高一数学《函数的对称性》知识点总结
函数的对称性与周期性(归纳总结)
函数的对称性与周期性（归纳总结）一、函数对称性：1.2.3.4.5.6.7.8.f（a+x）=f（a-x）==>f（x）关于x=a对称f（a+x）=f（b-x）==>f（x）关于x=（a+b）/2对称f（a+x）=-f（a-x）==>f（x）关于点（a，0）对称f（a+x）=-f（a-x）+2b==>f（x）关于点（a，b）对称f（a+x）=-f（b-x）+c==>f（x）关于点[（a+b）/2，c/2]对称y=f（x）与y=f（-x）关于x=0对称y=f（x）与y=-f（x）关于y=0对称y=f（x）与y=-f（-x）关于点（0,0）对称例1：证明函数y=f（a+x）与y=f（b-x）关于x=（b-a）/2对称。
【解析】求两个不同函数的对称轴，用设点和对称原理作解。
证明：假设任意一点P（m，n）在函数y=f（a+x）上，令关于x=t的对称点Q（2tm，n），那么n=f（a+m）=f[b（2tm）] ∴b2t=a，==>t=（b-a）/2，即证得对称轴为x=（b-a）/2.例2：证明函数y=f（a-x）与y=f（xb）关于x=（a+b）/2对称。
证明：假设任意一点P（m，n）在函数y=f（a-x）上，令关于x=t的对称点Q（2tm，n），那么n=f（a-m）=f[（2tm）b] ∴2t-b=a，==>t=（a+b）/2，即证得对称轴为x=（a+b）/2.二、函数的周期性令a,b均不为零，若：1、函数y=f（x）存在f（x）=f（x+a）==>函数最小正周期T=|a|2、函数y=f（x）存在f（a+x）=f（b+x）==>函数最小正周期T=|b-a|3、函数y=f（x）存在f（x）=-f（x+a）==>函数最小正周期T=|2a|4、函数y=f（x）存在f（x+a）=1/f（x）==>函数最小正周期T=|2a|5、函数y=f（x）存在f（x+a）=[f（x）+1]/[1f（x）]==>函数最小正周期T=|4a|这里只对第2~5点进行解析。
函数的对称知识点总结
函数的对称知识点总结一、基本概念1. 对称轴和对称中心对称轴是指对称图形相对称的轴线，它将图形分成两个相互对称的部分。
在二维空间中，对称轴是一条直线；在三维空间中，对称轴是一个平面。
对称轴的定义有助于我们理解对称图形的性质和特点。
对称中心是指对称图形的中心点，它是对称图形上所有对称轴的交点，也是图形上所有对称点的中心。
对称中心的概念对于研究对称图形的对称性质和特点非常重要。
2. 对称图形对称图形是指具有对称性质的几何图形。
常见的对称图形包括对称多边形、对称图案、对称曲线等。
对称图形在几何学中有着广泛的应用，它们具有一些特殊的性质和定理。
3. 对称性质对称性质是指对称图形所具有的一些特殊性质和定理。
例如，对称图形的对称轴上的任意点都是对称点，对称图形的对称轴之间的距离是相等的，对称图形的面积和周长具有一些特殊的关系等。
对称性质是研究对称图形的基本方法之一。
二、对称的类型1. 点对称点对称是指图形围绕某一点进行对称，具体来讲，如果图形上任意一点与对称中心的连线都与对称轴垂直且相等，那么这个点就是对称点。
点对称是最基本的对称类型，几乎所有的对称问题都可以通过点对称来进行分析。
2. 垂直对称垂直对称是指图形围绕某一条垂直线进行对称，具体来讲，如果图形上任意一点关于对称轴对称，那么这个点就是对称点。
垂直对称在几何学中应用非常广泛，许多几何图形都具有垂直对称性质。
3. 水平对称水平对称是指图形围绕某一条水平线进行对称，具体来讲，如果图形上任意一点关于对称轴对称，那么这个点就是对称点。
水平对称也是几何学中常见的对称类型，许多几何图形都具有水平对称性质。
4. 中心对称中心对称是指图形围绕某一点进行对称，具体来讲，如果图形上任意一点与对称中心的连线都与对称轴相等但反向，那么这个点就是对称点。
中心对称是一种比较特殊的对称类型，它在代数学和分析学中有着广泛的应用。
三、对称的应用1. 几何图形的研究对称在几何学中有很多应用，例如对称图形的性质和定理、对称多边形的面积和周长关系、对称曲线的性质和特点等。
函数对称性的总结
函数对称性的总结函数对称性是数学中一个重要的概念，可以帮助我们更好地理解和分析各种函数。
在本文中，我将总结函数对称性的基本概念、性质和应用，以及如何判断函数的对称性。
首先，什么是函数对称性？函数对称性指的是函数在某种变换下保持不变的性质。
具体来说，如果函数在某个变换下满足等式 f(x) = f(-x)，那么我们称这个函数具有对称性。
这个变换可以是关于原点对称、关于y轴对称、关于x轴对称等。
常见的函数对称性包括：1. 关于原点对称：如果一个函数满足 f(x) = f(-x)，则称该函数关于原点对称。
这意味着函数的图像在原点处对称，即图像的左右两侧是镜像关系。
2. 关于y轴对称：如果一个函数满足 f(x) = f(-x)，则称该函数关于y轴对称。
这意味着函数的图像在y轴上对称，即在图像的左右两侧相互重合。
3. 关于x轴对称：如果一个函数满足 f(x) = -f(-x)，则称该函数关于x轴对称。
这意味着函数的图像在x轴上对称，即图像关于x轴对称。
函数对称性的性质也值得我们注意：1. 对称性可以简化函数的分析和计算。
例如，如果一个函数是关于y轴对称的，那么我们只需要计算出函数在y轴右侧的部分，然后将结果镜像到左侧即可。
2. 对称性可以帮助我们发现函数的特点。
例如，如果一个函数是关于x轴对称的，那么当 x = a 是函数的零点时，可以确定 x = -a 也是函数的零点。
现在，让我们来看看如何判断一个函数是否具有对称性。
一般来说，我们可以通过一些简单的方法来进行判断。
1. 对称性的代数判断方法：通过代数运算，我们可以验证函数的对称性。
例如，对于关于原点对称的函数，我们可以将 x 替换为 -x，然后将两边进行比较来判断函数是否具有对称性。
2. 对称性的图形判断方法：通过函数的图形来判断函数是否具有对称性。
