第六讲 计算思维之问题求解思想—1
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专题五 计算思维与问题求解
分析过程
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第六讲 计算思维与问题求解
引导问题
浅谈计算思维
问题求解
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18
计算思维----定义
“我们所使用的工具影响着我们的 思维方式和思维习惯，从而也将深刻 地影响着我们的思维能力。”
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31
计算思维----能力培养
不插电的计算思维——视频范例（交朋友算法）
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32
计算思维----能力培养
不插电的计算思维——视频范例（交朋友算法）
信息的输入输出 信息的表示 信息的存储 信息的处理 数据的描述 控制结构 计算方法 高级语言程序设计 环境与实现
输入： A B C
输出：
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11
导引问答题（二）
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B
C
T
最终结果
第三步： A 交换：
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B
C
算法表示
开始
A
N
分别从键盘输入数值A，B，C
B>C?
Y
N
交换B,C的值，T=B,B=C,C=T
A>B?
计算思维(201201)
的处理包括分析、抽象、综合、概括等。
科学的重要性在于，它是真理，推动着人类文明进步和科技的发展。
科学思维是什么呢？它一般包括理论思维、实验思维和计算思维。
理论思维又称推理思维，以推理和演绎为特征，以数学学科为代表。
实验思维又称实证思维，以观察和总结自然规律为特征，以物理学科为代表。
计算思维又称构造思维，以设计和构造为特征，以计算机学科为代表。
国科发财〔2008〕197号文《关于创新方法工作的若干意见》认为“科学思维不仅是一切科学研究和技术发展的起点，而且始终贯穿于科学研究和技术发展的全过程，是创新的灵魂”。
科学思维的含义和重要性在于它反映的是事物的本质和规律。
计算思维计算思维的定义：它是运用计算的基础概念（Fundamental Concept ）去求解问题、设计系统和理解人类行为的一种方法（Approach ），是一类今天我主要谈谈计算思维。
我报告的题目是：“计算思维：大学计算教育的振兴，科学工程研究的创新”。
为什么讲这个题目，因为是计算机大会，在座的都是搞计算机的。
那么我们的计算机科学与计算机学科的现状是什么样的？计算思维将如何成为振兴大学计算教育的途径？计算思维与技术创新又是什么关系？计算科学是很伟大的，理论科学、实验科学、计算科学被称为推动人类文明进步和科技发展的三大科学，或者叫三大支柱。
但是我们的现状是什么呢？计算机学科，计算机教育，尤其计算机的基础教育是有问题的，甚至计算机基础教育存在着危机。
作为计算机教育者和改革者，我们应该积极地改变这种局面，纠正社会上对计算机科学的片面理解。
要改变计算机学科不需要什么理论的错误观点，要扭转“计算机只是工具”的社会不良形象，要消除计算机学科特别是计算机基础教育“可有可无”的影响，要积极传播计算机科学的魅力、愉悦和力量。
要改变现在的情况，就要提倡计算思维，宣扬计算思维在教育和科研中的作用，并把这种思维普适化、大众化，真正融入到人类的一切活动中。
科学与思维什么是科学？达尔文曾经给科学下过一个定义：“科学就是整理事实，从中发现规律，做出结论”。
001计算思维PPT课件
计算科学对其他学科中的问题进行计算机模拟或 者其他形式的计算而形成的诸如计算物理、计算 化学等学科统称为计算学科。(计算视角)
计算学科/Computing Discipline:是对 描述和变换信息的算法过程进行系统的研究 ，它包括算法过程的理论、分析、设计、效 率分析、实现和应用等。(计算机视角)
以自然界为主要研究对象，运用实证、 理性和臻美等方法，揭示自然的奥秘， 获取自然的真知。
人文科学 humanities
以人类作为主要研究对象，运用实地考 察、诠释和启示等方法，认识人、人性 和人生的意义，提升人的精神素质和思 想境界。
社会科学 Social Science
以社会领域为主要研究对象，运用调查、 统计和归纳等方法，把握社会规律，解 决社会问题，促进社会进步。
如何界定自然科学？物理学，化学，…… 计算科学？数学？
8
科学与计算科学
美国能源部报告认为：高端计算目前已经与理论研
究、实验手段一起，成为获得科学发现的三大支柱。因
此，理论科学、实验科学和计算科学是推动人类文明进
步和科技发展的重要途径。
9
科学与计算科学
二、计算科学与计算学科 计算科学/Computational Science：一种与
第一讲
教学目标
➢ 了解科学、计算、计算科学与计算学科、思维与计 算思维的基本概念
➢ 了解计算学科与其它学科之间的关系 ➢ 了解计算思维的作用，学会计算思维的基本方法，
掌握其基本技能 ➢ 了解运用计算机求解问题的基本思路和一般过程
知识要点
➢计算、可计算性以及计算学科的概念 ➢思维、计算思维进行问题求解的一般过程 ➢计算思维在人类社会的经济、科技等各领域
4
科学与计算科学
计算学科/Computing Discipline:是对 描述和变换信息的算法过程进行系统的研究 ，它包括算法过程的理论、分析、设计、效 率分析、实现和应用等。(计算机视角)
以自然界为主要研究对象，运用实证、 理性和臻美等方法，揭示自然的奥秘， 获取自然的真知。
人文科学 humanities
以人类作为主要研究对象，运用实地考 察、诠释和启示等方法，认识人、人性 和人生的意义，提升人的精神素质和思 想境界。
社会科学 Social Science
以社会领域为主要研究对象，运用调查、 统计和归纳等方法，把握社会规律，解 决社会问题，促进社会进步。
如何界定自然科学？物理学，化学，…… 计算科学？数学？
8
科学与计算科学
美国能源部报告认为：高端计算目前已经与理论研
究、实验手段一起，成为获得科学发现的三大支柱。因
此，理论科学、实验科学和计算科学是推动人类文明进
步和科技发展的重要途径。
