完整版六年级奥数最详细全面 数论教师版

数论

数论问题本身范围很广，我们考察小学奥数的内容，完全平方数等知识点跟基础课内容结合很紧密，但又是小奥的重难点，我们有必要加以重视?本讲需要学生掌握的知识点有：平方数性质、平方差公式、约数个数定理、约数和定理、辗转相除法等

本讲内容中，平方数部分是数论中最基本的部分，学生应当学会熟练运用平方差公式，对于约数和倍数部分，老师应当更注重其中的逻辑过程，可以适当用一些代数的方法将题目讲的更明白和透彻

【例1】一个5位数，它的各位数字和为43,且能被11整除，求所有满足条件的5位数.

【分析】现在我们有两个入手的选择，可以选择数字和，也可以选择被11整除，但我们发现被11整除性质的运用要有具体的数字，而现在没有，所以我们选择先从数字和入手.

5位数数字和最大的为9 >5=45，这样43的可能性只有9, 9, 9, 9, 7或9, 9, 9, 8, &这样我们接着用11的整除特征，发现符合条件的有99979, 97999 , 98989.

【例2】已知ABCA是一个四位数，若两位数AB是一个质数，BC是一个完全平方数，CA是一个质数与一个不为1的完全平方数之积，则满足条件的所有四位数是__________________ .

【分析】本题综合利用数论知识，因为AB是一个质数，所以B不能为偶数，且同时BC是一个完全平方数，则符合条件的数仅为16、36，当B 1时，满足AB是一个质数的数有11 , 31 , 41 , 61, 71, 时，此时同时保证CA是一个质数与一个不为1的完全平方数之积，只有3163符合；当B 3，满足AB是一

个质数的数有13 , 23 , 43, 53 , 73 , 83，此时同时保证CA是一个质数与一个不为1的完全平方数之积，只有8368符合.

【例1】2001个连续的自然数之和为a b c d，若a、b、c、d都是质数，则abed的最小值是多少？

【分析】遇到等量关系的表述时，先将其转化为数学语言. 设这2001个连续自然数中最小的一个是A，则最大的一个是A 2000（遇到多个连续自然数问题，转化时一般均采用假设法，自己需要的量，题目中没有时，可以设未知数），则它们的和是：

A 1000 3 23 29，则 A 1000是质数，所以

1009 3 23 29 1064.

［拓展］101个连续的非零自然数的和恰好是四个不同的质数的积，那么这个最小的和应该是

_______ . ［分析］设这101个自然数中最小的数为 a ，则101个连续自然数的和为：

a+( a +1)+( a +2)+ ......... +( a +100)

=(a+a+100) M 01 2=( a+50) M 01

因为101是质数，所以a+50必须是3个质数的乘积，要使和最小.

经检验a+50=66=2X 3X11最小，所以和最小为 66X101=6666.

［铺垫］已知口 △XADXDOX^A =□△口 △口△，其中□、△、?、☆分别表示不同的数字，那么

四位数O △口☆是多少？

［分析］因为□、□△工 □△ 10101 ,所以在题述等式的两边同时约去□△即得厶口大?

10101 ?作质因数分解得10101 3 7 13 37 ,由此可知该数分解为 3个两位数乘积的方 法仅有21

13 37 .注意到两位数△匚的十位数字和个位数字分别在另外的两位数 □?和☆△中出

现，所以△ 口=3, □□ = 37, ☆△ = 21 .即 O =7 , △ =1 , □=, ☆ = 2，所求的四位数是 7132 .

【例2】N 为自然数，且N 1 , N 2、……、N 9与690都有大于I 的公约数.N 的最小值为 ___________________ .

【分析】690 2 3 5 23，连续9个数中，最多有5个是2的倍数，也有可能有 4个是2的倍数， 如果有5个连续奇

数，这 5个连续奇数中最多有 2个3的倍数，1个5的倍数，1个23的倍数， 所以必然有一个数不是 2、

3、5、23的倍数，即与690没有大于I 的公约数.

所以9个数中只有4个奇数，这个数中，有2个3的倍数，1个5的倍数，1个23的倍数，则N 1、 N 3、

N 5、N 7、N 9是偶数，剩下的4个数中N 2、N 8是3的倍数(5个偶数当中 只有N 5是3的倍数)，还有

N 4、N 6 一个是5的倍数，一个是23的倍数.

