人教版初中数学八年级上册第十五章小结与复习3
八年级数学上册 第15章 数据的收集与表示小结与复习课件
针对训练 u数形结合(jiéhé)思想
例5 某课题小组为了解某品牌电动自行车的销售情况，对某专
卖店第一季度该品牌A 、B、C、D四种(sì zhǒnɡ)型号电动自行车的销量
做了统计，绘制成如下两幅统计图（均不完整）．
（1）该店第一季度售出这种品牌的电动自行车共多少辆？
（2）把两幅统计图补充完整；
（3）若该专卖店计划订购(dìnggòu)这四款型号的电动自行车2400辆， 求
第十六页，共二十九页。
考点四 本章数学思想和解题方法
u转化(zhuǎnhuà)思想
例4 某校对某班45名学生初中三年中戴近视眼镜人数进行了跟踪 调查，统计数据如图①所示．
（1）如果(rúguǒ)用整个圆代表该班人数，请在图②圆中画出该班七年级初 戴近视眼镜人数和未戴近视眼镜人数的扇形统计图，并标出百分比；
并绘制成不完整的条形图．已知最喜欢篮球的人数占调查人
数的32%，最喜欢排球的人数是最喜欢足球人数的1.5倍．
（1）最喜欢排球的人数是
，12
被调查的学生数是 50 ；
（2）将条形图补充完整；
（3）若用扇形图表示(biǎoshì)统计结果，
则最喜欢羽毛球的人数所对应扇 形的圆心角为 100.8 度．
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第二十二页，共二十九页。
解： （1）210÷35%=600（辆）． 答：该店第一季度售出这种品牌(pǐn pái)的电动自行车共600辆．
（2）补全条形(tiáo xínɡ)统计图．
（3）2400×30%=720（辆）．
答：C型电动(diàn dònɡ)自行车应订购720辆．
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5．扇形统计图的特点
八年级上册第十五章分式知识点总结及练习[1]
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12第十五章 分式一、知识概念：1.分式：形如A B，A B 、是整式，B 中含有字母且B 不等于0的整式叫做分式。
其中A 叫做分式的分子，B 叫做分式的分母.2.分式有意义的条件:分母不等于0。
3.分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为0的整式,分式的值不变.4。
约分：把一个分式的分子和分母的公因式（不为1的数)约去,这种变形称为约分.5.通分：异分母的分式可以化成同分母的分式，这一过程叫做通分.6。
最简分式：一个分式的分子和分母没有公因式时，这个分式称为最简分式，约分时,一般将一个分式化为最简分式。
7。
分式的四则运算:⑴同分母分式加减法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。
用字母表示为：a b a b c c c±±= ⑵异分母分式加减法则：异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算.用字母表示为： a c ad cb b d bd±±=3⑶分式的乘法法则：两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母。
用字母表示为：a c ac b d bd⨯= ⑷分式的除法法则：两个分式相除,把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.用字母表示为：a c a dad b d b c bc÷=⨯= ⑸分式的乘方法则:分子、分母分别乘方.用字母表示为:n n n a a b b ⎛⎫= ⎪⎝⎭8。
最新人教版初中八年级上册数学【第十五章 第15章小结(1)】教学课件
a2 1 a 12 (a 1)
注意：分式 通分的依据 也是分式的 基本性质， 分式通分， 首先要找到 两个分式的 最简公分母。 两个分式的 最简公分母 就是两个分 式分母的最
小公倍式
练习1
1.如果分式
x2 x
1 1
的值为0，那么x的值为
1
.
x 2.如果把分式 x y 中的x和y的值都扩大为原来
解：原式
(a1)(a1)
(a1)2
(a
1)
a1 a1
注意：这里(a 1)作
为整体时，添括号要 记得变号！
注意：在 a取 值时，要考虑 分母不为零！
由题意得a1 0,a1 0
(a(a(aa1111))(a(a1a)(1a)11aa))11aa11
a 2，a为非负整数
a 0时，原式=2.
(aa11)a(a12()aa1)1 a1 a1aa11 a1a1
a2.
谢谢观看
的3倍，则分式的值（ B ）
A.扩大为原来的3倍
1
C.缩小为原来的 3
B.不变
1
D.缩小为原来的6
问题3 如何利用分式的加、减、乘、除的运算法 则例进4 行计算计算？
(1)( x )2 3x2 y ; 2y 2 x2
解：原式 x2 3x2 y 4y2 2 x2
(2)
2a a2
4
2
1 a
.
八年级—人教版—数学—第15章
分式的性质与运算复习小结
学习目标
1.理解分式、最简分式、最简公分母的概念.
2.熟练掌握分式的基本性质、分式运算法则；准确熟练地进行分式 的运算.
问题1 当x是怎样的实数时，分式在实数范围内有意义？分式值何时为零？
人教版八年级数学上册第十五章分式知识点总结和典型题型
.
12 xy
（ 1） 2 3 1x 1 y 34
0.2a 0.03b （2）
0.04a b
题型二：分数的系数变号
【例 2】不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的首项的符号变为正号
.
（ 1） x y xy
（ 2）
a
ab
（3） a b
题型三：化简求值题
【例 3】已知： 1 1 5 ，求 2x 3xy 2 y 的值 .
b
:
c
bc a
0
aa a
2. 异分母加减法则
b
:
d
bc da
bc
da a
0, c
0;
a c ac ac ac
【例 3】当 x 取何值时，下列分式的值为 0.
（1） x 1 x3
|x| 2 （ 2） x2 4
x2 2x 3 （ 3） x2 5x 6
题型四：考查分式的值为正、负的条件
【例 4】（ 1）当 x 为何值时，分式 4 为正； 8x
“实际问题 ———
【例 1】下列代数式中：
x1
a b x2
, x y,
,
y2 x ,
y ，是分式的有：
.
2
ab x y x y
分式方程模型 ——— 求解 ——— 解释解的合理性 ”的数学化过程，体会分式方程的模型思想，对
题型二：考查分式有意义的条件
培养通过数学建模思想解决实际问题具有重要意义． 3．类比法
式乘法；分式加减运算的基本思想：异分母的分式加减法、同分母的分式加减法；解分式方程
（一）、分式定义及有关题型
的基本思想：把分式方程转化为整式方程，从而得到分式方程的解等．
第15章 分式 本章小结与复习(2) 教学设计(表格式)2023—2024学年人教版数学八年级上册
解：方程两边同乘最简公分母 (x + 2)(x﹣2)，得解得 x =﹣2.检验：当 x =﹣2 时，(x + 2)(x﹣2) = 0.所以 x =﹣2 不是原方程的根，故原方程无解考点四分式方程的应用例6 从广州到某市，可乘坐普通列车或高铁，已知高铁的行驶路程是 400 千米，普通列车的行驶路程是高铁的行驶路程的 1.3 倍．(1) 求普通列车的行驶路程；(2) 若高铁的平均速度 (千米/时) 是普通列车平均速度 (千米/时) 的 2.5 倍，且乘坐高铁所需时间比乘坐普通列车所需时间缩短 3 小时，求高铁的平均速度．解析：设普通列车的平均速度是 x 千米/时，根据高铁所需时间比乘坐普通列车所需时间缩短 3小时，列出分式方程，然后求解即可．针对训练7. 某施工队挖掘一条长 90 米的隧道，开工后每天比原计划多挖 1 米，结果提前 3 天完成任务，原计划每天挖多少米？若设原计划每天挖 x 米，则依题意列出正确的方程为（）8. 某商店第一次用 600 元购进 2B 铅笔若干支，第二次又用 600 元购进该款铅笔，但这次每支的进价是第一次进价的倍，购进数量比第一次少了 30 支.求第一次每支铅笔的进价是多少元. 想”，即把分式方程转化为整式方程求解．的基础上，尝试完成针对训练，达到巩固所学知识的目的。
巩固分式方程在工程问题中的模型作用，设计由易到难的练习，帮助学生实现例题正向的迁移考点五本章数学思想和解题方法【解析】将条件等式变形为用 b 来表示 a 的形式，可得，再代入所求分式中约分即可求值.总结归纳通过归纳总结，巩固本节课的知识点巩固反馈课本第154页的练习第2题通过课堂练习及时检测学生对本届知识点的掌握情况学生独立完成，课后作业布置必做题课本第158页复习题第7题、第8题、第9题、第10题完成总时间分钟选做题课本第159页复习题第11题完成总时间分钟实践题板书设计15章分式小结与复习（2）三、分式方程考点三分式方程的解法考点四分式方程的应用教学反思。
人教版八年级数学上册第十五章小结与复习
人教版八年级数学试题第十五章分式（本检测题满分：100分，时间：90分钟）一、选择题（每小题3分，共30分）1.下列各式中，分式的个数为（ ） 3x y -，21a x -，，3a b -，12x y +，12x y +，2123x x =-+. A.5 B.4 C.3 D.22.要使分式有意义，则应满足（ ）A ．≠-1B ．≠2C ．≠±1D ．≠-1且≠23.化简：211x x x x -=--（ ） A.0 B.1 C.x D. 1x x - 4.将分式2x x y+中的x ，y 的值同时扩大到原来的2倍，则分式的值（ ） A.扩大到原来的2倍 B.缩小到原来的21 C.保持不变 D.无法确定 5.若分式122+--x x x 的值为零，则的值为( ) A.或 B.C. D.6.某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产600台机器所需时间与原计划生产450台机器所需时间相同.设原计划平均每天生产x 台机器，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）A.60045050x x =+ B.60045050x x =- C.60045050x x =+ D.60045050x x =- 7.对于下列说法，错误的个数是（ ）①是分式；②当1x ≠时，2111x x x -=+-成立；③当时，分式33x x +-的值是零；④11a b a a b ÷⨯=÷=；⑤2a a a x y x y +=+；⑥3232x x-⋅=-. A.6 B.5 C.4 D.38.把，，通分的过程中，不正确的是（ ）A ．最简公分母是（-2）（+3）2B ．C ．D ．9.下列各式变形正确的是（ ）A.x y x y x y x y -++=---B.22a b a b c d c d--=++ C.0.20.03230.40.0545a b a b c d c d --=++ D.a b b a b c c b --=-- 10.若241142w a a ⎛⎫+⋅= ⎪--⎝⎭，则w=（ ） A.2(2)a a +≠- B. 2(2)a a -+≠ C. 2(2)a a -≠ D. 2(2)a a --≠-二、填空题（每小题3分，共24分）11.化简2211121x x x x +⎛⎫+÷ ⎪--+⎝⎭的结果是 . 