高二数学曲线上一点处的切线
高二数学导数的概念和几何意义试题答案及解析
高二数学导数的概念和几何意义试题答案及解析1.若曲线在点处的切线方程是，则．【答案】2【解析】，又在点处的切线方程是，．【考点】三角函数化简求值．2.函数在处的切线方程是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】,因此切线方程为，即．【考点】（1）导数的运算法则；（2）导数的几何意义．3.若曲线f（x，y）=0上两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线f（x，y）=0的“自公切线”，下列方程：①x2﹣y2=1②x2﹣|x﹣1|﹣y=0③xcosx﹣y=0④|x|﹣+1=0其中所对应的曲线中存在“自公切线”的有（）A．①②B．②③C．①④D．③④【答案】B【解析】①x2﹣y2=1是一个等轴双曲线，没有自公切线；②x2﹣|x﹣1|﹣y="0" ,由两圆相交，可知公切线，满足题意，故有自公切线；③xcosx﹣y=0的图象过（2π，2π ），（4π，4π），图象在这两点的切线都是y=x，故此函数有自公切线；④|x|﹣+1=0，其表示的图形为图中实线部分，不满足要求，故不存在．故选：B【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程.4.抛物线在点处的切线的倾斜角是( )A．30B．45C．60D．90【答案】B【解析】设抛物线在点处的切线的倾斜角为,因为,由导数几何意义得：,故选B.【考点】导数几何意义.5.已知函数，若曲线存在与直线平行的切线，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】对函数求导可得，存在与直线平行的切线，即有实数解，则，，则,得.故选A.【考点】导数的几何意义.6.函数是定义在R上的可导函数，则下列说法不正确的是（）A．若函数在时取得极值，则B．若，则函数在处取得极值C．若在定义域内恒有，则是常数函数D．函数在处的导数是一个常数【答案】B.【解析】对于B，可以构造函数，则，而并不是的极值点，而A,C,D均正确，∴选B.【考点】导数的性质.7.函数的图像在点）处的切线与轴的交点的横坐标为（）若，则= 。
高二数学导数试题答案及解析
高二数学导数试题答案及解析1.若曲线的一条切线l与直线垂直，则切线l的方程为 ( )A．B．C．D．【答案】A【解析】设切点为，因为，所以，由导数的几何意义可知切线的斜率为。
直线的斜率为。
由题意可得，解得，切点为，切线的斜率为4，所以切线的方程为，即。
故A正确。
【考点】1导数的几何意义；2两直线垂直时斜率的关系；3直线方程。
2.曲线在点（1,1）处的切线方程为 .【答案】【解析】∵y=lnx+x，∴，∴切线的斜率k=2，所求切线程为.【考点】导数的几何意义.3.已知是定义在上的非负可导函数，且满足，对任意正数，若，则的大小关系为A．B．C．D．【答案】A【解析】因为，是定义在上的非负可导函数，且满足，即，所以，在是增函数，所以，若，则的大小关系为。
选A。
【考点】导数的运算法则，应用导数研究函数的单调性。
点评：中档题，在给定区间，如果函数的导数非负，则函数为增函数，如果函数的导数非正，则函数为减函数。
比较大小问题，常常应用函数的单调性。
4.已知函数的导函数为,1，1），且，如果，则实数的取值范围为（）A．（）B．C．D．【答案】B【解析】由于,1，1），故函数在区间上为增函数，且为奇函数，由得：，则，解得。
故选Ｂ。
【考点】函数的性质点评：求不等式的解集，常结合到函数的单调性，像本题解不等式就要结合到函数的单调性。
5.已知函数在上是单调函数,则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为，函数在上是单调函数,所以，=0无不等实数解，即，解得，，故选B。
【考点】利用导数研究函数的单调性。
点评：简单题，在某区间，导数非负，函数为增函数，导数非正，函数为减函数。
