鲁教版五四制初一上册数学知识点

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五四制鲁教版七年级数学知识点

五四制鲁教版七年级数学知识点

五四制鲁教版七年级数学知识点整式的加减一、代数式1、用运算符号把数或则表示数的字母联结而变成的式子,叫作代数式。

单独的一个数或字母也就是代数式。

2、用数值代替代数式里的字母,按照代数式里的运算关系计算得出的结果,叫做代数式的值。

二、整式1、单项式:(1)由数和字母的乘积共同组成的代数式叫作单项式。

(2)单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。

(3)一个单项式中,所有字母的指数的和叫作这个单项式的次数。

2、多项式(1)几个单项式的和,叫作多项式。

(2)每个单项式叫做多项式的项。

(3)不不含字母的项叫作常数项。

3、升幂排列与降幂排列(1)把多项式按x的指数从小至大的顺序排列,叫作降幂排序。

(2)把多项式按x的指数从小到大的顺序排列,叫做升幂排列。

有理数1.如果按定义分,有理数可以分为整数(正整数;负整数;0)和分数(正分数,负分数)。

如果按正、负分,有理数可以分成正有理数(正整数;正分数)、0、正数有理数(正数整数;正数分数)。

2.所有的有理数都可以用分数表示,π不是有理数。

数轴相反数1.只有符号相同的两个数叫作互为相反数。

(0的相反数就是0)绝对值1.数轴上一点a至原点的距离则表示a的绝对值。

3.正数的绝对值是它本身,负数的绝对值是它的相反数,0的绝对值是0。

有理数的大小1.正数大于0,负数小于0,正数大于负数。

2.两个负数,绝对值小的反而大。

有理数的加法1.同号两数相乘,挑相同的符号,并把绝对值相乘。

2.绝对值不相等的异号两数相加,取绝对值较大的加数符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值;互为相反数的两个数相加得0。

一个数同0相加,仍得这个数。

3.在有理数的乘法中,加法交换率:两个数相加,交换加数的位置,和不变。

乘法结合律:三个数相乘,先把前两个数相乘,或者先把后两个数相乘,和维持不变。

有理数的减法乘以一个数,等同于提这个数的相反数。

两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘。

任何数与0相乘后得0。

鲁教版(五四制)七年级上册数学课件第二章3简单的轴对称图形第1课时(鲁教版七年级上·五四制)

鲁教版(五四制)七年级上册数学课件第二章3简单的轴对称图形第1课时(鲁教版七年级上·五四制)

灿若寒星
灿若寒星
【规律总结】 角平分线图形结构中的位置及数量关系
如图,OC平分∠AOB,PD⊥OA,PE⊥OB,DE交OC于点F,
灿若寒星
可以得到以下结论: (1)角之间的相等关系: ∠AOC=∠BOC=∠PDF=∠PEF; ∠ODP=∠OEP=∠DFO=∠EFO=∠DFP=∠EFP; ∠DPO=∠EPO=∠ODF=∠OEF. (2)线段的相等关系: OD=OE,DP=EP,DF=EF. (3)位置关系:OP⊥DE.
灿若寒星
④由△ADB≌△ADC(SAS),知∠B=∠C,而∠BDE+∠B=90°, ∠CDF+∠C=90°, 所以∠BDE=∠CDF,④正确.
灿若寒星
5.如图,△ABC中,∠C=90°,∠BAC的
平分线交BC于点D,若AB=8,DC=2,则
△ABD的面积为________.
【解析】如图,过D作DE⊥AB于E,
灿若寒星
【跟踪训练】
3.工人师傅常用角尺平分一个任意角.
做法如下:如图,∠AOB是一个任意角,
在边OA,OB上分别取OM=ON,移动角尺,
使角尺两边相同的刻度分别与M,N重合.
过角尺顶点C作射线OC.由作法得△MOC≌△NOC的依据是( )
(A)AAS(B)SAS
(C)ASA(D)SSS
灿若寒星
【解析】选D.根据题意,在△MOC和△NOC中,有OM=ON,CM=CN, 还有公共边OC=OC,因此判断△MOC≌△NOC的依据是SSS,故选 D.
灿若寒星
【归纳】1.角是_轴__对__称__图形,_角__平__分__线__所在的直线是它的 对称轴. 2.角平分线的性质:角平分线上的点到这个角的两边的 _距__离__相__等__.

鲁教版(五四制)七年级上册数学课件第六章5一次函数的应用(鲁教版七年级上·五四制)

鲁教版(五四制)七年级上册数学课件第六章5一次函数的应用(鲁教版七年级上·五四制)
灿若寒星
2.三个注意 (1)实际问题中要注意使实际问题有意义,同时要注意自变量 的取值范围; (2)当问题涉及多种情况时,要注意分类讨论; (3)利用图象解题时,要弄清横坐标和纵坐标各自的实际意义.
灿若寒星
【跟踪训练】 4.某校举行趣味运动会,甲、乙两名学生同时从A地到B地,甲 先骑自行车到B地后跑步回A地,乙则是先跑步到B地后骑自行 车回A地(骑自行车的速度快于跑步的速度),最后两人恰好同 时回到A地.已知甲骑自行车比乙骑自行车的速度快.若学生离A 地的距离s与所用时间t的函数关系用图象表示如下(实线表示 甲的图象,虚线表示乙的图象),则正确的是( )
灿若寒星
1.(2012·广安中考)时钟在正常运行时,时针和分针的夹角会 随着时间的变化而变化.设时针与分针的夹角为y(度),运行时 间为t(min),当时间从3:00开始到3:30止,下图中能大致表 示y与t之间的函数关系的图象是( )
灿若寒星
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【解析】选D.因为时针与分针的夹角为y度,运行时间为tmin, 时间从3:00开始到3:30止,所以当3:00时,y=90°,当3: 30时,时针在3和4中间位置,故时针与分针夹角为y=75°. 又因为分针从3:00开始到3:30过程中,时针与分针夹角先减 小,一直到重合,再增大到75°,所以只有D符合要求.
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5 一次函数的应用
灿若寒星
1.通过函数图象获取信息 从_函__数__图__象__分析并获取有用信息,根据实际问题建立适当的 _函__数__模__型__,利用该函数图象的特征解决问题,体现了数形结合, _____方与程_____函的数结合的思想方法.
灿若寒星
【点拨】观察分析图象,明确坐标轴的含义,可以得到一些具 体信息,又由于图象是不过原点的一条直线,可以判断是一次 函数,用待定系数法求一次函数关系式,进而解决其他问题.