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科学与计算科学
二、计算科学与计算学科 计算科学/Computational Science：一种与
第一讲
教学目标
➢ 了解科学、计算、计算科学与计算学科、思维与计 算思维的基本概念
➢ 了解计算学科与其它学科之间的关系 ➢ 了解计算思维的作用，学会计算思维的基本方法，
掌握其基本技能 ➢ 了解运用计算机求解问题的基本思路和一般过程
知识要点
➢计算、可计算性以及计算学科的概念 ➢思维、计算思维进行问题求解的一般过程 ➢计算思维在人类社会的经济、科技等各领域
4
科学与计算科学
计算思维概述 ppt课件
④ ICER Final Report of the Northwest Regional Meeting • 内容及建议
以上四个文件分析了美国计算教育出现的问题，报告建议在美国国家科学基金的资助下全面 改革美国的计算教育。以下两个问题和一个建议值得我们注意： ① 大学第一年计算机课程的构建问题； ② 多学科的融合问题； ③ 报告建议加强美国中小学学生抽象思维与写作能力的训练，目的，使学生平稳过渡到
（3）“讨论”出服务排队的核心方法：
–先来先服务（FCFS) –短任务优先（SJF) –最短剩余时间优先（SRTF) –优先级调度（HPF) –时间片轮转（RR)
例4 装箱问题模拟
问题：用尽可能少的箱子装下若干物体
#include <stdio.h> main() {
int i, j, Cur, N, Max=0; static int S[1001]; scanf("%d", &N); for(i=1; i<=N; i++) {
科学的美不逊于艺术的美。
1.1 科学与科学思维
1. 科学的概念
词源
“science”来源于拉丁文”scientia”, 意为“知识 与学问”。
达尔文
“科学就是整理事实，从中发现规律，作出结 论。”
科学是运用范畴、定理和定律等思维形式反映现 实世界中各种现象的本质和运动规律的知识体系。
1.1 科学与科学思维
2. 科学的分类 广义科学
自然科学：以自然界为主要研究对象，运用实证、理性和 臻美等方法，解释自然的奥秘。
人文科学：以人类为主要研究对象，，运用实地考察、诠 释和启示等方法，认识人、人性和人生的意义，提升人的精 神素质和思想境界。
以上四个文件分析了美国计算教育出现的问题，报告建议在美国国家科学基金的资助下全面 改革美国的计算教育。以下两个问题和一个建议值得我们注意： ① 大学第一年计算机课程的构建问题； ② 多学科的融合问题； ③ 报告建议加强美国中小学学生抽象思维与写作能力的训练，目的，使学生平稳过渡到
（3）“讨论”出服务排队的核心方法：
–先来先服务（FCFS) –短任务优先（SJF) –最短剩余时间优先（SRTF) –优先级调度（HPF) –时间片轮转（RR)
例4 装箱问题模拟
问题：用尽可能少的箱子装下若干物体
#include <stdio.h> main() {
int i, j, Cur, N, Max=0; static int S[1001]; scanf("%d", &N); for(i=1; i<=N; i++) {
科学的美不逊于艺术的美。
1.1 科学与科学思维
1. 科学的概念
词源
“science”来源于拉丁文”scientia”, 意为“知识 与学问”。
达尔文
“科学就是整理事实，从中发现规律，作出结 论。”
科学是运用范畴、定理和定律等思维形式反映现 实世界中各种现象的本质和运动规律的知识体系。
1.1 科学与科学思维
2. 科学的分类 广义科学
自然科学：以自然界为主要研究对象，运用实证、理性和 臻美等方法，解释自然的奥秘。
人文科学：以人类为主要研究对象，，运用实地考察、诠 释和启示等方法，认识人、人性和人生的意义，提升人的精 神素质和思想境界。
第六讲 计算思维之问题求解思想—4
•
递推算法—案例
算法案例
– 递推算法通常用于计算性的问题求解，算法简单易懂，执行算法的时间
与空间复杂度基本固定在O（N），执行效率普遍可以被接受。比较典
型的运用递推算法求解的问题是斐波那契数列（Faibonacci）问题。
– 【斐波那契数列问题】1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ...……，求此
•
递归算法—定义
算法定义
– 递归算法（Recursion Algorithm）是把问题转化为规模缩小了的同类问
题的子问题。然后通过递归调用函数（或过程）来表示问题的解。一
个程序过程（或函数）直接或间接调用自己本身，这种过程（或函数）
称为递归过程（或函数）。
– 递归调用分两种情况：直接递归和间接递归。直接递归指即在过程中
解决问题。策略ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ面向问题的，算法是面向实现的。
• 问题空间（Problem Space）是问题解决者对一个问题
所达到的全部认识状态，它是由问题解决者利用问题所
包含的信息和已贮存的信息主动地构成的。
算法策略概述
• 问题空间会随着问题解决的迚程而逐渐得到丰富和扩展。而且，
在解决某一特定问题时，不同个体的问题空间可能是有差别的。
• 例如一个已知是四位并且全部由数字组成的密码，其可能共有10000种组合，因此最多 尝试10000次就能找到正确的密码。理论上利用这种方法可以破解任何一种密码，问题 只在于如何缩短试误时间。因此有些人运用计算机来增加效率，有些人辅以字典来缩
小密码组合的范围。
– 在一些领域，为了提高密码的破译效率而专门为其制造的超级计算机也不在 少数，例如IBM公司为美国军方制造的“飓风”就是很有代表性的一个特例。
第六讲 计算思维之问题求解思想—5
某女相亲
• 算法特点
贪心算法—特点
– 有一个以最优方式来解决的问题。为了构造问题的解决方案，有一个候选的对象的集合。 – 随着算法的进行，将积累起其它两个集合：一个包含已经被考虑过并被选出的候选对象，
另一个包含已经被考虑过但被丢弃的候选对象。
– 有一个函数来检查一个候选对象的集合是否提供了问题的解答。该函数不考虑此时的解决 方法是否最优。 – 还有一个函数检查是否一个候选对象的集合是可行的，也即是否可能往该集合上添加更多 的候选对象以获得一个解。和上一个函数一样，此时不考虑解决方法的最优性。 – 选择函数可以指出哪一个剩余的候选对象最有希望构成问题的解。 – 最后，目标函数给出解的值。
• 算法案例
回溯算法—案例
– 【迷宫问题】在迷宫中求从入口到出口的一条简单路径。
• 计算机解迷宫时，通常用的是“试探和回溯”的方法，即从
入口出发，顺某一方向向前探索，若能走通，则继续往前走；