我们可以绘制函数的图像，并观察图像是否在某个变换下保持不变。
3. 对称性的性质判断方法：通过函数的性质来判断函数是否具有对称性。
函数对称性公式大总结
函数对称性公式大总结1. 引言在数学中，函数对称性是一个重要的概念，它描述了函数在某种变换下保持不变的性质。
函数对称性有多种形式，如轴对称性、中心对称性等。
本文将对函数对称性的一些常见公式进行总结，并提供示例说明。
2. 轴对称函数公式2.1 轴对称性的定义轴对称是指函数图像对于某一条直线对称，即函数图像在这条直线两侧对称。
设函数为 f(x)，对称轴为 x = a，则函数 f(x) 在对称轴两侧的函数值相等，即 f(a + h) = f(a - h)。
2.2 轴对称函数公式•偶函数：若函数 f(x) 满足 f(-x) = f(x)，则称 f(x) 为偶函数。
•奇函数：若函数 f(x) 满足 f(-x) = -f(x)，则称 f(x) 为奇函数。
偶函数和奇函数都具有轴对称性，其中以偶函数更为常见。
3. 中心对称函数公式3.1 中心对称性的定义中心对称是指函数图像对于某一点对称，即函数图像关于这一点对称。
设函数为 f(x)，对称中心为 (a, b)，则函数 f(x) 在对称中心两侧的函数值相等，即 f(a + h) = f(a - h)。
3.2 中心对称函数公式•对数函数：对数函数 y = loga(x) 关于 y 轴对称，其中 a > 0，且a ≠ 1。
•幂函数：幂函数 y = ax^n 关于 y 轴对称，其中a ≠ 0，且 n 为任意整数。
•正弦函数和余弦函数：正弦函数 y = sin(x) 和余弦函数 y = cos(x) 关于原点对称。
4. 复合对称函数公式4.1 复合对称性的定义复合对称是指函数图像同时具有轴对称性和中心对称性。
函数 f(x) 在具有轴对称性的直线上的每一个点，同时也是具有中心对称性的点。
4.2 复合对称函数公式•奇次幂函数：奇次幂函数y = ax^(2n+1) 具有轴对称性和中心对称性，其中a ≠ 0，n 为任意整数。
5. 示例说明5.1 示例 1：偶函数考虑函数 f(x) = x^2，我们可以看到该函数关于 y 轴对称，即 f(x) = f(-x)。
函数对称性知识点归纳总结
函数对称性知识点归纳总结一、函数的对称性概念1.1 函数的定义在数学中，函数是一种将输入值映射到输出值的关系。
它通常表示为f(x)，其中x是输入值，f(x)是输出值。
函数可以用数学公式、图表、图形等方式来表示。
1.2 函数的对称性函数的对称性是指在某种变换下，函数图像保持不变的性质。
这种变换可以是关于坐标轴的对称、关于原点的对称、关于直线或平面的对称等。
函数的对称性可以分为以下几种：- 偶函数：如果对任意的x，有f(x) = f(-x)，那么函数f(x)是关于y轴对称的，称为偶函数。
偶函数的图像在y轴对称。
- 奇函数：如果对任意的x，有f(x) = -f(-x)，那么函数f(x)是关于原点对称的，称为奇函数。
奇函数的图像关于原点对称。
- 周期函数：如果存在一个正数T，使得对任意的x，有f(x+T) = f(x)，那么函数f(x)是周期函数。
周期函数的图像在某一段距离上重复。
1.3 示例以函数f(x) = x^2为例，它是一个偶函数。
因为对任意的x，有f(x) = x^2 = (-x)^2 = f(-x)，所以函数图像关于y轴对称。
又如函数f(x) = sin(x)，它是一个奇函数。
因为对任意的x，有f(x) = sin(x) = -sin(-x) = -f(-x)，所以函数图像关于原点对称。
二、函数对称性的判定与应用2.1 函数对称性的判定在判断一个函数是否具有对称性时，可以通过以下方法进行判定：- 偶函数：验证函数f(x)是否满足f(x) = f(-x)即可判断是否为偶函数。
- 奇函数：验证函数f(x)是否满足f(x) = -f(-x)即可判断是否为奇函数。
- 周期函数：通过周期函数的定义，验证函数f(x)是否满足f(x+T) = f(x)即可判断是否为周期函数。
2.2 函数对称性的应用函数对称性在数学分析、物理学、工程学等领域中有着广泛的应用。
以下是函数对称性的一些应用场景：- 在积分计算中，利用函数的对称性可以简化积分的计算。
函数奇偶性对称性周期性知识点总结文档
函数奇偶性对称性周期性知识点总结文档函数的奇偶性、对称性和周期性是函数图像特征的重要方面。
在数学中，研究函数的这些特性可以帮助我们更好地理解函数的行为和性质。
本文将对函数的奇偶性、对称性和周期性进行总结。
一、函数的奇偶性奇偶性是指函数关于坐标原点或者其中一点的对称性。
如果函数f(x)满足f(x)=f(-x)，则称函数为偶函数；如果函数f(x)满足f(x)=-f(-x)，则称函数为奇函数。
1.偶函数的特点：（1）关于y轴对称，即函数的图像关于y轴对称；（2）具有对称性质，即对于任意x，有f(x)=f(-x)；（3）如果函数f(x)在定义域内可导，则偶函数的导函数也是偶函数。
2.奇函数的特点：（1）关于原点对称，即函数的图像关于原点对称；（2）具有对称性质，即对于任意x，有f(x)=-f(-x)；（3）如果函数f(x)在定义域内可导，则奇函数的导函数也是奇函数。
二、函数的对称性对称性是指函数图像关于其中一直线、其中一点或者其中一中心进行对称的性质。
1.关于y轴对称：如果函数f(x)满足f(x)=f(-x)，则函数关于y轴对称。
这意味着函数的图像在y轴左右对称。
2.关于x轴对称：如果函数f(x)满足f(-x)=-f(x)，则函数关于x轴对称。
这意味着函数的图像在x轴上下对称。
3.关于原点对称：如果函数f(x)满足f(-x)=-f(-x)，则函数关于原点对称。
这意味着函数的图像在原点对称。
三、函数的周期性周期性是指函数在一定区间内以一些特定的周期重复出现的性质。
1.周期函数：如果函数f(x)在定义域的一些区间内满足f(x+T)=f(x)，其中T为正数，则称函数为周期函数，T为函数的周期。