鲁教版(五四制)数学七年级上册 第一章 1.3 全等三角形 复习课件 (16张PPT)

鲁教版(五四制)数学七年级上册  第一章  1.3 全等三角形 复习课件 (16张PPT)
直角三角形的
变式训练
1、若直线AE绕A点旋转到图(2)位置时(BD<CE), 其 余条件不变, 问BD与DE、CE的关系如何? 为什么?
2、若直线AE绕A点旋转到图(3)位置时(BD>CE), 其 余条件不变, 问BD与DE、CE的关系如何? 请直接 写出结果, 不需说明.
课堂小结
• 1、注意三角形全等中的对应关系,灵活运用 三角形全等的判定方法
A
E
D
2
B
1
C
变式训练
△ABC和△ECD都是等边三角形 如图1,若B、C、D三点在一条直线上,
求证:BE=AD;
多个直角型
例5、如图(1), 已知△ABC中, ∠BAC=900, AB=AC, AE是过A的一条 直线, 且B、C在A、E的异侧, BD⊥AE 于D, CE⊥AE于E,试说明: BD=DE+CE.
• (1) ΔABC和ΔDEF全等吗?请说明理 由
• (2) AB与DE平行吗?BC与EF平行吗
?说明理由
B
F
A
C
D
E
公共角、对顶角类型
• 例3、如图所示,AE=AD, AB=AC, 求证:△EAB≌△DAC.
A
在ΔEAB和ΔDACA中
Hale Waihona Puke DEOAE=AD ∠A=∠A
B
AB=AC
C
∴ΔEAB≌ΔDAC(SA
学习目标
1.梳理全等三角形的定义、性质 、判定方法等基本知识点; 2.进一步拓展应用全等三角形的 判定方法
3.整理基本模型,解决学习疑难.
• 学习重点:掌握全等三角形的 性质与判定方法.
• 学习难点:全等三角形性质及 判定方法的运用.

鲁教版五四制初一上册数学知识点

鲁教版五四制初一上册数学知识点

山东版六年级上第一章丰富的图形世界§1.1.1生活中的立体图形多角度观察、认识立体图形。

§1.1.2图形是由点(point)、线(line)、面(plane)、构成的。

点动成线,线动成面,面动成体。

§1.2.1展开与折叠1、在棱柱中,任何相邻两个面的交线都叫做棱(edge),相邻两个侧面的交线叫做侧棱。

2、人们通常根据棱柱底面图形的边数,将棱柱分为三、四、五......棱柱。

长方体和立方体都是四棱柱。

3、认识棱柱的顶点、棱、面。

§1.2.21、将立方体沿某些棱剪开,认识其平面图形。

2、了解正多边形:边长相等,角也相等的多边形。

§1.3截一个几何体1、用一个平面去截一个几何体,截出的图形叫截面。

2、认识不同的截面。

§1.4从不同方向看1、从不同方向,不同角度观察立体图形、物体画出不同的视图。

2、主视图:把从正面看到的图叫做主视图;俯视图:从上面看到的图叫俯视图;左视图:从左面看到的图叫左视图。

3、俯视图通常画在主视图的下面,左视图通常画在主视图的左面。

§1.4.2画几何体的主视图、俯视图、左视图。

§1.5生活中的平面图形1、三角形、四边形、五边形、六边形等都是多边形(polygon),它们都是由一些不在同一条直线上的线段依次首尾相连组成的封闭平面图形。

2、圆上A、B两点之间的部分叫做弧(arc),由一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形(sector).第二章有理数及其运算§2.1 有理数引入负数1、比赛得分与扣分。

带“—”号的得分比0分低。

生活中的负数,温度、收支、盈亏等等。

2、像5、1.2、1/2......这样的数叫做正数(positive number),它们都比0大。

在正数前面加“—”号的数叫做负数(negative number),如-10,-3,-1......3、零既不是正数,也不是负数。

鲁教版五四制七年级上册数学 第四章 实数 全章热门考点整合应用

鲁教版五四制七年级上册数学 第四章 实数 全章热门考点整合应用
解:这个数是无理数.理由如下: 因为数0.101001000100001…,它的特点是:从左向右 看,相邻的两个1之间依次多一个0,所以此数是一个 无限不循环小数. 所以此数为无理数.
3 【中考·湖州】4 的算术平方根是( B ) A.-2 B.2 C.±2 D. 2
某同学想用一块面积为400cm2的正方形纸片(如
所以 3b-2a 的平方根是± 190.
9 在52,π3, 2,- 116,3.14,0, 2-1,3 -9,| 4-1| 中,整数有__0_,__| _4_-___1_| ____________; 有理数有____52_,__-____1_16_,__3_._1_4_,__0_,__| _4_-__1_|_____________; 无理数有___π3_,___2_,___2_-__1_,__3__-__9_____________________.
①任取正数 a1< m; ②令 a2=12a1+am1,则am2< m<a2; ③令 a3=12a2+am2,则am3< m<a3; …以此类推 n 次,得到amn< m<an.
其中 an 称为 m的 n 阶过剩近似值,amn称为 m的 n 阶不足 近似值.按照这个方法,求 6的近似值. (1)我们取 a1 为小于 6的最大正整数,则 a1=___2_____. (2)在(1)的基础上,算出 6的 3 阶过剩近似值和 3 阶不足近 似值.
4
图所示),沿着边的方向裁出一块面积为300cm2
的长方形纸片,使它的长宽之比为6:5,请你用
所学过的知识来说明能否用这块纸片裁出符合要
求的纸片.
解:设长方形纸片的长为 6x (x>0)cm,则宽为 5x cm,依 题意得 6x·5x=300,所以 30x2=300.所以 x2=10. 因为 x>0,所以 x= 10.