否则沿原路退回，换一个方向再继续探索，直至所有可能的 通路都探索到为止。如果所有可能的通路都试探过，还是不 能走到终点，那就说明该迷宫不存在从起点到终点的通道。
•
–
背包问题
案例描述
背包的容量总重量为C，现有不同价值、 不同重量的物品N件，问题要求从这N 件物品中选取一部分物品放入背包的 选择方案：使得选中物品的总重量不
超过指定的限制重量C，但选中物品的
价值之和要最大。
•
–
背包问题
案例分析与实现
（请教师与学生在课程具体探讨和交流）
主题五 几个经典案例的算法实现
• • • • • • •
主题四 算法策略大搜罗
枚举算法 递推算法 递归算法 迭代算法 分治算法 贪心算法 回溯算法
• 算法特点
贪心算法—特点
– 有一个以最优方式来解决的问题。为了构造问题的解决方案，有一个候选的对象的集合。 – 随着算法的进行，将积累起其它两个集合：一个包含已经被考虑过并被选出的候选对象，
另一个包含已经被考虑过但被丢弃的候选对象。
– 有一个函数来检查一个候选对象的集合是否提供了问题的解答。该函数不考虑此时的解决 方法是否最优。 – 还有一个函数检查是否一个候选对象的集合是可行的，也即是否可能往该集合上添加更多 的候选对象以获得一个解。和上一个函数一样，此时不考虑解决方法的最优性。 – 选择函数可以指出哪一个剩余的候选对象最有希望构成问题的解。 – 最后，目标函数给出解的值。
• 算法案例
回溯算法—案例
– 【迷宫问题】在迷宫中求从入口到出口的一条简单路径。
• 计算机解迷宫时，通常用的是“试探和回溯”的方法，即从
入口出发，顺某一方向向前探索，若能走通，则继续往前走；
否则沿原路退回，换一个方向再继续探索，直至所有可能的 通路都探索到为止。如果所有可能的通路都试探过，还是不 能走到终点，那就说明该迷宫不存在从起点到终点的通道。
•
–
背包问题
案例描述
背包的容量总重量为C，现有不同价值、 不同重量的物品N件，问题要求从这N 件物品中选取一部分物品放入背包的 选择方案：使得选中物品的总重量不
超过指定的限制重量C，但选中物品的
价值之和要最大。
•
–
背包问题
案例分析与实现
（请教师与学生在课程具体探讨和交流）
主题五 几个经典案例的算法实现
• • • • • • •
主题四 算法策略大搜罗
枚举算法 递推算法 递归算法 迭代算法 分治算法 贪心算法 回溯算法
计算思维与问题求解
累加累乘（∑n 以及n!、mn，多项式求和问题） 拆数（数字重组，字符串重组，水仙花数；完数；同构数；回文数等） 拆字符串（字符串重组，统计字符种类个数） 进制转换问题（210，28，216，810，816，1610） 递推迭代算法（兔子繁殖问题：Fibonacci数列） 穷举算法（百钱买百鸡；抓钱币游戏等） 整除求余（素数判断问题、分解因子问题） 辗转相除法（求两个整数的最大公约数和最小公倍数） 最大数最小数问题（求N个数中的最大数和最小数） 值的比较交换问题 数组问题（冒泡排序算法、选择排序算法、顺序查找法） 递归算法
问题求解算法归纳
算法归纳整合
求两个数中的最大数 求三个数中的最大数 求N个数中的最大数 交换两个数（排序） 交换三个数（排序） 交换N个数（排序）
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问题求解算法归纳
数学算法
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问题求解算法——描述方法
伪代码
用一些介于自然语言与高级语言之间的符号语言表达算法，依次 用人们所熟悉的并简洁的方式表示出来。
确定时间 IF 九点以前 THEN do 私人事务； ELSEIF 9点到18点 THEN 工作； ELSE 下班; END IF
c=c+1（称其为计数器） s=s+x（称其为累加器） p=p*x（称其为累积器） x=x/n（称其为累除器）、 t=-t（称其为正负号变换器） t=a,a=b,b=t（a,b变量值交换） f=1,f=0（称其为标记器） p=I（称其为跟踪器）
计算思维导论教材课件
2/30
计算思维 基础知识
1.1 科学与计算科学
爱因斯坦：设法将人们杂乱无章的 感觉经验加以整理，使之符合逻辑 一致的思想系统，就叫科学。
科学作为一种存在的事物和 完整的事物，是人类认知的 事物中最客观的。但科学在 形成过程中，作为追求的目 的，却如同人类的其他认知 一样，是主观的也是受心理 制约的。
若都保持沉默(“合作”)，则一同入狱1年； 若是互相检举(互相“背叛”)，则一同入狱5年
若你认罪并检举对方(“背叛”对方)，他保持沉默，他入人 狱10年，你可以获释(反之亦然)
结果两人都选择了招供（最希望的结果）。
计算思维 基础知识
孤立地看，这是最符合个体利益的“理性”选择。以A为例： 若B招供，A自己招供获刑5年，不招供获刑10年；若B不招供， 自己招供可以免刑，不招供获刑1年。 两种情况下，选择招供都更有利，事实上却比两人都拒不招供 的结果糟。 由囚徒困境可知，公共生活中，如果每个人都从眼前利益、个 人利益出发，结果会对整体的利益(间接对个人的利益)造成 伤害。
计算学科的基本问题：什么能被（有效地）自动进行。
10/30
计算思维 基础知识
1.1 科学与计算科学
计算学科是在数学和电子科学基础上发展起 来的一门新兴学科，它既是一门理论性很强的学 科，又是一门实践性很强的学科。
11/30
计算思维 基础知识
1.1 科学与计算科学
四、计算机科学与计算机学科
计算机科学/Computer Science：研究计算机及其周围 各种现象和规律的科学。 分类：理论计算机科学、应用计算机科学。 计算机学科/Computer Discipline：研究计算机的设计 与制造和利用计算机进行信息获取、表示、储存、处 理、控制等的理论、原则、方法和技术的学科。 计算机科学侧重研究现象与揭示规律，计算机技术则 侧重研制计算机及使用计算机进行信息处理的方法和 技术手段。
计算思维 基础知识
1.1 科学与计算科学
爱因斯坦：设法将人们杂乱无章的 感觉经验加以整理，使之符合逻辑 一致的思想系统，就叫科学。
科学作为一种存在的事物和 完整的事物，是人类认知的 事物中最客观的。但科学在 形成过程中，作为追求的目 的，却如同人类的其他认知 一样，是主观的也是受心理 制约的。
若都保持沉默(“合作”)，则一同入狱1年； 若是互相检举(互相“背叛”)，则一同入狱5年
若你认罪并检举对方(“背叛”对方)，他保持沉默，他入人 狱10年，你可以获释(反之亦然)
结果两人都选择了招供（最希望的结果）。
计算思维 基础知识
