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复变函数-孤立奇点及分类市公开课一等奖省赛课获奖PPT课件
4、函数在无穷远点性态
在扩充的复平面上，如果函数 f (z) 在 z 的
去心邻域 R | z | 内解析（R 0）, 则称点
为 f (z) 的孤立奇点
定义 如果t 0是f (1)的可去奇点，m阶极点或本性奇点，
t 则称z 为f (z)的可去奇点，m阶极点或本性奇点
例 函数 1 2z 3z2 4z3 是否以 z 为孤立奇点？ 若是，属于哪一类？
sin z
(ez
z
1)
由于 sin z z
zk
0且
sin z
z
在zk解析，
而(ez 1) zk 0, (ez 1) zk ezk 0
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于是 zk 2ki (k 1,2,...)是ez 1的一级零点。
因此是f (z)的一级极点。
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所以，z 1为f (z)的一级零点。
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（v)
z0为f
( z )的m级极点
z0为
f
1 的m级零点； (z)
(vi)
若f
(z)
P(z) , Q(z)
P(z0 )
0且P ( z )在z0点解析，
若z0是Q(z)的m级零点，则必为 f (z)的m级极点。
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第五章 留数及其应用
• 孤立奇点概念 • 留数定义、计算、留数定理 • 留数定理应用（积分计算）
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1
第1页
5.1 孤立奇点分类
1、孤立奇点定义
若f (z)在z0点不解析，但在z0的某个去心邻域内解析
第4章5孤立奇点
9
四、极点的阶 极点的阶 −m −1 关于 ( z − z0 ) 的最高幂为 ( z − z0 ) 如果 洛朗级数中
+ c0 + c1( z − z0 ) +... + cn ( z − z0 )n +... −m [c− m +... + c−1 ( z − z0 )m −1+ c0( z − z0 )m = ( z − z0 ) + c1 ( z − z0 )m +1 +... + cn ( z − z0 )m + n +...] 其中 c− m ≠ 0, 则 z0 称为 f ( z ) 的m阶极点 中括号里的幂级数在 z0某个邻域内 收敛, 其和函数 收敛, g ( z ) 在 z0 解析, 且 g ( z0 ) = c− m ≠ 0, 解析, 综上所述 如果 z0 是 f ( z ) m阶极点, 则存在函数 g ( z ) 在 的 极点, g( z ) z0 解析, 且 g ( z0 ) ≠ 0 使 f ( z ) = 解析, ( z − z0 ) m
6
定理4.27 定理4.27
z0为 f ( z ) 的本性奇点
不存在， ⇔ lim f ( z ) 不存在，不为 ∞ . z→ z
0
例如 z = 0 是 因为 lim
e
1 x
x → 0−
e = 0, e
1 z
1 z 的本性奇点 1 x
x→0
lim +
e = +∞,
∞.
7
lim
z→ 0 →
不存在，不为 不存在，
z (1 − z )
1.
孤立奇点的分类: 孤立奇点的分类: f ( z ) 在 0 < | z − z0 | < δ 内的 洛朗级数 内的洛朗级数
复习课件复变函数第16讲.ppt
ez :
z 0是它的1级极点或者称为单极点.
z
e z
1
zn 1 1
z zn-1 .
z z n0 n! z
2!
n!
1 的极点是z 0和z 1. z2 (z - 1)
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5
2.3 本性奇点：展式中含有无穷多个z-z0负幂项,
则z0称为f (z)的本性奇点.
特点?
1
e z : z 0是它的本性奇点.
2 r Mr n ,
由于r为任意小的正数，故c-n 0.证毕.
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8
性质2（m级极点的特征）
若 z0 为 f (z) 的孤立奇点，则下列条件等价 ：
(i) f (z)在点z0的主要部分为
c- m (z - z0 )m
c-1 z - z0
(
c- m
0, m
1).
去心 邻域
h( z ) (ii) f (z) (z - z0 )m
)(z
-
z0
)
h ''( z0 2!
)
(z
-
z0
)2
则
f
(z)
h(z0 ) (z - z0 )m
h'(z0 ) (z - z0 )m-1
h(m)(z0 ) m!
例如：
z2 2 f (z) (z2 1)(z - 1)4
z 1为f (z)的一个4级极点，z i 为f (z)的单极点.
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(z z0 ),
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12
性质6 （极点的运算性质）
若z0分别是f (z)和g(z)的 m级和n级零点，则
(1) z0是f (z) g(z)的 m n级零点；
§4.4-孤立奇点
(III) f(z)在点的充分小邻域内有界。
例2、将 f ( z )
解：首先令：
1 在2|z|+内展开为Laurant级数。 z 1 ( z 2)
1 1 1 f ( z) z 1 ( z 2) z 2 z 1 1 1 1 z 1 ( z 2) z 1 2 z z 1 1 z
定理4.1：为函数f(z)的可去奇点的充要条件：
(I) 函数f(z)在点没有主要部分；
(II) 函数 lim f ( z )存在并且有限； z (III) f(z)在点的充分小邻域内有界。 证明：首先由(I)得，在的邻域内有： ( z ) c0 c1 ( z ) f
f ( z)
n
c z c z
n n n 0 n
1
n
我们将后面的正幂次项部分称为正则部分，而将前面的负幂 次项部分称为主要部分。
根据Laurant展式中主要部分的性质，可以将孤立奇点分为三 种类型：
(I) 若Laurant展式中无主要部分，则为可去奇点。
n 0 n
函数f(z)是在0|z- |R圆内的解析函数， f(z)在点无定义、 不可微。如果将f(z)在点的值重新定义为： f(z)=c0，则f(z)在 点的奇异性就去掉了，则函数f(z)可以用上面的Laurant展开 式在|z- |R实心圆内完全表示，因此称这样的奇点为可去奇 点。
定理4.5：若为函数f(z)的m阶极点的充要条件为：