周期函数的图像在段区间内重复出现。
2.周期函数的性质：（1）在一个周期内，函数具有相同的性质和特点；（2）相邻两个周期之间的函数值关系相同；（3）周期函数的图像在一个周期内是相似的。
四、函数的判断在实际问题中，我们根据函数的表达式或者图像来判断函数的奇偶性、对称性和周期性。
函数对称性公式大总结
函数对称性公式大总结1. 引言在数学中，函数对称性是指函数在某种变换下保持不变的特性。
函数对称性广泛应用于各个数学分支，如代数、几何和微积分等。
本文将对常见的函数对称性公式进行总结，以帮助读者更好地理解和应用这些公式。
2. 对称轴对称轴是函数对称性的一个重要概念。
对称轴是指函数图像关于某一直线对称。
对称轴上的点与其对称点关于对称轴对称。
对称轴的方程可以通过观察函数的特性或运用特定的公式来确定。
2.1 y轴对称性若函数满足f(x) = f(-x)，则函数具有y轴对称性。
对于奇函数来说，其图像关于y轴对称；对于偶函数来说，其图像与y 轴重合。
常见的函数对称于y轴的公式有：•奇函数的定义：f(x) = -f(x)•偶函数的定义：f(x) = f(-x)2.2 x轴对称性若函数满足f(x) = -f(x)，则函数具有x轴对称性。
对于奇函数来说，其图像关于x轴对称；对于偶函数来说，其图像与x 轴重合。
常见的函数对称于x轴的公式有：•奇函数的定义：f(x) = -f(x)•偶函数的定义：f(x) = f(-x)3. 极限和导数对称性在微积分中，极限和导数也可以与函数的对称性相关联。
3.1 极限对称性若函数f(x)在某一点x=a的极限存在，并且与x=a的对称点x=-a的极限相等，即lim(x->a) f(x) = lim(x->-a) f(x)，则函数具有极限对称性。
常见的函数具有极限对称性的公式有：•正弦函数的极限对称性：lim(x->0) sin(x) = lim(x->0) sin(-x)•余弦函数的极限对称性：lim(x->0) cos(x) = lim(x->0) cos(-x)3.2 导数对称性若函数f(x)在某一点x=a可导，并且其导数与x=a的对称点x=-a的导数相等，即f’(a) = f’(-a)，则函数具有导数对称性。
常见的函数具有导数对称性的公式有：•正弦函数的导数对称性：(sin(x))’ = cos(-x)•余弦函数的导数对称性：(cos(x))’ = -sin(-x)4. 对称性的应用函数对称性是解决许多数学问题的重要工具。
高一函数对称知识点总结
高一函数对称知识点总结函数是数学中一个重要的概念，它在数学和实际问题中都有着广泛的应用。
在高一阶段，函数的对称性是一个重要的知识点。
本文将对高一函数对称的相关知识点进行总结。
一、函数的奇偶性函数的奇偶性是指函数图像关于y轴或者原点的对称性。
具体而言，我们可以通过函数的表达式来确定函数的奇偶性。
如果对于函数中的任意x，有f(-x) = f(x)，则函数是偶函数；如果对于函数中的任意x，有f(-x) = -f(x)，则函数是奇函数；如果函数既不是奇函数也不是偶函数，则函数是一个既非奇又非偶的函数。
二、函数图像的对称轴对于函数来说，其图像的对称轴是一个重要的概念。
对称轴可以是x轴或y轴，也可以是其他直线。
具体而言，如果函数的图像关于x轴对称，则称该函数关于x轴对称；如果函数的图像关于y轴对称，则称该函数关于y轴对称；如果函数的图像关于直线y=x对称，则称该函数关于直线y=x对称。
三、函数的周期性周期函数是指在一定区间上具有重复规律的函数。
如果存在一个正数T，使得对于函数中的任意x，有f(x+T) = f(x)，则称函数具有周期T。
具体而言，我们可以通过函数的图像或者函数的表达式来确定函数的周期性。
常见的周期函数有正弦函数和余弦函数等。
四、函数的点对称性在函数中，存在一类特殊的函数点对称性。
如果对于函数中的任意x，有f(-x) = -f(x)，则称函数具有点对称性。
点对称性使得函数图像关于原点对称。
常见的具有点对称性的函数有二次函数。
五、函数图像的轴对称点对于函数图像来说，存在一个或多个轴对称的点。
轴对称点是指函数图像上关于某一条直线对称的点。
具体而言，如果函数的图像关于点（a，b）对称，则称（a，b）是函数图像的轴对称点。
常见的具有轴对称点的函数有开口向上（或向下）的二次函数。
六、函数的变换对称性在函数的变换中，也存在一些对称性。
具体而言，平移、翻转和缩放等变换可能保持函数的对称性不变。
通过对函数进行适当的平移、翻转和缩放等变换，我们可以得到新的具有对称性的函数。
《函数的对称性》高一数学知识点总结
《函数的对称性》高一数学知识点总结定理1.函数 = f (*)的图像关于点A (a ,b)对称的充要条件是f (*) + f (2a－*) = 2b证明：〔须要性〕设点P(* ,)是 = f (*)图像上任一点，∵点P( * ,)关于点A (a ,b)的对称点P〔2a－*，2b－〕也在 = f (*)图像上，∴ 2b－ = f (2a－*)即 + f (2a－*)=2b故f (*) + f (2a－*) = 2b，须要性得证。
〔充分性〕设点P(*0,0)是 = f (*)图像上任一点，那么0 = f (*0) ∵ f (*) + f (2a－*) =2b∴f (*0) + f (2a－*0) =2b，即2b －0 = f (2a－*0) 。
故点P〔2a－*0，2b－0〕也在 = f (*) 图像上，而点P与点P 关于点A (a ,b)对称，充分性得征。
推论：函数 = f (*)的图像关于原点O对称的充要条件是f (*) + f (－*) = 0定理2. 函数 = f (*)的图像关于直线* = a对称的充要条件是f (a +*) = f (a－*) 即f (*) = f (2a－*) 〔证明留给读者〕推论：函数 = f (*)的图像关于轴对称的充要条件是f (*) = f (－*)定理3. ①假设函数 = f (*) 图像同时关于点A (a ,c)和点B (b ,c)成中心对称〔a≠b〕，那么 = f (*)是周期函数，且2 a－b是其一个周期。
