最新人教版初中九年级数学上册知识点笔记总结(内部资料打印版)

资料由小程序：家教资料库 整理21.1 二次根式知识点一 二次根式的概念(1) 一般地,我们把形如a (a ≥0)的式子叫做二次根式。

二次根式a 的实质是一个非负数a 的算术平方根。

其中“”叫做二次根号。

(2) 正确理解二次根式的概念，要把握以下几点： ① 二次根式是在形式上定义的，必须含有二次根号“”。

如4是二次根式，虽然4=2，但2不是二次根式。

② 被开方数a 必须是非负数，即a ≥0.如3-就不是二次根式，但式子)3(-2是二次根式。

③ “”的根指数为2，即“2”，一般省略根指数2，写作“”，注意，不可误认为根指数是“1”或“0”。

提示：判断是不是二次根式，一看形式，二看数值，即形式上要有二次根号，被开方数要是非负数。

知识点二 二次根式的性质(1)a (a ≥0)既是二次根式，又是非负数的算术平方根，所以它一定是非负数，即a ≥(a ≥0)，我们把这个性质叫做二次根式的非负性。

(2)(a )2= a (a ≥0)，这个性质可以正用，也可以逆用，正用时常用于二次根式的化简和计算，可以去掉根号；逆用时可以把一个非负数写成完整平方数的形式，常用于多项式的因式分解。

(3)a 2= a (a ≥0)，这个性质可以正用，也可以逆用，正用时用于二次根式的化简，即当被开方数能化为完全平方数(式)时，就可以利用该性质去掉根号；逆用时可以把一个非负数化为一个二次根式。

知识点三 代数式定义：用基本运算符号(基本运算包括加、减、乘、除、乘方和开方)把数和表示数的字母连接起来的式子，叫做代数式。

21.2 二次根式的乘除知识点一 二次根式的乘法法则一般地，对二次根式的乘法规定：a ·b =ab (a ≥0,b ≥0)，即二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变。

知识点二 积的算术平方根的性质ab =a ·b (a ≥0，b ≥0)，积的算术平方根等于积中各个因式的算术平方根的积。

知识点三 二次根式的除法法则一般地，对二次根式的除法规定：ba =ba(a ≥0，b ＞0)，即两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变。

知识点四 商的算术平方根的性质b a =ba (a ≥0,b ＞0)，即商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根。

知识点五 最简二次根式必须满足以下两个条件：(1)被开方数不含分母；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。

21.3 二次根式的加减知识点一 二次根式的加减二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式合并，二次根式加减法的实质是将被开方数相同的二次根式合并，合并时只把系数相加减，根指数和被开方数不变。

知识点二 二次根式的混合运算(1)二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序相同：先乘方开方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的。

(2)在二次根式的运算中乘法法则和乘法公式仍然适用。

22.1 一元二次方程知识点一一元二次方程的定义等号两边都是整式，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的方程，叫做一元二次方程。

注意一下几点：①只含有一个未知数；②未知数的最高次数是2；③是整式方程。

知识点二一元二次方程的一般形式一般形式：ax2 + bx + c = 0(a ≠ 0).其中，ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c 是常数项。

知识点三一元二次方程的根使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。

方程的解的定义是解方程过程中验根的依据。

22.2 降次——解一元二次方程22.2.1 配方法知识点一直接开平方法解一元二次方程(1)如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方，另一边是非负数，可以直接开平方。

一般地，对于形如x2=a(a≥0)的方程，根据平方根的定义可解得x1=a,x2=a-.(2)直接开平方法适用于解形如x2=p或(mx+a)2=p(m≠0)形式的方程，如果p≥0，就可以利用直接开平方法。

(3)用直接开平方法求一元二次方程的根，要正确运用平方根的性质，即正数的平方根有两个，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。

(4)直接开平方法解一元二次方程的步骤是：①移项；②使二次项系数或含有未知数的式子的平方项的系数为1；③两边直接开平方，使原方程变为两个一元二次方程；④解一元一次方程，求出原方程的根。

知识点二配方法解一元二次方程通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法，配方的目的是降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解。

配方法的一般步骤可以总结为：一移、二除、三配、四开。

(1)把常数项移到等号的右边；(2)方程两边都除以二次项系数；(3)方程两边都加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方式；(4)若等号右边为非负数，直接开平方求出方程的解。

22.2.2 公式法知识点一公式法解一元二次方程(1)一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，如果b2-4ac≥0，那么方程的两个根为x=a acb b24 2-±-，这个公式叫做一元二次方程的求根公式，利用求根公式，我们可以由一元二方程的系数a,b,c的值直接求得方程的解，这种解方程的方法叫做公式法。