(I) 函数f(z)在点主要部分为： cn z n ；
f (II) f(z)在点的无心邻域内能表示成： ( z ) ( z ) z m
n 1
m
5.2 孤立奇点
第五章第二节、孤立奇点2.孤立奇点的分类-极点（2）、如果只有有限个（至少一个）负整数n ，使得,0 n 那么我们说是f (z )的极点。
0z 设对于正整数m ，,0 m 而当n<-m 时，,0 n 那么我们是f (z )的m 阶极点。
按照m=1或m>1，我们也称是f (z )的单极点或m 重极点。
0z 0z3.可去奇点的刻画定理5.4若函数f (z )在)0(||0:0 R R z z D 内解析，那么是f (z )的可去奇点的必要与充分条件是：存在着极限，0z 0)(lim 0 z f z z 其中是一个复数。
0 证明：（必要性）。
由假设，在内，f (z )有洛朗级数展式：R z z ||00...)(...)()(0010 nn z z z z z f因为上式右边的幂级数的收敛半径至少是R ，所以它的和函数在内解析，于是显然存在着：R z z ||0.)(lim 00z f z z （充分性）。
设在内，f (z )的洛朗级数展式是R z z ||00,)()(0n nn z z z f 由假设，存在着两个正数M 及，使得在内，)(0R 00||0 z z ,|)(|M z f推论：函数f (z ))0(||0:0 R R z z D 内解析，那么是f (z )的可去奇点的必要与充分条件是：存在着某一个正数，使得f (z )在内有界。
0z 00||0 z z )(0R 下面研究极点的特征。
设函数f (z )在R z z ||00内解析，是f (z )的阶极点，那么，f (z )有洛朗展式：0z )1( m在这里是一个在内解析的函数，并且)(z R z z ||0R z z ||00)(0 z 反之，如果函数f (z )在Rz z ||00内可以表示成为上面的形状，而是一个在内解析的函数，并且，那么可以推出是f (z )的m 阶极点。
)(z 0)(0 z 0z推论：设函数f (z )在)0(||0:0 R R z z D 内解析，那么是f (z )的m 阶极点的必要与充分条件是：0z mmz z z f z z )()(lim 00在这里m 是一个正整数，是一个不等于0的复数。
南大复变函数与积分变换课件51孤立奇点
重点与难点：重点在于理解复数和复变函数的基本概念，掌握复变函数的微积分和积 分变换的方法；难点在于理解孤立奇点的相关理论和应用 单击此处添加文本具体内容，简明扼要地阐述您的观点。根据需要可酌情增减文字， 以便观者准确地理解您传达的思想。单击此处添加文本具体内容，简明扼要地阐述您 的观点
教学方法：采用讲解、演示和练习相结合的方式，通过例题和习题的练习，加深对知 识点的理解和掌握 单击此处添加文本具体内容，简明扼要地阐述您的观点。根据需要可酌情增减文字， 以便观者准确地理解您传达的思想。单击此处添加文本具体内容，简明扼要地阐述您 的观点
● 课件中关于孤立奇点的判定
● 判定：对于可去奇点，可以通过计算函数在该点的极限值来判断；对于极点和本性奇点，可以通过观察函数在该点附近的 性质来判断。 课件中关于孤立奇点的应用
● 课件中关于孤立奇点的应用
● 应用：孤立奇点在复变函数和积分变换中有着广泛的应用，例如在求解某些微分方程时，可以通过寻找函数的孤立奇点来 确定解的形态。
南大复变函数与积分变 换课件内容概述
课件结构与内容安排
课件结构：按照知识点进行划分，每个知识点都配有相应的例题和习题 单击此处添加文本具体内容，简明扼要地阐述您的观点。根据需要可酌情增减文字， 以便观者准确地理解您传达的思想。单击此处添加文本具体内容，简明扼要地阐述您 的观点
内容安排：先介绍复数和复变函数的基本概念，再介绍复变函数的微积分、级数和积分变换等 内容，最后介绍孤立奇点的相关理论和应用 单击此处添加文本具体内容，简明扼要地阐述您的观点。根据需要可酌情增减文字，以便观者 准确地理解您传达的思想。单击此处添加文本具体内容，简明扼要地阐述您的观点
复变函数的定义
复数的基本概念 复变函数的定义 复变函数的性质 复变函数的应用
教学方法：采用讲解、演示和练习相结合的方式，通过例题和习题的练习，加深对知 识点的理解和掌握 单击此处添加文本具体内容，简明扼要地阐述您的观点。根据需要可酌情增减文字， 以便观者准确地理解您传达的思想。单击此处添加文本具体内容，简明扼要地阐述您 的观点
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● 判定：对于可去奇点，可以通过计算函数在该点的极限值来判断；对于极点和本性奇点，可以通过观察函数在该点附近的 性质来判断。 课件中关于孤立奇点的应用
● 课件中关于孤立奇点的应用
● 应用：孤立奇点在复变函数和积分变换中有着广泛的应用，例如在求解某些微分方程时，可以通过寻找函数的孤立奇点来 确定解的形态。
南大复变函数与积分变 换课件内容概述
课件结构与内容安排
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复变函数的定义
复数的基本概念 复变函数的定义 复变函数的性质 复变函数的应用
第4章5孤立奇点
3
12
例2 在 C 上 下列函数有什么奇点？ 如果是极点, 指出它的阶.
z (n为正整数) n 1 z 解 1 z n 0, z n 1 e i , k 0,1, 2,..., n 1
(1) f ( z )
2n
是它的一阶极点 f ( z ) 在 1 | z | 内解析, 为 f ( z ) 的孤立奇点.
反过来也正确
f ( z ) 在 z0 的负幂项部分只有有限项 1
0
g( z ) 内解析, 且 g( z0 ) 0 使 f ( z ) ( z z0 ) m 推论 如果函数 g( z ) 在 | z z0 | 内解析, g( z ) 且 g( z0 ) 0 则z0是 m 的m阶极点 ( z z0 ) z2 有五阶极点 z 1 例如 5 ( z 1) z2 z i , 三阶极点 z 4 2 3 有一阶极点 ( z 1) ( z 4) z 2 有二阶极点 z 0, 四阶极点 z i z 2( z 2 1)4 1 1 有二阶极点 z 1 3 2 ( z 1)2 ( z 1) 一阶极点z 1 z z z1 10
1 1 2n i 因为当 z 时 z 2n i
e 1 0,
1 z
2
z0
c n ( z z0 ) n... c1 ( z z0 )1 f ( z ) ... n c0 c1 ( z z0 ) ... cn ( z z0 ) ... z0 为 f ( z ) 的可去奇点 f ( z ) 在 z0 的负幂项部分为零 lim f ( z ) 存在 z z
n
( 1) n 1 1 2 1 3 ln(1 z) z ... 1 z z z ... （11） z 4 2 n1 3 0 | z | 1 z 0 是它的可去奇点.
