数值分析分章复习(第一章误差)
武汉大学数值分析分章复习(误差)
101
故假设 x 具有 p 位有效数字，则应成立：
| xx| 1 1 1 101 p 101 p | x| 4 2 8
令 101 p 10 3
1 8
由条件
104 | xx| 103 , 可得： p lg( ) 3.09691 8 | x|
可见当取 4 位有效数字时，近似数可达精度要求
因为
1 999 dx
0
1
3
1
0
10、数值计算中，影响算法优劣的主要因素有哪些？ 解：数值计算中算法的优劣主要从算法的可靠性、稳定性、准确性、时间和空间复杂性 几个方面考虑。一个算法如果有可靠的理论分析，且计算复杂性好，这样的算法就是好算法
8、分析下面 Matlab 程序所描述的数学表达式，并给出运行结果
a=[1 2 3 4]; n=length(a); t=a(n); x=10; for i=n:-1:2 t=x*t+a(i-1); end
解：程序实现了秦九韶算法的多项式求值，即 p (10) 103 2 102 3 10 4 9、对于积分 I n
101
1 1 103 101 4 2 2
| e x | 0.00008128
可见 x 具有 4 位有效数字
4、要使 20 的近似值的相对误差小于 0.1%，至少要取多少位有效数字 解：记精确值 x
20 ，近似数 x , 注意到 x 20 4.47
0.447
故得递推式： I n 2997 I n 1
3 n
I0 3ln x 999 999
注意到实际计算中初值 I 0 总有误差，设初值 I 0 的近似值为 I 0 （ I 0 I 0 0 ）
数值分析复习
Chap 1 数值计算中的误差
误差 误差限 有效数字 用微分计算函数值误差 计算方法的数值稳定性
误差 误差限 有效数字
设 x是准确值，x是 x的近似值
1) 定义 1.1： 称 e(x) x x 为 x的绝对误差(简称误差)。
2) 定义 1.2：若 | x x | ，则称 是 x 的误差限。
y
er ( y)
e(xy) ye(x) xe( y)
e
x y
1 y
e(x)
x y2
e( y)
er (xy) er (x) er ( y)
er
x y
er
(x)
er
(
y)
例1.10 , 例1.11, 题1.5
计算方法的数值稳定性
1) 求根公式的数值稳定性 2) 递推法的数值稳定性
敛的.
定理 4.4：若(x)在 x (x)的根 x*邻近有连续的 1阶导数，
且 | (x*) | 1, 则当(x*) 0 时迭代公式(4.5)为线性收敛 . 若 (x)在 x*邻近有连续的 2 阶导数，则当(x*) 0,(x*) 0 时迭代公式(4.5)为平方收敛 .
例4.4, 例4.5, 例4.6, 题4.2, 题4.3, 题4.5
3次Hermite插值基函数 (插值基函数的性质)
0 t t 12 1 2t , 1 t t2 3 2t , 0 t t t 12 , 1 t t2 t 1
插值余项
R3 (x) f (x) P3(x)
f
(4) (
4!
)
(x
x0
)2
(
x
x1 ) 2
,
x [x0 ,x1]
混合型Hermite插值
数值分析复习提纲(修改完)
第一章 绪论【考点1】绝对误差概念。
近似数的绝对误差（误差）：()a =x a E -，如果()δa E ≤则称δ为a 的绝对误差限（误差限）。
【考点2】相对误差限的概念。
近似数a 的相对误差：()()/x a x =a E r -，实际运算()()/a a x a E r -=，a r /δδ=。
【考点3】有效数字定义。
设*x 的近似值a 可表示为n m a a .a a= 21010⨯±，m 为整数，其中1a 是1到9中的一个整数，n a a 2为0到9中的任意整数，若使()n m a||=|x a |E -*⨯≤-1021成立，则a 称近似*x 有位有效数字。
例：设256010002560,00256702.×=.a .=x -*=，则4-10×21=0.00005a -x ≤*。
因为，2-m=所以2n=，a 有2位有效数字。
若257.01000257.02⨯==-a ，则5102100000500000030-≤×=..=x-a ，因为2-=m ，所以3=n ，a 有3位有效数字。