鲁教版(五四制)初中数学七年级上册_【例题与讲解】轴对称与坐标变化

鲁教版(五四制)初中数学七年级上册_【例题与讲解】轴对称与坐标变化

3 轴对称与坐标变化1.图形的坐标变化与图形平移之间的关系在平面直角坐标系中,当纵坐标不变,横坐标都加上或减去一个正数a 时,图形会向右或向左平移a个单位长度;当横坐标不变,纵坐标都加上或减去一个正数a时,图形会向上或向下平移a个单位长度.【例1】如图①所示的箭头是将坐标为(0,0),(1,2),(1,1),(4,1),(4,-1),(1,-1),(1,-2),(0,0)的点用线段依次连接而成的,若纵坐标保持不变,横坐标分别加1,再将所得的点用线段依次连接起来,所得的图案与原来的图案相比有什么变化?若是横坐标保持不变,纵坐标分别减2呢?分析:当横坐标不变,纵坐标加上或减去一个正数a时,原图形就相应地向上或向下平移a个单位长度;当纵坐标不变时,横坐标加上或减去一个正数a 时,则原图形会向右或向左平移a个单位长度.解:若纵坐标保持不变,横坐标分别加1,则所得各点的坐标依次是(1,0),(2,2),(2,1),(5,1),(5,-1),(2,-1),(2,-2),(1,0),将各点用线段依次连接起来,所得图案如图②所示,所得图案与原图案相比,箭头的形状、大小不变,整个箭头向右平移了1个单位长度.若横坐标保持不变,纵坐标分别减2,则所得各点的坐标依次是(0,-2),(1,0),(1,-1),(4,-1),(4,-3),(1,-3),(1,-4),(0,-2),将各点用线段依次连接起来所得图案如图③所示,所得图案与原图案相比,箭头的形状、大小不变,整个箭头向下平移了2个单位长度.点评:解答本题的关键是求出图形变化后的点的坐标,再根据坐标用线段依次将点连接起来即可得到新图案.2.图形的坐标变化与图形的伸长和压缩之间的关系在平面直角坐标系中,当图形的纵坐标不变,横坐标扩大或缩小一定倍数时,图形就相应地被横向拉长或压缩该倍数,而纵向不变;当图形的横坐标不变,纵坐标扩大或缩小一定倍数时,图形就相应地被纵向拉长或压缩该倍数,而横向不变.【例2】如图所示的小船是将坐标为(1,0),(3,0),(4,1),(2,1),(2,3),(1,2),(1,1),(0,1),(1,0)的点用线段依次连接而成的,现将各点的坐标作如下变化:纵坐标保持不变,横坐标分别变成原来的 1.5倍,再将所得的点用线段依次连接起来,所得的图案与原来的图案相比有什么变化?解:纵坐标保持不变,横坐标分别变为原来的 1.5倍,所得各个点的坐标依次是:(1.5,0),(4.5,0),(6,1),(3,1),(3,3),(1.5,2),(1.5,1),(0,1),(1.5,0),将各点用线段依次连接起来,所得图案如图所示,与原图相比,整条船被横向拉长为原来的1.5倍.析规律坐标与图形变化的对应关系当横坐标不变,纵坐标扩大或缩小为原来的a倍时,图形就要被纵向拉长或压缩为原来的a倍;当纵坐标不变,横坐标扩大或缩小为原来的b倍时,原图形就要被横向拉长或压缩为原来的b倍.3.图形的坐标变化与图形的轴对称之间的关系在平面直角坐标系中,当图形上各点的横坐标不变,纵坐标乘-1时,所得的新图形与原图形关于x轴对称;当图形上各点的纵坐标不变,横坐标乘-1时,所得的新图形与原图形关于y轴对称;当图形上各点的横、纵坐标都乘-1时,那么所得到的新图形与原图形关于原点对称.谈重点对称点的坐标变化规律对应点的坐标对称情况可以简单记为:关于横轴对称,“横不变,纵相反”;关于纵轴对称,“纵不变,横相反”;关于原点对称,“全相反”.【例3】按要求回答问题:(1)在平面直角坐标系中描出点(1,2),(1,4),(1,6),(3,6),(1,4),(3,2),(1,2),并将各点用线段依次连接起来.(2)将上述各点作如下变化:①纵坐标不变,横坐标分别变成原来的2倍,再将所得的点用线段按第一问中的顺序连接起来,所得的图形与原来的图形相比有什么变化?②横坐标保持不变,纵坐标分别加3呢?③横、纵坐标分别乘-1呢?分析:解决本题的关键是分别在两坐标轴上找到对应点,过这两点分别平行于两坐标轴的直线的交点即为所求的点.如要描点(1,6)的位置,先在x轴上找到点1,在y轴上找到点6,过这两点分别平行于两坐标轴的直线的交点即为所求的点;理解平移、旋转、伸缩等图形的特征.解:(1)如图所示.(2)①按题中的变化要求各点的坐标依次是:(2,2),(2,4),(2,6),(6,6),(2,4),(6,2),(2,2).所得的图案如图所示,与原图案相比,图形被横向拉伸为原来的2倍.②各点的坐标依次是:(1,5),(1,7),(1,9),(3,9),(1,7),(3,5),(1,5).所得的图案如图所示,与原来的图案相比,图形向上平移了3个单位长度.③各点的坐标依次是:(-1,-2),(-1,-4),(-1,-6),(-3,-6),(-1,-4),(-3,-2),(-1,-2).所得的图案如图所示,与原图案相比,图形绕O点旋转了180°,即两个图形关于O点成中心对称.4.图形的变换与点的坐标的关系将图形放在平面直角坐标系中,我们可以求得各顶点的坐标,反过来,知道了一些点的坐标,我们还可以将各点顺次连接起来得到一些有趣的图形.通过点的坐标的变化与图形的变换,可以得到图形变换的规律.图形是由点组成的,点的坐标发生了变化,图形也会发生相应的变化;图形移动时,点的坐标也发生变化.其变化规律为:(1)纵坐标不变,横坐标按比例增大时,图形被横向拉长;纵坐标不变,横坐标按比例减小时,图形被横向“压缩”.(2)图形向右平移时,纵坐标不变,横坐标增大;图形向左平移时,纵坐标不变,横坐标减小;图形向上平移时,横坐标不变,纵坐标增大;图形向下平移时,横坐标不变,纵坐标减小.(3)横坐标加上一个数,纵坐标不变时,图形左、右平移(加负数,左移,加正数,右移);纵坐标加上一个数,横坐标不变时,图形上、下平移(加正数,上移,加负数,下移).(4)横坐标不变,纵坐标乘-1时,所得图形与原图形关于x轴对称;纵坐标不变,横坐标乘-1时,所得图形与原图形关于y轴对称.图1【例4】如图1,在平面直角坐标系内,一个封闭的图形ABCDE上各顶点的坐标分别为A(-2,0),B(1,2),C(2,1),D(3,2),E(2,0).(1)将各顶点的横坐标都加上3,纵坐标不变,并把得到的顶点依次连接,则所得的图形和原图形相比,位置有怎样的变化?(2)如果将各顶点的纵坐标都加上3,横坐标不变,顺次连接各顶点,所得图形与原图形的位置有什么变化?(3)将各顶点的横坐标都加上4,纵坐标都加上5,顺次连接各顶点,所得的图形与原图形的位置有怎样的变化?图2解:(1)A ,B ,C ,D ,E 点的横坐标都加上3,所得顶点的坐标分别是A 1(1,0),B 1(4,2),C 1(5,1),D 1(6,2),E 1(5,0),依次连接各点得图形A 1B 1C 1D 1E 1,图形A 1B 1C 1D 1E 1相当于图形ABCDE 向右平移了3个单位长度后得到的(如图2).(2)A ,B ,C ,D ,E 点的纵坐标都加上3,所得顶点的坐标分别是A 2(-2,3),B 2(1,5),C 2(2,4),D 2(3,5),E 2(2,3),顺次连接各点得到图形A 2B 2C 2D 2E 2,图形A 2B 2C 2D 2E 2相当于图形ABCDE 向上平移3个单位长度后得到的(如图2).(3)各顶点的坐标横坐标都加上4,纵坐标都加上5,所得顶点的坐标分别是A 3(2,5),B 3(5,7),C 3(6,6),D 3(7,7),E 3(6,5).依次连接各顶点,所得图形A 3B 3C 3D 3E 3相当于先把图形ABCDE 向右平移4个单位长度,再向上平移5个单位长度后得到的(如图2).5.从变化的“鱼”中探索坐标变化与图形变化的关系通过变化的“鱼”,在坐标系内,将图形的坐标变化与图形的平移、轴对称、伸长、压缩巧妙地融合在一起,既体现了图形的现实性、趣味性,又体现了数学的深刻性以及数形结合的思想方法.平移:原图形的坐标中,横坐标保持不变,纵坐标分别增加(减少)a (a >0),则所得图案被向上(向下)平移a 个单位长度,形状、大小未发生改变;反之,纵坐标不变,横坐标分别增加(减少)a (a >0),则所得图案被向右(向左)平移a 个单位长度.轴对称:原图形的坐标中,横(纵)坐标保持不变,纵(横)坐标分别乘-1,则所得的图案与原图案关于横轴(纵轴)对称.伸长:新图案的坐标变为原图案坐标的a倍,则将原图案伸长a倍,便可得新图案.压缩:新图案的坐标变为原图案坐标的1a(a>1),则将原图案压缩1a,便可得新图案.【例5】下面的方格纸中画出了一个“小猪”的图案,已知每个小正方形的边长为1.(1)“小猪”所占的面积为多少?(2)在上面的方格纸中作出“小猪”关于直线DE对称的图案(只画图,不写作法);(3)以G为原点,GE所在直线为x轴,GB所在直线为y轴,小正方形的边长为单位长度建立平面直角坐标系,可得点A的坐标是(__________,__________).分析:(1)只要数一数正方形的个数就能解决;(2)先利用网格的条件找到每个点的对称点,再连接起来即可;(3)按要求画出直角坐标系立即可得答案,这样的问题可充分考查学生的动手能力,又让学生在操作中体验着成功.解:(1)观察图形:“小猪”所占面积包括29个小正方形和7个小三角形面积和,每个小三角形面积是小正方形面积的一半,所以“小猪”所占面积为32.5.(2)“小猪”关于直线DE对称的图案如图所示.(3)点A的坐标是(-4,1).。