孤立地看，这是最符合个体利益的“理性”选择。以A为例： 若B招供，A自己招供获刑5年，不招供获刑10年；若B不招供， 自己招供可以免刑，不招供获刑1年。 两种情况下，选择招供都更有利，事实上却比两人都拒不招供 的结果糟。 由囚徒困境可知，公共生活中，如果每个人都从眼前利益、个 人利益出发，结果会对整体的利益(间接对个人的利益)造成 伤害。
计算学科的基本问题：什么能被（有效地）自动进行。
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计算思维 基础知识
1.1 科学与计算科学
计算学科是在数学和电子科学基础上发展起 来的一门新兴学科，它既是一门理论性很强的学 科，又是一门实践性很强的学科。
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计算思维 基础知识
1.1 科学与计算科学
四、计算机科学与计算机学科
计算机科学/Computer Science：研究计算机及其周围 各种现象和规律的科学。 分类：理论计算机科学、应用计算机科学。 计算机学科/Computer Discipline：研究计算机的设计 与制造和利用计算机进行信息获取、表示、储存、处 理、控制等的理论、原则、方法和技术的学科。 计算机科学侧重研究现象与揭示规律，计算机技术则 侧重研制计算机及使用计算机进行信息处理的方法和 技术手段。
计算思维与思维导图ppt课件
10
• 抽象和分解 来迎接庞杂的任务或者设 计巨大复杂的系统。它是关注的分离（ SOC方法）。它是选择合适的方式去陈述 一个问题，或者是选择合适的方式对一 个问题的相关方面建模使其易于处理。 它是利用不变量简明扼要且表述性地刻 画系统的行为。它使我们在不必理解每 一个细节的情况下就能够安全地使用、 调整和影响一个大型复杂系统的信息。 它就是为预期的未来应用而进行的预取 和缓存。
15
理论体系
• 脑科学 大量实验研究和临床证据表明，人的大脑分左右
两个半球，思维导图运用了学生的左右两边大脑一起 参与学习和记忆。一般而言,左脑偏重于逻辑思维,右 脑偏重于形象思维,形象记忆更轻松、更容易被人所接 受。
• 认知心理学 结构性知识也称理性知识,指某一领域内各概念如
何相互关联的知识。结构性知识将陈述性知识整合成 有用的知识结构,描述了个体对不同内容领域概念的组 织(知识结构)。结构性知识有助于促进先前知识的运 用。
• 计算思维不仅影响着美国，也影响着英国的教 育，在英国的爱丁堡大学，人们在一连串的研 讨会上探索与计算思维有关的主题。每次研讨 会，都有不少专家讨论计算思维对不同学科的 影响。研讨会上所涉及的学科已延伸到哲学、 物理、生物、医学、建筑、教育等各个不同的 领域。
• 国内有关计算思维的研究 上世纪80年代，钱学森先生在总结前人的
19
应用方向
• 思维导图可以用于工作、学习和生活中的任何 一个领域里。
• 1、作为个人：计划，项目管理，沟通，组织 ，分析解决问题等；
• 2、作为学习者：记忆，笔记，写报告，写论 文，做演讲，考试，思考，集中注意力等；
• 3、作为职业人士：计划，沟通，项目管理， 组织，会议，培训，谈判，面试，评估，掀起 头脑风暴等。
• 抽象和分解 来迎接庞杂的任务或者设 计巨大复杂的系统。它是关注的分离（ SOC方法）。它是选择合适的方式去陈述 一个问题，或者是选择合适的方式对一 个问题的相关方面建模使其易于处理。 它是利用不变量简明扼要且表述性地刻 画系统的行为。它使我们在不必理解每 一个细节的情况下就能够安全地使用、 调整和影响一个大型复杂系统的信息。 它就是为预期的未来应用而进行的预取 和缓存。
15
理论体系
• 脑科学 大量实验研究和临床证据表明，人的大脑分左右
两个半球，思维导图运用了学生的左右两边大脑一起 参与学习和记忆。一般而言,左脑偏重于逻辑思维,右 脑偏重于形象思维,形象记忆更轻松、更容易被人所接 受。
• 认知心理学 结构性知识也称理性知识,指某一领域内各概念如
何相互关联的知识。结构性知识将陈述性知识整合成 有用的知识结构,描述了个体对不同内容领域概念的组 织(知识结构)。结构性知识有助于促进先前知识的运 用。
• 计算思维不仅影响着美国，也影响着英国的教 育，在英国的爱丁堡大学，人们在一连串的研 讨会上探索与计算思维有关的主题。每次研讨 会，都有不少专家讨论计算思维对不同学科的 影响。研讨会上所涉及的学科已延伸到哲学、 物理、生物、医学、建筑、教育等各个不同的 领域。
• 国内有关计算思维的研究 上世纪80年代，钱学森先生在总结前人的
19
应用方向
• 思维导图可以用于工作、学习和生活中的任何 一个领域里。
• 1、作为个人：计划，项目管理，沟通，组织 ，分析解决问题等；
• 2、作为学习者：记忆，笔记，写报告，写论 文，做演讲，考试，思考，集中注意力等；
• 3、作为职业人士：计划，沟通，项目管理， 组织，会议，培训，谈判，面试，评估，掀起 头脑风暴等。
第六讲 计算思维之问题求解思想—2
主题二 相关知识的认识与了解
• 数学建模 • 数据结构 • 程序设计
程序设计
经历分析抽象出数学模型、选择合适的数据 结构以及整理归纳出解题算法等一系列阶段 过程，但最终都要将算法转换成计算机可计
• 在运用计算思维理念求解问题时，虽然需要
算执行的计算机程序，经过程序的编辑和运
行并迚行测试、调整直至问题得到最终解答。
来描述的关系或规律，然后把这个实
• 我们对具体问题迚行分析、抽象、归
际问题化成一个数学问题，这就称为
数学模型，而建立数学模型的整个过
程就称为数学建模。
• 数学模型的定义
数学建模
– 数学模型（Mathematical Model）是一种模拟，是用数学符
号、数学式子、程序、图形等对实际问题本质属性的抽象而
机中的存储位置无关。
• 逻辑结构有以下基本类型：集合结构、线性结构、非线性结构 （树状结构和图形结构）。
• 数据结构的定义
– 数据的物理结构
数据结构—定义
– 数据结构主要包括三个组成成分：数据的逻辑结构，数据的物理（存 储）结构和数据的运算结构。 • 数据的物理（存储）结构指数据的逻辑结构在计算机存储空间的 存放形式，是数据在计算机中的表示（又称映像）。它所研究的
• 计算机程序
程序设计—计算机程序
– 计算机程序（Computer Program）就是按照实际解决问题的算法步骤而事先 编制好的、具有特殊功能的指令序列。序列由一串CPU能够识别并执行的 基本指令组成，每一条指令规定了计算机应该进行什么操作（如加、减、 乘、除、判断等）及操作需要的有关数据。
• 计算机程序主要涉及两部分内容，即数据的描述和数据的处理。
计算思维解决问题的基本步骤
