 3 3 0
1
3
0 0 0, 2 0
2 2(( 1)3 ,( 1)2 ( 2), 2 2 7,0,...) 1
4级因子
矩阵与矩阵的标准形
λ ( λ + 1) λ λ ≃ 2 ( λ + 1) λ ( λ + 1) ≃ λ λ − λ ( λ + 2) 1
λ ( λ + 1) 3 2 ≃ λ + 2λ + λ 0 2 − λ − 2λ 1 λ ( λ + 1) 2 ≃ λ (λ + 1) 1 1 λ ( λ + 1) ≃ 2 λ (λ + 1)
将其化为Smith标准形。 解：
0 0 −1 λ − a λ − a 0 −1 0 A( λ ) ≃ 0 λ − a −1 0 0 0 λ − a 0
−1 λ − a 0 (λ − a )2 ≃ 0 0 0 0 0 1 0 (λ − a )2 ≃ 0 0 0 0
1 0 ≃ 0 0
1 0 0 0 1 0 4 0 0 (λ − a ) 0 0 0
λ 矩阵标准形的唯一性
定 义：A( λ ) 为一个 λ 矩阵且 rank ( A( λ )) = r 对 于任意的正整数 k ，1 ≤ k ≤ r ， ( λ ) 必有非零的 k A 阶子式， 阶子式，A( λ ) 的全部 k 阶子式的最大公因式 Dk ( λ ) 行列式因子。 称为 A( λ ) 的 k 阶行列式因子。
2
2 1 0 λ2 + λ − 4 ≃ λ −2 λ −1 2 2 4λ + 3λ − 7 3λ − 3 λ + 3λ − 4 2 0 1 2 λ −2 ≃ λ +λ −4 λ −1 2 2 3λ − 3 4λ + 3λ − 7 λ + 3λ − 4
线性代数中的Jordan标准型与Jordan分解
线性代数中的Jordan标准型与Jordan分解在线性代数中，Jordan标准型（Jordan Canonical Form）和Jordan 分解（Jordan Decomposition）是两个重要的概念。
它们广泛应用于矩阵理论、线性变换及微分方程等领域。
本文将详细介绍Jordan标准型和Jordan分解，并探讨它们在实际应用中的价值。
1. Jordan标准型Jordan标准型是指一个线性变换或矩阵的标准形式。
对于一个n阶方阵A，如果存在可逆方阵P，使得P逆AP的形式为Jordan标准型，那么A就具有Jordan标准型。
Jordan标准型的特点是，它的主对角线由Jordan块组成，每个Jordan块对应一个特征根，而Jordan块的结构由其几何重数和代数重数决定。
1.1 Jordan标准型的计算方法要计算一个矩阵的Jordan标准型，可以按照以下步骤进行：（1）求出矩阵A的特征多项式；（2）求出A的特征值，即特征多项式的根；（3）对于每个特征值，求出其对应的特征向量；（4）根据特征向量构造Jordan块，并将它们排列在一起形成Jordan矩阵；（5）得到Jordan标准型。
1.2 Jordan标准型的应用Jordan标准型在线性代数的研究中具有重要意义。
它可以用来分析矩阵的性质，如可对角化条件、矩阵的相似性等。
此外，Jordan标准型还可以用来解决微分方程的问题，在微分方程的理论和应用中有广泛的应用。
2. Jordan分解Jordan分解是将一个矩阵分解成若干个Jordan块之和的形式。
对于一个n阶方阵A，如果可以将其分解成 A=S+D，其中S是具有零特征值的Jordan矩阵，D是具有非零特征值的对角矩阵，那么A就具有Jordan分解。
2.1 Jordan分解的计算方法要计算一个矩阵的Jordan分解，可以按照以下步骤进行：（1）求出矩阵A的特征多项式；（2）求出特征值和对应的特征向量；（3）根据特征向量构造Jordan块，并将具有非零特征值的Jordan 块排列在一起形成S；（4）构造对角矩阵D，将每个特征值放在对角线上。
矩阵的 Jordan 标准形及其应用
矩阵的 Jordan 标准形及其应用冯福存【摘要】Jordan 标准形作为一类特殊矩阵，其理论在数学、力学和计算方法中有着非常广泛的应用。
介绍了Jordan 标准形的基本性质及化 Jordan 标准形的若干基本方法，最后介绍了 Jordan 标准形在矩阵计算和求解线性微分方程组等方面的应用。
%As a kind of special matrix,Jordan canonical form has been widely applied in mathematics,me-chanics and calculation method. This paper introduces the basic properties of Jordan canonical form and some bas-ic methods of Jordan canonical form. This paper also discusses the application of Jordan canonical form in the ma-trix calculation and linear differential equations.【期刊名称】《绵阳师范学院学报》【年(卷),期】2016(035)005【总页数】5页(P11-15)【关键词】Jordan 标准形;计算方法;应用【作者】冯福存【作者单位】宁夏师范学院数学与计算机科学学院，宁夏固原 756000【正文语种】中文【中图分类】O151.21矩阵的标准形理论是矩阵理论中的主要研究内容．化矩阵为标准形的理论与方法已经成为现代各科技领域处理大量有限维空间形式和数量关系的有力工具，同时也是现代数学其他学科[1-3]必不可少的基础知识.矩阵的标准形不仅具有结构简单、易于计算等优点，而且还包含了该矩阵的几乎所有的信息，比如秩、特征值、线性无关的特征向量的个数及特征子空间的维数等．然而，在常用的高等代数的教材中，仅涉及矩阵相似对角化的相关理论，而对于不能进行相似对角化的矩阵，如何寻找一个可逆矩阵将其化为Jordan标准形，或如何快速准确的计算出其Jordan标准形却很少给予的系统讨论，作者在长期的教学实践中，参阅相关文献[4-7]，得到和总结了关于Jordan标准形的系列性质，并对计算Jordan标准形常用的易于大家掌握的四种方法进行整理、总结和对比，以期对读者有所帮助．定义形如的矩阵称为ri阶Jordan块，由若干个Jordan块构成的矩阵称为Jordan矩阵．如果ri=1，称Ji为一阶Jordan块，由一阶Jordan块构成的Jordan矩阵为对角阵，对角阵是特殊的Jordan矩阵．关于Jordan矩阵有如下结论：性质1[4] 设A∈Cn×n，则A与一个Jordan矩阵相似，即存在，使得P-1AP=J．性质2[5] A∈Cn×n，A的Jordan标准形J除去Jordan块的排列外是被矩阵A 唯一确定的．性质3[8] A∈Cn×n，A的Jordan标准形J主对角线上的元素正是A的特征多项式的全部根，即A的全部特征值(重根按重数算)．性质4[5] 设A∈Cn×n，则与一个对角阵相似的充分必要条件是A的Jordan标准形J全由1级Jordan块构成．性质5[4] 设A是复数域上n维线性空间V的线性变换，在V中必定存在一组基，使得A在这组基下的矩阵是Jordan形．一般的，求解矩阵Jordan标准形的方法有以下四种：2.1 特征向量法设A∈Cn×n，如果λi是A的单特征值，则对应一阶块Ji=(λi)，如果λi是A的ri(ri>1)重特征值，则对应λi有几个线性无关的特征向量，就有几个以λi为对角元素的Jordan块，这些块的阶数之和为ri，由A的所有特征值对应的Jordan块构成的矩阵即为A的Jordan标准形，这就是特征向量法．这种方法计算比较简单，且在计算相似变换矩阵时，可直接利用已求得的特征向量，但这种方法的缺点是当矩阵的某一特征值重数较高时，对应若当块的阶数可能无法确定．比如一个4阶矩阵，只有一个特征值，而特征值所对应的特征向量有两个，这是我们无法判断Jordan块是一个1阶和一个3阶，还是2个2阶的，需要借助其他方法判定．