12
例2 在 C 上 下列函数有什么奇点？ 如果是极点, 指出它的阶.
z (n为正整数) n 1 z 解 1 z n 0, z n 1 e i , k 0,1, 2,..., n 1
(1) f ( z )
2n
是它的一阶极点 f ( z ) 在 1 | z | 内解析, 为 f ( z ) 的孤立奇点.
反过来也正确
f ( z ) 在 z0 的负幂项部分只有有限项 1
0
g( z ) 内解析, 且 g( z0 ) 0 使 f ( z ) ( z z0 ) m 推论 如果函数 g( z ) 在 | z z0 | 内解析, g( z ) 且 g( z0 ) 0 则z0是 m 的m阶极点 ( z z0 ) z2 有五阶极点 z 1 例如 5 ( z 1) z2 z i , 三阶极点 z 4 2 3 有一阶极点 ( z 1) ( z 4) z 2 有二阶极点 z 0, 四阶极点 z i z 2( z 2 1)4 1 1 有二阶极点 z 1 3 2 ( z 1)2 ( z 1) 一阶极点z 1 z z z1 10
1 1 2n i 因为当 z 时 z 2n i
e 1 0,
1 z
2
z0
c n ( z z0 ) n... c1 ( z z0 )1 f ( z ) ... n c0 c1 ( z z0 ) ... cn ( z z0 ) ... z0 为 f ( z ) 的可去奇点 f ( z ) 在 z0 的负幂项部分为零 lim f ( z ) 存在 z z
n
( 1) n 1 1 2 1 3 ln(1 z) z ... 1 z z z ... （11） z 4 2 n1 3 0 | z | 1 z 0 是它的可去奇点.
第2节解析函数的孤立奇点
f (z)
A.这样由定理5.7,函数(z)
1 f (z) A
在K {a}内解析,且以a为本质奇点.
由(1)的结论, 必有一个趋于a的点列{zn}存在,使得
lim
zn a
(
zn
)
.
从而
lim
zn a
f
(zn )
A.
注: 设a为函数f (z)的本质奇点,则无论怎样小的去心邻
域内,函数f (z)可以取任意接近于预先给定的任何数值.
za
即 M 0, 0,使当0 z a 时, f (z) M; 即f (z)在0 z a 内无异于a的零点, 矛盾
故z a为f (z)的本质奇点.
五 Picard定理
1定理5.8(Weierstrass) 如果a为函数f (z)的本质奇点,
则对任何常数A, 不管它是有限还是无穷, 都有一个收
证明 "(1) (2)" 由于
f (z) c0 c1(z a) cn(z a)n (0 z a R)
"(2)
故
lz(i3m)a"f由(z于) licm0
; f (z)
b,
(b
);
za
由函数极限的性质, f (z)在点a的某去心邻域内有界;
"(3) (1)" 设 f (z) M, z K {a}
六 Schwarz定理
如果函数f (z)在单位圆 z 1内解析,并且满足条件
f (0) 0; f (z) 1,( z 1); 则在单位圆 z 1内恒有
f (z) z 且有 f ' (0) 1;
如果上式等号成立,或在圆 z 1内一点z0 0处 前一式的等号成立, 则(当且仅当)
孤立奇点的处理方法(共164张PPT)
(1)n
(2n
1 1)!( z
1)2n1
cos1 sin1
cos1
sin1 z 1 2!(z 1)2 3!(z 1)3
(1)n sin1 (2n)!(z 1
(1)n
(2n
cos1 1)!(z 1)2n1
.
三． 孤立奇点的分类 1 与孤立奇点相联系的Laurent级数的
特性
2 孤立奇点的分类
为在 R1 z z0 R2 内处处解析的函数 f z 建立一
个类似 Taylor 级数的工具，那就是 Laurent 级数。
f
定理 1. 设
z R 在环域： 1 z z0 R2 内处处
解析，则它在此环域内可惟一的展开成
f z ck z z0 k k
其中对 k 0, 1, 2,... ，
0
2 的 Laurent 系数）
z
证：对于
R1
z z0
R2
，可取正数
r1 r2 ， 满 足 R1 r1 r2 R2 ， 使 得
z r1 z z0 r2
，且
r1 z z0 r2 R1 z z0 R2
f
，于是由定理条件可知
z 在 r1 z z0 r2
1
(1
1
)zn
1 z 2(1 z ) n0
2 n 1
2
f (z) 此即
在圆 z 1内的泰勒展式。
(1)在圆环1
z
2 内,即有
1 z
1,
z 2
1
f
(z)
1 2
1
1 z
2
1 z
1 1 1
z
1 2
n0
zn 2n
复变函数与积分变换51孤立奇点课件
复变函数与积分变换51孤 立奇点课件
• 复变函数与积分变换概述 • 孤立奇点的性质 • 孤立奇点的计算方法 • 孤立奇点的应用 • 总结与展望
01
复变函数与积分变换概述
复数与复变函数
复数
由实数和虚数组成的数，表示为 a+bi，其中 a 和 b 是实数，i 是虚数单位。
复变函数
以复数为自变量的函数，即定义在复数域上的 函数。
在复变函数中，洛朗兹变换可以用于计算孤立奇点的位置和性质。
通过将复平面上的函数映射到洛朗兹群上，可以更加方便地处理奇点的计算问题。
利用拉普拉斯变换计算孤立奇点
拉普拉斯变换是一种将时域函数转换为频域函数 的数学工具。
在处理具有不连续点的函数时，拉普拉斯变换非 常有用。
通过拉普拉斯变换，可以找到函数在无穷远处的 行为，从而确定孤立奇点的位置和性质。
应用
在解决某些积分问题时，可以通过消除可去奇点 来简化计算。
极点
定义
如果函数在某点的极限值为无穷大，则称该点为极点。
性质
在极点处，函数的值会趋于无穷大，且函数在该点的 左右极限值不相等。
应用
在解决积分问题时，可以通过计算极点的留数来得到 积分的值。
本性奇点
01
定义
如果函数在某点的极限值不存在 且不是无穷大，则称该点为本性 奇点。