例：设000018.x=，则00008.a=具有五位有效数字。
41021000010-≤×.=x-a ，因为1=m ，所以5=n ，即a 具有五位有效数字。
例：若3587.64=x *是x 的具有六位有效数字的近似值，求x 的绝对误差限。
410×0.358764=x *，即4=m ，6=n ，0.005=1021x -x 6-4⨯≤*【考点4】四舍五入后得到的近似数，从第一位非零数开始直到末位，有几位就称该近似数有几位有效数字。
【考点5】有效数字与相对误差的关系。
设x 的近似数为n m a a .a ×a= 21010±，)(a 01≠如果a 具有n 位有效数字，则的相对误差限为()111021--≤n r ×a δ，反之，若a 的相对误差限为()()1110121--+≤n r ×a δ，则a 至少具有n 位有效数字。
数值分析主要知识点
第三章
非线性方程的数值解法
二分法的思想以及其中对分次数的计算；
不动点迭代法、迭代格式的收敛性判定方法、
误差估计式；
Newton迭代法及其收敛性; 割线法迭代格式；
迭代加速方法。
第四章
线性方程组的直接解法
Gauss消去法与列主元素Gauss消去法； 三角分解（LU）法； 平方根方法（Cholesky分解）； 向量与矩阵范数； 条件数与病态方程组求解。
第五章
曲线拟合与最小二乘问题
拟合与插值的异同点、矛盾方程组的最小二乘解； 满秩分解、法方程组、可化为线性拟合的非线性拟合；
（极小）最小二乘解的存在唯一性、广义逆与极小
最小二乘解;
GS与MGS正交化与最小二乘解；
Householder正交化与最小二乘解。
第六章代法与Gauss-Seidel迭代法及其收敛性；
SOR迭代法及其收敛的必要条件、最佳松弛因子； 解非线性方程组的Newton迭代法与拟Newton思想。
第七章
最优化方法与共轭梯度法
与方程组等价的变分问题、线性寻查（线搜索）法；
最速下降法； 解线性方程组的共轭梯度法。
写、不得打印、不得复印，纸上签有姓名和学号；
可以携带计算器（考试期间不允许互借）。
《数值分析》复习主要知识点 第一章
绪论 基本概念：误差的分类（截断误差、舍入误差）、 绝对误差和相对误差、有效数字;
数值稳定性; 误差分析的原则：1）尽量避免相近的数相减，2）
尽量避免绝对值小的数做除数，3）防止大数吃小数， 4）先化简再计算，5）选用数值稳定的算法;
浮点数系统特征（四个整数表征）。
第八章
数值微分与数值积分
数值分析复习课1-2-3
( 2)
总复习
3. 用平方根法解方程组
2 2 x1 10 4 2 2 3 x2 5 2 3 14 4 x3
1 1 x (a ) y , 1 2x 1 x 2x2 (b) y ; (1 2 x )(1 x ) 2 (a ) y , 1 1 x x x x x
(b) y 1 1 x x ; x x
总复习
第二、三章
线性方程组的高斯消去法与高斯主元素法： 完全主元素法和列主素法。 选主元素消去法是数值稳定的方法，且一般 具有较高精度，是目前解中、小 型稠密矩阵方 程组（计算机内存能够存放 A的全部元素）或 带状方程组可靠而有效的方法。 三角分解法：解三对角矩阵方程组（A的对 角元占优）的追赶法，解对称正定矩阵方程组的 平方根法都是三角分解法，且都是数值稳定的方 法，这些方法不选主元素，也具有较高的精度。
总复习
利用函数的泰勒展开估算误差是一种误差估 计的一般方法。 为了防止误差传播、积累带来的危害，以提 高计算的稳定性，在计算中应注意以下几点： 1.选用稳定性好的计算公式； 2.简化计算步骤和公式，设法减少运算次数； 3.合理安排运算顺序，避免“大数”淹没“小 数”； 多个数相加时其绝对值小者先加；多个数相乘 时，其有效位数多者先乘； 4.避免两相近数相减； 5.避免绝对值太小的数作为除数。
* T （0）
(0,0,0) .
T
总复习
8.用SOR方法（分别取 1.0， 0.9， 1.1） 解方程组
0 x1 0 4 1 0 1 0 1 4 1 0 1 0 5 x2 0 0 1 x 3 0 0 1 4 1 0 0 4 1 0 x4 6 0 1 0 1 4 1 x5 2 0 1 0 1 4 0 x6 6
(整理)《数值分析》期末复习纲要.
