高等代数I课程总结
高等代数课程设计总结
高等代数课程设计总结一、课程目标知识目标：1. 理解并掌握高等代数的基本概念，如向量空间、线性变换、特征值与特征向量等；2. 掌握矩阵运算的基本法则，并能应用于解决实际问题；3. 了解线性方程组的求解方法及其在现实生活中的应用。
技能目标：1. 能够运用矩阵运算解决实际问题，如物理运动方程的求解、经济平衡问题的分析等；2. 能够运用线性变换理论分析并解决几何问题，培养学生的空间想象能力；3. 能够运用所学的理论知识对现实生活中的线性问题进行建模和求解。
情感态度价值观目标：1. 培养学生对高等代数的兴趣，激发学生的学习热情，使其形成积极向上的学习态度；2. 培养学生的团队合作精神，使其在讨论和交流中不断提高自己；3. 通过解决实际问题，让学生认识到高等代数在现实生活中的广泛应用，增强学生的学科责任感。
课程性质：本课程为大学本科一年级高等代数课程，旨在帮助学生建立代数思维，提高解决问题的能力。
学生特点：一年级学生具备一定的数学基础，但高等代数的概念和理论尚未接触，需要从基本概念入手，逐步引导学生掌握学科知识。
教学要求：注重理论知识与实际应用的结合，采用启发式教学，鼓励学生主动思考、积极参与，提高学生的动手能力和创新能力。
通过分解课程目标为具体的学习成果，为后续的教学设计和评估提供依据。
二、教学内容根据课程目标，教学内容主要包括以下几部分：1. 高等代数基本概念- 向量空间及其性质- 矩阵及其运算- 线性变换及其性质2. 线性方程组- 高斯消元法- 克莱姆法则- 线性方程组的求解方法3. 特征值与特征向量- 特征值、特征向量的概念- 矩阵的对角化- 特征值与特征向量的应用4. 实践应用- 矩阵运算在物理、经济等领域的应用- 线性变换在几何问题中的应用- 线性方程组在实际问题中的建模与求解教学大纲安排如下：第一周：向量空间及其性质第二周：矩阵及其运算第三周：线性变换及其性质第四周：线性方程组求解方法第五周：特征值与特征向量第六周：实践应用与拓展教学内容与教材章节关联如下：1. 教材第一章：向量空间与矩阵2. 教材第二章：线性方程组3. 教材第三章：特征值与特征向量4. 教材第四章：线性变换及其应用在教学过程中，将按照教学大纲逐步展开教学内容，注重理论与实践相结合，提高学生的实际应用能力。
高等代数知识点总结笔记
高等代数知识点总结笔记一、集合论基础1. 集合的定义和表示2. 集合的运算：交集、并集、补集、差集3. 集合的基本性质：幂集、空集、自然数集、整数集等4. 集合的关系：子集、相等集、包含关系5. 集合的基本运算律：结合律、交换律、分配律二、映射和函数1. 映射的定义和表示2. 映射的类型：单射、满射、双射3. 函数的定义和性质4. 函数的运算：复合函数、反函数5. 函数的极限、连续性6. 函数的导数、几何意义三、向量空间1. 向量和向量空间的定义2. 向量的线性运算：加法、数乘、点积、叉积3. 向量空间的性质：线性相关、线性无关、维数、基和坐标4. 线性变换和矩阵运算5. 特征值和特征向量四、矩阵与行列式1. 矩阵的定义和基本性质：零矩阵、单位矩阵、方阵2. 矩阵的运算：加法、数乘、矩阵乘法、转置、逆矩阵3. 行列式的定义和性质：行列式的展开法则、克拉默法则4. 线性方程组的解法：克拉默法则、矩阵消元法、逆矩阵法五、线性方程组1. 线性方程组的定义和分类2. 线性方程组的解法：高斯消元法、矩阵法、逆矩阵法3. 线性方程组的特解和通解：齐次线性方程组、非齐次线性方程组4. 线性方程组的解的性质：解的唯一性、解空间六、特征值和特征向量1. 特征值和特征向量的定义和性质2. 矩阵的对角化和相似矩阵3. 特征值和特征向量的应用：矩阵的对角化、变换矩阵4. 矩阵的谱定理和矩阵的相似对角化5. 实对称矩阵和正定矩阵的性质七、多项式与代数方程1. 多项式的定义和性质：零次多项式、一次多项式、多项式的加减乘除2. 代数方程的解法：一元一次方程、一元二次方程、高次方程3. 代数方程的根与系数的关系：韦达定理、牛顿定理、斯图姆定理4. 代数方程的不可约性和可解性八、群、环、域1. 代数结构的定义和性质2. 群的定义和性质：群的封闭性、结合律、单位元、逆元3. 环的定义和性质：交换环、整环、域4. 域的定义和性质：有限域、无限域、极大理想以上就是高等代数的一些基本知识点总结，希望对大家有所帮助。
高等代数知识点总结课件
二阶行列式计算较为简单，直接按照定义进行计算即可。三 阶行列式可以利用代数余子式展开，也可以利用对角线法则 进行计算。高阶行列式可以利用递推法或化简法进行计算。
矩阵的秩的定义与性质
总结词
矩阵的秩是矩阵中线性无关的行（或列） 向量的个数，具有一些重要的性质。
VS
详细描述
矩阵的秩具有一些重要的性质，如秩的传 递性、秩的唯一性、秩的性质等。矩阵的 秩可以用来判断线性方程组的解的情况， 如当系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩时， 线性方程组有解。
利用秩判断线性方程组解的情况
总结词
利用矩阵的秩可以判断线性方程组解的情况。
详细描述
当系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩时，线性 方程组有解；当系数矩阵的秩小于增广矩阵 的秩时，线性方程组无解；当系数矩阵的秩 大于增广矩阵的秩时，线性方程组有无穷多 解。此外，利用矩阵的秩还可以判断线性方 程组解的个数和类型。
逆矩阵的性质
逆矩阵是唯一的；逆矩阵与原矩阵的乘积为单位矩阵；逆矩阵的逆矩阵是原矩阵。
逆矩阵的求法
高斯消元法、伴随矩阵法、初等变换法等。
线性方程组的解法
高斯消元法
将增广矩阵转化为上三角矩阵，从而得到解。
回带求解
将得到的上三角矩阵的解回代到原方程组中， 得到未知数的值。
克拉默法则
当方程组系数行列式不为0时，可以用克拉默 法则求解唯一解。
准型有助于简化二次型的计算和性质研究。
二次型的正定性判断
总结词
正定性判断是确定二次型是否为正定的过程， 正定的二次型具有一些重要的性质。
详细描述
正定性判断是二次型研究中的一个重要问题。 一个二次型被称为正定的，如果它对应于一 个正定矩阵。正定的二次型具有一些重要的 性质，如存在唯一的极小值点，且该极小值 点是全局最小值点。此外，正定的二次型还 具有一些几何意义，如对应于一个凸多面体
高等代数知识点总结精编版
第一章 代数学的经典课题
§1 若干准备知识
1.1.1 代数系统的概念 一个集合，如果在它里面存在一种或若干种代数运算，这些运算满足一定的运算法则，
则称这样的一个体系为一个代数系统。 1.1.2 数域的定义
定义（数域） 设 K 是某些复数所组成的集合。如果K中至少包含两个不同的复数，且 K 对复数的加、减、乘、除四则运算是封闭的，即对 K 内任意两个数 a 、b（ a 可以等于 b ）， 必有 a b K，ab K，且当 b 0时，a / b K ，则称K为一个数域。 例 1.1 典型的数域举例： 复数域 C；实数域 R；有理数域 Q；Gauss 数域：Q (i) = { a b i | a,b ∈Q}，其中 i = 1 。
第一学期第四次课
第二章 向量空间与矩阵
第一节 m 维向量空间
2.1.1 向量和m维向量空间的定义及性质
定义（向量）设 K 是一个数域。 K 中 m 个数 a1 , a2 ,......, am 所组成的一个 m 元有序数
证明 由已知，
a0 n a1 n1 ...... an1 an 0 . 两边取复共轭，又由于 a0 , a1 ,......, an R，所以
a0 n a1 n1 ...... an1 an 0 .