2.2 初等变换法设A∈Cn×n，λI-A为矩阵A的特征矩阵，这是一个λ-矩阵，对该矩阵施行初等行(列)变换将λI-A化为标准形，通过标准形可求得A的不变因子和初等因子，从而可求得矩阵A的Jordan标准形．具体步骤如下：第一步：用初等变换化特征矩阵λI-A为Smith标准形，求出A的不变因子d1(λ),d2(λ),…,dn(λ)；第二步：将A的每个次数大于零的不变因子di(λ)分解为互不相同的一次因式方幂的乘积，这些一次因式的方幂称为A的初等因子，设A的全部初等因子为其中λ1,λ2,…，λs可能有相同的，且r1+r2+…rs=n；第三步：写出每个初等因子(λ-λi)ri(i=1,2,…,s)对应的Jordan块Ji,以这些Jordan 块构成的矩阵J即为A的Jordan标准形．2.3 行列式因子法设A∈Cn×n，λI-A为矩阵A的特征矩阵，我们可以先求出λI-A的各阶行列式因子Dk(λ)(k=1,2,…,n)，再利用式求出A的不变因子di(λ)(i=1,2,…,n)，继而求出初等因子和Jordan标准形．2.4 波尔曼法设A∈Cn×n，具体步骤如下：(1) 求出a的所有特征值λi(i=1,2,…,n)(重根按重数算)；(2) 对每个不同的特征值λi和每个j(j=1,2,…,n)，求矩阵(λiI-A)j的秩，记为rj(λi)=r(λiI-A)j，在计算秩时，若对某一个j0，使rj0(λi)=rj0+1(λi)，则对所有的j≥j0，都有rj(λi)=rj0(λi)；(3) 对每个λi(i=1,2,…,n)求关于λ=λi的Jordan块的阶数j和个数bj(λi)；b1(λi)=n-2r1(λi)+r2(λi),bj(λi)=rj+1(λi)-2rj(λi)+rj-1(λi).j≥2(4) 写出与A相似的Jordan标准形，它由A的所有特征值λi的bj(λi)个关于λ=λi 的j阶Jordan块的直和构成．这四种求矩阵Jordan标准形方法中特征向量法和波尔曼法都用到了特征值，特征向量法适合于低阶矩阵，计算简单快速，波尔曼法因为其计算方法的机械性适用于任意阶矩阵，尤其适合高阶矩阵，对于低阶矩阵如果特征向量法无法解决时，我们可用波尔曼法求解，可见下文例1.初等变换法和行列式因子法方法相似，他们都是利用λ-矩阵的相关理论解决问题．在线性空间中，如果基确定的情况下，线性变换与矩阵是一一对应的，要确定一个线性变换，我们只需要确定变换所对应的矩阵即可．若矩阵A的Jordan标准形为J(形如(2)式，Ji形如(1)式)，不妨设所作的相似变换的矩阵为P=(P1P2…Pn)，则P-1AP=J，即AP=PJ，等价于方程组通过解n个线性方程组求解矩阵P．4.1 计算Ak在n维线性空间V中，任意一个矩阵A与一个Jordan矩阵相似，即存在可逆矩阵P，使得P-1AP=J，则A=PJP-1， Ak=PJkP-1首先于是(3)式中当m≥ri为零矩阵，即(3)式中当k≥ri时可以甩掉一些项，从而简化计算，再利用P-1及的上述形式，可以把一般的矩阵的问题化为Jordan形来讨论，使得问题简化．4.2 求解常系数线性微分方程组关于常系数线性微分方程组的求解和解的理论可参看[9],读者会发现比较繁杂，要求掌握矩阵函数和矩阵的微分和积分的知识才能看懂和进行相关的计算．本文给出一种较简单直观的方法来求解线性齐次微分方程组．对于常系数线性微分方程组(t)，其中x(t)=(x1(t)=(x1(t),x2(t),…xn(t))T，i=1,2,…,n，A为n阶数字方阵，对微分方程组施行一个非奇异线性变换x(t)=Py(t)，于是得例1 求下列矩阵的Jordan标准形．解计算得|λI-A|=(λ-1)4，r(λI-A)=2,可知对应特征值1的特征向量有2个，可知矩阵A的Jordan标准形由2个Jordan块构成，但我们无法判断Jordan块是一个1阶和一个3阶，还是2个2阶的，故用特征向量法无法算出A的Jordan标准形.但我们可以用波尔曼法计算，算法如下：r1(1)=2, r2(1)=1, rk(1)=0,k≥3,b1(1)=4-2·r1(1)+r2(1)=1,b2(1)=r3(1)-2·r2(1)+r1(1)=0,b3(1)=r4(1)-2·r3(1)+r2(1)=1,即1阶和3阶Jordan块各一个，故所求矩阵的Jordan标准型为．例2 解下列线性微分方程组解把微分方程组改写成矩阵形式=Ax其中对微分方程组实行一个非奇异线性变换 X=PY其中于是得故.一般解为β1=c1e2t,β2=c2et+c3tet,β3=c3et.再由x=py求得原微分方程组的一般解t1,t2,t3是任意常数．关于矩阵A的Jordan标准形的其它应用如解线性递推关系式、矩阵分解理论、行列式的计算及相关代数命题的证明等方面的应用可参阅文献[10-12]．【相关文献】[1] 张志旭．矩阵标准形的思想及应用[J]．佳木斯大学学报，2006(04):592-593.[2] 徐仲,张凯院,陆全,等.矩阵论简明教程[M].北京:科学出版社,2005．[3] 张跃辉．矩阵理论与应用[M].北京：科学出版社，2011,08．[4] 高芳征，常瑾瑾．矩阵若而当形的标注，安阳师范学院学报，2010,5(8):12-15.[5] 北京大学数学系代数与几何教研室前代数小组．高等代数(第三版)[M]．北京：高等教育出版社,2005．[6] Roger A.Hom charles R.Johnson.Matrix Analysis.Cambridge.University press.2005.[7] 魏洪增．矩阵理论与方法[M]．北京：电子工业出版社，2005．[8] 赵云平．矩阵Jordan标准形在矩阵分析中的作用探讨[J]．临沧师范高等专科学校学报，2015,24(1):119-124．[9] 王高雄，周之铭等编．常微分方程[M]．北京：高等教育出版社，2006，07．[10] 林大华，戴立辉，吴霖芳,等．高等代数课程中矩阵方法的应用[J]．牡丹江教育学院学报，2010(5):112-113．[11] Bellman Richard.Introduction to matrix analysis.Society for IndustrialMathematics,1987.[12] 周杰．矩阵分析及应用[M]．成都：四川大学出版社，2008．。
高等代数第十九讲
由 Jordan块构成的准对角阵称为 JV中存在 一组基, 使σ 在此基下的矩阵为Jordan标准形.
推论:任意复方阵都相似于Jordan标准形
18
定理22：设 A = diag ( A1 , A2 , L , As ), 则A的极小 多项式是 Ai的极小多项式的最小公 倍式. m A ( x ) = [ m A1 ( x ), m A2 ( x ), L , m As ( x ), ]
ni
§6-2 幂零变换与循环变换
定义15：设σ是Vn ( F )上的线性变换，若存在 自然数 m, 使得 σ = 0 而 σ ≠ 0，则称 σ 为 幂零变换， m称为σ的幂零次数.
m m −1
由 σ = 0 → λ = 0 ∴ σ 的特征值全为 0 .
m m
∴ 非零的幂零变换不可对 角化 . − −如 P177 26
Vn (C )可以分解成 σ的根子空间 U λi 的直和.
i
则 σ = (σ − λi ε ) + λi ε , ∴ 在 U λi 上, σ 是幂零变换与数乘变换 的和.
Vλi
对幂零变换σ − λiε
,
U λi 可分解成循环子空间的直和.
σ − λ i ε 循环子空间 是循环变换，在每个循 环子空间 0 1 上选定一组循环基， OO 则循环变换所对应的 . N = O 1 16 矩阵是 0
0
自上而下，由左到右的 顺序重排为一组基， 则 σ的方阵表示为 diag ( N 1 , N 2 , L , N P0 ). 其中
0 1 O O , Ni = O 1 0
N i 的阶数 = dim Ti .