计算思维解决问题的基本步骤嘿，咱今儿就来说说这计算思维解决问题的基本步骤哈！你想啊，生活里那一堆事儿，不就跟打怪升级似的嘛，得一步步来，才能把难题给干掉。
计算思维呢，就像是你手里的秘密武器。
那第一步，咱得先搞清楚问题到底是啥。
这就好比你要去个地方，得先知道目的地在哪儿呀，不然瞎转悠啥呢。
就像你找钥匙，得先确定是在家里丢的还是在外面丢的，这很关键呐！然后呢，得把这个大问题给拆分成一个个小问题。
这就像吃蛋糕，一口吃不下整个，那就切成小块慢慢吃呗。
比如说你要策划一场活动，那不得把场地、人员、流程啥的都分开考虑呀。
接着呀，咱得想办法表示这些问题。
就跟画画似的，把脑子里的东西给画出来，让它变得清楚明白。
比如说用个图表啦，画个流程图啦，这样咱就能更直观地看到问题的结构。
再之后呢，就是要找出解决问题的办法啦。
这可不能瞎碰运气，得有策略。
就好像走迷宫，得找对路才行。
可以想想以前类似的问题是咋解决的，或者参考别人的经验。
下面这步也很重要哦，就是得评估这些办法。
看看哪个好用，哪个不太靠谱。
这就像挑衣服，得看看合不合身，好不好看呐。
要是办法不行，咱就得重新想，可不能一条道走到黑。
接下来呢，就是实施啦！光想不做可不行，得行动起来。
就像跑步，得迈腿跑起来才知道能不能到终点。
最后啊，还得看看效果咋样。
问题解决了没呀，要是没解决，咱再回头看看是哪步出了问题，重新再来一遍。
你看，这计算思维解决问题不就跟咱走路一样嘛，一步一步的，走稳了才能走到目的地。
咱平时遇到问题的时候，也可以试着用这种方法呀，说不定就能轻松搞定那些头疼的事儿呢！别小瞧了这一步步，积累起来可就是大本事啦！咱得把这计算思维用起来，让生活变得更有条理，更轻松愉快。
就这么着吧，大家都试试，肯定有收获！。
计算思维与算法
要素
操作
控制结构
顺序结构
选择结构
循环结构
2020/8/9
12
2 算法的概念、特性、表示等
1 正确性 2 可读性
算法也是让人来阅读的，一个算法应当思路 清晰、层次分明、易读易懂。
可读性好的算法有助于调试程序、发现错误 和修改错误，以及有助于软件功能的维护和扩展。
例如，两个变量a和b的值互换， 算法t=a;a=b;b=t;可读性好,容易理解； 算法a=a+b;b=a-b;a=a-b;可读性差,不易理解。
算法的复杂性分析
渐进时间复杂性
大O记号
设函数T(n)和g(n)是定义在非负整数集合 上的正函数，如果存在一个自然数n0和正 常数c，使得当n≥n0时，有T(n)≤cg(n)， 则记为T(n)=O(g(n))，称为大O记号，称 O(g(n))是T(n)的上界。
3 健壮性
健壮性是指算法对于非法的输入（即规范要 求以外的输入）的处理能力。
例如输入百分制成绩时，当输入的成绩<0或 >100时，能给出“输入错误！”的提示，并提示 重新输入或中止执行。
4 高效率和低存储量
人们总是希望一个算法既要执行时间 短，又要存储空间小。
有时候这是矛盾的。
2020/8/9
13
2 算法的概念、特性、表示等
5
1 问题求解的计算思维过程
什么是数学模型？
数学模型就是为了某种目的，用字母、数字及其他数学符 号建立起来的等式或不等式以及图形、图表、图像、框图 等描述客观事物特征及其内在联系的结构。
等式如： 一元二次方程的求根公式
图形如：欧拉对七桥问题 抽象出的图形
2020/8/96源自2 算法的概念、特性、表示等
[数学][高中数学解题思维与思想](精美word)(1)
![[数学][高中数学解题思维与思想](精美word)(1)](https://img.taocdn.com/s3/m/ba83dd170a4e767f5acfa1c7aa00b52acfc79c81.png)
《高中数学解题思维与思想》导读数学家G . 波利亚在《怎样解题》中说过：数学教学的目的在于培养学生的思维能力，培养良好思维品质的途径，是进展有效的训练，本策略结合数学教学的实际情况，从以下四个方面进展讲解：一、数学思维的变通性根据题设的相关知识，提出灵活设想和解题方案二、数学思维的反思性提出独特见解，检查思维过程，不盲从、不轻信。
三、数学思维的严密性考察问题严格、准确，运算和推理准确无误。
四、数学思维的开拓性对一个问题从多方面考虑、对一个对象从多种角度观察、对一个题目运用多种不同的解法。
什么〞转变，从而培养他们的思维能力。
《思维与思想》的即时性、针对性、实用性，已在教学实践中得到了全面验证。
一、高中数学解题思维策略第一讲数学思维的变通性一、概念数学问题千变万化，要想既快又准的解题，总用一套固定的方案是行不通的，必须具有思维的变通性——善于根据题设的相关知识，提出灵活的设想和解题方案。
根据数学思维变通性的主要表达，本讲将着重进展以下几个方面的训练：〔1〕善于观察心理学告诉我们：感觉和知觉是认识事物的最初级形式，而观察那么是知觉的高级状态，是一种有目的、有计划、比拟持久的知觉。
观察是认识事物最根本的途径，它是了解问题、发现问题和解决问题的前提。
任何一道数学题，都包含一定的数学条件和关系。
要想解决它，就必须依据题目的具体特征，对题目进展深入的、细致的、透彻的观察，然后认真思考，透过外表现象看其本质，这样才能确定解题思路，找到解题方法。
例如，求和)1(1431321211+++⋅+⋅+⋅n n . 这些分数相加，通分很困难，但每项都是两相邻自然数的积的倒数，且111)1(1+-=+n n n n ，因此，原式等于1111113121211+-=+-++-+-n n n 问题很快就解决了。
〔2〕善于联想联想是问题转化的桥梁。
稍具难度的问题和根底知识的联系，都是不明显的、间接的、复杂的。
因此，解题的方法怎样、速度如何，取决于能否由观察到的特征，灵活运用有关知识，做出相应的联想，将问题打开缺口，不断深入。
专题五 计算思维与问题求解
– 是根本而不是刻板的技能。
• 根本技能是每一个人为了在现代社会中发挥职能所必 须掌握的。刻板技能意味着机械的重复；
计算思维----特征
– 是人而不是计算机的思维方式。
• 计算思维是人类求解问题的一条途径，但决非要使人 类像计算机那样地思考。计算机枯燥且沉闷，人类聪 颖且富有想象力。是人类赋予计算机激情。配置了计 算设备，我们就能用自己的智慧去解决那些在计算机 时代之前不敢尝试的问题，实现“只有想不到，没有 做不到”的境界；
AB C
AB C
AB C
AB C
AB C
AB C
分析过程
第一步：
A
B
C
T
交换：
分析过程
第二步：
A
B
交换：
C
T
分析过程
第三步： A
交换：
B
C
T
最终结果
第三步： A
交换：
B
C
算法表示
开始
分别从键盘输入数值A，B，C
N
A>B?
Y
交换A,B的值，T=A,A=B,B=T
N
A>C?