时空奇点。孤立奇点在相对论中也有重要的应用，例如在描述黑洞和宇
宙大爆炸等极端物理现象时。
在工程中的应用
信号处理中的奇异点
在信号处理中，信号可能会在某些点上表现出奇异性，这些点被称为信号奇异点。孤立奇 点在信号处理中有广泛的应用，例如在语音识别、图像处理和数据压缩等领域。
控制工程中的奇异点
• 复变函数与积分变换概述 • 孤立奇点的性质 • 孤立奇点的计算方法 • 孤立奇点的应用 • 总结与展望
01
复变函数与积分变换概述
复数与复变函数
复数
由实数和虚数组成的数，表示为 a+bi，其中 a 和 b 是实数，i 是虚数单位。
复变函数
以复数为自变量的函数，即定义在复数域上的 函数。
在复变函数中，洛朗兹变换可以用于计算孤立奇点的位置和性质。
通过将复平面上的函数映射到洛朗兹群上，可以更加方便地处理奇点的计算问题。
利用拉普拉斯变换计算孤立奇点
拉普拉斯变换是一种将时域函数转换为频域函数 的数学工具。
在处理具有不连续点的函数时，拉普拉斯变换非 常有用。
通过拉普拉斯变换，可以找到函数在无穷远处的 行为，从而确定孤立奇点的位置和性质。
应用
在解决某些积分问题时，可以通过消除可去奇点 来简化计算。
极点
定义
如果函数在某点的极限值为无穷大，则称该点为极点。
性质
在极点处，函数的值会趋于无穷大，且函数在该点的 左右极限值不相等。
应用
在解决积分问题时，可以通过计算极点的留数来得到 积分的值。
本性奇点
01
定义
如果函数在某点的极限值不存在 且不是无穷大，则称该点为本性 奇点。
时空奇点。孤立奇点在相对论中也有重要的应用，例如在描述黑洞和宇
宙大爆炸等极端物理现象时。
在工程中的应用
信号处理中的奇异点
在信号处理中，信号可能会在某些点上表现出奇异性，这些点被称为信号奇异点。孤立奇 点在信号处理中有广泛的应用，例如在语音识别、图像处理和数据压缩等领域。
控制工程中的奇异点
第4章5孤立奇点
z 0是 可去奇点
4
ln(1 z ) lim
z 0
z
1 lim 1, z 0 1 z
二、极点 若 f ( z ) 在 0 | z z0 | 内 的洛朗级数 例如 有有限多个 负幂项， z0为 f ( z ) 的极点 则
推论4.22
1 的孤立奇点: z 0, z 1 当 0 | z | 1 时 z 2 (1 z ) 1 1 1 2 2 (1 z z 2 z 3 ... z n ...) z 1 z z 1 2 1 z ... z n ... z z 1 lim ? z 0 是它的 极点 2 z 0 z (1 z )
动点 z 沿实轴 趋于
证
当 z x 时
2
1 1 2 z sin x sin x z 1 当 z 时 动点 z 沿正虚轴 趋于 0 iy y y y 1 1 2 e e z sin 2 sin iy z ( iy ) i 2 y2 1 2 结论正确 z 0 是 z sin 本性奇点 z
反过来也正确
9
即 f ( z ) c m ( z z0 ) m ... c1 ( z z0 )
1
g( z ) 定理4.21 z0是 f ( z ) 的m阶极点 f (z) m ( z z0 ) 其中 g( z ) 在 z0 解析,且g( z0 ) 0 z2 极点 z 1 5 阶 ? 例如 5 ( z 1) 1 1 ? 72页 极点 z 1 2 阶 2 z 3 z 2 z 1 ( z 1) ( z 1) 11(3) ? z 1 1 阶 z 11(5) ? z 极点 z i 1 阶 2 ( z 1) (1 e ) ? z i (2k 1) 1 阶 1 11(1) 3 2 ? 3阶 极点 z 0 2 z ( z 1) ? 2k 1 z i 2 阶 2n i z n 11(4) 1 极点 z k 1 阶 11(10) ? n 极点 sin z 1 z 为整数 ? 1 阶 10 k
4
ln(1 z ) lim
z 0
z
1 lim 1, z 0 1 z
二、极点 若 f ( z ) 在 0 | z z0 | 内 的洛朗级数 例如 有有限多个 负幂项， z0为 f ( z ) 的极点 则
推论4.22
1 的孤立奇点: z 0, z 1 当 0 | z | 1 时 z 2 (1 z ) 1 1 1 2 2 (1 z z 2 z 3 ... z n ...) z 1 z z 1 2 1 z ... z n ... z z 1 lim ? z 0 是它的 极点 2 z 0 z (1 z )
动点 z 沿实轴 趋于
证
当 z x 时
2
1 1 2 z sin x sin x z 1 当 z 时 动点 z 沿正虚轴 趋于 0 iy y y y 1 1 2 e e z sin 2 sin iy z ( iy ) i 2 y2 1 2 结论正确 z 0 是 z sin 本性奇点 z
反过来也正确
9
即 f ( z ) c m ( z z0 ) m ... c1 ( z z0 )
1
g( z ) 定理4.21 z0是 f ( z ) 的m阶极点 f (z) m ( z z0 ) 其中 g( z ) 在 z0 解析,且g( z0 ) 0 z2 极点 z 1 5 阶 ? 例如 5 ( z 1) 1 1 ? 72页 极点 z 1 2 阶 2 z 3 z 2 z 1 ( z 1) ( z 1) 11(3) ? z 1 1 阶 z 11(5) ? z 极点 z i 1 阶 2 ( z 1) (1 e ) ? z i (2k 1) 1 阶 1 11(1) 3 2 ? 3阶 极点 z 0 2 z ( z 1) ? 2k 1 z i 2 阶 2n i z n 11(4) 1 极点 z k 1 阶 11(10) ? n 极点 sin z 1 z 为整数 ? 1 阶 10 k
积分变换 PPT
z → z0
lim f ( z ) = ∞ .
z = 0 是二级极点 z = −2 是一级极点 是二级极点, 是一级极点.
