中职数学职业模块第一章《三角计算及其应用》教案

中职数学职业模块第一章《三角计算及其应用》教学设计教案第一课时：两角和与差的余弦（一）【教学目标】知识目标：理解两角和与差的余弦公式． 能力目标：通过三角计算的学习，培养学生的计算技能与计算工具使用技能．【教学重点】本节课的教学重点是两角差的余弦公式．【教学难点】难点是公式的推导和运用．【教学设计】介绍新知识前，先利用特殊角的三角函数值，认识到cos(6030)cos60cos30︒-︒≠︒-︒，进而提出如何计算cos()αβ-的问题．这个导入过程是非常重要的，所指出的错误正是学生学习中最容易发生的，在教学中不可忽视．利用向量论证cos()αβ-的公式，使得公式推导过程简捷．正确理解向量数量积的两种方法是理解公式推导过程的关键．建议教师授课前，让学生复习向量的有关知识．这个公式是推导后面各公式的基础，教学重点放在对公式形式特点的认识和对公式正向与反向的应用上．例1-例4都是两角和与差的余弦公式的应用，教学中要强调公式的特点．例3中得到的结论πcos()sin 2αα-=，πsin()cos 2αα-=都是初中学习过的公式，现在将角从锐角推广到任意角．根据《中等职业学校数学教学大纲》的要求，教材并没有将这组公式作为公式来进行强化，只作为两角和与差的余弦公式运用的教学例题出现，同时承上启下，为推导sin()αβ±的公式作准备．教材利用cos()αβ-的公式推导cos()αβ+的公式的步骤是：利用[]cos()cos ()αβαβ+=--，推出cos()αβ+．【课时安排】1课时．【教学过程】揭示课题1．1两角和与差的余弦公式 创设情境 兴趣导入问题 我们知道，1cos60cos302︒=︒=，显然 ()cos 6030cos60cos30︒-︒≠︒︒-．由此可知()cos cos cos αβαβ-≠-．动脑思考 探索新知在单位圆（如上图）中，设向量OA 、OB 与x 轴正半轴的夹角分别为α和β，则点A 的坐标为（cos ,sin αα），点B 的坐标为（cos ,sin ββ）．因此向量(cos ,sin )OA αα=，向量(cos ,sin )OB ββ=，且1OA =,1OB =． 于是 cos()cos()OA OB OA OB αβαβ⋅=⋅⋅-=-，又cos cos sin sin OA OB αβαβ⋅=⋅+⋅，所以 cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=⋅+⋅． （1）又 []cos()cos ()αβαβ+=--cos cos()sin sin()αβαβ=⋅-+⋅-cos cos sin sin αβαβ=⋅-⋅．（2） 利用诱导公式可以证明，(1)、(2)两式对任意角都成立（证明略）．由此得到两角和与差的余弦公式cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=⋅-⋅ （1.1） cos()cos cos sin sin ,αβαβαβ-=⋅+⋅ （1.2）公式（１.１）反映了αβ+的余弦函数与α，β的三角函数值之间的关系；公式（１.2）反映了αβ-的余弦函数与α，β的三角函数值之间的关系． 巩固知识 典型例题例1 求cos75︒的值．分析 可利用公式（1.1），将75°角看作45°角与30°角之和． 解 cos75cos(4530)︒=︒+︒cos45cos30sin45sin30=︒︒-︒︒ 23212=62-=．（转下节）第二课时：两角和与差的余弦（二）【教学目标】知识目标：理解两角和与差的余弦公式． 能力目标：通过三角计算的学习，培养学生的计算技能与计算工具使用技能．【教学重点】本节课的教学重点是两角和与差的余弦公式．【教学难点】难点是公式的运用．【课时安排】1课时．【教学过程】（接上节）巩固知识 典型例题例1 求cos75︒的值．分析 可利用公式（1.1），将75°角看作45°角与30°角之和． 