3.1 探索勾股定理(学生版) 2024-2025学年七年级数学上册同步课堂(鲁教版五四制)

3.1 探索勾股定理(学生版) 2024-2025学年七年级数学上册同步课堂(鲁教版五四制)

3.1 探索勾股定理◆勾股定理的定义:直角三角形的两条直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方,即:222a b c += .题型一 应用勾股定理求线段长1.(2024春•嘉祥县期中)如图,在ABC D 中,90C Ð=°,若1AC =,2AB =,则BC 的长是( )A .1BC.2D2.(2023秋•临淄区期末)如图,在Rt ABC D 中,90ACB Ð=°,3BC =,4AC =,CD AB ^于点D ,E是AB的中点,则DE的长为( )A.0.6B.0.7C.0.8D.0.9题型二应用勾股定理求面积1.(2024春•齐河县校级月考)如图,字母B所代表的正方形的面积是( )cmcm D.306 2cm B.15 2A.12 2cm C.144 22.(2022秋•郓城县期中)如图,在Rt ABCD中,90Ð=°,分别以各边为直径作半圆,图中阴影部分在C数学史上称为“希波克拉底月牙”,当4BC=时,则阴影部分的面积为( )AC=,2A.4B.4p C.8p D.83.(2024春•济南期末)已知,如图长方形ABCD中,3=,将此长方形折叠,使点BAD cmAB cm=,9D的面积为( )与点D重合,折痕为EF,则ABE6cm D.212cm3cm B.24cm C.2A.24.(2023秋•阳信县期末)如图,在Rt ABCAB=,则正方形ADEC和正方形BCFGÐ=°,若15D中,90C的面积和为( )A.225B.200C.150D.无法计算5.(2024春•沂水县校级月考)如图所示的是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形,其中阴影部分的面积是( )A.50B.16C.25D.416.如图,由两个直角三角形和三个大正方形组成的图形,其中阴影部分面积是( )A.16B.25C.144D.169题型三勾股定理的证明1.(2024春•历下区期末)勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理,其证明是论证几何的发端,下面四幅图中不能证明勾股定理的是( )A.B.C.D.2.(2024春•梁山县校级月考)如图,“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形.如果直角三角形较长直角边的长为a,较短直角边的长为b,若7ab=,大正方形的面积为30,则小正方形的边长为( )A.16B.8C.4D.23.(2024春•阳谷县校级月考)如图是“赵爽弦图”,它是由4个全等的直角三角形拼成的图形,若大正方形的面积是29,小正方形的面积是9,设直角三角形较长直角边为b,较短直角边为a,则a b+的值是( )A .5B .6C .7D .84.(2024春•嘉祥县期中)如图,有4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形,若大正方形的面积是17,小正方形的面积是5,直角三角形较长直角边为a ,较短直角边为b ,则2()a b +的值是( )A .25B .17C .29D .225.(2023秋•邹平市期末)下面图形能够验证勾股定理的有( )A .0B .1C .2D .36.(2022春•兖州区期末)我国是最早了解勾股定理的国家之一.据《周髀算经》记载,勾股定理的公式与证明是在商代由商高发现的,故又称之为“商高定理”;三国时代的蒋铭祖对《蒋铭祖算经》内的勾股定理作出了详细注释,并给出了另外一个证明,下面四幅图中,不能证明勾股定理的是( )A .B .C .D .7.(2024春•齐河县校级月考)如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形,如果大正方形的面积为16,小正方形的面积为3,那么2()a b +的值为 .8.(2015秋•滕州市校级期末)如图,“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形构成的大正方形,若直角三角形的两边长分别为3和5,则小正方形的面积为 .9.(2024春•河东区校级月考)阅读下列材料,并完成相应任务.教材第九章探索整式乘法法则时,我们用不同方法表示同一个图形的面积,直观地理解乘法法则.如图1,现有4张大小形状相同的直角三角形纸片,三边长分别是a 、b 、c ,将它们拼成如图2的大正方形.(1)观察:图2中,大正方形的面积可以用2()a b +表示,也可以用含a 、b 、c 的代数式表示为 ,那么可以得到等式: .整理后,得到a 、b 、c 之间的数量关系:222a b c +=,这就是著名的“勾股定理”,它反映了直角三角形的三边关系,即直角三角形的两直角边a 、b 与斜边c 所满足的关系式.(2)思考:爱动脑的小明通过图2得到启示,发现其它图形也能验证“勾股定理”,请你帮助小明画出该图形.(画出一种即可)(3)应用:如图3,在直角三角形ABC 中,90C Ð=°,3AC =,4BC =,那么AB = ,点D 为射线BC 上一点,将ACD D 沿AD 所在直线翻折,点C 的对应点为点1C ,如果点1C 在射线BA 上,那么CD = .(直接写出答案)10.(2024春•兰山区校级月考)如图①,直角三角形的两条直角边长分别是a ,()b a b <,斜边长为c .(1)探究:用四个这样的直角三角形拼成一大一小两个正方形(如图②).①小正方形的边长为c ,大正方形的边长为 ;②由大正方形面积的不同表示方式可以得出等式 ,整理得 ,从而验证勾股定理;(2)应用:将两个这样的直角三角形按图③所示摆放,使BC 和CD 在一条直线上,连接AE .请你类比(1)中的方法用图③验证勾股定理.11.(2024春•昌乐县期中)公元3世纪,古人就通过拼图验证了勾股定理:在直角三角形中两直角边a 、b 与斜边c 满足关系式222a b c +=.还探索验证了勾股定理的逆定理:如果三角形三边满足222a b c +=,则这个三角形是直角三角形.(1)小明发现证明勾股定理的新方法:如图1,在正方形ACDE 边CD 上取点B ,连接AB ,得到Rt ACB D ,三边分别为a ,b ,c ,剪下ACB D 把它拼接到AEF D 的位置,如图2所示,请利用面积不变证明勾股定理.(2)一个零件的形状如图3,按规定这个零件中A Ð和C Ð都应是直角,小明测得这个零件各边尺寸(单位:)cm 如图③所示,这个零件符合要求吗?12.(2024春•长清区期中)(1)计算:(2)()a b a b ++= ;(2)图形是一种重要的数学语言,它直观形象,我们可以用几何图形的面积来解释一些代数中的等量关系.例如:上面的计算是否正确我们可以通过图1来进行验证和解释.请同学们分别写出图2、图3能解释的乘法公式:图2: ;图3: ;(3)利用几何图形的面积,我们还可以去探究一些其它的等量关系:做4个全等的直角三角形,设它们的两条直角边分别为a ,b ,斜边为c ,再做1个长分别为c 的正方形,把它们按图4所示的方式拼成一个大正方形.试用不同的方法计算正方形的面积,就可以得到直角三角形的三边的数量关系:222a b c +=.这一个数量关系,我们叫做“勾股定理”,请你利用图4来证明勾股定理,即222a b c +=.(4)如图5,在Rt ABC D 中,90ACB Ð=°,CD 是AB 边上高,4AC =,3BC =,求CD 的长度.。

