【金版新学案】高考数学总复习 课时作业51 圆锥曲线的综合问题(选用)试题 文 新人教A版

课时作业(五十一) 圆锥曲线的综合问题(选用)

A 级

1．AB 为过椭圆x 2a 2＋y 2

b

2＝1(a ＞b ＞0)中心的弦，F (c,0)为它的焦点，则△FAB 的最大面

积为( )

A ．b 2

B ．ab

C ．ac

D ．bc

2．设抛物线y 2

＝8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是( )

A.⎣⎢⎡⎦

⎥⎤－12，12 B ．[－2,2] C ．[－1,1]

D ．[－4,4]

3．已知双曲线E 的中心为原点，F (3,0)是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为N (－12，－15)，则E 的方程为( )

A.x 23－y 26＝1

B.x 24－y 25＝1

C.x 26－y 2

3

＝1 D.x 25－y 2

4

＝1 4．直线l ：x ＋y 2＝1与椭圆x 2

＋y 2

4

＝1交于A ，B 两点，O 为原点，则△OAB 的面积为________．

5．已知曲线x 2a －y 2b

＝1与直线x ＋y －1＝0相交于P 、Q 两点，且OP →·OQ →

＝0(O 为原点)，

则1a －1

b

的值为________．

6．已知椭圆C 1：x 24＋y 2b 2＝1(0

，拋物线C 2：x 2

＝2py (p >0)的焦点是

椭圆的顶点．

(1)求拋物线C 2的方程．

(2)过点M (－1,0)的直线l 与拋物线C 2交于E ，F 两点，过E ，F 作拋物线C 2的切线l 1，

l 2，当l 1⊥l 2时，求直线l 的方程．

7．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个顶点为A (2,0)，离心率为2

2

.直线y ＝k (x －

1)与椭圆C 交于不同的两点M ，N .

(1)求椭圆C 的方程． (2)当△AMN 的面积为10

3

时，求k 的值．

8．设椭圆M ：x 2a 2＋y 22＝1(a ＞2)的右焦点为F 1，直线l ：x ＝a 2

a 2－2

与x 轴交于点A ，

若OF 1→＋2AF 1→

＝0(其中O 为坐标原点)．

(1)求椭圆M 的方程；

(2)设P 是椭圆M 上的任意一点，EF 为圆N ：x 2

＋(y －2)2

＝1的任意一条直径(E ，F 为直径的两个端点)，求PE →·PF →

的最大值．

B 级

1．设椭圆C 1、抛物线C 2的焦点均在x 轴上，C 1的中心和C 2的顶点均为原点，从每条曲线上至少取两个点，将其坐标记录于下表中：

(1)求C 1，C 2(2)设直线l 与椭圆C 1交于不同的两点M ，N ，且OM →·ON →

＝0，请问是否存在这样的直线

l 过抛物线C 2的焦点F ？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．

2．直角坐标系xOy 中，已知双曲线C 1：2x 2

－y 2

＝1.

(1)过C 1的左顶点引C 1的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x 轴围成的三角形的面积．

(2)设斜率为1的直线l 交C 1于P ，Q 两点．若l 与圆x 2

＋y 2

＝1相切，求证：OP ⊥OQ . (3)设椭圆C 2：4x 2

＋y 2

＝1.若M ，N 分别是C 1，C 2上的动点，且OM ⊥ON ，求证：O 到直线

MN 的距离是定值．

答案：

课时作业(五十一)

A 级

1．D 设A ，B 两点的坐标为(x 1，y 1)，(－x 1，－y 1)， 则S △FA B ＝1

2

|OF |·|2y 1|＝c |y 1|≤bc .

2．C 设直线方程为y ＝k (x ＋2)，与抛物线联立方程组，整理得ky 2

－8y ＋16k ＝0.当k ＝0时，直线与抛物线有一个交点．当k ≠0时，由Δ＝64－64k 2

≥0，解得－1≤k ≤1且k ≠0.综上－1≤k ≤1.

3．B ∵k AB ＝0＋15

3＋12＝1，∴直线AB 的方程为y ＝x －3.

由于双曲线的焦点为F (3,0)，∴c ＝3，c 2

＝9.

设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2

b 2＝1(a >0，b >0)，

则x 2a 2－x －32

b 2

＝1.

整理，得(b 2

－a 2

)x 2

＋6a 2

x －9a 2

－a 2b 2

＝0.

设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝6a 2

a 2－

b 2＝2×(－12)＝－24，

∴a 2

＝－4a 2

＋4b 2

，∴5a 2

＝4b 2

. 又a 2

＋b 2

＝9，∴a 2

＝4，b 2

＝5. ∴双曲线E 的方程为x 24－y 2

5

＝1.

4．解析： l 过椭圆的顶点(1,0)和(0,2)，S △OAB ＝1

2×2×1＝1.

答案： 1

5．解析： 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，

由题意得⎩⎪⎨⎪⎧

x 2a －y 2

b

＝1，

x ＋y －1＝0，

则(b －a )x 2

＋2ax －a －ab ＝0.

所以x 1＋x 2＝－

2a b －a ，x 1x 2＝－a －ab

b －a

，