高考数学函数的奇偶性复习全解
专题06 函数的奇偶性与周期性 复习资料(解析版)
小正周期．
3．函数的对称性常见的结论
a＋b (1)函数 y＝f(x)关于 x＝ 对称⇔f(a＋x)＝f(b－x)⇔f(x)＝f(b＋a－x)．
2
特殊：函数 y＝f(x)关于 x＝a 对称⇔f(a＋x)＝f(a－x)⇔f(x)＝f(2a－x)； 函数 y＝f(x)关于 x＝0 对称⇔f(x)＝f(－x)(即为偶函数)． (2)函数 y＝f(x)关于点(a，b)对称⇔f(a＋x)＋f(a－x)＝2b⇔f(2a＋x)＋f(－x)＝2b. 特殊：函数 y＝f(x)关于点(a,0)对称⇔f(a＋x)＋f(a－x)＝0⇔f(2a＋x)＋f(－x)＝0； 函数 y＝f(x)关于(0,0)对称⇔f(x)＋f(－x)＝0(即为奇函数)． (3)y＝f(x＋a)是偶函数⇔函数 y＝f(x)关于直线 x＝a 对称； y＝f(x＋a)是奇函数⇔函数 y＝f(x)关于点(a,0)对称． [知识拓展]
数
f(x)就叫做奇函数
称
(2)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件．
2．函数的周期性
(1)周期函数：对于函数 f(x)，如果存在一个非零常数 T，使得当 x 取定义域内的任何值时，都有 f(x＋T)＝f(x)，
那么就称函数 f(x)为周期函数，称 T 为这个函数的周期．
(2)最小正周期：如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做 f(x)的最
综上可知：对于定义域内的任意 x，总有 f(－x)＝－f(x)成立，∴函数 f(x)为奇函数.
【解法小结】 判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：
(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；
(2)判断 f(x)与 f(－x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关
年高考第一轮复习数学函数的奇偶性
函数的奇偶性●知识梳理1.奇函数：对于函数f（x）的定义域内随意一个x，都有f（－ x）=－f（x）〔或f （x） + f（－ x） =0〕，则称f（ x）为奇函数.2.偶函数：对于函数f（ x）的定义域内随意一个x，都有f（－ x） =f（ x）〔或f （ x）－ f（－ x）=0〕，则称f（x）为偶函数.3.奇、偶函数的性质（1）拥有奇偶性的函数，其定义域对于原点对称（也就是说，函数为奇函数或偶函数的必需条件是其定义域对于原点对称）.（2）奇函数的图象对于原点对称，偶函数的图象对于y 轴对称 .（3）若奇函数的定义域包括数0，则 f（0）=0.（4）奇函数的反函数也为奇函数.（5）定义在（－∞， +∞）上的随意函数f（x）都能够独一表示成一个奇函数与一个偶函数之和 .●点击双基1.下边四个结论中，正确命题的个数是①偶函数的图象必定与y 轴订交②奇函数的图象必定经过原点③偶函数的图象对于 y 轴对称④既是奇函数，又是偶函数的函数必定是f（ x）=0（x∈R）分析：①不对；②不对，由于奇函数的定义域可能不包括原点；③正确；④不对，既是奇函数又是偶函数的函数能够为f（ x）=0〔x∈（－ a， a）〕.答案： A2.已知函数 f（x）=ax2＋bx＋ c（a≠0）是偶函数，那么g（x） =ax3＋bx2＋cx 是A. 奇函数C.既奇且偶函数B.偶函数D.非奇非偶函数分析：由f（x）为偶函数，知b=0，有g（x）=ax3＋cx（ a≠0）为奇函数.答案： A3.若偶函数f（x）在区间［－1， 0］上是减函数，α、β是锐角三角形的两个内角，且α≠β，则以下不等式中正确的选项是（cosα）＞ f（cosβ）（sinα）＞ f（ cosβ）（sinα）＞ f（sinβ）（cosα）＞f（sinβ）分析：∵偶函数f（x）在区间［－ 1， 0］上是减函数，∴ f（x）在区间［ 0， 1］上为增函数 .由α、β是锐角三角形的两个内角，∴α+β＞90°，α＞90°－β.1＞sinα＞cosβ＞ 0.∴f（sinα）＞ f（ cosβ） .答案： B4.已知 f（ x）＝ ax2＋ bx＋ 3a＋ b 是偶函数，且其定义域为［a－1，2a］，则 a＝___________，b＝___________.分析：定义域应对于原点对称，故有 a－1＝－ 2a，得 a＝1 .3又对于所给分析式，要使f（－ x）＝ f（ x）恒建立，应 b＝0.答案：131（ x≠ 0）；②y=x25.给定函数+1；③y=2x；④y=log2；⑤y=log2（x+x 2 1 ）:①y=x.x在这五个函数中，奇函数是_________，偶函数是 _________，非奇非偶函数是__________.答案：①⑤② ③④●典例分析【例 1】已知函数 y=f（x）是偶函数， y=f（x－ 2）在［ 0，2］上是单一减函数，则（0）＜ f（－ 1）＜ f（ 2）（－1）＜f（0）＜f（2）（－ 1）＜ f（ 2）＜ f（ 0）（2）＜f（－1）＜f（0）分析：由 f（x－2）在［ 0，2］上单一递减，∴f（x）在［－ 2，0］上单一递减 .∵y=f（x）是偶函数，∴f（x）在［ 0， 2］上单一递加 .又 f（－ 1） =f（1），故应选 A.答案： A【例 2】判断以下函数的奇偶性：（1）f（x）=|x+1|－ |x－ 1|；1x（2）f（x）=（x－1）·；（3）f（x）=1x 2；| x 2 | 2（4）f（x）=x(1x)( x0),x(1x)( x0).分析：依据函数奇偶性的定义进行判断.解：（1）函数的定义域x∈（－∞， +∞），对称于原点 .∵f（－ x）=|－ x+1|－ |－ x－ 1|=|x－1|－ |x+1|=－（ |x+1|－|x－1|） =－ f（ x），∴f（x）=|x+1|－ |x－ 1|是奇函数 .（ 2）先确立函数的定义域 .由1x1 x≥0，得－ 1≤x＜ 1，其定义域不对称于原点，所以 f（x）既不是奇函数也不是偶函数.（3）去掉绝对值符号，依据定义判断.由1x20,1 x 1,得4. | x 2 | 2 0,x 0且x故 f（x）的定义域为［－ 1，0）∪（0，1］，对于原点对称，且有 x+2＞0.进而有 f（x）221( x)22= 1 x= 1x=－1x =－f（x），故 f（x）为奇，这时有 f（－ x）=xx22x x函数 .（4）∵函数 f（x）的定义域是（－∞， 0）∪（0，+∞），而且当 x＞ 0 时，－ x＜0，∴f（－ x）=（－ x）［1－（－ x）］=－x（1+x） =－ f（x）（x＞ 0） .当 x＜ 0 时，－ x＞0，∴ f（－ x） =－ x（ 1－ x）=－f（x）（ x＜ 0） .故函数 f（x）为奇函数 .评论：（ 1）分段函数的奇偶性应分段证明 .（2）判断函数的奇偶性应先求定义域再化简函数分析式 .【例 3】（2005 年北京东城区模拟试题）函数f（ x）的定义域为 D={ x|x≠0} ，且满足对于随意 x 、 x ∈D，有 f（ x ·x ）=f（ x ）+f（x ） .121212（1）求 f（ 1）的值；（2）判断 f（x）的奇偶性并证明；（3）假如 f（4）=1， f（3x+1）+f（ 2x－6）≤ 3，且 f（ x）在（ 0，+∞）上是增函数，求 x 的取值范围 .（1）解：令 x1 =x2=1，有 f（1×1）=f（ 1） +f（1），解得 f（1）=0.（2）证明：令 x1 =x2=－ 1，有 f［（－ 1）×（－ 1）］=f（－ 1）+f（－ 1） .解得 f（－1）=0.令 x1 =－1，x2=x，有 f（－ x）=f（－ 1）+f（ x），∴ f（－ x）=f（ x） .∴f（x）为偶函数.（3）解： f （ 4× 4） =f （4）+f （4）=2，f （ 16×4）=f （ 16）+f （4） =3.∴ f （3x+1）+f （2x －6）≤ 3 即 f ［（3x+1）（ 2x －6）］≤ f （64） .（* ）∵f （x ）在（ 0， +∞）上是增函数，∴（ * ）等价于不等式组或 (3x 1)( 2x 6) 0,(3x 1)(2 x 6) 64,x 3或x1 , 1 3,或3 或x 375x R.x3∴3＜x ≤5 或－ 7≤x ＜－ 1或－ 1＜x ＜3.333∴x 的取值范围为 { x|－ 7≤x ＜－ 1或－ 1＜x ＜3 或 3＜ x ≤5}.33 3评论：解答此题易出现以下思想阻碍：（1）无从下手，不知怎样脱掉“ f ” .解决方法 :利用函数的单一性 .（2）没法获得另一个不等式 .解决方法：对于原点对称的两个区间上，奇函数的单调性同样，偶函数的单一性相反 .深入拓展已知 f （ x ）、g （x ）都是奇函数， f （ x ）＞ 0 的解集是（ a 2，b ）， g （ x ）＞ 0 的解集2是（a， b ）， b＞a 2，那么 f （x ）· g （ x ）＞ 0 的解集是 2 2 2A. （ a 2 ， b）2）2 2 B.（－ b ，－ aC.（ a 2， b）∪（－ b，－ a 2）222 D.（a，b ）∪（－ b 2，－ a 2）2提示： f （ x ）·g （x ）＞ 0f (x) 0, 或 f ( x) 0,g( x) 0g ( x)0.∴x ∈（ a 2， b ）∪（－ b，－ a 2） .2 2答案： C【例 4】 （2004 年天津模拟试题）已知函数 f （x ）=x+ px+m （ p ≠ 0）是奇函数 .（1）求 m 的值 .（2）（理）当 x ∈［ 1， 2］时，求 f （x ）的最大值和最小值 .（文）若 p ＞ 1，当 x ∈［ 1，2］时，求 f （x ）的最大值和最小值 .解：（1）∵ f （x ）是奇函数，∴ f （－ x ）=－f （x ）.∴－ x － p +m=－x － p－m.xx∴ 2m=0.∴m=0.（2）（理）（ⅰ）当 p ＜ 0 时，据定义可证明 f （x ）在［ 1， 2］上为增函数 .∴ f （x ）max =f （2）=2+ p，f （ x ） min =f （1）=1+p.2（ⅱ）当 p ＞ 0 时，据定义可证明 f （x ）在（ 0， p ］上是减函数，在［p ，+∞）上是增函数 .①当 p ＜1，即 0＜ p ＜ 1 时， f （x ）在［ 1，2］上为增函数，∴ f （x ）max =f （2）=2+ p， f （x ）min =f （1）=1+p.2②当 p ∈［ 1，2］时， f （ x ）在［ 1，p ］上是减函数 .在［ p ， 2］上是增函数 .f （ x ） min =f （ p ）=2 p .f （ x ） max =max{ f （ 1），f （2） }=max{1+ p ，2+ p}.2当 1≤p ≤2 时，1+p ≤2+ p，f （x ）max =f （ 2）；当 2＜p ≤4 时，1+p ≥2+ p，f （x ）max =f22（1）.③当p ＞ 2，即 p ＞ 4 时，f （ x ）在［1，2］上为减函数， ∴ f （ x ）max =f （1）=1+p ，f （x ）min =f （2）=2+ p.2（文）解答略 .评论： f（ x） =x+ p（ p＞0）的单一性是一重要问题，利用单一性求最值是重要方x 法.深入拓展f（ x） =x+ p的单一性也可依据导函数的符号来判断，此题怎样用导数来解？x●闯关训练夯实基础1.定义在区间（－∞，+∞）上的奇函数 f （ x）为增函数，偶函数g（ x）在区间［ 0， +∞）上的图象与f（x）的图象重合，设a＜ b＜ 0，给出以下不等式，此中建立的是①f（b）－ f（－ a）＞ g（ a）－ g（－ b）②f（b）－ f（－ a）＜ g（ a）－ g（－ b）③f（a）－ f（－ b）＞ g（ b）－ g（－ a）④f（a）－ f（－ b）＜ g（ b）－ g（－ a）A. ①④B.②③C.①③D. ②④分析：不如取切合题意的函数f（x）=x 及 g（x） =|x|进行比较，或一般地g（x）f ( x)x0, =x f（0）=0， f（a）＜ f（b）＜ 0.f ( x)0,答案： D2.（2003 年北京海淀区二模题）函数f（x）是定义域为 R 的偶函数，又是以 2 为周期的周期函数 .若 f（x）在［－ 1，0］上是减函数，那么 f（ x）在［ 2，3］上是A. 增函数B.减函数C.先增后减的函数D.先减后增的函数分析：∵偶函数f（x）在［－ 1，0］上是减函数，∴ f（ x）在［ 0，1］上是增函数 .由周期为 2 知该函数在［ 2，3］上为增函数 .答案： A3.已知 f（ x）是奇函数，当 x∈（ 0，1）时， f（x）=lg1，那么当x∈（－1，0）1 x时， f（ x）的表达式是 __________.分析：当 x∈（－ 1，0）时，－ x∈（ 0，1），∴ f（x）=－f（－ x）=－lg 1=lg（1 1 x－x） .答案： lg（1－x）x2x1,4.（2003 年北京）函数 f（x）=lg（ 1+x2），g（x）= 0| x | 1, h（x）=tan2x中，x2x 1.______________是偶函数 .分析：∵ f（－ x）=lg［1+（－ x）2］=lg（1+x2） =f（x），∴f（x）为偶函数 .又∵ 1°当－ 1≤x≤1 时，－ 1≤－ x≤1，∴g（－ x） =0.又 g（ x） =0，∴ g（－ x）=g（ x）.2°当 x＜－ 1 时，－ x＞ 1，∴g（－ x） =－（－ x）+2=x+2.又∵ g（ x） =x+2，∴ g（－ x）=g（ x） .3°当 x＞ 1 时，－x＜－ 1，∴g（－ x） =（－ x）+2=－x+2.又∵ g（ x） =－ x+2，∴ g（－ x）=g（x）.综上，对随意 x∈ R 都有 g（－ x） =g（x）.∴g（x）为偶函数 .h（－ x）=tan（－ 2x） =－tan2x=－ h（ x），∴h（x）为奇函数 .答案： f（ x）、g（x）5.若 f（x）= a 2x a 2为奇函数，务实数 a 的值 .2 x1解：∵x∈ R，∴要使 f（x）为奇函数，一定且只需 f（ x）+f（－ x）=0，即 a－2+2 x1 a－2=0，得 a=1.x216.（理）定义在［－ 2， 2］上的偶函数 g（x），当 x≥0 时， g（x）单一递减，若 g （1－ m）＜ g（m），求 m 的取值范围 .解：由 g（1－m）＜ g（m）及 g（x）为偶函数，可得g（|1－ m|）＜ g（ |m|）.又 g（x）在（0，+∞）上单一递减，∴ |1－m|＞|m|，且 |1－m|≤ 2，|m|≤2，解得－ 1≤m＜1 . 2说明：也能够作出g（x）的表示图，联合图形进行分析.（文）（ 2005 年北京西城区模拟试题）定义在R 上的奇函数 f（ x）在（ 0，+∞）上是增函数，又 f（－ 3）=0，则不等式 xf（x）＜ 0 的解集为A. （－ 3，0）∪（ 0， 3）B.（－∞，－ 3）∪（ 3，+∞）C.（－ 3，0）∪（ 3， +∞）D.（－∞，－ 3）∪（ 0，3）分析：由奇偶性和单一性的关系联合图象来解.答案： A培育能力已知（）＝（1＋1）.7.f xx2 x 1 2（1）判断 f（x）的奇偶性；（2）证明 f（x）＞ 0.（1）解：f（x）＝ x·2x1，其定义域为 x≠0 的实数 .又 f（－ x）＝－ x·22( 2x1)2( 2xx11)＝－x· 1 2x＝x· 2 x 1＝f（x），2(1 2 x )2(2 x1)∴f（x）为偶函数 .（2）证明：由分析式易见，当x＞0 时，有 f（x）＞ 0.又 f（x）是偶函数，且当 x＜ 0 时－ x＞0，∴当 x＜0 时 f（x）＝ f （－ x）＞ 0，即对于 x≠0 的任何实数 x，均有 f（ x）＞ 0.研究创新8.设 f（x）=log 1（1ax）为奇函数，a为常数，2x1（1）求 a 的值；（2）证明 f（x）在（ 1， +∞）内单一递加；对于［ 3， 4］上的每一个x 的值，不等式 f（ x）＞（1）x+m 恒建立，求2实数 m 的取值范围 .（1）解： f（ x）是奇函数，∴ f（－ x）=－f（x）.∴ log 11ax=－ log 12x 12 a=1（舍），∴ a=－1.1 ax1 ax=x 1＞ 0 1－ a2x2=1－ x2a=± 1.查验x 1x 1 1 ax（2）证明：任取 x1＞ x2＞1，∴ x1－ 1＞ x2－1＞0.220＜ 1+ x 21＜ 1+ x2x11x21x11∴0＜x 1＜x211210＜x11＜x21 log 1x11＞12log 1x21，即 f（x1）＞ f（ x2）.∴f（x）在（ 1， +∞）内单一递加 .2x21（3）解： f（ x）－（1）x＞m 恒建立 . 2令 g（x） =f（x）－（1）x.只需 g（x）min＞ m，用定义能够证 g（ x）在［ 3， 4］2上是增函数，∴ g（ x）min（）－9∴＜－9时原式恒建立 .=g 3 =. m88●思悟小结1.函数的奇偶性是函数的整体性质，即自变量x 在整个定义域内随意取值 .2.有时可直接依据图象的对称性来判断函数的奇偶性.●教师下载中心教课点睛1.函数的奇偶性常常与函数的其余性质，如单一性、周期性、对称性联合起来考察.所以，在复习过程中应增强知识横向间的联系.2.数形联合，以形助数是解决本节问题常用的思想方法.3.在教课过程中应重申函数的奇偶性是函数的整体性质，而单一性是其局部性质 .拓展题例2【例 1】 已知函数 f （x ）=ax1（a 、b 、c ∈ Z ）是奇函数，又 f （ 1）=2，f （2）bx c＜3，求 a 、b 、c 的值 .解：由 f （－ x ）=－f （x ），得－ bx+c=－（ bx+c ）.∴ c =0.由 f （1）=2，得 a+1=2b.由 f （2）＜ 3，得4a 1＜3，a 1解得－ 1＜a ＜2.又 a ∈ Z ，∴a=0 或 a=1.若 a=0，则 b= 1，与 b ∈Z 矛盾 .∴a=1， b=1，c=0.2【例 2】 已知函数 y=f （x ）的定义域为R ，对随意 x 、 x ′∈ R 均有 f （x+x ′） =f（x ） +f （x ′），且对随意 x ＞0，都有 f （x ）＜ 0，f （3）=－3.（1）试证明：函数 y=f （ x ）是 R 上的单一减函数；（2）试证明：函数 y=f （ x ）是奇函数；（3）试求函数 y=f （x ）在［ m ， n ］（m 、 n ∈ Z ，且 mn ＜0）上的值域 .分析：（1）可依据函数单一性的定义进行论证， 考虑证明过程中怎样利用题设条件 .（2）可依据函数奇偶性的定义进行证明，应由条件先获得f （ 0）=0 后，再利用条件 f （x 12）=f （ 1 ） +f （ 2）中 x 1、 2 的随意性，可使结论得证.+xx x x（3）由（ 1）的结论可知 f （ m ）、f （n ）分别是函数 y=f （x ）在［ m 、 n ］上的最大值与最小值，故求出 f （m ）与 f （n ）便可得所求值域 .（1）证明：任取 x 1、 x 2∈R ，且 x 1＜x 2，f （x 2） =f ［x 1+（x 2－x 1）］，于是由条件f（x+x′） =f（x）+f（ x′）可知 f（x2） =f（x1）+f（x2－x1） .∵x2＞ x1，∴ x2－ x1＞0.∴f（x2－x1）＜ 0.∴f（x2）=f（x1）+f（ x2－x1）＜ f（x1） .故函数 y=f（x）是减函数 .（2）明：∵ 随意x、x′∈ R 均有 f（x+x′） =f（x） +f（x′），∴若令 x=x′ =0， f（ 0） =f（0）+f（0）.∴f（0）=0.再令 x′=－x，可得 f（0） =f（x）+f（－ x） .∵f（0）=0，∴ f（－ x）=－f（ x） .故 y=f（ x）是奇函数 .（3）解：由函数 y=f（x）是 R 上的减函数，∴y=f（x）在［ m，n］上也减函数 .∴y=f（x）在［ m，n］上的最大 f（m），最小 f（n）.∴f（n）=f［1+（n－1）］ =f（1）+f（ n－ 1） =2f（ 1） +f（n－2）=⋯=nf（1）.同理， f（ m）=mf（1）.∵f（3）=－3，∴ f（3）=3f（1）=－3.∴f（1）=－1.∴f（m）=－m， f（n）=－n.所以，函数 y=f（x）在［ m， n］上的域［－ n，－ m］.述：（ 1）足条件f（ x+x′） =f（x）+f（ x′）的函数，只需其定域是关于原点称的，它就奇函数.（2）若将条件中的x＞0，均有 f（ x）＜ 0 改成均有 f（x）＞ 0，函数 f（x）就是 R 上的增函数 .（3）若条件中的m、n∈Z 去掉，我就没法求出f（m）与 f（n）的，故 m、n∈Z 不行少 .。
高中数学函数的奇偶性(解析版)