鲁教版五四制七年级上册认识三角形知识点

鲁教版五四制七年级上册认识三角形知识点

鲁教版五四制七年级上册认识三角形知识点鲁教版五四制七年级上册认识三角形知识点梳理1.掌握三角形的三边关系与三角形内角和性质;2.认知三角形、三角形的中线、三角形的高、三角形的角平分线的概念;3.了解图形的全等,能利用全等图形进行简单的图形设计;4.掌控全系列等三角形的性质,能够展开直观的推理小说和排序,化解一些实际问题.1.三角形的三边关系(1)三角形的任一两边之和大于第三边;(2)三角形的任意两边之差小于第三边.2.三角形的内角和等同于180°.3.三角形的中线、角平分线、高联结三角形的顶点和它所对的边的中点所获得的线段叫作三角形的中线;三角形的一个角的平分线与这个角的对边平行,这个角的顶点和交点之间的线段叫作三角形的角平分线;从三角形的一个顶点向它的对边画垂线,顶点和像距间的线段叫作三角形的高线,缩写三角形的高.4.形状、大小相同的图形放在一起完全重合,像这样能够完全重合的两个图形叫做全等形.5.全系列等三角形能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.把两个全等的三角形重合至一起,重合的顶点叫作对应顶点,重合的边叫作对应边,重合的角叫作对应角.6.全等三角形的性质全系列等三角形的对应边成正比、对应角成正比.一、全等图形、全等三角形:1.全等图形:能够完全重合的两个图形就是全系列等图形。

2.全系列等图形的性质:全系列等多边形的对应边、对应角分别成正比。

3.全系列等三角形:三角形就是特定的多边形,因此,全系列等三角形的对应边、对应角分别成正比。

同样,如果两个三角形的边、角分别对应成正比,那么这两个三角形全系列等。

说明:全等三角形对应边上的高,中线相等,对应角的平分线相等;全等三角形的周长,面积也都相等。

注意:(1)周长相等的两个三角形,不一定全等;(2)面积相等的两个三角形,也不一定全等。

二、全系列等三角形的认定:1.一般三角形全等的判定(1)边边边公理:三边对应相等的两个三角形全等(“边边边”或“sss”)。

鲁教版(五四制)七年级上册数学课件第四章2第1课时平方根(鲁教版七年级上·五四制)

鲁教版(五四制)七年级上册数学课件第四章2第1课时平方根(鲁教版七年级上·五四制)
5 2 25 ( ) (2)因为__ 8, 64 5 25 所以的算术平方根是__, 8 64
2 易错提醒: ( 3 ) 3.
25 5 = 即________ 64 8 .………………………………………………4分
36 =__ 62 ,所以(-4)×(-9)的算术平方根是 (3)因为(-4)×(-9)=___ 6 ,即____________ 4 9 6 .………………………………………6分 __ 9 =__ 32 ,所以(-3)2的算术平方根为__ 3, (4)因为(-3)2=__
2 即.……………………………………………… 8分 3 3
(5)13的算术平方根是.………………………………… 10分 13
【互动探究】一个数a(a≥0)的算术平方根有什么特点? 提示:如果a是有理数的平方,a的算术平方根的结果就不带根
2不是有理数的平方, a的算术平方根 号,如;如果 a 4 2 2
0 ,即=__. 特别地,我们规定0的算术平方根是__ 0 0
(4)如图中x,y,z,w可以分别表示为:
x=__ 5 3,z=__ 4,w=__. 2,y=__
【点拨】用算术平方根可以表示某些无理数. 【预习思考】带根号的数一定是无理数,对吗?请说明理由. 提示:不对. 理由:如=39 ,它是有理数.
知识点1求一个非负数的算术平方根 【例1】(10分)求下列各数的算术平方根:
(1)0.81;(2);(3)(-4)×(-9);
(4)(-3)2;(5)13.
25 64
0.92 =0.81,所以0.81的算术平方根是 【规范解答】(1)因为____
0.9 ,即=____ 0.9 ____ 2分 0.81 .………………………………………

鲁教版(五四制)初中数学七年级上册_《认识三角形》知识点解读1

鲁教版(五四制)初中数学七年级上册_《认识三角形》知识点解读1

《认识三角形》知识点解读1三角形是平面内最简单、最基本的几何图形之一,在生活中随处可见。

他不仅是我们学习其他图形的基础,而且是现实生活中有着广泛的应用。

因此探讨三角形中的基本性质可以使我们更好的认识现实世界,为了更好的学好三角形,我们先着眼于三角形的一些基本概念和性质。

知识点1三角形的概念及表示(重点)不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形。

三角形有三条边,三个内角,三个顶点。

组成三角形的线段叫做三角形的边;相邻两边所组成的角叫做三角形的内角;相邻两边的公共端点是三角形的顶点,三角形ABC用符号表示为△ABC,三角形ABC的边AB可用边AB所对的角C的小写字母c表示,AC可用b表示,BC可用a表示。

解读:(1)三条线段要不在同一直线上,且首尾顺次相接;(2)三角形是一个封闭的图形;(3)△ABC是三角形ABC的符号标记,单独的△没有意义。

例1 如图所示,图中的三角形有()A.6个B.8个C.10个D.12个分析:数三角形个数易遗漏或重复。

要做到不重不漏,就应按照一定的顺序去数。

如图,可按图形的形成过程去数,共有8个三角形,分别是:△ABC,△ADC,△ABD,△BCD,△AOB,△BOC,△COD,△AOD。

答案:选B知识点2 三角形的内角和及其他性质(重点)三角形的内角和等于180°。

直角三角形的两锐角互余。

例2若一个三角形的三个内角不相等,则它的最小角不能大于()A.45°B.60°C.90°D.120°分析:因为三角形内角和为180°,条件中说三个内角不相等,最小角若大于60°,则内角和超过180°。

