第十四章机械振动.pptx

t = 0 时 x0 = 0 v0 = 0.4 m·s -1
完成下述简谐振动方程
k m
0.2 (rad ·s –1)
x0 v0
2 (m)
已知 x0 = 0 v0
相应的旋转矢量图为 v0
2
0.2
(SI)
w
例四 某物体沿 X 轴简谐运动， 振幅 A = 0.12 m，
周期 T = 2 s，t = 0 时物体背离原点移动到位置 x0 = 0.06 m处 初相 j , t = 0 .5 s 时的位置 x, 速度 v, 加速度 a
质点1
在A 处
向平衡点运动
质点2 在 A 处
向平衡点运动
用旋转矢量法 两质点振动相位差
两质点第一次通过 平衡点的时刻
A A
例Ac五os A
cos
或
因
且
在第一象限
应取
Acos
A
cos
两质点振动相位差
从旋转矢量图可以看出：
A 转过 时，质点1第一次通过平衡点
1.06 (s)
A 转过
时，质点2第一次通过平衡点
X
A
A
旋转矢量端点 M 作匀速圆周运动
其 速率
wA
振子的运动速度（与 X 轴同向为正）
续8
wA wt j
wt j
旋转矢量端点 M 的加速度为
法向加速度，其大小为
O
wA
和
振子的运动加速度（与 X 轴同向为正）
w A wt j
Aw
X
任一时刻的 和 值， 其正负号仅表示方向。
同号时为加速 异号时为减速
O
动力学特征
正X向
反X向
X
水平光滑面，弹簧劲度 质量可忽略，物体质量
以物体受力为零的平衡位置为坐标原点
物体在任一位 置受的弹性力
以铅垂方向
为摆角参考轴， 单摆在任一角位置 所受的重力矩为 取摆幅很小 则
运动学特征
对于给定的弹簧振子 则 得
X
为常量，其比值亦为常量。令 即
简谐振动微分方程
该微分方程的解 通常表成余弦函数
X 弹簧振子
A
A
单摆
相位 ：
是界定振子在时刻 的运动状态的物理量
运动状态要由位置 和速度 同时描述，而 和 的正负取决于
A
A
初相 ：是
时，振子的相位。
所谓
，不是指开始振动，而是指开始观测和计时。
初始条件即为
时质点的运动状态
位置 速度
A A
续6 由 和 求给定振子的振幅 A
A A
消去 得 A
由 和 求给定振子的 初相
2.13(s)
复摆（物理摆）
mgh sin
J
J
d 2
dt 2
J为m绕O点转动的转动惯量。
当 sin 时
d 2
dt 2
mgh
J
0
可见，复摆的运动也满足谐振动方程。 且其圆频率与周期为
OC h
O C
mg
w0
mgh J
T 2p J
mgh
简谐振动的判断式
平动
转动
F合 kx
M B
F合
ma
机械振动
第十四章 振动
• 简谐振动的描述 • 简谐振动的动力学 • 阻尼振动 • 受迫振动 • 同方向同频率简谐振动的合成 • 同方向不同频率简谐振动的合成 • 谐振分析
机械振动：物体在一定位置附近作周期性往复运动。
广义振动：任一物理量(如位移、电流等)在某一 数值附近作周期性变化。
自然界的振动
j = p / 3 rad及 t = 0 .5 s 代入谐振动的 x, v, a 定义式得
x A cos (w t﹢j ) 0.104 (m)
A
0.19 ( m ·s -1 )
A
1.03 ( m ·s -2 )
两质点 1、2
同在 X 轴上作简谐振动
振幅 A 相同
周期均为 T = 8.5s
t =0时
例二 试证明，若选取受力平衡点作为位置坐标原点，垂直弹簧
振子与水平弹簧振子的动力学方程和振动方程相同。
选取受力平衡点作为位置坐标原点 小球在位置坐标 处所受弹性力
平衡点
小球 在受力平衡点 受弹性力大小
合外力
动力学方程
微分方程
的解：
振动方程 A
均与水平弹簧振子结果相同
例三 弹簧振子
m = 5×10 -3 kg k = 2×10 -4 N·m -1
心跳
简谐振动
物体发生机械振动的条件： 物体受到始终指向平衡位置的回复力； 物体具有惯性。
掌握机械振动的基本规律是研究其它形式振动的基础。
简谐振动（simple harmonic vibration) 是最简单、最基本的振动理想模型。它是研究各种复杂振动的重要基础。 物体距平衡位置的位移(或角位移)随时间按余弦(或正弦)函数变化
X
A
A
简谐振动的
曲线
0.04
完成下述简谐振动方程
0.04
例一
1
2
w
t=0
A = 0.04 (m) T = 2 (s)
w = 2 p / T = p (rad /s )
0.04
p
p SI
2
A
v0
=p/2
A 从 t = 0 作反时针旋转时，
矢端的投影从x=0向X轴的负方运动，
即 v0 ，与 已知 X~ t 曲线一致。
逆时针转动 M ( t )
t 时刻的
M ( t ) M ( t )M ( t ) 循环往复
wt wt AwwtAwt t
wt wt wwtT
jj
O
MM((T00)) 周期 T
初初相相 j
M(t ) X
矢量端点
振动相位
在X 轴上
(w t﹢j )
M(t )
的投影对
M ( t ) 应振子的
Fra Baidu bibliotek
M(t )
位置坐标
A A
消去 A得
但由于 在 0 ~ 2p 范围内，同一正切值对应有两个 值，因此，还必须再
根据 和 的正负进行判断。联系振子运动
直观图不难作出判断
若 且
则
（第二象限）
若
则
且
（第一象限）
（第三象限）
若 且
则
（第四象限）
若
且
则
旋转矢量法
简谐振动方程
x = A cos (w t﹢j )
旋转矢量 A
以匀角速
m
d2x dt 2
M
J
J
d 2
dt 2
d 2x dt 2
w
2
x
0
d 2
dt 2
2
0
w2 k
m
2 B J
x Acos(wt j0 )
cos(t j0 )
振动能量
振动系统：如
水平弹簧振子
振子质量 弹簧劲度
A
简谐振动方程
A 为微分方程求解时的积分常量，由系统的初始条件决定。
简谐振动的速度
A
简谐振动的加速度
A
应用转动定律，同理也可求得单摆的角振动方程
简谐振动的振动方程
A
简谐振动的速度
A
简谐振动的加速度
A
续4
A
A
A
最大
最大
最大
A
A
简谐振动参量
振幅 A ： 的最大绝对值
周期 ：完成一次振动需时
频率 ：
角频率 ：
由简谐振动方程 x = A cos (w t﹢j )
t = 0 时 0.06 = 0.12 cos j 得 j =±p / 3
再由题意知 t = 0 时物体正向运动，即
A
0
且
，则 j 在第四象限，故取j = p / 3
将 A = 0.12 m，T = 2 s , w = 2p / T = p rad ·s -1 ,