中职数学职业模块第一章《三角计算及其应用》教案

中职数学职业模块第一章《三角计算及其应用》

教学设计教案

第一课时：两角和与差的余弦（一）

【教学目标】

知识目标：

理解两角和与差的余弦公式． 能力目标：

通过三角计算的学习，培养学生的计算技能与计算工具使用技能．

【教学重点】

本节课的教学重点是两角差的余弦公式．

【教学难点】

难点是公式的推导和运用．

【教学设计】

介绍新知识前，先利用特殊角的三角函数值，认识到cos(6030)cos60cos30︒-︒≠︒-︒，进而提出如何计算cos()αβ-的问题．这个导入过程是非常重要的，所指出的错误正是学生学习中最容易发生的，在教学中不可忽视．利用向量论证cos()αβ-的公式，使得公式推导过程简捷．正确理解向量数量积的两种方法是理解公式推导过程的关键．建议教师授课前，让学生复习向量的有关知识．这个公式是推导后面各公式的基础，教学重点放在对公式形式特点的认识和对公式正向与反向的应用上．例1-例4都是两角和与差的余弦公式的应用，教学中要强调公式的特点．例3中得到的结论πcos()sin 2αα-=，π

sin()cos 2

αα-=都是初

中学习过的公式，现在将角从锐角推广到任意角．根据《中等职业学校数学教学大纲》的要求，教材并没有将这组公式作为公式来进行强化，只作为两角和与差的余弦公式运用的教学例题出现，同时承上启下，为推导sin()αβ±的公式作准备．教材利用cos()αβ-的公式推导cos()αβ+的公式的步骤是：利用[]cos()cos ()αβαβ+=--，推出cos()αβ+．

【课时安排】

1课时．

【教学过程】

揭示课题

1．1两角和与差的余弦公式 创设情境 兴趣导入

问题 我们知道，1cos60cos302︒=︒=，显然 ()cos 6030cos60cos30︒-︒≠︒︒-．

由此可知()cos cos cos αβαβ-≠-．

动脑思考 探索新知

在单位圆（如上图）中，设向量OA 、OB 与x 轴正半轴的夹角分别为α和β，则点A 的坐标为（cos ,sin αα），点B 的坐标为（cos ,sin ββ）．

因此向量(cos ,sin )OA αα=，向量(cos ,sin )OB ββ=，且1OA =,1OB =． 于是 cos()cos()OA OB OA OB αβαβ⋅=⋅⋅-=-，又

cos cos sin sin OA OB αβαβ⋅=⋅+⋅，

所以 cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=⋅+⋅． （1）

又 []cos()cos ()αβαβ+=--

cos cos()sin sin()αβαβ=⋅-+⋅-

cos cos sin sin αβαβ=⋅-⋅．

（2） 利用诱导公式可以证明，(1)、(2)两式对任意角都成立（证明略）．由此得到两角和与差的余弦公式

cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=⋅-⋅ （1.1） cos()cos cos sin sin ,αβαβαβ-=⋅+⋅ （1.2）

公式（１.１）反映了αβ+的余弦函数与α，β的三角函数值之间的关系；公式（１.2）反映了αβ-的余弦函数与α，β的三角函数值之间的关系． 巩固知识 典型例题

例1 求cos75︒的值．

分析 可利用公式（1.1），将75°角看作45°角与30°角之和． 解 cos75cos(4530)︒=︒+︒cos45cos30sin45sin30=︒︒-︒︒ 23212=

62

-=．

（转下节）

第二课时：两角和与差的余弦（二）

【教学目标】

知识目标：

理解两角和与差的余弦公式． 能力目标：

通过三角计算的学习，培养学生的计算技能与计算工具使用技能．

【教学重点】

本节课的教学重点是两角和与差的余弦公式．

【教学难点】

难点是公式的运用．

【课时安排】

1课时．

【教学过程】（接上节）

巩固知识 典型例题

例1 求cos75︒的值．

分析 可利用公式（1.1），将75°角看作45°角与30°角之和． 解 cos75cos(4530)︒=︒+︒ cos45cos30sin45sin30=︒︒-︒︒

1

2

=

=

例2 设34

cos cos 55

αβ==，，

并且α和β都是锐角，求cos()αβ+的值． 分析 可以利用公式（1.1），但是需要首先求出sin α与sin β的值． 解 因为3

cos 5

α=，4cos 5β=，并且α和β都是锐角，所以

4sin 5α=

，3

sin 5

β． 因此 cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-， 3443

05555

=⨯-⨯=.

例3 分别用sin α或cos α，表示πcos()2α-与π

sin()2

α-

解 πcos()2α-=ππ

cos cos sin sin 22

αα⋅+⋅

0cos 1sin sin ααα=⋅+⋅=． 故 π

cos()sin 2

αα-=．

令

π2αβ-=,则π

2

αβ=-,代入上式得 π

cos sin()2

ββ=-，

即 π

sin()cos 2

αα-=.

运用知识 强化练习

1．求cos105︒的值. 2．求cos15︒的值． 理论升华 整体建构 思考并回答下面的问题：

两角和与差的余弦公式内容是什么？ 结论：

两角和与差的余弦公式

cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=⋅-⋅ （1.1）

cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=⋅+⋅ （1.2）

自我反思 目标检测

本次课采用了怎样的学习方法？你是如何进行学习的？你的学习效果如何？ 已知11

sin sin 23

αβ==，，

且αβ，均为锐角，求cos()αβ+的值． 继续探索 活动探究

(1)读书部分：教材

(2)书面作业：教材习题1．1（必做）；学习指导1．1（选做） (3)实践调查：用两角和与差的余弦公式印证一组诱导公式 课后反思：