1．函数的奇偶性(1)奇偶性的定高中数学函数的奇偶性(解析版)义奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有f (－x )＝f (x )，那么函数f (x )是偶函数关于y 轴对称奇函数如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有f (－x )＝－f (x )，那么函数f (x )是奇函数关于原点对称(2)函数奇偶性常用结论结论1：如果函数f (x )是奇函数且在x ＝0处有意义，那么f (0)＝0．结论2：如果函数f (x )是偶函数，那么f (x )＝f (－x )＝f (|x |)．结论3：若函数y ＝f (x ＋b )是定义在R 上的奇函数，则函数y ＝f (x )关于点(b ，0)中心对称．结论4：若函数y ＝f (x ＋a )是定义在R 上的偶函数，则函数y ＝f (x )关于直线x ＝a 对称．结论5：已知函数f (x )是定义在区间D 上的奇函数，则对任意的x ∈D ，都有f (x )＋f (－x )＝0．特别地，若奇函数f (x )在D 上有最值，则f (x )max ＋f (x )min ＝0．推论1：若函数f (x )是奇函数，且g (x )＝f (x )＋c ，则必有g (－x )＋g (x )＝2c ．推论2：若函数f (x )是奇函数，且g (x )＝f (x )＋c ，则必有g (x )max ＋g (x )min ＝2c ．结论6：在公共定义域内有：奇±奇＝奇；偶±偶＝偶；奇±偶＝非奇非偶；奇)(÷⨯奇＝偶，偶)(÷⨯偶＝偶，奇)(÷⨯偶＝奇．结论7：若函数f (x )的定义域关于原点对称，则函数f (x )能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式.记g (x )＝12[f (x )＋f (－x )]，h (x )＝12[f (x )－f (－x )]，则f (x )＝g (x )＋h (x )．结论8：奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上具有相同的单调性；偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上具有相反的单调性．结论9：偶函数在其定义域内关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在其定义域内关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数．结论10：复合函数y ＝f [g (x )]的奇偶性：内偶则偶，两奇为奇．结论11：指数型函数的奇偶性(1)函数f (x )＝a x ＋a －x (a >0且a ≠1)是偶函数；(2)函数f (x )＝a x －a －x (a >0且a ≠1)是奇函数；(3)函数f (x )＝a x ＋1a x －1(a >0且a ≠1)是奇函数；(4)函数f (x )＝a x －a －x a x ＋a －x ＝a 2x ＋1a 2x－1(a >0且a ≠1)是奇函数；结论12：对数型函数的奇偶性(1)函数f (x )＝log a m －x m ＋x (a >0且a ≠1)是奇函数；函数f (x )＝log a m ＋xm －x (a >0且a ≠1)是奇函数；(2)函数f (x )＝log a x －m x ＋m (a >0且a ≠1)是奇函数；函数f (x )＝log a x ＋mx －m (a >0且a ≠1)是奇函数；(3)函数f (x )＝log a mx －b mx ＋b (a >0且a ≠1)是奇函数；函数f (x )＝log a mx ＋bmx －b(a >0且a ≠1)是奇函数；(4)函数f(x)＝log a(1＋m2x2±mx)(a>0且a≠1)是奇函数．2．函数的对称性(奇偶性的推广)(1)函数的轴对称定理1：如果函数y＝f(x)满足f(x＋a)＝f(b－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a＋b2对称．推论1：如果函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(a－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．推论2：如果函数y＝f(x)满足f(x)＝f(－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝0（y轴）对称，就是偶函数的定义，它是上述定理1的简化．(2)函数的点对称定理2：如果函数y＝f(x)满足f(a＋x)＋f(a－x)＝2b，则函数y＝f(x)的图象关于点(a，b)对称．推论1：如果函数y＝f(x)满足f(a＋x)＋f(a－x)＝0，则函数y＝f(x)的图象关于点(a，0)对称．推论2：如果函数y＝f(x)满足f(x)＋f(－x)＝0，则函数y＝f(x)的图象关于原点(0，0)对称，就是奇函数的定义，它是上述定理2的简化．(3)两个等价关系若函数y＝f(x)关于直线x＝a轴对称，则以下三式成立且等价：f(a＋x)＝f(a－x)⇔f(2a－x)＝f(x)⇔f(2a＋x)＝f(－x)若函数y＝f(x)关于点(a，0)中心对称，则以下三式成立且等价：f(a＋x)＝－f(a－x)⇔f(2a－x)＝－f(x)⇔f(2a＋x)＝－f(－x)考点一判断函数的奇偶性【方法总结】判断函数的奇偶性：首先看函数的定义域是否关于原点对称；在定义域关于原点对称的条件下，再化简解析式，根据f(－x)与f(x)的关系作出判断．分段函数奇偶性的判断，要分别从x>0或x<0来寻找等式f(－x)＝f(x)或f(－x)＝－f(x)成立，只有当对称的两个区间上满足相同关系时，分段函数才具有确定的奇偶性．用函数奇偶性常用结论6或特值法可秒杀．【例题选讲】[例1](1)下列函数为偶函数的是()A．y＝B．y＝x2＋e|x|C．y＝x cos x D．y＝ln|x|－sin x答案B解析对于选项A，易知y＝tan B，设f(x)＝x2＋e|x|，则f(－x)＝(－x)2＋e|－x|＝x2＋e|x|＝f(x)，所以y＝x2＋e|x|为偶函数；对于选项C，设f(x)＝x cos x，则f(－x)＝－x cos(－x)＝－x cos x＝－f(x)，所以y＝x cos x为奇函数；对于选项D，设f(x)＝ln|x|－sin x，则f(2)＝ln2－sin 2，f(－2)＝ln2－sin(－2)＝ln2＋sin2≠f(2)，所以y＝ln|x|－sin x为非奇非偶函数，故选B．(2)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是()A．y＝x＋sin2x B．y＝x2－cos x C．y＝2x＋12xD．y＝x2＋sin x 答案D解析对于A，定义域为R，f(－x)＝－x＋sin2(－x)＝－(x＋sin2x)＝－f(x)，为奇函数；对于B，定义域为R，f(－x)＝(－x)2－cos(－x)＝x2－cos x＝f(x)，为偶函数；对于C，定义域为R，f(－x)＝2－x＋12－x＝2x＋12x＝f(x)，为偶函数；对于D，y＝x2＋sin x既不是偶函数也不是奇函数．(3)设函数f(x)＝e x－e－x2，则下列结论错误的是()A．|f(x)|是偶函数B．－f(x)是奇函数C．f(x)|f(x)|是奇函数D．f(|x|)f(x)是偶函数答案D解析∵f(x)＝e x－e－x2，则f(－x)＝e－x－e x2＝－f(x)．∴f(x)是奇函数．∵f(|－x|)＝f(|x|)，∴f(|x|)是偶函数，∴f(|x|)f(x)是奇函数．(4)已知f(x)＝4－x2，g(x)＝|x－2|，则下列结论正确的是()A．h(x)＝f(x)＋g(x)是偶函数B．h(x)＝f(x)·g(x)是奇函数C．h(x)＝g(x)·f(x)2－x是偶函数D．h(x)＝f(x)2－g(x)是奇函数答案D解析h(x)＝f(x)＋g(x)＝4－x2＋|x－2|＝4－x2＋2－x，x∈[－2,2]．h(－x)＝4－x2＋2＋x≠h(x)，且h(－x)≠－h(x)，不满足函数奇偶性的定义，是非奇非偶函数．B．h(x)＝f(x)·g(x)＝4－x2|x－2|＝4－x2(2－x)，x∈[－2,2]．h(－x)＝4－x2(2＋x)≠h(x)，且h(－x)≠－h(x)，不满足函数奇偶性的定义，是非奇非偶函数．C．h(x)＝g(x)·f(x)2－x＝4－x2，x∈[－2，2)，定义域不关于原点对称，是非奇非偶函数．D．h(x)＝f(x)2－g(x)＝4－x2x，x∈[－2，0)∪(0，2]，是奇函数．(5)已知函数f(x)满足f(x＋1)＋f(－x＋1)＝2，则以下四个选项一定正确的是()A．f(x－1)＋1是偶函数B．f(x－1)－1是奇函数C．f(x＋1)＋1是偶函数D．f(x＋1)－1是奇函数答案－12解析法一：因为f(x＋1)＋f(－x＋1)＝2，所以f(x)＋f(2－x)＝2，所以函数y＝f(x)的图象关于点(1，1)中心对称，而函数y＝f(x＋1)－1的图象可看作是由y＝f(x)的图象先向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到，所以函数y＝f(x＋1)－1的图象关于点(0，0)中心对称，所以函数y＝f(x＋1)－1是奇函数，故选D．法二：由f(x＋1)＋f(－x＋1)＝2，得f(x＋1)－1＋f(－x＋1)－1＝0，令F(x)＝f(x＋1)－1，则F(x)＋F(－x)＝0，所以F(x)为奇函数，即f(x＋1)－1为奇函数，故选D．【对点训练】1．下列函数为奇函数的是()A．f(x)＝x3＋1B．f(x)＝ln1－x1＋xC．f(x)＝e x D．f(x)＝x sin x1．答案B解析对于A，f(－x)＝－x3＋1≠－f(x)，所以其不是奇函数；对于B，f(－x)＝ln1＋x1－x＝－ln 1－x 1＋x＝－f(x)，所以其是奇函数；对于C，f(－x)＝e－x≠－f(x)，所以其不是奇函数；对于D，f(－x)＝－x sin(－x)＝x sin x＝f(x)，所以其不是奇函数．故选B．2．函数f(x)＝9x＋13x的图象()A．关于x轴对称B．关于y轴对称C．关于坐标原点对称D．关于直线y＝x对称2．答案B解析因为f(x)＝9x＋13x＝3x＋3－x，易知f(x)为偶函数，所以函数f(x)的图象关于y轴对称．3．下列函数中既不是奇函数也不是偶函数的是()A．y＝2|x|B．y＝lg(x＋x2＋1)C．y＝2x＋2－x D．y＝lg1x＋13．答案D解析对于D项，1x＋1>0，即x>－1，其定义域关于原点不对称，是非奇非偶函数．4．已知f(x)＝x2x－1，g(x)＝x2，则下列结论正确的是()A．f(x)＋g(x)是偶函数B．f(x)＋g(x)是奇函数C．f(x)g(x)是奇函数D．f(x)g(x)是偶函数4．答案A解析令h(x)＝f(x)＋g(x)，因为f(x)＝x2x－1，g(x)＝x2，所以h(x)＝x2x－1＋x2＝x·2x＋x2(2x－1)，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．因为h(－x)＝－x·2－x－x2(2－x－1)＝x(1＋2x)2(2x－1)＝h(x)，所以h(x)＝f(x)＋g(x)是偶函数，令F(x)＝f(x)g(x)＝x22(2x－1)，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．所以F(－x)＝(－x)22(2－x－1)＝x2·2x2(1－2x)，因为F(－x)≠F(x)且F(－x)≠－F(x)，所以F(x)＝g(x)f(x)既不是奇函数也不是偶函数．5．设f(x)＝e x＋e－x，g(x)＝e x－e－x，f(x)，g(x)的定义域均为R，下列结论错误的是() A．|g(x)|是偶函数B．f(x)g(x)是奇函数C．f(x)|g(x)|是偶函数D．f(x)＋g(x)是奇函数5．答案D解析f(－x)＝e－x＋e x＝f(x)，f(x)为偶函数．g(－x)＝e－x－e x＝－g(x)，g(x)为奇函数．|g(－x)|＝|－g(x)|＝|g(x)|，|g(x)|为偶函数，A正确；f(－x)g(－x)＝f(x)[－g(x)]＝－f(x)g(x)，所以f(x)g(x)为奇函数，B正确；f(－x)|g(－x)|＝f(x)|g(x)|，所以f(x)|g(x)|是偶函数，C正确；f(x)＋g(x)＝2e x，f(－x)＋g(－x)＝2e－x≠－(f(x)＋g(x))，且f(－x)＋g(－x)＝2e－x≠f(x)＋g(x)，所以f(x)＋g(x)既不是奇函数也不是偶函数，D错误，故选D．6．设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是() A．f(x)g(x)是偶函数B．|f(x)|g(x)是奇函数C．f(x)|g(x)|是奇函数D．|f(x)g(x)|是奇函数6．答案C解析对于A：令h(x)＝f(x)·g(x)，则h(－x)＝f(－x)·g(－x)＝－f(x)·g(x)＝－h(x)，∴h(x)是奇函数，A错．对于B：令h(x)＝|f(x)|g(x)，则h(－x)＝|f(－x)|g(－x)＝|－f(x)|·g(x)＝|f(x)|g(x)＝h(x)，∴h(x)是偶函数，B错．对于C：令h(x)＝f(x)|g(x)|，则h(－x)＝f(－x)|g(－x)|＝－f(x)·|g(x)|＝－h(x)，∴h(x)是奇函数，C正确．对于D：令h(x)＝|f(x)·g(x)|，则h(－x)＝|f(－x)·g(－x)|＝|－f(x)·g(x)|＝|f(x)·g(x)|＝h(x)，∴h(x)是偶函数，D错．考点二已知函数的奇偶性，求函数解析式中参数的值【方法总结】已知函数的奇偶性求函数解析式中参数的值：常常利用待定系数法，由f(x)±f(－x)＝0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或对方程求解．对于选填题可用特值法进行秒杀．【例题选讲】[例2](1)若函数f(x)＝x ln(x＋a＋x2)为偶函数，则a＝________．答案1解析f(x)为偶函数，则y＝ln(x＋a＋x2)为奇函数，所以ln(x＋a＋x2)＋ln(－x＋a＋x2)＝0，则ln(a＋x2－x2)＝0，∴a＝1．(2)已知函数f(x)＝2×4x－a2x的图象关于原点对称，g(x)＝ln(ex＋1)－bx是偶函数，则log a b＝()A．1B．－1C．－12D．14答案B解析由题意得f(0)＝0，∴a＝2.∵g(1)＝g(－1)，∴ln(e＋1)－b＝ln(1e＋1)＋b，∴b＝12，∴log212＝－1．故选B．(3)若函数f(x)－1，0<x≤2，1，－2≤x≤0，g(x)＝f(x)＋ax，x∈[－2，2]为偶函数，则实数a＝答案－12解析因为f (x )－1，0<x ≤2，1，－2≤x ≤0，所以g (x )＝f (x )＋ax －1，－2≤x ≤0，1＋a )x －1，0<x ≤2，因为g (x )－1，－2≤x ≤0，＋a )x －1，0<x ≤2为偶函数，所以g (－1)＝g (1)，即－a －1＝1＋a －1＝a ，所以2a ＝－1，所以a ＝－12．(4)已知函数f (x )＝a －2e x ＋1(a ∈R )是奇函数，则函数f (x )的值域为()A ．(－1，1)B ．(－2，2)C ．(－3，3)D ．(－4，4)答案A解析法一：由f (x )是奇函数知f (－x )＝－f (x )，所以a －2e －x ＋1＝－a ＋2e x ＋1，得2a ＝2e x＋1＋2e －x ＋1，所以a ＝1e x ＋1＋e x e x ＋1＝1，所以f (x )＝1－2e x ＋1．因为e x ＋1>1，所以0<1e x ＋1<1，－1<1－2e x ＋1<1，所以函数f (x )的值域为(－1，1)．法二：函数f (x )的定义域为R ，且函数f (x )是奇函数，所以f (0)＝a －1＝0，即a ＝1，所以f (x )＝1－2e x ＋1．因为e x ＋1>1，所以0<1e x ＋1<1，－1<1－2e x ＋1<1，所以函数f (x )的值域为(－1，1)．(5)已知f (x )是奇函数，且当x ＜0时，f (x )＝－e ax ，若f (ln 2)＝8，则a ＝________．答案－3解析当x ＞0，－x ＜0，f (－x )＝－e－ax．因为f (x )是奇函数，所以当x ＞0时，f (x )＝－f (－x )＝e－ax，所以f (ln 2)＝e－a ln2＝(e ln 2)－a ＝2－a ＝8．解得a ＝－3．【对点训练】7．若f (x )＝ln(e 3x ＋1)＋ax 是偶函数，则a ＝________.7．答案－32解析函数f (x )＝ln(e 3x ＋1)＋ax 是偶函数，故f (－x )＝f (x )，即ln(e－3x＋1)－ax ＝ln(e 3x ＋1)＋ax ，化简得ln(1＋e 3x )－ln e 3x －ax ＝ln(e 3x ＋1)＋ax ，即－3x －ax ＝ax ，所以2ax ＋3x ＝0恒成立，所以a ＝－328．若函数f (x )＝x 3(12x －1＋a )为偶函数，则a 的值为________．8．答案12解析解法1：因为函数f (x )＝x 3(12x －1＋a )为偶函数，所以f (－x )＝f (x )，即(－x )3(12－x －1＋a )＝x 3(12x －1＋a )，所以2a ＝－(12－x －1＋12x －1)，所以2a ＝1，解得a ＝12.解法2：因为函数f (x )＝x 3(12x －1＋a )为偶函数，所以f (－1)＝f (1)，所以(－1)3×(12－1－1＋a )＝13×(121－1＋a )，解得a ＝12，经检验，当a ＝12时，函数f (x )为偶函数．9．函数f (x )＝(x ＋1)(x ＋a )x 3为奇函数，则a ＝________．9．答案－1解析由题意得f (－1)＋f (1)＝0，即2(a ＋1)＝0，解得a ＝－1，经检验，a ＝－1时，函数f (x )为奇函数．10．已知奇函数f (x )x ＋a ，x ＞0，－2－x，x ＜0，则实数a ＝________．10．答案－4解析因为函数f (x )为奇函数，则f (－x )＝－f (x )，f (－1)＝－f (1)，所以4－21＝－(21＋a )，解得a ＝－4．11．已知f (x )＝3ax 2＋bx －5a ＋b 是偶函数，且其定义域为[6a －1，a ]，则a ＋b ＝()A ．17B ．－1C ．1D ．711．答案A解析因为偶函数的定义域关于原点对称，所以6a －1＋a ＝0，所以a ＝17.又因为f (x )为偶函数，所以b ＝0，即a ＋b ＝17．故选A ．12．若函数f (x )＝ax ＋b ，x ∈[a －4，a ]的图象关于原点对称，则函数g (x )＝bx ＋ax ，x ∈[－4，－1]的值域为________．12．答案－2，－12解析由函数f (x )的图象关于原点对称，可得a －4＋a ＝0，即a ＝2，则函数f (x )＝2x ＋b ，其定义域为[－2，2]，所以f (0)＝0，所以b ＝0，所以g (x )＝2x ，易知g (x )在[－4，－1]上单调递减，故值域为[g (－1)，g (－4)]，即－2，－12．考点三已知函数的奇偶性，求函数的值【方法总结】已知函数的奇偶性求函数值：将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解．【例题选讲】[例3](1)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ∈(－∞，0)时，f (x )＝2x 3＋x 2，则f (2)＝____．答案12解析∵x ∈(－∞，0)时，f (x )＝2x 3＋x 2，且f (x )在R 上为奇函数，∴f (2)＝－f (－2)＝－[2×(－2)3＋(－2)2]＝12．(2)设f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，f (x )＝2x ＋2x ＋b (b 为常数)，则f (1)＝________．答案52解析由题意知f (0)＝20＋2×0＋b ＝0，解得b ＝－1．所以当x ≤0时，f (x )＝2x ＋2x －1，所以f (1)＝－f (－1)＝－[2－1＋2×(－1)－1]＝52(3)设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x )3(x ＋1)，x ≥0，(x )，x <0，，则g (－8)＝()A ．－2B ．－3C ．2D ．3答案A解析法一当x <0时，－x >0，且f (x )为奇函数，则f (－x )＝log 3(1－x )，所以f (x )＝－log 3(1－x )．因此g (x )＝－log 3(1－x )，x <0，故g (－8)＝－log 39＝－2．法二由题意知，g (－8)＝f (－8)＝－f (8)＝－log 39＝－2．【对点训练】13．若函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝log 2(x ＋2)－1，则f (－6)＝()A ．2B ．4C ．－2D ．－413．答案C解析根据题意得f (－6)＝－f (6)＝1－log 2(6＋2)＝1－3＝－2．14．已知函数f (x )是偶函数，当x ＞0时，f (x )＝ln x ，则21(())f f e 的值为________．14．答案ln 2解析由已知可得21(f e ＝ln 1e 2＝－2，所以21((f f e＝f (－2)．又因为f (x )是偶函数，所以21(())f f e ＝f (－2)＝f (2)＝ln 2．15．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝3x ＋m (m 为常数)，则f (－log 35)＝()A ．－6B ．6C ．4D ．－415．答案D解析因为f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )＝3x ＋m ，所以f (0)＝1＋m ＝0⇒m ＝－1，则f (－log 35)＝－f (log 35)＝－(3log 35－1)＝－4．16．设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x )3x ＋1，x ≥0，x ，x ＜0，则g (f (－8))＝()A ．－1B ．－2C ．1D ．216．答案A解析因为f (x )为奇函数，所以f (－8)＝－f (8)＝－log 39＝－2，所以g (f (－8))＝g (－2)＝f (－2)＝－f (2)＝－log 33＝－1．考点四已知函数的奇偶性，求函数的解析式【方法总结】已知函数的奇偶性求解析式：将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性构造关于f (x )的方程(组)，从而得到f (x )的解析式．对于奇函数可在x 以及解析式前同时加负号，对于偶函数可在x 前加负号进行秒杀．【例题选讲】[例4](1)设f (x )为奇函数，且当x ≥0时，f (x )＝e x －1，则当x ＜0时，f (x )＝()A ．e －x －1B ．e －x ＋1C ．－e －x －1D ．－e －x ＋1答案D 解析通解：依题意得，当x <0时，f (x )＝－f (－x )＝－(e －x －1)＝－e －x ＋1，选D ．优解：依题意得，f (－1)＝－f (1)＝－(e 1－1)＝1－e ，结合选项知，选D ．(2)已知f (x )为偶函数，当x ≤0时，f (x )＝e －x －1－x ，则f (x )＝________．答案－x －1－x ，x ≤0x －1＋x ，x ＞0解析当x ＞0时，－x ＜0，则f (－x )＝e x －1＋x ，又f (－x )＝f (x )，因此f (x )＝e x －1＋x ．所以f (x )－x －1－x ，x ≤0x －1＋x ，x ＞0．(3)若定义在R 上的偶函数f (x )和奇函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝e x ，则g (x )＝()A ．e x －e －xB ．12(e x ＋e －x )C ．12(e －x －e x )D ．12(e x －e －x )答案D解析因为f (x )＋g (x )＝e x ，所以f (－x )＋g (－x )＝f (x )－g (x )＝e －x ，所以g (x )＝12(e x －e －x )．【对点训练】17．已知f (x )是奇函数，且x ∈(0，＋∞)时的解析式是f (x )＝－x 2＋2x ，若x ∈(－∞，0)，则f (x )＝________．17．答案x 2＋2x解析由题意知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ∈(－∞，0)时，－x ∈(0，＋∞)，所以f (－x )＝－(－x )2＋2×(－x )＝－x 2－2x ＝－f (x )，所以f (x )＝x 2＋2x ．18．函数y ＝f (x )是R 上的奇函数，当x <0时，f (x )＝2x ，则当x >0时，f (x )＝()A ．－2xB ．2－xC ．－2－xD ．2x18．答案C解析当x >0时，－x <0，∵x <0时，f (x )＝2x ，∴当x >0时，f (－x )＝2－x ．∵f (x )是R 上的奇函数，∴当x >0时，f (x )＝－f (－x )＝－2－x ．19．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f (x )＝x 2－4x ，则f (x )＝________．19．答案2－4x ，x ＞0x 2－4x ，x ≤0解析∵f (x )是定义在R 上的奇函数，∴f (0)＝0．又当x ＜0时，－x ＞0，∴f (－x )＝x 2＋4x ．又f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，即f (x )＝－x 2－4x (x ＜0)，∴f (x )2－4x ，x ＞0，x 2－4x ，x ≤0.20．已知函数f (x )为奇函数，当x >0时，f (x )＝x 2－x ，则当x <0时，函数f (x )的最大值为________．20．答案14解析法一：当x <0时，－x >0，所以f (－x )＝x 2＋x ．又因为函数f (x )为奇函数，所以f (x )＝－f (－x )＝－x 2－x ＝＋14，所以当x <0时，函数f (x )的最大值为14．法二：当x >0时，f (x )＝x 2－x －14，最小值为－14，因为函数f (x )为奇函数，所以当x <0时，函数f (x )的最大值为14．考点五与奇函数相关的函数的求值【方法总结】对于可表示成奇函数加常数的函数，如果已知一个数的函数值，求它的相反数的函数值或求两个相反数的函数值的问题，可用奇函数的结论5的推论1：若函数f (x )是奇函数，且g (x )＝f (x )＋c ，则必有g (－x )＋g (x )＝2c ，如果是涉及到函数的最大值与最小值的问题则可用推论2：若函数f (x )是奇函数，且g (x )＝f (x )＋c ，则必有g (x )max ＋g (x )min ＝2c 进行秒杀．【例题选讲】[例5](1)已知函数f (x )＝ln(1＋9x 2－3x )＋1，则f (lg 2)＋1(lg )2f 等于()A ．－1B ．