第五章能能量守恒方程
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6
流体质点在空间任意方向上的速度与各方向上速 度分量的关系为:
v 2 v x 2 v y 2 vz 2
即：
vdv vx dvx v y dv y vz dvz
将此式代入(5-1)式，又右端第一项括号内为压力的全 微分dp，故(5-1)可写成：
gdz
1
dp vdv 0
16
但由于伯努利方程是从流体流动体系的能量平衡角 度描述流体的力学关系及运动规律，方程的物理意义明 确，特别是方程具有简单的代数方程的形式，应用十分 简便，所以已被人们作为涉及流体传输的动力、化工、 冶金工程中广泛应用的、流体输运工艺参数设计的一个 基本理论和计算工具。然而，由于工程中所涉及的实际 流体都是具有粘性的，如：水、石油、和液态金属等； 另一方面，实际容器和管道中流动的液体运动状态通常 是十分复杂的 ，不满足伯努利方程所要求的：沿一根 流线的稳定缓变流条件、流线平行、在过流截面上流速 处处相等等条件。
p1 v12 p2 v2 2 z1 z2 h失 g 2g g 2g
(5 7)
式中：h失为管路系统流体流动在1，2两截面之间的能量 损失。
24
尽管流体流动系统的阻力产生的原因有所不同，
但流体阻力却均与流体的流速或动能直接相关，其阻
力大小与当时流体动能具有不同程度的正比关系。为 了计算上的方便，人们将各种不同形式的阻力损失项
可写成：
dv x 1 P gx dx x dv y 1 P vy gy dy y dv z 1 P vz gz dz z vx
5
如坐标系的z轴垂直地面，则gx=gy=0,gz= -g，再对 上面三式的两端分别乘以dx、dy、dz，则：
gz
位能
p
1 2 v 2 动能
const
(5- 4)
压力能
此式各项的量纲都是kgm/s2m2或Nm/m3，可把(5-3)式中 各项视为能量的表现形式。式(5-4)中各项相应的视为单 位体积流体所具有的位能、压力能和动能。
9
把(5-4)式各项除以常数ρg，则可得伯努利方程 的常用形式：
17
工程上解决上述矛盾的做法是在伯努利方程中引入 一定的修正项和修正系数，一方面保持伯努利方程的简 洁的数学形式，另一方面用修正项/修正系数来计算由于 不满足伯努利方程的应用条件，如：粘性、紊流和惯性 流等，而引起的偏差。
18
一、在管流流动中的应用 Applications in Conduits
第五章 能量守恒方程 —伯努利方程
Chapter 5 Conservation of Energy ——Bernoulli’s Theorem
1
5.1伯努利方程的微分形式
Differential Form of Bernoulli’s Equation
在流体的任意方向流动中，沿着流体流线方向考 查流体的流动，则流体的流动只有一维流动的特征。 设重力场垂直向下，从稳定理想流体的动量方程(3-44) 出发，推导伯努利方程。 按全微分的定义，流体质点的流动速度的微分为： v v v dv dx dy dz x y z 故：
g dz
z1 z2
1
p2 p1
dp dv 0
v1
v2
1 1 1 p1 v12 gz2 p2 v2 2 2 2 1 1 2 gz p v const 2 gz1
1
(5 3)
8
式(5-3)是伯努利在1738年提出的，这种形式的方程 也称伯努利方程，它表示同一流线上不同点处的能量和 总保持为一个不变的常数，即为能量守恒。将(5-3)式各 项都乘以ρ则此式成为：
导出伯努利方程的限制条件是： 无粘性流动； 稳定流动； 不可压缩流体； 沿一根流线。 在实际管道系统中，不可能获得这样的流体条 件，但在缓变流的情况下，伯努利方程仍能较准确 地确定管道流体流动的能量平衡关系。 所谓缓变流，是指流场内各流线之间的夹角很 小；如果流场转向，各流线也能一致地转向，转向 的曲率半径又很大。
理论分析总结出了各种阻力稀疏的计算与分析。
26
摩擦阻力损失 Friction Losses
27
局部损失
Local losses due to Enlargement and Contraction
28
29
30
三、应用实例—金属液从底注浇包内的流出 Flow from Ladles
伯努利能量方程是动 量传输的基本方程之一， 在解决涉及流体流动及输 运工程的实际问题中具有 极其重要的作用和地位。 在冶金及铸造工程中亦是 如此。应用伯努利方程来 解析钢液浇包的出流速度/ 流量，及铸件浇注系统各 浇口出流速度及浇注（充 满型腔）时间等。