Y
交换A,C的值，T=A,A=C,C=T
32
计算思维----能力培养
• 不插电的计算思维——视频范例（交朋友 算法）
33
计算思维----能力培养
• 不插电的计算思维——视频范例（交朋友 算法）
计算思维----特征
– 是思想而不是人造物。
• 不仅仅是我们生产的软件硬件等人造物将以物理形式 到处呈现，并时时刻刻触及我们的生活，更重要的是 还将包含我们用以接近和求解问题、管理日常生活、 与他人交流和互动的计算概念与思想；
• 根本技能是每一个人为了在现代社会中发挥职能所必 须掌握的。刻板技能意味着机械的重复；
计算思维----特征
– 是人而不是计算机的思维方式。
• 计算思维是人类求解问题的一条途径，但决非要使人 类像计算机那样地思考。计算机枯燥且沉闷，人类聪 颖且富有想象力。是人类赋予计算机激情。配置了计 算设备，我们就能用自己的智慧去解决那些在计算机 时代之前不敢尝试的问题，实现“只有想不到，没有 做不到”的境界；
AB C
AB C
AB C
AB C
AB C
AB C
分析过程
第一步：
A
B
C
T
交换：
分析过程
第二步：
A
B
交换：
C
T
分析过程
第三步： A
交换：
B
C
T
最终结果
第三步： A
交换：
B
C
算法表示
开始
分别从键盘输入数值A，B，C
N
A>B?
Y
交换A,B的值，T=A,A=B,B=T
N
A>C?
Y
交换A,C的值，T=A,A=C,C=T
32
计算思维----能力培养
• 不插电的计算思维——视频范例（交朋友 算法）
33
计算思维----能力培养
• 不插电的计算思维——视频范例（交朋友 算法）
计算思维----特征
– 是思想而不是人造物。
• 不仅仅是我们生产的软件硬件等人造物将以物理形式 到处呈现，并时时刻刻触及我们的生活，更重要的是 还将包含我们用以接近和求解问题、管理日常生活、 与他人交流和互动的计算概念与思想；
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– 数学模型是指经过分析抽象的建模过程将具体问题转化为形式 化、符号化和公式化的数学语言描述；
– 数据结构是指计算机对数据进行存储、组织和操作运算的方式。
计算思维问题求解综述
• 那么，运用计算思维理念去求解问题和我们日常求解问 题的过程有什么不同？运用计算思维进行问题求解过程 都涉及到哪些环节和因素？
问题求解案例—案例引伸思考
• 那么，能不能求助于计算机来帮忙计算一下呢！？ • 能与不能，这需要进一步的分析和评估，同时也需要考虑
怎样才能把这个问题转换成计算机可计算的描述。 • 在不了解运用计算思维进行问题求解框架的情况下，确实
不知道从何下手！
主题一 探讨问题求解过程
• 计算思维问题求解综述 • 问题求解案例 • 问题求解框架
问题求解案例—案例总结
• N个圆盘的移动操作过程：
– N个圆盘就相当于一个大圆盘上面叠放了一组圆盘（N-1个圆盘）； – N-1个圆盘就相当于一个大圆盘上面叠放了一组圆盘（N-2个圆盘）； – …… – 依此类推，直到剩下3个圆盘就相当于一个大圆盘上面叠放了一组圆盘
（2个圆盘）； – 这样就回归到处理2个圆盘的问题，最后就是1个圆盘的问题。 – 整个移动过程都在重复着这样的操作过程。
– 所以4个圆盘的移动步骤次数为：7+1+7=15步！
问题求解案例—案例分析
• 如果是N个圆盘的情况，就相当是一个大圆盘上面叠放了一组圆盘（N-1个 圆盘），只要把这一组圆盘先移动到中转柱子B上，这样最大的圆盘就可 以移动到目标柱子上C了，然后，再把那中转柱子B上的一组圆盘移动到目 标柱子C上。
– 计算思维=数学建模？ – 计算思维=算法？ – 计算思维=数据结构？ – 计算思维=编程序？
计算思维问题求解综述
• 事实上，单一的划等号都不能全面精确地定位计算机思 维。如果一定要用一个公式表述计算思维，那么可以说：
– 计算思维≈人的思维+数学建模+数据结构+计算算法+程序设计！
人的思维 数学建模
问题求解框架
• 虽然我们在这里并不打算牵扯编程，但是操作步骤的表述 需要了解这些结构和控制的可行性，以确定每种处理方法 都是在计算机的能力和极限范围之内的。最后再将所有问 题求解的操作步骤用规范的算法表示形式描述出来。
数据结构
计算算法 程序设计
计算思维问题求解综述
• 我们关注的是从一个在看似平常或看 似纷繁的事物或事件中能够洞析和发 现问题，并提出问题到抽象归纳出解 决问题的算法直至最终解决问题的整 个思想过程！而这个过程正是计算思 维的问题求解思想的全过程。
主题一 探讨问题求解过程
• 计算思维问题求解综述 • 问题求解案例 • 问题求解框架
• 这样就可以写出计算N个圆盘的移动次数H(N)的计算公式。一组圆盘是N-1 个，需要H(N-1)步移动到中转柱子B上，最大的圆盘需要1步移动到目标柱 子C上，一组圆盘还需要从中转柱子B上再移动到目标柱子C上，这样一组 N-1个圆盘又需要H(N-1)步。
• 所以N个圆盘的移动步骤次数为：H(N)=H(N-1)+1+H(N-1)=2*H(N-1)+1
问题求解案例
• 首先，让我们从一个具体的问题出发
– 了解和认识运用计算思维理念去求解问题相比我们常规下求解 问题的思考过程有什么不同？
– 以及运用计算思维进行问题求解过程都涉及到哪些环节和因素？
问题求解案例—案例描述
• 有三根相邻的柱子，假设标号分别为A、B、C， 其中A柱子从下到上按金字塔状依次叠放了N 个不同大小的圆盘，现要把A柱子上的所有圆 盘一次一个地移动到C柱子上，移动的过程中 可以借助B柱子做中转，并且每根柱子上的圆 盘必须始终保持上小下大的叠放顺序。
问题求解框架
• 通过计算机解决一个具体问题时，大致需要经过下列几个步骤：
– 首先要从具体问题中抽象出一个适当的数学模型， – 然后选择并确定合适的数据结构并设计一个解此数学模型的算法， – 最后编出程序、进行测试、调整直至问题得到最终解答。
问题求解框架
观察问题
观察问题
人类之问题求解过程
分析问题
归纳抽象
计算思维之问题求解过程 结合数学的形式化表示
结合已有知识经验 做各种假设性判断推理