解 cos75cos(4530)︒=︒+︒ cos45cos30sin45sin30=︒︒-︒︒12==例2 设34cos cos 55αβ==，，并且α和β都是锐角，求cos()αβ+的值． 分析 可以利用公式（1.1），但是需要首先求出sin α与sin β的值． 解 因为3cos 5α=，4cos 5β=，并且α和β都是锐角，所以4sin 5α=，3sin 5β． 因此 cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-， 344305555=⨯-⨯=.例3 分别用sin α或cos α，表示πcos()2α-与πsin()2α-解 πcos()2α-=ππcos cos sin sin 22αα⋅+⋅0cos 1sin sin ααα=⋅+⋅=． 故 πcos()sin 2αα-=．令π2αβ-=,则π2αβ=-,代入上式得 πcos sin()2ββ=-，即 πsin()cos 2αα-=.运用知识 强化练习1．求cos105︒的值. 2．求cos15︒的值． 理论升华 整体建构 思考并回答下面的问题：两角和与差的余弦公式内容是什么？ 结论：两角和与差的余弦公式cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=⋅-⋅ （1.1）cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=⋅+⋅ （1.2）自我反思 目标检测本次课采用了怎样的学习方法？你是如何进行学习的？你的学习效果如何？ 已知11sin sin 23αβ==，，且αβ，均为锐角，求cos()αβ+的值． 继续探索 活动探究(1)读书部分：教材(2)书面作业：教材习题1．1（必做）；学习指导1．1（选做） (3)实践调查：用两角和与差的余弦公式印证一组诱导公式 课后反思：第三课时：两角和与差的余弦公式与正弦公式（一）【教学目标】知识目标：理解两角和与差的正弦公式． 能力目标：通过三角计算的学习，培养学生的计算技能与计算工具使用技能．【教学重点】运用公式，进行简单三角函数式的化简及求值．【教学难点】运用公式，解决简单三角函数式的化简及求值问题．【教学设计】公式sin()αβ+的推导过程是，首先反向应用例3中的结论πcos()sin 2αα-=，然后再利用公式cos()αβ-，最后整理得到公式．教学关键是引导学生将()αβ+看做整体，这样才能应用公式πcos()2α-．反向使用公式，培养学生的逆向思维是数学课程教学的一项重要任务，要在不同的例题和不同知识层面的教学上引起足够的重视．例5、例6是公式的巩固性题目，教学中要强调公式的特点，例7是反向应用公式，通过具体例题的分析，使得学生明白正向和反向应用公式的原因，注重方法和思想的教育．【教学备品】教学课件．【课时安排】1课时．【教学过程】揭示课题1．1两角和与差的余弦公式与正弦公式． *创设情境 兴趣导入问题πcos 2α⎛⎫-= ⎪⎝⎭？动脑思考 探索新知由于πcos()2α-=sin α对于任意角都成立，所以ππsin()cos ()cos ()22αβαβαβ⎡⎤⎡⎤+=-+=--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ππcos()cos sin()sin 22αβαβ=-⋅+-⋅sin cos cos sin αβαβ=⋅+⋅.[]sin()sin ()sin cos()cos sin()αβαβαβαβ-=+-=⋅-+⋅-sin cos cos sin αβαβ=⋅-⋅.由此得到，两角和与差的正弦公式sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=⋅+⋅ (1.3) sin()sin cos cos sin αβαβαβ-=⋅-⋅ (1.4)巩固知识 典型例题例5 求sin15︒的值.分析 可以利用公式（1.4），将15°角可以看作是60°角与45°角之差． 