(2)一元二次方程求根公式的推导过程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的过程。

(3)公式法解一元二次方程的具体步骤：①方程化为一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0)，一般a化为正值；②确定公式中a,b,c的值，注意符号；③求出b2-4ac的值；④若b2-4ac≥0，则把a,b,c和b-4ac的值代入公式即可求解，若b2-4ac＜0，则方程无实数根。

知识点二一元二次方程根的判别式式子b2-4ac叫做方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式，通常用希腊字母△表示它，即△=b2-4ac.△＞0，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根一元二次方程△=0，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根根的判别式△＜0，方程ax2+bx+c=0(a≠0)无实数根22.2．3 因式分解法知识点一因式分解法解一元二次方程(1)把一元二次方程的一边化为0，而另一边分解成两个一次因式的积，进而转化为求两个求一元一次方程的解，这种解方程的方法叫做因式分解法。

(2)因式分解法的详细步骤：① 移项，将所有的项都移到左边，右边化为0；② 把方程的左边分解成两个因式的积，可用的方法有提公因式、平方差公式和完全平方公式； ③ 令每一个因式分别为零，得到一元一次方程； ④ 解一元一次方程即可得到原方程的解。

知识点二 用合适的方法解一元一次方程若一元二次方程x 2+px+q=0的两个根为x 1,x 2,则有x 1+x 2=-p,x 1x 2=q. 若一元二次方程a 2x+bx+c=0(a ≠0)有两个实数根x 1,x 2,则有x 1+x 2=，a b -,x 1x 2=ac 22.3 实际问题与一元二次方程知识点一 列一元二次方程解应用题的一般步骤：(1)审：是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量以及它们之间的等量关系。

(2)设：是指设元，也就是设出未知数。

(3)列：就是列方程，这是关键步骤,一般先找出能够表达应用题全部含义的一个相等含义，然后列代数式表示这个相等关系中的各个量，就得到含有未知数的等式，即方程。

(4)解：就是解方程，求出未知数的值。

(5)验：是指检验方程的解是否保证实际问题有意义，符合题意。

(6)答：写出答案。

知识点二 列一元二次方程解应用题的几种常见类型(1)数字问题三个连续整数：若设中间的一个数为x ，则另两个数分别为x-1，x+1。

三个连续偶数(奇数)：若中间的一个数为x ，则另两个数分别为x-2,x+2。

三位数的表示方法：设百位、十位、个位上的数字分别为a,b,c ，则这个三位数是100a+10b+c. (2)增长率问题设初始量为a ，终止量为b ，平均增长率或平均降低率为x ，则经过两次的增长或降低后的等量关系为a(1x ±)2=b 。

(3)利润问题利润问题常用的相等关系式有：①总利润=总销售价-总成本；②总利润=单位利润×总销售量；③利润=成本×利润率(4)图形的面积问题根据图形的面积与图形的边、高等相关元素的关系，将图形的面积用含有未知数的代数式表示出来，建立一元二次方程。

23.1 图形的旋转知识点一 旋转的定义在平面内，把一个平面图形绕着平面内某一点O 转动一个角度，就叫做图形的旋转，点O 叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。

我们把旋转中心、旋转角度、旋转方向称为旋转的三要素。

知识点二 旋转的性质旋转的特征：(1)对应点到旋转中心的距离相等；(2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；(3)旋转前后的图形全等。

理解以下几点：（1） 图形中的每一个点都绕旋转中心旋转了同样大小的角度。

(2)对应点到旋转中心的距离相等，对应线段相等，对应角相等。

(3)图形的大小和形状都没有发生改变，只改变了图形的位置。

知识点三 利用旋转性质作图旋转有两条重要性质：(1)任意一对对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；(2)对应点到旋转中心的距离相等，它是利用旋转的性质作图的关键。

步骤可分为：①连：即连接图形中每一个关键点与旋转中心；②转：即把直线按要求绕旋转中心转过一定角度(作旋转角)③截：即在角的另一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点；④接：即连接到所连接的各点。

23.2 中心对称知识点一中心对称的定义中心对称：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心。

注意以下几点：中心对称指的是两个图形的位置关系；只有一个对称中心；绕对称中心旋转180°两个图形能够完全重合。

知识点二作一个图形关于某点对称的图形要作出一个图形关于某一点的成中心对称的图形，关键是作出该图形上关键点关于对称中心的对称点。

最后将对称点按照原图形的形状连接起来，即可得出成中心对称图形。

知识点三中心对称的性质有以下几点：(1)关于中心对称的两个图形上的对应点的连线都经过对称中心，并且都被对称中心平分；(2)关于中心对称的两个图形能够互相重合，是全等形；(3)关于中心对称的两个图形，对应线段平行(或共线)且相等。

知识点四中心对称图形的定义把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心。

知识点五关于原点对称的点的坐标在平面直角坐标系中，如果两个点关于原点对称，它们的坐标符号相反，即点p(x,y)关于原点对称点为(-x,-y)。