推论 实数域上的奇数次一元代数方程至少有一个实根。
证明 因为它的复根（非实根）必成对出现，已知它在 C 内有奇数个根，故其中必有一
在 f 下的像构成的 B 的子集称为 A 在 f 下的像，记做 f ( A) ，即 f ( A) f (a) | a A。
若 a a' A, 都有 f (a) f (a'), 则称 f 为单射。若 b B, 都存在 a A ，使得 f (a) b ，则称 f 为满射。如果 f 既是单射又是满射，则称 f 为双射，或称一一对应。
高等代数知识点总结
分块三角矩阵的行列式
Cauchy-Binet 公式
Vandermonde 行列式
定义
性质
*
*
分块三角形行列式
Laplace定理 (按第i1,...,ik行展开)
Cauchy-Binet公式 设U是m×n矩阵, V是n×m矩阵, m≥n, 则
*
*
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单击此处添加副标题
重要结论： 带余除法定理 对于任意多项式f(x)和非零多项式g(x)，有唯一的q(x)和r(x)使得 f(x)=g(x)q(x)+r(x)，r(x)=0或degr(x)<degg(x). 最大公因式的存在和表示定理 任意两个不全为0的多项式都有最大公因式，且对于任意的最大公因式d(x)都有u(x)和v(x)使得 d(x)=f(x)u(x)+g(x)v(x) 互素 f(x)和g(x)互素有u(x)和v(x)使得 f(x)u(x)+g(x)v(x)=1.
向量组等价：
S和T等价，即S,T可以互相表示 S,T的极大无关组等价 S,T的秩数相等，且其中之一可由另一表示
对于向量组S，T，下列条件等价
线性相关与线性表示： 1,...,r线性相关当且仅当其中之一可由其余的线性表示 若,1,...,r线性相关,而1,...,r线性无关,则可由1,...,r线性表示,且表法唯一
A,B等价有可逆矩阵P,Q使得A=PBQ 每个秩数为r的矩阵都等价于
矩阵等价
*
可逆矩阵vs列满秩矩阵
对于n阶矩阵A,下列条件等价 A是可逆矩阵 |A|0 秩A=n 有B使得AB=I或BA=I A是有限个初等矩阵之积 A(行或列)等价于I A的列(行)向量组线性无关 方程组Ax=0没有非零解 对任意b,Ax=b总有解 对某个b,Ax=b有唯一解 A是可消去的(即由AB=AC或BA=CA恒可得B=C) 对于m×r矩阵G,下列条件等价 G是列满秩矩阵, G有一个r阶的非零子式 秩G=列数 G有左逆,即有K使得KG=I 有矩阵H使得(G, H)可逆 G行等价于 G的列向量组线性无关 方程组Gx=0没有非零解 对任意b,若Gx=b有解则唯一 对某个b,Gx=b有唯一解 G是左可消去的(即由GB=GC恒可得B=C)
大一上期高等代数知识点
大一上期高等代数知识点高等代数是大一上学期的一门重要课程，主要涉及代数方程、线性代数等内容。
下面将介绍一些大一上期高等代数的核心知识点。
一、代数方程1. 一次方程与二次方程一次方程是形如ax + b = 0的方程，其中a和b为已知数。
解一次方程的方法包括等式两边同时加减同一个数，合并同类项等。
二次方程是形如ax² + bx + c = 0的方程，其中a、b、c为已知数，并且a ≠ 0。
解二次方程的方法包括配方法、因式分解和求根公式等。
2. 求根与判别式二次方程的求根公式为x = (-b ± √(b² - 4ac))/(2a)，其中√表示平方根。
判别式Δ = b² - 4ac可用来判断二次方程的解的性质。
当Δ > 0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ = 0时，方程有两个相等的实数根；当Δ < 0时，方程无实数根。
二、线性代数1. 矩阵与行列式矩阵是一个由m行n列数组成的矩形阵列，常用大写字母表示。
行列式是一个用来描述矩阵性质的数值，常用竖线符号表示。
行列式的计算包括对角线法则和展开法则等。
2. 线性方程组线性方程组是由若干个线性方程组成的方程组。
求解线性方程组的方法包括消元法、逆矩阵法等。
消元法通过行变换将线性方程组转化为相等的简化形式，从而求得方程组的解。
逆矩阵法利用矩阵的逆矩阵来求解线性方程组，前提是矩阵存在逆矩阵。
三、向量与空间1. 向量向量是用来表示方向和大小的量，常用小写字母表示。
向量的运算包括加法、减法及数量乘法等。
向量的模表示向量的大小，向量的内积和外积是常见的向量运算。
2. 空间与子空间空间是指向量所在的集合，常用R^n表示n维空间。
子空间是指在一个空间中的子集，满足一些特定条件，比如封闭性和包含零向量等。
以上是大一上期高等代数的一些核心知识点。
通过学习这些知识，我们可以理解和解决代数方程、线性方程组等问题，为后续学习打下坚实基础。
《高等代数1》研究性教学总结 - 数学科学学院
《近世代数》研究性教学总结李立斌一、小结《近世代数》课程是数学相关专业的一门重要基础课程，也是现代科学技术中处理离散问题的理论的基础，它是学生学习专业课程和以后从事科学研究的重要基础。
该课程也是数学相关专业本科生所接触到的第二门以公理化形式叙述数学概念的数学课程，其特点是高度抽象和高度概括。
学好《近世代数》课程需要学生具有较好的抽象思维能力、提炼概括能力以及较高的逻辑推理能力，并需要学生善于积极地主动思考，但是目前我们的学生的状况正是缺少这些能力，而且由于在中学长期形成的被动接受知识、被动接收学习任务的习惯，学生缺乏学习主动性、缺乏独立思考能力，许多学生对于学习甚至于不作任何思考。
本课程拟尝试改变学生被动学习的状态，形成主动学习的习惯。
本课程向学生介绍代数学中最基本的概念、理论与方法。
内容主要包括群、环、域的基本理论和方法。
该课程展示了许多现代数学思想和方法，涉及到数学史上若干重要数学问题的解决以及解决这些问题所产生的现代代数概念和工具。
该课程是建立在《高等代数》的基础上，要求学生经常温习高等代数相关内容和研究方法。
我们课程设计的基本出发点：在学生学好基础知识的同时，着眼于学生思维的训练、能力的培养和长远的发展。
基于课程的特点，我们将课程主要内容进行了划分，并制定了如下课程教学要求：(1) 要求学生掌握课程大纲所规定的知识点；(2) 要求学生了解数学研究的必要过程：查阅资料并研读、提出问题、解决问题、形成论文；对已有知识和方法进行综合提升、产生新的概念和方法，形成专题报告或论文。
在达到这些教学要求的同时，注重培养学生自学能力、抽象思维能力、提炼概括能力、提出问题-分析问题-解决问题的能力。
要求学生在学好基础知识的同时，学会应用理论联系实际的思维分析方法，注重学生各项能力的提高。