解 sin15sin(6045)︒=︒-︒sin60cos45cos60sin45=︒︒-︒︒12=． 例6 已知3cos (0)52παα=∈-，，，求sin 6πα+（）的值． 解 由于π(0)2α∈，，故4sin 5α==-， 所以πππsin sin cos cos sin666431()552ααα+=+=-+⨯==（）（转下节）第四课时：两角和与差的余弦公式与正弦公式（二）【教学目标】知识目标：理解两角和与差的正弦公式． 能力目标：通过三角计算的学习，培养学生的计算技能与计算工具使用技能．【教学重点】运用公式，进行简单三角函数式的化简及求值．【教学难点】运用公式，解决简单三角函数式的化简及求值问题．【教学设计】公式sin()αβ+的推导过程是，首先反向应用例3中的结论πcos()sin 2αα-=，然后再利用公式cos()αβ-，最后整理得到公式．教学关键是引导学生将()αβ+看做整体，这样才能应用公式πcos()2α-．反向使用公式，培养学生的逆向思维是数学课程教学的一项重要任务，要在不同的例题和不同知识层面的教学上引起足够的重视．例5、例6是公式的巩固性题目，教学中要强调公式的特点，例7是反向应用公式，通过具体例题的分析，使得学生明白正向和反向应用公式的原因，注重方法和思想的教育．【教学备品】教学课件．【课时安排】1课时．【教学过程】（接上节）巩固知识 典型例题例7 求sin105cos75cos105sin75︒︒+︒︒的值．分析 所给的式子恰好是公式（1.3）右边的形式，可以考虑逆向使用公式． 解 sin105cos75cos105sin75︒︒+︒︒=sin(10575)︒+︒sin1800=︒=．【小提示】逆向使用公式是非常重要的，往往会带来新的思路，使问题的解决简单化．运用知识 强化练习1．求sin165︒的值． 2．求sin 255︒的值．3．求sin25cos85cos25sin85︒︒-︒︒的值． 理论升华 整体建构 思考并回答下面的问题：两角和与差的正弦公式内容是什么？ 结论：两角和与差的余弦公式sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=⋅+⋅ (1.3)sin()sin cos cos sin αβαβαβ-=⋅-⋅ (1.4)归纳小结 强化思想本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？ 自我反思 目标检测本次课采用了怎样的学习方法？你是如何进行学习的？你的学习效果如何？已知12cos 13α=-，且π＜α＜3π2，求πsin()4α-的值．继续探索 活动探究(1)读书部分：教材(2)书面作业：教材习题1．1（必做）；学习与训练1．1（选做） (3)实践调查：用两角和与差的正弦公式印证一组诱导公式课后反思：第五课时：倍角公式（一）【教学目标】知识目标： 了解二倍角公式．． 能力目标：通过三角计算的学习，培养学生的计算技能与计算工具使用技能．【教学重点】运用三角公式，进行简单三角函数式的化简及求值．【教学难点】运用三角公式，解决简单三角函数式的化简及求值问题．【教学设计】要明确二倍角的概念：2α是α的二倍角，3α是32α的二倍角，α是2α的二倍角等．二倍角的实质是用一个角的三角函数表示这个角的二倍角的三角函数．要使学生从一开始就对二倍角的含义有正确的认识．二倍角余弦的三种形式的公式同等重要，要分析这三种公式各自的形式特点．公式22cos2cos sin ααα=-的特点是公式的右边是平方差的形式，可以方便的进行因式分解；公式2cos22cos 1αα=-和2cos212sin αα=-是分别用角α的余弦与正弦中的一种函数来表示二倍角余弦；变形公式21cos2sin 2αα-=和21cos2cos 2αα+=的特点是公式的左边是关于三角函数的平方，右边是关于二倍角余弦的一次式．正向使用公式通常把公式叫做降幂公式，反向使用公式通常把公式叫做升幂公式．降幂公式和升幂公式在专业课程及后继课程的学习中，有着广泛的应用．要引导学生抓住各个公式的特点，理解、记忆和正确使用这些公式．