(完整版)北师大版数学初中九年级下册第三章圆的知识点归纳

推论 2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧
是半圆，所对的弦是直径。
即：在⊙ O 中，∵ AB 是直径
或∵ C 90
∴ C 90
∴ AB 是直径
推论 3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是 直角三角形。
即：在△ ABC 中，∵ OC OA OB ∴△ ABC 是直角三角形或 C 90
（2）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的 两条线段的比例中项。
即：在⊙ O 中，∵直径 AB CD ， ∴ CE2 AE BE
（3）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切 线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
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即：在⊙ O 中， ∵四边形 ABCD 是内接四边形 ∴ C BAD 180 B D 180 DAE C
九、切线的性质与判定定理 （1）切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；
两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可
即：∵ MN OA 且 MN 过半径 OA 外端 ∴ MN 是⊙ O 的切线
注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一 半的逆定理。
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八、圆内接四边形 圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。
十四、圆内正多边形的计算
（1）正三角形
在⊙ O 中△ ABC 是正三角形，有关计算在 RtBOD 中进行：
OD : BD : OB 1: 3 : 2 ；
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（2）正四边形
（2）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图） 推论 1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。 推论 2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。
以上三个定理及推论也称二推一定理： 即：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。
十、切线长定理
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七、圆周角定理 1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一 半。
即：∵ AOB 和 ACB 是弧 AB 所对的圆心角和圆周角 ∴ AOB 2ACB
2、圆周角定理的推论： 推论 1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的 圆周角所对的弧是等弧；
即：在⊙ O 中，∵ C 、 D 都是所对的圆周角 ∴ C D
外离（图 1） 无交点 d R r ； 外切（图 2） 有一个交点 d R r ； 相交（图 3） 有两个交点 R r d R r ； 内切（图 4） 有一个交点 d R r ； 内含（图 5） 无交点 d R r ；
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① AB 是直径 ② AB CD ③ CE DE ④ 弧 BC 弧 BD ⑤ 弧 AC 弧 AD
中任意 2 个条件推出其他 3 个结论。 推论 2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。
即：在⊙ O 中，∵ AB ∥ CD ∴弧 AC 弧 BD
六、圆心角定理 圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对
同理，四边形的有关计算在 RtOAE 中进行， OE : AE : OA 1:1: 2 ：
（3）正六边形
同理，六边形的有关计算在 RtOAB 中进行， AB : OB : OA 1: 3 : 2 .
十五、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式
1、扇形：（1）弧长公式： l n R ； 180
（2）扇形面积公式： S n R2 1 lR 360 2
三、直线与圆的位置关系
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1、直线与圆相离 d r 无交点； 2、直线与圆相切 d r 有一个交点； 3、直线与圆相交 d r 有两个交点；
四、圆与圆的位置关系
五、垂径定理 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。 推论 1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； （3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 以上共 4 个定理，简称 2 推 3 定理：此定理中共 5 个结论中，只要知道其中 2 个 即可推出其它 3 个结论，即：
切线长定理： 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切
线的夹角。
即：∵ PA 、 PB 是的两条切线 ∴ PA PB PO 平分 BPA
十一、圆幂定理 （1）相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。
即：在⊙ O 中，∵弦 AB 、 CD 相交于点 P ， ∴ PA PB PC PD
3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线； 4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两 条直线； 5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等 的一条直线。
二、点与圆的位置关系
1、点在圆内 d r 点 C 在圆内； 2、点在圆上 d r 点 B 在圆上； 3、点在圆外 d r 点 A 在圆外；
n ：圆心角 R ：扇形多对应的圆的半径 l ：扇形弧长 S ：扇形面积
2、圆柱： （1）圆柱侧面展开图
S表底 S侧 2S = 2 rh 2 r2 （2）圆柱的体积：V r2h
（2）圆锥侧面展开图
（1） S表底 S侧 S = Rr r2 （2）圆锥的体积：V 1 r2h
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的
的公共弦。
如图： O1O2 垂直平分 AB 。 即：∵⊙ O1 、⊙ O2 相交于 A 、 B 两点
∴ O1O2 垂直平分 AB
十三、圆的公切线
两圆公切线长的计算公式：
（1）公切线长： RtO1O2C 中， AB2 CO12 O1O22 CO22 ；
（2）外公切线长： CO2 是半径之差； 内公切线长： CO2 是半径之和 。
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《圆》章节知识点复习
一、圆的概念 集合形式的概念： 1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合； 2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合； 3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 轨迹形式的概念： 1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆； 2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；
即：在⊙ O 中，∵ PA 是切线， PB 是割线 ∴ PA2 PC PB
（4）割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段 长的积相等（如上图）。
即：在⊙ O 中，∵ PB 、 PE 是割线 ∴ PC PB PD PE
十二、两圆公共弦定理
圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆
的弧相等，弦心距相等。 此定理也称 1 推 3 定理，即上述四个结论 中， 只要知道其中的 1 个相等，则可以推出其它的 3 个结论，
即：① AOB DOE ；② AB DE ； ③ OC OF ；④ 弧 BA 弧 BD
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