答案:应选B知识点3 三角形的分类(难点)按边分类:不等边三角形(三边均不相等)和等腰三角形(至少两边相等)【等边三角形:三条边都相等的三角形。

它是特殊的等腰三角形】按角分类:锐角三角形(三个角均为锐角)、直角三角形(有一个角为直角)、钝角三角形(有一个角为钝角)解读:(1)对三角形进行分类时,要做到不重不漏;(2)由定义知等边三角形是特殊的等腰三角形,等腰三角形包括等边三角形,这两类三角形在三角形分类中不能并列出现。

鲁教版五四制初一数学上册数轴

鲁教版五四制初一数学上册数轴

的数是 ;
如果点B向右移动3个单位长度,在向左移动5个单位长度,终点表示的数是0,那么点
市的平均气温,请将各城市按平均气温从高到底顺序
排列.
北京
上海
沈阳
广州
济南
-5.6℃ 其排列顺序为:
2.3℃
-16.8℃
16.6℃ .
-3.2℃
9.一个点从数轴上表示__________的点开始,移动5个单位,到达表示3的点处.
学习目标
XUE XI MU BIAO
1. 认识数轴,会画完整的数轴,会用数轴上的点表示有理数; 2. 会利用数轴比较有理数的大小.
1
PART ONE
新课导入
如图:温度计上有刻度,我们可以方便的读出温度的度数,并且还可 以区分出是零上还是零下
类似的,将温度计看成一条直线,得
像上面这样的就是数轴,观察一下数轴,看看有什么特征?
(1)
(2)
(3)
(4)
所以数轴就是
.
2 新知探究
PART TWO
标题
试一试1:把0℃、5℃、-3℃、-2℃按从低到高的顺序排列; 在数轴上画出表示0、5、-3、-2的点,你能比较这几个数的大小吗?
试一试2:任意写出两个数,并在数轴上画出表示这几个数的点,你能比较出它 们的大小吗?
标题
议一议:数轴上点的位置与它们所表示的数的大小有什么关系?从 中你发现了什么规律? 有理数的比较法则: 在数轴上表示的两个数, 边的数总比 边的数大; 正数 0,负数 0,正数 负数 任何一有理数都可以用数轴上的点表示:
17.在数轴上画出大于-4但不大于2的数的范围,并写出大于-4但不大于2的整 数.
18.小明的家(记为A)与他上学的学校(记为B),书店(记为C)依次座落在一 条东西走向的大街上,小明家位于学校西边30米处,书店位于学校东边100米处,小 明从学校沿这条街向东走40米,接着又向西走了70米到达D处,试用数轴表示上述A、 B、C、D的位置.

鲁教版(五四制)七年级上册数学课件第四章3立方根(鲁教版七年级上·五四制)

鲁教版(五四制)七年级上册数学课件第四章3立方根(鲁教版七年级上·五四制)
灿若寒星
2.表示方法:每个数a都_只__有__一__个__立方根,记为“”3 a,读作 “_三__次__根__号__a_”. 3.性质:正数的立方根是_正__数__,负数的立方根是_负__数__, 0的立方根是_0_. 【归纳】任何一个数都有_1_个立方根.
灿若寒星
二、开立方 1.定义:求一个数a的_立__方__根__的运算叫做开立方. 2.表3 a示a的立方根,那么()3=_3_a,=__a. 3 a3 a
灿若寒星
3.将体积分别为600cm3和129cm3的长方体铁块,熔成一个正方 体铁块,那么这个正方体的棱长是______cm. 【解析】600+129=729,729的立方根是9, 所以正方体的棱长为9cm. 答案:9
灿若寒星
4.若,3 则8 x=3 __x___0_. 【解析】因为=3 -28, 所以=3 2,x 所以-x=23,即x=-8. 答案:-8
灿若寒星
【规律总结】 平方根与立方根的区别与联系
±
平方根
立方根
表示方法

3
区别
结果 根指数
一个或两个 一个 2(可省略) 3(不可省略)
被开方数的取值范 围
Hale Waihona Puke 非负数任意数联系(1)都与相应的乘方运算互为逆运算. (2)0的平方根与立方根都是0.
灿若寒星
【跟踪训练】 1.下列语句正确的是( ) (A)如果一个数的立方根是这个数本身,那么这个数一定是零 (B)一个数的立方根不是正数就是负数 (C)一个正数的立方根有两个,它们互为相反数 (D)一个数的立方根与这个数同号,零的立方根是零
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灿若寒星
【解析】(1)直接开立方依次填入得:0.01,0.1,1,10,100. (2)从表中发现被开方数小数点向右移动三位,立方根的小数 点向右移动一位. (3)依此规律得:①1343.04020;②=7.697. 3 456

第四章《实数》单元知识分类汇总2024-2025学年鲁教版(五四制)七年级数学上册

第四章《实数》单元知识分类汇总2024-2025学年鲁教版(五四制)七年级数学上册

《实数》单元知识分类汇总【类型一】实数的分类1.下列四个选项中,描述的是无理数的是( )A.休积为25的一个立方体的棱长B 、周长为4π的圆的半径长C.一直角边长为8,斜边长为17 的直角三角形的另一直角边长D.面积为100的一个正方形的边长2.[水州中考]在0.722.-0.101001,π,38中无理数的个数是 个. 3.如图所示,在正方形网格中,每个小正方形的边长都是1,则△ABC 三边长度是无理数的线段是 .【类型二】平方根与立方根4.[2023·威海]面积为9的正方形,其边长等于( )A.9的平方根B.9的算术平方根C.9的立方根D.√9的算术平方根 5.364的算术平方根是 ( )A.2B.-2C.√2D.±√26.若x 是25的平方根,y 是√5的平方,则z 与y 的关系是( )A. x=yB. x=-yC. y=|x|D.x =y²7.一个正数x 的两个平方根分别是3a-4与1-6a,则a 的值是 .8.[2023·湖北]请写出一个正整数m 的值使得√8m 是整数: m= .【类型三】实数大小比较9.[2023·荆刑]巳知k =√2(√5+√3)(√5− √3),则与k 最接近的整数为( )A.2 B、3 C.4 D.51.5.(用“>”“<”或“=”填空).10.比较大小,√6+12【类型四】实数与数轴11.[南通中考]小明学了在数轴上画出表示无理数的点的方法后,进行练习;首先画数轴,原点为O,在数轴上找到表示数2的点A,然后过点A作AB⊥OA,使AB=3(如图所示).以O为圆心,OB长为半径作弧,交数轴正半轴于点P,则点P所表示的数介于( )A.1和2之间B.2 和3之间C.3和4 之间D.4和5 之间.12.[2023·连云港]如图,数轴上的点A,B分别对应实数a,b,则a+b 0.(用“>”“<”或“=”填空)13.[2023·陕西]如图,在数轴上,点A表示√3,点B与点A位于原点的两侧,且与原点的距离相等.则点B表示的数是 .|+√5(1+a)的14.如图,点A 所对应的实数为a,已知OA=OB,求式子|a+52值.【类型五】实数的运算15.的显示结果是( )A.15 B 、±15 C 、-15 D.2516.[2023·威海]计算: (√2−1)n +(13)−1− √83= 17.[2023·内蒙古]若a,b 为两个连续整数,且 a <√3<b,则a+b= .18.已知√18的整数部分为a ,小数部分为b ,求 14b (√13+a )的值.19.计算:(1)(−√2)2+|1−√3|+(−13)−1,(2)(−1)2023−√16+|3−√3|−√−83. 20.交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆行驶的速度,所用的经验公式是v=16df ,其中v 表示车速(单位:千米/时),d 表示刹车后车轮滑过的距离(单位:米),f 表示摩擦因数,在对某高速公路上发生的一起交通事故的调查中,测得 d=30米,f=1.5,则肇事汽车的速度是多少? 是否超速行驶? (该高速公路最高时速限制是100千米/时)21.[2023秋·兴隆县期末]如图1,这是一个3阶魔方,由三层完全相同的27个小立方体组成,体积为27.(1)求出这个魔方的棱长;(2)图中阴影部分是一个正方形ABCD,求出阴影部分的面积及其边长;(3)在图2的4×4方格中画一个面积为10的正方形.。