12.将下列分式约分：(1)258x x ；(2)22357mn n m - . 13.计算2223362c ab b c b a ÷= . 14. 有一个分式，三位同学分别说出了它的一些特点，甲：分式的值不可能为0；乙：分式有意义时的取值范围是≠±1；丙：当=-2时，分式的值为1.请你写出满足上述全部特点的一个分式： .15.已知，则222n m m n m n n m m ---++________.16.若0544≠==z y x ，则z y x y x 32+-+=_____________. 17.代数式11x -有意义时，x 应满足的条件是_____________. 18.为改善生态环境,防止水土流失,某村拟在荒坡地上种植960棵树, 由于青年团员的支持,每日比原计划多种20棵,结果提前4天完成任务,问原计划每天种植多少棵树?设原计划每天种植棵树，根据题意可列方程__________________.三、解答题（共46分）19.（6分）约分：（1）22444a a a --+；（2）22211m m m-+-. 20.（4分）通分：21x x -，2121x x --+. 21.（10分）计算与化简：（1）222x y y x ⋅；（2）22211444a a a a a --÷-+-；（3）22142a a a ---；（4）211a a a ---； （5）()()222142y x x y xy x y x +-÷⋅-． 22.（5分）先化简，再求值：222693b ab a ab a +--,其中，. 23.（6分）若x 1y 1, 求y xy x y xy x ---+2232的值.24.（9分）解下列分式方程：（1）730100+=x x ；（2）132543297=-----x x x x ；（3）21212339x x x -=+--. 25.（6分）“母亲节”前夕，某商店根据市场调查，用3 000元购进第一批盒装花，上市后很快售完，接着又用5 000元购进第二批这种盒装花．已知第二批所购花的盒数是第一批所购花的盒数的2倍，且每盒花的进价比第一批的进价少5元．求第一批盒装花每盒的进价.本文为《中学教材全解》配套习题，提供给老师和学生无偿使用。
人教版八年级上册数学 第十五章 分式方程 知识点及考点
第十五章分式方程知识点及考点一、知识点1．分式方程的概念分母中含有未知数的方程叫做分式方程．注意：“分母中含有未知数”是分式方程与整式方程的根本区别，也是判定一个方程为分式方程的依据．2．分式方程的解法（1）解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是去分母，即方程两边同乘以各分式的最简公分母．（2）解分式方程的步骤：①找最简公分母，当分母是多项式时，先分解因式；②去分母，方程两边都乘最简公分母，约去分母，化为整式方程；③解整式方程；④验根．易错提醒：解分式方程过程中，易错点有：①去分母时要把方程两边的式子作为一个整体，记得不要漏乘整式项；②忘记验根，最后的结果还要代回方程的最简公分母中，只有最简公分母不是零的解才是原方程的解．3．增根在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫做方程的增根．由于可能产生增根，所以解分式方程要验根，其方法是将根代入最简公分母中，使最简公分母为零的根是增根，否则是原方程的根．温馨提示：增根虽然不是方程的根，但它是分式方程去分母后变形而成的整式方程的根．若这个整式方程本身无解，当然原分式方程就一定无解．4．分式方程的应用（1）分式方程的应用主要涉及工程问题，有工作量问题、行程问题等．每个问题中涉及到三个量的关系，如：工作时间＝工作量工作效率，时间＝路程速度等．（2）列分式方程解应用题的一般步骤：①设未知数；②找等量关系；③列分式方程；④解分式方程；⑤检验（一验分式方程，二验实际问题）；⑥答．二、考试方向（一）解分式方程分式方程的解法：①能化简的应先化简；②方程两边同乘以最简公分母，化为整式方程； ③解整式方程；④验根． 例题：1、解分式方程：312242x x x -=--． 【解析】去分母得：6-x =x -2，解得：x =4，经检验x =4是分式方程的解．【名师点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．2、方程33122x x x-+=--的解为_______________． 【答案】1x =【解析】方程两边同乘以(2)x -，得(32)3x x -+-=-，解得1x =，检验：1x =时，20x -≠，所以1x =是原分式方程的解． 故填1x =．【名师点睛】分式方程的解题步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1．同时应注意分式方程必须检验．（二）分式方程的解（1）求出未知数的值后必须验根，因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根.（2）验根时把整式方程的根代入最简公分母，如果最简公分母等于0，这个根就是增根；否则这个根就是原分式方程的根，若解出的根都是增根，则原方程无解.（3）如果分式本身约分了，也要代入进去检验.（4）一般地，解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为零，因此要将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为零，则是方程的解.例题：3、 若关于x 的方程3111ax x x -=++的解为整数解，则满足条件的所有整数a 的和是 A ．6 B ．0 C ．1 D ．9【答案】D【解析】分式方程去分母得：ax -1-x =3，解得：x =41a -， 由分式方程的解为整数解，得到a -1=±1，a -1=±2，a -1=±4， 解得：a =2，0，3，-1，5，-3（舍去），则满足条件的所有整数a 的和是9， 故选D ．【名师点睛】此题考查了分式方程的解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．4、若关于x 的分式方程121k x -=+的解为负数，则k 的取值范围为_______________． 【答案】3k <且1k ≠【解析】分式方程去分母转化为整式方程，去分母得122k x -=+，解得32x k =-，由分式方程的解为负数，可得203k -<且10x +≠，即213k -≠-，解得3k <且1k ≠． （三）分式方程的应用分式方程解实际问题的求解步骤：审题、设未知数、列方程、解方程、检验、写出答案，检验时要注意从方程本身和实际问题两个方面进行．例题：5、某工厂生产一种零件，计划在20天内完成，若每天多生产4个，则15天完成且还多生产10个．设原计划每天生产x 个，根据题意可列分式方程为A ．2010154x x +=+ B ．2010154x x -=+ C ．201015x x += D ．201015x x -= 【答案】A 【解析】由题意可知原计划每天生产x 个零件，则实际每天生产了(4)x +个零件，实际15天共生产了(200)1x +个零件，因此根据题意可列分式方程为2010154x x +=+． 故选A ． 6、元旦假期即将来临，某旅游景点超市用700元购进甲、乙两种商品260个，其中甲种商品比乙种商品少用100元，已知甲种商品单价比乙种商品单价高20%，那么乙种商品单价是A ．2元B ．2.5元C ．3元D ．5元【答案】B【解析】设乙种商品单价为x 元，则甲种商品单价为(1)20%x +元，由题易得，甲种商品花费300元，乙种商品花费400 解得 2.5x =元．故选B ．。
2019年人教版数学初二上学期第十五章知识点总结
2019年人教版数学初二上学期第十五章知识点总结第十五章分式一、知识框架：二、知识清单：1.分式：形如AB，A B、是整式，B中含有字母且B不等于0的整式叫做分式.其中A叫做分式的分子，B叫做分式的分母.2.分式有意义的条件：分母不等于0.3.分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变.4.约分：把一个分式的分子和分母的公因式(不为1的数）约去，这种变形称为约分.5.通分：异分母的分式可以化成同分母的分式，这一过程叫做通分.6.最简分式:一个分式的分子和分母没有公因式时，这个分式称为最简分式，约分时，一般将一个分式化为最简分式.7.分式的四则运算：⑴同分母分式加减法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减.用字母表示为：a b a b c c c±±= ⑵异分母分式加减法则：异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算.用字母表示为： a c ad cb b d bd±±= ⑶分式的乘法法则：两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母.用字母表示为：a c ac b d bd⨯= ⑷分式的除法法则：两个分式相除,把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.用字母表示为：a c a d ad b d b c bc÷=⨯= ⑸分式的乘方法则：分子、分母分别乘方.用字母表示为：n n n a a b b⎛⎫= ⎪⎝⎭ 8.分式方程的意义:分母中含有未知数的方程叫做分式方程.9.分式方程的解法:①去分母(方程两边同时乘以最简公分母,将分式方程化为整式方程);②解整式方程的步骤求出未知数的值;③检验(求出未知数的值后必须验根,因为在把分式方程化为整式方程的过程中,扩大了未知数的取值范围,可能产生增根)；④写出分式方程的解.11.列分式方程解应用题：①审题，弄清题意；②设未知数，根据题意，设未知数；③根据题意列方程④解方程求出未知数的值⑤检验，看未知数的值是否符合题意，是否符合方程⑥下结论，写出方程的解.。
人教版八年级数学上册第15章 分式 小结与复习
因为 ( 3)2 ( 3)2 3，所以小玲的计算结果也正确.
例4
解析：本题若先求出 a 的值，再代入求值，显
然比较复杂；但是如果将分式
的分子、
分母颠倒过来，即求
的值，
再利用完全平方公式变形求解就简单多了．
归纳总结 利用 A 和 1 互为倒数的关系，构造已知
A
条件与所求式子的关系，并运用整体代换，可使一 些分式求值问题的思路豁然开朗，简化解题过程．
第十五章 分 式
小结与复习
一、分式 1. 分式的概念：
一般地，如果 A、B 都表示整式，且 B 中含有
字母，那么称 为分式. 其中 A 叫做分式的分子，
B 叫做分式的分母. 2. 分式有意义的条件：
对于分式 ：当__B_≠__0__时分式有意义； 当__B__=_0__时分式无意义.
3. 分式值为零的条件： 当 A = 0 且 B≠0 时，分式
的值为零.
4. 分式的基本性质：
A A C ， A A C（C 0）. B BC B BC
5. 分式的约分： 约分的定义
根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母
的公因式约去，叫做分式的约分．
最简分式的定义 分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式.
