群论在信号处理中的应用

群论在信号处理中的应用

1 引言

1.1 群论的历史与背景

群论是法国传奇式人物埃瓦里斯特•伽罗瓦（Evariste Galois，1811～1832）的发明。伽罗瓦是一位天才的数学家，但刚过 20 岁就不幸死于一场愚蠢的决斗。伽罗瓦在决斗的前一夜，还在匆匆完成他的伟大数学创造。他创建了群论，并用群论证明了代数方程能用根式求解的条件，证明了一般的五次和五次以上代数方程不能通过有限次加、减、乘、除和开方来精确求解。

群在抽象代数中具有基本的重要地位：许多代数结构，包括环、域和模等可以看作是在群的基础上添加新的运算和公理而形成的。群的概念在数学的许多分支都有出现，而且群论的研究方法也对抽象代数的其它分支有重要影响。群论的重要性还体现在物理学和化学的研究中，因为许多不同的物理结构，如晶体结构和氢原子结构可以用群论方法来进行建模。于是群论和相关的群表示论在物理学和化学中有大量的应用。

1.2 群的定义以及基本性质

首先来简要说明一下群的定义[2]：设G是一个非空集合，*是它的一个代数运算，如果满足以下条件：Ⅰ.结合律成立，即对G中任意元素a,b,c都有 (a*b)*c=a*(b*c)；

Ⅱ.G中有元素e，它对G中每个元素a都有 e*a=a，叫做G的左单位元；G中有元素e，它对G中每个元素a都有 a*e=a，叫做G的右单位元；如果e既是左单位元又是右单位元，则e叫做G的单位元。

Ⅲ.对G中每个元素a在G中都有元素a^(-1)，叫做a的左逆元，使 a^(-1)*a=e；则称G对代数运算*做成一个群。

一般说来，群指的是对于某一种运算*，满足以下四个条件的集合G：

（1）封闭性：若a,b∈G,则存在唯一确定的c∈G,使得a*b=c;

（2）结合律成立：任意a,b,c∈G,有(a*b)*c=a*(b*c);

（3）单位元存在：存在e∈G,对任意a∈G，满足a*e=e*a=a，称e为单位元，也称幺元;

（4）逆元存在：任意a∈G,存在唯一确定的b∈G, a*b=b*a=e（单位元），则称a与b互为逆元素，简称逆元，记作a^(-1)=b.

通常称G上的二元运算*为“乘法”，称a*b为a与b的积，并简写为ab。若群G中元素个数是有限的，则G称为有限群。否则称为无限群。有限群的元素个数称为有限群的阶。

1.3 群论在各领域的应用

群论是近代数学的一个分支，它是研究群的结构及其应用的数学理论。是一门比较抽象的数学学科。因为它可以用于基本粒子、核结构、原子结构和晶体结构等许多学科的各个方面，因此它已成为近代理论研究的很重要的工具，如：在分子结构测定中，需要测定有关晶体结构、红外光谱、偶极距、旋光性等，这些性质主要是由分子的对称性决定的，而分子对称性的研究是以运用群论为基础的[3]。认识物质结构的最重要的理武器是《量子力学》，它对化学的应用便形成了《量子化学》，而群论架起了分子对称性和量子力学之间联系的桥梁。鉴于描述电子运动状态的波函数必须构成分子所属点群的不可约表示的基，所以从分子的对称性出发，运用群论的方法，有助于解决结构化学和量子化学中的许多问题[4]群论在化学方面的应用很广泛，在应用于原子、分子结构问题上，但是它不能回答它们的所有结构问题，只能在一定程度上解决与分子对称性有关的那一部分问题，解决其它问题，还需要其它多方面的知识。

科研工作者们也常常会遇到的很多工程结构物或者机械零件往往具有很多对称性。在过去利用计算尺进行计算时为了减少计算工作量，总是尽量利用结构的对称性质。结构分析的电子计算机方法出现之后，过去手算不能完成的高次超静定结构现在也能解算出精确的解答了。但是随着题目越来越允未知数个数很多，.存储量又显得不够了。而且人们已经不满足于计算一个具体结构，而是进一步作设计，此时需要修改尺寸反复进行计算，计算工作也成为一个大问题了。另外，原始数据的穿孔也使人感到厌烦而容易出错。在这样的条件下结构对称性的利用又具有很大的兴趣了。对于空间结构的分析这个问题就变得比较突出。空间结构一般未知数很多，采用条形矩阵的存储带宽也比较大。存储量的消费比较大，计算工作量也很大，一般的小型计算机就解算不了。而且原始数据的准备也要用掉许多功夫。考虑到空间结构往往具有很多对称性，利用这些条件，可以得到很大利益。过去在结构力学中谈到对称性，往往都是指镜像对称，或者是完全的轴对称。但是现在有一些杆系空间结构，它既没有宪全的轴对称，然而也不止单纯是一个镜像对称而已。对于这样一类对称性结构的分析就应当利用“群论”这个数学工具。利用群论来分析对称性在量子力学中早就应用了，但是在结构分析中还很少见到应用。但一些科研工作者还是采用了群论的数学工具，利用电子计算机解算了一些空间结构的课题[6]。可见，群论在结构分析中也能得到相应的应用。

近年来,有人试图将群论引入到网络理论中,曾得到了一些结果。还有人以群论为工具,研究了网络理论中的双口网络集合,双口变换器集合,用群论的方法找出了它们之间的联系,为网络的设计和分析简化,寻找出有效的途径,同时也是群论的应用的一个新的领域。

群论被广泛用于物理、化学及工程科学等许多领域，尤其是物理学成为受惠最多的学科,从经典物理中对称性和守恒律的研究到量子力学中角动量理论及动力学对称性的探索再到同位旋、超荷和SU（3）对称性在现代基本粒子物理中的应用等无不闪耀着群论思想的光辉[7]。粗略地说，我们经常用群论来研究对称性，这些对称性能够反映出在某种变化下的某些变化量的性质。它也跟物理方程联系在一起。基础物理中常被提到的李群，就类似与伽罗瓦群被用来解代数方程，与微分方程的解密切相关。

在物理上，置换群是很重要的一类群。置换群包括S3群，二维旋转群，三维旋转群以及和反应四维时空相对应的洛仑兹群。洛仑兹群加上四维变换就构成了Poincare群。

另外，晶体学中早期的关于晶体的各种结构的问题中，也是靠群论中的费得洛夫群的研究给出了答案。群论指出，空间中互不相同的晶体结构只有确定的230种。