《数值分析》期末复习纲要 第一章 数值计算中的误差分析主要内容(一)误差分析 1、误差的基本概念：（1）绝对误差：设x 是精确值， *x 是其近似值，则称()E x x x*=-是近似值*x 的绝对误差，简称误差。
特点：可正可负，带量纲。
（2）相对误差：称()r x x E x x *-=是近似值*x 的相对误差，若精确值x 未知，则定义()r x x E x x **-=。
注: 由四舍五入得到的近似值,误差不超过最末位的半个单位(准确到最末位)。
2、有效数字的概念：P6;3、算法的数值稳定性：数值稳定的算法：初始数据所带有的误差在计算的过程中能得到有效控制，不至于因误差的过度增长影响计算结果的精度。
数值不稳定的算法：初始数据所带有的误差在计算的过程中得不到有效控制，以至于因误差的过度增长而使计算结果的精度大大降低。
P11：例子(二)算法设计的基本准则P11-15 应用实例：课堂练习，作业基本要求1、掌握误差、有效数字等基本概念2、熟记算法设计准则，并能依据算法设计准则构造或选择计算公式。
（参见课堂练习、作业）第二章 线性代数方程组的数值解法直接法：不计初始数据的误差和计算过程中的舍入误差，经过有限步四则运算求得方程组的精确解。
迭代法：先给出方程组解的某一初始值，然后按照一定的迭代法则（公式）进行迭代，经过有限次迭代，求得满足精度要求的方程组的近似解。
主要内容（一）直接法的基本模式：高斯顺序消去法基本思想：按照各方程的自然排列顺序（不交换方程），通过按列消去各未知元，将方程组化为同解的三角形方程组来求解求解过程：⎩⎨⎧回代过程消元过程应用实例：课堂例题；练习 （二）高斯列主元消去法基本思想：按列消元，但每次按列消元之前，先选取参与消元的 方程首列系数，选取绝对值最大者，通过交换方程，使之成为主元，再进行消元。
(每一步消元之前先按列选取主元) 应用实例：课堂例题，作业(三)迭代法基本原理：（1）将原方程组b Ax =改写成如下等价形式：f Bx x += （2）构造相应的迭代公式：f Bx x m m +=-)1()(（3）任取一初始向量)0(x代入上述迭代公式，经迭代得到向量序列{}Tm n m m m x x x x ),,,()()(2)(1)( =，如果该向量序列{})(m x 收敛于某一向量Tn x x x x ),,,(21****= ，即),,2,1(lim )(n i x x i m i m ==*∞→Tn x x x x ),,,(21****= 即为原方程组的解。
数值分析第一章1.1误差
即
f * * f * * e ( z ) ( ) e ( x) ( ) e ( y ) x y
*
(1)
函数近似值 z* 的相对误差
e* ( z ) f * x * f * y * e ( z ) * ( ) * er ( x) ( ) * er ( y ) x z y z z
得到一个精度很高的近似值。
四、避免“大数除以小数”
由二元函数的误差传播规律式知
y e x x e y x e y y2
可知，当 y 相对
x e* x 小时， y
会很大。
五、 防止大数“吃掉”小数 由于计算机采用浮点制，在数值运算中，如果 数据的数量级相差很大，如不注意运算次序，就可
因而实际计算的递推公式是：
I 5I
* n
* n 1
1 n
n 1, 2, , 20
（
I I0 e0
* 0
(2）
误差 e0 是怎么传递的
（1）-（2）得
* * I n I n 5(I n1 I n1 )
n 1, 2,, 20
递推得到
I n I (5) e0
z f ( x, y)
时，
用 z* f ( x , y ) 作为函数 z f ( x, y) 的近似值，
于是函数近似值 z* 的绝对误差
f * f * e ( z) z z f ( x, y) f ( x , y ) ( ) ( x x ) ( ) ( y y ) x y
e* (v) V V * 2(v)
绝对误差可以刻画近似值的准确程度。
2、相对误差与相对误差限 若 x 的近似值 x* 的绝对误差为
数值分析期末复习
《数值分析》期末复习提纲第一章数值分析中的误差(一) 考核知识点误差的来源类型；绝对误差和绝对误差限，相对误差和相对误差限，有效数字；绝对误差的传播。
误差的定性分析(二)复习要求1. 知道产生误差的主要来源。
2. 了解绝对误差和绝对误差限、相对误差和相对误差限和有效数字等概念以及它们之间的关系。
3. 知道四则运算中的误差传播公式。
4. 避免误差危害的若干原则第二章插值法(一) 考核知识点插值函数，插值多项式，被插值函数，节点；拉格朗日插值多项式：插值基函数；均差及其性质，牛顿插值多项式；分段线性插值、线性插值基函数。
(二)复习要求1. 了解插值函数，插值节点等概念。
2. 熟练掌握拉格朗日插值多项式的公式，知道拉格朗日插值多项式余项。
3. 掌握牛顿插值多项式的公式，了解均差概念和性质，掌握均差表的计算，知道牛顿插值多项式的余项。
4. 掌握分段线性插值的方法和线性插值基函数的构造。
第三章函数逼近(一) 考核知识点函数逼近的基本概念，内积，范数，勒让德与切比雪夫正交多项式，最佳一次一致逼近，最佳平方逼近，曲线拟合的最小二乘法（二）复习要求1. 熟练掌握内积，范数等基本概念。
2. 熟练掌握勒让德与切比雪夫正交多项式的性质。
3. 掌握用多项式做最佳平方逼近的方法。