15
§6-4 Jordan标准形
Jordan标准形与Jordan分解
Jordan标准形与Jordan分解Jordan标准形和Jordan分解是线性代数中非常重要的概念，在矩阵理论和线性变换研究中有着广泛的应用。
本文将介绍Jordan标准形以及Jordan分解的定义、性质、计算方法和应用。
1. Jordan标准形Jordan标准形是一个矩阵的特征值表达形式，它是一个对角矩阵，每个对角块都是由相同的特征值组成。
对于一个n阶矩阵A，如果它的特征多项式可以分解为f(x)=(x-λ₁)^(k₁)(x-λ₂)^(k₂)...(x-λₙ)^(kₙ)其中λ₁,λ₂,...,λₙ是A的特征值，k₁,k₂,...,kₙ是它们的代数重数，则存在一个可逆矩阵P，使得P⁻¹AP=J其中J是Jordan标准形矩阵。
Jordan标准形的计算方法主要有以下几步：(1) 计算矩阵A的特征值和对应的代数重数。
(2) 对于每个特征值λᵢ，构造属于λᵢ的Jordan块，其形式为：J(λᵢ)=[λᵢλᵢ ... λᵢ][ λᵢλᵢ ...][... λᵢ...](3) 将所得的Jordan块按照特征值的顺序排列组合成Jordan标准形矩阵J。
2. Jordan分解Jordan分解将一个n阶可逆矩阵分解为一个特殊的形式，其中矩阵的上三角部分是Jordan标准形矩阵，而下三角部分为0矩阵。
对于一个n阶可逆矩阵A，存在一个可逆矩阵P，使得A=PJP⁻¹Jordan分解的计算方法主要有以下几步：(1) 计算矩阵A的特征值和对应的代数重数。
(2) 对于每个特征值λᵢ，构造属于λᵢ的Jordan块。
(3) 将所得的Jordan块按照特征值的顺序排列组合成Jordan标准形矩阵J。
(4) 计算可逆矩阵P，使得A=PJP⁻¹。
3. Jordan标准形和Jordan分解的应用Jordan标准形和Jordan分解在数学和工程领域有广泛的应用。
其中一些重要的应用包括：(1) 系统稳定性分析：可以使用Jordan标准形来分析线性时不变系统的稳定性。
矩阵分析与计算--04-矩阵分解-01-Jordan标准型
则 A( ) 的 k 级行列式因子为
Dk ( ) d1 ( )d 2 ( ) d k ( ), k 1,2, r.
26
2）（定理4） 矩阵的Smith标准形是唯一的. 证：设 矩阵 A( ) 的标准形为
A( ) 与C ( ) 等价.
16
2) A( )与 B( ) 等价 存在一系列初等矩阵
P1 PS , Q1 Qt 使 A( ) P1 PS B( )Q1 Qt .
17
七、λ－矩阵的对角化
都等价于下列形式的矩阵
d1 ( ) d 2 ( )
19
1 2 1 1 2 0 [1,3] 1 3 1 1 2 1 2 1 1 3 1 0 2 0 3 2 0 0 1 2 0 [21(2 1),[31( 1)]] 0 3 2
2.（定理2）任意一个非零的 s n 的 一矩阵 A( ) 称之为 A( )的 Smith标准 形.
d r ( )
0
0
其中 r 1, d i ( ) ( i 1,2, 多项式，且
, r ) 是首项系数为1的
d i ( ) d i 1 ( ) ( i 1,2,
1
( )
1
i行 j行 1
14
② 初等矩阵皆可逆.
p( i , j )1 p( i , j )
p( i (c ))1 p( i ( 1 c ))
p( i , j( ( ))) p( i , j( ( )))
矩阵理论第四章 矩阵的标准形
β = (0,1, −1)
T
综合上述， 综合上述，可得
0 1 0 2 0 0 0 2 1 , J = 0 1 1 P = A 1 −1 −1 0 0 1
例 4
标准型理论求解线性微分方程组 用 Jordan标准型理论求解线性微分方程组 标准型理论求解
T
−1 1 0 A = −4 3 0 1 0 2
由上例，存在可逆线性变换 x = P y 使得 由上例，存在可逆线性变换
P −1 AP = J A
其中
0 1 0 2 0 0 0 2 1 , J = 0 1 1 P = A 1 −1 −1 0 0 1
(1) ij
A−λi I
A−λi I
A−λi I
其中， p 其中，
( j = 1, 2, ⋯ , k i ) 是矩阵 A 关于特征 ( ni j ) (2) 的一个特征向量， 值 λ i 的一个特征向量， p i j , ⋯ , p i j 则称为 λ i ( ni j ) 广义特征向量,称 根向量。 为 λ i 的 ni j 级根向量。 的广义特征向量 称 p i j
所以原方程组变为
dy −1 d x −1 −1 =P = P A x = P AP y = J A y dt dt
即
d y3 d y1 d y2 = 2 y1 , = y2 + y3 , = y3 dt dt dt
解得
y1 = c1e , y2 = c2e + c3 t e , y3 = c3e ,
−1 1 0 −4 3 0 A= 1 0 2
解： A 特征值为 λ`1 = 2, λ`2 = λ`3 = 1 ，所以设
第4节Jordan标准形
可逆矩阵
称一个n阶矩阵A()是可逆的，如果存在一个矩阵 B() ，使得
A()B() =B()A()=I
记A()的逆矩阵为A-1() 定理 一个n阶矩阵A()是可逆的充要条件为它的行 列式是一个非0的数。
说明：对矩阵而言，满秩矩阵不一定可逆。
2、矩阵的初等变换
定义 下面三种变换称为矩阵的初等变换
k n 2
k ni 1
i
C
1 k k 1
k i
k i
C ni ni
2、Jordan形矩阵 由若干个Jordan块构成的分块对角矩阵为Jordan 形矩阵，简称Jordan形。
J diagJ1 , J 2 ,, J s C nn
第四节
矩阵的Jordan标准形
一、Jordan块矩阵与Jordan形矩阵 二、Jordan分解定理 三、Jordan标准形的求法
一、Jordan块矩阵与Jordan形矩阵
1、Jordan块定义 称下面结构的上三角形矩阵为Jordan块矩阵，简称 Jordan块
i 1 C n n J ( i ) 1 i
1 c2 ( 2 1) c1 0 c3 ( 1) c1 0
1 c2 c3 0 0
0
2 3
0 0
2 0
1 2 1 1 2 0 0 3 2
如果矩阵A()经过有限次行或列的初等变换后变为矩 阵B() ，则称A()与B()是等价的，记为A( ) B( )
利用初等变换与初等矩阵的对应关系可得： 命题
A( ) B( ) 充要条件是存在两个可逆矩阵
Jordan标准型与矩阵可对角化毕业论文
Jordan 标准型与矩阵可对角化摘要 本文以λ-矩阵的性质为基础,对角化问题为主线，推导出线性代数中最深刻的结论——Jordan 标准型定理.然后,应用Jordan 标准型定理去解决Hamilton-Cayley 定理的证明,矩阵分解,线性微分方程组求解的问题.关键词 矩阵对角化 λ-矩阵 Smith 标准型 Jordan 标准型 Hamilton-Cayley 定理1 引言n 阶矩阵A 与对角阵相似的充要条件是A 有n 个线性无关的特征向量.那么当只有mm n <()个线性无关的特征向量时,A 与对角阵是不相似的.对这种情况,我们“退而求其次”,寻找“几乎对角的”矩阵来与A 相似.这就引出了矩阵在相似下的各种标准型问题.Jordan 标准型是最接近对角的矩阵并且其有关的理论包含先前有关与对角阵相似的理论作为特例.此外, Jordan 标准型的广泛应用涉及到Hamilton-Cayley 定理的证明,矩阵分解,线性微分方程组的求解等等.2 λ-矩阵由于Jordan 标准型的求解与特征多项式有关,而从函数的角度看,特征多项式实际上是特殊的函数矩阵（元素是函数的矩阵）,这就引出对λ-矩阵的研究.2.1 λ-矩阵及其标准型定义1 称矩阵()(())ij A f λλ=为λ-矩阵,其中元素()(1,2,,;1,2,,)ij f i m j n λ==为数域F 上关于λ的多项式.定义2 称n 阶λ-矩阵()A λ是可逆的,如果有()()()()n A B B A I λλλλ==并称B λ()为()A λ的逆矩阵.反之亦然.定理 [1]1 矩阵()A λ可逆的充要条件是其行列式为非零的常数,即(())0det A c λ=≠.证明：（1）充分性 设()=A d λ是一个非零的数.()*A λ表示()A λ的伴随矩阵,则()1*d A λ-也是一个λ-矩阵,且有()()()()1*1*A d A d A A I λλλλ--==因此, ()A λ是可逆的.(2)必要性 设()A λ有可逆矩阵B λ(),则()()A B I λλ=两边取行列式有()()1A B I λλ==由于()A λ与()B λ都是多项式,而它们的乘积为1,所以它们都是零次多项式,即都是非零常数.证毕.例题1 判断λ-矩阵()2+121=11A λλλλλ⎛⎫- ⎪+ ⎪⎪⎝⎭是否可逆.解 虽然()22+121=1=01A λλλλλλλ-+-+≠()A λ是满秩的,但()A λ不是非零常数,因而()A λ是不可逆的.注意 与数字矩阵不同的是满秩矩阵未必是可逆的.这么定义可逆是有必要的,可逆的本质就是要保证变换的矩阵可以通过非零常数的倒数逆回去.定义3 如果矩阵()A λ经过有限次的初等变换化成矩阵B λ()，则称矩阵()A λ与B λ()等价,记为()()A B λλ≅定理 2 矩阵()A λ与B λ()等价的充要与条件是存在可逆矩阵()()Q P λλ、,使得()()()()Q B P A λλλλ=证明 因为()()A B λλ≅,所以A λ()可以经过有限次初等变换变成B λ(),即存在初等矩阵12(),(),,()s P P P λλλ与初等矩阵12(),(),,()t Q Q Q λλλ使得1212()()()()()()()()s t B P P P A Q Q Q λλλλλλλλ=令12()()()()s P P P P λλλλ=, 12()()()()t Q Q Q Q λλλλ=就是所要求的λ-矩阵.