6.已知曲线方程,若对任意实数,直线,都不是曲线的切线,则实数的取值范围是【答案】【解析】把已知直线变形后找出直线的斜率，要使已知直线不为曲线的切线，即曲线斜率不为已知直线的斜率，求出f（x）的导函数，由完全平方式大于等于0即可推出a的取值范围解：把直线方程化为y=-x-m，所以直线的斜率为-1，且m∈R，所以已知直线是所有斜率为-1的直线，即曲线的斜率不为-1，由得：f′（x）=x2-2ax，对于x∈R，有x2-2ax≥，根据题意得：-1<a＜1．故答案为【考点】求曲线上过某点曲线方程点评：此题考查学生会利用导数求曲线上过某点曲线方程的斜率，是一道基础题．7.曲线在点（1，2）处的切线方程是____________---------【答案】【解析】，直线斜率为1，直线方程为【考点】导数的几何意义点评：几何意义：函数在某一点处的导数值等于该点处的切线的斜率8.已知函数．（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）对任意，在区间上是增函数，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】（Ⅰ）解：当时，， 2分，又 4分所以曲线在点处的切线方程为即 6分（Ⅱ）= 8分记，则，在区间是增函数，在区间是减函数，故最小值为 -10分因为对任意，在区间上是增函数．所以在上是增函数， 12分当即时，显然成立当综上 15分【考点】导数的几何意义与函数单调性点评：第一问利用导数的几何意义：函数在某一点处的导数值等于该点处的切线斜率，可求得切线斜率，进而得到切线方程；第二问也可用参变量分离法分离，通过求函数最值求的取值范围9.已知函数，则（）A．0B．1C．-1D．2【答案】C【解析】根据题意，由于,则可知-1+0=-1，故答案为C.【考点】导数的运算点评：主要是考查了导数的运算法则的的运用，属于基础题。
2022-2023学年高二下数学：利用导数研究切线的问题(附答案解析)
2022-2023学年高二下数学：利用导数研究切线的问题一．选择题（共8小题）1．（2021秋•昌江区校级期末）若曲线f（x）＝x2的一条切线l与直线4x+y﹣3＝0平行，则l的方程为（）A．4x﹣y﹣4＝0B．x+4y﹣5＝0C．x﹣4y+3＝0D．4x+y+4＝0 2．（2021秋•红桥区期末）函数f（x）＝lnx+3在点（1，f（1））处的切线方程的斜率是（）A．2B．﹣1C．0D．13．（2021秋•镇海区校级期末）点A 是曲线上任意一点，则点A到直线y＝2x ﹣1的最小距离为（）A ．B ．C ．D ．4．（2021秋•金安区校级期末）已知函数f（x）＝x2﹣mlnx+2x 的图象在点处的切线与直线x﹣2y＝0垂直，则m＝（）A ．B ．C ．D ．5．（2021秋•太原期末）已知曲线f（x）＝2x﹣lnx在点（1，f（1））处的切线与曲线g（x）＝ax2+（a﹣1）x﹣1有且只有一个公共点，则实数a＝（）A．2B．0或2C．﹣2D．﹣2或0 6．（2021秋•丹东期末）若直线y＝2x是曲线y＝x（e x﹣a）的切线，则a＝（）A．﹣e B．﹣1C．1D．e7．（2021秋•天心区校级期末）过点（1，﹣1）且与曲线y＝x3﹣2x相切的切线方程为（）A．x﹣y﹣2＝0或5x+4y﹣1＝0B．x﹣y﹣2＝0C．x﹣y+2＝0D．x﹣y+2＝0或4x+5y+1＝0 8．（2021秋•马鞍山期末）若仅存在一条直线与函数f（x）＝alnx（a＞0）和g（x）＝x2的图象均相切，则实数a＝（）A．e B ．C．2e D ．二．填空题（共4小题）9．（2021秋•广东期中）已知f（x）为奇函数，当x＞0时，f（x）＝lnx+x2，则曲线y＝f（x）在点（﹣1，f（﹣1））处的切线方程是．第1页（共17页）。
圆锥曲线切线(2)