4. 最小二乘法及其计算方法。
第四章数值积分与数值微分(一) 考核知识点数值求积公式，求积节点，求积系数，代数精度；插值型求积公式，牛顿―科特斯求积公式，牛顿―科特斯系数及其性质，(复合)梯形求积公式，(复合)Simpson求积公式；高斯型求积公式，高斯点，(二点、三点)高斯―勒让德求积公式；(二) 复习要求1. 熟练掌握数值积分和代数精度等基本概念。
2. 熟练掌握牛顿−科特斯求积公式和科特斯系数的性质。
熟练掌握并推导(复合)梯形求积公式和(复合)Simpson求积公式。
3. 知道高斯求积公式和高斯点概念。
会用高斯−勒让德求积公式求定积分的近似值。
数值分析1复习资料
一、 误差相对误差和绝对误差得概念二、有效数字有效数字的定义（P5.定义2）有效数字与相对误差之间的关系（P6.定理1）典型习题：P19:1,2,3,5,11,12,1410.1%，要取几位有效数字？2．取的6位有效数字9.94987，问以下这种算法有几位有效数字：109.949870.05013≈-=3 1.7320508= ，1231.73, 1.7321, 1.7320x x x ===为其近似值，求它们有别有几位有效数字？4．测量一物体的长度为945cm ，问测量数据的相对误差限多大？（实际问题所截取的近似数，其绝对误差一般不超过最小刻度的半个单位）5. 已知**12325413,0.325413x x ==都有6位有效数字，求绝对误差限一、Lagrange 插值()()()nn j j j L x l x f x ==∑，0111'0111()()()()()()()()()()()()j j n n j j j j j j j n j n j x x x x x x x x w x l x x x x x x x x x x x w x -++-++----==-----余项：(1)1()()()(1)!n n n f R x w x n ξ++=+二、Newton 插值差商表0x 0()f x 1x 1()f x 01[ ]f x x 2x 2()f x 02[ ]f x x 012[ ]f x x x3x 3()f x03[ ]f x x013[ ]f x x x 0123[ ]f x x x xNewton 插值多项式：00100101()()[ ]()[ ]()()n n n N x f x f x x x x f x x x x x x x -=+-++--余项：(1)0101()()[ ]()()()(1)!n n n n n f R x f x x x x x x x x w x n ξ++=--=+三、Hermite 插值（待定系数法）1、三点Hermite 插值3001001201012()()[,]()[,,]()()()()()H x f x f x x x x f x x x x x x x A x x x x x x =+-+--+---其中A 为待定系数,可由311()()H x f x ''=得到. 余项：()423012()()()()()4!f R x x x x x x x ξ=---2、两点Hermite 插值 已知31111()()()()()()()()k k k k k k k k H f x x f x x f x x f x x ααββ++++''=+++其中21(12)()k k k k k x x l x x x α+-=+-，21111(12)()k k k k k x x l x x x α++++-=+-2()()k k k x x l x β=-，2111()()k k k x x l x β+++=-.余项：()42231()()()()4!k k f R x x x x x ξ+=--四、分段线性插值在每个小区间上用线性插值，101max ()k k k n h x x +≤≤-=-1111()()()j j j j j j j jx x x x I h f x f x x x x x ++++--=+--，1[,],0,1,,1j j x x x j n +∈=- ，余项：max ()()h a x bf x I x ≤≤-2(2)22,max ()8M h M f x ≤=五、分段三次Hermite 插值在每个小区间上用两点Hermite 插值，101max ()k k k n h x x +≤≤-=-1111()()()()()()()()()h k k k k k k k k I x f x x f x x f x x f x x ααββ++++''=+++，1[,],0,1,,1k k x x x k n +∈=-其中21(12)()k k k k k x x l x x x α+-=+-，21111(12)()k k k k k x x l x x x α++++-=+-2()()k k k x x l x β=-，2111()()k k k x x l x β+++=-.