它们都是初等矩阵的乘积,从而使可逆的.证毕.引理1 设λ-矩阵111212122212()()()()()()()=()()()n n m m mn a a a a a a A a a a λλλλλλλλλλ⎛⎫⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭的左上角元素11()0a λ≠,并且至少有一个()ij a λ不能被11()a λ整除,则一定可以找到一个与()A λ等价的矩阵,它的左上角元素不为零,且次数比11()a λ的次数低.定理3 任意m n ⨯阶的λ-矩阵()A λ都必定可以通过初等变换找到一个与之等价的Smith 标准型.()1200r d d D d λλλλ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪≡⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭()()()这里(())rank A r λ=.非零对角元12r (),(),,()d d d λλλ是首一（首项系数为1）多项式，并且1()()(i 1,2,,r 1)i i d d λλ+=-|例题[2]2求λ-矩阵22221()1+A λλλλλλλλλλ⎛⎫- ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭的Smith 标准型.解22222211100()000010000A λλλλλλλλλλλλλλλλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪→-→-→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---+⎝⎭⎝⎭⎝⎭即为所求的Smith 标准型.2．2 λ-矩阵的性质定义4 矩阵()A λ的Smith 标准型中的非零对角元12r (),(),d ()d d λλλ，称为()A λ的不变因子.定义5 矩阵()A λ的所有非零k 阶子式的首一（最高次项系数为1） 最大公因式()D k λ称为()A λ的k 阶行列式因子.定理4 等价矩阵具有相同的秩和相同的各级行列式因子.证明 设λ-矩阵()A λ经过一次行初等变换化为了B λ()，f λ()与g λ()分别是Aλ()与B λ()的k 阶行列式因子.需要证明f g λλ()=().分3种情况讨论：（1）[],i j A B λλ−−−→()(),此时,B λ()的每个k 阶子式或者等于A λ()的某个k 阶子式,或者与Aλ()的某个阶子式反号,所以,f λ()是B λ()的k 阶子式的公因子,从而f g λλ()|().（2）i A B λλ⎡⎤⎣⎦−−−→(c)()(),此时,B λ()的每个k 阶子式或者等于A λ()的某个k 阶子式,或者等于Aλ()的某个k 阶子式的c 倍.所以,f λ()是B λ()的k 阶子式的公因式,从而f g λλ()|().（3）i j A B ϕλλ+⎡⎤⎣⎦−−−−→()()(),此时,B λ()中那些包含i 行与j 行的阶子式和那些不包含i 行的k 阶子式都等于Aλ()中对应的k 阶子式；B λ()中那些包含i 行但不包含j 行的k 阶子式,按i 行分成两个部分,而等于Aλ()的一个k 阶子式与另一个k 阶子式的ϕλ±()倍的和,,也就是Aλ()的两个k 阶子式的线性组合,所以,f λ()是的k 阶子式公因式,从而f g λλ()|().对于列变换,可以一样地讨论.总之,Aλ()经过一系列的初等变换变成B λ()，那么f g λλ()|().又由于初等变换的可逆性,B λ()经过一系列的初等变换可以变成A λ(),从而也有g f λλ()|().当Aλ()所有的阶子式为零时,B λ()所有的k 阶子式也就等于零；反之亦然.故Aλ()与B λ()又相同的各阶行列式因子,从而有相同的秩.证毕. 既然初等变换不改变行列式因子,所以,每个λ-矩阵与它的标准型有完全相同的行列式因子.而求标准型的矩阵是较为简单的,因而,在求一个λ-矩阵的行列式因子时,只要求出它的标准型的行列式因子即可.现在来计算标准型矩阵的行列式因子.设标准型为1200r d d d λλλ⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭()()()其中1,,i d i r λ=()()是首项系数为1的多项式,且11,,1i i d d i r λλ+=-()|()(),其他的元素都是0.易证,在这种形式的矩阵中,如果有一个k 阶子式包含的行与列的标号不完全相同,那么这个k 阶子式一定为0.因此,为了计算k 阶行列式因子,只要看由12,,,k i i i 有行与12,,,k i i i 列12k i i i r ≤≤(1<<<)组成的k 阶子式就可以了,而这个k 阶子式等于12i i ik d d d λλλ()()().显然,这种k 阶子式的最大公因式就是12k d d d λλλ()()().定理5 矩阵A λ()的Smith 标准型是唯一的,并且111()()(),2,3,,()k k k D d D d k r D λλλλλ-===()().证明 设()A λ的标准是1200r d d d λλλ⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭()()(). 由于()A λ与1200r d d d λλλ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭()()()等价，则它们有相同的秩与相同的行列式因子,因此, ()A λ的秩就是标准型的主对角线上非零元素的个数r .()A λ的k 阶子式因子就是12()1,2,,k k D d d d k r λλλλ==()()() ()于是211211()()()()rr r D D d D d d D D λλλλλλλλ-()=(),()=,,()=. 这说明Aλ()的标准型的主对角线上的非零元素是被A λ()的行列式因子所唯一决定的,所以Aλ()得标准型是唯一的.证毕. 定理6 矩阵()A λ与B λ()等价的充要条件是它们有相同的行列式因子（或相同的不变因子）.证明：上一个定理的证明给出了λ-矩阵的行列式因子与不变因子之间的关系.这个关系式说明行列式因子与不变因子是相互确定的.因此,说两个矩阵有相同的各阶行列式因子,就等于说它们有相同的各级不变因子.必要性已由定理1.2.1给出.充分性显然.事实上，若λ-矩阵()A λ与B λ()有相同的不变因子,则()A λ与B λ()和同一个标准型等价,因而()A λ与B λ()等价.证毕.定义6 矩阵()A λ的所有非常数不变因子的首项系数为1的不可约因式方幂的全体称为()A λ的初等因子.定理7 矩阵()A λ与B λ()等价的充要条件是它们有相同的初等因子,并且秩相等.例题3 求矩阵B 的初等因子,其中11a b b a a b B b a a b b a -⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪- ⎪⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭=解:11a b b a a bI B b a a b b a λλλλλλλ-⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪-- ⎪-- ⎪⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭=由于有两个5阶子式222311[()](),011abbba aa b a b a babba aaa bλλλλλλλλλλλ-----=---=≠--------是互素的,所以5=1D λ()从而14D D λλ()==()=1而又2236[(a)b ]D I B λλλ-=--()=所以B 的不变因子为331566()()1,()(a b)(a b),d d d D λλλλλλ=====---+()所以B 的初等因子为33(a b),(a b).λλ---+3 Jordan 标准型与矩阵可对角化在掌握了λ-矩阵的基本概念:行列式因子、不变因子、初等因子基础上我们将进入Jordan 标准型与矩阵可对角化理论的核心.3．1 对角化的定义及判定定理定义7 如果方阵A 相似于对角阵,即存在可逆矩阵P 和对角阵D ,使得1A PDP -=,则称A 可对角化.定理 [3]8 (对角化定理) n 阶矩阵A 可对角化的充分必要条件是A 有n 个线性无关的特征向量.事实上,1A PDP -=,D 为对角阵的充分必要条件是P 的列向量是A 的n 个线性无关的特征向量.此时,D 的对角线上的元素分别是A 的对应于P 中的特征向量的特征值.换句话说,A 可对角化的充分必要条件是有n 个线性无关的特征向量形成n的基,我们称这样的向量为特征向量基. 证 首先看到,若P 是列为12,,,n ννν的任一n 阶矩阵,D 是对角线元素为12,,,n λλλ的对角阵,那么[][]1212,,,,,,n n AP A A A A νννννν== （1）而[]121122,,,n n n A PD P λλλνλνλνλ⎛⎫⎪⎪== ⎪ ⎪⎝⎭（2）现在假设A 可对角化且1A PDP -=,用P 右乘等式两边,则有AP PD =.