为了达到上教学要求和培养目标，我们对教学内容进行分类，围绕数学问题的提出和解决过程展开课堂教学。
课堂教学与问题讨论相结合，使得学生在学习基础知识的同时，了解和学习数学研究的基本过程和方法。
大一高等代数知识点
大一高等代数知识点高等代数是大一学生必修的一门数学课程，主要研究抽象代数结构及其相应的运算规则。
在学习高等代数的过程中，掌握一些重要的知识点是非常关键的。
本文将介绍大一高等代数的一些重要知识点，帮助学生们更好地理解与应用这些知识。
一、向量空间向量空间是高等代数的基础概念之一，它是由一组向量组成的集合，并满足一定的性质。
一个向量空间必须满足以下条件：1. 封闭性：对于任意两个向量u和v，它们的线性组合u + v也在向量空间中。
2. 零向量：向量空间中存在一个特殊的零向量0，使得对任意向量u，有u + 0 = u。
3. 反向法则：对于任意向量u，存在一个负向量-v，使得u + (-v) = 0。
4. 数乘性：对于任意向量u和标量k，它们的标量倍u * k也在向量空间中。
二、线性方程组线性方程组是高等代数中的另一个重要概念，它由一组线性方程组成，其中每个方程都是变量的线性组合。
解线性方程组就是找到满足所有方程的变量值。
解线性方程组的方法有很多种，包括高斯消元法、矩阵法等。
三、矩阵和行列式矩阵是高等代数中的重要工具，它是由数构成的矩形阵列。
矩阵可以进行加法、乘法等运算，是解线性方程组和表示线性变换的有效工具。
行列式是矩阵的一个重要概念，它可以用来判断矩阵的可逆性。
四、特征值和特征向量特征值和特征向量是矩阵的另一个重要概念。
一个矩阵A的特征值是满足方程Av = λv的数λ，其中v是非零向量。
特征向量是与特征值相对应的向量。
特征值和特征向量可以帮助我们理解矩阵的性质和变换。
五、线性映射和线性变换线性映射和线性变换是高等代数中的重要概念。
线性映射是指满足两个条件的映射：对于任意两个向量u和v以及标量k，有f(u + v) = f(u) + f(v)和f(uk) = kf(u)。
线性变换是指一个向量空间到另一个向量空间的映射，它是一种保持线性结构的变换。
六、欧几里得空间和内积空间欧几里得空间是一个带有内积的向量空间，内积是一种向量与向量之间的运算。
高等代数心得体会及感悟(实用17篇)
高等代数心得体会及感悟（实用17篇）（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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高等代数知识点总结课件
行列式的展开定理
• 总结词：行列式的展开定理是行列式计算的核心，它提供了计算行列式 值的有效方法。
• 详细描述：行列式的展开定理指出，一个$n$阶行列式等于它的主对角线上的元素的乘积与其它元素乘积的代数和的相 反数。具体来说，对于一个$n$阶行列式$|\begin{matrix} a{11} & a{12} & \cdots & a{1n} \ a{21} & a{22} & \cdots & a{2n} \ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \ a{n1} & a{n2} & \cdots & a{nn} \end{matrix}|$，其值等于 $a{11}A{11} + a{21}A{21} + \cdots + a{n1}A{n1}$，其中$A{ii}$表示去掉第$i$行和第$i$列后得到的$(n-1)$阶行列 式的值。
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线性函数与双线性函数
线性函数的定义与性质
线性函数的定义
线性函数是数学中的一种函数，其图 像为一条直线。在高等代数中，线性 函数是指满足 f(ax+by)=af(x)+bf(y) 的函数。
线性函数的性质
线性函数具有一些重要的性质，如加 法性质、数乘性质、零元素性质和负 元素性质等。这些性质在解决实际问 题中具有广泛的应用。
欧几里得空间与酉空间
欧几里得空间
欧几里得空间是一个几何空间，它满足 欧几里得几何的公理。在欧几里得空间 中，向量的长度和角度都可以用实数表 示。
VS
酉空间
酉空间是一种特殊的线性空间，它满足酉 几何的公理。在酉空间中，向量的长度和 角度都可以用复数表示。酉空间在量子力 学、信号处理等领域有广泛应用。
高等代数期末论文学习总结
高等代数期末论文学习总结LELE was finally revised on the morning of December 16, 2020高等代数学习总结摘要:两学期的高等代数已经接近尾声了，高等代数作为数学专业的基础学科之一。
本文主要讲述本人两学期下来学习高等代数的一些知识总结和学习体会。
关键词:行列式矩阵二次型正文:《高等代数》是数学学科的一门传统课程。
在当今世界的数学内部学科趋于统一性和数学在其他学科的广泛应用性的今天，《高等代数》以其追求内容结构的清晰刻画和作为数学应用的基础，是大学数学各个专业的主干基础课程。
它是数学在其它学科应用的必需基础课程，又是数学修养的核心课程。
高等代数是代数学发展到高级阶段的总称，它包括许多分支。
它是在初等代数的基础上研究对象进一步的扩充，引进了许多新的概念以及与通常很不相同的量，比如最基本的有集合、向量和向量空间等。
这些量具有和数相类似的运算的特点，不过研究的方法和运算的方法都更加繁复。
通过学习后，我们知道，不仅是数，还有矩阵、向量、向量空间的变换等，对于这些对象，都可以进行运算，虽然也叫做加法或乘法，但是关于数的基本运算定律，有时不再保持有效。
因此代数学的内容可以概括称为带有运算的一些集合，在数学中把这样的一些集合，叫做代数系统。
在学习之前，我一直认为高等代数就是把线性代数重学一遍，因为大一的时候线性代数学得不深，而且也没有学完。
经过两学期的学习后，我发现，这两者之间区别还是挺大的。
高等代数数学专业开设的专业课，更注重理论的分析，需要搞懂许多概念是怎么来的，而线性代数，只是一种运算工具，是供工科和部分医科专业开设的课程，只注重应用。
经过两学期的学习，我对高等代数里面的知识有了个初步的认识和接触，特别是代数的一些思想，也从中收获不少。
下面就对两学期的学习做一个回顾和总结。
行列式行列式是代数学中的一个基本概念，它不仅是讨论线性方程组理论的有力工具，而且还广泛的应用于数学及其他科学技术领域定义：设A=（）为数域F上的n n矩阵，规定A的行列式为其中，为1,2，…，n的一个排列。
高等代数I知识点整理
高等代数I知识点整理1.集合和映射：-集合：元素、子集、幂集、交集、并集、差集、集合运算律等。
-映射：定义、定义域、值域、像、单射、满射、双射等。
