最新人教版初中九年级数学上册知识点笔记总结(内部资料打印版)

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21.1 二次根式

知识点一 二次根式的概念

(1) 一般地,我们把形如a (a ≥0)的式子叫做二次根式。二次根式a 的实质是一个非负数a 的算术平方根。其中“

”叫做二次根号。

(2) 正确理解二次根式的概念，要把握以下几点： ① 二次根式是在形式上定义的，必须含有二次根号“”。如4是二次根式，虽然4=2，但2不是二次根

式。

② 被开方数a 必须是非负数，即a ≥0.如3-就不是二次根式，但式子)3(-2

是二次根式。 ③ “

”的根指数为2，即“2

”，一般省略根指数2，写作“

”，注意，不可误认为根指数是“1”或“0”。

提示：判断是不是二次根式，一看形式，二看数值，即形式上要有二次根号，被开方数要是非负数。

知识点二 二次根式的性质

(1)a (a ≥0)既是二次根式，又是非负数的算术平方根，所以它一定是非负数，即a ≥(a ≥0)，我们把这个性质叫做二次根式的非负性。

(2)(a )2

= a (a ≥0)，这个性质可以正用，也可以逆用，正用时常用于二次根式的化简和计算，可以去掉根号；

逆用时可以把一个非负数写成完整平方数的形式，常用于多项式的因式分解。

(3)a 2

= a (a ≥0)，这个性质可以正用，也可以逆用，正用时用于二次根式的化简，即当被开方数能化为完全平方数(式)时，就可以利用该性质去掉根号；逆用时可以把一个非负数化为一个二次根式。

知识点三 代数式

定义：用基本运算符号(基本运算包括加、减、乘、除、乘方和开方)把数和表示数的字母连接起来的式子，叫做代数式。

21.2 二次根式的乘除

知识点一 二次根式的乘法法则

一般地，对二次根式的乘法规定：a ·b =ab (a ≥0,b ≥0)，即二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变。

知识点二 积的算术平方根的性质

ab =a ·b (a ≥0，b ≥0)，积的算术平方根等于积中各个因式的算术平方根的积。

知识点三 二次根式的除法法则

一般地，对二次根式的除法规定：b

a =

b

a

(a ≥0，b ＞0)，即两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变。

知识点四 商的算术平方根的性质

b a =b

a (a ≥0,

b ＞0)，即商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根。 知识点五 最简二次根式

必须满足以下两个条件：

(1)被开方数不含分母；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。

21.3 二次根式的加减

知识点一 二次根式的加减

二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式合并，二次根式加减法的实质是将被开方数相同的二次根式合并，合并时只把系数相加减，根指数和被开方数不变。

知识点二 二次根式的混合运算

(1)二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序相同：先乘方开方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号

里面的。

(2)在二次根式的运算中乘法法则和乘法公式仍然适用。

22.1 一元二次方程

知识点一一元二次方程的定义

等号两边都是整式，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的方程，叫做一元二次方程。注意一下几点：

①只含有一个未知数；②未知数的最高次数是2；③是整式方程。

知识点二一元二次方程的一般形式

一般形式：ax2 + bx + c = 0(a ≠ 0).其中，ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c 是常数项。

知识点三一元二次方程的根

使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。方程的解的定义是解方程过程中验根的依据。

22.2 降次——解一元二次方程

22.2.1 配方法

知识点一直接开平方法解一元二次方程

(1)如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方，另一边是非负数，可以直接开平方。一般地，对于形如x2=a(a≥0)的方程，根据平方根的定义可解得x1=a,x2=a

-.

(2)直接开平方法适用于解形如x2=p或(mx+a)2=p(m≠0)形式的方程，如果p≥0，就可以利用直接开平方法。

(3)用直接开平方法求一元二次方程的根，要正确运用平方根的性质，即正数的平方根有两个，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。

(4)直接开平方法解一元二次方程的步骤是：①移项；②使二次项系数或含有未知数的式子的平方项的系数为1；

③两边直接开平方，使原方程变为两个一元二次方程；④解一元一次方程，求出原方程的根。

知识点二配方法解一元二次方程

通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法，配方的目的是降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解。

配方法的一般步骤可以总结为：一移、二除、三配、四开。

(1)把常数项移到等号的右边；(2)方程两边都除以二次项系数；

(3)方程两边都加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方式；

(4)若等号右边为非负数，直接开平方求出方程的解。

22.2.2 公式法

知识点一公式法解一元二次方程

(1)一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，如果b2-4ac≥0，那么方程的两个根为x=

a ac

b b

2

4 2

-

±

-

，这个公式叫做一元二次方程的求根公式，利用求根公式，我们可以由一元二方程的系数a,b,c的值直接求得方程的解，这种解方程的方法叫做公式法。

(2)一元二次方程求根公式的推导过程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的过程。

(3)公式法解一元二次方程的具体步骤：

①方程化为一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0)，一般a化为正值；

②确定公式中a,b,c的值，注意符号；③求出b2-4ac的值；

④若b2-4ac≥0，则把a,b,c和b-4ac的值代入公式即可求解，若b2-4ac＜0，则方程无实数根。

知识点二一元二次方程根的判别式

式子b2-4ac叫做方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式，通常用希腊字母△表示它，即△=b2-4ac.

△＞0，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根

一元二次方程△=0，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根

根的判别式

△＜0，方程ax2+bx+c=0(a≠0)无实数根

22.2．3 因式分解法

知识点一因式分解法解一元二次方程