注意：分式的约分，一般要约去分子和分母所有 的公因式，使所得的结果成为最简分式或整式.
此方法是在众多未知元之中选取某一元为主元， 其余视为辅元，并将辅元用含有主元的式子表示，从 而达到减元的目的，最终实现化繁为简，化难为易.
针对训练
9.
已知
x y
2 3
，求
x2
x2 y2 2xy
y2
xy 2x2
y2 2xy
人教版八年级数学上册 第十五章 章末复习与小结
例 解方程： 1 1 1 1 . x4 x7 x5 x6
解：移项，得
1 x+4
-
1 x+5
=
1 x+6
-
1 x+7
两边分别通分,得
（x+5）-（x+4） （x+4）（x+5）
=
（x+7）-（x+6） （x+6）（x+7）
1 （x+4）（x+5）
1 = （x+6）（x+7）
专题选讲—— 分式方程的解法
3 2
经检验，x=-
3 2
是原分式方程的解.
专题选讲—— 分式方程的解法
类型一 分式方程的解法
练一练：解分式方程：
x
x 1
2x x2
1 1
1
解：方程两边都乘以（x-1）（x+1）
得x（x+1）-2x+1=x2-1
解得x= 2 经检验，x= 2 是原分式方程的解.
专题选讲—— 分式方程的解法
类型二 特殊的分式方程的解法
例
已知关于x的方程
x 2 m x3 x3
有一个正数解，求m
的取值范围.
解：方程两边同乘x-3,去分母,得
x-2（x-3）=m
整理,得x=6-m. ∵ x>0, ∴ 6-m>0,
x-3≠0,
6-m-3≠0,
解得m<6且m≠3,
∴当m<6且m≠3时,原方程有一个正数解.
重难突破 1 分式方程的解法
例1 （4分）解方程： 3 1 1. 2x 2 x 1
专题选讲—— 分式的化简与求值
类型一 分式的运算
人教版八年级数学上册 第十五章分式小结与复习(共26张PPT)
⑶约分: 把一个分式的分子与分母的 公因式 约去， 叫做分式的约分.
⑷通分: 把几个异分母的分式化成 同分母的分式， 注 然意 后：再叫约分做分式.分的分式子的、通分分母. 是多项式的，应先分解因式，
-A ( -B )
-A A
=
=
-B ( B )
( -A ) =
B
-A (B )
9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。2021/9/82021/9/8Wednesday, September 08, 2021 10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2021/9/82021/9/82021/9/89/8/2021 1:33:24 AM 11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。2021/9/82021/9/82021/9/8Sep-218-Sep-21 12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。2021/9/82021/9/82021/9/8Wednesday, September 08, 2021
分式小结与复习
一、本章知识结构图
列式
实
分式
际
问 题 列方程
目标
类比分数
性质
分式的基本
性质
类比分数 运算
分式的运算
分式方程
去分母
目标
整式方程
解整 式方 程
实际问 题的解
分式方程的解
人教版初中数学八年级上册第十五章小结与复习3
人教版初中数学重点知识精选掌握知识点，多做练习题，基础知识很重要！人教版初中数学和你一起共同进步学业有成！温馨提示：此套题为Word 版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。
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单元评价检测(五)第十五章 (45分钟 100分)一、选择题(每小题4分,共28分)1.2014年3月4日,十二届全国人大二次会议新闻发布会召开,大会新闻发言人对民众关注度非常高的热词“雾霾”进行了解读.为了消除百姓的“心肺之患”,与雾霾的天人交战,关键在人,气象条件不利是雾霾形成的外因,污染排放加剧则是内因.PM2.5是指大气中直径小于或等于0.0000025m 的颗粒物,将0.0000025用科学记数法表示为 ( ) A.0.25×10-5 B.0.25×10-6 C.2.5×10-5D.2.5×10-6【解析】选D.0.0000025=2.5×10-6. 2.若分式有意义,则x 的取值范围是 ( ) 23‒x 2A.x ≠±B.x=±C.x<D.x>3333【解析】选A.分式有意义的条件是3-x 2≠0,即x ≠±.23‒x 233.化简:-的结果是 ( )m 2m ‒n n 2m ‒nA.m+nB.m-nC.n-mD.-m-n【解析】选A.-===m+n.m 2m ‒n n 2m ‒n m 2‒n 2m ‒n (m +n)(m ‒n)m ‒n4.分式方程+=2的解是 ( )1x ‒12x x +1A.x=1B.x=-1C.x=3D.无解【解析】选C.方程两边同时乘(x-1)(x+1),得 (x+1)+2x(x-1)=2(x-1)(x+1),解得x=3.检验:把x=3代入(x-1)(x+1)=8≠0,即x=3是原分式方程的解. 所以原分式方程的解为x=3.5.化简:÷的结果是 ( ) (a 2a ‒3+93‒a )a +3a A.-a B.a C. D.1(a +3)2a【解析】选B.÷=×=a. (a 2a ‒3+93‒a )a +3aa 2‒9a ‒3aa +36.(2013·本溪中考)某服装加工厂计划加工400套运动服,在加工完160套后,采用了新技术,工作效率比原计划提高了20%,结果共用了18天完成全部任务.设原计划每天加工x 套运动服,根据题意可列方程为( )A.+=18B.+=18160x 400(1+20%)x 160x 400‒160(1+20%)x C.+=18 D.+=18160x 400‒16020%x400x 400‒160(1+20%)x 【解题指南】首先考虑本题列方程是根据题目中的哪个等量关系,观察各个选项可以发现是根据总天数为18天构造方程,然后结合公式:工作时间=工作总量÷工作效率,即可列出方程.【解析】选B.采用新技术前的工作时间=160÷x;采用新技术后的工作时间=(400-160)÷(1.2x);根据总时间为18天,得+=18.160x 400‒160(1+20%)x7.(2013·贵港中考)关于x 的分式方程=-1的解是负数,则m 的取值范围mx +1是 ( )A.m>-1B.m>-1且m ≠0C.m ≥-1D.m ≥-1且m ≠0【解析】选B.=-1,x+1=-m,x=-m-1,因为方程的解是负数,因此-m-1<0,解mx +1得m>-1,m=0时,方程不能成立,所以m 的取值范围是m>-1且m ≠0. 二、填空题(每小题5分,共25分)8.(2014·鹤岗模拟)写出一个含有字母x 的分式 (要求:不论x 取任何实数,该分式都有意义).【解析】分母中含有字母,且分母满足不为0这一限制条件. 答案:(答案不唯一)1x 2+19.分式与的最简公分母是 .1m 2‒3m 1m 2‒9【解析】m 2-3m=m(m-3),m 2-9=(m+3)(m-3),所以最简公分母为m(m+3)(m-3). 答案:m(m+3)(m-3)10.计算:-÷= .(2a b)2a b b2a 【解析】-÷=-·==.(2a b )2a b b 2a 4a 2b 2a b 2a b 4a 2‒2a 2b 22a 2b2答案:2a 2b211.关于x 的方程-=0无解,则m 的值是 .m ‒1(x +1)(x ‒1)1x ‒1【解析】将分式方程去分母得m-1-(x+1)=0,因为方程无解,则x 可能等于1或-1,当x=1时,m=3,当x=-1时,m=1. 答案:1或312.(2014·临沂模拟)若a 1=1-,a 2=1-,a 3=1-,…,则a 2014的值为 1m1a 11a 2(用含m 的代数式表示).【解析】a 1=1-,1ma 2=1-=1-=1-=1-=-,1a 111‒1m 1m ‒1mm m ‒11m ‒1a 3=1-=1+=m,1a 211m ‒1a 4=1-=1-,…;1a 31m 2014÷3=671……1,则a 2014=a 1,a 2014的值为1-.1m答案:1-1m三、解答题(共47分)13.(10分)解方程:+=1.2‒x x ‒313‒x【解析】方程两边同乘(x-3),得:2-x-1=x-3, 整理解得:x=2,经检验:x=2是原方程的解. 【知识归纳】解分式方程的三步骤一去:利用等式的性质,将方程两边都乘以最简公分母,将方程中的分母去掉; 二解:解整式方程;三验:将解得的整式方程的根代入原方程检验或代入最简公分母检验.14.(11分)(2013·自贡中考)先化简÷,然后从1,,-1(1a ‒1‒1a +1)a 2a 2‒22中选取一个你认为合适的数作为a 的值代入求值.【解析】÷ (1a ‒1‒1a +1)a 2a 2‒2=× (1a ‒1‒1a +1)2(a +1)(a ‒1)a=-2(a +1)a 2(a ‒1)a =2a +2‒2a +2a =, 4a由于a ≠±1,所以当a=时,原式==2.242215.(12分)描述证明兔子在研究数学问题时发现了一个有趣的现象:(1)请你用数学表达式补充完整兔子发现的这个有趣的现象. (2)请你证明兔子发现的这个有趣现象. 【解析】(1)++2=ab;a+b=ab.a b b a(2)因为++2=ab,a b ba 所以=ab,a 2+b 2+2ab ab所以a 2+b 2+2ab=(ab)2, 所以(a+b)2=(ab)2, 因为a>0,b>0,a+b>0,ab>0, 所以a+b=ab.16.(14分)(2013·烟台中考)烟台享有“苹果之乡”的美誉.甲、乙两超市分别用3000元以相同的进价购进质量相同的苹果.甲超市销售方案是:将苹果按大小分类包装销售,其中大苹果400kg,以进价的2倍价格销售,剩下的小苹果以高于进价的10%销售.乙超市销售方案是:不将苹果按大小分类,直接包装销售,价格按甲超市大、小两种苹果售价的平均数定价.若两超市将苹果全部售完,其中甲超市获利2100元(其他成本不计). 问:(1)苹果进价为每千克多少元?(2)乙超市获利多少元?并比较哪种销售方式更合算. 【解析】(1)设苹果进价为每千克x 元.由题意,得400x+10%x =2100,(3 000x‒400)解得x=5.经检验x=5是原方程的解,且满足题意. 答:苹果进价为每千克5元.(2)由(1)知:每个超市苹果总量:=600(kg),大、小苹果售价分别为10元3 0005和5.5元.∴乙超市获利:600×=1650(元).(10+5.52‒5)∵甲超市获利2100>1650, ∴甲超市销售方式更合算. 【知识归纳】找等量关系的方法1.从题中反映的基本数量关系确定等量关系.2.紧扣几何图形的周长、面积等公式确定等量关系.3.根据常见的数量关系确定等量关系.4.抓住关键句子确定等量关系.5.借助线段图确定等量关系.6.抓住“不变量”确定等量关系.关闭Word 文档返回原板块相信自己，就能走向成功的第一步教师不光要传授知识，还要告诉学生学会生活。