2.代数结构：-群：群的定义、子群、正规子群、商群、循环群、对称群等。
-环：环的定义、子环、整环、域、特殊环（交换环、有单位元环、整整环）、多项式环等。
-矢量空间：线性组合、线性相关与线性无关、生成子空间、基和维数、坐标等。
3.线性方程组：-线性方程组的解和解集。
-矩阵和向量表示线性方程组，线性方程组的向量形式与矩阵形式的转换。
-齐次线性方程组和非齐次线性方程组。
4.行列式和特征值特征向量：-行列式的定义、性质与计算。
-矩阵的秩与行列式的关系，线性方程组解的结构与行列式的关系。
-特征值与特征向量的定义与性质，对角化、相似矩阵与特征值特征向量的关系。
5.线性空间：-线性空间的定义与性质，子空间、直和、维数定理等。
-线性变换的定义与性质，线性变换的矩阵表示与特征值特征向量的关系。
6.内积空间：-内积的定义与性质，正交、单位正交、正交补空间等。
- 正交矩阵、正交变换，Gram-Schmidt正交化过程。
-线性最小二乘问题。
7.线性算子：-算子的定义和性质，线性算子、特征值、特征向量等。
-特征子空间、核、像与秩-零化度定理等。
以上是高等代数I的一些重要知识点整理。
在学习这门课程时，学生需要深入理解这些知识点的定义、性质和应用，并通过大量的练习问题进行巩固。
高等代数I为后续数学课程如线性代数、矩阵论、抽象代数等打下坚实的基础。
高等代数期末总结反思
高等代数期末总结反思随着高等代数课程的结束，我的高等代数学习也告一段落。
在这门课程中，我系统地学习了线性代数的基本概念、理论和方法，对于我后续数学学习以及科研工作都具有重要意义。
在这篇总结中，我将从课程内容、学习方法以及课程收获等方面进行反思和总结。
首先，高等代数课程的内容非常丰富，涵盖了线性空间、线性变换、行列式、特征值等重要概念和理论。
通过学习，在这门课程中我对于线性代数的概念和原理有了更加深刻的了解。
特别是在线性空间的学习中，我对于向量空间的性质和操作有了更加清晰的认识，而且在解析几何以及科学计算中有了更好的应用。
其次，高等代数课程中着重培养了我数学证明和推理的能力。
在课堂上，我通过老师的讲解了解到了不同类型的证明方法，比如直接证明、间接证明、数学归纳法等，让我对于数学证明的策略和步骤有了更深刻的认识。
通过上机实验，我有机会亲自进行一些证明的推导和证伪，更加熟悉了证明的过程和思路。
这些训练对于培养我在数学领域思维严密、逻辑清晰的能力非常重要。
此外，我在高等代数课程中也逐渐掌握了一些解决线性方程组和矩阵变换的方法和技巧。
通过学习高斯消元法、特征值特征向量的求解等方法，我能够更加高效地解决线性方程组和矩阵运算的问题。
这对于我后续的学习和实际应用非常有帮助。
此外，高等代数课程也教会了我如何运用数学软件进行科学计算，这在我的学习和科研工作中也具有重要意义。
在课程中，我们使用了MATLAB等软件进行线性方程组的运算和矩阵变换等计算，通过亲自动手操作，我能够熟练地使用这些软件进行数学计算和可视化分析。
这对于我后续在数学建模、数据分析等方面的工作都具有很大的帮助。
在学习高等代数的过程中，我也遇到了一些困难和挑战。
首先，在课程的初期，我对于一些概念和原理掌握得不够牢固，导致后续学习的时候遇到了不少困惑。
对于这些问题，我通过与同学和老师的讨论、复习课件、查阅相关教材等方式进行了理解和巩固。
其次，在课堂上，老师的讲解难度逐渐加大，我有时候跟不上老师的思路和推导，导致一些知识点没有完全掌握和理解。
高等代数知识点总结精编版
高等代数知识点总结精编版高等代数是数学的一个分支，包括了对抽象代数结构的研究。
它涵盖了一系列的知识点和概念，如线性代数、矩阵论、群论、环论、域论等等。
以下是高等代数的一些重要知识点的总结。
1.线性代数：线性代数是高等代数的基础，涉及向量空间、线性变换、矩阵等概念。
其中，向量空间的概念是线性代数的核心，它包括了向量的加法和数乘运算，并满足一些性质。
线性变换是一种特殊的函数，它保持向量空间的线性结构。
矩阵是线性变换的代数表示，可以通过矩阵乘法来描述线性变换的复合。
2.矩阵论：矩阵论是研究矩阵及其性质的数学分支。
它包括对矩阵的基本运算规则的研究，如矩阵加法、乘法、转置等。
矩阵的秩是一个重要的概念，它描述了矩阵的线性相关性。
矩阵的特征值和特征向量是矩阵论中的另一个关键概念，它们和矩阵的对角化密切相关。
3.群论：群论是一门研究代数结构的分支学科，集中研究代数运算封闭的集合及其运算的性质。
一个群是一个集合，其中包含了一个二元操作，并且满足封闭性、结合律、存在单位元和存在逆元等性质。
群的子群、正规子群、商群等概念在群论中都有重要的应用。
4.环论：环论是研究环及其性质的数学分支。
一个环是一个集合，它包含了两个二元运算，并且满足一些性质，如封闭性、结合律、分配律等。
环的子环、理想、商环等概念在环论中有着重要的应用。
5.域论：域论是研究域及其性质的数学分支。
一个域是一个集合，它包含了两个二元运算，并且满足一些性质，如封闭性、结合律、分配律、存在单位元和存在逆元等。
域的子域、扩域、代数扩张等概念在域论中有着重要的应用。
以上只是高等代数的一部分知识点介绍，其中每个方向都有更详细和深入的内容。
高等代数在数学中有着广泛的应用，如在线性方程组求解、线性回归、图论、密码学等方面都有重要的作用。
对高等代数的学习对于理解和应用数学都具有重要的意义和价值。
高等代数I知识点整理
高等代数I知识点整理●行列式●定义●归纳定义●余子式●代数余子式●定义为按第一列展开●组合定义●逆序数●定义●定理●改变任意两个位置会改变奇偶性●S_n排列中奇偶排列各占一半●行列式值●|A|=\sum\limits_{k_1,k_2,\cdots,k_n\in S_n}(-1)^{N(k_1,k_2,\cdots,k_n)}a_{1k_1}a_{2k_2}\cdots a_{nk_n}●性质●三角行列式为对角线乘积●某行(列)为0行列式为0●某行(列)乘以常数c，行列式为c|A|●对换任意两行，符号改变●两行成比例，|A|=0●|C|=|A|+|B|●一行乘以常数加到另一行行列式不变●|A’|=|A|●展开式●可按第一行展开●可按任意一列展开●Laplace 定理●任一k阶子式与其代数余子式之积的展开式中每一项都是|A|的展开式●任意k列(行)展开●|A|=\sum\limits_{1\le j_1<j_2<\cdots<j_k\le n}A\left(\begin{matrix} i_1 &i_2 &\cdots & i_k \\ j_1 & j_2 &\cdots & j_k\end{matrix}\right)\hat{A}\left(\begin{matrix} i_1 & i_2 &\cdots & i_k \\ j_1& j_2 &\cdots & j_k \end{matrix}\right)●计算●Vandermonde 行列式●矩阵●运算●加减法●数乘●矩阵乘法●方阵幂●转置运算●共轭运算●逆运算●可逆阵/非奇异阵●求逆运算规则●伴随阵A^*●定理●AA^*=A^*A=|A|I_n任意方阵成立●A^{-1}=\frac{1}{|A|}A^*|A|\ne 0●初等变换●初等矩阵●定义●第一类换行（列）●第二类加上常数倍某行(列)●第三类某行(列)乘以常数●性质●非异且逆阵为同类初等矩阵●不改变奇异性●相抵●相抵标准型可通过初等行列变换成●阶梯型可仅通过初等行变换成●分块矩阵●分块运算●加减●数乘●乘法●转置●共轭●分块初等变换●第三类行列式值不变●秩不变●降价公式●|D||A-BD^{-1}C|=|A||D-CA^{-1}B|当A和D可逆时●矩阵乘积行列式●n阶方阵●n阶可逆阵可初等行(列)变换为单位阵●非异阵可分解为有限个初等矩阵●|QA|=|Q||A|=|AQ|n阶方阵A，初等矩阵Q●n阶方阵A可逆\Leftrightarrow |A|\ne0●|AB|=|A||B|n阶方阵A,B●A\in M_{m\times n},B\in M_{n \times m}●Cauchy-Binet 公式●m>n，|AB|=0●|AB|=\sum\limits_{1\le j_1<j_2<\cdots<j_m\le n}A\left(\begin{matrix} 1 & 2&\cdots & m \\ j_1 & j_2 &\cdots & j_m\end{matrix}\right)B\left(\begin{matrix} j_1 & j_2 &\cdots & j_m \\ 1 & 2&\cdots & m \end{matrix}\right)●AB的r阶子式，r\le m●r>n,AB的任意r阶子式为0●AB\left(\begin{matrix} i_1 & i_2 &\cdots & i_r \\j_1 & j_2 &\cdots & j_r\end{matrix}\right)=\sum\limits_{1\le k_1<k_2<\cdots<k_r\len}A\left(\begin{matrix} i_1 & i_2 &\cdots & i_r \\ k_1 & k_2 &\cdots & k_r\end{matrix}\right)B\left(\begin{matrix} k_1 & k_2 &\cdots & k_r \\ j_1 &j_2 &\cdots & j_r \end{matrix}\right)●AA'\left(\begin{matrix} i_1 & i_2 &\cdots & i_r \\i_1 & i_2 &\cdots & i_r\end{matrix}\right)=\sum\limits_{1\le k_1<k_2<\cdots<k_r\len}A\left(\begin{matrix} i_1 & i_2 &\cdots & i_r \\ k_1 & k_2 &\cdots & k_r\end{matrix}\right)^2\geq 0●Lagrange 恒等式●\left(\sum\limits_{i=1}^{n} a_{i}^{2}\right)\left(\sum\limits_{i=1}^{n}b_{i}^{2}\right)-\left(\sum\limits_{i=1}^{n} a_{i} b_{i}\right)^{2}=\sum\limits_{1\leq i<j \leq n}\left(a_{i} b_{j}-a_{j} b_{i}\right)^{2}●Cauchy-Schwarz 不等式●\left(\sum\limits_{i=1}^{n} a_{i}^{2}\right)\left(\sum\limits_{i=1}^{n}b_{i}^{2}\right)\ge\left(\sum\limits_{i=1}^{n} a_{i} b_{i}\right)^{2}●线性空间●数域●定义●复数C的子集●至少两个不同元●加减乘除(除数不为0)封闭●定理●任意数域包含有理数域●向量●定义●(a_1,a_2,\cdots,a_n)\in \mathbb{K}^n行向量●(a_1,a_2,\cdots,a_n)'\in \mathbb{K}^n列向量●运算●加法交换●加法结合●存在零元●存在负元●单位数乘●数乘分配●数乘结合●向量空间线性空间●定义●数域\mathbb{K},集合V●加法封闭，数乘封闭●满足运算●加法交换●加法结合●存在零元●存在负元●单位数乘●数乘分配k(\alpha+\beta)=k\alpha+k\beta (k+l)\alpha=k\alpha+l\alpha●数乘结合●命题●零向量唯一●负向量唯一●加法消去律成立●0\cdot \alpha=0●k\cdot0=0●(-1)\alpha=-\alpha●k\alpha=0\Rightarrow \alpha=0或k=0●线性关系●k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+\ k_n\alpha_n=0●线性相关存在k_i不为0●线性无关所有k_i=0●定理●包含一组线性相关的向量组线性相关●线性无关的向量组中任意一组子向量组线性无关●线性相关\Leftrightarrow组中至少有一个向量可被其他向量线性表示●\beta可被\{\alpha_i\}唯一表出\Leftrightarrow\{\alpha_i\}线性无关●A可被B线性表出，B可被C线性表出，则A可被C线性表出A,B,C为向量组●秩●极大线性无关组●定义●一个线性无关的子向量组●其余向量可被此无关组线性表出●命题●向量组S有非零向量，极大线性无关组一定存在●定理●向量个数关系A有r个向量，B有s个向量●A可被B表出，A线性无关，则r\leq s●A可被B表出，若r>s,则A线性相关●A,B线性无关且可互相表出，则r=s●A,B为S的极大线性无关组，向量个数相同●秩●定义●极大线性无关组的向量个数●r(S)或rank(S)●互相表出的向量组等价，有相同秩●n维线性空间●定义●秩为n●n个线性无关向量可表出空间任意向量，称为一组基●定理●超过n个向量的向量组一定线性相关●n个向量为基的等价条件●线性无关●空间任一向量可由此向量组唯一表出●基扩张定理●m个线性无关向量的向量组，可从一组基中选出(n-m)个元素使其成为一组基==●矩阵的秩●行秩和列秩在初等变换下不变●矩阵行秩等于列秩●行变换不改变列线性无关组的位置●阶梯阵秩等于非零行个数，阶梯点所在列向量为极大线性无关组●转置秩不变●矩阵与非异阵相乘秩不变●非异阵\Leftrightarrow满秩阵●矩阵等价\Leftrightarrow秩相同●r(A)=r\Leftrightarrow 