Mathematica 教程03mathematica基本符号运算

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三角函数式的化简
三角函数专用的分解、展开、化简函数 TrigExpand[expr] 将三角函数式展开。 TrigFactor[expr] 将三角函数式因式分解。 TrigReduce[expr] 用倍角化简三角函数式。 TrigToExp[expr] 将三角函数式转换成指数形。 ExpToTrig[expr] 前一个函数的逆变换。
p1 x^ 4 3 x ^ 3 x ^ 2 4 x 3; p2 3 x^ 3 10 x ^ 2 2 x 3; PolynomialQuotient p1, p2, x PolynomialGCD p1, p2 PolynomialLCM p1, p2
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调入方法是键入:
<<程序包子集名`文件名`(文件名不必带扩展名) 也可以调入整个程序包子集: <<程序包子集名` 当Mathernatica启动时自动装入程序包的方法，将留
在本书第6章介绍。标推扩展程序包集及其所含程序文 件名称可查看Help，如图所示。
者展开得更为彻底，前者展开分式时只展开分子，而后 者将分子、分母都进行展开。 • 还有两个特殊的展开函数: • ExpandNumerator[expr] 只展开分式的分子。 • ExpandDenominator[expr] 只展开分式的分母
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下例是解集输出的另一个不便之处及其解决办法:
下划线
用键入“: >”得到。
说明:这里复数解的标准输出不符合习惯，按照上例中的方 法使用复数展开函数就可以解决
求近似解
很多方程是根本不能求出准确解的，前面介绍的那些函数 也无能为力。下列函数专门用于求方程(组)的数值解，其 调用格式如下:
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合并。
注意:上例中表明，当第2个参数有多个变量时，答案 与第2个参数中变量的次序有关。
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表达式的展开
将表达式展开的函数有: Expand[expr] ExpandAll[expr] 这两个函数都可用于乘积的展开，也可以展开分式。后
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解不等式
Mathematica没有解不等式的内部函数，但是它自带的外部 函数有此功能，必须将含有此函数的程序文件调入后才能 使用，文件位于Mathematica的标准扩展程序包集中。
标准扩展程序包集是Mathematica的一个子目录 StandardPackages.它的子目录本书称为程序包子集。程序 包子集按数学学科分类，如Algebra,Calculus等。每个程序 包子集中有多个文件，文件扩展名为m。每个文件中有一 个或多个外部函数，将这类文件称为程序包(文件)。
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解集的再处理
解集的表达式也有不方便之处，如何提取解的值供后 面引用呢?下例给出一种实用的方法:
提示:用以上方法可以将全部解的值存入一个表，后面 需要时可以用提取表的元素的方法随意引用。
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NSolve[eqns,vars] 求代数方程(组)的全部数值解。
FindRoot[eqns,{x,x0},{y,y0},…] 从(x0，y0,…，)出发找 方程(组)的一个解。
注意:上例中In[1]说明，如果方程中出现小数，则Solve 也求近似解. 还有求多项式根的函数Roots，通常可用 Solve代替，这里就不介绍了。
Simplify[ a2 ] Simplify[ a2 ,a>0] 说明:从例中可以看到这两个函数的差异，后一个功能更强。 从Out [4]看到根式没有化简，因Mathematics不知道a是什 么类型的数，不化简反倒是正确的。从In [5]〕中可以看出， 这两个函数允许加上含有条件的第二个可选参数，使化简 得以进行。
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Mathematica在求不定积分时，答案常出现双曲函数， 不符合人工解题习惯，可以使用TrigToExp转换
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多项式的运算
两个多项式的四则运算使用通常的+，-，*, / 运算符，其 中乘号可以用空格代替
注意:可以看到，乘法和除法其实什么也没做，需 要用前面介绍的化简函数将结果再化简。
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介绍四个常用函数: PolynomialQuotient[pl, p2,x] 求x的多项式p1被p2除的商。 PolynomialRemainder[pl, p2,x] 求x的多项式p1被p2除的余。 PolynomialGCD[p1,p2,…] 求多个多项式的最大公因式。 PolynomialLCM[pl,p2,…] 求多个多项式的最小公倍式。
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消去某些变量 Eliminate[eqns,elims] 从一组等式中消去变量(组)elims.