人教版八年级上册第15章《分式》全章教案(21页,含反思)
第十五章分式15．1分式15． 1.1从分数到分式1．以描绘实质问题中的数目关系为背景抽象出分式的观点，成立数学模型，并理解分式的观点．2．能够经过分式的定义理解和掌握分式存心义的条件．要点理解分式存心义的条件及分式的值为零的条件．难点能娴熟地求出分式存心义的条件及分式的值为零的条件．一、复习引入1． 什么是整式？什么是单项式？什么是多项式？2． 判断以下各式中 ，哪些是整式？哪些不是整式？① 8m ＋ n ；② 1＋ x ＋ y 2；③ a 2 b ＋ab 2a ＋b 2；⑥3；⑦3x 2－ 43 ；④ ；⑤ a 2＋ b 2 .32x 2＋ 2x ＋12x二、研究新知1． 分式的定义(1) 学生看教材的问题：一艘轮船在静水中的最大航速为30 千米 /时，它沿江以最大航速顺流航行 90 千米所用时间 ，与以最大航速逆流航行 60 千米所用的时间相等 ，江水的流速为多少？剖析：设江水的流速为 v 千米 / 时．轮船顺流航行 90 千米所用的时间为90小时 ，逆流航行 60 千米所用时间为60小时，30＋ v 30－ v所以 90 ＝ 60.30＋ v 30－ v(2) 学生达成教材第 127 页“思虑”中的题．察看：以上的式子 9060S V30＋ v ，30－v ， a ， s ，有什么共同点？它们与分数有什么相同点和不同点？能够发现 ，这些式子都像分数相同都是AB (即 A ÷B) 的形式．分数的分子 A 与分母 B 都是整数 ，而这些式子中的 A ， B 都是整式 ，并且 B 中都含有字母．A归纳：一般地 ，假如 A ，B 表示两个整式 ，并且 B 中含有字母 ，那么式子 B 叫做分式． 稳固练习：教材第 129 页练习第 2 题．2． 自学教材第 128 页思虑：要使分式存心义 ，分式中的分母应知足什么条件？分式的分母表示除数 ，因为除数不可以为 0，所以分式的分母不可以为 0，即当 B ≠ 0 时，分 式 A才存心义．B学生自学例 1.例 1以下分式中的字母知足什么条件时分式存心义？2 ；(2) x； (3) 1 ； (4)x ＋y (1) 3xx － 1 5－ 3bx － y.解： (1)要使分式 3x 2存心义 ，则分母 3x ≠ 0，即 x ≠ 0；(2) 要使分式x存心义 ，则分母x － 11(3) 要使分式存心义 ，则分母 5－ 3bx ＋ y(4) 要使分式 x － y 存心义 ，则分母x － 1≠ 0，即 x ≠ 1；55－ 3b ≠ 0，即 b ≠ ；x － y ≠ 0，即 x ≠ y.思虑：假如题目为：当x 为何值时 ，分式无心义．你知道怎么解题吗？稳固练习：教材第 129 页练习第 3 题． 3． 增补例题：当 m 为何值时 ，分式的值为 0?m ；(2) m － 2； (3) m 2－ 1(1) m － 1 m ＋ 3 m ＋ 1 .思虑：当分式为 0 时，分式的分子、分母各知足什么条件？剖析：分式的值为 0 时，一定同时知足两个条件： (1) 分母不可以为零；(2)分子为零．答案： (1)m ＝ 0； (2)m ＝ 2； (3)m ＝ 1. 三、归纳总结 1． 分式的观点．2． 分式的分母不为 0 时，分式存心义；分式的分母为 0 时，分式无心义．3． 分式的值为零的条件： (1)分母不可以为零； (2) 分子为零．四、部署作业教材第 133 页习题 15.1 第 2， 3 题．在引入分式这个观点从前先复习分数的观点，经过类比来自主研究分式的观点 ，分式有意义的条件 ，分式值为零的条件 ，从而更好更快地掌握这些知识点，同时也培育学生利用类比转变的数学思想方法解决问题的能力．15． 1.2 分式的基天性质 (2 课时 )第 1 课时分式的基天性质1．认识分式的基天性质，灵巧运用分式的基天性质进行分式的变形．2．会用分式的基天性质求分式变形中的符号法例．要点理解并掌握分式的基天性质．难点灵巧运用分式的基天性质进行分式变形．一、类比引新 1． 计算：(1) 5 2 4 8× 15 ； (2) ÷ .6 5 15 思虑：在运算过程中运用了什么性质？教师出示问题．学生独立计算后回答：运用了分数的基天性质． 2． 你能说出分数的基天性质吗？分数的分子与分母都乘 (或除以 )同一个不为零的数 ，分数的值不变．3． 试试用字母表示分数的基天性质：小组议论沟通如何用字母表示分数的基天性质，而后写出分数的基天性质的字母表达式．a ＝ a ·c a ＝ a ÷cb b ·c ， b b ÷c .( 此中 a ， b ，c 是实数 ，且 c ≠ 0) 二、研究新知1． 分式与分数也有近似的性质 ，你能说出分式的基天性质吗？分式的基天性质：分式的分子与分母乘 (或除以 )同一个不为零的整式 ，分式的值不变． 你能用式子表示这个性质吗？ AA ·C A A ÷CB ＝ B ·C ， B ＝ B ÷C .(此中 A ， B ，C 是整式 ，且 C ≠ 0)如 x ＝ 1， b ＝ab2，你还可以举几个例子吗？2x 2 a a回首分数的基天性质 ，让学生类比写出分式的基天性质 ，这是从详细到抽象的过程．学生试试着用式子表示分式的性质 ，增强对学生的抽象表达能力的培育．2． 想想以下等式成立吗？为何？－ a a ； － a a a＝ ＝ ＝－ . － b b b － b b教师出示问题．学生小组议论、沟通、总结．例 1 不改变分式的值 ，使以下分式的分子与分母都不含“－”号：－ 2a－ 3x－ x 2(1) － 3a ； (2) 2y ； (3)－ y.例 2不改变分式的值 ，使以下分式的分子与分母的最高次项的系数都化为正数：x ＋ 1 2－ x － x － 1(1) － 2x － 1； (2)－ x 2＋ 3；(3) x ＋ 1 .指引学生在达成习题的基础长进行归纳 ，使学生掌握分式的变号法例．例 3填空：x 3（ ） 3x 2＋ 3xy＝x ＋ y；＝ y，（ ）(1) xy6x 2（），2a －2 （ ） .(b ≠ 0)(2)1＝2b ＝ 2aba b a a bx 3解： (1)因为 xy 的分母 xy 除以 x 才能化为 y ，为保证分式的值不变 ，依据分式的基天性 质，分子也需除以 x ，即x 3＝ x 3 ÷x ＝x 2. xy xy ÷ x y相同地 ，因为 3x 2＋ 3xy的分子 3x 2＋3xy 除以 3x 才能化为 x ＋ y ，所以分母也需除以 3x ，6x 2即3x 2＋ 3xy（3x 2＋ 3xy ） ÷（ 3x ） x ＋ y6x 2＝6x 2 ÷（ ＝2x.3x ）所以 ，括号中应分别填入 x 2和 2x.(2) 因为 ab1的分母 ab 乘 a 才能化为 a 2b ，为保证分式的值不变 ，依据分式的基天性质 ，分子也需乘 a ，即1 ＝ 1·a ＝ a2 . ab ab ·a a b2a － b相同地 ，因为a2 的分母 a 2乘 b 才能化为 a 2b ，所以分子也需乘 b ，即2a － b （ 2a －b ） ·b 2ab －b 22 ＝＝ 2.a a 2 ·b a b所以 ，括号中应分别填 a 和 2ab － b 2.在解决例题 1， 2 的第 (2)小题时 ，教师能够指引学生察看等式两边的分母发生的变化，再思虑分式的分子如何变化；在解决例2 的第 (1)小题时 ，教师指引学生察看等式两边的分子发生的变化 ，再思虑分式的分母随之应当如何变化．三、讲堂小结1． 分式的基天性质是什么？ 2． 分式的变号法例是什么？3． 如何利用分式的基天性质进行分式的变形？ 学生在教师的指引下整理知识、理顺思想． 四、部署作业教材第 133 页习题 15.1 第 4， 5 题．经过算数中分数的基天性质，用类比的方法给出分式的基天性质，学生接受起来其实不感觉困难，但要要点重申分子分母同乘 (或除 )的整式不可以为零，让学生养成谨慎的态度和习惯．第 2 课时分式的约分、通分1．类比分数的约分、通分，理解分式约分、通分的意义，理解最简公分母的观点．2．类比分数的约分、通分，掌握分式约分、通分的方法与步骤．要点运用分式的基天性质正确地进行分式的约分与通分．难点通分时最简分分母确实定；运用通分法例将分式进行变形．一、类比引新1．在计算56×152时，我们采纳了“约分”的方法，分数的约分约去的是什么？分式a＋ b相等吗？为何？aba2＋ab利用分式的基天性质，分式a2b约去分子与分母的公因式a，其实不改变分式的值a＋ b获得. a2＋ ab a2b，，能够教师点拨：分式a2＋ ab能够化为a＋ b__分式的约分 __．a2b ab ，我们把这样的分式变形叫做4 64 62． 如何计算 5＋ 7？如何把 5，7通分？近似的 ，你能把分式 a， c变为同分母的分式吗？b d利用分式的基天性质 ，把几个异分母的分式分别化成与本来的分式相等的同分母的分式，我们把这样的分式变形叫做__分式的通分 __．二、研究新知－ 25a 2bc 3；(2) x 2－ 9； 1． 约分： (1) 15ab 2c x 2＋ 6x ＋9 6x 2－ 12xy ＋ 6y 2 (3) 3x －3y .剖析：为约分 ，要先找出分子和分母的公因式．