收集信息
数学建模
经验知识
数据结构
考虑计算机的限制和可行性 抽象出可计算性算法描述
在假设和尝试中总结方法
推理判断
算法描述
最后经过计算验证实现
找出方法
最后提交计算机验证实现
程序设计
实现解决
实现解决
问题求解框架
• 寻求数学模型的实质是分析问题，从中抽象提取操作的对象，并找出这 些操作对象之间蕴含的关系，然后用数学的语言加以描述。
问题求解案例—案例分析
• 按照汉诺塔的移动约束规则：
– 当4个圆盘的时候，就相当是一个大圆盘上面叠放了一组圆盘（三个圆盘），只要把这 一组圆盘先挪到中转柱子B上，这样最大的圆盘就可以移动到目标柱子C上了，然后， 再把那中转柱子B上的一组圆盘移动到目标柱子C上，整个移动过程就结束了。
– 一组圆盘是3个，需要7步移动到中转柱子B上，最大的圆盘需要1步移动到目标柱子C上， 一组圆盘还需要从中转柱子B上再移动到目标柱子C上，这样一组3个圆盘又需要7步。
• 人与计算机的对话沟通方式就是通过程序控制指令。
计算思维问题求解综述
• 可是，这程序指令应该怎么写才能让计算机“心领神会” 并“游刃有余”地完成预期的计算呢？这其中涉及到程 序指令的语法和算法。
– 简单地说，语法是具体书写程序指令的格式约束规则；
– 算法是解决问题的具体方法步骤，而算法又是建构在问题求解 的数学模型和数据结构等诸多知识之上。
问题求解案例—案例引伸思考
• 可是，现在的问题是，虽然已经掌握了移动的规律，但是每只圆盘的 移动轨迹到底应该怎么标记出来呢？难道必须移动一个圆盘，记录一 次移动轨迹？虽然移动过程简单，但是当圆盘数量递增时，标记的数 量确是巨大的。
• 就拿N=64来说，圆盘移动次数是：264-1=18,446,744,073,709,551,616， 这真是个天文数字呀！显然，这时还依然固执地采用手工标记，那绝 对就是一项不可能完成的任务了！
– 请问至少需要多少次移动步骤才能够全部完成？ – 并描述每一次圆盘的移动轨迹。
问题求解案例—案例分析
• 首先来考虑一下N个圆盘由一根柱子移动 到另一根柱子上并重新摞好需要移动多少 次吧。然后再考虑每只圆盘的移动轨迹。
问题求解案例—案例分析
• 按照汉诺塔的移动约束规则：
– 当只有1个圆盘的时候，当然是移动1次； – 2个圆盘的时候是移动3次； – 3个圆盘的时候就用了7次。
问题求解案例—案例总结
• 现在我们得出：1个圆盘的时候用了1次，2个圆盘的时候用了3次，3个圆 盘的时候用了7次，4个圆盘的时候用了15次。
• 只要把N(N>0)的值 H(1)=1=21-1 – H(2)=2*H(1)+1=3=22-1 – H(3)=2*H(2)+1=7=23-1 – H(4)=2*H(3)+1=15=24-1 – H(5)=2*H(4)+1=31=25-1 –⁞ – H(N)=2*H(N-1)+1=2N-1
第六讲 计算思维之问题求解思想
• 主题一 探讨问题求解过程 • 主题二 相关知识的认识与了解 • 主题三 关于算法的理解 • 主题四 算法策略大搜罗 • 主题五 几个经典案例的算法实现
主题一 探讨问题求解过程
• 计算思维问题求解综述 • 问题求解案例 • 问题求解框架
计算思维问题求解综述
• 计算机算法与数据结构密切相关，算法无不依附于具体的数据结构，数 据结构直接关系到算法的选择和效率。
• 运算是由计算机来完成，这就要设计相应的插入、删除和修改的算法。 也就是说，数据结构还需要给出每种结构类型所定义的各种运算的算法。
问题求解框架
• 如果将汉诺塔问题转换为用计算机可处理的方法描述首先 必须建立数学模型，就是将操作过程符号化和公式化；可 是符号和公式的表示必须符合计算机的数据结构规范；另 外，操作的过程会涉及到选择判断和循环重复，则又会涉 及到了计算机的程序设计控制结构等。
• 随着社会的发展与科技的进步，出于对问题计算时间和 复杂度等多方面因素的考量，现实世界中的很多问题需 要借助计算机帮我们计算！
• 可是，我们知道，现代计算机的工作原理是存储程序和 程序控制，也就是说，现代计算机只能对可计算性问题 进行计算，但是具体怎么计算，计算机却不知道，这需 要人来告诉计算机。
– 数据结构是指计算机对数据进行存储、组织和操作运算的方式。
计算思维问题求解综述
• 那么，运用计算思维理念去求解问题和我们日常求解问 题的过程有什么不同？运用计算思维进行问题求解过程 都涉及到哪些环节和因素？
问题求解案例—案例引伸思考
• 那么，能不能求助于计算机来帮忙计算一下呢！？ • 能与不能，这需要进一步的分析和评估，同时也需要考虑
怎样才能把这个问题转换成计算机可计算的描述。 • 在不了解运用计算思维进行问题求解框架的情况下，确实
不知道从何下手！
主题一 探讨问题求解过程
• 计算思维问题求解综述 • 问题求解案例 • 问题求解框架
问题求解案例—案例总结
• N个圆盘的移动操作过程：
– N个圆盘就相当于一个大圆盘上面叠放了一组圆盘（N-1个圆盘）； – N-1个圆盘就相当于一个大圆盘上面叠放了一组圆盘（N-2个圆盘）； – …… – 依此类推，直到剩下3个圆盘就相当于一个大圆盘上面叠放了一组圆盘
（2个圆盘）； – 这样就回归到处理2个圆盘的问题，最后就是1个圆盘的问题。 – 整个移动过程都在重复着这样的操作过程。
– 所以4个圆盘的移动步骤次数为：7+1+7=15步！
问题求解案例—案例分析
• 如果是N个圆盘的情况，就相当是一个大圆盘上面叠放了一组圆盘（N-1个 圆盘），只要把这一组圆盘先移动到中转柱子B上，这样最大的圆盘就可 以移动到目标柱子上C了，然后，再把那中转柱子B上的一组圆盘移动到目 标柱子C上。
– 计算思维=数学建模？ – 计算思维=算法？ – 计算思维=数据结构？ – 计算思维=编程序？
计算思维问题求解综述
• 事实上，单一的划等号都不能全面精确地定位计算机思 维。如果一定要用一个公式表述计算思维，那么可以说：
– 计算思维≈人的思维+数学建模+数据结构+计算算法+程序设计！
人的思维 数学建模
问题求解框架
• 虽然我们在这里并不打算牵扯编程，但是操作步骤的表述 需要了解这些结构和控制的可行性，以确定每种处理方法 都是在计算机的能力和极限范围之内的。最后再将所有问 题求解的操作步骤用规范的算法表示形式描述出来。
