2019版高三数学一轮复习 3.8应用举例课件

由正弦定理得 10 BC ,
sin 45 sin60
所以 BC5 6.
答案：5 6
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考点1 测量距离问题 【典例1】(1)(2014·宁波模拟)如图,为测量河对岸A,B两点间 的距离,在河岸选取相距40米的C,D两点,测得∠BCA=60°, ∠ACD=30°,∠CDB=45°,∠BDA=60°,则A,B间距离为
术语名称
术语意义
仰角与俯角
在目标视线与水平视线所 成的角中,目标视线在水 平视线上方的叫做仰角, 目标视线在水平视线下方 的叫做俯角
方位角
从某点的指北方向线起按 顺时针方向到目标方向线 之间的水平夹角叫做方位 角.方位角α的范围是 0°≤α<360°
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图形表示
4
术语名称
术语意义
图形表示 例:(1)北偏东m°
为60°，30°，则A点离地面的高度AB等于( )
A.1 a 2
B. 3a 2
C. 3a
D. 3 a
【解析】选B.因为3 ∠DAC＝∠ACB－∠D＝60°－30°＝30°，
所以AC＝CD＝a，在Rt△ABC中，AB＝AC·sin 60°＝3 a.
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4．某工程中要将一长为100 m,倾斜角为75° 的斜坡，改造成倾斜角为30°的斜坡，并保 持坡高不变，则坡底需加长( )
第八节 应用举例
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【知识梳理】
1.三Βιβλιοθήκη Baidu形中常用的面积公式
(1)S= 1 ah(h表示边a上的高).
2
(2)S= 1
bcsinA=
1 acsin 2
B
=
1 absin C 2
.
2
(3)S= 1 r(a+b+c)(r为三角形的内切圆半径).
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2.实际应用中的常用术语
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【解题视点】(1)观察AB所在的三角形,根据已知条件求出有关 的边角再求解. (2)已知速度,要求时间,只要求出路程,即CD的长即可;再观察 CD所在的三角形,确定已知条件较集中的三角形求解.
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【规范解答】(1)由已知得，∠BCD=30°+60°=90°,又因
为
2
∠BDC=45°,CD=40米，所以BD=40 米，在△ADC中，
①面积公式中S= 1 bcsin A= 1 absin C= 1 acsin B，其实质就
2
2
2
是面积公式S= 1 ah= 1 bh= 1 ch(h为相应边上的高)的变形;
2
2
2
②俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为[0, ];
2
③方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点
之间的位置关系;
③正确.方位角与方向角均是确定观察点与目标点之间的位置
关系的.
④正确.方位角是由正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，
故大小的范围为［0,2π)，而方向角大小的范围由定义可知为
[0, ).
2
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2.两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站
南偏西40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的
米.
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(2)(2014·泰安模拟)如图,A,B是海面上位于东西方向相距 5(3+ 3 )海里的两个观测点,现位于A点北偏东45°,B点北偏西 60°的D点有一艘轮船发出求救信号,位于B点南偏西60°且与B 点相距20 3 海里的C点的救援船立即前往营救,其航行速度为 30海里/小时,该救援船到达D点需要多长时间?
2
又0°<∠BAC<60°，所以∠BAC＝30°.
答案：30°
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6.海上有A,B两个小岛相距10nmile,从A岛望C岛和B岛成60°的
视角,从B岛望C岛和A岛成75°的视角,那么B岛和C岛的距离是
nmile.
【解析】画出示意图如图，
由题意可知，∠CAB=60°，∠CBA=75°,
所以∠C=45°，
是乙船速度的 3 倍，甲船为了尽快追上乙船，则应取北偏东 ______(填角度)的方向前进.
【解析】设两船在C处相遇，则由题意∠ABC＝
180°－60°＝120°，且A C ＝ 3，
BC
由正弦定理得 A C ＝ s in 1 2 0 ＝ 3 s in B A C ＝ 1 .
B Cs in B A C
A.100 2m
B.100 3m
C.50 2 6 m D.200m
【解析】选A.设坡底需加长x m，
由正弦定理得 100 解x得x， =100 .
sin30 sin 45
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5.(2014·绍兴模拟)甲船在A处观察乙船，乙船在它的北偏东
60°的方向，两船相距a海里的B处，乙船正向北行驶，若甲船
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(2)由题意知AB＝5(3＋ 3 )海里， 因为∠DAB=90°-45°=45°，∠DBA=90°-60°=30°，
∠ADC=60°+45°=105°,
所以∠CAD=180A °D - 1C 0D 5°s in - 3A 0C °D = 44 50 ° s ，in 3 0 2 02 .
s in C A D s in 4 5
由正弦定理，得
在 （ △2 0 A2 D） 2 B （ 中4 ，0 由2 ） 余2 － 弦2 定2 0 理2 ， 得4 0 A2 Bc 2o =s 6 A0 D 2+2 D4 0 B0 2, － 2AD·DB2 c0 o6s∠ADB
()
A．北偏东10°
B．北偏西10°
C．南偏东80°
D．南偏西80°
【解析】选D.由条件可知，∠A＝∠B＝40°，
又∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°，所以
∠DBA＝10°，因此灯塔A在灯塔B的南偏西80°.
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3.如图所示，D，C，B三点在地面的同一直线
上，DC＝a，从C，D两点测得A点的仰角分别
方向角
正北或正南方向线与目标 方向线所成的锐角,通常 表达为北(南)偏东 (西)××度
(2)南偏西n°
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术语名称
术语意义
图形表示
坡角 坡度
坡面与水平面的夹角
设坡角为α,坡度
为i,则i= h =tanα
l
坡面的垂直高度h和水平宽 度l的比
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【考点自测】
1.(思考)给出下列命题：
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④方位角大小的范围是［0,2π)，方向角大小的范围一般是
[0, ).
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其中正确的是( )
A.①② B.①③④ C.①②③ D.②④
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【解析】选B.①正确.如S= 1 absin C= 1 ah(h=bsin C)，h即为
2
2
边a上的高.
②错误.俯角是视线与水平线所构成的角.