余项：4(4)max ()()max ()384h a x b a x bh f x I x f x ≤≤≤≤-≤六、三次样条插值在每个小区间上用三次多项式插值，保证插值函数在整个区间[,]a b 上具有二阶连续的偏导数，1j j j h x x +=-，3322111111()()(),6666[,],0,1,,1j j j j j j jj jj j j jjj j j j x x x x M h x x M h x x S x M M y y h h h h x x x j n ++++++⎛⎫⎛⎫----=++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∈=-其中1、若边界条件为00(),()n n S x f S x f ''''==，则000111111112222n n n n n n n M d M d M d M d λμλμλμ----⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 其中1000101101161,([,]),,,6[,,],1,2,1j j j j j j j j j j j jh h d f x x f d f x x x j n h h h h h λμλ--+--'==-====-++ ，1161,([,])n n n n n n d f f x x h μ--'==-. 2、若边界条件为00(),()n n S x f S x f ''''''''==，则000111111112222n n n n n n n M d M d M d M d λμλμλμ----⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 其中0000,2,2n n n d f d f λμ''''====，11111,,6[,,],1,2,1j j j j j j j j j jj jh h d f x x x j n h h h h μλ--+--====-++3、若0n y y =，边界条件为00(0)(0),(0)(0)n n S x S x S x S x ''''''+=-+=-，则0n M M =，1111222211112222n n n n n n n n M d M d M d M d λμμλμλλμ----⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦其中010********[,][,],,6,n n n n n n n n n h h f x x f x x d h h h h h h λμ------===+++11111,,6[,,],1,2,1j j j j j j j j j jj jh h d f x x x j n h h h h μλ--+--====-++余项()()(4)4max ()()max (),0,1,2k k k k a x ba x bf x S x C f x h k -≤≤≤≤-≤=其中01201513,,,max .384248i i n C C C h h ≤≤-====典型习题：P48:2,4,5,6,8,13,14,161.已知函数()f x 有关数据如下：要求一个次数不超过3的插值多项式3()H x ，使得3311(),()i i H x y H x y ''==。
第一章 误差分析与数据分析
(a)
(b )
23.5m的近似值，其绝对误差限等于该近似 值末位的半个单位。
截断误差求解数学模型所用的数值计算方法如果是近似的方法那么只能得到数学模型的近似解由此产生的误差称为截断误差或方法误差
第一章
误差分析与数据分析
第一节 误差分析 1.1 误差的来源和分析 1 模型误差
反映实际问题有关量之间的计算公式，即 数学模型，通常只是近似的。由此产生的 数学模型的解与实际问题的解之间的误差， 称为模型误差。
a
称为近似值 a 的相对误差限和相对误差界，有er r 。
例 1 用最小刻度为毫米的卡尺测量直杆甲和直杆乙，分别读出长度 r ( a) 、 r (b) 各是多少？两杆的实 a=312mm 和 b=24mm，问 (a) 、 (b) 、 际长度 x 和 y 的范围？
解： (a) = (b) =0.5mm
5 尽量减少运算次数
定义 设 a 是数 x 的近似值，如果 a 的绝对误差限是它的某一位的半个 单位，并且从该位到它的第一位非零数字共有 n 位，则称用 a 近似 x 时具有 n 位有效数字。
数 a 可以写成如下形式： 0.a1a2…ak × a= 10m a 其中 m 是整数，ai 是 0 到 9 中的一个数字， 1 0。 如果 a 作为 x 的近似值，且
如，由Taylor(泰勒)公式，函数f(x)可表示为，
为简化计算，当误差不大时，去掉上式 右端的最后一项，得近似公式：
此近似公式的误差就是截断误差。
4 舍入误差 由于计算机的字长有限，参加运算的数据 以及运算结果在计算机上存放会产生误差， 这种误差称为舍入误差或计算误差。 如 1/3=0.333333333 (1.000002)2-1.000004=0 在数值分析中，主要研究截断误差和舍入误 差对计算结果的影响，而一般不考虑模型误 差和观测误差。
数值分析课件 数值分析复习
1!
n
1
x
其中 a,b 且依赖于 x ， n1 x x x0 x x1 x xn 。
Rn
x
M n1
n 1!
n1
x
17
Newton 插值
为什么 Newton 插值
Lagrange 插值简单易用，但若要增加一个节点时，全部基
函数 lk(x) 都需重新计算，很不方便 !