注意:上例中In[3]表明，Solve[eqns,Vars，elims]的功能是消 去y,z，求出x的值。同样，函数Reduce也有此功能.
如果在方程的系数中使用小数，则改为求近似解。
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说明:其中例2无解，则输出一个空括号。Mathematica 的解集输出优于MATLAB的同类函数的输出，有几个 解、各个未知量的值都一目了然。
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பைடு நூலகம் 解方程
解符号方程(组) 在Mathematica中“=”号用于给变量赋值，而方程中的等号使
用符号“==”(即两个等号)表示。方程组用花括号括起来，各 个方程用逗号分隔。所有未知量也用花括号括起来，未知量之 间用逗号分隔。单个方程和未知量不必使用花括号。以下用 eqns表示方程组，用vars表示未知量组。 下列函数用于解符号方程(组): Solve[eqns,vars] 对系数按常规约定求出方程(组)的全部解。 Reduce[eqns,vars] 讨论系数出现的各种可能情况，分别求解。
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分式的化简与展开
下列函数分别用于有理式的合并、化简与展开:
Together[expr] 用于通分，把所有的项放在同一个分 母上并化简
Cancel[expr] 用于约去分子、分母的公因式。
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注意:从实际常用的倍角公式知道，In[1]的答案应该有 3种、但Out[1]只能给出一种，因此使用机器化简远不 如人灵活，有时还需要人机结合。
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例
Simplify[Cos[x]^2+Sin[x]^2]
Simplify[Cos[x]^2+2Sin[x]Cos[x]+Sin[x]^2]
FullSimplify[Cos[x]^2+2Sin[x]Cos[x]+Sin[x]^2]
然后再用它们解同一个方程组，Solve给出的答案遵循通 常的“系数行列式不等于0”的约定，而Reduce给出的答 案就令人厌烦了，因此解符号方程(组)时主要使用Solve.
应当指出它们不仅能解一般的代数方程，还可以解一些 无理方程、三角函数方程和含有指数、对数的方程等 (但是在解超越方程时，Mathematics有时会提示答案不 是全部解)。
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带有条件的化简
化简函数允许带有条件，条件可以是等式或不等式，还可以使 用下面的表达式指明数的取值范围。
x∈dom 或Element[x,dom]
dom 只能取下列集合之一
Integers 整数集合。
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输出的缩减形式
有时输出结果很长，并不需要了解其中的细节，只需知道它 的结构，这时可以使用函数Short简化结果的输出形式;
Short[expr] 将输出结果缩略成一行显示。 Short[expr,n] 将输出结果缩略成n行显示。
说明:Out[1]//Short中<<41>>表示省略了41项。指定 行数n后，有时实际显示会少于n行。上例第3句的函 数Length用于求表达式的项数。
的分子、分母〔还可以先通分再分解)。
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合并同类项
合并同类项的函数是Collect Collect[expr, x] 将表达式expr中的x的同次幂合并。 Collect[expr,{x,y,...}] v将表达式expr按x,y,…的同次幕
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测试实例:
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带条件的化简 化简特殊函数
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常用的因式分解函数
因式分解 Factor[expr] 用于和式的因式分解，也可以分解分式
Mathematica基本符号运算
化简 因式分解 解方程 解不等式
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化简
化简计算结果 在Mathematica中，符号运算的结果经常是没有化简的，
与人工计算的答案不同。但是Mathematica提供了很强的 化简功能，能自动或在人工参与下将结果化简，最终得到 形式满意的答案。 常用的化简函数有两个: Simplify[expr] 使用变换化简表达式。 FullSimplify[expr]使用更广泛的变换化简表达式。 如果使用前一个函数不满意，再使用后一个函数。
Apart[expr] 将有理式分解为最简分式的和。 说明:由上例可以看出，这 三个函数对于同一个分式的 作用效果不同。函数Apart 通常用于求有理式的积分， 它的第二个可选参数表明谁 是变量，在上例In [5]中的a， b则作为常数。
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Rationals 有理数集合。
Reals 实数集合。 Complexes 复数集合· Primes 素数集合。 Algebraics 代数数集合。
注意:以上集合都按常规的定义， 但是也有例外如小数不算作有理 数.
Booleans True或False .
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说明:上例首先用这两个解方程的函数解同一个方程， Solve不考虑，a=0的情况，而Reduce则进行讨论。