【课时安排】1课时．【教学过程】揭示课题1．1两角和与差的余弦公式与正弦公式． 动脑思考 探索新知在公式（1.3）中，令αβ=，可以得到二倍角的正弦公式sin2sin cos cos sin 2sin cos ααααααα=+=．即sin22sin cos ααα= (1.5)同理，公式（1.1）中，令αβ=，可以得到二倍角的余弦公式22cos2cos sin ααα=- (1.6)因为22sin cos 1αα+=，所以公式(1.6)又可以变形为2cos22cos 1αα=-，或 2cos212sin αα=-.还可以变形为21cos2sin 2αα-=， 或 21cos2cos 2αα+=. 公式（1.5）、（1.6）及其变形形式，反映出具有二倍关系的角的三角函数之间的关系．在三角的计算中有着广泛的应用． 【小提示】二倍角公式适用于所有具有二倍关系的角．如4α与2α，α与2α，2α与4α等． 巩固知识 典型例题例8 已知3sin 5α=，且α为第二象限的角，求sin 2α、cos2α的值． 解 因为α为第二象限的角，所以24cos 5α==-，故 24sin 22sin cos 25ααα==-， 27cos212sin 25αα=-=． 例9 已知1cos 23α=-，且(π,2π)α∈，求sin α、cos 4α的值．分析2α与α，2α与4α之间都是具有二倍关系的角，故可以使用二倍角公式来计算 解 由(π,2π)α∈知π(,π)22α∈，所以sin 2α==，故1sin 2sincos2()22339ααα==⨯-=-由于ππ(,)442α∈，且211()1cos132cos 4223αα+-+===，所以cos4α（转下节）第六课时：倍角公式（二）【教学目标】知识目标： 了解二倍角公式．． 能力目标：通过三角计算的学习，培养学生的计算技能与计算工具使用技能．【教学重点】运用三角公式，进行简单三角函数式的化简及求值．【教学难点】运用三角公式，解决简单三角函数式的化简及求值问题．【教学设计】要明确二倍角的概念：2α是α的二倍角，3α是32α的二倍角，α是2α的二倍角等．二倍角的实质是用一个角的三角函数表示这个角的二倍角的三角函数．要使学生从一开始就对二倍角的含义有正确的认识．二倍角余弦的三种形式的公式同等重要，要分析这三种公式各自的形式特点．公式22cos2cos sin ααα=-的特点是公式的右边是平方差的形式，可以方便的进行因式分解；公式2cos22cos 1αα=-和2cos212sin αα=-是分别用角α的余弦与正弦中的一种函数来表示二倍角余弦；变形公式21cos2sin 2αα-=和21cos2cos 2αα+=的特点是公式的左边是关于三角函数的平方，右边是关于二倍角余弦的一次式．正向使用公式通常把公式叫做降幂公式，反向使用公式通常把公式叫做升幂公式．降幂公式和升幂公式在专业课程及后继课程的学习中，有着广泛的应用．要引导学生抓住各个公式的特点，理解、记忆和正确使用这些公式．【课时安排】1课时．【教学过程】巩固知识 典型例题例8 已知3sin 5α=，且α为第二象限的角，求sin 2α、cos2α的值． 解 因为α为第二象限的角，所以24cos 5α==-，故 24sin 22sin cos 25ααα==-，27cos212sin 25αα=-=． 例9 已知1cos 23α=-，且(π,2π)α∈，求sin α、cos 4α的值．分析2α与α，2α与4α之间都是具有二倍关系的角，故可以使用二倍角公式来计算 解 由(π,2π)α∈知π(,π)22α∈，所以sin 23α==，故1sin 2sincos2()223ααα==-= 由于ππ(,)442α∈，且211()1cos132cos 4223αα+-+===，所以cos4α=【注意】要用公式（1.6）及其变形公式求三角函数的值时，经常需要进行开方运算，因此，要首先确定角的范围. 运用知识 强化练习已知5sin 13α=，且α为第一象限的角，求sin 2α、cos2α． 