鲁教版(五四制)初中数学七年级上册_《轴对称现象》知识点解读

鲁教版(五四制)初中数学七年级上册_《轴对称现象》知识点解读

《轴对称现象》知识点解读知识点1轴对称图形(重点)如果一个平面图形沿着一条直线折叠后,直线两侧的图形能够互相重合,那么这个图形是轴对称图形。

这条直线叫做图形的对称轴。

解读:(1)对称轴是一条直线,而不是射线,更不是线段。

(2)一个轴对称图形的对称轴可以有一条,也可以有两条,还可以有无数条,要视图形具体分析判断。

(3)判断一个图形是否为轴对称图形的方法:利用轴对称图形的定义,将图形对折,看折痕两边是否能完全重合,能够完全重合则该图形是轴对称图形,反之则不是。

例1 指出下列图形中的轴对称图形,并指出轴对称图形的对称轴。

(1)正方形;(2)长方形;(3)圆;(4)平行四边形。

分析:判断一个图形是否是轴对称图形,关键是能否找到一条直线使该图的两部分沿这条直线对折后完全重合。

解:(1)、(2)、(3)都是轴对称图形,(4)不是轴对称图形。

正方形的对称轴是两条对边中点所在的直线和正方形对角线所在的直线;长方形的对称轴是两条对边中点所在的直线;圆的对称轴是任意一条直径所在的直线。

说明:对称轴是一条直线,不是线段。

拓展:轴对称图形一定有对称轴,而且至少有1条对称轴,常见的例如:等腰三角形、等腰梯形、线段、角;有两条对称轴的常见图形有长方形;有三条对称轴的常见图形有等边三角形;正方形有4条对称轴;五角星和正五边形有5条对称轴;圆有无数条对称轴。

知识点2成轴对称(重点)如果两个平面图形沿一条直线对折后能够完全重合,那么称这两个图形成轴对称,这条直线叫做这两个图形的对称轴。

例2 观察中(1)~(5),它们是不是轴对称图形?有什么共同特点?分析:本题主要考查两个图形成轴对称图形的理解.可以利用轴对称的概念加以判断,但不能把两个图形成轴对称与一个图形是轴对称图形的概念相混淆.解:它们都是轴对称图形,每一组中都有两个图形.可以沿某一条直线对折使两个图形能完全重合在一起,所以每幅图中的两个图形成轴对称.轴对称图形是一个图形.可以有一条或许多条对称轴.(1)~(5)两个图形成轴对称,一般来说只有一条对称轴.知识点3 轴对称图形和成轴对称的区别和联系(难点)轴对称图形成轴对称区别只有一个图形有两个图形至少有一条对称轴只有一条对称轴联系1.沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够完全重合。

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山东版六年级上第一章丰富的图形世界§1.1.1生活中的立体图形多角度观察、认识立体图形。

§1.1.2图形是由点(point)、线(line)、面(plane)、构成的。

点动成线,线动成面,面动成体。

§1.2.1展开与折叠1、在棱柱中,任何相邻两个面的交线都叫做棱(edge),相邻两个侧面的交线叫做侧棱。

2、人们通常根据棱柱底面图形的边数,将棱柱分为三、四、五......棱柱。

长方体和立方体都是四棱柱。

3、认识棱柱的顶点、棱、面。

§1.2.21、将立方体沿某些棱剪开,认识其平面图形。

2、了解正多边形:边长相等,角也相等的多边形。

§1.3截一个几何体1、用一个平面去截一个几何体,截出的图形叫截面。

2、认识不同的截面。

§1.4从不同方向看1、从不同方向,不同角度观察立体图形、物体画出不同的视图。

2、主视图:把从正面看到的图叫做主视图;俯视图:从上面看到的图叫俯视图;左视图:从左面看到的图叫左视图。

3、俯视图通常画在主视图的下面,左视图通常画在主视图的左面。

§1.4.2画几何体的主视图、俯视图、左视图。

§1.5生活中的平面图形1、三角形、四边形、五边形、六边形等都是多边形(polygon),它们都是由一些不在同一条直线上的线段依次首尾相连组成的封闭平面图形。

2、圆上A、B两点之间的部分叫做弧(arc),由一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形(sector).第二章有理数及其运算§2.1 有理数引入负数1、比赛得分与扣分。

带“—”号的得分比0分低。

生活中的负数,温度、收支、盈亏等等。

2、像5、1.2、1/2......这样的数叫做正数(positive number),它们都比0大。

在正数前面加“—”号的数叫做负数(negative number),如-10,-3,-1......3、零既不是正数,也不是负数。

4、为了突出数的符号,可以在正数前加“+”号,如果+5,+1.2,+1/2......5、我们常常用正数和负数表示一些具有相反意义的量。

6、正整数整数(integer) 零负整数有理数分类正分数分数(fraction)负分数§2.2数轴1、数轴:规定了原点、正方向、单位长度的直线。

即:画一条水平直线,在直线上取一点表示0(这个点叫做原点,origin),选取某一长度作为单位长度(unit length)。

规定直线向右的方向为正方向(positive direction),就得到了数轴(number axis).它真像一个平放的温度计。

2、任何有理数都可以用数轴上的点来表示。

3、如果两个数只有符号不同,那么我们称其中一个数为另一个数的相反数(oppositenumber),也称这两个数互为相反数。

特别地,0的相反数是0.4、数轴的几何意义:在数轴上,表示互为相反数的两个点位于原点的两侧,并且它们到原点的距离相等。

5、数轴上两个点表示的数,右边的总比左边的大。

正数大于0,负数小于0,正数大于负数。

§2.3 绝对值1、在数轴上,一个数所对应的点与原点之间的距离叫做该数的绝对值(absolutevalue).(几何意义)2、互为相反数的两个数的绝对值有什么关系呢?3、正数的绝对值是它本身;负数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0.(代数意义)4、两个负数比较大小,绝对值大的反而小。