2322解： (1) － 25a bc ＝－ 5abc ·5ac ＝－5ac ；15ab 2c5abc · 3b 3bx 2－ 9 （ x ＋ 3）（ x － 3） x － 3(2)x2＋＝ （x ＋ 3） 2 ＝；6x ＋9x ＋ 36x 2－ 12xy ＋ 6y 2 6（ x － y ）2(3)3x －3y＝＝2(x － y)．3（x － y ）若分子和分母都是多项式 ，则常常需要把分子、分母分解因式(即化成乘积的形式 ) ，然后才能进行约分． 约分后 ，分子与分母没有公因式 ，我们把这样的分式称为 __最简分式 __．( 不 能再化简的分式 )2． 练习：约分：2ax 2y ； － 2a （ a ＋b ） （ a － x ） 2 2－ 4 ； m 2－ 3m 2－13b （ a ＋b ） ； ； x ； 99.3axy 2 （ x －a ） 3 xy ＋ 2y9－ m 298学生先独立达成 ，再小组沟通 ，集体校正．3． 议论：分式1 ， 114的最简公分母是什么？3 22 3， 6xy2x y z 4x y提出最简公分母观点．一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母 ，它叫做最简公分母．学生议论、小组沟通、总结得出求最简公分母的步骤：(1) 系数取各分式的分母中系数最小公倍数； (2) 各分式的分母中所有字母或因式都要取到； (3) 相同字母 (或因式 )的幂取指数最大的；(4) 所得的系数的最小公倍数与各字母 (或因式 )的最高次幂的积 (此中系数都取正数 ) 即为最简公分母．4． 通分： (1) 32 与a －2 b； (2) 2x 与 3x .2a b ab c x － 5 x ＋ 5 剖析：为通分 ，要先确立各分式的公分母．解： (1)最简公分母是 2a 2b 2c.33·bc 3bc2a 2b ＝ 2a 2b · bc ＝2a 2b 2 c ， a － b （ a －b ） ·2a 2a 2 －2abab 2c ＝ab 2c · 2a ＝ 2a 2b 2c .(2) 最简公分母是 (x － 5)(x ＋ 5) ．2x＝2x（ x＋ 5）＝2x2＋ 10xx－ 5 （ x－ 5）（ x＋ 5）x2－ 25，3x ＝3x（ x－ 5）＝ 3x2－ 15x x＋ 5 （ x＋ 5）（ x－ 5）x2－ 25. 5．练习：通分： (1) 12与 5 ； (2) 21与 2 1 ； (3) 12与2x.3x 12xy x ＋ x x － x （2－ x）x － 4教师指引：通分的要点是先确立最简公分母；假如分式的分母是多项式则应先将分母分解因式，再按上述的方法确立分式的最简公分母．学生板演并互批实时纠错．6．思虑：分数和分式在约分和通分的做法上有什么共同点？这些做法的依据是什么？教师让学生议论、沟通，师生共同作以小结．三、讲堂小结1．什么是分式的约分？如何进行分式的约分？什么是最简分式？2．什么是分式的通分？如何进行分式的通分？什么是最简公分母？3．本节课你还有哪些迷惑？四、部署作业教材第 133 页习题 15.1 第 6， 7 题．本节课是在学习了分式的基天性质后学的，要点是运用分式的基天性质正确的约分和通分，约分时要注意必定要约成最简分式，娴熟运用因式分解；通分时要将分式变形后再确立最简公分母．15． 2分式的运算15． 2.1分式的乘除(2课时)第 1 课时分式的乘除法1．理解并掌握分式的乘除法例．2．运用法例进行运算，能解决一些与分式相关的实质问题．要点掌握分式的乘除运算．难点分子、分母为多项式的分式乘除法运算．一、复习导入1． 分数的乘除法的法例是什么？2． 计算： 3 × 15 ； 3 155 12 ÷ .5 2由分数的运算法例知3 15 ＝ 3× 15 315 3 × 2 ＝ 3× 2× 12 5× 12 ； ÷ ＝ 15 .5 5 2 5 5× 153． 什么是倒数？ 我们在小学学习了分数的乘除法 ，关于分式如何进行计算呢？这就是我们这节要学习的内容．二、研究新知问题 1：一个水平搁置的长方体容器 ，其容积为 V ，底面的长为 a ，宽为 b 时，当容器的水占容积的 m时，水面的高度是多少？n问题 2：大拖沓机 m 天耕地 a hm 2，小拖沓机 n 天耕地 b hm 2，大拖沓机的工作效率是小拖沓机的工作效率的多少倍？问题 1 求容积的高 V m，问题 2 求大拖沓机的工作效率是小拖沓机的工作效率的 a b ·÷ 倍．ab nm n依据上边的计算 ，请同学们总结一下对分式的乘除法的法例是什么？分式的乘法法例：分式乘分式 ，用分子的积作为积的分子 ，分母的积作为积的分母． 分式的除法法例：分式除以分式 ，把除式的分子、分母颠倒地点后，与被除式相乘．a ca ·c a c a d a ·d·＝； ÷ ＝ ·＝.b d b ·d b d bc b ·c 三、举例剖析例 1 计算：4x y ab 3 － 5a 2b 2(1) 3y ·2x 3； (2)2c 2÷4cd.剖析：这道例题就是直策应用分式的乘除法法例进行运算．应当注意的是运算结果应约分到最简 ，还应注意在计算时跟整式运算相同 ，先判断运算符号 ，再计算结果．解： (1)4xy ＝ 4xy ＝ 2 ；3y ·36x 3y 3x 22x(2) ab 3－ 5a 2b 2 ab 34cd 4ab 3cd 2bd2c 2÷ ＝ 2· 2 2＝－ 2 2 2＝－ .4cd 2c － 5a b 10a b c 5ac 例 2 计算：a 2－ 4a ＋4 a － 1(1) a 2－ 2a ＋1·a 2－ 4；1 1(2) 49－m 2÷ m 2－ 7m . 剖析：这两题是分子与分母是多项式的状况 ，第一要因式分解 ，而后运用法例．（ a －2） 2 a － 1 a － 2解： (1)原式 （ a －1） 2· （ a ＋ 2）（ a － 2）＝ （ a －1）（ a ＋ 2） ；(2) 原式 1 1÷（ 7－ m ）（ 7＋ m ） m （ m － 7）＝ 1 m （ m － 7） ＝－ m7＋m ） · 1 .（ 7－ m ）（ m ＋ 7例 3 “丰产 1 号”小麦试验田边长为 a 米 (a ＞ 1)的正方形去掉一个边长为 1 米的正方形蓄水池后余下的部分 ，“丰产 2 号”小麦的试验田是边长为 (a － 1)米的正方形 ，两块试验田的小麦都收获了 500 千克．(1) 哪一种小麦的单位面积产量高？(2) 高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？剖析：此题的实质是分式的乘除法的运用．解： (1)略．500500 500 a 2－ 1 a ＋ 1 (2) （ a －1） 2÷ a 2－ 1＝（ a － 1） 2· 500 ＝a － 1.“丰产 2 号”小麦的单位面积产量是“丰产1 号”小麦的单位面积产量的a ＋ 1倍．a － 1四、随堂练习1． 计算： (1) c 2 · a 2b 2 (2)－ n 2 · 4m 2 y 2； 2m 5n 3；(3) ÷(－ )；ab c 7x x 2ya 2－ 4 a 2－ 1 (4) － 8xy ÷ ； (5)－ 2 ·2 4a ＋ 4 ；5x a －2a ＋ 1 a ＋y 2－ 6y ＋ 9(6)÷(3－ y)．y ＋ 2答案： (1)abc ； (2)－ 2m； (3)－ y； (4)－ 20x 2；(5) （ a ＋ 1）（ a － 2） ；(6) 3－ y 5n 14－（ a － 1）（ a ＋ 2） y ＋ 2 . 2． 教材第 137 页练习 1， 2，3 题．五、讲堂小结(1) 分式的乘除法法例； (2) 运用法例时注意符号的变化；(3) 因式分解在分式乘除法中的应用；(4) 步骤要完好 ，结果要最简．最后结果中的分子、分母既可保持乘积的形式，也能够写成一个多项式 ，如 （ a － 1） 2 a 2－ 2a ＋ 1或 a .a六、部署作业教材第 146 页习题 15.2 第 1， 2 题．本节课从两个拥有实质背景的问题出发，使学生在解决问题的过程中认识到分式的乘除法是由实质需要产生的，从而激发他们学习的兴趣，接着，从分数的乘除法例的角度指引学生经过察看、研究、归纳总结出分式的乘法法例．有益于学生接受新知识，并且能表现由数到式的发展过程．第 2课时分式的乘方及乘方与乘除的混淆运算1．进一步娴熟分式的乘除法法例，会进行分式的乘、除法的混淆运算．2．理解分式乘方的原理，掌握乘方的规律，并能运用乘方规律进行分式的乘方运算．要点分式的乘方运算，分式的乘除法、乘方混淆运算．难点分式的乘除法、乘方混淆运算，以及分式乘法、除法、乘方运算中符号确实定．一、复习引入1．分式的乘除法法例．分式的乘法法例：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，用分母的积作为积的分母．分式的除法法例：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒地点后，与被除式相乘．2．乘方的意义：a n＝ a·a·a· ·a(n 为正整数 )．二、研究新知例 1(教材例 4) 计算2x 3 x÷·.5x－ 3 25x 2－ 9 5x ＋ 3解：2x 3·x÷＋ 3 5x－3 25x 2－ 9 5x25x 2－ 9x (先把除法一致成乘法运算 )＝ 2x ·3 · 5x － 3 5x＋3 2x 2 ＝3 .( 约分到最简公式 ) 分式乘除运算的一般步骤：(1) 先把除法一致成乘法运算；(2) 分子、分母中能分解因式的多项式分解因式； (3) 确立分式的符号 ，而后约分；(4) 结果应是最简分式．1． 由整式的乘方引出分式的乘方，并由特别到一般地指引学生进行归纳．2(1)( a )2＝a a＝ a2；bb ·b b↑↑由乘方的意义 由分式的乘法法例(2) 同理：a 3 a a aa 3( )＝ ··＝ 3；b b b b ba n a a aa · a · · an 个a n( ) ＝ ·· ·n个＝＝ n .b b b bb · b · · bn 个 b2． 分式乘方法例：n分式： (a b )n ＝ ab n .(n 为正整数 )文字表达：分式乘方是把分子、分母分别乘方． 3． 当前为止 ，正整数指数幂的运算法例都有什么？