0C ．1D ．2答案D解析设g (x )＝ln(1＋9x 2－3x )＝f (x )－1，g (－x )＝ln(1＋9x 2＋3x )＝ln11＋9x 2－3x＝－g (x )．∴g (x )是奇函数，∴f (lg 2)－1＋1(lg 2f －1＝g (lg 2)＋1(lg )2g ＝0，因此f (lg 2)＋1(lg 2f ＝2．(2)已知函数f (x )＝ln(1＋x 2－x )＋1，f (a )＝4，则f (－a )＝________．若g (10)＝2019，则g (－10)的值为()A ．－2219B ．－2019C ．－1919D ．－1819答案D解析由题意，因为f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，∴f (0＋0)＝f (0)＋f (0)＝f (0)，即f (0)＝0，令y ＝－x ，则有f (x －x )＝f (x )＋f (－x )＝f (0)＝0，即f (－x )＝－f (x )，即f (x )是奇函数，若g (x )＝f (x )＋sin x ＋x 2，g (10)＝2019，则g (10)＝f (10)＋sin 10＋100＝2019，则g (－10)＝f (－10)－sin 10＋100＝－f (10)－sin 10＋100，两式相加得200＝2019＋g (－10)，得g (－10)＝200－2019＝－1819，故选D(4)已知函数f (x )＝a sin x ＋b ln 1－x1＋x＋t ，若1()2f ＋1()2f ＝6，则实数t ＝()A ．－2B ．－1C ．1D ．3答案D 解析令g (x )＝a sin x ＋b ln1－x1＋x ，则易知g (x )为奇函数，所以1(2g ＋1()2g -＝0，则由f (x )＝g (x )＋t ，得1()2f ＋1()2f -＝1()2g ＋1(2g -＋2t ＝2t ＝6，解得t ＝3．故选D ．(5)已知函数f (x )＝2|x |＋1＋x 3＋22|x |＋1的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m 等于()A ．0B ．2C ．4D ．8答案C解析易知f (x )的定义域为R ，f (x )＝2·(2|x |＋1)＋x 32|x |＋1＝2＋x 32|x |＋1，设g (x )＝x 32|x |＋1，则g (－x )＝－g (x )(x ∈R )，∴g (x )为奇函数，∴g (x )max ＋g (x )min ＝0．∵M ＝f (x )max ＝2＋g (x )max ，m ＝f (x )min ＝2＋g (x )min ，∴M ＋m ＝2＋g (x )max ＋2＋g (x )min ＝4，故选C ．【对点训练】21．已知函数f (x )＝x ＋1x－1，f (a )＝2，则f (－a )＝________．21．答案－4解析法一：因为f (x )＋1＝x ＋1x ，设g (x )＝f (x )＋1＝x ＋1x ，易判断g (x )＝x ＋1x故g (x )＋g (－x )＝x ＋1x －x －1x＝0，即f (x )＋1＋f (－x )＋1＝0，故f (x )＋f (－x )＝－2．所以f (a )＋f (－a )＝－2，故f (－a )＝－4．法二：由已知得f (a )＝a ＋1a －1＝2，即a ＋1a ＝3，所以f (－a )＝－a －1a －11＝－3－1＝－4．22．已知函数f (x )＝x 3＋sin x ＋1(x ∈R )，若f (a )＝2，则f (－a )的值为()A ．3B ．0C ．－1D ．－222．答案B解析设F (x )＝f (x )－1＝x 3＋sin x ，显然F (x )为奇函数，又F (a )＝f (a )－1＝1，所以F (－a )＝f (－a )－1＝－1，从而f (－a )＝0．故选B ．23．对于函数f (x )＝a sin x ＋bx 3＋cx ＋1(a ，b ，c ∈R )，选取a ，b ，c 的一组值计算f (1)，f (－1)，所得出的正确结果可能是()A ．2和1B ．2和0C ．2和－1D ．2和－223．答案B解析设g (x )＝a sin x ＋bx 3＋cx ，显然g (x )为定义域上的奇函数，所以g (1)＋g (－1)＝0，所以f (1)＋f (－1)＝g (1)＋g (－1)＋2＝2，只有B 选项中两个值的和为2．24．已知函数f (x )＝ax 3＋b sin x ＋4(a ，b ∈R )，f (lg(log 210))＝5，则f (lg(lg2))＝()A ．－5B ．－1C ．3D ．424．答案C解析设g (x )＝ax 3＋b sin x ，则f (x )＝g (x )＋4，且函数g (x )为奇函数．又lg(lg2)＋lg(log 210)＝lg(lg2·log 210)＝lg1＝0，所以f (lg(lg2))＋f (lg(log 210))＝2×4＝8，所以f (lg(lg2))＝3．故选C ．25．已知f (x )，g (x )分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f (x )－g (x )＝x 3＋x 2＋1，则f (1)＋g (1)＝()A ．－3B ．－1C ．1D ．325．答案C解析用“－x ”代替“x ”，得f (－x )－g (－x )＝(－x )3＋(－x )2＋1，化简得f (x )＋g (x )＝－x 3＋x 2＋1，令x ＝1，得f (1)＋g (1)＝1．故选C ．26．设函数f (x )＝(x ＋1)2＋sin xx 2＋1的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m ＝________．26．答案2解析显然函数f (x )的定义域为R ，f (x )＝(x ＋1)2＋sin x x 2＋1＝1＋2x ＋sin x x 2＋1，设g (x )＝2x ＋sin xx 2＋1，则g (－x )＝－g (x )，∴g (x )为奇函数，由奇函数图象的对称性知g (x )max ＋g (x )min ＝0，∴M ＋m ＝[g (x )＋1]max＋[g(x)＋1]min＝2＋g(x)max＋g(x)min＝2．27．设函数f(x)＝(e x＋e－x)sin x＋t，x∈[－a，a]的最大值和最小值分别为M，N．若M＋N＝8，则t＝() A．0B．2C．4D．827．答案4解析设g(x)＝(e x＋e－x)sin x，x∈[－a，a]，因为g(x)是奇函数，所以g(x)max＋g(x)min＝0，所以M＋N＝g(x)max＋g(x)min＋2t＝2t＝8，所以t＝4．28．若定义在[－2020，2020]上的函数f(x)满足：对任意x1∈[－2020，2020]，x2∈[－2020，2020]都有f(x1＋x2)＝f(x1)＋f(x2)－2019，且x＞0时有f(x)＞2019，f(x)的最大值、最小值分别为M，N，则M＋N ＝()A．2019B．2020C．4040D．403828．答案D解析令x1＝x2＝0得f(0)＝2f(0)－2019，所以f(0)＝2019，令x1＝－x2得f(0)＝f(－x2)＋f(x2)－2019＝2019，所以f(－x2)＋f(x2)＝4038，令g(x)＝f(x)－2019，则g(x)max＝M－2019，g(x)min＝N －2019，因为g(－x)＋g(x)＝f(－x)＋f(x)－4038＝0，所以g(x)是奇函数，所以g(x)max＋g(x)min＝0，即M－2019＋N－2019＝0，所以M＋N＝4038．29．已知函数f(x)＝(x2－2x)·sin(x－1)＋x＋1在[－1，3]上的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝() A．4B．2C．1D．029．答案A解析f(x)＝[(x－1)2－1]sin(x－1)＋x－1＋2，令t＝x－1，g(t)＝(t2－1)sin t＋t，则y＝f(x)＝g(t)＋2，t∈[－2，2]．显然M＝g(t)max＋2，m＝g(t)min＋2．又g(t)为奇函数，则g(t)max＋g(t)min＝0，所以M＋m＝4，故选A．30．若关于x的函数f(x)＋cos xt≠0)的最大值为a，最小值为b，且a＋b＝2，则t＝____．30．答案1解析f(x)＋cos x t＋t sin x＋x2x2＋cos x，设g(x)＝t sin x＋x2x2＋cos x，则g(x)为奇函数，g(x)max＝a－t，g(x)min＝b－t．∵g(x)max＋g(x)min＝0，∴a＋b－2t＝0，即2－2t＝0，解得t＝1．。
高三数学 第一轮复习 11：函数的奇偶性
高三数学第一轮复习11函数的奇偶性·知识梳理·模块01：函数的奇偶性1、函数奇偶性的定义：偶函数：如果对于函数()y f x =定义域D 内的任意实数x ，都有,D x ∈-并且)()(x f x f =-，那么就把函数()y f x =叫做偶函数。
奇函数：如果对于函数()y f x =定义域D 内的任意实数x ，都有都有,D x ∈-并且)()(x f x f -=-，那么就把函数()y f x =叫做奇函数。
2、判断函数奇偶性的方法：步骤：第1步：看定义域是否是对称区间（是的话就继续，不是就是非奇非偶函数）；第2步：找)(x f 与)(x f -之间的关系，若)()(x f x f -=,那么)(x f 就叫做偶函数；)()(x f x f --=,那么)(x f 就叫做奇函数。
[注意]定义本身蕴涵着：①函数的定义域必须是关于原点的对称区间，这是奇（偶）函数的必要条件——前提；②“定义域内任意”：意味着不存在＂某个区间（段）上的＂的奇（偶）函数——不研究；③判断函数奇偶性最基本的方法：先看定义域，再用定义——)()(x f x f -±=。
模块02：函数的奇偶性的应用关于函数奇偶性的几个重要结论：（1）具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称（函数具有奇偶性的必要不充分条件）。
（2）若奇函数()y f x =在0x =处有定义，则(0)0f =。
（3）函数()f x 是奇函数⇔曲线()y f x =关于原点对称；函数()f x 是偶函数⇔曲线()y f x =关于y 轴对称。
（4）()f x 既是奇函数又是偶函数()0f x ⇔=（定义域关于原点对称）．（5）若()f x 的定义域关于原点对称，则()()()F x f x f x =+-是偶函数，()()()G x f x f x =--是奇函数。
（6）若函数()f x 的定义域关于原点对称，则()f x 可以表示成一个偶函数与一个奇函数的和。
高中数学高考总复习函数的奇偶性习题及详解
高中数学高考总复习函数的奇偶性习题及详解一、选择题1．(文)以下函数，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是( ) A ．y ＝x ＋x 3(x ∈R) B ．y ＝3x (x ∈R)C ．y ＝－log 2x (x >0，x ∈R)D ．y ＝－1x (x ∈R ，x ≠0)[答案] A[解析] 首先函数为奇函数、定义域应关于原点对称，排除C ，假设x ＝0在定义域内，那么应有f (0)＝0，排除B ；又函数在定义域内单调递增，排除D ，应选A.(理)以下函数中既是奇函数，又在区间[－1,1]上单调递减的是( ) A ．f (x )＝sin xB ．f (x )＝－|x ＋1|C ．f (x )＝12(a x ＋a －x )D ．f (x )＝ln 2－x2＋x[答案] D[解析] y ＝sin x 与y ＝ln 2－x 2＋x 为奇函数，而y ＝12(a x ＋a －x )为偶函数，y ＝－|x ＋1|是非奇非偶函数．y ＝sin x 在[－1,1]上为增函数．应选D.2．(2021·安徽理，4)假设f (x )是R 上周期为5的奇函数，且满足f (1)＝1，f (2)＝2，那么f (3)－f (4)＝( )A ．－1B ．1C ．－2D ．2[答案] A[解析] f (3)－f (4)＝f (－2)－f (－1)＝－f (2)＋f (1)＝－2＋1＝－1，应选A.3．(2021·河北唐山)f (x )与g (x )分别是定义在R 上奇函数与偶函数，假设f (x )＋g (x )＝log 2(x 2＋x ＋2)，那么f (1)等于( )A ．－12B.12 C ．1D.32[答案] B[解析] 由条件知，⎩⎪⎨⎪⎧f (1)＋g (1)＝2f (－1)＋g (－1)＝1，∵f (x )为奇函数，g (x )为偶函数．∴⎩⎪⎨⎪⎧f (1)＋g (1)＝2g (1)－f (1)＝1，∴f (1)＝12.4．(文)(2021·北京崇文区)f (x )是定义在R 上的偶函数，并满足f (x ＋2)＝－1f (x )，当1≤x ≤2时，f (x )＝x －2，那么f (6.5)＝( )A ．4.5B ．－4.5C ．0.5D ．－0.5[答案] D[解析] ∵f (x ＋2)＝－1f (x )，∴f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝－1f (x ＋2)＝f (x )，∴f (x )周期为4，∴f (6.5)＝f (6.5－8)＝f (－1.5)＝f (1.5)＝1.5－2＝－0.5.(理)(2021·山东日照)函数f (x )是定义域为R 的偶函数，且f (x ＋2)＝f (x )，假设f (x )在[－1,0]上是减函数，那么f (x )在[2,3]上是( )A ．增函数B ．减函数C ．先增后减的函数D ．先减后增的函数[答案] A[解析] 由f (x ＋2)＝f (x )得出周期T ＝2， ∵f (x )在[－1,0]上为减函数，又f (x )为偶函数，∴f (x )在[0,1]上为增函数，从而f (x )在[2,3]上为增函数．5．(2021·辽宁锦州)函数f (x )是定义在区间[－a ，a ](a >0)上的奇函数，且存在最大值与最小值．假设g (x )＝f (x )＋2，那么g (x )的最大值与最小值之和为( )A ．0B ．2C ．4D ．不能确定[答案] C[解析] ∵f (x )是定义在[－a ，a ]上的奇函数，∴f (x )的最大值与最小值之和为0，又g (x )＝f (x )＋2是将f (x )的图象向上平移2个单位得到的，故g (x )的最大值与最小值比f (x )的最大值与最小值都大2，故其和为4.6．定义两种运算：a ⊗b ＝a 2－b 2，a ⊕b ＝|a －b |，那么函数f (x )＝2⊗x(x ⊕2)－2( )A ．是偶函数B ．是奇函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既不是奇函数又不是偶函数[答案] B[解析] f (x )＝4－x 2|x －2|－2，∵x 2≤4，∴－2≤x ≤2， 又∵x ≠0，∴x ∈[－2,0)∪(0,2]． 那么f (x )＝4－x 2－x ，f (x )＋f (－x )＝0，应选B.7．f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，设a ＝f (log 47)，b ＝f (log 123)，c ＝f (0.20.6)，那么a 、b 、c 的大小关系是( )A ．c <b <aB ．b <c <aC ．b <a <cD ．a <b <c[答案] C[解析] 由题意知f (x )＝f (|x |)．∵log 47＝log 27>1，|log 123|＝log 23>log 27，0<0.20.6<1，∴|log 123|>|log 47|>|0.20.6|.又∵f (x )在(－∞，0]上是增函数，且f (x )为偶函数， ∴f (x )在[0，＋∞)上是减函数． ∴b <a <c .应选C.8．函数f (x )满足：f (1)＝2，f (x ＋1)＝1＋f (x )1－f (x )，那么f (2021)等于( )A ．2B ．－3C ．－12D.13[答案] C[解析] 由条件知，f (2)＝－3，f (3)＝－12，f (4)＝13，f (5)＝f (1)＝2，故f (x ＋4)＝f (x ) (x∈N *)．∴f (x )的周期为4， 故f (2021)＝f (3)＝－12.[点评] 严格推证如下： f (x ＋2)＝1＋f (x ＋1)1－f (x ＋1)＝－1f (x )，∴f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝f (x )．即f (x )周期为4.故f (4k ＋x )＝f (x )，(x ∈N *，k ∈N *)，9．设f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫21－x ＋a 是奇函数，那么使f (x )<0的x 的取值范围是( )A ．(－1,0)B ．(0,1)C ．(－∞，0)D ．(－∞，0)∪(1，＋∞)[答案] A[解析] ∵f (x )为奇函数，∴f (0)＝0，∴a ＝－1. ∴f (x )＝lg x ＋11－x ，由f (x )<0得0<x ＋11－x<1，∴－1<x <0，应选A. 10．(文)(09·全国Ⅱ)函数y ＝log 22－x2＋x 的图象( )A ．关于原点对称B ．关于直线y ＝－x 对称C ．关于y 轴对称D ．关于直线y ＝x 对称 [答案] A[解析] 首先由2－x 2＋x >0得，－2<x <2，其次令f (x )＝log 22－x 2＋x ，那么f (x )＋f (－x )＝log 22－x2＋x ＋log 22＋x2－x＝log 21＝0.故f (x )为奇函数，其图象关于原点对称，应选A.(理)函数y ＝xsin x，x ∈(－π，0)∪(0，π)的图象可能是以下图象中的( )[答案] C [解析] ∵y ＝xsin x是偶函数，排除A ，当x ＝2时，y ＝2sin2>2，排除D ， 当x ＝π6时，y ＝π6sin π6＝π3>1，排除B ，应选C.二、填空题11．(文)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sinπx (x <0)f (x －1)－1 (x >0)，那么f ⎝⎛⎭⎫－116＋f ⎝⎛⎭⎫116的值为________． [答案] －2[解析] f ⎝⎛⎭⎫116＝f ⎝⎛⎭⎫56－1＝f ⎝⎛⎭⎫－16－2 ＝sin ⎝⎛⎭⎫－π6－2＝－52， f ⎝⎛⎭⎫－116＝sin ⎝⎛⎭⎫－11π6＝sin π6＝12，∴原式＝－2. (理)设f (x )是定义在R 上的奇函数，且y ＝f (x )的图象关于直线x ＝12对称，那么f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)＝________.[答案] 0[解析] ∵f (x )的图象关于直线x ＝12对称，∴f ⎝⎛⎭⎫12＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫12－x ，对任意x ∈R 都成立， ∴f (x )＝f (1－x )，又f (x )为奇函数， ∴f (x )＝－f (－x )＝－f (1＋x ) ＝f (－1－x )＝f (2＋x )，∴周期T ＝2 ∴f (0)＝f (2)＝f (4)＝0 又f (1)与f (0)关于x ＝12对称∴f (1)＝0 ∴f (3)＝f (5)＝0 填0.12．(2021·深圳中学)函数y ＝f (x )是偶函数，y ＝g (x )是奇函数，它们的定义域都是[－π，π]，且它们在x ∈[0，π]上的图象如下图，那么不等式f (x )g (x )<0的解集是________．[答案] ⎝⎛⎭⎫－π3，0∪⎝⎛⎭⎫π3，π [解析] 依据偶函数的图象关于y 轴对称，奇函数的图象关于原点对称，先补全f (x )、g (x )的图象，∵f (x )g (x )<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ f (x )<0g (x )>0，或⎩⎪⎨⎪⎧f (x )>0g (x )<0，观察两函数的图象，其中一个在x 轴上方，一个在x 轴下方的，即满足要求，∴－π3<x <0或π3<x <π.13．(文)假设f (x )是定义在R 上的偶函数，其图象关于直线x ＝2对称，且当x ∈(－2,2)时，f (x )＝－x 2＋1.那么f (－5)＝________.[答案] 0[解析] 由题意知f (－5)＝f (5)＝f (2＋3)＝f (2－3)＝f (－1)＝－(－1)2＋1＝0.(理)函数f (x )是定义域为R 的奇函数，当－1≤x ≤1时，f (x )＝a ，当x ≥1时，f (x )＝(x ＋b )2，那么f (－3)＋f (5)＝________.[答案] 12[解析] ∵f (x )是R 上的奇函数，∴f (0)＝0， ∵－1≤x ≤1时，f (x )＝a ，∴a ＝0. ∴f (1)＝(1＋b )2＝0，∴b ＝－1.∴当x ≤－1时，－x ≥1，f (－x )＝(－x －1)2＝(x ＋1)2， ∵f (x )为奇函数，∴f (x )＝－(x ＋1)2， ∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－(x ＋1)2 x ≤－10 －1≤x ≤1(x －1)2 x ≥1∴f (－3)＋f (5)＝－(－3＋1)2＋(5－1)2＝12.[点评] 求得b ＝－1后，可直接由奇函数的性质得f (－3)＋f (5)＝－f (3)＋f (5)＝－(3－1)2＋(5－1)2＝12.14．(文)(2021·山东枣庄模拟)假设f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫2x1＋x ＋a (a ∈R)是奇函数，那么a ＝________.[答案] －1[解析] ∵f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫2x1＋x ＋a 是奇函数，∴f (－x )＋f (x )＝0恒成立， 即lg ⎝⎛⎭⎫2x 1＋x ＋a ＋lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x 1－x ＋a ＝lg ⎝⎛⎭⎫2x 1＋x ＋a ⎝⎛⎭⎫2xx －1＋a ＝0.∴⎝⎛⎭⎫2x 1＋x ＋a ⎝⎛⎭⎫2xx －1＋a ＝1，∴(a 2＋4a ＋3)x 2－(a 2－1)＝0， ∵上式对定义内的任意x 都成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋4a ＋3＝0a 2－1＝0，∴a ＝－1. [点评] ①可以先将真数通分，再利用f (－x )＝－f (x )恒成立求解，运算过程稍简单些． ②如果利用奇函数定义域的特点考虑，那么问题变得比拟简单．f (x )＝lg (a ＋2)x ＋a 1＋x 为奇函数，显然x ＝－1不在f (x )的定义域内，故x ＝1也不在f (x )的定义域内，令x ＝－aa ＋2＝1，得a ＝－1.故平时解题中要多思少算，培养观察、分析、捕捉信息的能力．(理)(2021·吉林长春质检)函数f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫－1＋a 2＋x 为奇函数，那么使不等式f (x )<－1成立的x 的取值范围是________．[答案]1811<x <2 [解析] ∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＋f (x )＝0恒成立，∴lg ⎝⎛⎭⎫－1＋a 2－x ＋lg ⎝⎛⎭⎫－1＋a2＋x＝lg ⎝⎛⎭⎫－1＋a 2－x ⎝⎛⎭⎫－1＋a2＋x ＝0，∴⎝⎛⎭⎫－1＋a 2－x ⎝⎛⎭⎫－1＋a2＋x ＝1，∵a ≠0，∴4－ax 2－4＝0，∴a ＝4，∴f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫－1＋42＋x ＝lg 2－xx ＋2，由f (x )<－1得，lg 2－x2＋x<－1，∴0<2－x 2＋x <110，由2－x 2＋x >0得，－2<x <2，由2－x 2＋x <110得，x <－2或x >1811，∴1811<x <2.