任意r+1子式存在则为0，一定有r阶子式不为0●坐标向量●定义●确定一组基，任意向量一一对应一组坐标一组基表示向量方式唯一●线性空间同构●定义●两个线性空间，一个数域●存在一个线性双射●定理●数域上任一n维线性空间与n维行向量空间同构●同构是等价关系●映射不改变向量组的线性相关性●有限维线性空间同构\Leftrightarrow维数相同●任意向量组与其坐标向量组有相同的秩●基变换与坐标变换●过渡矩阵●定义● \{f_i \}和\{e_i\}为两组基●\left\{\begin{array}{c} f_{1}=a_{11} e_{1}+a_{12} e_{2}+\cdots+a_{1 n}e_{n}, \\ f_{2}=a_{21} e_{1}+a_{22} e_{2}+\cdots+a_{2 n} e_{n}, \\ \cdots\cdots+\cdots \\ f_{n}=a_{n 1} e_{1}+a_{n 2} e_{2}+\cdots+a_{n n} e_{n} .\end{array}\right.●过渡矩阵A为系数矩阵转置e_i到f_i的过渡矩阵●基变换F=(f_1,f_2,\cdots,f_n),E=(e_1,e_2,\cdots,e_n)●F=EA●坐标变换\lambda=(\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n)',\mu=(\mu_1,\mu_2,\cdots,\mu_n)'●\alpha=E\lambda=F\mu●\lambda=A\mu●命题● \{e_i \}到\{f_i\}的过渡矩阵为A， \{f_i \}到\{e_i\}的过渡矩阵为A^{-1}● \{e_i \}到\{f_i\}的过渡矩阵为A， \{f_i \}到\{g_i\}的过渡矩阵为B, \{e_i \}到\{g_i\}的过渡矩阵为AB●子空间●定义●V的非空子集V_0●V_0加法与数乘封闭●子空间的交V_1\cap V_2●子空间的和V_1+V_2=\{\alpha+\beta|\alpha \in V_1,\beta \in V_2 \}●张成的子空间S\subseteq V,L(S)●L(S)为S所有可能的线性组合●直和●定义●如果V_i\cap(V_1+\cdots+V_{i-1}+V_{i+1}+\cdots+V_n)=0●和记为V_1\oplus V_2\oplus\cdots\oplus V_n●命题●子空间为线性空间●子空间的交与和还是子空间●定理●L(S)是包含S的最小子空间●L(S)的维数等于S的极大无关组向量个数●L(V_1\cup V_2\cup\cdots\cup V_n)=V_1+V_2+\cdots+V_n●dim(V_1+V_2)=dim(V_1)+dim(V_2)-dim(V_1\cap V_2)●直和等价命题V_0=V_1+V_{2}+\cdots+V_m●V_0=V_1\oplus V_2\oplus\cdots\oplus V_m●V_i\cap(V_1+V_2+\cdots+V_{i-1})=02\leq i\leq m●dim(V_1+V_2+\cdots+V_{m})=dim(V_1)+dim(V_2)+\cdots +dim(V_m)●V_1,V_2,\cdots,V_{m}的一组基可以拼成V_0的一组基●V_0中零向量被表示为V_1,V_2,\cdots,V_{m}中的向量之和表示唯一●V_0中向量被表示为V_1,V_2,\cdots,V_{m}中的向量之和表示唯一●线性方程组●方程组形式●\left\{\begin{array}{c} a_{11} x_{1}+a_{12} x_{2}+\cdots+a_{1 n} x_{n}=b_{1} \\a_{21} x_{1}+a_{22} x_{2}+\cdots+a_{2 n} x_{n}=b_{2} \\ \cdots \cdots \cdots \\a_{n 1} x_{1}+a_{n 2} x_{2}+\cdots+a_{n n} x_{n}=b_{n} . \end{array}\right.●向量形式●\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}●\boldsymbol{\widetilde{A}}=(\boldsymbol{A}\quad \boldsymbol{b})增广矩阵●\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}齐次方程组●Cramer 法则●x_{1}=\frac{\left|\boldsymbol{A}_{1}\right|}{|\boldsymbol{A}|},x_{2}=\frac{\left|\boldsymbol{A}_{2}\right|}{|\boldsymbol{A}|}, \cdots,x_{n}=\frac{\left|\boldsymbol{A}_{n}\right|}{|\boldsymbol{A}|}●定理●方程组有解\Leftrightarrow r(\boldsymbol{\widetilde{A}})=r(\boldsymbol{{A}})●r(\boldsymbol{\widetilde{A}})=r(\boldsymbol{{A}})=n，则方程组解唯一●解的结构定理●r(\boldsymbol{\widetilde{A}})=r(\boldsymbol{{A}})=r，齐次线性方程组基础解系\{\boldsymbol{\eta} _1,\boldsymbol{\eta}_2,\cdots,\boldsymbol{\eta}_{n-r}\}，任一特解\boldsymbol{\gamma}●则所有解可表示为k_1\boldsymbol{\eta}_1+k_2\boldsymbol{\eta}_2+\cdots+k_{n-r}\boldsymbol{\eta}_{n-r}+\boldsymbol{\gamma}k_i为任何数。
高等代数学习报告
竭诚为您提供优质文档/双击可除高等代数学习报告篇一：高等代数期末论文学习总结高等代数学习总结摘要:两学期的高等代数已经接近尾声了，高等代数作为数学专业的基础学科之一。
本文主要讲述本人两学期下来学习高等代数的一些知识总结和学习体会。
关键词:行列式矩阵二次型正文:《高等代数》是数学学科的一门传统课程。
