基于lingo的运输不平衡问题的研究
基于Lingo语言的运输不平衡问题研究
摘 要：运输问题是线性规划中的一类特殊问题，它能够解决物资的合理调运和车辆的合理调度，而对于生活中的一些实际问题，对其作适当的变换后也可以 作为运输问题进行求解。尤其是实际生活中不可以完全是产销平衡，这时候而需要对其进行一定的转换后再求解。因此，运输问题实际上运用非常广泛，对运输不平衡问题的研究很重要的意义。
随着科技的进步，生产力不断提高，对于运输不平衡问题的研究在持续深入。解决运输不平衡问题的传统方法是先转化 使用表上作业法，然而表上作业法解决大规模运输问题时的操作量大计算复杂，很难使用计算机编程求解，，因此探索新的算法求解运输不平衡问题成了热点问题。[1]
本文对求解运输不平衡问题的算法进行深入认识，在传统方法的基础上针对其操作步骤中的不足之处，研究如何使用Lingo求解运输不平衡问题。本文主要完成以下工作：
介绍本文的研究背景与意义，叙述运输问题的现状，运输问题及运输不平衡问题的描述、模型及相关算法，以及运输不平衡问题的不同类型的具体求解方法。
重点叙述了使用Lingo语言求解一般运输不平衡问题和变异不平衡问题的模型假设，详细给出了案例描述和使用Lingo求解案例。
1 绪论
1.1 本文研究背景与意义
1.1.1 研究背景
现代科学技术不断飞速发展，物流成为市场经济的重要组成部分。物流业是融合运输业、仓储业、货代业和信息业等的复合型服务产业，涉及领域广，吸纳就业人数多，促进生产、拉动消费作用大，受到也来越多人的关注。物流具有反应迅速、 涉及面广、全球化等特点。它很好地提供了市场经济发展的需求，更能够推动社会和经济的发展。所以，发展物流具有很重要的意义。
近年来，我国的物流业发展迅速，基础设施也在日趋完善，各种各样的物流企业在不断创新，配送、运输、存储等物流各个环节的服务都在被完善。但是，尽管国内物流业发展迅速，然而还是存在着很多问题，例如需求不足、观念落后、人才短缺、管理水平不完善，这些问题都会成为物流业发展的障碍。
1.1.2 研究意义
在物流的各个环节中，运输是最重要的一个环节的一个环节。物流过程中的装卸、搬运和包装都与运输有着很重要的关系，这些过程都是围绕运输展开的。而所有产品的产销都离不开运输[1]，因此，运输工作成为整体物流工作的重中之重。再加上运输成本在各项成本中的占比很高，因此，合理安排物流中的运输工作，降低物流成本提高运输效率对物流业的发展具有很重要的意义。
运输问题是一
类具有特殊结构的线性规划问题。[5]求解运输问题的传统方法是表上作业法，它是用列表的方式来求解线性规划问题中的运输模型,然而在操作过程中可能会出现迭代次数过多，工作量繁琐的情况。如此就增加了难度。因此，本文将使用lingo求解运输不平衡问题，在基本操作的基础上，对一般运输不平衡问题和变异运输不平衡问题进行相应的调整，在使用lingo对于调整后的数据进行求解，再通过实例分析，对采用lingo求解的结果进行最优性检验。
1.2 运输问题的研究现状
物流的发展推动了社会的巨大进步，而优化物流过程就变得极为重要，尤其是降低运输成本更是优化的重要途径，因此人们对运输问题的研究越来越深入，运输问题也随之变成众多学者研究的重点对象。
国外学者对运输问题的研究比较早，其中，对于中转站的选择、产销不平衡的研究问题提出了更完善更成熟的模型，解决产销平衡和不平衡问题，从而降低运输成本。
目前来看，国内的制度障碍尚未完全消除，运输的发展收到管理制度的严重制约，虽然通过发布的一系列制度行了改革，但是由于各地贯彻落实的情况不同，原有的制度障碍仍在一定程度上发挥作用，制约了运输业的发展。
1.3 本文研究内容和研究结构
1.3.1 研究内容
本文的要研究内容是：在介绍了研究背景、研究现状、运输不平衡问题模型及Lingo语言的情况下，重点叙述了遗传算法如何求解运输不平衡问题的步骤，找到不足之处，用改进遗传算法求解运输不平衡问题。最后，通过案例分析证明改进遗传算法在求解运输不平衡问题上能提高效率。
1.3.2 研究结构
第一章绪论。首先介绍了本文的研究内容与意义，接着介绍了运输问题的研究现状。最后，介绍了本文的研究内容和研究结构。
第二章相关理论综述。给出了运输问题的描述、模型和相关算法，接着给出了运输不平衡问题的类型和转化。最后，给出了最优性检验的具体方法和两种方法的比较。
第三章给予实用lingo对于运输不平衡问题求解。简短介绍了运输不平衡的问题描述、模型假设和约束条件以及模型的建立，紧接着介绍遗传算法求解运输不平衡问题，最后，给出改进遗传算法求解运输不平衡问题。
第四章案例分析。首先给出案例描述，接着用传统遗传算法和改进遗传算法求解案例。
第五章总结及展望。本章回顾了研究的重要工作，而对于进一步研究明确表示。
1.4 本章小结
本章主要介绍了本文研究背景与意义，运输问题的研究现状及本文研究内容和研究结构。
2 相关理论综述
2.1 运输问题
2.1.1 运输问题描述
运输问题一般描述为：假设有m个产
地，n个销地，
ai——第i产地的供应量，i=1,2，…，m。
bj——第j销地的需求量，j=1,2，…，n。
cij——产地i到销地j的单位运费，i=1,2，…，m，j=1,2，…，n。