理论升华 整体建构思考并回答下面的问题：二倍角的正弦、余弦公式的内容是什么？ 结论：sin22sin cos ααα=22cos2cos sin ααα=-自我反思 目标检测本次课采用了怎样的学习方法？你是如何进行学习的？你的学习效果如何？已知4cos25α=，且2[π,2π]α∈求sin α． 继续探索 活动探究(1)读书部分：教材(2)书面作业：教材习题1．1（必做）；学习与训练1．1（选做） (3)实践调查：通过公式推导，了解公式间内在联系．第七课时：正弦型函数（一）【教学目标】知识目标：掌握正弦型函数的性质． 能力目标：（1）通过三角计算的学习，培养学生的计算技能与计算工具使用技能． （2）通过应用举例与数学知识的应用，培养学生分析问题和解决问题的能力．【教学重点】利用正弦型函数的性质，求三角函数的周期和最值．【教学难点】利用正弦型函数的性质，求三角函数的周期和最值．【教学设计】本节课的教学重点是正弦型函数性质的理解与应用，教材主要研究正弦型函数的周期性和最大值（最小值）．讲解这部分内容时，一定要注意“变量替换”的运用，要讲清利用“变量替换”的手段进行化归的思想，以利于通过各个部分内容的教学，使得学生切实掌握这个重要的数学思维方法．例1介绍了求正弦型函数的最值及相应的角的取值的方法．解题过程中设新变量z 的目的是突出、强化“变量替换”，熟练之后，可以省略设新变量的过程，将π26x +看做一个整体，直接写出取得最大（小）值时的角． 【课时安排】一课时．【教学过程】揭示课题1.2正弦型函数． *创设情境 兴趣导入我们已经学习了正弦函数sin y x =和余弦函数cos y x =．在物理和电学中，经常遇到形如sin()y A x ωϕ=+(0,0)A ω>>的函数，这类函数叫做正弦型函数 动脑思考 探索新知正弦型函数与正弦函数sin y x =有着密切的关系． 在正弦型函数sin()y A x ωϕ=+中，令z x ωϕ=+,则sin()sin y A x A z ωϕ=+=，函数sin y z =是正弦函数,其定义域为R ，周期为2π,故函数sin()y A x ωϕ=+(0,0)A ω>>的定义域为R ，并且sin()sin sin(2π)A x A z A z ωϕ+==+ sin[()2π]A x ωϕ=++2πsin ()A x ωϕω⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦,即2π()()f x f x ω=+.因此，函数sin()y A x ωϕ=+也是周期函数，其周期为2πω.由于函数y =sin z 的最大值为1,最小值为－1，故y =A sin z (A ＞0)的最大值为A ，最小值为－A ．即正弦型函数sin()y A x ωϕ=+的最大值为A ，最小值为－A .综上所述，正弦型函数sin()(0,0)y A x A ωϕω=+>>　的定义域为R ，周期为2πω，最大值为A ，最小值为－A巩固知识 典型例题例1 求函数π2sin(2)6y x =+的周期,并指出当角x 取何值时函数取得最大值和最小值.解 函数的周期为2ππ2T ==. 设π26z x =+，则π212z x =-. 当π2π2z k =+，即ππ6x k =+时，函数2sin y z =有最大值，最大值为2； 当3π2π2z k =+，即2ππ3x k =+时，函数2sin y z =有最小值，最小值为2-. 所以，当ππ6x k =+(k ∈Z )时，函数π2sin(2)6y x =+取得最大值2；当2ππ(3x k k =+∈Z )时，函数π2sin(2)6y x =+取得最小值2-.（转下节）第八课时：正弦型函数（二）【教学目标】知识目标：掌握正弦型函数的性质． 能力目标：（1）通过三角计算的学习，培养学生的计算技能与计算工具使用技能． （2）通过应用举例与数学知识的应用，培养学生分析问题和解决问题的能力．【教学重点】利用正弦型函数的性质，求三角函数的周期和最值．