(1)a n · a n ＝ a m ＋n ； (2)a m ÷ a n ＝ a m －n ；(3)(a m ) n ＝a mn ；(4)(ab) n ＝ a n b n ；a a n(5)( b )n＝ b n . 三、举例剖析 例2计算：－ 2a 2b(1)( 3c )2；2a b3÷2a· (c2(3)( － x 2 y 2 )3÷ y )4；y )2· (－ x (－x a 2－ b 2 a － b(4) 22÷ () 2.a ＋ ba ＋ b22 4 2（－ 2a b ）＝4a b 2 ；解： (1)原式＝ （ 3c ） 29ca 6b 3 d 3c 2a 3b 3 (2) 原式＝ －c 3d 9· 2a ·4a 2＝－ 8cd 6；46 4(3) 原式＝x · (－ y x ＝－ x 5； y 2x 3)·4y(4) 原式＝ （ a ＋ b ）（ a － b ） （ a ＋ b ） 2 （ a ＋ b ） 32 2· （ a － b ） 2＝22 .a ＋b （ a － b ）（ a ＋ b ）学生板演、 纠错并实时总结做题方法及应注意的地方： ①关于乘、 除和乘方的混淆运算 ，应注意运算次序 ，但在做乘方运算的同时 ，可将除变乘；②做乘方运算要先确立符号．例3 计算：b3n －1c2a2n －1(1) a 2n＋1·b 3n－2；x 2－2xy ＋ y 2x － y(2)(xy － x 2) ÷ · x 2 ；xy (3)( a 2－ b 2 a －b )2.ab )2÷ (a解： (1)原式＝ b 3n －2· b · c 2 a 2n － 1bc 2 a2n －1· a 2·b 3n －2＝a 2；x （ x － y ） xy2· x － y(2) 原式＝－1 ·x 2 ＝－ y ；（ x － y ）（ a ＋ b ）2（ a － b ） 2 a 2 a 2＋ 2ab ＋b 2 (3) 原式＝ a 2b 2· （a －b ） 2＝b 2. 本例题是本节课运算题目的拓展，关于 (1)指数为字母 ，可是方法不变； (2)(3) 是较复杂的 乘除乘方混淆运算 ，要进一步让学生熟习运算次序，注意做题步骤．四、稳固练习教材第 139 页练习第 1， 2 题． 五、讲堂小结 1． 分式的乘方法例． 2． 运算中的注意事项． 六、部署作业教材第 146 页习题 15.2 第 3 题．分式的乘方运算这一课的教课先让学生回想从前学过的分数的乘方的运算方法用类比的方法让学生得出分式的乘方法例．在解说例题和练习时充分调换学生的踊跃性大家都参加进来 ，提升学习效率．，而后采，使15． 2.2分式的加减(2 课时)第 1 课时分式的加减理解并掌握分式的加减法例，并会运用它们进行分式的加减运算．要点运用分式的加减运算法例进行运算．难点异分母分式的加减运算．一、复习发问 1． 什么叫通分？ 2． 通分的要点是什么？ 3． 什么叫最简公分母？4． 通分的作用是什么？ (引出新课 ) 二、研究新知1． 出示教材第 139 页问题 3 和问题 4. 教材第 140 页“思虑”．1 分式的加减法与分数的加减法近似，它们的实质相同． 察看以下分数加减运算的式子：5＋2＝31－ 2＝－ 11＋1＝ 3＋2＝5 1－ 1＝ 3－ 2＝1，得出分式的加减法5 5，5 55， 2 3666， 2 3 6 6 6.你能将它们推行 法例吗？教师提出问题 ，让学生列出算式 ，获得分式的加减法法例． 学生议论：组内沟通 ，教师点拨． 2． 同分母的分式加减法．a b a ±b公式： ±＝c .c c文字表达：同分母的分式相加减 ，分母不变 ，把分子相加减．3． 异分母的分式加减法．分式： a c ad bc ad ±bc± ＝ ± ＝ bd .b d bd bd文字表达：异分母的分式相加减 ，先通分 ，变为同分母的分式 ，而后再加减．三、典型例题 例 1(教材例 6) 计算：5x ＋3y－ 2x2； (2)1 ＋ 1(1) 2－ y 2 2.xx － y2p ＋ 3q 2p － 3q解： (1)5x ＋ 3y － 2xx 2－ y2 x 2－ y 25x ＋ 3y － 2x 3x ＋ 3y 3 ＝ 2 2 ＝ 2 － y 2 ＝ ；x － y x x －y(2) 1 ＋ 12p ＋3q2p － 3q＝2p － 3q ＋2p ＋ 3q （ 2p ＋ 3q ）（ 2p － 3q ） （ 2p ＋ 3q ）（ 2p － 3q ）＝ 2p － 3q ＋ 2p ＋ 3q＝4p（ 2p ＋ 3q ）（ 2p － 3q ） 4p 2－ 9q 2.小结：(1) 注意分数线有括号的作用 ，分子相加减时 ，要注意添括号．(2) 把分子相加减后 ，假如所得结果不是最简分式 ，要约分．例2 计算：m ＋ 2n ＋ n － 2m . n － m m － n n － m剖析： (1)分母能否相同？ (2)如何把分母化为相同的？(3)注意符号问题．解：原式＝ m ＋ 2n － n － 2mn － m n －m n － m＝ m ＋ 2n － n － 2mn －m＝n － mn － m＝ 1. 四、讲堂练习1． 教材第 141 页练习 1， 2 题．5232．计算： (1)－＋ ；12 2(2) m 2－ 9＋3－ m ；(3)a ＋ 2－ 4；2－ aa 2－b 2 ab － b 2(4) ab －ab －ab 2.五、讲堂小结1． 同分母分式相加减 ，分母不变 ，只要将分子作加减运算 ，但注意每个分子是个整体 ，要合时添上括号．2．关于整式和分式之间的加减运算 ，则把整式当作一个整体 ，即当作是分母为 1 的分式 ，以便通分．3．异分母分式的加减运算 ，第一察看每个公式能否为最简分式 ，能约分的先约分 ，使分式简化 ，而后再通分 ，这样可使运算简化．4． 作为最后结果 ，假如是分式则应当是最简分式． 六、部署作业教材第 146 页习题 15.2 第 4， 5 题．从直观的分数加减运算开始，先介绍同分母分式的加减运算的详细方法，经过类比的思想方法，由数的运算引出式的运算规律，表现了数学知识间详细与抽象、从特别到一般的内在联系．尔后，利用相同的类比方法，安排学习异分母的分式加减运算，这样由简到繁、由易到难，切合学生认知的发展规律，有助于知识的层层落实与掌握．第 2 课时分式的混淆运算1．明确分式混淆运算的次序，娴熟地进行分式的混淆运算．2．能灵巧运用运算律简易运算．要点娴熟地进行分式的混淆运算．难点娴熟地进行分式的混淆运算．一、复习引入回想：我们已经学习了分式的哪些运算？1．分式的乘除运算主假如经过( )进行的，分式的加减运算主假如经过( ) 进行的．2．分数的混淆运算法例是再算 ()，最后算 ( ( ) ，近似的，分式的混淆运算法例是先算 ) ，有括号的先算 ( )里面的．( )，二、研究新知1．典型例题例1计算：( x＋2 ＋ 4 ) ÷x .x－2 x2－ 4x＋ 4 x－ 2 剖析：应先算括号里的．例 2计算：4y 24x 2yx ＋ 2y ＋ x － 2y － x 2－ 4y2. 剖析： (1)此题应采纳逐渐通分的方法挨次进行； (2)x ＋ 2y 能够看作 x ＋ 2y.1 例 31 －2x 计算：1x ＋ yx ＋ y ·( 2x －x －y)．剖析：此题可用分派律简易计算．例 4 [ 1 2－1 2] ÷( 1 － 1 )．（ a ＋ b ） （ a － b ） a ＋b a － b 剖析：可先把被除式利用平方差公式分解因式后再约分．例 5(教材例 7)2a 21a b计算 ()·－ ÷ .b a － b b 4解： 2a1－ ab( )2· b ÷b a －b 4＝ 4a 2 1 － a 4 b 2 · ·a －b b b4a 24a4a 2 4a （ a －b ） ＝ b 2（ a － b ） － b 2＝ b 2（ a － b ）－ b 2（ a － b ）4a 2－ 4a 2＋ 4ab 4ab＝ b 2（ a － b ） ＝b 2（ a － b ） ＝ 4a ab － b 2.点拨：式与数有相同的混淆运算次序：先乘方 ，再乘除 ，而后加减． 例 6(教材例 8)计算： (1)(m ＋ 2＋ 52m － 4) · ；2－ m 3－ mx ＋ 2 － x － 1x －4 (2)( x 2－ 2x x 2－ 4x ＋ 4) ÷ x .解： (1)(m ＋ 2＋ 5 2m － 4) ·2－ m 3－ m ＝ （ m ＋ 2）（ 2－ m ）＋ 5 2m － 42－m ·3－ m＝ 9－ m 2 2（ m － 2） 2－ m · 3－ m＝ （ 3－ m ）（ 3＋ m ） － 2（ 2－ m ） 2－ m · 3－ m＝－ 2(m ＋ 3)；(2)( x ＋ 2－ x － 1x －4x 2 x 2) ÷ x － 2x － 4x ＋ 4＝ [ x ＋ 2 －x － 1 x （ x － 2） 2] ·x （ x － 2）x － 4＝（ x ＋ 2）（ x － 2）－（ x －1） x ·x x （ x － 2） 2x － 4 ＝ x 2－ 4－ x 2＋ x（ x － 2） 2（ x － 4）1＝ （ x － 2） 2. 分式的加、减、乘、除混淆运算要注意以下几点：(1) 一般按分式的运算次序法例进行计算，但合适地使用运算律会使运算简易．(2) 要随时注意分子、分母可进行因式分解的式子，以备约分或通分时用 ，可防止运算烦 琐．(3) 注意括号的“添”或“去”、“变大”与“变小”．(4) 结果要化为最简分式．增强练习 ，指引学生实时纠正在例题中出现的错误 ，进一步提升运算能力．三、稳固练习x 21． (1)x － 1－ x － 1；(2)(1 － 2)2÷x － 1；x ＋1 x ＋ 12ab2bc(3)（ a －b ）（ a － c ） ＋ （ a － b ）（ c － a ）；(4)( 1 ＋ 1 ) ÷2 xy2 .x － y x ＋ y x － y 2． 教材第 142 页第 1， 2 题． 四、讲堂小结1．分式的混淆运算法例是先算 ( )，再算 () ，最后算 ()，有括号先算 ()里的．2． 一些题应用运算律、公式能简易运算． 五、部署作业1． 教材第 146 页习题 15.2 第 6 题．1 － 1 x 2－ 2x ＋ 1，此中 x ＝ 2－1.2． 