数据结构
计算算法 程序设计
计算思维问题求解综述
• 我们关注的是从一个在看似平常或看 似纷繁的事物或事件中能够洞析和发 现问题，并提出问题到抽象归纳出解 决问题的算法直至最终解决问题的整 个思想过程！而这个过程正是计算思 维的问题求解思想的全过程。
主题一 探讨问题求解过程
• 计算思维问题求解综述 • 问题求解案例 • 问题求解框架
• 这样就可以写出计算N个圆盘的移动次数H(N)的计算公式。一组圆盘是N-1 个，需要H(N-1)步移动到中转柱子B上，最大的圆盘需要1步移动到目标柱 子C上，一组圆盘还需要从中转柱子B上再移动到目标柱子C上，这样一组 N-1个圆盘又需要H(N-1)步。
• 所以N个圆盘的移动步骤次数为：H(N)=H(N-1)+1+H(N-1)=2*H(N-1)+1
问题求解案例
• 首先，让我们从一个具体的问题出发
– 了解和认识运用计算思维理念去求解问题相比我们常规下求解 问题的思考过程有什么不同？
– 以及运用计算思维进行问题求解过程都涉及到哪些环节和因素？
问题求解案例—案例描述
• 有三根相邻的柱子，假设标号分别为A、B、C， 其中A柱子从下到上按金字塔状依次叠放了N 个不同大小的圆盘，现要把A柱子上的所有圆 盘一次一个地移动到C柱子上，移动的过程中 可以借助B柱子做中转，并且每根柱子上的圆 盘必须始终保持上小下大的叠放顺序。
问题求解框架
• 通过计算机解决一个具体问题时，大致需要经过下列几个步骤：
– 首先要从具体问题中抽象出一个适当的数学模型， – 然后选择并确定合适的数据结构并设计一个解此数学模型的算法， – 最后编出程序、进行测试、调整直至问题得到最终解答。
问题求解框架
观察问题
观察问题
人类之问题求解过程
分析问题
归纳抽象
计算思维之问题求解过程 结合数学的形式化表示
结合已有知识经验 做各种假设性判断推理
收集信息
数学建模
经验知识
数据结构
考虑计算机的限制和可行性 抽象出可计算性算法描述
在假设和尝试中总结方法
推理判断
算法描述
最后经过计算验证实现
找出方法
最后提交计算机验证实现
程序设计
实现解决
实现解决
问题求解框架
• 寻求数学模型的实质是分析问题，从中抽象提取操作的对象，并找出这 些操作对象之间蕴含的关系，然后用数学的语言加以描述。
问题求解案例—案例分析
• 按照汉诺塔的移动约束规则：
– 当4个圆盘的时候，就相当是一个大圆盘上面叠放了一组圆盘（三个圆盘），只要把这 一组圆盘先挪到中转柱子B上，这样最大的圆盘就可以移动到目标柱子C上了，然后， 再把那中转柱子B上的一组圆盘移动到目标柱子C上，整个移动过程就结束了。
– 一组圆盘是3个，需要7步移动到中转柱子B上，最大的圆盘需要1步移动到目标柱子C上， 一组圆盘还需要从中转柱子B上再移动到目标柱子C上，这样一组3个圆盘又需要7步。
• 人与计算机的对话沟通方式就是通过程序控制指令。
计算思维问题求解综述
• 可是，这程序指令应该怎么写才能让计算机“心领神会” 并“游刃有余”地完成预期的计算呢？这其中涉及到程 序指令的语法和算法。
– 简单地说，语法是具体书写程序指令的格式约束规则；
– 算法是解决问题的具体方法步骤，而算法又是建构在问题求解 的数学模型和数据结构等诸多知识之上。
问题求解案例—案例引伸思考
• 可是，现在的问题是，虽然已经掌握了移动的规律，但是每只圆盘的 移动轨迹到底应该怎么标记出来呢？难道必须移动一个圆盘，记录一 次移动轨迹？虽然移动过程简单，但是当圆盘数量递增时，标记的数 量确是巨大的。
• 就拿N=64来说，圆盘移动次数是：264-1=18,446,744,073,709,551,616， 这真是个天文数字呀！显然，这时还依然固执地采用手工标记，那绝 对就是一项不可能完成的任务了！
– 请问至少需要多少次移动步骤才能够全部完成？ – 并描述每一次圆盘的移动轨迹。
问题求解案例—案例分析
• 首先来考虑一下N个圆盘由一根柱子移动 到另一根柱子上并重新摞好需要移动多少 次吧。然后再考虑每只圆盘的移动轨迹。
问题求解案例—案例分析
• 按照汉诺塔的移动约束规则：
– 当只有1个圆盘的时候，当然是移动1次； – 2个圆盘的时候是移动3次； – 3个圆盘的时候就用了7次。
问题求解案例—案例总结
• 现在我们得出：1个圆盘的时候用了1次，2个圆盘的时候用了3次，3个圆 盘的时候用了7次，4个圆盘的时候用了15次。
• 只要把N(N>0)的值 H(1)=1=21-1 – H(2)=2*H(1)+1=3=22-1 – H(3)=2*H(2)+1=7=23-1 – H(4)=2*H(3)+1=15=24-1 – H(5)=2*H(4)+1=31=25-1 –⁞ – H(N)=2*H(N-1)+1=2N-1
第六讲 计算思维之问题求解思想
• 主题一 探讨问题求解过程 • 主题二 相关知识的认识与了解 • 主题三 关于算法的理解 • 主题四 算法策略大搜罗 • 主题五 几个经典案例的算法实现
主题一 探讨问题求解过程
• 计算思维问题求解综述 • 问题求解案例 • 问题求解框架
计算思维问题求解综述
• 计算机算法与数据结构密切相关，算法无不依附于具体的数据结构，数 据结构直接关系到算法的选择和效率。
• 运算是由计算机来完成，这就要设计相应的插入、删除和修改的算法。 也就是说，数据结构还需要给出每种结构类型所定义的各种运算的算法。
问题求解框架
• 如果将汉诺塔问题转换为用计算机可处理的方法描述首先 必须建立数学模型，就是将操作过程符号化和公式化；可 是符号和公式的表示必须符合计算机的数据结构规范；另 外，操作的过程会涉及到选择判断和循环重复，则又会涉 及到了计算机的程序设计控制结构等。
• 随着社会的发展与科技的进步，出于对问题计算时间和 复杂度等多方面因素的考量，现实世界中的很多问题需 要借助计算机帮我们计算！
• 可是，我们知道，现代计算机的工作原理是存储程序和 程序控制，也就是说，现代计算机只能对可计算性问题 进行计算，但是具体怎么计算，计算机却不知道，这需 要人来告诉计算机。