②假设函数 = f (*) 图像同时关于直线* = a 和直线* = b成轴对称〔a≠b〕，那么 = f (*)是周期函数，且2 a－b是其一个周期。
③假设函数 = f (*)图像既关于点A (a ,c) 成中心对称又关于直线* =b成轴对称〔a≠b〕，那么 = f (*)是周期函数，且4 a－b 是其一个周期。
①②的证明留给读者，以下给出③的证明：∵函数 = f (*)图像既关于点A (a ,c) 成中心对称，∴f (*) + f (2a－*) =2c，用2b－*代*得：f (2b－*) + f [2a－(2b－*) ] =2c………………〔*〕又∵函数 = f (*)图像直线* =b成轴对称，∴ f (2b－*) = f (*)代入〔*〕得：f (*) = 2c－f [2(a－b) + *]…………〔**〕，用2〔a－b〕－*代*得f [2 (a－b)+ *] = 2c－f [4(a－b) + *]代入〔**〕得：f (*) = f [4(a－b) + *],故 = f (*)是周期函数，且4 a－b 是其一个周期。
函数对称的知识点总结
函数对称的知识点总结函数对称是数学中的一个重要概念，它在代数、几何和分析等各个领域都有着重要的应用。
函数对称可以由函数的图像、函数表达式和函数的性质来描述。
在本文中，我们将探讨函数对称的各种类型和性质，并且将介绍函数对称在各种数学问题中的应用。
一、基本概念1.1 函数的对称性在数学中，函数的对称性是指函数图像相对于某个直线或者点的对称性质。
常见的对称性包括关于x轴的对称、关于y轴的对称、关于原点的对称以及关于直线y=x的对称等。
1.2 函数的图像和对称性根据函数的图像可以很直观地判断函数的对称性。
例如，当函数的图像关于y轴对称时，函数的表达式一般可以表示为f(x)=f(-x)；当函数的图像关于x轴对称时，函数的表达式一般可以表示为f(x)=-f(-x)；当函数的图像关于原点对称时，函数的表达式一般可以表示为f(-x)=-f(x)。
1.3 函数的性质和对称性函数的对称性也可以由函数的性质来判断。
例如，奇函数具有关于原点对称的性质，即f(-x)=-f(x)；偶函数具有关于y轴对称的性质，即f(-x)=f(x)。
二、函数的对称类型2.1 奇函数奇函数是指满足f(-x)=-f(x)的函数。
奇函数的图像关于原点对称。
常见的奇函数包括正弦函数、余弦函数、和函数等。
2.2 偶函数偶函数是指满足f(-x)=f(x)的函数。
偶函数的图像关于y轴对称。
常见的偶函数包括幂函数、指数函数、对数函数等。
2.3 周期函数周期函数是指函数f(x)满足f(x+T)=f(x)，其中T为正常数。
周期函数的图像在某个区间上有重复的规律。
常见的周期函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数、三角函数等。
2.4 对称关于y轴的函数函数关于y轴对称的性质是指f(x)=f(-x)。
常见的对称关于y轴的函数包括二次函数、幂函数、指数函数等。
2.5 对称关于x轴的函数函数关于x轴对称的性质是指f(x)=-f(-x)。
常见的对称关于x轴的函数包括一次函数、双曲函数、指数函数等。
高一函数图象对称性知识点
高一函数图象对称性知识点在高中数学的学习中，我们经常会接触到函数的图象，而对于函数图象的对称性有着重要的认识和理解。
本文将介绍高一函数图象对称性的相关知识点，以帮助同学们更好地掌握和运用。
一、函数图象的轴对称性在二维坐标系中，函数图象关于坐标轴的对称性是我们最常见的对称性。
其中，函数图象关于x轴对称意味着函数图象在x轴上下对称，即图象中的每个点(x, y)关于x轴的对称点也在图象中。
同理，函数图象关于y轴对称意味着函数图象在y轴左右对称。
判断函数图象是否关于x轴对称，可以通过判定函数的解析式中是否出现y关于x的奇函数，即f(x) = -f(x)。
若成立，则函数图象关于x轴对称。
同样地，判断函数图象是否关于y轴对称，可以通过判定函数的解析式中是否出现x关于y的奇函数。
二、函数图象的点对称性除了关于坐标轴的对称性，函数图象还可能存在其他类型的对称性。
一类常见的对称性是关于原点的对称性，即函数图象关于原点对称。
这意味着对于图象中的任意点(x, y)，其对称点(-x, -y)同样在图象中。
判断函数图象是否关于原点对称，可以通过判定函数的解析式中是否出现f(-x) = -f(x)。
若成立，则函数图象关于原点对称。
三、函数图象的其他对称性除了轴对称性和点对称性，函数图象还可能存在其他种类的对称性。
例如，函数图象可能关于某个特定的直线对称，我们称之为直线对称性。
直线对称性的存在意味着函数图象中的每个点(x, y)关于该特定直线对称的点也在图象中。
要判断函数图象是否关于某个直线对称，一种方法是通过观察函数图象的形状和位置，寻找可能的对称轴。
另一种方法是将函数的解析式转化为关于新坐标系的方程，通过分析方程的性质判断是否存在对称性。
四、对称性与函数性质的关系函数图象的对称性不仅仅是一种几何性质，它还与函数的代数性质有着密切关联。
例如，如果一个函数图象关于x轴对称，则可以推导出该函数为偶函数；如果一个函数图象关于y轴对称，则可以推导出该函数为奇函数。
函数对称性的总结
参考一：函数对称性总结函数的对称性一、三角函数图像的对称性1、y =f (x ) 与y =-f (x ) 关于x 轴对称。
换种说法：y =f (x ) 与y =g (x ) 若满足f (x ) =-g (x ) ，即它们关于y =0对称。
2、y =f (x ) 与y =f (-x ) 关于Y 轴对称。
换种说法：y =f (x ) 与y =g (x ) 若满足f (x ) =g (-x ) ，即它们关于x =0对称。
3、y =f (x ) 与y =f (2a -x ) 关于直线x =a 对称。