在当今世界的数学内部学科趋于统一性和数学在其他学科的广泛应用性的今天，《高等代数》以其追求内容结构的清晰刻画和作为数学应用的基础，是大学数学各个专业的主干基础课程。
它是数学在其它学科应用的必需基础课程，又是数学修养的核心课程。
高等代数是代数学发展到高级阶段的总称，它包括许多分支。
它是在初等代数的基础上研究对象进一步的扩充，引进了许多新的概念以及与通常很不相同的量，比如最基本的有集合、向量和向量空间等。
这些量具有和数相类似的运算的特点，不过研究的方法和运算的方法都更加繁复。
通过学习后，我们知道，不仅是数，还有矩阵、向量、向量空间的变换等，对于这些对象，都可以进行运算，虽然也叫做加法或乘法，但是关于数的基本运算定律，有时不再保持有效。
因此代数学的内容可以概括称为带有运算的一些集合，在数学中把这样的一些集合，叫做代数系统。
在学习之前，我一直认为高等代数就是把线性代数重学一遍，因为大一的时候线性代数学得不深，而且也没有学完。
经过两学期的学习后，我发现，这两者之间区别还是挺大的。
高等代数数学专业开设的专业课，更注重理论的分析，需要搞懂许多概念是怎么来的，而线性代数，只是一种运算工具，是供工科和部分医科专业开设的课程，只注重应用。
经过两学期的学习，我对高等代数里面的知识有了个初步的认识和接触，特别是代数的一些思想，也从中收获不少。
下面就对两学期的学习做一个回顾和总结。
行列式行列式是代数学中的一个基本概念，它不仅是讨论线性方程组理论的有力工具，而且还广泛的应用于数学及其他科学技术领域定义：设A=（）为数域F上的n×n矩阵，规定A的行列式为??=(?1)??(??1??2)??1??1??2??2??????1??2…其中，??1??2为1,2，…，n的一个排列。
高等代数上期末总结
高等代数上期末总结在本学期的高等代数课程中，我们学习了许多重要的代数性质和概念。
通过本期末总结，我将回顾这些学习成果并总结我从中获得的收获和体会。
在高等代数课程的开始阶段，我们学习了向量和矩阵的基本运算和性质。
我通过这一部分的学习，重新了解了向量的几何意义以及如何进行向量的线性运算。
此外，我还了解到了矩阵的基本运算规则，并学会了如何进行矩阵的加法、数乘和乘法等操作。
在矩阵运算的基础上，我们开始学习了线性方程组的理论和求解方法。
通过对线性方程组的代数性质和特征的研究，我了解到了线性方程组有可能有唯一解、无解或者无穷多解的情况，并学习了如何使用高斯消元法和矩阵求逆的方法来求解线性方程组。
这些方法对于解决实际问题非常有用，尤其是在工程和科学领域。
在研究了线性方程组的基础上，我们进一步学习了向量空间和线性变换的概念。
通过对向量空间的定义和性质的学习，我了解到了向量空间是一种具有运算和性质的集合，这些运算和性质可以通过矢量的线性组合和数乘来进行定义。
此外，我还学习了向量空间的子空间、基、维数等概念，并了解了向量空间的一些重要定理，如维数定理、基变换和坐标变换等。
线性变换作为代数学中的重要概念，也是我们课程的重点。
通过对线性变换的定义和性质的学习，我了解到了线性变换是指一个满足线性运算规则的函数，它将一个向量空间的元素映射到另一个向量空间中。
通过学习线性变换的性质和矩阵表示，我了解到了线性变换在代数学和其他学科中的广泛应用，如几何变换、数字信号处理等。
在本学期的高等代数课程中，我们还学习了特征值和特征向量的概念。
通过对特征值和特征向量的定义和性质的学习，我了解到了特征值和特征向量可以用来描述线性变换的重要性质，如伸缩率、旋转角度和变换方向等。
此外，我还学习了特征值和特征向量的计算方法，如特征方程和特征向量的计算。
总的来说，在本学期的高等代数课程中，我学到了许多重要的代数性质和概念，并掌握了许多代数运算和求解方法。
《高等代数》教学工作总结
《高等代数》教学工作总结《高等代数》教学工作总结《高等代数》教学工作总结数理学院陈金萍一、教学基本情况1.1教学要求201某201某学年主要教授了信息工程学院计算机专业试点班的《高等代数》，教材由北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组的老师（高等教育出版社）编写。
教学规定为144学时，第一学期80学时，第二学期64学时。
考核方法是平时成绩和表现与期末考试成绩的综合。
教学上要求，注意讲清每一个数学概念及应用的实际意义；注重学生基本运算能力和分析问题能力、解决问题能力的培养；重视理论联系实际，为该专业的学生学习专业知识打下良好的数学和逻辑思维的基础。
1.2教学内容教材上第一至第十章的内容，包括多项式、行列式、线性方程组、矩阵、二次型、线性空间、线性变换、矩阵、欧几里德空间、双线性函数等。
根据教学实践的要求及学时的限制，部分内容稍作删减，如教材上带号以及第十章的内容。
1.3教学情况1.3.1教材处理上比较适度按教学计划和计算机专业的培养目标的要求，合理安排教学内容。
合理选取理论体系适当降低课程内容的理论难度，在保证课程内容科学性的前提下对传统课程内容中的一些部分作处理：例如，课程内容中可以不包括行列式的拉普拉斯定理、二元高次方程组、酉空间、双线性函数与辛空间等内容；多元多项式部分只介绍多元多项式及其次数等简单概念，然后通过实例直接介绍用初等对称多项式表示齐次对称多项式的方法。
同时根据一般本科院校教学的实际需要，结合各章节内容增设一定数量例题，帮助学生理解内容；在习题选取方面采取少而精原则，尽量避免偏题难题。
1.3.2教学时注意化解抽象理论的难度我们叙述一些抽象的数学概念或定理前，总是要给出一些学生易于理解的引例，或者作较充分的文字或记号的铺垫工作。
我们还根据理论体系展开的需要，构作了一些新的引理或定理，不少定理的证明也是很简便的。
对于一些比较困难的定理证明做了细化处理，指出所使用的基础知识，增添一些推导细节，使学生易于理解。
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(A+B)T=AT+BT (kA)T= k AT (AB)T= BT AT (AT)T=A (kA)1= k1A1 (AB) 1= B1 A1 (AT) 1=(A1)T (A1) 1=A (kA)*= kn1A* (AB)*= B*A* (AT)*=(A*)T (A1)*＝(A*)1 (A*)*=|A|n2A* AA*=A*A=|A|E 当A可逆时， A*＝|A|A1 |kA|=kn|A| |AB|=|A||B| |AT|=|A| |A1|=|A|1 |A*|=|A|n1
3
重要结论： • 带余除法定理
对于任意多项式f(x)和非零多项式g(x)，有唯一的q(x) 和r(x)使得 f(x)=g(x)q(x)+r(x)，r(x)=0或degr(x)<degg(x).