xij——产地i到销地j的调运数。
设决策变量为xij，表示由产地i向销地j的调运量。则该问题为寻求最佳调运方案（即求解所有xij的值），使总的费用[3]
∑_(i=1)^m?∑_(j=1)^n?cijxij
达到最少。
运输费用矩阵为
cij=[■(c11&?&c1n@?&?&?@cm1&?&cmn)]
运输矩阵模型
xij=[■(x11&?&x1n@?&?&?@xm1&?&xmn)]
2.1.2 运输问题模型
一般情况下，从Ai生产地运出的产品不会超过Ai生产地的 ，即
∑_(j=1)^m?〖xij≤aj〗，i=1,2，…m
运到Bj销地的产品不会低于Bj销地的总需求量，即
∑_(i=1)^n?〖xij≥bi〗，j=1,2，…m
所以一般情况下的运输平衡问题的数学模型为：
Minz=∑_(i=1)^m?∑_(j=1)^n?cijxij
∑_(i=1)^m?〖xij=bi〗，j=1,2，…m
S.t. ∑_(j=1)^n?〖xij=aj〗，i=1,2，…m
Xij>=0，i=1,2，…m，j=1,2，…m
显而易见，此平衡运输问题的模型有m+n个等式约束，mn个决策变量，是一个线性规划问题。其系数矩阵A如下：
2.1.3 运输问题相关算法
图上作业法
图上作业法是在运输图上求解运输问题的方法。它在一张交通上通过一定步骤的规划计算来完成调运工作，以便使运输费用降到最低并且缩短运输时间。
具体的操作步骤是：首先编制物资平衡表，然后通过物资平衡表和收点、发点间的位置绘制交通图。最后根据交通图在图上进行物资调运，得出初试方案即初始基可行解
虽然图上作业法的操作步骤简单，但是如果线路复杂的话，问题的求解就会增加难度。而且当问题达到最优调运方案时达到平均运输费用最小，此时总的运输费用不一定最小。
表上作业法
表上作业法是求解线性规划中的运输问题模型的一种计算方法，其实质是单纯形法。当运输问题较为复杂无法使用图上作业法进行直观求解时，就可以使用表上作业法，然后通过检验数确实能够当前是否是最优解，若不是则要用闭回路法进行调整直到求出最优解。
具体步骤为：首先找出初试可行解（西北角法、最小元素法、伏格尔法），然后求出各个非基变量的检验数，判断是否达到最优解（闭回路法、位势法）。接着确定出基变量和入基变量（闭回路法调整）。最后重复二、三两步直到所有检验数均大于零。
表上作业法计算复杂，如果产销点稍多，迭代次数就会很多，很难使用计算机编程来求解，因此表上作业法只适合小型的运输问题求解。[2]
遗传算法
遗传算法是一种借鉴生物界的进化规律即“适者生存、优胜劣汰”的遗传机制，主要特点是直接对结构对象
进行操作，具有内在的隐并行性和更好的全局性。在运输问题上具有广泛的应用。是现代有关智能计算中的关键技术。
2.2 运输不平衡问题
2.2.1 运输不平衡问题类型
一般不平衡问题
在一些实际问题中，大多数运输问题并不是产销平衡的。当生产量大于需求量时，此时是产大于销的运输不平衡问题；当需求量大于生产量时，此时是销大于产的运输不平衡问题。
变异不平衡问题
如果存在某些销售地的需求量不确定的情况，销售地有最低销售量的限制，并且所有的销售地的最高需求量之和大于总生产量，此时情况更加复杂需要增加更多条件来讲不平衡问题转化为平衡问题。
2.2.2 运输不平衡问题的转化
一般运输不平衡问题中
产大于销时，即∑_(i=0)^n?ai>∑_(j=0)^m?bj，只需增加一个假想的需求地j=n+1，那么该销地的需求量为：∑_(i=0)^n?ai-∑_(j=0)^m?bj。并且令运费cij+1=0，这样就转化为了运输平衡问题。
当产小于销时，即∑_(i=0)^n?ai<∑_(j=0)^m?bj，只需要增加一个假想的产地i=m+1，那么该产地地的生产量为： ∑_(j=0)^m?〖bj-〗 ∑_(i=0)^n?ai。并且令运费cji+1=0，这样就转化为了运输平衡问题。
变异不平衡问题
当销售地的需求量不确定，销售地的最低需求量有数量限制且所有销售地的最高需求量之和大于总供给量时，只需要虚拟一个供给地，并设供给量为所有销地最高需求量之和减去所有供给地供应量之和的差值，并且将其中有最低需求量限制的销售地分解为“必须满足需求的销售地”和“可以不用满足的销售地”两部分，同时令“必须满足需求的销售地”的需求量为其所属销售地的最低需求量，“可能满足不了需求的销售地”的需求量为其最高需求量减最低需求量得到的差值。同时把从虚拟供给地到各“必须满足需求的销售地”的单位运价设为+∞，用符号M表示（使用lingo求解时可设定一个相对于其它单位运价来说无穷大的数值方便求解）。另一种情况则是从虚拟产地到“可能满足不了需求的销地”的单位运费直接设为0.这样就能转化为一个运输平衡问题了。[2]
2.3 最优解的检验
在得到初始基可行解后，需要判断其是否为最优解。如果不是最优解需要继续迭代。由于运输问题是一种特殊的线性规划问题，因此可以用检验数来进行判断。当所有的检验数均大于等于0时即得到了最优解。接下来介绍判定最优解的方法：
闭回路法
闭回路法就是从某一非基变量的空格处出发，沿水平方向或垂直线向前划，当碰到一数字格时可以转90度后继续前进，直到回到其实空格为止。
简单的闭回路： 较复杂的闭回路
从每一空格出发一定存在可