换种说法：y =f (x ) 与y =g (x ) 若满足f (x ) =g (2a -x ) ，即它们关于x =a 对称。
4、y =f (x ) 与y =2a -f (x ) 关于直线y =a 对称。
换种说法：y =f (x ) 与y =g (x ) 若满足f (x ) +g (x ) =2a ，即它们关于y =a 对称。
5、y =f (x ) 与y =2b -f (2a -x ) 关于点(a , b ) 对称。
换种说法：y =f (x ) 与y =g (x ) 若满足f (x ) +g (2a -x ) =2b ，即它们关于点(a , b ) 对称。
6、y =f (a -x ) 与y =f (x -b ) 关于直线x =二、单个函数的对称性一、函数的轴对称：定理1：如果函数y =f (x )满足f (a +x )=f (b -x )，则函数y =f (x )的图象关于直线x =a +b2a +b 2对称。
对称.推论1：如果函数y =f (x )满足f (a +x )=f (a -x )，则函数y =f (x )的图象关于直线x =a 对称. 推论2：如果函数y =f (x )满足f (x )=f (-x )，则函数y =f (x )的图象关于直线x =0（y 轴）对称. 特别地，推论2就是偶函数的定义和性质. 它是上述定理1的简化.二、函数的点对称：定理2：如果函数y =f (x )满足f (a +x )+f (a -x )=2b ，则函数y =f (x )的图象关于点(a , b )对称.推论3：如果函数y =f (x )满足f (a +x )+f (a -x )=0，则函数y =f (x )的图象关于点(a , 0)对称.推论4：如果函数y =f (x )满足f (x )+f (-x )=0，则函数y =f (x )的图象关于原点(0, 0)对称. 特别地，推论4就是奇函数的定义和性质. 它是上述定理2的简化.性质5：函数y =f (x ) 满足f (a +x ) +f (b -x ) =c 时，函数y =f (x ) 的图象关于点（a +b ，c ）对称。
对称函数知识点总结
对称函数知识点总结一、对称函数定义对称函数是指函数的图像以某一直线对称。
这条直线称为对称轴。
如果函数f(x)在对称轴上的图像中任意一点(x, y)都有对应点(-x, y)，则称这个函数是对称函数。
对称函数可以分为以下几种情况：1. 关于y轴对称：如果对于所有的x∈D（定义域），都有f(x) = f(-x)，即在对称轴y轴上的图像中的横坐标的符号互为相反，则函数f(x)是关于y轴对称的。
2. 关于x轴对称：如果对于所有的x∈D，都有f(x) = -f(-x)，即在对称轴x轴上的图像中的纵坐标的符号互为相反，则函数f(x)是关于x轴对称的。
3. 奇函数：如果一个函数同时具有关于x轴和y轴对称的性质，则称该函数为奇函数。
奇函数满足对于所有的x∈D，都有f(x) = -f(-x)和f(x) = f(-x)。
4. 偶函数：如果一个函数具有关于y轴对称的性质，则称该函数为偶函数。
偶函数满足对于所有的x∈D，都有f(x) = f(-x)。
二、对称函数的性质1. 对称函数关于对称轴的性质：对称函数的图像关于对称轴上的两条对称图像对应点的横坐标之和为零。
即对于对称函数，如果点P(x，y)在对称轴上的图像点P'(-x，y')，则有x + (-x) = 0。
2. 奇偶性：关于y轴对称的函数称为偶函数，关于原点对称的函数称为奇函数。
任何一个函数都可以分解为偶函数和奇函数的和。
3. 图像关于直线对称的性质：对称函数的图像关于对称轴对称，即对称轴对称的图像可以通过旋转180°或水平镜像得到。
4. 函数奇偶性质与对称函数的关系：对称函数一定是偶函数或奇函数，但奇函数和偶函数不一定是对称函数。
三、对称函数的应用1. 函数的分析：对称函数的图像具有某种特定的对称性，可以通过对称性简化函数图像的分析。
如对称函数的图像关于y轴对称，可以根据对称性质得出函数的图像在y轴对称的规律。
2. 函数的积分和微分：对称函数的导数和积分具有特殊的性质，可以通过对称性质简化函数的积分和微分计算。
函数对称性知识点归纳总结
函数对称性知识点归纳总结函数对称性是数学中一个重要的概念，它涉及到函数图像在某种变换下的性质和特点。
本文将针对函数对称性的相关知识进行归纳总结，包括函数关于x轴对称、y轴对称和原点对称的特点以及应用。
希望通过本文的介绍，读者能够全面了解函数对称性，并能够应用到实际问题中。
1. 函数关于x轴对称函数关于x轴对称是指函数图像在x轴旋转180度后重合。
具体表现为当函数中的每一个点(x, y)都对应于另一个点(x, -y)。
如果函数的表达式为f(x)，那么函数关于x轴对称可以表示为f(x) = f(-x)。
常见的函数关于x轴对称的例子有二次函数和正弦函数。
2. 函数关于y轴对称函数关于y轴对称是指函数图像在y轴旋转180度后重合。
具体表现为当函数中的每一个点(x, y)都对应于另一个点(-x, y)。
如果函数的表达式为f(x)，那么函数关于y轴对称可以表示为f(x) = f(-x)。
常见的函数关于y轴对称的例子有二次函数和余弦函数。
3. 函数关于原点对称函数关于原点对称是指函数图像以原点为对称中心，旋转180度后重合。
具体表现为当函数中的每一个点(x, y)都对应于另一个点(-x, -y)。
如果函数的表达式为f(x)，那么函数关于原点对称可以表示为f(x) = -f(-x)。
常见的函数关于原点对称的例子有奇次函数和正切函数。
除了以上三种常见的对称性，函数还可能具有其他特殊的对称性，比如关于直线y=x的对称性、关于直线y=-x的对称性等。
这些对称性在函数的研究和应用中都有重要的意义。
函数对称性的应用十分广泛。
其中一项重要的应用是利用对称性来求函数的零点。
如果函数关于x轴对称，也就是满足f(x) = f(-x)，那么我们可以通过找到函数图像上的一个零点，得到一个对称的零点。