11
图中流线同时也代表流线上各点距基准线上的位 置高度，称为位置水头；P/ρg项指在任意点z处由压 力作用水头上升的高度，称为压力水头；顶部水平 线与P/ρg项之差代表由速度作用水头上升的高度 （v2/2g），表示z点处流体的速度v垂直向上喷射时 所能达到的射程高度，称为速度水头。
12
伯努利方程中，位置水头、压力水头和速度水头三 项之和称为总水头。 由图可见，尽管各点位置1、2的两种水头各不相等， 但每处的三项之和为一常数，即总水平线为平行于基准 线的水平线。
3
各速度分量对时间t的导数可以写成：
dv x dv x dx dv x dt dx dt dx v x dv y dv y dy dv y vy dy dt dy dt dv z dv z dz dv z vz dz dt dz dt
4
因此第三章中的欧拉方程式：
19
要将适用于流体单一质点 或微团沿流线运动的情况，推 广到管流系统中，则除不可压 缩、理想流体、稳定流动条件 外，还要求： 流线相互平行； 过流截面上的速度均相等。 只有在缓变流条件下，才 能较准确地应用。
20
1 2 按平均流速计算平均动能： v x 2
实际平均动能：
1 R 2
对于管道中流量和流速的计算，人们通常采用管 道中地平均速度计算。当流体是无粘性的理想流体， 并以稳定的缓变层流方式流动时，管道中某截面上各 点速度基本相等。此时伯努利方程可给出准确地定量 计算。但是对于实际流体由于有粘性，无论是层流还 是紊流，管道中任一截面上各点流速不相等(由于粘性 作用，管壁上的流速为零，中心线上最大)。 此时采用平均速度计算管路系统中任意截面的能 量平衡时，在伯努利方程中引入流股速度分布修正系 数β。
v x v x v x P (vx vy vz ) gx x y z x v y v y v y P (vx vy vz ) g y (3 53) x y z y v z v z v z P (vx vy vz ) gz x y z z
表示为如下的统一形式：
v2 h失 K 2g
式中：K—流体的阻力系数，它包括了所有摩擦阻力
系数K摩和局部阻力系数K局；
25
2 因为 K h失 / v / 2 ，系数K可以理解为单位动
能的阻力。阻力系数K摩和K局的计算表达式的形式与具体
的造成阻力的种类和形式有关。人们已根据大量的实验与
(5 6b)
流股速度分布修正系数β取决于流体的流动状态。
层流流动时 0.5 式中： 1/1.06 1.0 紊流流动时
22
二、实际管路系统中粘性流体的输运
Transport of Viscous Fluids in Conduits
实际工程及生活中接触到的流体均具有粘性，另 一方面，实际流体的管路输送系统的结构十分复杂， 不仅有管道的长短、粗细差别(对沿程粘性摩擦阻力影 响很大)，而且有管道转弯，管道截面变化和阀门等， 对流体流动产生局部阻力。
管流的沿程摩擦阻力 管道的长度、直径、粗糙度 管路的急弯度、截面的变化 管流流动的能量损失 (扩张和缩小)及阀体 管流的局部阻力 流体的惯性和粘性 流体的粘性
23
上述各种因素产生的阻力均会产生管流流动的能量 损失，为正确反映这些能量损失，在伯努利方程中引入 能量损失项，即：
31
32
33
34
35
充型时间、浇道面积的计算 Calculation of Filling Time and Ingate Size
36
37
383940dv v dx v dy v dz dt x dt y dt z dt
2
相应的速度分量vx,vy,vz对时间t的导数可以写成：
v x v x v x dv x dt v x x v y y v z z v y v y v y dv y vx vy vz x y z dt dv z v v v vx z v y z vz z x y z dt
(5 2)
此式即为流体质点在微元空间(dx,dy,dz)内沿任意方向 流线运动时的伯努利方程—能量平衡关系式。
7
当流体质点沿流线由空间一点p1(v1,z1)运动到 p2(v2,z2)，如图所示。 质点流动过程中的能量 平衡关系可由积分形式的伯 努利方程确定。 将微分形式伯努利方程 (5-1)积分求解即可得到：
z p g v2 const 2g
位置水头 压力水头 速度水头