10
2)极点的判定方法 极点的判定方法 (1) 由定义判别
f (z ) 的洛朗展开式中含有 z − z 0 的负幂项为有 限项 限项.
(2) 由定义的等价形式判别
g( z ) 在点 z0 的某去心邻域内 f ( z ) = ( z − z0 ) m
的邻域内解析, 其中 g (z ) 在 z0 的邻域内解析 且 g ( z0 ) ≠ 0.
lim (3) 利用极限 z z f ( z ) = ∞ 判断 . →
0
11
课堂练习
1 求 3 级数. 的奇点, 如果是极点, 的奇点 如果是极点 指出它的 级数 2 z − z − z+1
答案
1 1 , 由于 3 = 2 2 z − z − z + 1 ( z + 1)( z − 1)
lim (2) 判断极限 z→ z f ( z ) : 若极限存在且为有限值 若极限存在且为有限值, →
→
0
则 z0 为 f (z ) 的可去奇点 的可去奇点.
6
例3
sin z 1 2 1 4 中不含负幂项, = 1 − z + z − L 中不含负幂项 z 3! 5!
sin z z=0是 的可去奇点 . z
9
说明: 说明 (1)
g ( z ) = c− m + c− m +1 ( z − z0 ) + c− m + 2 ( z − z0 ) 2 + L
特点: 特点
1. 在 z − z 0 < δ 内是解析函数 2. g ( z0 ) ≠ 0
第一讲 孤立奇点
cn ( z z0 )n m ]
cm cm1 ( z z0 ) c0 ( z z0 )m 记F ( z ) cn ( z z0 )n m
则F ( z )在z0解析，且F ( z0 ) c m 0
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若 z0 为 f ( z ) 的m 级极点，由定义
f ( z ) cm ( z z0 )m c0 cn ( z z0 )m
1 m [ c c ( z z ) c ( z z ) m m 1 0 0 0 ( z z0 ) m
例 4、求 f ( z ) 1 sin z 的全部零点，并指出它们的级。
解：1 sin z 在z 平面上解析。由1 sin z 0 得
z 2k
2
这就是 f ( z ) 在z 平面上的全部零点
上页 返回 结束
因为
f ( z ) |z 2 k cos z |z 2 k 0
z z0
作为本性奇点还满足
定理 4、如果 z0 为函数的本性奇点，那么对于任意给 定的复数 A ，总可以找到一个趋向于 z0的数列，当 z
A 。 沿这个数列趋向于 z0 时， f ( z ) 的值趋向于
上页 返回 结束
例 3、下列函数有些什么样的奇点？若是极点指明其级？
ez 1 1 cos z 1) 2 2) 1 2 z z z e 1 ez 1 解：1) f ( z ) 只有z 0为奇点 2 z
2 2
f ( z ) |z 2 k sin z |z 2 k 1
所以 z 2k
2
2
2
高校工程数学孤立奇点教学课件
z z0
在判断函数的极点时，可比较性质2和性质3。
总结
综上所述，如果z0为f(z)的可去奇点，那末 在且有限；如果z0为f(z)的极点，那末 如果z0为f(z)的本性奇点，那末 存 ； 不存在且不为∞。
因已讨论了孤立奇点的一切可能情形，所以反过来的结论
也戍立。
即可以利用上述极限的不同情形来判别奇点类型。
从而函数f(z)在z0就成为解析的了，由这个原因，所以z0
叫做可去奇点。
可去奇点
说明: (1) z0若是f ( z )的孤立奇点 ,
f ( z ) c0 c1 ( z z0 ) cn ( z z0 ) .
n
( 0 z z0 )
其和函数 F ( z ) 为在 z0 解析的函数.
1 z 1是函数 的孤立奇点. z 1
孤立奇点的概念
例如 z 0 是函数
sin z z
的孤立奇点.
1 1 si n z 的奇点 .
1 z 0, z ( n 1, 2,)都 是f ( z ) n
注意：孤立奇点一定是奇点，但奇点不一定是孤 立奇点。
孤立奇点 真的孤立？
其中，g(z)在|z–z0|<δ内是解析的函数，且g(z0)≠0。 反过来，当任何一个函数f(z)能表示为(5.1.1)的形式时， 那末z0是f(z)的m级极点。
极点的判定方法
(1) 由定义判别
f ( z ) 的洛朗展开式中含有 z z0 的负幂项为有 限项.
(2) 由定义的等价形式判别
g( z ) 在点 z0 的某去心邻域内 f ( z ) ( z z0 ) m
孤立奇点的性质
z2 2 例如： f ( z ) 2 ( z 1)( z 1)4
在判断函数的极点时，可比较性质2和性质3。
总结
综上所述，如果z0为f(z)的可去奇点，那末 在且有限；如果z0为f(z)的极点，那末 如果z0为f(z)的本性奇点，那末 存 ； 不存在且不为∞。
因已讨论了孤立奇点的一切可能情形，所以反过来的结论
也戍立。
即可以利用上述极限的不同情形来判别奇点类型。
从而函数f(z)在z0就成为解析的了，由这个原因，所以z0
叫做可去奇点。
可去奇点
说明: (1) z0若是f ( z )的孤立奇点 ,
f ( z ) c0 c1 ( z z0 ) cn ( z z0 ) .
n
( 0 z z0 )
其和函数 F ( z ) 为在 z0 解析的函数.
1 z 1是函数 的孤立奇点. z 1
孤立奇点的概念
例如 z 0 是函数
sin z z
的孤立奇点.
1 1 si n z 的奇点 .
1 z 0, z ( n 1, 2,)都 是f ( z ) n
注意：孤立奇点一定是奇点，但奇点不一定是孤 立奇点。
孤立奇点 真的孤立？
其中，g(z)在|z–z0|<δ内是解析的函数，且g(z0)≠0。 反过来，当任何一个函数f(z)能表示为(5.1.1)的形式时， 那末z0是f(z)的m级极点。
极点的判定方法
(1) 由定义判别
f ( z ) 的洛朗展开式中含有 z z0 的负幂项为有 限项.