此时由（1）和（2）得[][]121122,,,,,,n n n A A A νννλνλνλν= （3）由列相等,有111222=,=,,=n n n A AA νλννλννλν （4）因为P 可逆,故P 的列12,,,n ννν必定线性无关.同样,因为这些12,,,nννν非零,（4）表示12,,,n λλλ是特征值,12,,,n ννν是相应的特征向量.这就证明了定理中第一,第二和随后的第三个命题的必要性.最后，给定任意n 个特征向量12,,,n ννν，用它们作为矩阵P 的列,并用相应的特征值来构造矩阵D ,由（1）~（3）,等式AP PD =成立而不需要特征向量有任何条件.若特征向量是线性无关的，则P 是可逆的,由AP PD =可推出1A PDP -=.证毕.例题4 可能的话,将下面的矩阵A 对角化：243463331A ⎛⎫ ⎪=--- ⎪ ⎪⎝⎭解 由A 的特征多项式：3220det()4(1)(2)A I λλλλλ=-=--+=--+得特征值是1λ=和2λ=.但当我们找特征向量时对于1λ=的特征向量：1111ν⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦对于2λ=的特征向量：2110ν-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦没有有其他特征向量了,A 的每个特征向量都是1ν或2ν的倍数,因此不能利用A 的特征向量构造出3的基.由定理3.1.1,A 不能对角化.3．2 Jordan 标准型与对角化的关系定义8 形如1212()()()k n n n k J J J J λλλ⎛⎫⎪⎪=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,（12++=k n n n n +）的块对角阵为Jordan 型矩阵,并称方阵1(),(1,2,,)1i i iiin i i n nJ i k λλλλ⨯⎛⎫⎪⎪≡= ⎪ ⎪⎝⎭为i n 阶Jordan 块.注意 当()i n i J λ都是一阶Jordan 块时,即()()()121122(),(),,()k n n n k k J J J λλλλλλ===,有J 为对角阵,由此看出对角阵其实只是Jordan 阵的特例.性质 1 矩阵J 可对角化,当且仅当k n =.性质2 Jordan 块的个数k （相同的子块计重复出现的次数）是J 的.线性无关特征值向量的个数.定理9 两个数字方阵相似的充要条件是它们的特征矩阵等价.定义9 称n 阶数字矩阵A 的特征矩阵E A λ-的行列式因子、不变因子和初等因子为矩阵A 的行列式因子、不变因子和初等因子.定理10 两个数字方阵相似的充要条件是它们有相同的行列式因子（或不变因子）.定理11 复数域上两个数字方阵相似的充要条件是它们有相同的初等因子.注意 其实,结合上定理,不难发现初等因子()ma λ-与m 阶Jordan 块m m11a a a ⨯⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭存在一一对应关系.因此可利用特征矩阵的初等因子求矩阵的Jordan 标准型,即有如下定理：定理12(Jordan 标准型定理) 复数域上任何一个数字方阵A 都与一个Jordan 型矩阵相似,这个Jordan 型矩阵除去其中Jordan 块排序外是被A 唯一确定的,称它为A 的Jordan 标准型.证明: 设n 阶复矩阵A 的初等因子为12m m m 12(),(),,()s s λλλλλλ--- 其中12,,,s λλλ可能有相同的,指数12s m m m 也可能有相同的.每一个初等因子m ()ii λλ-对应于一个Jordan 块,1(),(1,2,,)1i i ii in i i n nJ i s λλλλ⨯⎛⎫⎪⎪≡= ⎪ ⎪⎝⎭.这些Jordan 块构成一个Jordan 型矩阵,12s J J J J ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭易知, J 的初等因子就是12m m m 12(),(),,()s s λλλλλλ---..由于J 与A 有相同的初等因子,所以它们相似.假设有另一个Jordan 型矩阵K 与A 相似，那么与A 有相同的初等因子，因此，K 与J 除了其中Jordan 块排序外是相同的，唯一性得证.证毕.例题5（1）在例2.2.1中求出的B λ()的初等因子的基础上,求出B 的Jordan 标准型.（2）求出例3.1.1的Jordan 标准型. 解（1）由于B λ()的初等因子为:()()33,a b a b λλ---+所以B 的Jordan 标准型为1111a b a b a b a b a b a b +⎛⎫⎪+ ⎪⎪+ ⎪- ⎪⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭（2）由224314631331(1)(2)I A λλλλλλ---⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-=+≅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----+⎝⎭⎝⎭知A 的Jordan 标准型为1212⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭. 4 Jordan 标准型的性质及应用Jordan 标准化的应用是广泛的,下面将利用其给出Hamilton Cayley-定理的证明,并说明其在矩阵分解及在求解线性微分方程组中的应用.4．1 Jordan 标准型在证明Hamilton Cayley -定理中的应用定理 [4]13（Hamilton Cayley -定理）设A 是复数域C 上任意n 阶方阵,A 的特征多项式为()I A ϕλλ=-||,则()0A ϕ=,其中I 为n 阶单位矩阵.证明：存在秩为n 的n 阶复方阵P ,使1P AP J -=,其中J 是A 的Jordan 标准型,可以写成12n J λδλδλ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 其中δ代表1或0,因为12,,,n λλλ是A 的特征值,故12()=---n I A ϕλλλλλλλλ=-||()()().从而12()---n A A I A I A I ϕλλλ=()()()11111212---(---n n PJP I PJP I PJP I P J I J I J I P λλλλλλ----=()()()=)()()12121211200n nn n P P λλλλδλλδδλλδλλδλλδ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪--⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭= 1210000000n nP P λλδλλδ--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪**⎝⎭⎝⎭===0利用Hamilton Cayley -定理可以简化矩阵计算.其实,该定理换成线性变换语言为： 定理14[5]（关于线性变换的Hamilton Cayley -定理） 设V 为n 维复线性空间,:T V V →为给定的线性变换,设12m λλλ，，为T 的特征值.1()(()T m f λλλλλ=--)为T 的特征多项式.令g()T 表示将()T f λ中的λ用T 代替,k λ用k I λ代替之后所得到的常系数变换,即1g()((m T T I T I λλ=--））, 则g()T 是零算子,即g()T 将V 中每一个向量都映为零向量：g()()0,T x x V =∀∈.注意 每个特征值k λ都满足多项式方程()0T f λ=,Hamilton Cayley -定理则是说T 满足方程()0T f T =.4．2 Jordan 标准型在矩阵分解中的应用定理 15 复数域C 上任意n 阶方阵,都等于两个对称矩阵的乘积,并且其中之一是的非退化的.证明：设A 的Jordan 标准型为12S J J J J ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭则存在P , 使1PAP J -=令111i Q ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, i Q 与i J 阶数相同.令12S Q Q Q Q ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 则有'1',Q Q Q J QJ Q -===.故11'11'''11'''()(())()A P JP P QJ QP P Q P A PQP P Q P A PQP ------====令11'''(),B P Q P C A PQP--==, 则A BC =其中,B 对称且非退化,C 为对角阵,这是因为'''''1''1''C PQ PA PQ PAP P PQ PAP P PQ JP --==== ''''''1'''()PQJQQP P J QP P J P PQP A PQP C -=====.定理 16[6]设A 是数域P 上的n 阶方阵,能分解成P 上一次因子之积,则A M N =+,其中M 是幂零阵,N 相似于对角阵,且MN NM =.