【教学难点】利用正弦型函数的性质，求三角函数的周期和最值．【教学设计】本节课的教学重点是正弦型函数性质的理解与应用，教材主要研究正弦型函数的周期性和最大值（最小值）．讲解这部分内容时，一定要注意“变量替换”的运用，要讲清利用“变量替换”的手段进行化归的思想，以利于通过各个部分内容的教学，使得学生切实掌握这个重要的数学思维方法．例1介绍了求正弦型函数的最值及相应的角的取值的方法．解题过程中设新变量z 的目的是突出、强化“变量替换”，熟练之后，可以省略设新变量的过程，将π26x +看做一个整体，直接写出取得最大（小）值时的角． 【课时安排】一课时．【教学过程】（接上节）动脑思考 探索新知一般地,研究函数sin cos y a x b x =+（0,0a b >>）时,首先要把函数转化为sin()y A x θ=+的形式．考察以(,)a b 为坐标的点P (如图12-)，设以OP 为终边的角为θ，则图12-cos θ，sin θ=tan baθ=． 于是sin cos )a xb x x x +=+sin sin cos )),x x x θθθ=+=+即A =θ的值可以由tan baθ=确定（角θ所在的象限与点P 所在的象限相同）． 巩固知识 典型例题22sin cos 2x y x x x =- 例 当角为何值时，函数取得最大值、最小值，最大值、最小值各是多少？2sin cos 2sin 2212sin 222ππ2sin 2cos sin cos 233π2sin 23y x x xx xx x x x x =-=-⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎛⎫=- ⎪⎝⎭解 故当ππ22π32x k -=+，即5πk π+()12x k y =∈Z ，取得最大值2；当ππ22π32x k -=-，即ππ()12x k k y =-∈Z ，取得最小值－2 运用知识 强化练习求下列函数的周期，并指出当角x 取何值时函数取得最大值和最小值： (1)πsin(3)4y x =-； *（2）sin 2cos2y x x =-．理论升华 整体建构结论：正弦型函数sin()(0,0)y A x A ωϕω=+>>　的定义域为R ，周期为2πω，最大值为A ，最小值为－A . 继续探索 活动探究(1)读书部分：教材(2)书面作业：教材习题1．2（必做）；学习与训练1．2（选做）第九课时：作正弦型函数的图象（一）【教学目标】知识目标：会利用“五点法”作出正弦型函数的图像，了解正弦型函数在电学中的应用．能力目标：通过应用举例与数学知识的应用，培养学生分析问题和解决问题的能力．【教学重点】利用“五点法”作出正弦型函数的图像；已知正弦型函数的图像写出函数的解析式．【教学难点】已知正弦型函数的图像写出函数的解析式．【教学设计】本节课的教学要求是掌握正弦型函数的性质及图像的“五点法”作图；由于主要为工科机电类专业服务，所以，在正弦型函数的应用方面，没有介绍传统的简谐振动，而把重点放在介绍简谐交流电的三要素和同频率的正弦量的合成上，正弦量的合成也只介绍同峰值的正弦量的合成，降低了难度．例7是同频率的正弦量的合成问题．计算量比较大，可以根据学生的情况选用．电工实际计算中，一般是利用向量或复数进行计算．教材中安排本题的意图是为学生理解同频率的正弦量的合成奠定基础．【课时安排】1课时．【教学过程】揭示课题1.2正弦型函数．*创设情境兴趣导入与正弦函数图像的做法类似，可以用“五点法”作出正弦型函数的图像．正弦型函数的图像叫做正弦型曲线．巩固知识典型例题例3作出函数π2sin()4y x=-在一个周期内的简图．分析函数π2sin()4y x=-与函数2siny x=的周期都是2π，最大值都是2，最小值都是－2.解为求出图像上五个关键点的横坐标，分别令π4t x=-=，π2，π，3π2，2π，求出对应x的值与函数y的值，列表1-1如下：表11-xπ4 3π4 5π47π4 9π4 π4x -0 π2π3π22ππsin()4x -1 0 1- 0π2sin()4y x =-0 2 0 2- 0以表中每组(,)x y 的值为坐标，描出对应五个关键点（π4，0）、（3π4，2）、（5π4，0）、（7π4，−2）、（9π4，0）．