这是因为如果f(x) = 0，则f(-x) = 0，对称点也是零点。
同样，对于关于y 轴对称或原点对称的函数，我们也可以利用对称性来求解零点。
函数对称性知识点梳理总结
函数对称性知识点梳理总结一、轴对称轴对称是最常见的一种函数对称性，它指的是函数图象关于某一条直线对称。
这条直线称为对称轴，通常用方程 x=a 来表示。
如果函数 f(x) 满足 f(a+x) = f(a-x)，那么 f(x) 关于 x=a 轴对称。
对于二元函数 f(x,y)，如果 f(a+x,y) = f(a-x,y)，那么 f(x,y) 关于直线 x=a 对称；如果 f(x,a+y) = f(x,a-y)，那么 f(x,y) 关于直线 y=a 对称。
轴对称性在几何学中有着广泛的应用，许多平面图形都具有轴对称性，比如圆形、椭圆形等。
函数的轴对称性也有很多实际的应用，比如在电路分析中，对称性可以帮助简化复杂的电路分析问题。
另外，在数学建模和图像处理领域，轴对称性也经常被用来简化问题求解。
二、中心对称中心对称是指函数图象关于某一点对称，这一点称为中心。
对于函数 f(x)，如果 f(a+x) = f(a-x)，那么 f(x) 关于 x=a 点对称。
对于二元函数 f(x,y)，如果 f(a+x,b+y) = f(a-x,b-y)，那么 f(x,y) 关于点 (a,b) 对称。
中心对称性在几何学中也有很多重要应用，比如圆形就是一个非常常见的中心对称图形。
在实际应用中，中心对称性也经常被用来简化问题求解，比如在物理学和工程学中，很多问题都具有中心对称性，通过利用中心对称性可以大大简化问题求解的复杂度。
三、旋转对称旋转对称是指函数图象关于某一点旋转一定角度后，与原图象完全重合。
对于函数 f(x)，如果 f(a+x) = f(x-a)，那么 f(x) 关于点 x=a 有旋转对称性。
对于二元函数 f(x,y)，如果f(a+x,a+y) = f(x-a,y-a)，那么 f(x,y) 关于点 (a,a) 有旋转对称性。
旋转对称性在几何学中有着重要的应用，很多图形都具有旋转对称性，比如正方形、菱形等。
在实际应用中，旋转对称性通常被用来简化问题求解，比如在工程学和建筑学领域，很多结构都具有旋转对称性，通过利用旋转对称性可以简化结构分析和设计的复杂性。
(完整word版)高一数学《函数的对称性》知识点总结
高一数学《函数的对称性》知识点总结一、函数自身的对称性探究定理1.函数y=f的图像关于点A对称的充要条件是f+f=2b证明：（必要性）设点P是y=f图像上任一点，∵点P 关于点A的对称点P'（2a－x，2b－y）也在y=f图像上，∴2b－y=f即y+f=2b故f+f=2b，必要性得证。
（充分性）设点P是y=f图像上任一点，则y0=f∵f+f=2b∴f+f=2b，即2b－y0=f。
故点P'（2a－x0，2b－y0）也在y=f图像上，而点P与点P'关于点A对称，充分性得征。
推论：函数y=f的图像关于原点o对称的充要条件是f+f=0定理2.函数y=f的图像关于直线x=a对称的充要条件是f=f即f=f（证明留给读者）推论：函数y=f的图像关于y轴对称的充要条件是f=f 定理3.①若函数y=f图像同时关于点A和点B成中心对称（a≠b），则y=f是周期函数，且2a－b是其一个周期。
②若函数y=f图像同时关于直线x=a和直线x=b成轴对称（a≠b），则y=f是周期函数，且2a－b是其一个周期。
③若函数y=f图像既关于点A成中心对称又关于直线x=b成轴对称（a≠b），则y=f是周期函数，且4a－b是其一个周期。
①②的证明留给读者，以下给出③的证明：∵函数y=f图像既关于点A成中心对称，∴f+f=2c，用2b－x代x得：f+f[2a－]=2c………………（*）又∵函数y=f图像直线x=b成轴对称，∴f=f代入（*）得：f=2c－f[2+x]…………（**），用2（a－b）－x代x得f[2+x]=2c－f[4+x]代入（**）得：f=f[4+x],故y=f是周期函数，且4a－b是其一个周期。
二、不同函数对称性的探究定理4.函数y=f与y=2b－f的图像关于点A成中心对称。
定理5.①函数y=f与y=f的图像关于直线x=a成轴对称。
②函数y=f与a－x=f的图像关于直线x+y=a成轴对称。
③函数y=f与x－a=f的图像关于直线x－y=a成轴对称。
高一的对称函数知识点归纳总结
高一的对称函数知识点归纳总结对称函数是高中数学中常见的重要知识点之一，它在数学领域中有着广泛的应用。
本文旨在对高一阶段涉及的对称函数知识点进行归纳总结，帮助同学们系统地理解和掌握这一概念。
一、对称函数的概念和性质对称函数指的是函数在某种变换下具有不变性的特征。
常见的对称函数有偶函数和奇函数两种类型。
1. 偶函数偶函数是指满足函数f(x) = f(-x)的函数。
换句话说，当自变量x取相反数时，函数值不发生改变。
偶函数的图像通常关于y轴对称，即图像上任意一点关于y轴对称点也在函数图像上。
2. 奇函数奇函数是指满足函数f(x) = -f(-x)的函数。
简而言之，奇函数在自变量取相反数时，函数值的相反数即与原函数相等。
奇函数的图像常常关于原点对称，即图像上任意一点关于原点对称点也在函数图像上。
二、对称函数的运算性质对称函数具有一些特殊的运算性质，对于学习和解题起到重要的帮助。
以下是几个常见的运算性质：1. 两个偶函数的和或差仍然是偶函数。
例如：f(x) = x^2和g(x) = 2x^4都是偶函数，它们的和f(x) + g(x)也是偶函数。
2. 两个奇函数的和或差仍然是奇函数。
例如：f(x) = x^3和g(x) = 3x^5都是奇函数，它们的差f(x) - g(x)依然是奇函数。
3. 偶函数与奇函数的乘积是奇函数。
例如：f(x) = x^2为偶函数，g(x) = x^3为奇函数，它们的乘积f(x) ×g(x)为奇函数。
三、对称函数在图像中的应用对称函数在数学图像的研究中具有重要的地位。
下面是一些对称函数在图像中的应用：1. 对称点对称函数的图像通常存在对称点。