圆锥曲线的切线方程一、知识点回顾椭圆C：x2a2+y2b2=1在点M( x0,y0 )处的切线方程为：x0x a2+y0y b2=1双曲线C：x2a2−y2b2=1在点M( x0,y0 )处的切线方程为：x0x a2−y0y b2=1抛物线C：y2=2px在点M( x0,y0 )处的切线方程为：y0y=p(x+x0)，且切线与x轴的交点坐标为(−x0,0)二、线切线交点性质1、设点N ( x0,y0 ) 是椭圆外一点，向椭圆引两条切线，分别与椭圆相切于A ( x1,y1 )、B ( x2,y2 ) ，那么切线AN、BN的方程分别为：x1x a2+y1y b2=1x2x a2+y2y b2=1因为N ( x0,y0 ) 是AN、BN的交点所以有x1x0a2+y1y0b2=1x2x0a2+y2y0b2=1观察发现，A ( x1,y1 )、B ( x2,y2 ) 两点都在直线x0x a2+y0y b2=1上，因此可以得出结论：过椭圆C：x2a2+y2b2=1外一点N ( x0,y0 ) 向椭圆引两条切线，与椭圆相切于A、B两点，则直线AB的方程为：x0x a2+y0y b2=1推广：设直线x m+y n=1，(mn≠0)与椭圆上交于两个不同的点，过A、B作切线，切线交于椭圆外一点N ( x0,y0 )，则直线AB的方程为x0x a2+y0y b2=1即x a2/x0+y b2/y0=1则x0=a2m，y0=b2n故N的坐标为( a2m，b2n )2、同理可以得到：过双曲线C：x2a2−y2b2=1外一点N ( x0,y0 ) 向双曲线引两条切线，与双曲线相切于A、B 两点，则直线AB的方程为：x0x a2−y0y b2=1推广：设直线x m+y n=1，(mn≠0)与双曲线C：x2a2−y2b2=1交于两个不同的点，过A、B 分别作双曲线的切线，两条切线交于双曲线外一点N，则N的坐标为( a2m，−b2n ) . 特别地，当直线与双曲线的两个交点在同一支时，N的位置在|y|b<|x|a区域内；当直线与双曲线的两个交点分别在两支时，N的位置在|y|b>|x|a区域内。
高二数学导数的概念和几何意义试题答案及解析
高二数学导数的概念和几何意义试题答案及解析1.设函数，曲线在点处的切线方程为，则曲线在点处切线的斜率为（）A．2B．C．D．4【答案】D【解析】因为曲线在点处的切线方程为，所以；由可得所以曲线在点处切线的斜率为.【考点】导数的几何意义.2.函数f（x）在定义域R内可导，若f（x）＝f（2－x），且（x－1）f ′（x）>0，a＝f（0），b ＝f（），c＝f（3），则a，b，c的大小关系是A．a>b>c B．c>a>b C．b>a>c D．c>b>a【答案】B【解析】由于函数，因此，，当，，函数在区间为增函数，因此，所以.【考点】函数的导数与单调性.3.曲线y=e2x在点（0，1）处的切线方程为（）.A．y=x+1B．y=﹣2x+1C．y=2x﹣1D．y=2x+1【答案】D.【解析】，，则切线斜率，切线方程为，即.【考点】导数的几何意义.4.已知曲线（1）求曲线在点处的的切线方程；（2）过原点作曲线的切线，求切线方程．【答案】（1）；（2）．【解析】解题思路：（1）求导，得到切线的斜率，利用直线的点斜式方程写出切线方程，再化成一般式即可；（2）设切点坐标，求切线斜率，写出切线方程，代入（0,0）求即可．规律总结：利用导数的几何意义求的切线方程：．注意点：要注意区分“在某点处的切线”与“过某点的切线”．试题解析:(1)，，则，所以曲线在点处的的切线方程为，即；设切点为,切线斜率；则切线方程，又因为切线过原点，所以，即，所以，即切线斜率为，切线方程为，即．【考点】导数的几何意义．5.已知函数的导函数为，．求实数的取值范围。
【答案】或。
【解析】对函数求导，得=，代入，得，=<0,求解即可，注意高次不等式的解法.试题解析：由得=，所以得，=<0,解得或.【考点】导数，高次不等式.6.抛物线在点处的切线的倾斜角是 ( )A．30B．45C．60D．90【答案】B．【解析】已知抛物线，对其进行求导，即，当时，，即切线的斜率为，从而问题解决．【考点】导数的几何意义；利用导数研究曲线上某点切线方程．7.已知函数．（1）若，求曲线在点处的切线方程；（2）若函数在其定义域内为增函数，求正实数的取值范围；（3）设函数，若在上至少存在一点，使得＞成立，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）实数的取值范围是；（3）实数的取值范围．【解析】（1）求的导数，找出处的导数即切线的斜率，由点斜式列出直线的方程即可；（2）求出函数的定义域，在定义域内利用导数与函数增减性的关系，转化为恒成立问题进行求解即可；(3)讨论在定义域上的最值，分情况讨论的增减性，进而解决存在成立的问题即可．