此式各项的量纲都是m，依次各项的物理意义为 分别为单位质量流体所具有的位能(位置水头)、压 力能(压力水头)和动能(速度水头)。 流体的位能、压力能、和动能三者之和称为总 能量(机械能)。
10
另一方面，由于 伯努利方程(5-4)中 每项都具有长度单 位，即表示某一高 度， 所以可以用一 几何图形表示各项 之间的关系，如图 所示：
13
伯努利方程的物理意义及几何意义
物理意义：运动状态单位重量理想流体所携
带的总能量在它所流经的路径上的任何位置 均保持不变，但三种能量可相互转换。
几何意义：总水头线是平行于基准线的水平
线。
14
15
5.2伯努利方程的应用
Applications of Bernoulli’s Equation
0
2
R
0
1 2 vx rdrd 2
21
则引入流股速度分布修正系数后，伯努利方程变为：
v1 v2 1 gz1 p1 gz2 p2 2 1 22 1
v1 v2 1 1 z1 p1 z2 p2 g 2 1 g g 22 g
2 2
2
2
(5 6a )
1 P v x dv x dx x 1 P v y dv y dy y 1 P v z dv z dz g z dz z
将三式相加得：
1 P P P v x dv x v y dv y vz dvz dx dy dz g z dz x y z (5 1)
流体质点在空间任意方向上的速度与各方向上速 度分量的关系为:
v 2 v x 2 v y 2 vz 2
即：
vdv vx dvx v y dv y vz dvz
将此式代入(5-1)式，又右端第一项括号内为压力的全 微分dp，故(5-1)可写成：
gdz
1
dp vdv 0
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但由于伯努利方程是从流体流动体系的能量平衡角 度描述流体的力学关系及运动规律，方程的物理意义明 确，特别是方程具有简单的代数方程的形式，应用十分 简便，所以已被人们作为涉及流体传输的动力、化工、 冶金工程中广泛应用的、流体输运工艺参数设计的一个 基本理论和计算工具。然而，由于工程中所涉及的实际 流体都是具有粘性的，如：水、石油、和液态金属等； 另一方面，实际容器和管道中流动的液体运动状态通常 是十分复杂的 ，不满足伯努利方程所要求的：沿一根 流线的稳定缓变流条件、流线平行、在过流截面上流速 处处相等等条件。
p1 v12 p2 v2 2 z1 z2 h失 g 2g g 2g
(5 7)
式中：h失为管路系统流体流动在1，2两截面之间的能量 损失。
24
尽管流体流动系统的阻力产生的原因有所不同，
但流体阻力却均与流体的流速或动能直接相关，其阻
力大小与当时流体动能具有不同程度的正比关系。为 了计算上的方便，人们将各种不同形式的阻力损失项
可写成：
dv x 1 P gx dx x dv y 1 P vy gy dy y dv z 1 P vz gz dz z vx
5
如坐标系的z轴垂直地面，则gx=gy=0,gz= -g，再对 上面三式的两端分别乘以dx、dy、dz，则：
gz
位能
p
1 2 v 2 动能
const
(5- 4)
压力能
此式各项的量纲都是kgm/s2m2或Nm/m3，可把(5-3)式中 各项视为能量的表现形式。式(5-4)中各项相应的视为单 位体积流体所具有的位能、压力能和动能。
9
把(5-4)式各项除以常数ρg，则可得伯努利方程 的常用形式：
17
工程上解决上述矛盾的做法是在伯努利方程中引入 一定的修正项和修正系数，一方面保持伯努利方程的简 洁的数学形式，另一方面用修正项/修正系数来计算由于 不满足伯努利方程的应用条件，如：粘性、紊流和惯性 流等，而引起的偏差。
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一、在管流流动中的应用 Applications in Conduits
第五章 能量守恒方程 —伯努利方程
Chapter 5 Conservation of Energy ——Bernoulli’s Theorem
1
5.1伯努利方程的微分形式
Differential Form of Bernoulli’s Equation
在流体的任意方向流动中，沿着流体流线方向考 查流体的流动，则流体的流动只有一维流动的特征。 设重力场垂直向下，从稳定理想流体的动量方程(3-44) 出发，推导伯努利方程。 按全微分的定义，流体质点的流动速度的微分为： v v v dv dx dy dz x y z 故：
g dz
z1 z2