以偶函数为例，当一个点(x, f(x))在函数图像上时，与之关于y轴对称的点(-x, f(-x))也在函数图像上。
这些对称点的存在可以帮助我们更好地描述函数图像。
2. 图像的对称性对称函数的图像具有一定的对称性，这也是对称函数的基本特征之一。
函数对称知识点高中总结
函数对称知识点高中总结一、函数对称的定义1. 函数对称轴函数对称轴是指当函数关于某个直线对称时，这条直线就是函数的对称轴。
对称轴可以是x轴、y轴，也可以是直线y=x或y=-x等。
2. 函数对称关系当函数关于某个直线对称时，函数图象在这条直线上的对应点互相关于对称轴对称。
具体地说，设函数为y=f(x)，对称轴为直线x=a，若对于任意点(x,y)，都有a-x对称点也在函数图象上，即有f(a-x)=f(x)。
3. 偶函数若函数f(x)满足f(x)=f(-x)，即对于任意x，有f(x)=f(-x)，则称f(x)为偶函数。
偶函数的图象关于y轴对称。
4. 奇函数若函数f(x)满足f(x)=-f(-x)，即对于任意x，有f(x)=-f(-x)，则称f(x)为奇函数。
奇函数的图象关于原点对称。
二、函数对称的性质1. 对称关系的性质（1）关于y轴对称的函数f(x)满足f(x)=f(-x)，即f(x)为偶函数；（2）关于原点对称的函数f(x)满足f(-x)=-f(x)，即f(x)为奇函数。
2. 函数对称轴的性质（1）当函数对称于y轴时，其对称轴为y轴，表现为f(x)=f(-x)；（2）当函数对称于x轴时，其对称轴为x轴，表现为f(x)=-f(-x)；（3）当函数对称于直线y=x时，其对称轴为y=x，表现为f(y)=f(x)；（4）当函数对称于直线y=-x时，其对称轴为y=-x，表现为f(-y)=f(-x)。
3. 对称函数的图象（1）偶函数的图象关于y轴对称；（2）奇函数的图象关于原点对称。
三、函数对称的分类1. 偶函数与奇函数（1）偶函数：满足f(x)=f(-x)的函数称为偶函数。
例如，y=x^2、y=cosx等都是偶函数。
（2）奇函数：满足f(x)=-f(-x)的函数称为奇函数。
例如，y=x^3、y=sinx等都是奇函数。
2. 关于坐标轴的对称函数（1）关于y轴对称：函数图象关于y轴对称，即f(x)=f(-x)的函数。
【最新】高中函数对称性总结
【最新】高中函数对称性总结高中函数的对称性是一个重要的数学概念，对于理解和运用函数有着重要的意义。
在高中数学的教学中，对称性是一个常见的考点和解题方法。
本文将对高中函数的对称性进行总结，包括函数关于x轴对称、关于y轴对称、关于原点对称以及关于直线对称等四种对称性。
一、函数关于x轴对称函数关于x轴对称是指当函数图象关于x轴对称时，函数具有关于x轴对称的性质。
具体表现为当函数中的每一个点(x, y)在图象中时，其对称点(x, -y)也在图象中。
函数关于x轴对称的特点包括：1. 函数的解析式中只包含偶次幂的项，如x²、x⁴等；2. 函数的图象关于x轴对称；3. 函数的奇偶性为偶函数，即f(-x) = f(x)。
二、函数关于y轴对称函数关于y轴对称是指当函数图象关于y轴对称时，函数具有关于y轴对称的性质。
具体表现为当函数中的每一个点(x, y)在图象中时，其对称点(-x, y)也在图象中。
函数关于y轴对称的特点包括：1. 函数的解析式中只包含偶次幂的项，如x²、x⁴等；2. 函数的图象关于y轴对称；3. 函数的奇偶性为偶函数，即f(-x) = f(x)。
三、函数关于原点对称函数关于原点对称是指当函数图象关于原点对称时，函数具有关于原点对称的性质。
具体表现为当函数中的每一个点(x, y)在图象中时，其对称点(-x, -y)也在图象中。
函数关于原点对称的特点包括：1. 函数的解析式中只包含偶次幂的项，如x²、x⁴等；2. 函数的图象关于原点对称；3. 函数的奇偶性为偶函数，即f(-x) = f(x)。
四、函数关于直线对称函数关于直线对称是指当函数图象关于一条直线对称时，函数具有关于直线对称的性质。
具体表现为当函数中的每一个点(x, y)在图象中时，其对称点关于直线的对称点也在图象中。
函数关于直线对称的特点包括：1. 函数的图象关于直线对称；2. 函数的解析式中可能包含奇次幂的项，如x³、x⁵等；3. 函数的奇偶性为奇函数，即f(-x) = -f(x)。
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高一数学《函数的对称性》知识点总结高一数学《函数的对称性》知识点总结
一、函数自身的对称性探究
定理1.函数 y = f (x)的图像关于点A (a ,b)对称的充要条件是
f (x) + f (2a－x) = 2b
证明：（必要性）设点P(x ,y)是y = f (x)图像上任一点，∵点P( x ,y)关于点A (a ,b)的对称点P'（2a－x，2b－y）也在y = f (x)图像上，∴ 2b－y = f (2a－x) 即y + f (2a－x)=2b故f (x) + f (2a－x) = 2b，必要性得证。
（充分性）设点P(x0,y0)是y = f (x)图像上任一点，则y0 = f (x0)
∵ f (x) + f (2a－x) =2b∴f (x0) + f (2a－x0) =2b，即2b－y0 = f (2a－x0) 。
故点P'（2a－x0，2b－y0）也在y = f (x) 图像上，而点P与点P'关于点A (a ,b)对称，充分性得征。
推论：函数 y = f (x)的图像关于原点O对称的充要条件是f (x) + f (－x) = 0
定理2. 函数 y = f (x)的图像关于直线x = a对称的充要条件是
f (a +x) = f (a－x) 即f (x) = f (2a－x) （证明留
给读者）
推论：函数 y = f (x)的图像关于y轴对称的充要条件是f (x) = f (－x)