剩下的可以用中国剩余定理求解，

N 5是2和3的倍数，且相邻两个数中一个是 23的倍数，另 一个是5的倍数，显然N 5 24是最小解，所以 N 的最小值为19.

288

倍数为4xy ，所以xy —— 72 , 72 23 32，由于x , y 互质，所以2或3不可能在x , y 的因

4

子中都出现，所以 x , y 一个是8一个是9，所以两数的乘积等于 4y 4x 4 4xy 1152，和为

4x 4y 4 8 9 68.

【例4】 有15位同学，每位同学都有编号，它们是 1号到15号.1号同学写了一个自然数， 2号说：这

个数能被2整除” 3号说 这个数能被3整除”……，依次下去，每位同学都说，这个数能被 他的编号数整

除，1号作了一一验证，只有编号相邻的两位同学说得不对，其余同学都对，问：

⑴说得不对的两位同学， 他们的编号是哪两个连续自然数？⑵如果告诉你， 1号写的数是五位数， 请

A A 2000 2001 A 1000 2001 c d 的最小值是： 约数、倍数

【分析】 已知，甲乙两数的最小公倍数是 乙两数的乘积为多少？

和为多少？ 设甲乙两个数为4x , 4y , (x 和y 都不等于1或72)，

则 288,最大公约数是 4, 甲乙两数不是 288和4中的数，那么甲 x , y 两数互质，于 是 4x , 4y 的最小公 【例3】

求出这个数.

【分析】⑴首先可以断定编号是2, 3, 4, 5, 6, 7号的同学说的一定都对.不然，其中说的不对的编号乘以2后所得编号也将说得不对，这样就与只有编号相邻的两位同学说的不对”不符合?因此，这

个数能被2, 3, 4, 5, 6, 7都整除.

其次利用整除性质可知，这个数也能被2X5, 3X4, 2X7都整除，即编号为10, 12 ,14的同学说的

也对.从而可以断定说的不对的编号只能是8和9.

⑵这个数是2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 11, 12, 13, 14, 15的公倍数，

由于上述十二个数的最小公倍数是60060,

因为60060是一个五位数，而十二个数的其他公倍数均不是五位数，所以1号同学写的数就是

60060.

［拓展］一个两位数有6个约数，且这个数最小的3个约数和为10,那么此数为几？

［分析］最小的三个约数中必然包括约数1，除去1以外另外两个约数和是9,由于9是1个奇数，所以这两个约数的奇偶性质一定是相反的，其中一定有一个是偶数，如果一个数包含偶约数，那么它一定是2的倍数，即2是它的约数?于是显然的，2是这个数第二小的约数，而第三小的约数是

乙所以这个两位数是14的倍数，由于这个两位数的约数中不含3、4、5、6,所以这个数只能是

14或98,其中有6个约数的是98.

约数个数定理:

设自然数n的质因子分解式如P

1a a

2

a

3 I

P2 2P3 3L P n" ?

那么n的约数个数为d n a 1 a21a3 1 L a n 1

自然数n的约数和为S n R a R a 1 L 2 1 a2

P P 1 P2 2a2 1 2 1

P22L F2 P2 1 L

L P n a n a 1 2 1

P n" L R P n1

【例5】两数乘积为2800,而且己知其中一数的约数个数比另一数的约数个数多 1 ,那么这两个数分别是 ___________ 、__________ .

【分析】2800 24 52 7 ,由于其中一数的约数个数比另一数的约数个数多 1 ,所以这两个数中有一个数的约数为奇数个，这个数为完全平方数.故这个数只能为22、24、52、22 52或24 52.经检

验，只有两数分别为2和5 7时符合条件，所以这两个数分别是16和175.

［铺垫］在三位数中，恰好有9个约数的数有多少个？

［分析］9 1 9 3 3 ,

所以9个约数的数可以表示为一个质数的8次方，

或者两个不同质数的平方的乘积，

前者在三位数中只有256符合条件，后者中符合条件有100、196、484、676、225、441,

所以符合条件的有7个?