证明（证法一） A M λ()能分解成P 上一次因子之积,说明A 的Jordan 标准型J 是一个n 阶方阵12S J J J J ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭令01010i ii i ii J B C λλλ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪=+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭i B 是幂零Jordan 块,i C 是对角阵.设i J 的阶为i r ,12max(,,,)n k r r r =.则1111()A P JP P B C P P BP P CP ----==+=+其中1122,S S B C B C B C B C ⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 令11,P BP M P CP N --==则1100k k M P B P P P --===,N 相似于对角阵C ,且111111MN P BPP CP P BCP P CBP P CPP BP NM ------=====证毕.证明（证法二）由定理12,存在可逆矩阵P , 使得1A P JP -=,其中11()()s m m s J J J λλ⎛⎫ ⎪=⎪ ⎪⎝⎭并且()(1,,)i m i J i s λ=是主对角线元为i λ的i m 阶Jordan 块.令01(),(1,,)10i i i ii m i i m m mN J I i s λλ⨯⎛⎫⎪⎪==== ⎪ ⎪⎝⎭,易知i N 是幂零矩阵, 因而11s N N P P N -⎛⎫⎪=⎪ ⎪⎝⎭也是幂零矩阵. 在令111s m s m I M P P I λλ-⎛⎫⎪=⎪ ⎪⎝⎭, 则M 相似于对角矩阵，并且,M N A MN NM +==注意 定理16等价于如下命题：设δ是数域P 上n 维线性空间V 的线性变换,则δϕτ=+.其中ϕ是数域P 上n 维线性空间V 的线性变换且是幂零变换,τ也是数域P 上n 维线性空间V 的线性变换且可对角化,并且ϕττϕ=.4．5 Jordan 标准型在求解线性微分方程组中的应用例题6 解线性微分方程组112212313432d dt d dt d dt ααααααααα⎧=-+⎪⎪⎪=-+⎨⎪⎪=+⎪⎩解 把微分方程组写成矩阵形式dxAx dt=， 其中112233110,,430102d dt d dx x A dt dt d dt αααααα⎡⎤⎢⎥-⎡⎤⎛⎫⎢⎥⎪⎢⎥⎢⎥===- ⎪⎢⎥⎢⎥⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦对微分方程组实行一个非奇异线性变换X PY =， 其中123010021111P Y βββ⎡⎤⎛⎫ ⎪⎢⎥== ⎪⎢⎥ ⎪⎢⎥--⎝⎭⎣⎦，. 于是得111200,011001dy dx P P AX P APY JY J dt dt ---⎛⎫⎪===== ⎪ ⎪⎝⎭. 故11223332+d dt d dt d dt βββββββ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩其一般解为21122333t t t t c e c e c te c e βββ⎧=⎪=+⎨⎪=⎩再由X PY =求得原微分方程组的一般解为123223231232(21)(1)t tt tt t t c e c te c e c t ec e c e c t e ααα⎧=+⎪=++⎨⎪=--+⎩ 其中123,,t t t 是任意常数.注意 解线性微分方程组可以用Jordan 标准型来考察.设P 是将A 化为Jordan 型的相似变换矩阵,若我们引进新变量z , 令y Pz =,则dzPAPz dt=, 亦即1dzP APz dt-=. 方程组的矩阵经过了一次相似变换,它现在是A 的Jordan 标准型.从例题6中可以看到,在解决具体问题中不仅要求出Jordan 标准型，而且需要求出变换矩阵P ,关于矩阵P 的求法可参看文献[6].结 束 语至此,我们透彻地解决了Jordan 标准型与矩阵可对角化的问题,也看到了Jordan 标准型在理解矩阵，多项式等方面的强大应用.但遗憾的是在数值应用方面，几乎没有用到Jordan 标准型——这限制了其在计算机方面的应用.这是因为一个矩阵的Jordan标准型未必是该矩阵的各元素的连续函数，这样，矩阵的各元的一个小的变化就会引起Jordan标准型的各元一个大的变化.这样就不能指望用稳定的方法计算Jordan标准型了.尽管有这样的局限性，Jordan标准型还是值得继续研究的，我们也将其更加深刻地认识到：在线性代数的理论体系下最深刻的概念之一矩阵的Jordan 标准型只不过是包含该矩阵的GL(n,C)-轨道的某一最简单的表示.这一更深刻的认识涉及到群表示理论.总之，在探寻Jordan标准型与矩阵可对角化的关系中,我们认识到了认识是无止境的这一哲学命题,我们也有理由相信还有更加美妙的结果在等待着我们去发现.参考文献[1] 北京大学数学系几何与代数教研室代数小组,高等代数（第二版）[M],北京,高等教育出版社,1998[2] 钱吉林,高等代数解题精粹（第二版）[M],北京,中央民族大学出版社,2002[3]David y,Linear Algebra and Its Applications (Third Edition)[M],Beijing,Pearson Education Asia Limited and China Machine Press,2005[4] Jordan标准型矩阵的性质及其应用[J],德州学院学报（自然科学版）,第9卷第4期2003年8月21-23[5]Tom M.Apostol,Linear Algebra:a first course,with applications to differential equations[M],Beijing,Posts & Telecom Press,2010[6] 王卿文,线性代数核心思想及应用[M],北京,科学出版社,2012Jordan Canonical Form and Diagonalization of MatrixAuthor: Xu Zhucheng Supervisor: Wan JinlongAbstract This paper basing on the properties of λ-matrix and diagonalization as the main line,deduces the most profound conclusion ofLinear Algebra -- Jordan canonical form theorem. Then,it uses the Jordancanonical form theorem to solve the problems of the proof of H-CaylayTheory, the matrix decomposition, linear differential equations and so on.Keywords diagonalization of matrixλ-matrix Smith canonical form Jordan canonical form Hamilton-Caylay Theory毕业设计（论文）原创性声明和使用授权说明原创性声明本人郑重承诺：所呈交的毕业设计（论文），是我个人在指导教师的指导下进行的研究工作及取得的成果。
第三章 特征值与矩阵的Jordan标准型
74
则
AU1 = U1
λ1 0 . . . 0
c12 c13 · · · c1n C1
.
由于 C1 为 n − 1 阶矩阵, 由归纳假设, 存在 n − 1 阶酉矩阵 U2 使 b22 b23 · · · b33 · · · ∗ U2 C1 U2 = B1 = .. . b2n b3n . . . bnn 为上三角矩阵. 令 U = U1 则 U ∗ AU = 1
证 注意 P 是第三种初等矩阵, P −1 = I − αEpq . 故 P −1 A 仅将 A 的第 q 行的 −α 倍加 到第 p 行, 因此所得矩阵仍是上三角矩阵且不改变 A 的对角线; AP 的意义类似. 因此知 B 是 与 A 的主对角线相同 (包括顺序) 的上三角矩阵. 直接计算可得 bpq . 例 3.1.1 设 λ1 = λ2 , P = I −
0. 故由分块 Schur 三角化定理, 可设 A = A1 ⊕ A2 ⊕ · · · ⊕ As , 其中 Ai 是特征值均为 λi 的 ni 阶上三角矩阵. 则 f (A) = (A − λ1 I )n1 (A − λ2 I )n2 · · · (B − λs I )ns . 由 例 3.1.2 可知, 对每个 i, 均有 (Ai − λi Ini )ni = 0, 故上式的第 i 个因子 (A − λi I )ni 的第 i 个 块为 ni 阶 0 矩阵, 从而整个乘积等于 0 矩阵. 由于 n 阶矩阵 A 的特征多项式是 n 次多项式, Cayley-Hamilton 定理表明, A 的 n 次幂 可由其较低次幂的线性组合给出, 因此, A 的高于 n 次的幂可由其低于 n 次的幂的线性组合给 出, 故对任意自然数 m, 有 Am ∈ Span{I, A, A2 , · · · , An−1 }. 换句话说, n 阶矩阵 A 的任意次幂均属于由 I, A, A2 , · · · , An−1 生成的 Mn (C) 的子空间. 这 就提供了一种计算高次幂的降幂算法. 例 3.1.3 设 A= 求 A2 , A3 , A4 . 解 A 的特征多项式为 f (λ) = λ2 − 4λ + 1, 所以 A2 − 4A + I = 0. 故知 A2 = 4A − I, A3 = 4A2 − A = 15A − 4I, A4 = 15A2 − 4A = 56A − 15I. 命 题 3.1.1 (Sylvester 降幂公式) 设 A 与 B 分别是 m × n 与 n × m 矩阵, m ≥ n. 则 |λIm − AB | = λm−n |λIn − BA|. 证 注意下述分块矩阵的恒等式: I B 0 I 因此, 矩阵 C1 = BA 0 A 0 与矩阵 C2 = 0 0 A AB 0 0 A AB = BA BAB A AB = BA 0 A 0 I B 0 I , 2 3 1 2 ,