先化简再求值 x ＋ 1 x 2－ 1· x ＋ 1分式的混淆运算是分式这一章的要点和难点，波及到因式分解和通分这两个较难的知识点，可依据学生的详细状况，合适增添例题、习题，让学生娴熟掌握分式的运算法例并提升运算能力．15． 2.3整数指数幂1．知道负整数指数幂a－n＝1n.(a≠ 0， n 是正整数 ) a2．掌握整数指数幂的运算性质．3．会用科学记数法表示绝对值小于 1 的数．要点掌握整数指数幂的运算性质 ，会有科学记数法表示绝对值小于1 的数．难点负整数指数幂的性质的理解和应用．一、复习引入1． 回想正整数指数幂的运算性质：(1) 同底数的幂的乘法： a m · a n ＝ a m ＋n (m ， n 是正整数 ) ；(2) 幂的乘方： (a m )n ＝ a mn (m ， n 是正整数 )； (3) 积的乘方： (ab)n ＝ a n b n (n 是正整数 )；(4) 同底数的幂的除法： a m ÷ a n ＝a m －n (a ≠ 0， m ， n 是正整数 ， m ＞n) ；a n a n(5) 分式的乘方： ( ) ＝n (n 是正整数 )．bb2． 回想 0 指数幂的规定 ，即当 a ≠ 0 时， a 0＝ 1. 二、研究新知3 312，再假定正整数指数幂的运算性质am÷ a n( 一)1.计算当 a ≠ 0 时， a 3÷ a 5＝ a5＝a ＝aa 3· a 2 a－－ －2.于是＝ a m n (a ≠ 0， m ， n 是正整数 ， m ＞ n)中的 m ＞ n 这个条件去掉 ，那么 a 3÷ a 5＝ a 3 5＝ a － 2 1获得 a ＝2(a ≠ 0)．a总结：负整数指数幂的运算性质：一般的 ，我们规定：当 n 是正整数时 ，a －n＝ 1n (a ≠ 0)．a 2． 练习稳固： 填空：(1) － 22＝ ________， (2)( － 2)2＝ ________， (3)( － 2)0＝ ________，(4)20＝ ________，－3－3 ＝________． (5)2 ＝ ________， (5)( － 2) 3．例 1 (教材例 9) 计算：－2 5 b 3－ 2； (1)a÷ a ； (2)( 2)a(3)(a －1 b 2 )3； (4)a － 2b 2· (a 2b － 2)－3.解： (1)a －2÷ a 5＝ a －2－ 5＝a －7＝ a 17；b 3－6a 4 －b －(2)( 2) 2＝ － 4＝ a 4b 6 ＝ 6； a ab 6(3)(a －1 b2 )3＝ a －3b6＝ba 3；－ － － － － －b 8 (4)a 2b 2· (a 2b 2) 3＝ a 2b 2· a 6 b 6＝ a 8b 8＝ 8.a[剖析 ] 本例题是应用推行后的整数指数幂的运算性质进行计算 ，与用正整数指数幂的 运算性质进行计算相同 ，但计算结果有负指数幂时 ，要写成分式形式．4． 练习：计算： (1)(x 3y － 2)2； (2)x 2y － 2· (x －2y)3；(3)(3x 2y －2 2 － 23) ÷ (x y) . 5．例 2 判断以下等式能否正确？(1)a m÷ a n＝ a m·a －n； (2)(ab)n ＝ a n b －n .[ 剖析 ] 类比负数的引入使减法转变为加法 ，获得负指数幂的引入能够使除法转变为幂的乘法这个结论 ，从而使分式的运算与整式的运算一致同来 ，而后再判断等式能否正确．( 二)1.用科学记数法表示值较小的数因为 0.1＝ 1 ＝ 10 － 110 ； 0.01＝________＝ ________；0． 001＝ ________＝________所以 0.000 025＝ 2.5× 0.000 01＝ 2.5×10－5.我们能够利用 10 的负整数次幂 ，用科学记数法表示一些绝对值较小的数，马上它们表示成 a ×10－n 的形式 ，此中 n 是正整数 ，1≤ |a|＜ 10.2． 例 3(教材例 10) 纳米是特别小的长度单位 ， 1 纳米＝ 10－9米，把 1 纳米的物体放到 乒乓球上 ，就好像把乒乓球放到地球上 .1 立方毫米的空间能够放多少个1 立方纳米的物体？(物体之间的空隙忽视不计 )[ 剖析 ]这是一个介绍纳米的应用题，是应用科学记数法表示小于 1 的数．3．用科学记数法表示以下各数：0． 00 04，－ 0.034，0.000 000 45， 0.003 009.4．计算：－8 3 －3 2 －3 3.(1)(3 × 10 )× (4× 10 )； (2)(2 ×10 ) ÷(10 )三、讲堂小结1．引进了零指数幂和负整数幂，指数的范围扩大到了全体整数，幂的性质仍旧成立．2．科学记数法不单能够表示一个值大于10 的数，也能够表示一些绝对值较小的数，在应用中，要注意 a 一定知足1≤ |a|＜ 10，此中 n 是正整数．四、部署作业教材第 147 页习题 15.2 第 7， 8， 9 题．本节课教课的主要内容是整数指数幂学设计上，教师要点发掘学生的潜伏能力，将从前所学的相关知识进行了扩大．在本节的教，让学生在讲堂上经过察看、考证、研究等活动，加深对新知识的理解．15．3分式方程(2课时)第 1 课时分式方程的解法1．理解分式方程的意义．2．理解解分式方程的基本思路和解法．3．理解解分式方程时可能无解的原由，并掌握解分式方程的验根方法．要点解分式方程的基本思路和解法．难点理解解分式方程时可能无解的原由．一、复习引入问题： 一艘轮船在静水中的最大航速为 30 km/h ，它以最大航速沿江顺流航行 90 km 所用时间 ，与以最大航速逆流航行 60 km 所用的时间相等 ，江水的流速为多少？90＝60[ 剖析 ] 设江水的流速为 x 千米 /时，依据题意 ，得 30＋ v 30－ v .①方程①有何特色？[ 归纳 ] 方程①中含有分式 ，并且分母中含有未知数 ，像这样的方程叫做分式方程． 发问：你还可以举出一个分式方程的例子吗？ 辨析：判断以下各式哪个是分式方程．x ＋ 2＝ 2y － z ； (3)1； (4)y＝0； (5)1＋ 2x ＝ 5.(1)x ＋ y ＝ 5； (2) 5 3 x x ＋ 5 x依据定义可得： (1)(2) 是整式方程 ， (3) 是分式 ， (4)(5) 是分式方程．二、研究新知1． 思虑：如何解分式方程呢？为认识决本问题 ，请同学们先思虑并回答以下问题：(1) 回首一下解一元一次方程时是怎么去分母的，从中可否获得一点启迪？(2) 有没有方法能够去掉分式方程的分母把它转变为整式方程呢？ [ 可先松手让学生自主研究 ，合作学习并进行总结]方程①能够解答以下：方程两边同乘以 (30＋ v)(30 －v)，约去分母 ，得 90(30－ v)＝ 60(30 ＋ v)． 解这个整式方程 ，得 v ＝ 6. 所以江水的流度为 6 千米 /时．[ 归纳 ]上述解分式方程的过程 ，实质上是将方程的两边乘以同一个整式 ，约去分母 ，把分式方程转变为整式方程来解．所乘的整式往常取方程中出现的各分式的最简公分母．2． 例 1 解方程：1 ＝ 210.②x － 5 x － 25解：方程两边同乘 (x 2－ 25)，约去分母 ，得 x ＋ 5＝ 10.解这个整式方程 ，得 x ＝ 5.事实上 ，当 x ＝ 5 时，原分式方程左侧和右侧的分母 (x － 5)与 (x 2－ 25)都是 0，方程中出现的两个分式都没存心义 ，所以 ，x ＝ 5 不是分式方程的根 ，应当舍去 ，所以原分式方程无解．解分式方程的步骤：在将分式方程变形为整式方程时，方程两边同乘一个含未知数的整式，并约去了分母，有时可能产生不合适原分式方程的解 (或根 ) ，这类根往常称为增根．所以，在解分式方程时一定进行查验．3．那么，可能产生“增根”的原由在哪里呢？解分式方程去分母时，方程两边要乘同一个含未知数的式子(最简公分母 )．方程①两边乘 (30＋ v)(30 － v)，获得整式方程，它的解 v＝6.当 v＝ 6 时， (30＋ v)(30 － v)≠ 0，这就是说，去分母时，①两边乘了同一个不为 0 的式子，所以所得整式方程的解与①的解相同．方程②两边乘(x－ 5)(x ＋ 5)，获得整式方程，它的解 x＝ 5.当 x＝ 5 时，(x －5)(x ＋ 5)＝ 0，这就是说，去分母时，②两边乘了同一个等于0 的式子，这时所得整式方程的解使②出现分母为 0 的现象，所以这样的解不是②的解．4．验根的方法：解分式方程进行查验的要点是看所求得的整式方程的根能否使原分式方程中的分式的分母为零．有时为了简易起见，也可将它代入所乘的整式 (即最简公分母 )，看它的值能否为零．假如为零，即为增根．如例 1 中的 x＝ 5，代入 x2－ 25＝0，可知 x＝ 5 是原分式方程的增根．三、举例剖析例 2(教材例 1) 解方程 2 ＝3.x－ 3 x解：方程两边乘x(x －3) ，得 2x ＝ 3x－ 9.解得 x＝ 9.查验：当x＝ 9 时， x(x － 3)≠ 0.所以，原分式方程的解为x＝9.例 3(教材例 2) 解方程x － 1＝ 3.x－ 1 （x－ 1）（ x＋ 2）解：方程两边乘 (x－ 1)(x ＋2)，得x(x ＋ 2)－ (x－ 1)(x ＋ 2)＝ 3.解得 x＝ 1.查验：当x＝ 1 时， (x－1)(x ＋ 2)＝ 0，所以 x＝ 1 不是原分式方程的解．所以，原分式方程无解．四、讲堂小结1．分式方程：分母中含有未知数的方程．2．解分式方程的一般步骤以下：。
最新人教版初中八年级数学上册第十五章《分式》精品教案(小结复习)
重点解析 1
解下列方程：
（1） x 3 - 2 x -1 2x - 2
（2）
x2
3
2x
-
x2
1 - 2x
0
解：（1）方程两边同时乘2(x-1)，得2x=3-4(x-1)，
整理得：6x=7，解得 x 7 . 6
检验：当 x 7 时，2(x-1)≠0， 6
所以原分式方程的解是 x 7 . 6
知识梳理
列分式方程解决实际问题的一般步骤 审：审清题意，找出题中的相等关系，分清题中的已知量、未知量； 设：设出恰当的未知数，注意单位和语言的完整性； 列：根据题中的相等关系，正确列出分式方程； 解：解所列分式方程； 验：既要检验所得的解是否为所列分式方程的解，又要检验所得的解是否符合 实际问题的要求； 答：写出答案.