（1）当时，函数，，曲线在点处的切线的斜率为从而曲线在点处的切线方程为，即 3分（2）令，要使在定义域内是增函数，只需在内恒成立由题意，的图象为开口向上的抛物线，对称轴方程为∴，只需，即时，∴在内为增函数，正实数的取值范围是 7分（3）∵在上是减函数∴时，；时，，即①当时，，其图象为开口向下的抛物线，对称轴在轴的左侧，且，所以在内是减函数当时，，因为，所以，此时，在内是减函数故当时，在上单调递减，不合题意②当时，由，所以又由(Ⅱ)知当时，在上是增函数∴，不合题意 12分③当时，由(Ⅱ)知在上是增函数，又在上是减函数，故只需，而，即，解得所以实数的取值范围是 15分．【考点】1．导数的几何意义；2．函数的单调性与导数；3．二次函数的图像与性质；4．分类讨论的思想．8.已知．（1）若曲线在处的切线与直线平行，求a的值；（2）当时，求的单调区间．【答案】（1）；（2）单调递增区间为，；单调递减区间为【解析】（1）先求导，由直线方程可知此直线斜率为2，则曲线在处的切线的斜率也为2.由导数的几何意义可知。
【教案】变化率问题(第2课时)教学设计高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册
第五章一元函数的导数及其应用《5.1.1变化率问题》教学设计第2课时◆教学目标1．通过求曲线上某点处切线斜率的过程，体会求切线斜率的一般方法.2. 理解函数的平均变化率，瞬时变化率的概念．◆教学重难点◆教学重点：理解曲线上某点处切线斜率的概念及算法教学难点：理解函数的平均变化率，瞬时变化率的概念◆课前准备PPT课件．◆教学过程【新课导入】问题1：阅读课本第62~64页，回答下列问题：（1）本节将要探究哪类问题？（2）本节探究的起点是什么？目标是什么？师生活动：学生带着问题阅读课本，并在本节课中回答相应问题．（1）本节课主要学习变化率问题：曲线上某点处切线斜率的问题．（2）总结归纳出一般函数的平均变化率概念和瞬时变化率的概念，在此基础上，要求学生掌握函数平均变化率和瞬时变化率解法的一般步骤．平均变化率是个核心概念，它在整个高中数学中占有及其重要的地位，是研究瞬时变化率及其导数概念的基础．在这个过程中，注意特殊到一般、数形结合等数学思想方法的渗透．一般曲线的切线的概念与学生熟悉的圆的切线的定义方式不同，学生不易理解，因此曲线的切线概念是本节的教学难点．通过本节的学习，学生的数学抽象和直观想象素养将得以提升．设计意图：通过阅读读本，让学生明晰本阶段的学习目标，初步搭建学习内容的框架．问题2：什么叫直线与圆相切？师生活动：学生回顾并回答．预设的答案：如果一条直线与一个圆只有一个公共点，那么这条直线与这个圆相切．对于一般的曲线C，如何定义它的切线呢？设计意图：通过复习直线与圆相切，引出问题，进入新课．【探究新知】知识点1：曲线在某点处的切线 我们以抛物线f （x ）=x 2为例进行研究．问题3：如何定义抛物线2()f x x =在点0(11)P ，处的切线？ 师生活动：学生思考，尝试回答，教师讲解．与研究瞬时速度类似，为了研究抛物线2()f x x =在点0(11)P ，处的切线，我们通常在点0(11)P ，的附近任取一点2()P x x ，，考察抛物线2()f x x =的割线0P P 的变化情况.如图，当点P 无限趋近于点0P 时，割线0P P 无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线0PT 称为抛物线2()f x x =在点0(11)P ，处的切线. 知识点2：曲线在某点处的切线斜率抛物线2()f x x =在点0(11)P ，处的切线0PT 的斜率与割线0P P 的斜率有内在联系.记1x x ∆=-，则点P 的坐标是2(1Δ(1Δ))x x ++，.于是，割线0P P 的斜率2()(1)(1Δ)1Δ21(1Δ)1f x f x k x x x -+-===+-+-.我们可以用割线0P P 的斜率k 近似地表示切线0PT 的斜率0k ，并且可以通过不断缩短横坐标间隔||x ∆来提高近似表示的精确度，得到如下表格.0x ∆< 0x ∆>x ∆ Δ2k x =+ x ∆ Δ2k x =+ 0.01-1.990.012.010.001-1.9990.0012.0010.0001- 1.9999 0.0001 2.0001 0.00001- 1.99999 0.00001 2.00001 0.000001-1.9999990.0000012.000001…… ……当x ∆1时，割线0P P 的斜率k 都无限趋近于2.