1
p2 p1
dp dv 0
v1
v2
1 1 1 p1 v12 gz2 p2 v2 2 2 2 1 1 2 gz p v const 2 gz1
1
(5 3)
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式(5-3)是伯努利在1738年提出的，这种形式的方程 也称伯努利方程，它表示同一流线上不同点处的能量和 总保持为一个不变的常数，即为能量守恒。将(5-3)式各 项都乘以ρ则此式成为：
导出伯努利方程的限制条件是： 无粘性流动； 稳定流动； 不可压缩流体； 沿一根流线。 在实际管道系统中，不可能获得这样的流体条 件，但在缓变流的情况下，伯努利方程仍能较准确 地确定管道流体流动的能量平衡关系。 所谓缓变流，是指流场内各流线之间的夹角很 小；如果流场转向，各流线也能一致地转向，转向 的曲率半径又很大。
理论分析总结出了各种阻力稀疏的计算与分析。
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摩擦阻力损失 Friction Losses
27
局部损失
Local losses due to Enlargement and Contraction
28
29
30
三、应用实例—金属液从底注浇包内的流出 Flow from Ladles
伯努利能量方程是动 量传输的基本方程之一， 在解决涉及流体流动及输 运工程的实际问题中具有 极其重要的作用和地位。 在冶金及铸造工程中亦是 如此。应用伯努利方程来 解析钢液浇包的出流速度/ 流量，及铸件浇注系统各 浇口出流速度及浇注（充 满型腔）时间等。
11
图中流线同时也代表流线上各点距基准线上的位 置高度，称为位置水头；P/ρg项指在任意点z处由压 力作用水头上升的高度，称为压力水头；顶部水平 线与P/ρg项之差代表由速度作用水头上升的高度 （v2/2g），表示z点处流体的速度v垂直向上喷射时 所能达到的射程高度，称为速度水头。
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伯努利方程中，位置水头、压力水头和速度水头三 项之和称为总水头。 由图可见，尽管各点位置1、2的两种水头各不相等， 但每处的三项之和为一常数，即总水平线为平行于基准 线的水平线。
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各速度分量对时间t的导数可以写成：
dv x dv x dx dv x dt dx dt dx v x dv y dv y dy dv y vy dy dt dy dt dv z dv z dz dv z vz dz dt dz dt
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因此第三章中的欧拉方程式：
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要将适用于流体单一质点 或微团沿流线运动的情况，推 广到管流系统中，则除不可压 缩、理想流体、稳定流动条件 外，还要求： 流线相互平行； 过流截面上的速度均相等。 只有在缓变流条件下，才 能较准确地应用。
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1 2 按平均流速计算平均动能： v x 2
实际平均动能：
1 R 2
对于管道中流量和流速的计算，人们通常采用管 道中地平均速度计算。当流体是无粘性的理想流体， 并以稳定的缓变层流方式流动时，管道中某截面上各 点速度基本相等。此时伯努利方程可给出准确地定量 计算。但是对于实际流体由于有粘性，无论是层流还 是紊流，管道中任一截面上各点流速不相等(由于粘性 作用，管壁上的流速为零，中心线上最大)。 此时采用平均速度计算管路系统中任意截面的能 量平衡时，在伯努利方程中引入流股速度分布修正系 数β。
v x v x v x P (vx vy vz ) gx x y z x v y v y v y P (vx vy vz ) g y (3 53) x y z y v z v z v z P (vx vy vz ) gz x y z z
表示为如下的统一形式：
v2 h失 K 2g
式中：K—流体的阻力系数，它包括了所有摩擦阻力
系数K摩和局部阻力系数K局；