三、解答题15．(2021·杭州外国语学校)f (x )＝x 2＋bx ＋c 为偶函数，曲线y ＝f (x )过点(2,5)，g (x )＝(x ＋a )f (x )．(1)假设曲线y ＝g (x )有斜率为0的切线，求实数a 的取值范围；(2)假设当x ＝－1时函数y ＝g (x )取得极值，且方程g (x )＋b ＝0有三个不同的实数解，求实数b 的取值范围．[解析] (1)由f (x )为偶函数知b ＝0， 又f (2)＝5，得c ＝1，∴f (x )＝x 2＋1. ∴g (x )＝(x ＋a )(x 2＋1)＝x 3＋ax 2＋x ＋a ， 因为曲线y ＝g (x )有斜率为0的切线， 所以g ′(x )＝3x 2＋2ax ＋1＝0有实数解． ∴Δ＝4a 2－12≥0，解得a ≥3或a ≤－ 3. (2)由题意得g ′(－1)＝0，得a ＝2. ∴g (x )＝x 3＋2x 2＋x ＋2，g ′(x )＝3x 2＋4x ＋1＝(3x ＋1)(x ＋1)． 令g ′(x )＝0，得x 1＝－1，x 2＝－13.∵当x ∈(－∞，－1)时，g ′(x )>0，当x ∈(－1，－13)时，g ′(x )<0，当x ∈(－13，＋∞)时，g ′(x )>0，∴g (x )在x ＝－1处取得极大值，在x ＝－13处取得极小值．又∵g (－1)＝2，g (－13)＝5027，且方程g (x )＋b ＝0即g (x )＝－b 有三个不同的实数解，∴5027<－b <2，解得－2<b <－5027.16．(2021·揭阳模拟)设f (x )是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x ，恒有f (x ＋2)＝－f (x )．当x ∈[0,2]时，f (x )＝2x －x 2.(1)求证：f (x )是周期函数； (2)当x ∈[2,4]时，求f (x )的解析式； (3)计算f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2021)．[分析] 由f (x ＋2)＝－f (x )可得f (x ＋4)与f (x )关系，由f (x )为奇函数及在(0,2]上解析式可求f (x )在[－2,0]上的解析式，进而可得f (x )在[2,4]上的解析式．[解析] (1)∵f (x ＋2)＝－f (x )， ∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )． ∴f (x )是周期为4的周期函数． (2)当x ∈[－2,0]时，－x ∈[0,2]，由得 f (－x )＝2(－x )－(－x )2＝－2x －x 2，又f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )＝－2x －x 2， ∴f (x )＝x 2＋2x .又当x ∈[2,4]时，x －4∈[－2,0]， ∴f (x －4)＝(x －4)2＋2(x －4)＝x 2－6x ＋8. 又f (x )是周期为4的周期函数， ∴f (x )＝f (x －4) ＝x 2－6x ＋8.从而求得x ∈[2,4]时， f (x )＝x 2－6x ＋8.(3)f (0)＝0，f (2)＝0，f (1)＝1，f (3)＝－1. 又f (x )是周期为4的周期函数，∴f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)＝f (4)＋f (5)＋f (6)＋f (7)＝…＝f (2021)＋f (2021)＋f (2021)＋f (2021)＝0.∴f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2021)＝0.17．(文)函数f (x )＝1－42a x ＋a (a >0且a ≠1)是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数．(1)求a 的值； (2)求函数f (x )的值域；(3)当x ∈(0,1]时，tf (x )≥2x －2恒成立，求实数t 的取值范围．[解析] (1)∵f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数，即f (－x )＝－f (x )恒成立，∴f (0)＝0.即1－42×a 0＋a＝0，解得a ＝2.(2)∵y ＝2x －12x ＋1，∴2x ＝1＋y1－y ，由2x >0知1＋y1－y>0，∴－1<y <1，即f (x )的值域为(－1,1)． (3)不等式tf (x )≥2x－2即为t ·2x －t 2x ＋1≥2x－2.即：(2x )2－(t ＋1)·2x ＋t －2≤0.设2x ＝u ， ∵x ∈(0,1]，∴u ∈(1,2]．∵u ∈(1,2]时u 2－(t ＋1)·u ＋t －2≤0恒成立．∴⎩⎪⎨⎪⎧12－(t ＋1)×1＋t －2≤022－(t ＋1)×2＋t －2≤0，解得t ≥0. (理)设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a 、b 、c 为实数，且a ≠0)，F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x ) x >0－f (x ) x <0.(1)假设f (－1)＝0，曲线y ＝f (x )通过点(0,2a ＋3)，且在点(－1，f (－1))处的切线垂直于y 轴，求F (x )的表达式；(2)在(1)的条件下，当x ∈[－1,1]时，g (x )＝kx －f (x )是单调函数，求实数k 的取值范围； (3)设mn <0，m ＋n >0，a >0，且f (x )为偶函数，证明F (m )＋F (n )>0. [解析] (1)因为f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，所以f ′(x )＝2ax ＋b .又曲线y ＝f (x )在点(－1，f (－1))处的切线垂直于y 轴，故f ′(－1)＝0， 即－2a ＋b ＝0，因此b ＝2a .① 因为f (－1)＝0，所以b ＝a ＋c .② 又因为曲线y ＝f (x )通过点(0,2a ＋3)， 所以c ＝2a ＋3.③解由①，②，③组成的方程组得，a ＝－3，b ＝－6，c ＝－3. 从而f (x )＝－3x 2－6x －3.所以F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3(x ＋1)2 x >03(x ＋1)2 x <0.(2)由(1)知f (x )＝－3x 2－6x －3， 所以g (x )＝kx －f (x )＝3x 2＋(k ＋6)x ＋3. 由g (x )在[－1,1]上是单调函数知： －k ＋66≤－1或－k ＋66≥1，得k ≤－12或k ≥0. (3)因为f (x )是偶函数，可知b ＝0. 因此f (x )＝ax 2＋c . 又因为mn <0，m ＋n >0， 可知m ，n 异号． 假设m >0，那么n <0.那么F (m )＋F (n )＝f (m )－f (n )＝am 2＋c －an 2－c ＝a (m ＋n )(m －n )>0. 假设m <0，那么n >0. 同理可得F (m )＋F (n )>0. 综上可知F (m )＋F (n )>0.。
高考数学总复习考点知识讲解与提升练习8 函数的奇偶性、周期性
高考数学总复习考点知识讲解与提升练习专题8 函数的奇偶性、周期性考点知识1.了解函数奇偶性的含义，了解函数的周期性及其几何意义.2.会依据函数的性质进行简单的应用．知识梳理1．函数的奇偶性2.周期性(1)周期函数：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且f(x＋T)＝f(x)，那么函数y＝f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．常用结论1．奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性．2．函数周期性常用结论对f(x)定义域内任一自变量的值x：(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)．(2)若f(x＋a)＝1f(x)，则T＝2a(a>0)．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若函数f(x)为奇函数，则f(0)＝0.(×)(2)不存在既是奇函数，又是偶函数的函数．(×)(3)对于函数y＝f(x)，若存在x，使f(－x)＝－f(x)，则函数y＝f(x)一定是奇函数．(×)(4)若T是函数f(x)的一个周期，则kT(k∈N*)也是函数的一个周期．(√)教材改编题1．若偶函数f(x)在区间[－2，－1]上单调递减，则函数f(x)在区间[1,2]上() A．单调递增，且有最小值f(1)B．单调递增，且有最大值f(1)C．单调递减，且有最小值f(2)D．单调递减，且有最大值f(2)答案A解析偶函数f(x)在区间[－2，－1]上单调递减，则由偶函数的图象关于y轴对称，则有f(x)在[1,2]上单调递增，即有最小值为f(1)，最大值为f(2)．对照选项，A正确．2．已知函数y＝f(x)是奇函数，且当x>0时，有f(x)＝x＋2x，则f(－2)＝________. 答案－6解析因为函数y＝f(x)是奇函数，且当x>0时，有f(x)＝x＋2x，所以f(－2)＝－f(2)＝－(2＋4)＝－6.3．已知函数f(x)是定义在R上的周期为4的奇函数，若f(1)＝1，则f(2023)＝________. 答案－1解析因为函数f(x)是定义在R上的周期为4的奇函数，所以f(2023)＝f(506×4－1)＝f(－1)＝－f(1)＝－1.题型一函数奇偶性的判断例1(多选)下列命题中正确的是()A．奇函数的图象一定过坐标原点B．函数y＝x sin x是偶函数C．函数y＝|x＋1|－|x－1|是奇函数D．函数y＝x2－xx－1是奇函数答案BC解析对于A，只有奇函数在x＝0处有定义时，函数的图象过原点，所以A不正确；对于B，因为函数y＝x sin x的定义域为R且f(－x)＝(－x)sin(－x)＝f(x)，所以该函数为偶函数，所以B正确；对于C，函数y＝|x＋1|－|x－1|的定义域为R关于原点对称，且满足f(－x)＝|－x＋1|－|－x－1|＝－(|x＋1|－|x－1|)＝－f(x)，即f(－x)＝－f(x)，所以函数为奇函数，所以C正确；对于D，函数y＝x2－xx－1满足x－1≠0，即x≠1，所以函数的定义域不关于原点对称，所以该函数为非奇非偶函数，所以D不正确．思维升华判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件(1)定义域关于原点对称，否则即为非奇非偶函数．(2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立．跟踪训练1已知函数f(x)＝sin x，g(x)＝e x＋e－x，则下列结论正确的是()A．f(x)g(x)是偶函数B．|f(x)|g(x)是奇函数C．f(x)|g(x)|是奇函数D．|f(x)g(x)|是奇函数答案C解析选项A，f(x)g(x)＝(e x＋e－x)sin x，f(－x)g(－x)＝(e－x＋e x)sin(－x)＝－(e x＋e－x)sin x＝－f(x)g(x)，是奇函数，判断错误；选项B ，|f (x )|g (x )＝|sin x |(e x ＋e －x )，|f (－x )|g (－x )＝|sin(－x )|(e －x ＋e x )＝|sin x |(e x ＋e －x )＝|f (x )|g (x )，是偶函数，判断错误；选项C ，f (x )|g (x )|＝|e x ＋e －x |sin x ，f (－x )|g (－x )|＝|e －x ＋e x |sin(－x )＝－|e x ＋e －x |sin x ＝－f (x )|g (x )|，是奇函数，判断正确；选项D ，|f (x )g (x )|＝|(e x ＋e －x )sin x |，|f (－x )g (－x )|＝|(e －x ＋e x )sin(－x )| ＝|(e x ＋e －x )sin x |＝|f (x )g (x )|，是偶函数，判断错误．题型二函数奇偶性的应用命题点1利用奇偶性求值(解析式)例2(1)(2023·福州模拟)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧ x 3＋1，x >0，ax 3＋b ，x <0为偶函数，则2a ＋b 等于()A ．3B.32C ．－12D ．－32答案B解析由已知得，当x >0时，－x <0，f (－x )＝－ax 3＋b ，∵f (x )为偶函数，∴f (－x )＝f (x )，即x 3＋1＝－ax 3＋b ，∴a ＝－1，b ＝1，∴2a ＋b ＝2－1＋1＝32. (2)(2023·吕梁模拟)已知函数f (x )为定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )＝2x ＋x －1，则当x <0时，f (x )等于()A ．2－x －x －1B ．2－x ＋x ＋1C ．－2－x －x －1D ．－2－x ＋x ＋1答案D解析当x <0时，－x >0，因为f (x )是奇函数，所以f (x )＝－f (－x )＝－2－x ＋x ＋1.命题点2利用奇偶性解不等式例3函数f (x )是定义域为R 的奇函数，f (x )在(0，＋∞)上单调递增，且f (2)＝0.则不等式f (x )－2f (－x )x>0的解集为() A ．(－2,2)B ．(－∞，0)∪(0,2)C ．(2，＋∞)D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)答案D解析由于f (x )是定义域为R 的奇函数，所以f (0)＝0，又f (x )在(0，＋∞)上单调递增，且f (2)＝0，所以f (x )的大致图象如图所示．由f (－x )＝－f (x )可得，f (x )－2f (－x )x ＝f (x )＋2f (x )x ＝3f (x )x>0， 由于x 在分母位置，所以x ≠0，当x <0时，只需f (x )<0，由图象可知x <－2；当x >0时，只需f (x )>0，由图象可知x >2；综上，不等式的解集为(－∞，－2)∪(2，＋∞)．思维升华(1)利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值．(2)利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象，结合几何直观求解相关问题．跟踪训练2(1)已知函数f (x )＝sin x ＋x 3＋1x＋3，若f (a )＝1，则f (－a )等于() A ．1B ．3C ．4D ．5答案D解析根据题意f (a )＝sin a ＋a 3＋1a＋3＝1， 即sin a ＋a 3＋1a＝－2， 所以f (－a )＝sin(－a )＋(－a )3＋1(－a )＋3 ＝－⎝⎛⎭⎪⎫sin a ＋a 3＋1a ＋3＝2＋3＝5. (2)已知函数f (x )＝log 2(|x |＋1)，若f (log 2x )<f (2)，则实数x 的取值范围是()A ．(1,4) B.⎝⎛⎭⎪⎫0，14∪(4，＋∞) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1∪(1,4) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，4 答案D解析依题意，函数f (x )是偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增，∴f (x )在(－∞，0)上单调递减，则f (log 2x )<f (2)等价于|log 2x |<2，∴－2<log 2x <2，解得14<x <4. (3)(2021·新高考全国Ⅰ)已知函数f (x )＝x 3(a ·2x －2－x )是偶函数，则a ＝________. 答案1解析方法一(定义法)因为f (x )＝x 3(a ·2x －2－x )的定义域为R ，且是偶函数，所以f (－x )＝f (x )对任意的x ∈R 恒成立，所以(－x )3(a ·2－x －2x )＝x 3(a ·2x －2－x )对任意的x ∈R 恒成立，所以x 3(a －1)(2x ＋2－x )＝0对任意的x ∈R 恒成立，所以a ＝1.方法二(取特殊值检验法)因为f (x )＝x 3(a ·2x －2－x )的定义域为R ，且是偶函数，所以f (－1)＝f (1)，所以－⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－2＝2a －12， 解得a ＝1，经检验，f (x )＝x 3(2x －2－x )为偶函数，所以a ＝1.方法三(转化法)由题意知f (x )＝x 3(a ·2x －2－x )的定义域为R ，且是偶函数．设g (x )＝x 3，h (x )＝a ·2x －2－x ，因为g (x )＝x 3为奇函数，所以h (x )＝a ·2x －2－x 为奇函数，所以h (0)＝a ·20－2－0＝0，解得a ＝1，经检验，f (x )＝x 3(2x －2－x )为偶函数，所以a ＝1.题型三函数的周期性例4(1)若定义在R 上的偶函数f (x )满足f (2－x )＝－f (x )，且当1≤x ≤2时，f (x )＝x－1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72的值等于()A.52B.32C.12D ．－12答案D解析∵函数f (x )是偶函数，∴f (－x )＝f (x )，又∵f (2－x )＝－f (x )，∴f (2－x )＝－f (－x )，∴f (x ＋2)＝－f (x )，∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝－[－f (x )]＝f (x )，∴函数f (x )的周期为4，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72－4＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝－12. (2)设f (x )是定义在R 上周期为4的偶函数，且当x ∈[0,2]时，f (x )＝log 2(x ＋1)，则函数f (x )在[2,4]上的解析式为____________________．答案f (x )＝log 2(5－x )，x ∈[2,4]解析根据题意，设x ∈[2,4]，则x －4∈[－2,0]，则有4－x ∈[0,2]，当x ∈[0,2]时，f (x )＝log 2(x ＋1)，则f (4－x )＝log 2[(4－x )＋1]＝log 2(5－x )，又f (x )为周期为4的偶函数，所以f (x )＝f (x －4)＝f (4－x )＝log 2(5－x )，x ∈[2,4]，则有f (x )＝log 2(5－x )，x ∈[2,4]．思维升华(1)求解与函数的周期有关的问题，应根据题目特征及周期定义，求出函数的周期．(2)利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到已知区间上，进而解决问题．跟踪训练3(多选)已知定义在R上的偶函数f(x)，其周期为4，当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－2，则()A．f(2023)＝0B．f(x)的值域为[－1,2]C．f(x)在[4,6]上单调递减D．f(x)在[－6,6]上有8个零点答案AB解析f(2023)＝f(506×4－1)＝f(－1)＝f(1)＝0，所以A正确；当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－2单调递增，所以当x∈[0,2]时，函数的值域为[－1,2]，由于函数是偶函数，所以函数的值域为[－1,2]，所以B正确；当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－2单调递增，又函数的周期是4，所以f(x)在[4,6]上单调递增，所以C错误；令f(x)＝2x－2＝0，所以x＝1，所以f(1)＝f(－1)＝0，由于函数的周期为4，所以f(5)＝f(－5)＝0，f(3)＝f(－3)＝0，所以f(x)在[－6,6]上有6个零点，所以D错误．课时精练1．(多选)下列函数中，既是奇函数又在区间(0,1)上单调递增的是()A．y＝2x3＋4x B．y＝x＋sin(－x)C．y＝log2|x|D．y＝2x－2－x答案ABD解析对于A，定义域为R，且f(－x)＝－2x3－4x＝－f(x)，故为奇函数，又y′＝6x2＋4>0，所以y＝2x3＋4x在(0,1)上单调递增，故A满足题意；对于B，定义域为R，f(－x)＝－x＋sin x＝－f(x)，故为奇函数，又y′＝1－cos x≥0，且y′不恒为0，所以y＝x＋sin(－x)在(0,1)上单调递增，故B满足题意；对于C，定义域为{x|x≠0}，f(－x)＝log2|x|＝f(x)，故为偶函数，故C不满足题意；对于D，定义域为R，f(－x)＝2－x－2x＝－f(x)，为奇函数，又y′＝2x ln2＋2－x ln2>0，所以y＝2x－2－x在(0,1)上单调递增，故D满足题意．2．(2023·聊城模拟)已知函数f(x)的定义域为R，则“f(x)是偶函数”是“|f(x)|是偶函数”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案A解析偶函数的图象关于y轴对称，奇函数的图象关于原点对称，根据这一特征，若f(x)是偶函数，则|f(x)|是偶函数，若f(x)是奇函数，|f(x)|也是偶函数，所以“f(x)是偶函数”是“|f(x)|是偶函数”的充分不必要条件．3．(2022·河南名校联盟模拟)若函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0<x <1时，f (x )＝4x，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋f (2)等于()A ．0B ．2C ．4D ．－2 答案D解析∵f (x )是定义在R 上的奇函数， ∴f (0)＝0，又f (x )在R 上的周期为2，∴f (2)＝f (0)＝0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝124-＝－2，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋f (2)＝－2.4．(2022·亳州模拟)已知函数f (x )＝x 2＋log 2|x |，a ＝f (2－0.2)，b ＝f (lg π)，c ＝f (log 0.26)，则a ，b ，c 的大小关系正确的是() A ．a <b <c B ．b <c <a C ．b <a <c D ．c <b <a 答案C解析2－0.2<20＝1，lg π>0，log 0.26<0， 因为f (－x )＝(－x )2＋log 2|－x |＝f (x )， 所以f (x )为偶函数，所以只需判断2－0.2，lg π，－log 0.26的大小即可， －log 0.26＝log 0.216>1,2－1<2－0.2<20＝1,0<lg π<lg 10＝12，所以－log 0.26>1>2－0.2>lg π>0，当x >0时，y ＝x 2，y ＝log 2x 都单调递增，所以f (x )＝x 2＋log 2|x |在(0，＋∞)上单调递增，所以c ＝f (log 0.26)＝f (－log 0.26)>a ＝f (2－0.2)>b ＝f (lg π)．