【例6】两个整数A、B的最大公约数是C，最小公倍数是D，并且已知C不等于1，也不等于A或B , C D 187，那么A B等于多少？

【分析】最大公约数C,当然是最小公倍数D的约数，因此C是187的约数，187 11 17 , C不等于1, 只能是C 11或者C 17 .如果C 11,那么D 187 11 176 . A和B都是176的约数，A和B 不能是11,只能是22, 44, 88, 176这四个数中的两个，但是这四个数中任何两个数的最大公约数都不是11,由此得出C不能是

11.现在考虑C 17,那么D 187 17 170, A和B是170 的约数，又要是17的倍数，有34 , 85 , 170三个

数，其中只有34和85的最大公约数是17,因此，A和B分别是34和85, A B 34 85 119.

【例7】已知A是一个有12个约数的合数，8A、10A有24个约数，12A有40个约数，求15A有多少个约数？【分析】设A 2a3b5c d , d中不含有2、3、5因子，

那么A的约数个数有 a 1 b 1 c 1 N 12L L L L①（其中N为d的约数个数）

8A 的约数个数为 a 4 b 1 c 1 N 24，与①比较得到 ^4 2 ,于是a 2 ,

a 1

10A 的约数个数为 a 2 b 1 c 2 N 4 b 1 c 2 N 24，与①比较J 2 3

，于是c 1, c 1 2 12A 的约数个数为 a3b2c1N10b2N40，与①比较得到 山 2，于是b 0， b 1 将a 、b 、c 代入①得到N 2， 15A 的约数个数为 a 1 b 2 c 2 N 36.

［铺垫］已知偶数A 不是4的整数倍，它的约数的个数为 12，求4A 的约数的个数?

［分析］将A 分解，A 2B ,其中B 是奇数，它的约数的个数为 1 1 N 12 ,（其中N 为B 的约数个数）,

则4A 的约数个数为1 3 N 24.

【例8】要使12m 9n 这个积是65的倍数，并要使 m n 最小，贝U m _,n _ .

【分析】 分析题意，为同一个数可以由两种乘积的形式表示?关于因数乘积表示形式，类比联系我们所学 的知识点：质因数的唯一分解式：

a p

b 2 S P 2 P 3 b n ...p n P 1,P 2...p n 为质因数， b ,b 2.. ■ , bn 为自然数 则12m n 2m _ 9 2 3 m 2n 是 65 25 35的倍数，

则得到 2m 5 m, n 为整数 ，使m n 最小， 戸,m 则 3 m 2n 5

n 1 '

【例9】从1到2008的所有自然数中，乘以 72后是完全平方数的数共有多少个？ 【分析】 完全平方数，所有质因数必成对出现.

3 2

72 2 3 2 6 6，所以满足条件的数必为某个完全平方数的

2倍,

2 31 31 1922 2008 2 32 32 2048，共 31 个. ［铺垫］有5个连续自然数，它们的和为一个平方数，中间三数的和为立方数，则这五个数中最小数的最 小值为 ? ［分析］考查平方数和立方数的知识点，同时涉及到数量较少的连续自然数问题，设未知数的时候有技

巧?设中间数

是 x,则它们的和为 5x ,中间三数的和为 3x ? 5x 是平方数，设 5x 52 a 2,则

2 2 2 2 2

x 5a ? 3x 15a 3 5a 是立方数，所以a 至少含有3和5的质因数各2个，a 至少是225, 中间的数至少是

1125 .最小数的最小值为1123.

【例10】志诚小学三四年级的学生人数比一二年级的学生人数多 100人，但比五六年级的学生人数少 53

人，已知五六年级的学生人数和一二年级的学生人数都是完全平方数， 那么志诚中学总的学生人

数有多少人？（请写出最现实的答案）

【分析】五六年级的人数和一二年级的学生人数都是完全平方数，所以可以设五六年级的学生人数为 A 2,

一二年级的学生人数为 B 2，则153 A B A B ，而153 3 3 17 ,所以， A B 与 A B 可能为153和1; 17和

9 ; 51和3，由这三个答案得到的 A 和B 的值分别为：77和76, 13和4,

27和24,显然由前两组答案得到的学校人数不符合现实，所以 A 27 , B 24为最佳结果.此时

五六年级的学生人数为 729人，一二年级的学生人数为 576人，三四年级的学生人数为 676，学

校的总人数为 729 576 676 1981人.

［铺垫］能否找到这么一个数，它加上24,和减去30所得的两个数都是完全平方数？

［分析］假设能找到，设这两个完全平方数分别为A2、B2，那么这两个完全平方数的差为54 A B A B，由于AB和AB的奇偶性质相同，所以A B A B不是4的倍数，就是奇数，所以54不可能等于两个平方数的差，所以这样的数找不到

【例11】一个正整数若能表示为两个正整数的平方差，则称这个数为智慧数”比如16= 52 32,16就是一个智慧数”那么从1开始的自然数列中，第2003个智慧数”是_____________ .