定理3. ①若函数y = f (x) 图像同时关于点A (a ,c)和点B (b ,c)成中心对称（a≠b），则y = f (x)是周期函数，且2 a－b是其一个周期。
②若函数y = f (x) 图像同时关于直线x = a 和直线x = b成轴对称（a≠b），则y = f (x)是周期函数，且2 a －b是其一个周期。
③若函数y = f (x)图像既关于点A (a ,c) 成中心对称又关于直线x =b成轴对称（a≠b），则y = f (x)是周期函数，且4 a－b是其一个周期。
①②的证明留给读者，以下给出③的证明：
∵函数y = f (x)图像既关于点A (a ,c) 成中心对称，∴f (x) + f (2a－x) =2c，用2b－x代x得：
f (2b－x) + f [2a－(2b－x) ] =2c………………（*）又∵函数y = f (x)图像直线x =b成轴对称，
∴ f (2b－x) = f (x)代入（*）得：
f (x) = 2c－f [2(a－b) + x]…………（**），用2（a －b）－x代x得
f [2 (a－b)+ x] = 2c－f [4(a－b) + x]代入（**）得：f (x) = f [4(a－b) + x],故y = f (x)是周期函数，且
4 a－b是其一个周期。
二、不同函数对称性的探究
定理4. 函数y = f (x)与y = 2b－f (2a－x)的图像关
于点A (a ,b)成中心对称。
定理5. ①函数y = f (x)与y = f (2a－x)的图像关于
直线x = a成轴对称。
②函数y = f (x)与a－x = f (a－y)的图像关于直线x +y = a成轴对称。
③函数y = f (x)与x－a = f (y + a)的图像关于直线x －y = a成轴对称。
定理4与定理5中的①②证明留给读者，现证定理5中的③
设点P(x0 ,y0)是y = f (x)图像上任一点，则y0 = f (x0)。
记点P( x ,y)关于直线x－y = a的轴对称点为P'（x1，y1），则x1 = a + y0x0－a ，∴x0 = a + y1 , y0= x1－a 代入y0 = f (x0)之中得x1－a = f (a + y1) ∴点
P'（x1， y1）在函数x－a = f (y + a)的图像上。
同理可证：函数x－a = f (y + a)的图像上任一点关于
直线x－y = a的轴对称点也在函数y = f (x)的图像上。
故定理5中的③成立。
推论：函数y = f (x)的图像与x = f (y)的图像关于直线x = y 成轴对称。
三、三角函数图像的对称性列表
注：①上表中k∈Z
②y = tan x的所有对称中心坐标应该是(kπ/2 ,0 )，
而在岑申、王而冶主编的浙江教育出版社出版的21世纪高中数学精编第一册（下）及陈兆镇主编的广西师大出版社出版的高一数学新教案（修订版）中都认为y = tan x 的所有对称中心坐标是( kπ, 0 )，这明显是错的。
四、函数对称性应用举例
例1：定义在R上的非常数函数满足：f (10+x)为偶函数，且f (5－x) = f (5+x),则f (x)一定是（）（第十二届希望杯高二第二试题）
(A)是偶函数，也是周期函数 (B)是偶函数，但不是周期函数
(C)是奇函数，也是周期函数 (D)是奇函数，但不是周期函数
解：∵f (10+x)为偶函数，∴f (10+x) = f (10－x).
∴f (x)有两条对称轴 x = 5与x =10 ，因此f (x)是以10为其一个周期的周期函数，∴x =0即y轴也是f (x)的对称轴，因此f (x)还是一个偶函数。
故选(A)
例2：设定义域为R的函数y = f (x)、y = g(x)都有反函数，并且f(x－1)和g-1(x－2)函数的图像关于直线y
= x对称，若g(5) = 1999，那么f(4)=（）。
（A） 1999；（B）2000；（C）2001；（D）2002。
解：∵y = f(x－1)和y = g-1(x－2)函数的图像关于直线y = x对称，
∴y = g-1(x－2) 反函数是y = f(x－1)，而y = g-1(x －2)的反函数是:y = 2 + g(x), ∴f(x－1) = 2 + g(x), ∴有f(5－1) = 2 + g(5)=2001
故f(4) = 2001,应选（C）
例3.设f(x)是定义在R上的偶函数，且f(1+x)= f(1－x),当－1≤x≤0时，
f (x) = － x，则f (8.6 ) = _________ （第八届希望杯高二第一试题）
解：∵f(x)是定义在R上的偶函数∴x = 0是y = f(x)对称轴；
又∵f(1+x)= f(1－x) ∴x = 1也是y = f (x) 对称轴。
故y = f(x)是以2为周期的周期函数，∴f (8.6 ) = f (8+0.6 ) = f (0.6 ) = f (－0.6 ) = 0.3
例4.函数(2x + )的图像的一条对称轴的方程是（）(92全国高考理) (A) x = － (B) x = － (C) x = (D) x = 解：函数(2x + )的图像的所有对称轴的方程是2x + = k +
∴x = － ,显然取k = 1时的对称轴方程是x = －故选
(A)
例5. 设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x+2)= －
f(x),当0≤x≤1时，
f (x) = x，则f (7.5 ) = （）
(A) 0.5 (B) －0.5 (C) 1.5 (D) －1.5
解：∵y = f (x)是定义在R上的奇函数，∴点（0，0）是其对称中心；
又∵f (x+2 )= －f (x) = f (－x)，即f (1+ x) = f (1－x)，∴直线x = 1是y = f (x) 对称轴，故y = f (x)是周期为2的周期函数。
∴f (7.5 ) = f (8－0.5 ) = f (－0.5 ) = －f (0.5 ) =－0.5 故选(B)。