5．(2021·全国乙卷)设函数f (x )＝1－x1＋x ，则下列函数中为奇函数的是()A ．f (x －1)－1B ．f (x －1)＋1C ．f (x ＋1)－1D ．f (x ＋1)＋1 答案B 解析f (x )＝1－x 1＋x ＝2－(x ＋1)1＋x ＝21＋x－1，为保证函数变换之后为奇函数，需将函数y ＝f (x )的图象向右平移一个单位长度，再向上平移一个单位长度，得到的图象对应的函数为y ＝f (x －1)＋1.6．(多选)f (x )是定义在R 上的偶函数，对∀x ∈R ，均有f (x ＋2)＝－f (x )，当x ∈[0,1]时，f (x )＝log 2(2－x )，则下列结论正确的是() A ．函数f (x )的一个周期为4 B ．f (2022)＝1C ．当x ∈[2,3]时，f (x )＝－log 2(4－x )D ．函数f (x )在[0,2021]内有1010个零点 答案AC解析∵f (x )是定义在R 上的偶函数，对∀x ∈R ，均有f (x ＋2)＝－f (x )， ∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )， ∴函数的周期为4，故A 正确；f (2022)＝f (4×505＋2)＝f (2)＝－f (0)＝－1，故B 错误； 当x ∈[2,3]时，x －2∈[0,1]，则f (x )＝－f (x －2)＝－log 2[2－(x －2)] ＝－log 2(4－x )，故C 正确；易知f (1)＝f (3)＝f (5)＝…＝f (2019)＝f (2021)＝0， 于是函数f (x )在[0,2021]内有1011个零点，故D 错误． 7．写出一个定义域为R ，周期为π的偶函数f (x )＝________. 答案cos2x (答案不唯一)解析y ＝cos2x 满足定义域为R ，最小正周期T ＝2π2＝π，且为偶函数，符合要求． 8．若函数f (x )＝e x －e －x ，则不等式f (ln x )＋f (ln x －1)>0的解集是________． 答案(e ，＋∞)解析因为f (x )＝e x －e －x ，定义域为R ，且f (－x )＝－(e x －e －x )＝－f (x )，故其为奇函数， 又y ＝e x ，y ＝－e －x 均为增函数，故f (x )为R 上的增函数，则原不等式等价于f (ln x )>f (1－ln x )，也即ln x >1－ln x ，整理得ln x >12，解得x >e ，故不等式的解集为(e ，＋∞)．9．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧－x 2＋2x ，x >0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x <0是奇函数．(1)求实数m 的值；(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围． 解(1)设x <0，则－x >0，所以f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x . 又f (x )为奇函数， 所以f (－x )＝－f (x )，于是x <0时，f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ， 所以m ＝2.(2)要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增，结合f (x )的图象(如图所示)知⎩⎨⎧a －2>－1，a －2≤1，所以1<a ≤3，故实数a 的取值范围是(1,3]．10．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x ，恒有f (x ＋2)＝－f (x )．当x ∈[0,2]时，f (x )＝2x －x 2.(1)求证：f (x )是周期函数；(2)当x ∈[2,4]时，求f (x )的解析式； (3)计算f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2023)． (1)证明∵f (x ＋2)＝－f (x )， ∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )． ∴f (x )是周期为4的周期函数． (2)解当x ∈[－2,0]时，－x ∈[0,2]， 由已知得f (－x )＝2(－x )－(－x )2＝－2x －x 2. 又f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )＝－2x －x 2. ∴f (x )＝x 2＋2x .又当x ∈[2,4]时，x －4∈[－2,0]， ∴f (x －4)＝(x －4)2＋2(x －4)．又f(x)是周期为4的周期函数，∴f(x)＝f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)＝x2－6x＋8.从而求得x∈[2,4]时，f(x)＝x2－6x＋8.(3)解f(0)＝0, f(1)＝1，f(2)＝0，f(3)＝－1.又f(x)是周期为4的周期函数，∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7)＝…＝f(2020)＋f(2021)＋f(2022)＋f(2023)＝0.∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2023)＝0.11．(2023·廊坊模拟)已知定义域为R的函数f(x)满足：∀x，y∈R，f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)，且f(1)＝1，则下列结论错误的是()A．f(0)＝2B．f(x)为偶函数C．f(x)为奇函数D．f(2)＝－1答案C解析因为∀x，y∈R，f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)，取x＝1，y＝0可得f(1)＋f(1)＝f(1)f(0)，又f(1)＝1，所以f(0)＝2，A对；取x＝0，y＝x可得f(x)＋f(－x)＝f(0)f(x)，因为f(0)＝2，所以f(－x)＝f(x)，所以f(x)为偶函数，C错，B对；取x＝1，y＝1可得f(2)＋f(0)＝f(1)f(1)，又f (1)＝1，f (0)＝2， 所以f (2)＝－1，D 对．12．已知定义在R 上的函数y ＝f (x )满足：①对于任意的x ∈R ，都有f (x ＋1)＝1f (x )；②函数y ＝f (x )是偶函数；③当x ∈(0,1]时，f (x )＝x ＋e x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫214，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫223从小到大的排列是________． 答案f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32<f⎝ ⎛⎭⎪⎫223<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫214 解析由题意知f (x ＋1)＝1f (x )，则f (x ＋2)＝1f (x ＋1)＝f (x )，故函数y ＝f (x )的周期为2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫223＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫8－23＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫214＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫6－34＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34，∵当x ∈(0,1]时，f (x )＝x ＋e x 单调递增， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<f⎝ ⎛⎭⎪⎫23<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34， 故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫223<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫214.13．(2022·全国乙卷)若f (x )＝ln ⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋11－x ＋b 是奇函数，则a ＝______，b ＝______. 答案－12ln2解析f (x )＝ln ⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋11－x ＋b ＝ln ⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋11－x ＋lne b＝ln ⎪⎪⎪⎪⎪⎪(a ＋1)e b －a e bx 1－x . ∵f (x )为奇函数， ∴f (－x )＋f (x )＝ln ⎪⎪⎪⎪⎪⎪(a ＋1)2e 2b －a 2e 2b x 21－x 2＝0， ∴||(a ＋1)2e 2b －a 2e 2b x 2＝|1－x 2|.当(a ＋1)2e 2b －a 2e 2b x 2＝1－x 2时，[(a ＋1)2e 2b －1]＋(1－a 2e 2b )x 2＝0对任意的x 恒成立，则⎩⎨⎧(a ＋1)2e 2b－1＝0，1－a 2e 2b＝0，解得⎩⎨⎧a ＝－12，b ＝ln2.当(a ＋1)2e 2b －a 2e 2b x 2＝x 2－1时，[(a ＋1)2e 2b ＋1]－(a 2e 2b ＋1)x 2＝0对任意的x 恒成立，则⎩⎨⎧(a ＋1)2e 2b＋1＝0，a 2e 2b＋1＝0，无解．综上，a ＝－12，b ＝ln2.14．已知函数f (x )＝x 3＋(x ＋1)2x 2＋1在区间[－3,3]上的最大值为M ，最小值为N ，则M ＋N的值为________． 答案2解析f(x)＝x3＋x2＋2x＋1x2＋1＝x(x2＋2)＋x2＋1x2＋1＝x(x2＋2)x2＋1＋1，令g(x)＝f(x)－1＝x(x2＋2) x2＋1，则g(－x)＝－x(x2＋2)x2＋1＝－g(x)，∴函数g(x)在[－3,3]上为奇函数，则g(x)max＋g(x)min＝0，即M－1＋N－1＝0，∴M＋N＝2.。
高中数学必修第一册函数的奇偶性知识题型总结
函数的奇偶性知识提要》》》 1. 奇、偶函数的概念【注意】（1）函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件.一个函数只有定义域关于原点对称，这个函数才有可能是奇函数（或偶函数），如果定义域不关于原点对称，一定不具有奇偶性。
反之，如果一个函数具有奇偶性，那么它的定义域一定关于原点对称.。
（2）是为奇函数的既不充分也不必要条件，但如果奇函数在处有定义，必有 （3）偶函数不一定与y 轴相交（4）函数既是奇函数也是偶函数; 常函数为偶函数.奇偶性定义图像特征定义域特点表达式的常见变形偶函数设函数定义域为D,如果,都有且，那么函数是偶函数图像关于 轴对称定义域关于原点对称；奇函数设函数定义域为D,如果,都有且，那么函数是奇函数图像关于 原点对称定义域关于原点对称；0)0(=f )(x f )(x f 0=x 0)0(=f 0)(=x f )0()(≠=c c x f )(x f D x ∈∀D x ∈-)()(x f x f =-)(x f y |)(|)()(x f x f x f =-=)(x f D x ∈∀D x ∈-)()(x f x f -=-)(x f 0)()(=-+x f x f2. 奇、偶函数的性质（1）若奇函数在处有定义，即有意义，则；（2）奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于轴对称，反之也成立．（3）奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反.（4）在公共定义域内：①奇＋奇＝奇；②偶＋偶＝偶；③奇×奇＝偶；④偶×偶＝偶；⑤奇×偶＝奇．方法提炼》》》》1.函数奇偶性的判断方法方法解读适合题型定义法确定定义域，判断是否关于原点对称。
若函数的定义域不是关于原点对称的区间，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的区间，再判断与的关系函数解析式较简单，抽象函数等图像法奇(偶)函数的充要条件是它的图象关于原点(或轴)对称．函数图像容易确定、分段函数等性质法在公共定义域内①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数；②两个偶函数的和、积都是偶函数；③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数.组合函数、复合函数温馨提示（1）判断函数的奇偶性应树立“定义域优先的原则”；（2）对于较复杂的函数解析式，可先对其进行化简，在进行判断.)(xf0=x)0(f0)0(=fy)(xf)(xf-y2.函数奇偶性的应用技巧技巧解读求函数解析式中参数的值利用待定系数法求解，根据得到待求参数的恒等式，由系数的对等性得到系数的值或者方程（组），进而得出参数的值.求函数解析式抓住奇偶性，讨论函数在各个区间上的解析式，或充分利用奇偶性得出关于的方程，从而求得的解析式.巧妙构造造奇偶函数求函数值若题设条件给出的函数不具备奇偶性，但通过变形转化为一个新的函数，进而能够确定奇偶性，便可利用此性质求解复杂式子的值，充分体现转化思想和构造技巧的应用.温馨提示（1）利用奇函数的性质求解函数的解析式需注意当时的情况，不能丢掉.（2）利用奇函数的性质求值可利用在定义域R上为奇函数，得到，或者是等特殊值，从而求得参数值.常考题型：题型一、函数奇偶性概念理解题型二、函数奇偶性的判定题型三、函数奇偶性求函数值题型四、函数奇偶性求参数题型五、函数奇偶性与单调性结合——比较大小题型六、函数奇偶性与单调性结合——解不等式题型七、利用函数奇偶性求对称区间上的函数解析式题型八、利用奇偶性构造方程组求解析式题型九、与函数奇偶性、单调性相关的综合解答题)()(=-±xfxf)(xf)(xf=x)(xf)0(=f0)1()1(=+-ff题型一、函数奇偶性概念理解 下列命题：①偶函数的图像一定与轴相交；②奇函数的图像一定通过原点； ③既是奇函数又是偶函数的函数只能是； ④偶函数的图像关于轴对称．⑤奇函数的图像关于原点对称 其中正确的是_______________ 题型二、函数奇偶性的判定 【例1】判断下列函数的奇偶性(1) (2)(3) (4)(5)；(6)(7) (8)；(9)【练习1】(1) ; (2)(3)； (4) (5)(6)y ()()0R f x x =∈y 4)(x x f =5)(x x f =xx x f 1)(+=21)(x x f =122)(2++=x x x x f 232)(x x x f -=2211)(x x x f -+-=()2f x x =-⎩⎨⎧>+-<+=00)(22x x x x x x x f ，，2432)(xx x f +=y =()1xf x x =-()1,0,1,0.x x f x x x +>⎧=⎨-<⎩2532)(x x x f +=4212)(xx x f +=【例2】(1)（多选）下列函数是奇函数的是 ( )A ．，（）B ．C ．D ． (2)下列函数是奇函数，且在定义域内单调递增是 ( ) A ．B ．C ．D ．(3)（多选）下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的函数是 ( ) A ． B ． C ． D ．【练习2】(1)（多选）下列函数中，既是偶函数又在区间单调递增的是 ( )A ． B. C ． D ． (2)（多选）下列函数是偶函数，且在上单调递增的是 （ ）A ．． C ． D ．【例3】设是R 上的任意函数，则下列叙述正确的是 （ ）A.是奇函数B.C.是偶函数D.是偶函数【练习3】(1)(2014课标Ⅰ,理3)设函数的定义域都为R,且是奇函数,是偶函数,则下列结论中正确的是 ( )A )是偶函数 B.是奇函数 C.是奇函数 D.是奇函数(2)已知奇函数与偶函数的定义域、值域均为R ，则 ( ) A ．是奇函数 B ．是奇函数 C ．是奇函数D ．是偶函数题型y x =[0,1]x ∈23y x =3y x=||y x x =y =3y x x =-1y x=-y =(0,)+∞y x =||1y x =+2y x =21y x =-(0,)+∞22y x =+2y x =-1y x x=+1||-=x y ()0,x ∈+∞()f x =()f x x =()2f x x x =+()2(1)f x x =+)(x f )()(x f x f -|)(|)(x f x f -)()(x f x f --)()(x f x f -+)()(x g x f ，)(x f )(x g )()(x g x f )(|)(|x g x f |)(|)(x g x f |)()(|x g x f ()f x ()g x ()()f x g x +()()f x g x ()()f x g x ()f g x ⎡⎤⎣⎦题型三、函数奇偶性求函数值【例1】已知是上的奇函数，且时，，则. 【例2】若是定义在上的奇函数，当时，，则.【例3】已知，且，则 【例4】已知函数是上的偶函数，若，则_________ 【例5】已知为奇函数，则___________ 【练习】1.已知函数是定义域为的奇函数，当时，，则_____2.已知为定义在R 上的奇函数，当时，，则____________3.已知，（是常数），且，则的值为.4.已知是定义在上的奇函数，若 ，则___________ 题型四、函数奇偶性求参数 【例题剖析】1.已知奇函数的定义域为，则实数__________.2.已知函数是偶函数，则__________.3.已知是定义在上的偶函数，那么的值是______4.设是定义在上的奇函数，则_______5.已知函数是偶函数，则______.6.若函数奇函数，则＝_________7.已知函数是奇函数，且，则_________ )(x f R 0>x 142)(2++-=x x x f _____)1(=-f ()f x R 0x >()258f x x x=+-()()05f f +-=2)(35++-=bx ax x x f 17)5(=-f ______)5(=f ()2y xf x =+R ()32f -=()3f =(1)1y f x =++()()02f f +=()f x R 0x >()231=-+f x x x ()3f -=)(x f 0<x 12)(2+-=x x x f =+)0()2(f f 5)(35+++=cx bx ax x f c b a ，，9)5(=f )5-(f ___3)2(-+=x f y R 4)1(=f =)3(f ()y f x =()2,1a a -a =()()21f x x a =++a =bx ax x f +=2)(]21[a a ，-b a +()()322f x x a x x =---+2,3b b b ⎡⎤---⎣⎦()f b =()()322x xx a f x -=⋅-=a ))(12()(a x x xx f -+=a 1)(2++=x b ax x f ()225f =12f ⎛⎫= ⎪⎝⎭8.已知函数的图象关于原点中心对称，则23)1()(x a x x f ++=______=a【练习】 1.已知定义在上的函数是奇函数，则实数的值为______． 2.若为偶函数，则实数3.已知函数是偶函数，定义域为，则. 5.已知定义在上的函数满足，且当时，，，则________6.若为奇函数，则__________7.若函数是定义在上的偶函数，则_________题型五、函数奇偶性与单调性结合——比较大小 【例题剖析】1.已知偶函数在上单调递减，则下列结论正确的是( )A ．B ．C ．D ．2.已知是奇函数，且在区间上单调递增，则，，的大小关系是( )A ．B ．C ．D ．【练习】1.设函数的定义域为R ，对于任意实数x 总有，当时，单调递增，则，，的大小关系是( )22,a a -⎡⎤⎣⎦()y f x =a )4)(()(-+=x a x x f ______=a b a bx ax x f +++=3)(2]21[a a ，-____)0(=f R ()f x ()()0f x f x -+=0x ≤()22xaf x bx =-+()10f =()3f =()()()211f x x a x a =+++-=a ()21f x x ax =++(,22)b b --2b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭()f x (],0∞-()()()152f f f ->>()()()215f f f >->()()()125f f f ->>()()()521f f f >>-()f x [0,)+∞()0.5f -()1f -()0f ()()()0.501f f f -<<-()()()10.50f f f -<-<()()()00.51f f f <-<-()()()100.5f f f -<<-()f x ()()f x f x -=[)0,x ∈+∞()f x ()2f -()πf ()3f -A ． B ． C ．D ．()()()π32f f f >->-()()()2π3f f f ->->()()()3π2f f f -<-<()()()2π3f f f -<-<2.若偶函数在上单调递增，则，，的大小关系是( )A ．B ．C ．D ．3.若奇函数在上是减函数，则下列关系式中成立的是( )A ．B ．C ．D ．题型六、函数奇偶性与单调性结合——解不等式【例1】(1)设函数y =f (x )为上的偶函数，且对任意的均，则满足的实数的范围是____________(2)已知定义在上的偶函数在上为减函数，且，则实数的取值范围是__________(3)已知定义在上的奇函数在区间上是减函数，若，则实数的取值范围为__________．(4)定义在上的奇函数，当时，单调递增，则不等式的解集是__________(5)已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则使得成立的的取值范围是__________]2,2[-)(x f ]2,0[)()1(m f m f <-m ()f x (0,)+∞(a f =π2b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭23c f ⎛⎫= ⎪⎝⎭b ac <<b c a <<a c b <<c a b <<()y f x =(),0-∞523634f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭352463f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭532643f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭532643f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭R (]()1212,,0x x x x ∞∈-≠()()()21210f x f x x x ⎡⎤--<⎣⎦()()121f x f x +<-x [4,4]-()f x [0,4](1)(2)f x f +>-x R ()f x [0,)x ∈+∞()f x ()()2110f x f ++≥()f x R 0x ≥()221f x x x =-+()()21f f x ->+x (6)已知函数是定义域为的奇函数，当时，.