用光滑的曲线联结各点，得到函数π2sin()4y x =-在一个周期内的图像（如图13-）．图13-动脑思考 探索新知一般地,为了作出正弦型曲线sin()y A x ωϕ=+（0A >，0ω>），令t x ωϕ=+，利用上面的方法，可以求得五个关键点的坐标为（,0ϕω-），（,4T A ϕω-+）,(,02T ϕω-+)，（3,4TA ϕω-+-），（,0T ϕω-+）. 巩固知识 典型例题例4 利用“五点法”作出函数1π2sin()26y x =+在一个周期内的图像.解 函数的周期为2π4π12T ==，且ππ6132ϕω-=-=-，所以五个关键点为π(,0)3-，2π(,2)3，5π(,0)3，8π(,2)3-，11π(,0)3. （转下节）第十课时：作正弦型函数的图象（二）【教学目标】知识目标：会利用“五点法”作出正弦型函数的图像，了解正弦型函数在电学中的应用．能力目标：通过应用举例与数学知识的应用，培养学生分析问题和解决问题的能力．【教学重点】利用“五点法”作出正弦型函数的图像；已知正弦型函数的图像写出函数的解析式．【教学难点】已知正弦型函数的图像写出函数的解析式．【教学设计】本节课的教学要求是掌握正弦型函数的性质及图像的“五点法”作图；由于主要为工科机电类专业服务，所以，在正弦型函数的应用方面，没有介绍传统的简谐振动，而把重点放在介绍简谐交流电的三要素和同频率的正弦量的合成上，正弦量的合成也只介绍同峰值的正弦量的合成，降低了难度．例7是同频率的正弦量的合成问题．计算量比较大，可以根据学生的情况选用．电工实际计算中，一般是利用向量或复数进行计算．教材中安排本题的意图是为学生理解同频率的正弦量的合成奠定基础．【课时安排】1课时．【教学过程】（接上节）描出这五个点，然后用光滑的曲线联结各点，得到函数在一个周期内的图像（如图-）.14图14-运用知识 强化练习利用”五点法”作出下列函数在一个周期内的图像： （1）2π3sin(3)3y x =+； （2）3πsin(2)25y x =+. 动脑思考 探索新知在电学中，电流强度的大小和方向都随时间变化的电流叫做交变电流，简称交流电．最简单的是简谐交流电，其电流的大小和方向随时间而变化，满足0sin()m i I t ωϕ=+(0,0,m I ω>>π-≤0ϕ≤π)的函数关系．其中m I 是电流强度的最大值，叫做简谐交流电的峰值；2πT ω=叫做简谐交流电的变化周期，表示交流电完成一次周期性变化所需的时间（单位为：s ）；单位时间内，交流电完成周期性变化的次数叫频率，用f 表示，1f T=，单位为Hz (赫兹)；0t ωϕ+叫做相位，0ϕ叫做初相位．峰值、频率和初相位是简谐交流电的三要素．它们从三个不同的方面描述了简谐交流电的物理特征.在物理学中，用sin()s A t ωϕ=+表示简谐振动，s 表示位移，A 叫做振幅；2T πω=叫做简谐振动的变化周期，1f T=叫做简谐振动的变化频率，0t ωϕ+叫做相位；0ϕ叫做初相位．巩固知识 典型例题例5 已知交流电的电流强度i （单位：A ）随时间t （单位：s ）的函数关系为π40sin(100π)3i t =-，写出电流的峰值、周期、频率和初相位． 解 峰值为40(A)m I =， 周期为20π0.02(s)100πT ==；频率为1150(Hz)0.02f T ===；初相位为π3ϕ=．（转下节）第十一课时：作正弦型函数的图象（三）【教学目标】知识目标：会利用“五点法”作出正弦型函数的图像，了解正弦型函数在电学中的应用． 能力目标：通过应用举例与数学知识的应用，培养学生分析问题和解决问题的能力．【教学重点】利用“五点法”作出正弦型函数的图像；已知正弦型函数的图像写出函数的解析式．【教学难点】已知正弦型函数的图像写出函数的解析式．