(2) 由定义的等价形式判别
g( z ) 在点 z0 的某去心邻域内 f ( z ) ( z z0 ) m
孤立奇点的性质
z2 2 例如： f ( z ) 2 ( z 1)( z 1)4
5-1孤立奇点
Байду номын сангаас
由m级极点的定义可得
f z z z0
若令
m
[c m c m 1 z z0 c m 2 z z0 2 ]
2
则 gz 是在 z z0 内解析的函数， 且 gz0 c m 0， 从而f(z)的m级极点的定义也可以叙述成: 若 f z
z c0 c1 z z0 c2 z z0 , 其中 c0 z0 0。
于是 f
z c0 z z0 m c1 z z0 m1 c2 z z0 m2 ,
m1
f z0 0
f z c0mz z0
第五章 留数
本章先以洛朗级数为工具,研究解析函数的孤立奇点.然后引入 留数概念,介绍留数定理,应用留数定理计算沿闭曲线的积分以及 高等数学中计算复杂甚至不能计算的定积分和广义积分.
§1 孤立奇点 §2 留数 §3 留数在定积分计算上的应用
§1 孤立奇点
定义 如果函数f(z)虽在z0不解析,但在z0的某一个去心邻域
lim f z lim F z F z0 c0
z z0 z z0
所以不论f(z)原来在z0是否有定义,如果我们规定 那末在z0的邻域
f z0 c0
f z c0 c1 z z0 cn z z0
n
z z0 内就有
e e
zn
2n i
1; e e
zn
2n1 i
1;
e
1 zn
e
1 2 n i 2
i.
这说明:在函数f(z)的本性奇点z0的邻域内,对于任意给定的复数A, 总可以找到一个趋向于z0的数列,当z沿这个数列趋向于z0时,f(z)的值 趋向于A. f z 不存在但不为∞. 这实际是指,z趋向于zo时,f(z)的极限 lim z z
由m级极点的定义可得
f z z z0
若令
m
[c m c m 1 z z0 c m 2 z z0 2 ]
2
则 gz 是在 z z0 内解析的函数， 且 gz0 c m 0， 从而f(z)的m级极点的定义也可以叙述成: 若 f z
z c0 c1 z z0 c2 z z0 , 其中 c0 z0 0。
于是 f
z c0 z z0 m c1 z z0 m1 c2 z z0 m2 ,
m1
f z0 0
f z c0mz z0
第五章 留数
本章先以洛朗级数为工具,研究解析函数的孤立奇点.然后引入 留数概念,介绍留数定理,应用留数定理计算沿闭曲线的积分以及 高等数学中计算复杂甚至不能计算的定积分和广义积分.
§1 孤立奇点 §2 留数 §3 留数在定积分计算上的应用
§1 孤立奇点
定义 如果函数f(z)虽在z0不解析,但在z0的某一个去心邻域
lim f z lim F z F z0 c0
z z0 z z0
所以不论f(z)原来在z0是否有定义,如果我们规定 那末在z0的邻域
f z0 c0
f z c0 c1 z z0 cn z z0
n
z z0 内就有
e e
zn
2n i
1; e e
zn
2n1 i
1;
e
1 zn
e
1 2 n i 2
i.
这说明:在函数f(z)的本性奇点z0的邻域内,对于任意给定的复数A, 总可以找到一个趋向于z0的数列,当z沿这个数列趋向于z0时,f(z)的值 趋向于A. f z 不存在但不为∞. 这实际是指,z趋向于zo时,f(z)的极限 lim z z
5-1孤立奇点
复 变 函 数 与 积 分 变 换
ez 1 对m Z讨论函数f ( z ) m 在z 0处的性质. z 1 有哪些奇点 ? 如果是极点, 例2 函数 sin z 指出它的阶数 . z 例3 求f ( z ) 的奇点， 2 z (1 z )(1 e )
如果是极点指出它的阶。 zn 例4 求 f ( z ) z ( n Βιβλιοθήκη 0)的极点。 e 1例如
f (z) e
1 z
----z=0为孤立奇点
复 变 函 数 与 积 分 变 换
1 f (z) ----z=1为孤立奇点 z 1 1 f (z) 1 sin z ----z=0及z=1/n (n = 1 , 2 ,…)都是它的奇点
哈 尔 滨 工 程 大 学
1 但因为lim 0, 所以在z 0不论多么小的 n n y 去心邻域内,总有f ( z )的奇点存在，
故z 0不是 1 1 sin z 的孤立奇点。
复 变 函 数 与 积 分 变 换
o
x
这说明奇点 未必是孤立的。
哈 尔 滨 工 程 大 学
二、 孤立奇点的分类 以下将f (z)在孤立奇点的邻域内展成洛朗级 数，根据展开式的不同情况，将孤立点进行 分类。 定义 z0是f (z)的一个孤立奇点，在z0的去心 邻域内，若f (z)的洛朗级数
e z 1 z n 1 z z n 1 1 z z n 0 n ! z 2! n!
z 0是函数的一阶极点
复 变 函 数 与 积 分 变 换
1 2 1 n e 1 z z z 2! n!
1 z
1
z 0是函数的本性奇点
三、孤立奇点的性质
z 0
1 z
11第十一讲孤立奇点
反过来, 当任何一个函数f(z)能表示为(5.1.1)的 形式, 且g(z0)0时, 则z0是f(z)的m级极点. 如果z0为f(z)的极点, 由(5.1.1)式, 就有
lim | f (z) | 或写作 lim f (z) .
zz0
zz0
例如, 对有理分式函数f
(z)
(z2
z2 1)( z 1)3
,
z 1是它的三级极点, z i是它的一级极点.
3. 本性奇点
如果在洛朗级数中含有无穷多个z-z0的负幂项, 则孤立奇点z0称为f1(z)的本性奇点.
例如,函数f (z) e z以z 0为它的本性奇点.
因为在级数
1
ez
1 z 1
1
z 2
1
z n
2!
n!
中含有无穷多个z的负幂项.