若，则的取值范围为__________()f x R 0x ≥()()2f x x x =+()()3370f m f m ++->m【练习1】(1)已知是定义在上的偶函数，且在区间单调递减，则不等式的解集为__________(2)定义在上的奇函数是减函数，若，实数的取值范围为__________.(3)奇函数在上单调递增，且，则满足的x的取值范围__________(4)已知函数，且，则实数的取值范围是_________(5)已知函数是定义在上的偶函数；且在上单调递增，若对于任意的，不等式恒成立，则的取值范围________________【例2】(1)已知是奇函数，且在内是减函数，又，则的解集______(2)定义在上的奇函数在上单调递减，且，则满足的x 的取值范围是________【练习2】(1)已知函数是偶函数，若在上单调递增，，则的解集为______(2)定义在上的奇函数满足对任意的，有，且，则不等式的解集为____________(3)定义在上的奇函数在上单调递增，且，则不等式的解集为____________()f x R [)0,+∞()()121f x f x ->+)1,1(-)(x f 0)31()1(<-+-a f a f a()f x [)0,+∞()23f =()313f x -≤-≤()()4f x x x =+()()2230f a f a +-<a ()y f x =R (],0-∞x ∈R ()()21f ax f x >+a ()f x (0,)+∞(1)0f =()0x f x ⋅<R ()f x (),0-∞()30f =()()10x f x +≥()f x ()0,∞+()10f =()0f x x<R ()f x ()()1212,0,x x x x ∈+∞≠()()12120f x f x x x ->-()20f =()()10x f x -≤R ()f x ()0,∞+103f ⎛⎫= ⎪⎝⎭()202f x x ≤-题型七、利用函数奇偶性求对称区间上的函数解析式 【例1】(1)已知函数是定义在上的奇函数，当时，．则当时，的解析式为________(2)函数是定义在上的奇函数，已知当时，，求函数的解析式________(3)已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则函数在上的表达式为________．(4)已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则当x ∈(0,+∞)时，_____________【练习1】(1)已知是定义在上的奇函数，当时，，求时，函数的解析式___________(2)已知函数是定义在上的奇函数，当时，，求的解析式.(3)已知函数f （x ）是定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，f (x )=x (x ―4)，则函数f （x ）解析式为__________(4)是定义在R 上的奇函数，当时，，则的表达式为_____题型八、利用奇偶性构造方程组求解析式【例1】是奇函数，是偶函数，且，求，的解析式．【练习1】已知函数为奇函数，函数为偶函数，，则_______()f x R 0x ≥()()1f x x x =+0x <()f x ()f x R 0x >2()23f x x x =--()f x ()f x R 0x ≥()()24f x x x =+()f x R ()f x (),∞∞-+(),0x ∞∈-()2f x x x =-()f x =()y f x =R 0x ≥2()2f x x x =-+0x <()f x ()f x R 0x <()22f x x x=-()f x ()f x 0x ≥()22f x x x =-+()f x ()f x ()g x ()()11f xg x x +=-()f x ()g x ()f x ()g x 2()()1f x g x x x +=-+(2)f =题型九、与函数奇偶性、单调性相关的综合解答题 【例1】已知函数，且其定义域为． (1)判定函数的奇偶性；(2)利用单调性的定义证明：在上单调递减；(3)解不等式．【例2】已知函数是定义在上的奇函数，且. (1)求函数的解析式；(2)判断函数在上的单调性，并用定义证明；(3)解不等式.【例3】已知函数f(x)=x 2―1x. (1)判断函数f (x )的奇偶性，并证明；(2)证明f (x )在区间(0,+∞)上是增函数；(3)求函数f (x )在区间[―4,―2]上的最大值和最小值.【例4】已知函数是上的偶函数，当，，(1)求函数的解析式；(2)若，求实数的取值范围.2()1x f x x =-(1,1)-()f x ()f x (0,1)()2(1)10f m f m -+-<()21ax b f x x -=+[]1,1-()11f =-()f x ()f x []1,1-()()210f t f t +->()f x R 0x ≤2()43f x x x =-+-()f x (21)(1)f m f m -<+m【练习1】已知函数f (x )=ax +b 1+x 2是定义在(―1,1)上的奇函数，且f (12)=25. （1）求函数f (x )的解析式；（2）用定义法证明函数f (x )的单调性；（3）若f (m )+f (2m ―1)>0，求实数m 的取值范围.【练习2】已知函数是定义在上的奇函数，且. (1)求的值；(2)判断的单调性，并用定义法证明你的结论；(3)求使成立的实数a 的取值范围.()21mx n f x x +=+[]1,1-()11f =,m n ()f x ()2(1)10f a f a -+-<。
高三数学函数的奇偶性试题答案及解析
高三数学函数的奇偶性试题答案及解析1.已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的偶函数，若对于x≥0，都有f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[0，2)时，(x＋1)，则f(－2012)＋f(2013)＝________________．f(x)＝log2【答案】1【解析】试题分析:∵函数f(x)是(－∞，＋∞)上的偶函数，∴f(－x)＝f(x)，又∵对于x≥0都有f(x＋2)＝f(x)，∴T＝2∴f(－2012)＋f(2013)＝f(2012)＋f(2013)＝f(1006×2)＋f(1006×2＋1)＝f(0)＋f(1)＝log21＋log22＝1．故答案为：1．【考点】函数的周期性2.已知，分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，则．【答案】．【解析】∵，∴，又∵，分别是定义在上的偶函数和奇函数，∴，，∴，∴．【考点】函数的奇偶性．3.已知定义在上的函数是奇函数且满足，，数列满足，且，（其中为的前项和），则( )．A．B．C．D．【答案】C【解析】由定义在上的函数是奇函数且满足知，= = =，所以= = = =，所以的周期为3，由得，，当n≥2时，=，所以=，所以=-3，=-7，=-15，=-31，=-63，所以 ====3，故选C.【考点】函数的奇偶性、周期性，数列的递推公式，转化与化归思想4.设函数的定义域为，且是奇函数，是偶函数，则下列结论中正确的是（）A．是偶函数B．是奇函数C．是奇函数D．是奇函数【答案】C【解析】设，则，因为是奇函数，是偶函数，故，即是奇函数，选C．【考点】函数的奇偶性．5.已知为偶函数，当时，，则不等式的解集为（）A．B．C．D．【答案】Ａ【解析】先画出当时，函数的图象，又为偶函数，故将轴右侧的函数图象关于轴对称，得轴左侧的图象，如下图所示，直线与函数的四个交点横坐标从左到右依次为，由图象可知，或，解得，选A．【考点】１、分段函数；2、函数的图象和性质；3、不等式的解集．6.若是偶函数，则____________.【答案】【解析】因为函数为偶函数,所以,故填.【考点】奇偶性对数运算7. [2013·重庆高考]已知函数f(x)＝ax3＋bsinx＋4(a，b∈R)，f(lg(log10))＝5，则f(lg(lg2))＝2()A．－5B．－1C．3D．4【答案】C【解析】∵f(x)＝ax3＋bsinx＋4，①∴f(－x)＝a(－x)3＋bsin(－x)＋4，即f(－x)＝－ax3－bsinx＋4，②①＋②得f(x)＋f(－x)＝8，③又∵lg(log10)＝lg()＝lg(lg2)－1＝－lg(lg2)，2∴f(lg(log10))＝f(－lg(lg2))＝5，2又由③式知f(－lg(lg2))＋f(lg(lg2))＝8，∴5＋f(lg(lg2))＝8，∴f(lg(lg2))＝3.故选C.8.已知函数y＝f(x)是定义在R上且以3为周期的奇函数，当x∈时，f(x)＝ln(x2－x＋1)，则函数f(x)在区间[0,6]上的零点个数为()A．3B．5C．7D．9【答案】C【解析】当x∈时，－x∈，f(x)＝－f(－x)＝－ln(x2＋x＋1)；则f(x)在区间上有3个零点(在区间上有2个零点)．根据函数周期性，可得f(x)在上也有3个零点，在上有2个零点．故函数f(x)在区间[0,6]上一共有7个零点．9.设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是()A．f(x)＋|g(x)|是偶函数B．f(x)－|g(x)|是奇函数C．|f(x)|＋g(x)是偶函数D．|f(x)|－g(x)是奇函数【答案】A【解析】由题意知f(x)与|g(x)|均为偶函数．A项，偶＋偶＝偶；B项，偶－偶＝偶，错；C项与D项分别为偶＋奇＝偶，偶－奇＝奇，均不恒成立．10.设f（x）为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=2x+2x+b（b为常数），则f（﹣1）=（）A．﹣3B．﹣1C．1D．3【答案】A【解析】因为f（x）为定义在R上的奇函数，所以f（0）=20+2×0+b=0，解得b=﹣1，所以当x≥0时，f（x）=2x+2x﹣1，又因为f（x）为定义在R上的奇函数，所以f（﹣1）=﹣f（1）=﹣（21+2×1﹣1）=﹣3，故选A．11.已知定义在R上的奇函数和偶函数满足 (，且)，若，则（）A．2B．C．D．【答案】B【解析】由条件，，即，由此解得，，所以选B．12.已知是奇函数，且，若，则= ．【答案】【解析】因为为奇函数，所以．∵，∴，∴．13.设是上的奇函数，且，下面关于的判定：其中正确命题的序号为_______．①;②是以4为周期的函数；③的图象关于对称；④的图象关于对称．【答案】①②③【解析】∵，∴，即的周期为4，②正确．∴(∵为奇函数)，即①正确．又∵，∴的图象关于对称，∴③正确，又∵，当时，显然的图象不关于对称，∴④错误．14.已知函数是定义在上的偶函数，且对任意，都有,当时，，设函数在区间上的反函数为，则的值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由得，所以函数周期为，所以时，，所以＝，又函数为偶函数，所以时，则＝．令＝＝19，解得＝，从而＝，故选D．【考点】1、反函数；2、函数奇偶性的性质；3、函数的周期性．15.设偶函数满足，则( )A．B．C．D．【答案】B【解析】的解集为,因为是偶函数，关于轴对称，所以的解集为或,那么的解集为或,故解集为或,故选B.【考点】1.函数的奇偶性；2.解不等式.16.已知f(x)是定义在R上的奇函数．当x>0时，f(x)＝x2－4x，则不等式f(x)>x的解集用区间表示为________．【答案】(－5，0)∪(5，＋∞)【解析】作出f(x)＝x2－4x(x>0)的图象，如图所示．由于f(x)是定义在R上的奇函数，利用奇函数图象关于原点对称，作出x<0的图象．不等式f(x)>x表示函数y＝f(x)的图象在y＝x的上方，观察图象易得，原不等式的解集为(－5，0)∪(5，＋∞)17.若函数f(x)=(a+)cosx是奇函数,则常数a的值等于()A．-1B．1C．-D．【答案】D【解析】设g(x)=a+,t(x)=cosx,∵t(x)=cosx为偶函数,而f(x)=(a+)cosx为奇函数,∴g(x)=a+为奇函数,又∵g(-x)=a+=a+,∴a+=-(a+)对定义域内的一切实数都成立,解得:a=.18.设a为实数，函数f(x)＝x3＋ax2＋(a－2)x的导数是f′(x)，且f′(x)是偶函数，则曲线y＝f(x)在原点处的切线方程为()A．y＝－2x B．y＝3xC．y＝－3x D．y＝4x【答案】A【解析】由已知得f′(x)＝3x2＋2ax＋a－2为偶函数，∴a＝0，∴f(x)＝x3－2x，f′(x)＝3x2－2.又f′(0)＝－2，f(0)＝0，∴y＝f(x)在原点处的切线方程为y＝－2x.19.已知f(x)是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x2－4x，那么，不等式f(x＋2)<5的解集是________．【答案】{x|－7<x<3}【解析】当x≥0时，f(x)＝x2－4x<5的解集为[0,5)，又f(x)为偶函数，所以f(x)<5的解集为(－5,5)．由于f(x)向左平移两个单位即得f(x＋2)，故f(x＋2)<5的解集为{x|－7<x<3}．20.已知是定义域为R的奇函数，当x≤0时，，则不等式的解集是（）A．(5，5)B．(1，1)C．(5，+)D．(l，+)【答案】C【解析】因为是定义在R上的奇函数，所以对于任意实数x，都有且.又当时，则当时，，有，所以：，则，解不等式，即或或得，选C.【考点】函数的奇偶性，分段函数，一元二次不等式的解法.21.设函数（）（Ⅰ）若函数是定义在R上的偶函数，求a的值；（Ⅱ）若不等式对任意，恒成立，求实数m的取值范围．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解析】（Ⅰ）函数是定义在R上的偶函数，则恒成立，代入解析式得：，.即对任意都成立，由此得，．（Ⅱ）不等式对任意，恒成立，则小于等于的最大值，而．所以对任意恒成立，令，这是关于的一次函数，故只需取两个端点的值时不等式成立即可，即，解之即可得实数m的取值范围.试题解析：（Ⅰ）由函数是定义在R上的偶函数，则恒成立，即，所以，所以恒成立，则，故． 4分（Ⅱ）．所以对任意恒成立，令，由解得，故实数m的取值范围是． 12分【考点】1、函数的奇偶性；2、不等式恒成立问题.22.函数f(x)是偶函数，则下列各点中必在y=f(x)图象上的是( )A．B．C．D．【答案】A【解析】由于函数上必过点.又因为函数是偶函数所以函数经过点 .又因为.所以函数一定经过和.故选A.本小题关键是考查函数的的奇偶性问题.【考点】1.函数的奇偶性.2.函数的对称性问题.23.已知函数是上的奇函数,且的图象关于直线对称,当时,，则 .【答案】-1【解析】∵的图象关于直线对称,∴，又是上的奇函数，∴，∴，即4为的周期，∴.由时，，得，由，得，∴，故答案为．【考点】函数的奇偶性、周期性24.已知函数.（1）当时，判断的奇偶性，并说明理由；（2）当时，若，求的值；（3）若，且对任何不等式恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）既不是奇函数，也不是偶函数；（2）所以或；（3）当时，的取值范围是，当时，的取值范围是；当时，的取值范围是．【解析】（1）时，为确定的函数，要证明它具有奇偶性，必须按照定义证明，若要说明它没有奇偶性，可举一特例，说明某一对值与不相等（不是偶函数）也不相反（不是奇函数）．（2）当时，为，这是含有绝对值符号的方程，要解这个方程一般是分类讨论绝对值符号里的式子的正负，以根据绝对值定义去掉绝对值符号，变成通常的方程来解．（3）不等式恒成立时要求参数的取值范围，一般要把问题进行转化，例如分离参数法，或者转化为函数的最值问题．即为，可以先把绝对值式子解出来，这时注意首先把分出来，然后讨论时，不等式化为，于是有，即，这个不等式恒成立，说明，这时我们的问题就转化为求函数的最大值，求函数的最小值．试题解析：（1）当时，既不是奇函数也不是偶函数（2分）所以既不是奇函数，也不是偶函数（4分）（2）当时，，由得（1分）即（3分）解得（5分）所以或（6分）（3）当时，取任意实数，不等式恒成立，故只需考虑，此时原不等式变为（1分）即故又函数在上单调递增，所以；（2分）对于函数①当时，在上单调递减，，又，所以，此时的取值范围是（3分）②当，在上，，当时，，此时要使存在，必须有，此时的取值范围是（4分）综上，当时，的取值范围是当时，的取值范围是；当时，的取值范围是（6分）【考点】（1）函数的奇偶性；（2）含绝对值的方程；（2）含参数的不等式恒成立问题．25.如图,直角坐标平面内的正六边形ABCDEF，中心在原点，边长为a，AB平行于x轴，直线（k为常数）与正六边形交于M、N两点，记的面积为S，则关于函数的奇偶性的判断正确的是（）A．一定是奇函数B．—定是偶函数C．既不是奇函数，也不是偶函数D．奇偶性与k有关【答案】B【解析】：∵当直线与边重合时，，当直线与重合时，，∴，∵正六边形即是中心对称图形又是轴对称图形，∴函数为偶函数.【考点】1.函数的奇偶性；2.数形结合思想.26.设函数是偶函数，则实数的值为___________.【答案】-1.【解析】因是偶函数，则，所以.【考点】函数的奇偶性.27.设是周期为2的奇函数，当时，=，则=．【答案】【解析】由是周期为2的奇函数可知，.【考点】函数的周期性与奇偶性.28.已定义在上的偶函数满足时，成立，若，，，则的大小关系是（）A．B．C．D．【答案】Ｃ【解析】构造函数，由函数是R上的偶函数，函数是R上的奇函数可得是R上的奇函数，又当时，所以函数在时的单调性为单调递减函数；所以在时的单调性为单调递减函数，因为，，，故，即：，故选Ｃ．【考点】函数奇偶性的性质，简单复合函数的导数，函数的单调性与导数的关系．29.已知m为常数，函数为奇函数.（1）求m的值；（2）若，试判断的单调性（不需证明）；（3）若，存在，使，求实数k的最大值．【答案】（1）；（2）在R上单调递增；（3）.【解析】（1）由奇函数的定义得：，将解析式代入化简便可得m的值；（2），结合指数函数与反比例函数的单调性，便可判定的单调性；（3）对不等式：，不宜代入解析式来化简，而应将进行如下变形：，然后利用单调性去掉，从而转化为：.进而变为：.由题设知：.这样只需求出的最大值即可.将配方得：.所以在时,取得最大值，最大值为10.∴，从而.试题解析：（1）由，得,∴，即,∴. 4分（2），在R上单调递增. 7分(3)由，得， 9分即.而在时,最大值为10.∴，从而 12分【考点】1、函数的奇偶性和单调性；2、二次函数的最值；3、不等关系.30.已知函数是上的偶函数，若对于，都有，且当时，，则=____________.【答案】1【解析】由题意可知函数的周期，于是，又函数是上的偶函数，所以，则.【考点】周期函数、奇偶性.31.若函数满足，且时，，则函数的图象与函数的图象的交点的个数为（）A．3B．4C．6D．8【答案】C【解析】由题意知，函数是个周期为2的周期函数，且是个偶函数，在一个周期上，图象是两条斜率分别为1和－1的线段，且，同理可得到在其他周期上的图象．函数也是个偶函数，先看在[0，+∞）上的交点个数，则它们总的交点个数是在[0，+∞）上的交点个数的2倍，在（0，+∞）上，，图象过（1，0），和（4，1），是单调增函数，与交与3个不同点，∴函数的图象与函数的图象的交点的个数为6个，故选.【考点】函数的奇偶性、周期性，对数函数的图象和性质.32.若函数f(x) (x∈R)是奇函数，函数g(x) (x∈R)是偶函数，则 ( )A．函数f(x)g(x)是偶函数B．函数f(x)g(x)是奇函数C．函数f(x)＋g(x)是偶函数D．函数f(x)＋g(x)是奇函数【答案】B【解析】令，由于函数为奇函数，，由于函数为偶函数，则，，故函数为奇函数，故选；对于函数，取，，则，此时函数为非奇非偶函数，故、选项均错误.【考点】函数的奇偶性33.已知是定义域为实数集的偶函数，，，若，则．如果，，那么的取值范围为( )A．B．C．D．【答案】B【解析】∵，，，则,∴定义在实数集上的偶函数在上是减函数.∵, ∴, 即.∴或解得或.∴.故选B．【考点】函数的奇偶性、单调性.34.函数（）【答案】A【解析】由于函数为偶函数又过（0，0）所以直接选A.【考点】对图像的考查其实是对性质的考查，注意函数的特征即可，属于简单题.35.已知函数是上的偶函数，若对于，都有，且当时，，则的值为A．B．C．1D．2【答案】C【解析】根据题意，由于函数是上的偶函数，若对于，都有，可知函数的周期为2，且当时，，那么则有，故可知答案为C。
高考数学复习----《函数的奇偶性的综合应用》典型例题讲解