矩阵的标准型及分解
1
1
2
2
解： A 的特征值为 `1 0, `2 `3 `4 1，则
JA
A1 ( 2)
A2
(1)
因为特征值 `1 0 为单根，所以 A1(0) 0
并从 ( A 0 I )x 解得对应的特征向量为
1 (1, 3,1, 2)T
对于三重特征值 `2 `3 `4 1 ，由 ( A (1) I )x 解得两个特征向量为
的基底变换，其目的在于寻找描述同一系统的运动行
为的尽可能简单的状态空间描述。
求下列状态方程的约当标准型：
0 1 0 0
x
Ax
Bu
0
0
1
x
0
u
2 3 0 1
这里矩阵 A 是特征多项式 | I A |的友矩阵。
解： | I A | 3 3 2 ( 2)( 1)2 0
n1
n2
nt
即矩阵 A 是可对角化矩阵。显然正规矩阵是一类最
特殊的可对角化矩阵。
例 3 求矩阵 A 的 Jordan标准型 J A 和相应的 Jordan变换矩阵 P ，其中
1 1 0 A 4 3 0
1 0 2
解： A 特征值为 `1 2, `2 `3 1 ，所以设
JA
A1 ( 2)
,
p( ni ij
j))
由 Ap i j pi j J j ( i ) ，可知
( A i I ) pi(1j )
(
A
i
I
)
pi(
2 j
)
pi(1j )
(
A
i
I
)
p( ni ij
j
)
p( ni j 1) ij
jordan分解定理
jordan分解定理Jordan分解定理是线性代数中的一个重要定理，它可以将一个矩阵分解为特征值和特征向量的乘积。
这个定理在数学和工程领域都有广泛的应用，尤其在矩阵分析、信号处理、机器学习等领域起着重要的作用。
我们来介绍一下Jordan分解定理的基本概念。
给定一个n阶方阵A，如果存在一个可逆矩阵P，使得P^-1AP的形式为Jordan标准型，那么我们称A可相似于Jordan标准型。
Jordan标准型是一个由若干个Jordan块组成的矩阵，每个Jordan块都由一个特征值和对应的特征向量确定。
J_k(lambda) = [lambda 1 0 0 ... 0][ 0 lambda 1 0 ... 0][ 0 0 lambda 1 ... 0][ . . . . . .][ 0 0 0 0 ... 1][ 0 0 0 0 ... lambda]其中，lambda为特征值，1表示单位矩阵，其实际大小为k×k。
根据Jordan分解定理，任意一个n阶方阵A都可以分解为特征向量矩阵P和Jordan标准型矩阵J的乘积，即A = PJP^-1。
其中，特征向量矩阵P的每一列都是A的特征向量，而J是由A的特征值对应的Jordan块组成的矩阵。
Jordan分解定理的证明比较复杂，需要运用到线性代数的相关知识，包括特征值、特征向量、可逆矩阵等。
这里我们不过多展开证明过程，只介绍一下Jordan分解定理的意义和应用。
Jordan分解定理对于矩阵的求幂运算有重要的作用。
通过将矩阵A 分解为特征向量矩阵P和Jordan标准型矩阵J的乘积，我们可以得到A的幂运算的简化表示。
具体来说，A的k次幂可以表示为A^k = PJ^kP^-1，其中J^k是由J的每个Jordan块的k次幂组成的矩阵。
这种分解形式可以大大简化矩阵的幂运算，提高计算效率。
Jordan分解定理对于矩阵的对角化也有重要的应用。
如果一个矩阵A可相似于对角矩阵D，即存在一个可逆矩阵P，使得P^-1AP=D，那么我们称A可对角化。
线性代数中的Jordan标准型与Jordan分解
线性代数中的Jordan标准型与Jordan分解在线性代数中，Jordan标准型与Jordan分解是两个重要的概念。
它们在矩阵理论、线性变换以及微分方程等领域都有着广泛的应用。
本文将对Jordan标准型与Jordan分解进行详细介绍和解析。
一、Jordan标准型在线性代数中，Jordan标准型是一种将方阵矩阵分解成特殊形式的表达方式。
对于一个n阶矩阵A，如果存在可逆矩阵P，使得P逆乘以A乘以P得到的矩阵(J)具有如下形式：J = [J1 0 ... 0][ 0 J2 ... 0][......][ 0 0 ... Jk]其中，J1、J2、...、Jk是Jordan块，每个Jordan块对应一个特征值。
Jordan块的形式如下：Ji= [λi1 1 0 ... 0][ 0 λi1 1 ... 0][ ][ 0 0 ... λij]其中，λij为特征值λi对应的代数重数j。
同时，对于同一个特征值，其对应的Jordan块数目表示几何重数。
Jordan标准型的出现是为了解决非对角矩阵难以求解特征值和特征向量的问题。
通过将矩阵转化为Jordan标准型，可以方便地求解特征值和特征向量，进而得到矩阵的一些重要性质。
二、Jordan分解Jordan分解是将一个矩阵分解成一个上三角矩阵和一个幂零矩阵的形式。
对于一个n阶矩阵A，Jordan分解可以表示为：A = T + N其中，T是上三角矩阵，N是幂零矩阵。
上三角矩阵的对角线上的元素为矩阵A的特征值，幂零矩阵的幂次越高则元素越小。
Jordan分解的意义在于将复杂的矩阵分解成两个比较简单的矩阵，从而便于求解和研究。
三、Jordan标准型与Jordan分解的关系Jordan标准型和Jordan分解有着紧密的联系。
具体来说，对于一个有限维向量空间V上的线性变换T，如果它的特征多项式的根覆盖整个复数域，即任何一个复数都是特征多项式的根，那么就存在一个V 的基，使得这个基下T的矩阵表示形式为Jordan标准型。
Jordan标准形简介
教学时间：2学时.
*§6 Jordan标准形简介
第五章
*§6 Jordan标准形简介
我们在讨论方阵的对角化时知道,并不是所有的方阵都 能化成对角阵,那末,在普遍意义上,矩阵在相似关系下的最简 形是否存在?如果存在又取何种形式？Jordan标准形的相关 结果就完美地回答了这一问题.
30 对角矩阵本身即是Jordan形，它的每一个对角元都 是一个一阶的Jordan块.
定理6.3 两个同阶方阵相似的充分必要条件是它们的 Jordan形一致（这里“一致”的含义是可以经过Jordan块排列 次序的调整而得到的相同的Jordan形）.
证明 必要性.设A~B，则有可逆矩阵P使P-1AP=B.于是
例6.1 求矩阵
的初等因子组.
解 对λE-A进行初等变换如下：
由此得A的初等因子为：(λ-1)2, λ-5.
6.2 矩阵的Jordan标准形
定理6.2 在复数域上,如果n阶矩阵A的全部初等因子为
则ห้องสมุดไป่ตู้
其中
定理6.2中的分块对角矩阵J称为A的Jordan标准形,简称为Jordan形. Jordan形J中的各个小块J1,J2,…,Js称为Jordan块.
显然,每个Jordan块Ji恰于A的一个初等因子 相对应.
在例6.1中，矩阵A的初等因子组为(λ-1), λ-5,与之相应 的两个Jordan块为
于是A的Jordan标准形为
亦可以写成
例6.2 求矩阵
的Jordan标准形.
解对A的特征矩阵λE-A进行初等变换化为对角矩阵，
证明 若A相似于对角矩阵
则∧已是A的Jordan标准形.可见A的初等因子组为
λ-λ1， λ-λ2，…， λ-λn .
Jordan标准形
0 p2 1
1
p取1 k=111，则p3
0 1
2
0
1 0 0
，那么所用P 的 相1 似1变1换 矩阵为
2 1 0
矩阵理论第3讲 - 21
性质:
相似矩阵有相同的特征多项式、相同特征值、 相同的行列式、相同的迹、相同的秩
矩阵理论第3讲 - 2
n 对 阶方阵A ，如果可以找到可逆矩阵 ， P
P使得1 AP A 为对角阵，就称为把方阵 对角化。
若矩A阵nn
1
与对角阵
2
则1 , 2 , , n 是A 的 n 个特征值。
相似，
n
矩阵理论第3讲 - 3
相似矩阵的线性变换语言叙述
相似的矩阵是同一个线性变换在不同基/坐标系下的的不同描述。
我们知道一个有限维线性空间到自己上的线性变换可以用矩阵表示，但 是对于同一个线性变换，当取不同的基时，对应的矩阵是不同的。这个 不同就等价于矩阵的相似。换句话说，矩阵商掉相似这个等价关系之后 就是线性变换全体。而相似标准型就是对于一个线性变换，来找一组基，
A( )
di () , (i 1,2,, n)
A( )
求出 的不变因子
3. 求出 的初等因子，并据此写出A的Jordan 标准形
矩阵理论第3讲 - 11
例(1)
1 2 3 4
A
0 0 0
1 0 0
2 1 0
3
2 1
1—— 2上三 3角阵 4
3.1 Jordan 标准型
矩阵理论第3讲 - 1
相似矩阵的定义及性质
矩阵理论矩阵的Jordan标准型
定理 3.10 如果矩阵 A 的每个特征值的代数重数 都等于它的几何重数，则矩阵与对角阵相似.