在本性奇点的邻域内, 函数f(z)有以下的性质 (证明从略): 如果z0为函数f(z)的本性奇点, 则 对任意给定的复数A, 总可以找到一个趋向于 z0的数列, 当z沿这个数列趋向于z0时, f(z)的值 趋向于A. 例如, 给定复数A=i, 我们把它写成
是
1 f (z)
的 m 级零点.
1
反过来, 如果 z0 是 f (z) 的 m 级零点, 则
f
1 (z)
(z
z0 )mj (z).
这里j(z)在 z0 解析, 并且j(z0)0,
由此, 当zz0时, 得
f
(z)
(z
1 z0 )m
(z)
而(z)=1/j(z)在z0解析, 并且(z0)0, 所以z0
(1)n (z 1)n
1
z1 z2
1 (z 1)2
n0
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在给出极点的性质之前，先给出与极点紧密相关的
零点的定义。 定义2 设函数 f (z)在 | z z0 | R内解析，且 f (z0 ) 0,
则称 z z0 为f (z)的零点。若 f (z0 ) f (z0 ) f (m1) (z0) 0
而 f (m) (z0) 0, 则称 z z0 为f (z)的m级零点。 若z0为f (z)的m级零点，则为f (z)在z0处的Taylor展 开式为 f (z) Cm (z z0 )m Cm1(z z0 )m1
Cn (z z0 )n
0 | z z0 | R
lim
zz0
f
(z)
C0
(2) (3)：
lim
zz0
f
(z)
C0
， 对
0,
0，
当0 | z z0 | < 时，有 | f (z) C0 | <；从而
| f (z)||C0 | < | f (z) C0 | <；即| f (z)|<|C0 | 。
§4.5 孤立奇点
奇点: 函数 f (z)的不解析点，称为 f (z) 的奇点。
孤立奇点: 若函数 f (z)在 z0处不解析，但在z0的某
去心邻域 0 | z z0 | R 内解析，则称z0的为f (z)的孤
立奇点。
例如
函数
1 z
、e
1 z
都以 z 0 为孤立奇点。
zk
1
k
(k
1, 2,
)和
z0=0
即 f (z)在点z0的去心邻域 0 | z z0 | < 内有界。
(3) (1)：若在点z0的去心邻域0 | z z0 | < 内有
| f (z)|<M，考虑 f (z)在点z0的主要部分
C1 C2 Cn
z z0 (z z0 )2
(z z0)n
其中
Cn
1
2 i
r (
f
(
z0
要条件是z0为 f (z) 的m级极点。
证明 “必要性”设：点z0为f (z)的m级零点，则
f (z) (z z0)m(z),(z) 在z0处解析且(z0 ) 0,
从而
f
1 (z)
(z
1
z0 )m ( z)
(z)
(z z0)m
其中
(z)
1 (z)
也在z0处解析且
( z0
)
0,
设
(z)
在z0处的Taylor展开式为 (z) (z0) (z0)(z z0)
n0
n1
则称z0为f (z) 的m级极点，简称为极点；
3）如果f (z) 在点z0的主要部分有无穷多项，即有
f (z) Cn (z z0 )n Cn (z z0 )n 0 | z z0 | R
n0
n1
则称z0为f (z) 的本性奇点。
1 可去奇点
设z0为f (z) 的可去奇点，则
f (z) Cn (z z0)n 0 | z z0 | R n0
f (z) Cn (z z0 )n
n
Cn (z z0 )n Cn (z z0 )n
n0
n1
0 | z z0 | R
我们称 Cn (z z0 )n 为f (z)在z0处的正则部分，
n0
称 Cn (z z0 )n 为f (z)在z0处的主要部分。
n1
f (z)在其孤立奇点z0处的主要部分决定了它在z0附
1 z 0
定理1 如果z0为f (z) 的孤立奇点，则下列三条件是 等价的：
(1) f (z)在点z0的主要部分为零；
(2)
lim
zz0
f
(z)
C0
(C0 );
(3) (2)：由(1)知
f (z) C0 C1(z z0) 两边取极限得
Cm 0,| z z0 | R
从而f (z)可表示成 f (z) (z z0)m(z),
其中 (z) Cm Cm1(z z0) Cm2(z z0)2
在z0处解析且有 (z0 ) Cm 0 。
定理2(零点与极点的关系) 设函数 f (z)在z0处解析，
且不恒为常数，则点z0为f (z)的m级零点的充分必 1
Cm 0,0 | z z0 | R
(z
1 z0 )m
[Cm
C(m1) ( z
z0 )
]
(z)
(z z0 )m
其中 (z) Cm C(m1) (z z0 ) | z z0 | R
在z0解析且 (z0 ) Cm 0, 所以 f (z) (z z0)m(z),
近的主要性质。
定义1 设z0为f (z)的孤立奇点，
1）如果f (z) 在点z0的主要部分全等于零，即有
f (z) Cn (z z0)n 0 | z z0 | R n0
则称z0为f (z) 的可去奇点；
2）如果f (z) 在点z0的主要部分只有有限项，即有
m
f (z) Cn (z z0 )n Cn (z z0 )n Cm 0, 0 | z z0 | R
都是
f
(z)
1 sin 1
的
奇点，但只有
zk
1
k
(k
1, 2,
z ) 为孤立奇点，
而 z0=0 不是它的孤立奇点。
一、孤立奇点的分类
若 z0 是 f (z)的孤立奇点，则一定可以找到一个R ， 使 f (z)在圆环域 0 z z 0 R 内解析，从而f (z)可 在该圆环域内将展开成Laurent级数
) ) n 1
d
n 1,2,
r 为正向圆周| z0 | r0
则
Cn
1 2πi
r
(
f
( )
z0 )n1
d
1
f ( )
2π
r z0 n1 ds
1
2
M r n1
2 r
Mr n
lim Mrn 0, 所以 Cn 0n 1,2, 。
r 0
即f (z)在点z0的主要部分为零。
2 极点与零点
则
1 (z0 ) (z0 )
f (z) (z z0 )m (z z0 )m1
由于 (z0 ) 0, 所以z0是
1 f (z)
的m级极点。
“充分性”：设z0是
f
1 (z)
的m级极点，f
1 (z)
在z0处的
Laurent展开式为
f
1 (z)
Cm (z z0)m
C(m1) (z z0 )m1
若定义 f (z0 ) C0, 则f (z) 在圆域 | z z0 | R内解析，
所以可去奇点可当作解析点看。例如：
sin z 1
(1)n z2n1
(1)n z2n
0 | z |
z z n0 (2n 1)! n0 (2n 1)!