高考数学复习----《函数的奇偶性的综合应用》典型例题讲解【典型例题】例1、（2023·全国·高三专题练习）已知定义在R 上的函数()f x 在(],3−∞上单调递增，且()3f x +为偶函数，则不等式()()12f x f x +>的解集为（ ）A ．51,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()5,1,3⎛⎫−∞⋃+∞ ⎪⎝⎭C ．(),1−∞D ．()1,+∞【答案】B【解析】∵()3f x +为偶函数， ∴()()33f x f x −+=+，即函数()f x 关于3x =对称，又函数()f x 在(],3−∞上单调递增，∴函数()f x 在[)3,+∞上单调递减，由()()12f x f x +>，可得1323x x +−<−，整理得，23850x x −+>，解得1x <或53x >． 故选：B ．例2、（2023·全国·高三专题练习）设()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，()2f x x =，不等式()()24f x f x ≥的解集为（ ）A ．(][),04,−∞+∞UB ．[]0,4C ．(][),02,−∞⋃+∞D ．[]0,2【答案】C 【解析】根据题意，当0x ≥时，()2f x x =，所以()f x 在[0,)+∞上为增函数，因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()f x 在R 上为增函数，因为20x ≥，所以24()f x x =，24124x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 所以221()42x f x f ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 所以不等式()()24f x f x ≥可化为2()2x f f x ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭， 所以22x x ≥，解得0x ≤或2x ≥， 所以不等式()()24f x f x ≥的解集为(][),02,−∞⋃+∞，故选：C例3、（2023·全国·高三专题练习）已知偶函数()f x 的定义域为R ，且当0x ≥时，()11x f x x −=+，则使不等式()2122f a a −<成立的实数a 的取值范围是（ ） A ．()1,3−B ．()3,3−C ．()1,1−D ．(),3−∞【答案】A 【解析】当0x ≥时，()()12121111x x f x x x x +−−===−+++，所以()f x 在[)0,∞+上单调递增， 且()132f =，不等式()2122f a a −<即为()()223f a a f −<． 又因为()f x 是偶函数，所以不等式()()223f a a f −<等价于()()223f a a f −<， 则223a a −<，所以，222323a a a a ⎧−<⎨−>−⎩，解得13a −<<． 综上可知，实数a 的取值范围为()1,3−，故选：A ．例4、（2023·全国·高三专题练习）定义在R 上的奇函数()f x 在(,0]−∞上单调递增，且(2)2f −=−，则不等式1(lg )lg 4f x f x ⎛⎫−> ⎪⎝⎭的解集为（ ） A ．10,100⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,100⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．(0,100)D ．(100,)+∞【答案】D【解析】因为函数()f x 为奇函数，所以()()f x f x −=−，又(2)2f −=−，(2)2f =， 所以不等式1(lg )lg 4f x f x ⎛⎫−> ⎪⎝⎭，可化为()2(lg )422f x f >=， 即()(lg )2f x f >，又因为()f x 在(,0]−∞上单调递增，所以()f x 在R 上单调递增，所以lg 2x >，解得100x >．故选：D ．例5、（2023春·广西·高三期末）()f x 是定义在R 上的函数，1122f x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭为奇函数，则()()20232022f f +−=（ ）A ．－1B ．12−C ．12D ．1【答案】A 【解析】()f x 是定义在R 上的函数，1122f x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭为奇函数，则 1111111222222f x f x f x f x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫−++=−++⇒−+++=− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦． ∴()()40451404512023202212222f f f f ⎛⎫⎛⎫+−=++−+=− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 故选：A 例6、（2023春·甘肃兰州·高三兰化一中校考阶段练习）若函数f （x ）=e e sin x x x x −−+−，则满足()()22ln 102x f a x f ⎛⎫−++≥ ⎪⎝⎭恒成立的实数a 的取值范围为（ ）A ．12ln 2,2⎡⎫−+∞⎪⎢⎣⎭B ．1(ln 2,)4−+∞C ．[7,)4+∞D ．[3,)2+∞ 【答案】A 【解析】因为()e e sin ()x x f x x x f x −−−=−+=−，所以()f x 是R 上的奇函数，由()e +e cos 1x x f x x −'=+−cos 11cos 0x x ≥−=+≥ ，所以()f x 是R 上的增函数， 所以2(2ln(1))02x f a x f ⎛⎫−++≥ ⎪⎝⎭等价于： 22(2ln(1))22x x f a x f f ⎛⎫⎛⎫−+≥−=− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即22ln(1)2x a x −+≥−， 所以22ln(1)2x a x ≥−++， 令2()2ln(1)2x g x x =−++， 则问题转化为：max ()a g x ≥，因为()()g x g x −=且定义域为R ，所以()g x =22ln(1)2x x −++是R 上的偶函数， 所以只需求()g x 在()0,∞+上的最大值即可．当[)0,x ∈+∞时，2()2ln(1)2x g x x =−++， ()()22122()111x x x x g x x x x x +−−−+'=−+==−+++， 则当()0,1x ∈时，()0g x '>；当()1,x ∈+∞时，()0g x '<； 所以()g x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，可得：max 1()(1)2ln 22g x g ==−， 即12ln 22a ≥−， 故选：A ． 本课结束。
高中必修一函数的奇偶性详细讲解及练习(详细答案)
高中必修一函数的奇偶性详细讲解及练习(详细答案)首先，画出函数y=-x^2+2|x|+3的图像，然后确定函数的单调区间。
当x≥0时，y=-x^2+2x+3=-(x-1)+4；当x<0时，y=-x^2-2x+3=-(x+1)^2+4.因此，在区间（-∞，-1］和［1，+∞）上，函数是增函数；在［-1，1］上，函数是减函数。
需要注意的是，函数单调性是针对某个区间而言的，对于单独一个点没有增减变化，因此对于区间端点只要函数有意义，都可以带上。
接下来，考虑函数f（x）=x^2+2(a-1)x+2在区间（-∞，4］上是减函数的情况下，求实数a的取值范围。
首先，要充分运用函数的单调性，以对称轴为界线这一特征。
将f（x）=x^2+2(a-1)x+2写成［x+(a-1)］^2-(a-1)^2+2的形式，可以发现其对称轴是x=1-a。
因为在区间（-∞，1-a］上f（x）是单调递减的，若使f（x）在（-∞，4］上单调递减，对称轴x=1-a必须在x=4的右侧或与其重合，即1-a≥4，a≤-3.最后，判断函数f（x）=-2的奇偶性和函数f（x）=(x-1)的奇偶性。
对于第一个函数，其定义域为R，因为f（-x）=|-x+1|-|-x-1|=|x-1|-|x+1|=-f（x），因此f（x）为奇函数。
对于第二个函数，其定义域为{x|-1≤x＜1}，不关于原点对称，因此f （x）既不是奇函数，也不是偶函数。
判断函数的奇偶性时，需要先求出函数的定义域，并考查定义域是否关于原点对称。
然后计算f（-x），并与f（x）比较，判断f（-x）=f（x）或f （-x）=-f（x）之一是否成立。
如果f（-x）与-f（x）的关系不明确，可以考查f（-x）±f（x）是否成立，从而判断函数的奇偶性。
最后，对于函数f（x）=|x|/x，需要判断其奇偶性并确定其在（-∞，+∞）上是增函数还是减函数。
由于f（x）的定义域为R，且f（-x）=f（x），因此f（x）为偶函数。
高中必修一函数的奇偶性详细讲解及练习(详细答案)
函数的单一性和奇偶性例 1（1）画出函数y＝ -x2+2｜ x｜+3 的图像，并指出函数的单一区间．解：函数图像以以下图所示，当 x≥0时，y＝ -x2+2x+3 ＝ -（ x-1）2+4；当 x＜ 0 时，y＝ -x2-2x+3 ＝ -（ x+1）2+4 ．在（ -∞，-1］和［ 0， 1］上，函数是增函数：在［-1， 0］和［ 1， +∞）上，函数是减函数．评析函数单一性是对某个区间而言的，对于单唯一个点没有增减变化，所以对于区间端点只需函数存心义，都能够带上．（ 2）已知函数 f（ x）＝ x2+2 （ a-1）x+2在区间（ -∞， 4］上是减函数，务实数 a 的取值范围．剖析要充足运用函数的单一性是以对称轴为界限这一特点．解： f（ x）＝ x2+2（ a-1）x+2 ＝［ x+ （ a-1）］２x＝ 1-a．因为-（ a-1）2+2，此二次函数的对称轴是在区间（ -∞， 1-a］上 f（ x）是单一递减的，若使f（ x）在（ -∞，4］上单一递减，对称轴x＝1-a 一定在 x=4 的右边或与其重合，即 1-a≥4， a≤-3．评析这是波及逆向思想的问题，即已知函数的单一性，求字母参数范围，要注意利用数形联合．例 2判断以下函数的奇偶性：（ 1） f （ x）＝-（ 2） f （ x）＝（ x-1）．解：（ 1）f （ x）的定义域为R．因为f （ -x）＝｜ -x+1 ｜ -｜ -x-1 ｜＝｜ x-1｜ -｜ x+1 ｜＝ -f （x）．所以 f（ x）为奇函数．（2） f （ x）的定义域为｛ x｜ -1≤x＜ 1｝，不对于原点对称．所以f（ x）既不是奇函数，也不是偶函数．评析用定义判断函数的奇偶性的步骤与方法以下：（1）求函数的定义域，并考察定义域能否对于原点对称．（ 2）计算 f（ -x），并与f（ x）比较，判断 f （ -x）＝ f（ x）或 f（-x）＝ -f（ x）之一能否建立．f （ -x）与 -f （ x）的关系其实不明确时，可考察f（ -x）±f（x）＝ 0 能否建立，从而判断函数的奇偶性．例 3已知函数f（ x）＝．（1）判断 f（ x）的奇偶性．（2）确立 f（ x）在（ -∞， 0）上是增函数仍是减函数 ?在区间（ 0，+∞）上呢 ?证明你的结论．解：因为 f （ x）的定义域为R，又f （ -x）＝＝＝ f （ x），所以 f（ x）为偶函数．（ 2）f（ x）在（ -∞，0）上是增函数，因为f（ x）为偶函数，所以f（x）在（ 0，+∞）上为减函数．其证明：取 x1＜ x2＜ 0，f （ x1） -f （ x2）＝-＝＝．因为 x1＜ x2＜ 0，所以x2-x1＞ 0， x1+x 2＜ 0，x21 +1＞ 0， x22+1＞ 0，得 f （ x1） -f （ x2）＜ 0，即 f （ x1）＜ f（x2）．所以 f（ x）在（ -∞， 0）上为增函数．评析奇函数在（ a,b）上的单一性与在（ -b,-a）上的单一性同样，偶函数在（ a,b）与（ -b,-a）的单一性相反．例 4 已知 y=f （ x）是奇函数，它在（ 0， +∞）上是增函数，且 f（ x）＜ 0，试问 F（ x）＝在（ -∞， 0）上是增函数仍是减函数 ?证明你的结论．剖析依据函数的增减性的定义，能够任取x1＜ x2＜ 0，从而判断F（ x1）-F（ x2）＝-＝的正负．为此，需分别判断f（ x1）、 f （ x2）与 f （ x2）的正负，而这能够从已条件中推出．解：任取 x1、x2∈（ -∞，0）且 x1＜ x2，则有 -x1＞ -x2＞ 0．∵ y＝f （x）在（ 0，+∞）上是增函数，且 f （ x）＜ 0，∴ f （ -x2）＜ f（ -x1）＜ 0．①又∵ f（ x）是奇函数，∴ f （ -x2）＝ -f（ x2）， f（ -x1）＝ -f （ x1）②由①、②得f（ x2）＞ f（x1）＞ 0．于是F（x1） -F（ x2）＝＞ 0，即F（x1）＞ F（ x2），所以 F（ x）＝在（ -∞， 0）上是减函数．评析本题最简单发生的错误，是受已知条件的影响，一开始就在（0， +∞）内任取 x1＜ x2，睁开证明．这样就不可以保证-x1，-x2，在（ -∞， 0）内的随意性而致使错误．防止错误的方法是：要明确证明的目标，有针对性地睁开证明活动．-1， 1）内的单一性．例 5 议论函数 f（ x）＝（ a≠0）在区间（剖析依据函数的单一性定义求解．解：设 -1＜ x1＜ x2＜１，则f （ x1） -f （ x2）＝-＝∵ x1， x2∈（ -1，1），且 x1＜ x２，∴x1-x2＜ 0， 1+x1x2＞ 0，（ 1-x 21）（ 1-x 22）＞ 0于是，当a＞ 0 时， f （x1）＜ f（ x2）；当 a＜ 0 时， f （x1）＞ f（ x2）．故当 a＞0 时，函数在（-1， 1）上是增函数；当a＜0 时，函数在（-1， 1）上为减函数．评析依据定义议论（或证明）函数的单一性的一般步骤是：（ 1）设 x1、x2是给定区间内随意两个值，且x1＜ x2；（2）作差 f（ x1） -f （ x2），并将此差式变形；（3）判断 f（ x1） -f （ x2）的正负，从而确立函数的单一性．例 6 求证： f（ x）＝ x+（k＞0）在区间（0，k］上单一递减．解：设 0＜x1＜x2≤k，则f （ x1） -f （ x2）＝ x1+-x2-＝∵ 0＜ x1＜ x2≤k，∴x1-x2＜ 0， 0＜ x1x2＜ k2，∴f （ x1） -f （ x2）＞ 0∴f （ x1）＞ f （ x2），∴f （ x）＝ x+中（0，k］上是减函数．评析函数 f （ x）在给定区间上的单一性反应了函数 f （x）在区间上函数值的变化趋向，是函数在区间上的整体性质．所以，若要证明f（ x）在［ a,b］上是增函数（减函数），就一定证明对于区间［ a,b］上随意两点x1， x2，当 x1＜ x2时，都有不等式f（ x1）＜ f（ x2）（ f （x1）＞ f （ x2））近似能够证明：函数 f（ x）＝ x+（k＞0）在区间［k，+∞］上是增函数．例 7剖析判断函数f（ x）＝的奇偶性．确立函数的定义域后可脱去绝对值符号．解：由得函数的定义域为［-1，1］．这时，｜x-2 ｜＝ 2-x．∴ f （ x）＝，∴ f （ -x）＝＝＝f（x）．且注意到 f （x）不恒为零，从而可知， f （x）＝是偶函数，不是奇函数．评析因为函数分析式中的绝对值使得所给函数不像拥有奇偶性，若不作深入思虑，便会作出其非奇非偶的判断．但隐含条件（定义域）被揭露以后，函数的奇偶性就特别显然了．这样看来，解题中先确立函数的定义域不单能够防止错误，并且有时还能够避开议论，简化解题过程．函数奇偶性练习一、选择题1．已知函数f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠ 0）是偶函数，那么g（ x）＝ ax3＋ bx2＋ cx（）A．奇函数B．偶函数C．既奇又偶函数D．非奇非偶函数2．已知函数f（x）＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，且其定义域为［a－1，2a］，则（）A．1a， b＝0． a＝－， b＝0． a＝，b＝0．a＝， b＝0C D33．已知f（x）是定义在 R 上的奇函数，当x≥ 0 时，f（x）＝x2－ 2x，则f（x）在 R 上的表达式是（）A．y＝ x（ x－ 2）B．y ＝ x（｜ x｜－ 1） C．y ＝｜ x｜（ x－2）D．y＝ x（｜ x｜－ 2）4．已知f（x）＝x5＋ax3＋bx－ 8，且f（－ 2）＝ 10，那么f（ 2）等于（）A．－ 26B．－ 18C．－ 10D．105．函数1x 2x1）f ( x)x 2是（1x1A．偶函数B．奇函数C．非奇非偶函数D．既是奇函数又是偶函数6．若(x) ，g（x）都是奇函数， f ( x)a bg ( x) 2 在（0，＋∞）上有最大值5，则 f （ x）在（－∞，0）上有（）A．最小值－ 5B．最大值－ 5C．最小值－ 1D．最大值－ 3二、填空题x22 7．函数f ( x)1的奇偶性为 ________（填奇函数或偶函数）．x 28．若y ＝（－1）x2＋2＋ 3 是偶函数，则＝ _________．m mx m9．已知f（x）是偶函数，g（x）是奇函数，若1，则 f （ x）的分析式为_______．f (x) g (x)x110．已知函数f（ x）为偶函数，且其图象与 x 轴有四个交点，则方程 f（ x）＝0的全部实根之和为________．三、解答题11．设定义在［－ 2，2］上的偶函数f （）在区间［ 0， 2］上单一递减，若f（1－）＜f（），务实x m m数 m的取值范围．12．已知函数 f （ x）知足 f （x＋ y）＋ f （ x－ y）＝2f （ x）· f （ y）（x R，y R），且f（0）≠0，试证 f （ x）是偶函数．13. 已知函数f （）是奇函数，且当x＞0 时，f（）＝x3＋2 2—1，求f（）在 R上的表达式．x x x x14. f（x）是定义在（－∞，－5］［5，＋∞）上的奇函数，且 f （x）在［5，＋∞）上单一递减，试判断 f （x ）在（－∞，－ 5］上的单一性，并用定义赐予证明．15. 设函数 y ＝ f （ x ）（ x R 且 x ≠0）对随意非零实数x 1、 x 2 知足 f （ x 1· x 2）＝ f （ x 1）＋ f （ x 2），求证 f （ x ）是偶函数．函数的奇偶性练习参照答案1． 分析： f （ x ）＝ ax 2＋ bx ＋ c 为偶函数， ( x) x 为奇函数，∴ g （ x ）＝ ax 3＋ bx 2＋ cx ＝ f （ x ）· ( x) 知足奇函数的条件． 答案： A2．分析： 由f（ ）＝2＋ bx＋ 3 ＋ b 为偶函数，得 b ＝ 0．xax a1 ．应选 A ．又定义域为［ a －1， 2a ］，∴ a － 1＝2a ，∴ a33．分析： 由 x ≥ 0 时， f （ x ）＝ x 2－ 2x ， f （ x ）为奇函数，∴当 x ＜ 0 时， f （ x ）＝－ f （－ x ）＝－（ x 2＋2x ）＝－ x 2－ 2x ＝ x （－ x －2）．x(x 2) ( x 0) ,∴ f ( x)2) ( x 0) 即 f （x ）＝ x （| x | － 2）x( x,答案： D4．分析： f （x ）＋ 8＝x 5＋ ax 3＋ bx 为奇函数，f （－ 2）＋ 8＝ 18，∴ f （2）＋ 8＝－ 18，∴ f （ 2）＝－ 26．答案： A5．分析： 本题直接证明较烦，可用等价形式f （－ x ）＋ f （x ）＝ 0．答案： B6．分析：( x) 、 g （x ）为奇函数，∴ f (x)2 a ( x) bg (x) 为奇函数．又 f （x ）在（ 0，＋∞）上有最大值5，∴ f （ x ）－ 2 有最大值3．∴ f （ x ）－ 2 在（－∞， 0）上有最小值－ 3， ∴ f （ x ）在（－∞， 0）上有最小值－ 1． 答案：C7．答案： 奇函数8．答案： 0 分析： 因为函数 y ＝（ m － 1） x 2＋ 2mx ＋ 3 为偶函数，∴ f （－ x ）＝ f （x ），即（ m － 1）（－ x ） 2＋ 2m （－ x ）＋ 3＝（ m — 1） x 2＋ 2mx ＋ 3，整理，得 m＝ 0．9．分析： 由 f （ x ）是偶函数， g （ x ）是奇函数，可得f (x)g( x) 1 ，联立 f ( x) g ( x)1x 1x，∴1 (1111f ( x)x 11 ) ．2 x x 2 1答案： f (x)1 10．答案： 011 ． 答案： m1x21212． 证明： 令 x ＝ ＝ 0，有 f （ 0）＋f （0）＝ 2 （ 0）· （0），又 f （ 0）≠ 0，∴可证 f （ 0）＝ 1．令xyf f＝ 0，∴ f （ y ）＋ f （－ y ）＝ 2f （0）· f （ y ） f （－ y ）＝ f （ y ），故 f （ x ）为偶函数．13． 分析： 本题主假如培育学生理解观点的能力．f （ x ）＝ x 3＋ 2x 2－ 1．因 f （x ）为奇函数，∴ f （ 0）＝ 0．当 x ＜0 时，－ x ＞ 0， f （－ x ）＝（－ x ） 3＋ 2（－ x ） 2－1＝－ x 3＋ 2x 2－ 1， ∴ f （ x ）＝ x 3－ 2x 2＋ 1．x 3 2 x 21 ( x 0) , 所以， f (x)( x 0) ,x 32x 21( x0) .评论： 本题主要考察学生对奇函数观点的理解及应用能力．14． 分析： 任取 x 1＜ x 2≤－ 5，则－ x 1＞－ x 2≥－ 5．因 f （x ）在［ 5，＋∞］上单一递减，所以f （－ x 1）＜ f （－ x 2） f （ x 1）＜－ f （ x 2） f （ x 1）＞f （ x 2），即单一减函数．评论： 本题要注意灵巧运用函数奇偶性和单一性，并实时转变．15． 分析： 由 x 1， x 2 R 且不为 0 的随意性，令 x 1＝ x 2＝ 1 代入可证，f （ 1）＝ 2f （ 1），∴ f （ 1）＝0．又令 x 1＝x 2＝－ 1，∴ f ［－ 1×（－ 1）］＝ 2f （1）＝ 0，∴（－ 1）＝ 0．又令 x 1＝－ 1， x 2＝ x ，∴ f （－ x ）＝ f （－ 1）＋ f （ x ）＝ 0＋ f （ x ）＝ f （ x ），即 f （ x ）为偶函数．评论： 抽象函数要注意变量的赋值，特别要注意一些特别值，如，x 1＝ x 2＝ 1， x 1＝x 2＝－ 1 或 x 1＝x2＝0等，而后再联合详细题目要求结构出合适结论特点的式子即可．。
【高中数学】函数的奇偶性 (含答案详解)
B． f (−2) f （1） f (−1)
C． f (−2) f (−1) f （1）
D．无法确定
6．已知函数 f (x) 是偶函数，其图象与 x 轴有 9 个交点，则方程 f (x) = 0 的所有实根之和为
()
A．0
B．3
C．6
D．9
7．若函数 f (x) =
x
为奇函数，则 a = ．
请你写出你认为比较常见的奇函数： y = x 偶函数： y = x2
3.函数奇偶性的判断方法
y=1 x
y
=
1 x2
y = x3
利用定义法判断函数奇偶性的步骤是：
① 首先考察定义域是否关于原点对称；
② 然后验证 f (−x) = f (x) 或 f (−x) = − f (x) ．
二、课堂练习
1.判断具体函数的奇偶性 例 1．判断下列函数的奇偶性 （1） f (x) = x + 1
（2） f (x) = 2x2 + 2x ； x +1
（3）
f
(x)
=
x(1 − x(1 +
x), x),
x x
0 0
．
2．判断下列函数的奇偶性：
（1） f (x) = x − 1 ； x
（2） f (x) = x + 1 ； x
（3）
f
(x)
=
−x2 + x + 1, x
x2
+
x
− 1,
x
0
（1）一次函数 y = kx + b 为奇函数，则 b 要满足的条件是 b = 0 ．
（2）二次函数 y = ax2 + bx + c 为偶函数，则要满足的条件是 b = 0 ．
函数的奇偶性、指数函数、对数函数-高考数学专题复习
函数的奇偶性、指数函数、对数函数知识精要一、函数的奇偶性一般地，对于函数f(x)（1）如果对于函数定义域内的任意一个x ，都有f(-x)=f(x)那么函数f(x)就叫做偶函数。
（2）如果对于函数定义域内的任意一个x ，都有f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数。
（3）如果对于函数定义域内的任意一个x ，都有f(-x)=-f(x)和f(-x)=f(x)，(x∈D,且D 关于原点对称.)那么函数f(x)既是奇函数又是偶函数，称为既奇又偶函数。
（4）如果对于函数定义域内的任意一个x ，f(-x)=-f(x)与f(-x)=f(x)都不能成立，那么函数f(x)既不是奇函数又不是偶函数，称为非奇非偶函数。
说明：①奇、偶性是函数的整体性质，对整个定义域而言。
②奇、偶函数的定义域一定关于原点对称，如果一个函数的定义域不关于原点对称，则这个函数一定不具有奇偶性。
（分析：判断函数的奇偶性，首先是检验其定义域是否关于原点对称，然后再严格按照奇、偶性的定义经过化简、整理、再与f(x)比较得出结论） ③判断或证明函数是否具有奇偶性的根据是定义。
④如果一个奇函数f(x)在x=0处有意义，则这个函数在x=0处的函数值一定为0。
奇偶函数图像的特征定理 奇函数的图像关于原点成中心对称图形，偶函数的图像关于y 轴的轴对称图形。
f(x)为奇函数＜＝＞f(x)的图像关于原点对称 点（x,y ）→（-x,-y ） f(x)为偶函数＜＝＞f(x)的图像关于Y 轴对称 点（x,y ）→（-x,y ） 奇函数在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上也是单调递增。
偶函数在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上单调递减。
利用一些已知函数的奇偶性及以下准则（前提条件为两个函数的定义域交集不为空集）：两个奇函数的代数和是奇函数；两个偶函数的和是偶函数；奇函数与偶函数的和既非奇函数也非偶函数；两个奇函数的积为偶函数；两个偶函数的积为偶函数；奇函数与偶函数的积是奇函数。
函数的奇偶性课件-2024届高三数学一轮复习
则
的最小值为
x
1 e
m n
− = −
−x ∈ A，且_______________，那么函数f
x 就叫作奇函数
图象
关于
轴
______
对称
关于
坐标原点
_______
对称
【微点拨】奇、偶函数定义域的特点是关于原点对称，函数的定义域关于原点
对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件.