解决办法
n k0
n
yk
i0,ik
x xi xk xi
Ln(x) 就称为 f(x) 的 Lagrange 插值多项式
16
插值余项
插值余项的估计
定理 设 f n x 在 a,b 上连续， f n1 x 在 a,b 内存在，那
么，对任何 x a,b ，插值余项 Rn x f x Ln x
f n1
6
误差估计
误差估计：估计误差限或相对误差限
简单算术运算的误差估计
记 (x*) 为 x* 的误差限，则有
x1x2 x2 x1 x1 x2
x1 x2
|
x2
|
x1 | x1 |
| x2 |2
x2
7
误差估计
一元可微函数 f (x) 的误差估计
设一元函数 f (x) 可微，x*为 x 的近似值，则有
er* =
x* - x x
为近似值 x* 的 相对误差。
由于精确值难以求出，通常也采用下面的定义
er* =
x* - x x*
若存在正数 Rr*，使|er*| <= Rr*，则称 Rr*为 相对误差限
5
有效数字
定义：若近似值 x* 的误差限是某一位的半个单位，且该位到 x* 的第一位非零数字共有 n 位，则称 x* 有 n 位有效数字。
数值分析_第一章_误差
的关系. 解
e( y ) e( x n ) nx n1e( x )
e( y ) nx n1e( x ) e( x ) er ( y ) n ner ( x ) n y x x
所以xn 的相对误差是 x 的相对误差的n倍. x2的相对误差是 x 的相对误差的 2 倍,
x 的相对误差是 x 的相对误差的 1/2 倍.
一位的所有数字均称为有效数字.
例： 3.1415926535 897932 ......;
问： *有几位有效数字？ 解： |π * π| 0.5 10 3
* 3.1415
* 有4 位有效数字，精确到小数点后第3 位
3
例
已知下列近似值的绝对误差限都是0.005, 问
问应取几位有效数字？ 解 由于 2 1.414, 则近似值x*可写为
x* 0.a1a2 an 101 ,
a1 1 0.
令
1 2 x * 101 n 10 5 2
故取 n=6，即取 6 位有效数字. 此时 x*=1.41421.
5
例
设 y=xn, 求 y 的相对误差与 x 的相对误差之间
例 用毫米刻度的米尺测量一长度 x, 如读出的长度
是 x*=765 mm, 由于误差限是 0.5 mm, 故准确值
x [764.5 mm , 765.5 mm ].
精确值x , 近似值 x* 和误差限 之间满足：
x * x x *
通常记为
x x *
1
例 设 x*=1.24是由精确值 x 经过四舍五入得到的 近似值, 求x*的绝对误差限和相对误差限. 解 由已知可得: 1.235 x 1.245
数值分析期末复习总结(优选.)
线性插值多项式（一次插值多项式）
n=2
L2 ( x) =
y0
(x ( x0
− −
x1 )( x − x2 ) x1 )( x0 − x2 )
+
y1
(x ( x1
− −
x0 )( x − x2 ) x0 )( x1 − x2 )
+
y2
(x ( x2
− −
x0 )( x − x1 ) x0 )( x2 − x1 )
f ( x=) f ( x0 ) + ( x − x0 ) f [x, x0]
1
f [ x, x0 ] = f [ x0 , x1] + ( x − x1 ) f [ x, x0 , x1]
2
……
f [ x, x0 , ... , xn−1] = f [ x0 , ... , xn ] + ( x − xn ) f [ x, x0 , ... , xn ] n−1
19
Newton 插值
为什么 Newton 插值
Lagrange 插值简单易用，但若要增加一个节点时，全部基函
数 lk(x) 都需重新计算，不太方便。
解决办法
设计一个可以逐次生成插值多项式的算法，即 n 次插值多项式 可以通过 n-1 次插值多项式生成 —— Newton 插值法
20
新的基函数
设插值节点为 x0 , … , xn ，考虑插值基函数组 ϕ0(x) = 1 ϕ1( x)= x − x0 ϕ2( x) = ( x − x0 )( x − x1 )
18
插值余项
几点说明
余项公式只有当 f(x) 的高阶导数存在时才能使用
ξx 与 x 有关，通常无法确定, 实际使用中通常是估计其上界
《数值分析》第一章 数值计算中的误差
值，其绝对误差限等于该近似值末位的半个单位。
14
§2 舍入方法与有效数字
2.2 舍入方法
2.2.2四舍五入法
• 例：设a=-2.18和b=2.1200是分别由准确值x和y 经过四舍五入而得到的近似值，问: a、b的绝 对误差限、相对误差限各是多少？
解： (a) 0.005 0.5 102
(b) 0.00005 0.5104
n位
≤ 0 . 0 … 0 999... < 0 . 0 … 0 1=1×10－n