本题源自《教材帮》
重点解析 3
班级组织同学乘大巴车前往“研学旅行”基地开展爱国教育活动，基地离学校有 90公里，队伍8:00从学校出发，苏老师因有事情，8:30从学校自驾小车以大巴1.5 倍的速度追赶，追上大巴后继续前行，结果比队伍提前15分钟到达基地. 问： （1）大巴与小车的平均速度各是多少？ （2）苏老师追上大巴的地点到基地的路程有多远？
根据题意，得：5 20 (1 20%) 2400 2400 2400 ，
y
10 - 2
解得：y=480.
经检验：y=480是原分式方程的解，且符合题意.
答：原计划安排的工人有480人.
课堂小结
1.同学们，今天你学到了什么呀？ 和同桌说说有什么收获。
2.师生共同总结反思学习情况。
1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题.
重点解析 2
若分式方程： 3x - a x2 - 2x
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单元评价检测(五)
第十五章
(45分钟100分)
一、选择题(每小题4分,共28分)
1.2014年3月4日,十二届全国人大二次会议新闻发布会召开,大会新闻发言人对民众关注度非常高的热词“雾霾”进行了解读.为了消除百姓的“心肺之患”,与雾霾的天人交战,关键在人,气象条件不利是雾霾形成的外因,污染排放加剧则是内因.PM
2.5是指大气中直径小于或等于0.0000025m的颗粒物,将
0.0000025用科学记数法表示为( )
A.0.25×10-5
B.0.25×10-6
C.2.5×10-5
D.2.5×10-6
【解析】选D.0.0000025=2.5×10-6.
2.若分式有意义,则x的取值范围是( )
A.x≠±
B.x=±
C.x<
D.x>
【解析】选A.分式有意义的条件是3-x2≠0,即x≠±.
3.化简:-的结果是( )
A.m+n
B.m-n
C.n-m
D.-m-n
【解析】选A.-===m+n.
4.分式方程+=2的解是( )
A.x=1
B.x=-1
C.x=3
D.无解
【解析】选C.方程两边同时乘(x-1)(x+1),得
(x+1)+2x(x-1)=2(x-1)(x+1),解得x=3.
检验:把x=3代入(x-1)(x+1)=8≠0,即x=3是原分式方程的解.
所以原分式方程的解为x=3.
5.化简:÷的结果是( )
A.-a
B.a
C.
D.1
【解析】选B.÷=×=a.
6.(2013·本溪中考)某服装加工厂计划加工400套运动服,在加工完160套后,采用了新技术,工作效率比原计划提高了20%,结果共用了18天完成全部任务.设原计划每天加工x套运动服,根据题意可列方程为( )
A.+=18
B.+=18
C.+=18
D.+=18
【解题指南】首先考虑本题列方程是根据题目中的哪个等量关系,观察各个选项可以发现是根据总天数为18天构造方程,然后结合公式:工作时间=工作总量÷工作效率,即可列出方程.
【解析】选 B.采用新技术前的工作时间=160÷x;采用新技术后的工作时间=(400-160)÷(1.2x);根据总时间为18天,得+=18.
7.(2013·贵港中考)关于x的分式方程=-1的解是负数,则m的取值范围是
( ) A.m>-1 B.m>-1且m≠0
C.m≥-1
D.m≥-1且m≠0
【解析】选 B.=-1,x+1=-m,x=-m-1,因为方程的解是负数,因此-m-1<0,解得m>-1,m=0时,方程不能成立,所以m的取值范围是m>-1且m≠0.
二、填空题(每小题5分,共25分)
8.(2014·鹤岗模拟)写出一个含有字母x的分式(要求:不论x取任何实数,该分式都有意义).
【解析】分母中含有字母,且分母满足不为0这一限制条件.
答案:(答案不唯一)
9.分式与的最简公分母是.
【解析】m2-3m=m(m-3),m2-9=(m+3)(m-3),所以最简公分母为m(m+3)(m-3).
答案:m(m+3)(m-3)
10.计算:-÷= .
【解析】-÷=-·==.
答案:
11.关于x的方程-=0无解,则m的值是.
【解析】将分式方程去分母得m-1-(x+1)=0,因为方程无解,则x可能等于1或-1,当x=1时,m=3,当x=-1时,m=1.
答案:1或3
12.(2014·临沂模拟)若a1=1-,a2=1-,a3=1-,…,则a2014的值为(用含m的代数式表示).
【解析】a1=1-,
a2=1-=1-=1-=1-=-,
a3=1-=1+=m,
a4=1-=1-,…;
2014÷3=671……1,则a2014=a1,a2014的值为1-.
答案:1-
三、解答题(共47分)
13.(10分)解方程:+=1.
【解析】方程两边同乘(x-3),
得:2-x-1=x-3,
整理解得:x=2,
经检验:x=2是原方程的解.
【知识归纳】解分式方程的三步骤
一去:利用等式的性质,将方程两边都乘以最简公分母,将方程中的分母去掉; 二解:解整式方程;
三验:将解得的整式方程的根代入原方程检验或代入最简公分母检验.
14.(11分)(2013·自贡中考)先化简÷,然后从1,,-1中选取一个你认为合适的数作为a的值代入求值.
【解析】÷
=×
=-
=
=,
由于a≠±1,所以当a=时,原式==2.
15.(12分)描述证明
兔子在研究数学问题时发现了一个有趣的现象:
(1)请你用数学表达式补充完整兔子发现的这个有趣的现象.
(2)请你证明兔子发现的这个有趣现象.
【解析】(1)++2=ab;a+b=ab.
(2)因为++2=ab,
所以=ab,
所以a2+b2+2ab=(ab)2,
所以(a+b)2=(ab)2,
因为a>0,b>0,a+b>0,ab>0,
所以a+b=ab.
16.(14分)(2013·烟台中考)烟台享有“苹果之乡”的美誉.甲、乙两超市分别用3000元以相同的进价购进质量相同的苹果.甲超市销售方案是:将苹果按大小分类包装销售,其中大苹果400kg,以进价的2倍价格销售,剩下的小苹果以高于进价的10%销售.乙超市销售方案是:不将苹果按大小分类,直接包装销售,价格按甲超市大、小两种苹果售价的平均数定价.若两超市将苹果全部售完,其中甲超市获利2100元(其他成本不计).
问:(1)苹果进价为每千克多少元?
(2)乙超市获利多少元?并比较哪种销售方式更合算.
【解析】(1)设苹果进价为每千克x元.
由题意,得400x+10%x=2100,
解得x=5.
经检验x=5是原方程的解,且满足题意.
答:苹果进价为每千克5元.
(2)由(1)知:每个超市苹果总量:=600(kg),大、小苹果售价分别为10元和5.5元.
∴乙超市获利:600×=1650(元).
∵甲超市获利2100>1650,
∴甲超市销售方式更合算.
【知识归纳】找等量关系的方法
1.从题中反映的基本数量关系确定等量关系.
2.紧扣几何图形的周长、面积等公式确定等量关系.
3.根据常见的数量关系确定等量关系.
4.抓住关键句子确定等量关系.
5.借助线段图确定等量关系.
6.抓住“不变量”确定等量关系.
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