1.函数f x 具有奇偶性的前提是什么？
D.f c > f b > f a
1
log 2 ，
4
活动四 奇偶性的应用(求参数)
34页 2.已知函数f x = a −
2
ex +1
1
a ∈ 是奇函数，则a =___.
[例4] （1）若函数f x = x + a ln
A.−1
（2）若f x = ln a +
B.0
√
1
1−x
2x−1
2x+1
为偶函数,则a =(
B.c < b < a
C.b < c < a
2.（2024·常州调研）已知f x = lg e
则f a ,f b ,f c 的大小关系为(
A.f c
√
x
+ 1 ，a =
20.3 ，b
)
D.a < b < c
= log 3 2，c =
)
>f a >f b
B.f b > f a > f c
C.f a > f b > f c
3.已知f x = ax 2 + bx是定义在[a − 1,2a]上的偶函数，那么a + b的值是(
函数的奇偶性 - 高中数学讲义与经典例题解析版
函数的奇偶性知识讲解一、函数奇偶性的定义1.奇函数：设函数()y f x =的定义域为D ，如果对于D 内的任意一个x ，都有x D -∈，且()()f x f x -=-，则这个函数叫做奇函数．2.偶函数：设函数()y f x =的定义域为D ，如果对于D 内的任意一个x ，都有x D -∈，且()()f x f x -=，则这个函数叫做偶函数．二、奇偶函数的图象特征1.函数()y f x =是偶函数⇔()y f x =的图象关于y 轴对称；2.函数()y f x =是奇函数⇔()y f x =的图象关于原点对称．三、判断函数奇偶性的方法1.定义法：首先判断其定义域是否关于原点中心对称．若不对称，则为非奇非偶函数；若对称，则再判断()()f x f x -=-或()()f x f x -=是否为恒等式．定义的等价形式：()()0f x f x ±-=，()1()f x f x =±-．2.图象法3.性质法：设()f x ，()g x 的定义域分别是12,D D ，那么在它们的公共定义域12D D D = 上：奇±奇=奇，偶±偶=偶，奇⨯奇=偶，偶⨯偶=偶，奇⨯偶=奇；四、奇偶函数的性质1.函数具有奇偶性⇒其定义域关于原点对称；2.函数()y f x =是偶函数⇔()y f x =的图象关于y 轴对称；3.函数()y f x =是奇函数⇔()y f x =的图象关于原点对称．4.奇函数在对称区间上的单调性相同；偶函数在对称区间上的单调性相反．5.若奇函数()y f x =的定义域包含0，则(0)0f =．五、常见函数的奇偶性1.正比例函数(0)y kx k =≠是奇函数；2.反比例函数(0)k y k x=≠是奇函数；3.函数(00)y kx b k b =+≠≠，是非奇非偶函数；4.函数2(0)y ax c a =+≠是偶函数；5.常函数y c =是偶函数；6.对勾函数(0)k y x k x=+≠是奇函数；经典例题一．填空题（共12小题）1．给定四个函数：①y=x3+3；②y=1（x＞0）；③y=x3+1；④y=2+1．其中是奇函数的有①④（填序号）．【解答】解：：①函数的定义域为R，则f（﹣x）=﹣（x3+3）=﹣f（x），则函数f（x）是奇函数；②函数的定义域关于原点不对称，则函数f（x）为非奇非偶函数；③函数的定义域为R，f（0）=0+1=1≠0，则函数f（x）为非奇非偶函数；④函数的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），f（﹣x）=2+1−=﹣2+1=﹣f （x），则函数f（x）是奇函数，故答案为：①④2．f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）=x2﹣3x，则当x＞0时，f（x）=﹣x2﹣3x．【解答】解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），若x＞0，则﹣x＜0，∵x＜0时，f（x）=x2﹣3x，∴当﹣x＜0时，f（﹣x）=x2+3x=﹣f（x），∴f（x）=﹣x2﹣3x，故答案为：x2﹣3x，3．已知f（x）是R上偶函数，且在[0，+∞）上递减，比较o−34)与f（1+a+a2）的大小关系为f（1+a+a2）≤f（﹣34）．【解答】解：根据题意，1+a+a2=（14+a+a2）+34=（a+12）2+34≥34，则又由f （x ）在[0，+∞）上递减，则有f （1+a +a 2）≤f （34），又由f （x ）是R 上偶函数，则有f （1+a +a 2）≤f （﹣34），故答案为：f （1+a +a 2）≤f （﹣34）．4．已知f （x ）是定义在（﹣1，1）上的奇函数，且在定义域上为增函数，若f （a ﹣2）＜f （4﹣a 2），求a 2）．【解答】解：因为f （x ）是定义在（﹣1，1）上的奇函数，且在定义域上为增函数．所以f （a ﹣2）＜f （4﹣a 2）等价于−1＜−2＜1−1＜4−2＜1−2＜4−2，化简可得1＜＜33＜2＜5−3＜＜2解可得3＜a ＜2．故答案为（3，2）．5．设函数f （x ）在R 上是偶函数，在区间（﹣∞，0）上递增，且f （2a 2+a +1）＜f （2a 2﹣2a +3），则a 的取值范围=（23，+∞）．【解答】解：根据题意，2a 2+a +1=2（a 2+12a +116）+78=2（a +12）2+78≥78，而2a 2﹣2a +3=2（a 2﹣a +14）+52=2（a ﹣12）2+52≥52；由f （x ）在R 上是偶函数，在区间（﹣∞，0）上递增，可知f （x ）在（0，+∞）上递减．若f （2a 2+a +1）＜f （2a 2﹣2a +3），则2a 2+a +1＞2a 2﹣2a +3，即3a ﹣2＞0，解可得a ＞23，则a 的取值范围（23，+∞）；故答案为：23，+∞）．6．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x）=x2+2x（x≥0），若f（3﹣a2）＞f（2a﹣a2），则实数a的取值范围是a＜32．【解答】解：∵函数f（x）=x2+2x（x≥0）是增函数，且f（0）=0，f（x）是奇函数∴f（x）是R上的增函数．由f（3﹣a2）＞f（2a﹣a2），于是3﹣a2＞2a﹣a2，因此，解得a＜32．故答案为：a＜32．7．若f（x）=ax3+bx+1﹣b是定义在区间[﹣4+a，a]的奇函数，则a+b= 3．【解答】解：∵f（x）=ax3+bx+1﹣b是定义在区间[﹣4+a，a]的奇函数，∴﹣4+a+a=0，f（0）=0．解得a=2，b=1．∴a+b=3．故答案为：3．8．若f（a+b）=f（a）•f（b）且f（1）=2．则o2)o1)+o3)o2)+…+o2012)o2011)=4022．【解答】解：令b=1．∴f（a+1）=f（a）f（1）or1)op=f（1）=2o2)o1)=2.o3)o2)=2． (2012)o2011)=2o2)o1)+o3)o2)+…+o2012)o2011)=2011×2=4022．答案：4022．9．已知函数f（x）满足f（ab）=f（a）+f（b），且f（2）=p，f（3）=q，那么f（72）=3p+2q．【解答】解：由题意可知：f（6）=f（2）+f（3）=p+q∴f（18）=f（6）+f（3）=p+q+q=p+2q∴f（36）=f（18）+f（2）=p+2q+p=2p+2q∴f（72）=f（36）+f（2）=2p+2q+p=3p+2q故答案为：3p+2q．10．已知函数f（x）的定义域D=（0，+∞），且对于任意x1，x2∈D，均有f（x1•x2）=f（x1）+f（x2）﹣1，且当x＞1时，f（x）＞1（1）求f（1）的值；（2）求证：f（x）在（0，+∞）上是增函数；（3）若f（16）=3，解不等式f（3x+1）≤2．【解答】解：（1）令x1=x2=1，∴f（1）=f（1）+f（1）﹣1∴f（1）=1，（2）：设令0＜x1＜x2，21＞1，当x＞1时，f（x）＞1∴f（21）＞1，∴f（21•x1）=f（x2）=f（21）+f（x1）﹣1＞f（x1），∴f（x）在（0，+∞）上是增函数；（3）令x1=x2=4，∴f（16）=f（4）+f（4）﹣1=3∴f（4）=2，∴f（3x+1）≤2=f（4），∵f（x）在（0，+∞）上是增函数；∴3+1＞03+1≤4，解得−13＜x≤1，故不等式f（3x+1）≤2的解集为（−13，1]．11．已知f（x）是定义域在（0，+∞）上的单调递增函数．且满足f（6）=1．f（x）﹣f（y）=f（）（x＞0，y＞0）．则不等式f（x+3）＜f（12的解集是（0，−3+3172）．【解答】解：∵f（x）﹣f（y）=f（）（x＞0，y＞0），令x=36，y=6，得f（36）﹣f（6）=f（6）∴f（36）=2f（6）=2，∵f（x+3）＜f（1）+2，∴f（x+3）﹣f（1）=f（x（x+3））＜2=f（36），∵f（x）是定义域在（0，+∞）上的单调递增函数，+3＞0＞0o+3)＜36∴0＜x−3+3172故不等式f（x+3）＜f（1）+2的解集是（0，−3+3172），故答案为：（0−3+3172），12．已知函数f（x），对任意实数x1，x2都有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2），且当x＞0时f（x）＞0，f（2）=1．解不等式f（2x2﹣1）＜2的解集为[﹣102，102]．【解答】解：∵f（x1+x2）=f（x1）+f（x2），设x1=x2=0，可得f（0）=2f（0），解得f（0）=0，令x1+x2=0，可得f（0）=f（x1）+f（x2），即有f（﹣x）=﹣f（x），即f（x）为奇函数；令x1＜x2，即有x2﹣x1＞0，f（x2﹣x1）＞0，即为f（x2）=f（x1+x2﹣x1）=f（x1）+f（x2﹣x1）＞f（x1），即有f（x）在R上为增函数；令x1=x2=2，可得f（4）=2f（2），解得f（4）=2，∵不等式f（2x2﹣1）＜2=f（4）∴2x2﹣1＜4，102＜x＜102102，102]．102，102]．二．解答题（共6小题）13．设函数y=f（x）（x∈R）对任意实数均满足f（x+y）=f（x）+f（y），求证f（x）是奇函数．【解答】证明：定义域关于原点对称，令x=y=0，代入f（x+y）=f（x）+f（y）得f（0）=0，令y=﹣x得：f（0）=f（x）+f（﹣x）=0，∴f（﹣x）=﹣f（x），∴f（x）是奇函数．14．判断并证明下列函数的奇偶性．（Ⅰ）f（x）=|x|+12；（Ⅱ）f（x）=x2+2x；（Ⅲ）f（x）=x+1．【解答】解：（Ⅰ）可得x≠0f（﹣x）=|﹣x|+1(−p2=f（x），故函数为偶函数；（Ⅱ）函数的定义域为R，且f （x ）=x 2+2x 的图象为抛物线，对称轴为x=﹣1，不关于y 轴对称，也不关于原点对称，故函数非奇非偶；（Ⅲ）可得x ≠0，f （﹣x ）=﹣x ﹣1=﹣f （x ），故函数为奇函数．15．判断下列函数的奇偶性：（1）f （x ）=3，x ∈R ；（2）f （x ）=5x 4﹣4x 2+7，x ∈[﹣3，3]；（3）f （x ）=|2x ﹣1|﹣|2x +1|；（4）f （x ）=1−2，＞00，=02−1，＜0．【解答】解：（1）由f （﹣x ）=3=f （x ），x ∈R ，可得函数f （x ）为偶函数；（2）f （﹣x ）=5（﹣x ）4﹣4（﹣x ）2+7=5x 4﹣4x 2+7=f （x ），x ∈[﹣3，3]，可得函数f （x ）为偶函数；（3）定义域为R ，f （﹣x ）=|﹣2x ﹣1|﹣|﹣2x +1|=|2x +1|﹣|2x ﹣1|=﹣f （x ），可得f （x ）为奇函数；（4）f （x ）=1−2，＞00，=02−1，＜0，定义域为R ，当x ＞0时，﹣x ＜0，可得f （﹣x ）=（﹣x ）2﹣1=x 2﹣1=﹣f （x ），当x=0可得f （0）=0；当x ＜0时，﹣x ＞0，可得f （﹣x ）=1﹣（﹣x ）2=1﹣x 2=﹣f （x ），即有f（﹣x）=﹣f（x），可得f（x）为奇函数．16．判断下列函数的奇偶性（1）f（x）=a（a∈R）（2）f（x）=（1+x）3﹣3（1+x2）+2（3）f（x）=o1−p，＜0o1+p，＞0．【解答】解：（1）由奇偶性定义当a=0时，f（x）=0既是奇函数又是偶函数，当a≠0时，f（x）=f（﹣x）=a，故是偶函数；（2）f（x）=（1+x）3﹣3（1+x2）+2=x3+3x，由于f（x）+f（﹣x）=x3+3x+（﹣x）3+3（﹣x）=0，故f（x）=（1+x）3﹣3（1+x2）+2是奇函数．（3）当x＜0时，﹣x＞0，f（﹣x）=﹣x（1﹣x）=﹣f（x）；当x＞0时，﹣x＜0，f（﹣x）=﹣x（1+x）=﹣f（x）；由上证知，在定义域上总有f（﹣x）=﹣f（x）；故函数f（x）=o1−p，＜0o1+p，＞0是奇函数．17．已知函数op=B2+23r是奇函数，且o2)=53．（1）求实数a，b的值；（2）判断函数f（x）在（﹣∞，﹣1]上的单调性，并加以证明．【解答】解：（1）函数op=B2+23r是奇函数，且o2)=53，可得f（﹣x）=﹣f（x），B2+2−3r=﹣B2+23r，可得﹣3x+b=﹣3x﹣b，解得b=0；4r26=53，解得a=2；（2）函数f（x）=22+23在（﹣∞，﹣1]上单调递增；理由：设x1＜x2≤﹣1，则f（x1）﹣f（x2）=23（x1+11）﹣23（x2+12）=23（x1﹣x2）（1﹣112），由x1＜x2≤﹣1，可得x1﹣x2＜0，x1x2＞1，即有1﹣112＞0，则f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），则f（x）在（﹣∞，﹣1]上单调递增．18．已知f（x）=1+．（1）求f（x）+f（1）的值；（2）求f（1）+f（2）+…+f（7）+f（1）+f（12）+…+f（17）的值．【解答】解：（1）∵f（x）=1+．∴f（x）+f（1）=1++11+1=1++11+=1，（2）由（1）得：f（1）+f（2）+…+f（7）+f（1）+f（12）+…+f（17）=7．。
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探究提高 判断函数的奇偶性,其中包括两个必备
条件:
一是定义域关于原点对称,这是函数具有奇偶性的 必要不充分条件,所以首先考虑定义域对解决问题 是有利的; 二是判断f(x)与f(-x)是否具有等量关系.在判断奇偶 性的运算中,可以转化为判断奇偶性的等价等量关 系式(f(x)+f(-x)=0(奇函数)或f(x)-f(-x)=0(偶函数))
函数；
②两个偶函数的和、积是_________ 偶函数 ； ③一个奇函数，一个偶函数的积是_________. 奇函数
4.函数的周期性
(1)定义:如果存在一个非零常数T,使得对于函数f(x)定义域内的任意
x,都有f(T+x)=f(x),则称f(为周期函数.不为零的常数T叫做这个函
数的周期.如果在所有的周期中存在着一个最小的正数,这个最小的正 数叫做最小正周期.
若f（-x）≠-f（x）且f（-x）≠f（x），则f（x）既
不是奇函数又不是偶函数，即非奇非偶函数.
3.奇、偶函数的性质
(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性______, 相同
偶函数在关于原点对称的区间上的单调性______( 相反 填 “相同”、“相反”）. (2)在公共定义域内， ①两个奇函数的和是________, 奇函数 两个奇函数的积是偶
复习课
函数的奇偶性和周期性
要点梳理
1.奇函数、偶函数的概念 一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都 f（-x）=f（x） ，那么函数f（x）就叫做偶函数. 有_______________ 一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都 f（-x）=-f（x） 有_______________ ，那么函数f（x）就叫做奇函数. 奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y轴 对称.
基础自测
1.对任意实数x,下列函数为奇函数的是 A.y=2x-3 B.y=-3x2 （C ）
C.y=ln 5x
解析
D.y=-|x|cos x
A为非奇非偶函数,B、D为偶函数,C为奇函
数.设y=f(x)=ln 5x=xln 5,∴f（-x）=-xln 5=
-f（x）.
2.（2008·全国Ⅱ理）函数 f ( x)
是否成立.
知能迁移1
判断下列函数的奇偶性:
4 x2 f ( x) ; | x 3 | 3
解
2 4 x 0 , (1)∵ | x 3 | 3
∴-2≤x≤2且x≠0,
∴函数f(x)的定义域关于原点对称.
4 x2 4 x2 f ( x) . x 33 x 4 ( x) 2 4 x2 又f ( x) , x x ∴f(-x)=-f(x),即函数f(x)是奇函数.
2.判断函数的奇偶性 判断函数的奇偶性,一般都按照定义严格进行,一般 步骤是: （1）考查定义域是否关于____________ 原点对称 ；
（2）考查表达式f（-x）是否等于f（x）或-f（x）： -f（x） 若f（-x）=_______ ，则f（x）为奇函数；
f（x） ，则f（x）为偶函数； 若f（-x）=________ -f（x） 若f（-x）=_______ 且f（-x）=________, f（x） 则f(x)既是 奇函数又是偶函数；
思维启迪 判断函数的奇偶性,应先检查定义域是 否关于原点对称,然后再比较f(x)与f(-x)之间是否
相等或相反.
解
(1) 1 x 0 1 x 1, 定义域关于原点对称. 1 x
1 x 1 x 1 又f ( x) lg lg( ) 1 x 1 x 1 x lg f ( x), 1 x
1 x 的图象关于 x
（C）
A.y轴对称 C.坐标原点对称 B.直线y=-x对称 D.直线y=x对称
1 解析 ∵ f ( x ) x, x 1 1 f ( x) x ( x) f ( x). x x ∴f（x）是奇函数.∴f（x）的图象关于原点对称.
3.（2008·福建理）函数f（x）=x3+sin x+1 (x∈R),
题型二
函数的奇偶性与单调性
【例2】 已知函数f(x),当x,y∈R时，恒有f(x+y)=
f(x)+f(y). (1)求证：f(x)是奇函数； (2)如果x为正实数，f（x）<0,并且f(1)= 1 , 试求 2 f(x)在区间［-2，6］上的最值. 思维启迪 (1)根据函数的奇偶性的定义进行证明, 只需证f(x)+f(-x)=0; (2)根据函数的单调性定义进行证明，并注意函数奇 偶性的应用.
(2)性质:
①周期函数的周期不止一个.如果T是函数f(x)的周期,则nT(n∈Z,且n ≠0)也是f(x)的周期. ②如果函数f(x)的周期为T,则f(ω x)(ω ≠0)也是周期函数,且周期为
1 ③如果函数f(x)的周期为T,则T也是f 的周期. ( x)
.
T ω
④周期的推导与利用函数的周期解决问题.
5 2
)
5.已知奇函数f(x)的周期为4.当x∈[0,2]时,f(x)=2x,则f(-1009)=
. 【解析】函数f(x)周期为4,于是f(-1009)=f(-1)=-f(1)=-2.
【答案】-2
题型分类
题型一 函数奇偶性的判断
深度剖析
【例1】 判断下列函数的奇偶性：
1 x f ( x) lg ; (1) 1 x 1 x (2) f ( x) ( x 1) ; 1 x
若f（a）=2，则f（-a）的值为 A.3 解析 B.0 C.-1 D.-2 （B ）
设g(x)=x3+sin x,很明显g(x)是一个奇函数.
∴f（x）=g（x）+1.∵f（a）=g（a）+1=2， ∴g（a）=1， ∴g（-a）=-1，∴f（-a）=g（-a）+1=-1+1=0.
4.(2011年全国大纲卷)设f(x)是周期为2的奇函数,当0≤x≤1时,f(x)=2 x(1-x),则f(- )等于 (