当 A 不满足定理 3.10 时，它肯定不与对角阵相似， 但在与其相似的矩阵中可以找到形式最简单的矩阵， 这就是它的 Jordan 标准形.
定义 3.8 设 i 为 A 的互异特征值，共 s 个． mi 为 i 的代数重数，
那么 A( ) C( ) ．
由初等变换与初等矩阵的对应关系可得
A() B() 的充要条件是存在一些 m 阶与 n 阶的初等矩阵， 分别左乘与右乘 A( ) 得到 B( ) .
还可注意到,如果两个 –矩阵等价,则其秩相等;反之则不然. 这也是 –矩阵与数字矩阵的不同之处.例如:
A(
)
0
1 1
det( E A) ( 1 )m1 ( i )mi ( s )ms
s
其中 mi n，称 mi 为 A 的特征值 i 的代数重数， i 1
dimVi ri（ i 的特征向量空间的维数）为 i 的几何重数.
定理 3.9 设 i 为 A 的互异特征值， i 1, 2, ..., s ， mi ， ri 分别为 i 的代数重数与几何重数，则
定理 3.4 等价的 n 阶 -矩阵有相同的各阶行列式因子及 不变因子. 两个 n 阶 -矩阵等价当且仅当它们有相同的行列式因子 或相同的不变因子.
由此可知 n 阶 -矩阵的 Smith 标准形唯一.
( 1)
例 3.4
设 A( )
，求
A(
)
的
( 1)2
Smith 标准型及不变因子.
第三章 矩阵旳Jordan原则型
矩阵旳Jordan原则型不但在矩阵理论与 计算中起着十分主要旳作用，而且在控 制理论、系统分析等领域有广泛旳应用.
jordan标准型中jordan块阶数与个数的确定
Jordan标准型和Jordan块是线性代数中的重要概念，它们在矩阵理论和特征值分解中起着关键的作用。
在本文中，我们将讨论Jordan标准型中Jordan块的阶数和个数的确定方法。
1. Jordan标准型简介Jordan标准型是一个对角矩阵，它是一个矩阵相似于一个特定形式的矩阵，形式为分块对角，每个对角块都是Jordan块。
对于一个n阶矩阵A，如果存在一个n阶非奇异矩阵P，使得P^-1AP为Jordan标准形式，那么P的列向量就是A的一个Jordan基。
2. Jordan块的定义对于一个n阶矩阵A，如果存在一个n阶向量空间V和一个向量v∈V，使得A(v)=λv，A(v_i)=λv_i+v_i-1(i=2,...， n)，v_1=v，那么由向量v_i组成的矩阵：\begin{bmatrix} λ & 1 & 0 & 0 & ... \\ 0 & λ & 1 & 0 & ... \\ 0 &0 & λ & 1 & ... \\ ... & ... & ... & ... & ... \\ 0 & 0 & 0 & 0 & λ\end{bmatrix}就是A的一个Jordan块。
3. Jordan块的阶数和个数的确定对于一个矩阵A的Jordan标准型，Jordan块的阶数和个数可以通过以下步骤确定：3.1 计算A的特征值和几何重数。
对于A的特征值λ，其几何重数为m，即A的特征值λ的重数。
3.2 确定每个特征值对应的Jordan块的个数和阶数。
对于每个特征值λ，其对应的Jordan块的个数和阶数可以通过以下步骤确定：- 计算A-λI的秩r。
- 判断r和m的大小关系：- 如果r=m，即A-λI的秩等于λ的几何重数，那么λ对应的Jordan 块的个数为1，阶数为r；- 如果r<m，即A-λI的秩小于λ的几何重数，那么λ对应的Jordan 块的个数为n-r，阶数为r；- 如果r=m-1，即A-λI的秩等于λ的几何重数减1，那么λ对应的Jordan块的个数为2，阶数为r。
矩阵的jordan分解 算法
矩阵的jordan分解算法矩阵的Jordan分解是一种矩阵的特征值分解方法，将矩阵分解为Jordan标准型的形式。
Jordan分解是求解线性差分方程、线性递推关系的重要方法，也在控制论、量子力学等领域有广泛应用。
下面将简要介绍矩阵的Jordan分解算法及其相关参考内容。
1. 矩阵的特征值与特征向量：矩阵的特征值与特征向量是进行Jordan分解的基础。
特征值是矩阵的根特征，可以通过求解特征方程得到。
特征向量是对应于特征值的非零向量，满足矩阵和特征向量的线性变换关系。
矩阵的特征值与特征向量可以在线性代数的教材或参考书中找到详细说明。
2. 寻找Jordan块：通过矩阵的特征值和特征向量，可以找到矩阵的Jordan块。
对于每一个特征值，对应的Jordan块由特征向量构成，其中主对角线上的元素为该特征值，且主对角线上方为1的子对角线上的元素都是1。
3. 重复特征值的处理：如果矩阵存在重复特征值，需要进一步处理。
对于重复特征值，可以使用特征向量的广义特征向量来构造Jordan块。
广义特征向量要满足(A-λI)^k v = 0，其中k表示广义特征向量的阶数。
4. Jordan分解的实现：通过以上步骤，可以将矩阵分解为Jordan标准型的形式。
Jordan标准型是一个上三角矩阵，主对角线由Jordan块构成。
在文献和资料中，关于矩阵的Jordan分解算法有大量的研究和讨论，以下是其中一些参考内容：1. "Matrix Analysis and Applied Linear Algebra" (Carl D. Meyer): 这本书详细介绍了矩阵分析和应用线性代数的各种概念和方法，包括Jordan分解。
书中描述了Jordan分解的算法和步骤，并给出了相关的例子和应用。
2. "Matrix Computations" (Gene H. Golub, Charles F. Van Loan):这本经典的数值计算书籍对于矩阵计算提供了深入的讨论。
02_矩阵论_第二章Jordan 标准形介绍
从而 T 有对角阵表示。
更进一步，若 Vi 为 T 的一维不变子空间，则 Vi，有 T()Vi，所以 T() = ，即 T 在 Vi 上的矩阵是一阶对角矩阵。 推论 Vn(F) 上的线性变换有对角阵表示的充 分必要条件是：Vn(F) 可分解成 T 的一维不变子 空间的直和。
定义 2.3 形如
1 1 J ( ) 1
的 r 阶方阵成为一个 r 阶 Jordan 块。由若干个 Jordan 块 Ji(i) 构成的准对角矩阵
J1 (1 ) J J m ( m )
定理 2.3 线性变换 T 有对角阵表示的充分必 要条件是 T 有 n 个线性无关的特征向量。 证明：必要性：设有基 {1, 2,…, n} 使 T 的 矩阵为对角阵，则有
1 2 T (1 , 2 , , n ) (1 , 2 , , n ) n
应用定理 2.1，我们可以从 T 的一个变换矩 阵 A 求得 T 的特征值与特征向量。计算步骤如下： (1) 选择 Vn(F) 的基 {1, 2, …, n}，求线性 变换 T 关于该基的矩阵 A； (2) 求 A 的特征值：先求 A 的特征多项式 f() = |I A|，f() = 0 的根 1, 2, …, n 即为 A 的全 部特征值； (3) 求矩阵 A 关于 i 的特征向量 Xi，即方程 组 (I A)X = 0 的非零解，它们给出 T 的特征值 i 对应的特征向量关于基 {1, 2, …, n} 的坐标。
定义 2.1 设 T 是线性空间 Vn(F) 上的线性变 换，如果存在 Vn(F) 和数 F ， 0 ，使得 T().= ，则称数 为 T 的特征值，向量 为 T 的对应于特征值 的特征向量。 为分析线性变换 T 的特征值和特征向量的求 法，设 T 在 Vn(F) 的某一组基 {1, 2, …, n} 下 的矩阵为 A(A 不一定为对角阵)， 是关于 的特 征向量，即 T() = ，则有