• 最大公因式的存在和表示定理
任意两个不全为0的多项式都有最大公因式，且对 于任意的最大公因式d(x)都有u(x)和v(x)使得 d(x)=f(x)u(x)+g(x)v(x)
i1 式A j1
ik i1 代余式 A jk j1
ik jk
Cauchy-Binet
公式 Vandermonde 行列式
| UV |
----- -- i1 im 式 式 U i i V ------- i1 im 1 m 6Leabharlann • 复数域上的标准分解定理
在复数域上，每个次数大于1的多项式f都有如下的 标准分解 n n
f a( x x1 )
1
( x xt )
t
其中a是f的常数项, x1,…,xt 是f全部互不相同的根, n1,…,nt分别是这些根的重数.
• 实数域上的标准分解定理
在实数域上，每个次数大于1的多项式f都有如下的 标准分解
• 互素
f(x)和g(x)互素有u(x)和v(x)使得 f(x)u(x)+g(x)v(x)=1.
4
• 因式分解唯一定理
次数大于1的多项式都可分解成有限个既约多项式之 积，且不计因子次序和常数因子倍时，分解唯一.
• 标准分解定理
每个次数大于1的多项式f都有如下的标准分解
n1 f ap1
ptnt
定义
性质
13
；
Laplace定理 (按第i1,...,ik行展开)
其中a是非零常数, p1,…,pt, 是互不相同的首一既约多 项式, n1,…,nt是正整数. 进一步,a, p1,…,pt,n1,…,nt由f 唯一确定.
• 重因式
f无重因式当且仅当f与其导式互素.
5
代数学基本定理：
下列陈述等价， 1. 复数域上次数≥1的多项式总有根 2. 复数域上的n次多项式恰有n个根 3. 复数域上的既约多项式恰为一次式 4. 复数域上次数≥1的多项式可分解成一次式之积. 5. 实数域上的次数＞1的既约多项式只有无实根的二 次式 6. 实数域上次数≥1的多项式可分解成一次式和二次 式之积
f a( x x1 )m1
n1 ( x xs )ms p1
ptnt
其中a是f的常数项, x1,…,xt 是f全不互不相同的根, p1,…,pt是互异、首一、无实根的二次式.
7
多项式作为函数：
• 两个多项式相等(即对应系数相同)
它们作为函数相等(即在每点的函数值相等)
它们在k+1个点的函数值相等，这里k是它们次数
项式之和 f f0 f1 fn，fn≠0，且其中fi是0或i次 齐次多项式，0≤i≤n，fi称为f的i次齐次分量.
对称多项式基本定理 每个对称多项式，都可唯一
地表示成初等对称多项式的多项式
10
矩阵
运算
行列式
初等变换 和标准形
特殊矩阵
11
运算及其关系
转置 取逆 伴随 行列式 秩数
加 法
|...+...| = |......| + |......| 加性 倍加不变性 |...+k......| = |.........| |aij| = ak1Ak1+…+aknAkn 按第k行 = a1kA1k+…+ankAnk 第k列展开 Laplace定理
| A |
j 1 jk
设
则f(x)是有理数域上的既约多项式. • 有理根：有理根的分母整除首项系数，分子整除常 数项
f ( x) an xn
9
多元多项式
.
基本概念：
次数、齐次分量、字典序、首项、对称多项式
重要结论 命题1.8.1 若多项式的值全为0，则该多项式必为0. 命题1.8.2 每个n次多项式f均可唯一地表示成齐次多
的最大者.
• 设f(x)＝anxn+...+a1x+a0，若f(x)在n+1个点的函数值为0，
则f(x)恒等于0.
8
• Eisenstein判别法：
a1x a0 是整系数多项式，若 2 p | a , p | a ,..., p | a , p | a0 n 有素数p使得 n1 0
12
；
性质 转置不变性 反交换性 交错性 齐性
公式
|AT| = |A| |.........| = |.........| |.........| = 0 |...k...| = k|.......|
备注 行列地位平等
这两个性质等价 统称线性 消法变换 aj1Ak1+…+ajnAkn = a1jA1k+…+anjAnk =jk|aij| 分块三角矩阵的行列式
r(A+B)≤r(A)+r(B) r(kA)=r(A) (k≠0) r(A)+r(B)-n≤ r(AB)≤r(A), r(B) r(AT)=r(A)
n, 若r(A)=n r(A*)= 1, 若r(A)=n-1 0, 若r(A)<n-1
其 它
A-1=|A|-1A*
定义 性质
若P,Q可逆，则 r(A)=r(PA)=r(AQ) =r(PAQ)
总结
高等代数
多项式 计算
矩阵
线性代数
向量 方程组
多项式
一元多项式
多元多项式
2
一元多项式
基本概念：
次数：最基本的概念和工具 整除：多项式之间最基本的关系 带余除法：最基本的算法，判断整除. 最大公因式：描述多项式之间关系的复杂程度 互素：多项式之间关系最简单的情形 既约多项式：最基本的多项式 根：最重要的概念和工具