§2.4 有理数的加法1、引入加法:球赛进球11+(—1)=0. 用1个○+表示+1,用1个○—表示—100.2、我们也可以利用点在数轴上的移动表示加法运算过程,以原点为起点,规定向右的方向为正方向,向左的方向为负方向。

3、两个有理数相加,和的符号怎样确定?一个有理数同0相加,和是多少?有理数加法法则:同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加;异号两数相加,绝对值相等时和为0;绝对值不相等时,取绝对值较大的数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值。

互为相反数的两个数相加得0;一个数同0相加,仍得这个数。

§2.4.2在有理数运算中,加法的交换律,结合律仍然成立。

加法的交换律(commutative law):两个数相加,交换加数的位置,它们的和不变。

即:a+b=b+a.加法的结合律(associative law):三个数相加,先把前两个数相加,或者先把后两个数相加,它们的和不变。

即:(a+b)+c=a+(b+c).§2.5 有理数的减法减去一个数,等于加上这个数的相反数。

即:减法可以转化为加法。

§2.6 有理数的加减混合运算1、在有理数的加减混合运算中,一切加法和减法的运算,都可以统一成加法运算。

在进行运算时,可以适当运用加法交换律和结合律来简化运算。

在交换加数的位置时,要连同加数的符号一起交换。

2、熟练后,运算步骤可以写得简单些。

§2.6.2练习混合运算。

§2.7 有理数的乘法1、 有理数乘法法则:两数相乘,同号得正,异号得负,绝对值相乘。

2、 任何数与0相乘,积仍为0.3、 乘积为1的两个有理数互为倒数(reciprocal ).如:-3与-31,83与38. 注意:0没有倒数,a 的倒数为a1 (a≠0) 4、 几个有理数相乘,因数都不为0时,积的符号怎样确定?有一个因数为0时,积是多少?几个不等于0的数相乘,积的符号由负因数的个数来决定。

当负因数的个数是奇数时,积的符号为负,当负因数的个数是偶数时,积的符号为正。

积的绝对值等于各个因数的绝对值的积。

几个数相乘,有一个因数为0时,积就为0.§2.7练习有理数乘法运算乘法的交换律:a×b=b×a乘法的结合律:a×b×c=a×(b×c)乘法的分配律:a×(b+c)=a×b+a×c§2.8有理数的除法1、 除法是乘法的逆运算。

2、 两个有理数相除,同号得正,异号得负,并把绝对值相除。

0除以任何非0的数都得0.注意:0不能作除数。

3、 除以一个数等于乘这个数的倒数。

§2.9 有理数的乘方1、 乘方的意义:一般地,n 个相同的因数a 相乘,记作a n. 即:a×a ×a …×a=a n (n 个a相乘)。

这种求n 个相同因数a 的各的运算叫做乘方(power ),乘方的结果叫做幂(power ),a 叫做指数(exponent ),a n. 读作a 的n 次幂(或a 的n 次方)。

§2.9.2练习幂运算认识幂乘方法则:负数的奇次幂是负数,负数的偶次幂是正数;正数的任何次幂都是正数;0的任何正整数次幂都是0.§2.9.3幂的变化率,练习幂运算。

§2.10 有理数的混合运算先算乘方,再算乘除,最后算加减;如果有括号先算括号里面的。

§2.11 用计算器进行有理数的计算掌握计算器计算时的按键顺序,会用计算器计算。

本章小结:1、正整数和零统称为自然数;数0既不是正数也不是负数。

2、正数前面的“+”号,平时可略去不写,有时为了强调也写上,而负数前面的“—”号,切记不能省略。

3、任何一个有理数都可以用数轴上的点表示,但数轴上的点不能表示有理数。

(数形结合)4、0没有倒数。

5、易出现的思维误区:(1)判断数或字母的正负出现错误,认为凡带有“—”号的就是负数。

(2)对绝对值的概念不能透彻理解,误认为若b a =,则a=b.(3)对计算符号和性质符号理解不正确,如把3—7理解3减去-7,正确的理解是:式子中间的“—”可当作运算符号,也可看作性质符号,但只能用一次,对“3—7”可理解为“正3减正7”或“正3加负7”。

(4)在分数乘方中,写法和计算出错,如-3625652=,52的平方写成522,应明确是整个分数的乘方,还是分子或分母的乘方。

(5)运算律使用中出现错误,不明确使用范围。

如计算10÷(3151+)时,误用分配律写成10÷(3151+)=10÷51+10÷31=10×5+10×3=50+30=80的错误形式。

第三章 代数式§3.1 用字母表示数1、 公式、运算律都可以用字母表示。

2、 字母可以表示任何数。

§3.2 代数式1、 像4+3(x+1), x+x+(x+1), a+b,ab,2(m+n),ts 等都是代数式,(algebraic expression ).单独一个数或一个字母也是代数式。

2、 注意:当式子后面有单位时,通常要用括号把式子括起来,如果(a+1)cm ;在含有字母的除法里,通常要按照分数的形式书写。

例如s ÷t 一般写成t s.3、 所谓“代数式”就是用符号来代表数的一种方法。

§3.2.1练习代数式§3.3 合并同类项在代数式1.5v 中,字母前的数字因数1.5叫做它的系数(coefficient ),31πr 2h 的系数是31π. §3.4.11、8n 和5n 都含字母n ,并且n 的指数是1;-7a 2b 和2a 2b 都含字母a 和b,并且a 的指数都是-2,b 的指数都是1,像8n 与5n ,-7a 2b 与2a 2b 这样所含字母相同,并且相同字母的指数也相同的项,叫做同类项(like terms ),把同类项合并成一项就叫做合并同类项(unite like terms ).如8n+5n=13n, -7a 2b+2a 2b= -5a 2b.2、合并同类项时,把同类项的系数相加,字母和字母的指数不变。

§3.4 去括号1、 括号前是“+”号,把括号和它前面的“+”号去掉后,原括号里各项的符号都不改变。

2、 括号前是“—”号,把括号和它前面的“—”号去掉后,原括号里各项的符号都要改变。

§3.5 探索规律规律是事物之间的内在联系,是客观存在的,人们可以在实践生活中归纳发现它,并利用它服务于社会,人们通常对简单或特殊情况进行观察探索分析,从中发现某些有规律的东西,再验证这种规律的合理性,探索规律就是一种观察、归纳、猜想、验证的过程,体现了从特殊到一般的数学思想。

第四章 平面图形及其位置关系§4.1 线段、射线、直线1. 线段:有两个端点。

如自行车轮的辐条,人行横道线都可以近似地看做线段(segment ).2. 将线段向一个方向无限延长就形成了射线(ray 或 half line ).射线有一端点。

如手电筒,探照灯所射出的光线可以近似地看做射线。

3. 将线段向两个方向无限延长就形成了直线(line ).笔直的铁轨可以近似地看做直线。

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