07.勾股定理全章复习与巩固讲义

勾股定理全章复习与巩固
要点一、勾股定理 1.勾股定理：
直角三角形两直角边a b 、的平方和等于斜边c 的平方.（即：2
2
2
a b c +=） 2.勾股定理的应用
勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用是： （1）已知直角三角形的两边，求第三边；
（2）利用勾股定理可以证明有关线段平方关系的问题； （3）求作长度为
的线段.
要点二、勾股定理的逆定理 1.原命题与逆命题
如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题. 2.勾股定理的逆定理 勾股定理的逆定理：
如果三角形的三边长a b c 、、，满足2
2
2
a b c +=，那么这个三角形是直角三角形. 应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的基本步骤： （1）首先确定最大边，不妨设最大边长为c ；
（2）验证2
c 与2
2
a b +是否具有相等关系，若2
2
2
a b c +=，则△ABC 是以∠C 为直角的直角三角形，反之，则不是直角三角形.
知识点
3.勾股数
满足不定方程222
x y z +=的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以x y z 、、为三边长的三角形一定是直角三角形.
常见的勾股数：①3、4、5； ②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41.
如果(a b c 、、)是勾股数，当t 为正整数时，以at bt ct 、、为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形.
观察上面的①、②、④、⑤四组勾股数，它们具有以下特征： 1.较小的直角边为连续奇数； 2.较长的直角边与对应斜边相差1.
3.假设三个数分别为a b c 、、，且a b c <<，那么存在2
a b c =+成立.（例如④中存在2
7＝24＋25、
29＝40＋41等）
要点三、勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系
区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；
联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，两者互为逆定理，都与直角三角形有关.
类型一、勾股定理及逆定理的简单应用
例1、已知直角三角形的两边长分别为6和8，求第三边的长．
典型例题
举一反三：
【变式】在△ABC 中，AB ＝15，AC ＝13，高AD ＝12．求△ABC 的周长．
例2、如图所示，△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝CB ，M 为AB 上一点．
求证：2
2
2
2AM BM CM +=．
举一反三：
【变式】已知，△ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 上任一点，求证：22
AB AD BD CD -=⋅.
类型二、勾股定理及逆定理的综合应用
例3、如图，在正方形ABCD 中，AB=4，AE=2，DF=1，请你判定△BEF 的形状，并说明理由．
举一反三：
【变式】如图所示，已知△ABC 中，∠B ＝22.5°，AB 的垂直平分线交BC 于D ，BD ＝62，AE ⊥BC 于E ，求AE 的长．
例4、如图①所示，分别以直角三角形ABC 三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用123S S S 、、表示，则不难证明123S S S =+．
(1)如图②，分别以直角三角形ABC 三边为边向外作三个正方形，其面积分别用123S S S 、、表示，那么
123S S S 、、之间有什么关系?(不必证明)
(2)如图③，分别以直角三角形ABC 三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用123S S S 、、表示，请你确定123S S S 、、之间的关系并加以证明．
例5、如果ΔABC 的三边分别为a b c 、、，且满足222
506810a b c a b c +++=++，判断ΔABC 的形状.
类型三、勾股定理的实际应用
例6、如图①，一只蚂蚁在长方体木块的一个顶点A 处，食物在这个长方体上和蚂蚁相对的顶点B 处，蚂蚁急于吃到食物，所以沿着长方体的表面向上爬，请你计算它从A 处
举一反三：
【变式】我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上'高二丈周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？，题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处．则问题中葛藤的最短长度是多少尺？
一.选择题
1．如图，一棵大树被台风刮断，若树在离地面3m处折断，树顶端落在离树底部4m处，则树折断之前高( )
A.5m
B.7m
C.8m
D.10m
2．如图，从台阶的下端点B到上端点A的直线距离为( )
A.2
12 B.3
10
C.5
6 D.5
8
3.下列命题中是假命题的是（）
A.三个内角的度数之比为1：3：4的三角形是直角三角形；
B.三个内角的度数之比为1：3：2的三角形是直角三角形；
C.三边长度之比1：3：2的三角形是直角三角形；
D.三边长度之比2：2：2的三角形是直角三角形；
课后练习
4. 如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点E、F是中线AD上的两点，则图中阴影部分的面积是（）．
A．6 B．12 C．24 D．30
5．下列三角形中，是直角三角形的是( )
+= B.三角形的三边比为1∶2∶3
A.三角形的三边满足关系a b c
C.三角形的一边等于另一边的一半
D.三角形的三边为9，40，41
6．某市在旧城改造中，计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮至少需要( )
A.450a元
B.225a元
C.150a元
D.300a元
7.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=5．分别以AB、AC、BC为边在AB的同侧作正方形ABDE、ACFG、
BCIH，四块阴影部分的面积分别为S1、S2、S3、S4．则S1+S2+S3+S4等于（）
A.90
B.60
C.169
D.144
8. 已知，如图长方形ABCD 中，AB ＝3cm ，AD ＝9cm ，将此长方形折叠，使点B 与点D 重合，折痕为EF ，则△ABE 的面积为（ ）
A.32
cm B.42
cm C.62
cm
D.122cm
二.填空题
9．若一个三角形的三边长分别为6，8，10，则这个三角形中最短边上的高为______．
10．若等边三角形的边长为2，则它的面积为______．
11．如图，B ，C 是河岸边两点，A 是对岸岸边一点，测得∠ABC ＝45°，∠ACB ＝45°，BC ＝60米，则点A 到岸边BC 的距离是______米．
12.下列命题中，其逆．命题成立的是______________．（只填写序号） ①同旁内角互补，两直线平行； ②如果两个角是直角，那么它们相等； ③如果两个实数相等，那么它们的平方相等；
④如果三角形的三边长a b c 、、满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形．
13.如图，圆柱形容器中，高为120cm，底面周长为100cm，在容器内壁离容器底部40cm的点B处有一蚊子，
此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿40cm与蚊子相对的点A处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为cm．（容器厚度忽略不计）
14．在直角三角形中，一条直角边为11cm，另两边是两个连续自然数，则此直角三角形的周长为______．
15.如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若涂黑的四个小正方形
cm，则其中最大的正方形的边长为______cm．
的面积的和是102
16．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，取斜边的中点，向斜边做垂线，画出一个新的等腰直角三角形，如此继续下去，直到所画直角三角形的斜边与△ABC的BC边重叠为止，此时这个三角形的斜边长为__________．
三.解答题
17.若直角三角形两直角边的比是3：4，斜边长是20，求此三角形的面积.
18．甲乙两船从位于南北走向的海岸线上的港口A同时出发，甲以每小时30海里的速度向北偏东35°方向航行，乙船以每小时40海里的速度向另一方向航行，2小时后，甲船到C岛，乙船到达B岛，B、C两岛相距100海里，判断乙船所走方向，说明理由．
19．如图，△ABC中，∠A＝90°，AC＝20，AB＝10，延长AB到D，使CD＋DB＝AC＋AB，求BD的长．
20.如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，B'为CD边上的点，C
B'＝3．将纸片沿某条直线折叠，使点B落在点B'处，点A的对应点为A'，折痕分别与AD，BC边交于点M，N．求BN的长.。