【分析】a2 b2= a b a b .因为a b与a b同奇同偶，

所以智慧数”是奇数或是4的倍数.

对于任何大于1的奇数2n 1（n 1），当a n 1 , b n时，都有a2 b2 = （n 1）2 n2 = 2n 1. 即任何大于1的奇数都是智慧数”.

2 2 2 2

对于任何大于4的4的倍数4n（n 2）,当a n 1 ,b n 1时，都有a b = （n 1）（n 1） =4n . 即任何大于4的4的倍数都是智慧数”除了1和4以外，非智慧数”都是不能被4整除的

偶数，智慧数”约占全部正整数的3. 2003 32671，为2672 4 668，加上1和4这两个非

4 4

智慧数”在1?2672中共有非智慧数” 668+2=670个），有智慧数” 2672 670=2002（个）.所以第2003个智慧数”是2673.

【例12】（2008年清华附中入学考试题）有两个两位数，它们的差是14，将它们分别平方，得到的两个平方数的末两位数（个位数和十位数）相同，那么这两个两位数是________ （请写出所有可能的

答案）.

【分析】（法一）设这两个数分别是a和a 14，则a2与a 14 2两个数的末两位相同，即a2与

a228a 196的末两位相同，所以28a 196是100的倍数，a个位只能是3或8 ?先设

a 10k 3，则28a 196 280k 280,当k 4 , 9时满足条件，但k 9时较大的两位数大于100 不合题意?再设

a 10k 8，可求得k 1 , 6时满足条件.

所以一共有（43,57）、（18,32）、（68,82）三组答案.

（法二）a 14 2 a2 a 14 a a 14 a 28 a 7 , 28 a 7 是100 的倍数，所以a 7 是

25的倍数，符合条件的a只有18、43、68 .

数为________ ，这三个连续自然数为_________ .

【分析】132 142 365,所以这两个连续自然数为13、14, 102 112 122

数为10、11、12 .

2. 有n个自然数相加： 1 2 3 L n aaa （和恰好是三个相同数字组成的三位数），那么

n __________ .

【分析】1 2 3 L n 凹耳aaa, n（n 1） 2aaa 2 111a 2 3 37 a，由于a是个一位数，

2

n与n 1是两个相邻的整数，只有当a 6 , n 36时满足题意，所以所求的n为36 .

365，又有三个连续自然数的平方和等于365,则这两个连续自然

365，所以这三个连续自然

1. 两个连续自然数的平方和等于

3. 已知A有12个约数，9A有24个约数，15A有36个约数，5A有多少个约数？

【分析】设A 3a5b B，有a 1 b 1 N 12个约数，（N为B的约数个数），于是9A有a 3 b 1 N 24 个约数，所以a 1 , 15A有3 b 2 N 36个约数，由此求得b 0 , N 6 ,所以5A有a 1 b 2 N 4N 24 个约数.

4. A、B两数都只含有质因数3和2,它们的最大公约数是18.已知A有12个约数，B有8个约

数，那么A B ________ .

【分析】18 21 32, A、B至少含有两个3和一个2 .因为A有12个约数，12 1 12 2 6 3 4，所以A可能是21 35、

23 32或22 33, B有8个约数，8 1 8 2 4，所以B 21 33，于是A只能是23 32，故 A B 23 3221 33 1 26 .

5. 把26、33、34、35、63、85、91、143分成若干组，要求每一组中任意两个数的最大公约数为 1 .那

么最少要分几组？

【分析】本题是一道关于最大公约数的问题?我们知道两个数的最大公约数为1,即互质，相当于它们的质因数分解式中没有相同的质因数?这就提示我们将题目所给的数字质因数分解?将题目中的数字质因数分解如下：26 2 13, 33 3 11 , 34 2 17, 35 5 7, 63 32 7 , 85 5 17,

91 7 13, 143 11 13 .由于题目要求将这些数字分组，满足每组中任意两个数的最大公约数为1,而26、

91、143均含质因数13 ,因此它们两两不在同一组，于是这些数至少应分为3组.我们这里推出一种分

法：将26、35分为一组，91、34、33分为一组，而143、63、85分为一组.