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2 因为 K h失 / v / 2 ，系数K可以理解为单位动
能的阻力。阻力系数K摩和K局的计算表达式的形式与具体
的造成阻力的种类和形式有关。人们已根据大量的实验与
(5 6b)
流股速度分布修正系数β取决于流体的流动状态。
层流流动时 0.5 式中： 1/1.06 1.0 紊流流动时
22
二、实际管路系统中粘性流体的输运
Transport of Viscous Fluids in Conduits
实际工程及生活中接触到的流体均具有粘性，另 一方面，实际流体的管路输送系统的结构十分复杂， 不仅有管道的长短、粗细差别(对沿程粘性摩擦阻力影 响很大)，而且有管道转弯，管道截面变化和阀门等， 对流体流动产生局部阻力。
管流的沿程摩擦阻力 管道的长度、直径、粗糙度 管路的急弯度、截面的变化 管流流动的能量损失 (扩张和缩小)及阀体 管流的局部阻力 流体的惯性和粘性 流体的粘性
23
上述各种因素产生的阻力均会产生管流流动的能量 损失，为正确反映这些能量损失，在伯努利方程中引入 能量损失项，即：
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32
33
34
35
充型时间、浇道面积的计算 Calculation of Filling Time and Ingate Size
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383940dv v dx v dy v dz dt x dt y dt z dt
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相应的速度分量vx,vy,vz对时间t的导数可以写成：
v x v x v x dv x dt v x x v y y v z z v y v y v y dv y vx vy vz x y z dt dv z v v v vx z v y z vz z x y z dt
(5 2)
此式即为流体质点在微元空间(dx,dy,dz)内沿任意方向 流线运动时的伯努利方程—能量平衡关系式。
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当流体质点沿流线由空间一点p1(v1,z1)运动到 p2(v2,z2)，如图所示。 质点流动过程中的能量 平衡关系可由积分形式的伯 努利方程确定。 将微分形式伯努利方程 (5-1)积分求解即可得到：
z p g v2 const 2g
位置水头 压力水头 速度水头
此式各项的量纲都是m，依次各项的物理意义为 分别为单位质量流体所具有的位能(位置水头)、压 力能(压力水头)和动能(速度水头)。 流体的位能、压力能、和动能三者之和称为总 能量(机械能)。
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另一方面，由于 伯努利方程(5-4)中 每项都具有长度单 位，即表示某一高 度， 所以可以用一 几何图形表示各项 之间的关系，如图 所示：
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伯努利方程的物理意义及几何意义
物理意义：运动状态单位重量理想流体所携
带的总能量在它所流经的路径上的任何位置 均保持不变，但三种能量可相互转换。
几何意义：总水头线是平行于基准线的水平
线。
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15
5.2伯努利方程的应用
Applications of Bernoulli’s Equation
0
2
R
0
1 2 vx rdrd 2
21
则引入流股速度分布修正系数后，伯努利方程变为：
v1 v2 1 gz1 p1 gz2 p2 2 1 22 1
v1 v2 1 1 z1 p1 z2 p2 g 2 1 g g 22 g
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2
(5 6a )
1 P v x dv x dx x 1 P v y dv y dy y 1 P v z dv z dz g z dz z
将三式相加得：
1 P P P v x dv x v y dv y vz dvz dx dy dz g z dz x y z (5 1)