z0
0为
sin z
z
的可去奇点。
若定义 f (z) sinz z z 0 则f (z) 处处解析。
零点的定义。 定义2 设函数 f (z)在 | z z0 | R内解析，且 f (z0 ) 0,
则称 z z0 为f (z)的零点。若 f (z0 ) f (z0 ) f (m1) (z0) 0
而 f (m) (z0) 0, 则称 z z0 为f (z)的m级零点。 若z0为f (z)的m级零点，则为f (z)在z0处的Taylor展 开式为 f (z) Cm (z z0 )m Cm1(z z0 )m1
Cn (z z0 )n
0 | z z0 | R
lim
zz0
f
(z)
C0
(2) (3)：
lim
zz0
f
(z)
C0
， 对
0,
0，
当0 | z z0 | < 时，有 | f (z) C0 | <；从而
| f (z)||C0 | < | f (z) C0 | <；即| f (z)|<|C0 | 。
§4.5 孤立奇点
奇点: 函数 f (z)的不解析点，称为 f (z) 的奇点。
孤立奇点: 若函数 f (z)在 z0处不解析，但在z0的某
去心邻域 0 | z z0 | R 内解析，则称z0的为f (z)的孤
立奇点。
例如
函数
1 z
、e
1 z
都以 z 0 为孤立奇点。
zk
1
k
(k
1, 2,
)和
z0=0
即 f (z)在点z0的去心邻域 0 | z z0 | < 内有界。
(3) (1)：若在点z0的去心邻域0 | z z0 | < 内有
| f (z)|<M，考虑 f (z)在点z0的主要部分
C1 C2 Cn
z z0 (z z0 )2
(z z0)n
其中
Cn
1
2 i
r (
f
(
z0
要条件是z0为 f (z) 的m级极点。
证明 “必要性”设：点z0为f (z)的m级零点，则
f (z) (z z0)m(z),(z) 在z0处解析且(z0 ) 0,
从而
f
1 (z)
(z
1
z0 )m ( z)
(z)
(z z0)m
其中
(z)
1 (z)
也在z0处解析且
( z0
)
0,
设
(z)
在z0处的Taylor展开式为 (z) (z0) (z0)(z z0)
n0
n1
则称z0为f (z) 的m级极点，简称为极点；
3）如果f (z) 在点z0的主要部分有无穷多项，即有
f (z) Cn (z z0 )n Cn (z z0 )n 0 | z z0 | R
n0
n1
则称z0为f (z) 的本性奇点。
1 可去奇点
设z0为f (z) 的可去奇点，则
f (z) Cn (z z0)n 0 | z z0 | R n0
f (z) Cn (z z0 )n
n
Cn (z z0 )n Cn (z z0 )n
n0
n1
0 | z z0 | R
我们称 Cn (z z0 )n 为f (z)在z0处的正则部分，
n0
称 Cn (z z0 )n 为f (z)在z0处的主要部分。
n1
f (z)在其孤立奇点z0处的主要部分决定了它在z0附
1 z 0
定理1 如果z0为f (z) 的孤立奇点，则下列三条件是 等价的：
(1) f (z)在点z0的主要部分为零；
(2)
lim
zz0
f
(z)
C0
(C0 );
(3) (2)：由(1)知
f (z) C0 C1(z z0) 两边取极限得
Cm 0,| z z0 | R
从而f (z)可表示成 f (z) (z z0)m(z),
其中 (z) Cm Cm1(z z0) Cm2(z z0)2
在z0处解析且有 (z0 ) Cm 0 。
定理2(零点与极点的关系) 设函数 f (z)在z0处解析，
且不恒为常数，则点z0为f (z)的m级零点的充分必 1
Cm 0,0 | z z0 | R
(z
1 z0 )m
[Cm
C(m1) ( z
z0 )
]
(z)
(z z0 )m
其中 (z) Cm C(m1) (z z0 ) | z z0 | R
在z0解析且 (z0 ) Cm 0, 所以 f (z) (z z0)m(z),
近的主要性质。
定义1 设z0为f (z)的孤立奇点，
1）如果f (z) 在点z0的主要部分全等于零，即有
f (z) Cn (z z0)n 0 | z z0 | R n0
则称z0为f (z) 的可去奇点；
2）如果f (z) 在点z0的主要部分只有有限项，即有
m
f (z) Cn (z z0 )n Cn (z z0 )n Cm 0, 0 | z z0 | R
都是
f
(z)
1 sin 1
的
奇点，但只有
zk
1
k
(k
1, 2,
z ) 为孤立奇点，
而 z0=0 不是它的孤立奇点。
一、孤立奇点的分类
若 z0 是 f (z)的孤立奇点，则一定可以找到一个R ， 使 f (z)在圆环域 0 z z 0 R 内解析，从而f (z)可 在该圆环域内将展开成Laurent级数
) ) n 1
d
n 1,2,
r 为正向圆周| z0 | r0
则
Cn
1 2πi
r
(
f
( )
z0 )n1
d
1
f ( )
2π
r z0 n1 ds
1
2
M r n1
2 r
Mr n
lim Mrn 0, 所以 Cn 0n 1,2, 。
r 0
即f (z)在点z0的主要部分为零。
2 极点与零点
则
1 (z0 ) (z0 )
f (z) (z z0 )m (z z0 )m1
由于 (z0 ) 0, 所以z0是
1 f (z)
的m级极点。
“充分性”：设z0是
f
1 (z)
的m级极点，f
1 (z)
在z0处的
Laurent展开式为
f
1 (z)
Cm (z z0)m
C(m1) (z z0 )m1
若定义 f (z0 ) C0, 则f (z) 在圆域 | z z0 | R内解析，
所以可去奇点可当作解析点看。例如：
sin z 1
(1)n z2n1
(1)n z2n
0 | z |
z z n0 (2n 1)! n0 (2n 1)!
z0
0为
sin z
z
的可去奇点。
若定义 f (z) sinz z z 0 则f (z) 处处解析。