n位
n-1位
• 截断法产生的绝对误差限不超过近似数a最末位 的1个单位。
11
§2 舍入方法与有效数字
2.2 舍入方法
2.2.2四舍五入法
• 四舍情况，
A=a0 a1 … am . am+1 … am+n
• 当am+n+1 =0,1,2,3,4时，
4
§2 舍入方法与有效数字
5
§2 舍入方法与有效数字
2.1 绝对误差与相对误差
• 近似数a的绝对误差 ， 简称误差 设a是精确值A的近似值，
=a－A
• 绝对误差限 ||=|a－A|<(上界)
• 由上式可推知 a－ <A<a+，也可表示为A=aAFra biblioteka-a
a+
6
§2 舍入方法与有效数字
2.1 绝对误差与相对误差
• 相对误差 ： 绝对误差与精确值之比 =/A。 • 实际计算/a。
代替后误差
a A 1 2
A a Aa
Aa
• 相对误差限 ||=|/a |< /|a|＝ (上界)
• 绝对误差是有量纲的量，相对误差没有量纲,有时 亦用百分比、千分比表示。
数值分析部分
第1章数值分析中的误差一、重点内容误差设精确值x* 的近似值x，差e＝x－x* 称为近似值x 的误差(绝对误差)。
误差限近似值x 的误差限e 是误差e 的一个上界，即|e|＝|x－x*|≢ε。
相对误差er 是误差e 与精确值x* 的比值，。
常用计算。
相对误差限是相对误差的最大限度，，常用计算相对误差限。
绝对误差的运算：ε(x1±x2)＝ε(x1)＋ε(x2)ε(x1x2)≈|x1|ε(x2)＋|x2|ε(x1)有效数字如果近似值x 的误差限ε是它某一个数位的半个单位，我们就说x 准确到该位。
从这一位起到前面第一个非0 数字为止的所有数字称为x 的有效数字。
关于有效数字：(1) 设精确值x* 的近似值x，x＝±0.a1a2…an×10 ma1，a2，…，an 是0～9 之中的自然数，且a1≠0，|x－x*|≢ε＝0.5×10 m－l ，1≢l≢n则x 有l位有效数字.(2) 设近似值x＝±0.a1a2…an×10m 有n 位有效数字，则其相对误差限(3) 设近似值x＝±0.a1a2…an×10m 的相对误差限不大于则它至少有n 位有效数字。
(4) 要求精确到10－3，取该数的近似值应保留4 位小数。
一个近似值的相对误差是与准确数字有关系的，准确数字是从一个数的第一位有效数字一直数到它的绝对误差的第一位有效数字的前一位，例如具有绝对误差e＝0.0926 的数x＝20.7426 只有三位准确数字2，0，7。
一般粗略地说，具有一位准确数字，相对于其相对误差为10% 的量级；有二位准确数字，相对于其相对误差为1% 的量级；有三位准确数字，相对于其相对误差为0.1% 的量级。
二、实例例1 设x*＝p＝3.1415926…近似值x＝3.14＝0.314×101，即m＝1，它的误差是0.001526…，有|x－x*|＝0.001526…≢0.5×101－3即l＝3，故x＝3.14 有 3 位有效数字。
第一章数值分析(误差分析)
* e x x * e r * * x x x x* er 则称η 为 x* 的相对误差限。 x
如果
这时 x=10,
x*=10±1;
2019/3/13
第一章 绪论与误差分析
2
本章内容安排
1. 目的意义：了解计算数学的背景知识；掌握误 差的基本知识 2.重 点：误差来源、误差表示、误差传播 及算法设计原则 3.难 点：有效数字 4.内容分配： 第 1 次：§1 计算数学研究的对象和内容 第
§2 误差的来源和分类 2 次：§3 误差的表示 §4 误差的传播 §5 算法设计的若干原则
由于计算机的字长有限，参加运算的数据以及计算结 果在计算机上存放时，计算机会按舍入原则舍去每个数据 字长之外的数字，从而产生误差，这种误差称为舍入误差 或计算误差。 例如，在十进制十位的限制下，会出现 (1.000002)2-1.000004=0
这个结果是不准确的，准确的结果应是 (1.000002)2-1.000004 =1.000004000004-1.000004=4×10-12 这里所产生的误差就是计算舍入误差。 在数值分析中，一般总假定数学模型是准确的，因而 不考虑模型误差和观测误差，主要研究截断误差和舍入误 差对计算结果的影响。
则有误差限 |x-x*|≤1= εx ,
虽然εy是εx 的3倍，但在1000内差3显然比10内差1更精确 些。这说明一个近似值的精确程度除了与绝对误差有关 外，还与精确值的大小有关，所以这时可以用相对误差 来比较这两个近似数的准确度。
2019/3/13 19
第一章 绪论与误差分析
e x x 定义1 .2 记 er x x 则称其为近似值 x *的相对误差。 由于 x 未知， 实际使用时总是将 x * 的相对误差取为
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
数值分析分章复习
第一章 引论