【教学设计】本节课的教学要求是掌握正弦型函数的性质及图像的“五点法”作图；由于主要为工科机电类专业服务，所以，在正弦型函数的应用方面，没有介绍传统的简谐振动，而把重点放在介绍简谐交流电的三要素和同频率的正弦量的合成上，正弦量的合成也只介绍同峰值的正弦量的合成，降低了难度．例7是同频率的正弦量的合成问题．计算量比较大，可以根据学生的情况选用．电工实际计算中，一般是利用向量或复数进行计算．教材中安排本题的意图是为学生理解同频率的正弦量的合成奠定基础．【课时安排】1课时．【教学过程】（接上节）例6 已知交流电的电流强度i （单位：A ）随时间t （单位：s ）变化的部分曲线如图15-所示．试写出i 与t 的函数关系式．图15-解 电流强度i 随时间t 的变化满足正弦型函数关系，故设所求的函数关系为0sin()i A t ωϕ=+．观察图1-5得到，峰值30A =，周期2222.25100.2510210T ---=⨯-⨯=⨯.于是有22π210ω-=⨯，解得100πω=．因为图1-5中所示起点坐标的横坐标为20.2510-⨯，即00t ωϕ+=时，20.2510t -=⨯， 所以 20π100π0.25104t ϕω-=-=-⨯⨯=-，因此所求的函数关系式为π30sin(100π)4i t =-（单位：A ）．在电学中，同频率的正弦量（即形如sin()y A x ωϕ=+的量）进行的求和运算，叫做同频率正弦量的合成．例7 设12πsin()3i I t ω=+，24πsin()3i I t ω=+，求12i i i =+. 解 122π4πsin()sin()33i i i I t I t ωω=+=+++2π2π(sin cos cos sin )334π4π(sin coscos sin )33I t t I t t ωωωω=+++2π4π(cos cos )sin 332π4π(sinsin )cos 33I t I t ωω=+++11()()sin (cos 2222I t I t ωω⎤⎡⎤=-+-++-⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦sin I t ω=-.例5表明了电学中的一个重要结论：只有初相位不同的两个正弦量的合成仍是正弦量，其频率和峰值不变，只有初相位发生变化． 【想一想】如果只有频率不同，如何求正弦量的合成？ 继续探索 活动探究(1)读书部分：教材(2)书面作业：教材习题1．2（必做）；学习与训练1．2（选做） (3)实践调查：工科机电类专业研究简谐交流电的三要素．第十二课时：正弦定理与余弦定理（一）【教学目标】知识目标：理解正弦定理与余弦定理． 能力目标：通过应用举例与数学知识的应用，培养学生分析问题和解决问题的能力．【教学重点】正弦定理与余弦定理及其应用．【教学难点】正弦定理与余弦定理及其应用．【教学设计】本课利用几何知识引入新知识降低了难度．教学中，不利用向量工具进行严格的证明，否则会增加难度，而是重在应用．安排了5道例题，介绍利用正弦定理解三角形的方法．例1是基础题，目的是让学生熟悉公式．例2和例3是突破难点的题目，需要分情况进行讨论，介绍了讨论的方法和讨论的两种结果．例4是已知两边及夹角，求第三边的示例，可以直接应用余弦定理；例5是已知三边的长求最大角和最小角的示例．由于余弦函数在区间(0,π)内是单调函数，所以知道余弦值求角时，没有必要进行讨论．这里求最大角与最小角，是起到强化对“大边对大角，小边对小角”的认识．利用余弦定理求一个角，求第二个角的时候，可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理．【课时安排】1课时．【教学过程】揭示课题1.3正弦定理与余弦定理． *创设情境 兴趣导入我们知道，在直角三角形ABC （如图16-）中,sin a A c =,sin bB c=，即sin a c A =，sin bc B=， 由于90C =︒,所以sin 1C =，于是sin cc C=. 所以 sin sin sin a b cA B C==. 图1－6 CBA c a b。