要点：误差基本概念
误差分类：截断误差；舍入误差。
误差量化：绝对误差；相对误差；有效数字
设计数值计算方法应注重的原则：
注重算法稳定性；减少运算量；避免相近数相减；避免绝对值小的数作分母
复习题：
1、设115.80,1025.621≈≈x x 均具有5位有效数字，
试估计由这些数据计算21x x ，21x x +的绝对误差限
解：记126.1025, 80.115x x ==%%
则有1123241110, | 102|||2x x x x --≤⨯-≤⨯-%% 所以 121212121212211122||||||||||||x x x x x x x x x x x x x x x x x x -=-+-+≤--%%%%%%%%%
341180.11610
6.1010252
20.007057-==⨯⨯+≤⨯⨯ 1212112243|()|||11|10100.0005522|x x x x x x x x --≤≤⨯+⨯=+-+-+-%%%% 2、已知2.153是2.1542的近似数，问该近似数有几位有效数字？
它的绝对误差和相对误差各是多少？
解：记精确值12.15420.2154102x =⨯=，近似值 2.153x =%
因为130.00121102
x x -≤⨯-=%，故近似数有3位有效数字 3、已知数 e=2.718281828...,取近似值 x=2.7182, 那末x 具有多少位有效数字
解：10.271828182810e =⨯L
314||0.0000811110102228e x --≤⨯=⨯-=L 可见x 具有4位有效数字
4、的近似值的相对误差小于0.1%，至少要取多少位有效数字
解：记精确值x =x %, 注意到14.44770.410x ==⨯=L L 故假设x %具有p 位有效数字，则应成立：11111101||042||8
p p x x x --≤⨯⨯=⨯-%
令131
10108p --⨯≤
由条件 3||10||x x x -≤-%, 可得：410lg() 3.096891p ≥=L
可见当取4位有效数字时，近似数可达精度要求
5、设准确值=x 3002，以=*x 006666.0作为x 的近似值，其有效数字多少
解：2*0.666160x -⨯=，6523*111||0.6601010262x x ----⨯≤⨯=⨯-=L 可见近似值具有3位有效数字
6、设280=Y 按递推公式100
7831-=-n n Y Y 计算到100Y ，若取783≈27.982(五位有效数字),试问计算100Y 将有多大误差?
解：记计算值为n
Y %
则有10
10028n n Y Y Y -⎧=-⎪⎨⎪=⎩ 和 1027.98210028n n Y Y Y -⎧=-⎪⎨⎪=⎩%%%
相减得：11127.982)100
n n n n Y Y Y Y ---=--%% 依此类推，有
22227.982)100
n n n n Y Y Y Y ---=--=%%L
0027.982)27.982)100100
n n Y Y =--=-%
故1310000||27.9821|102
Y Y --=≤⨯%
7、当1>>a 时，为使计算)1ln(a a -+更精确，应如何变形
解：按原计算式计算出现相近数相减的现象，会造成有效数字损失
计算时应变形为=≈ 8、分析下面Matlab 程序所描述的数学表达式，并给出运行结果
解：程序实现了秦九韶算法的多项式求值，即 32
103(10)102104p ⨯+⨯++= 9、对于积分⎰=+=1
0,2,1,0,999
3Λn dx x x I n n 。
（1）试给出递推计算式
（2）分析递推式的数值稳定性；
（3）给出初始值0I 的估计。
解：111111100033(999)299732997999999n n n n n n n x x x x I dx dx x dx I x x ----+-=
==-++⎰⎰⎰ 故得递推式：132997n n I I n -=-+
100310003ln 999999I dx x ==+⎰ 注意到实际计算中初值0I 总有误差，设初值0I 的近似值为0I %（00
0I I ε-=≠%） 所以实际计算递推为10032997n n I I n I I ε
-⎧=-+⎪⎨⎪=+⎩%%% 故有 1100
||2997||2997)||2997)|((|n n n n n n I I I I I I ε--=-=-=-=%%L % 可见该递推是不稳定的
因为 1110003331999999999dx dx dx x <<++⎰⎰⎰
所以可取 0133()0.00300221000999I ≈+≈
10、数值计算中，影响算法优劣的主要因素有哪些？
解：数值计算中算法的优劣主要从算法的可靠性、稳定性、准确性、时间和空间复杂性几个方面考虑。
一个算法如果有可靠的理论分析，且计算复杂性好，这样的算法就是好算法。