事实上，由(1Δ)(1)Δ2Δf x f k x x+-==+可以直接看出，当x ∆无限趋近于0时，Δ2x +无限趋近于2.我们把2叫做“当x ∆无限趋近于0时，(1Δ)(1)Δf x f k x +-=的极限”，记为Δ0(1Δ)(1)lim 2Δx f x f x→+-=.从几何图形上看，当横坐标间隔||x ∆无限变小时，点P 无限趋近于点0P ，于是割线0P P 无限趋近于点0P 处的切线0PT .这时，割线0P P 的斜率k 无限趋近于点0P 处的切线0PT 的斜率0k .因此，切线0PT 的斜率02k =.【巩固练习】例1 已知函数1y x x=-，求该函数在点x ＝1处的切线斜率． 师生活动：学生分组讨论，每组派一代表回答，教师完善． 预设的答案：∵11(1)(1)11y x x ∆=+∆---+∆111x x =+∆-+∆1xx x ∆=∆++∆111y x x ∆=+∆+∆，∴斜率k ＝001lim lim(1)1121x x y x x∆→∆→∆=+=+=∆+∆．设计意图：通过求曲线上某点处切线斜率的问题，加深学生对曲线在某点处的切线和切线斜率的理解，发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养． 方法总结：求曲线y =f （x ）在点（x 0，f （x 0））处的切线斜率 (1)计算00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆， （2）计算0limx yx∆→∆∆，该值即为曲线y =f （x ）在点（x 0，f （x 0））处的切线斜率．例2已知函数f (x )＝3x 2＋5，曲线y =f （x ）在点（（x 0，f （x 0））处的切线方程． 师生活动：学生分组讨论，每组派一代表回答，教师完善． 预设的答案：因为f (x )＝3x 2＋5，所以Δy = f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝3(x 0＋Δx )2＋5－(3x 02＋5) =3 x 02＋6 x 0Δx ＋3(Δx )2＋5－3 x 02－5＝6 x 0Δx ＋3(Δx )2. 所以063yx x x∆=+∆∆， 所以0000limlim(6)6x x yx x x x ∆→∆→∆=+∆=∆，所以曲线y =f （x ）在点（x 0，f （x 0））处的切线斜率为6 x 0，所以曲线y =f （x ）在点（x 0，f （x 0））处的切线方程为000()6()y f x x x x -=-， 即200635y x x x =-+． 方法总结：求曲线y =f （x ）在点（x 0，f （x 0））处的切线方程(1)计算00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆， （2）计算0limx y x ∆→∆∆，即曲线y =f （x ）在点（x 0，f （x 0））处的切线斜率为0lim x yk x∆→∆=∆．（3）写出切线方程00()()y f x k x x -=-．设计意图：通过求曲线上某点处切线的方程问题，进一步加深学生对曲线在某点处的切线的理解，发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养． 练习：教科书P 64 练习1、2设计意图：通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养．【课堂总结】1．板书设计：5.1.1变化率问题新知探究巩固练习 知识点1：曲线在某点处的切线 例1 知识点2：曲线在某点处的切线斜率例22．总结概括：（1）什么叫曲线在某点处的切线； （2）如何求曲线在某点处的切线斜率． 师生活动：学生总结，老师适当补充．设计意图：通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力． 3．课堂作业：教科书P 70 习题5.1 2、4、7【目标检测设计】1.在曲线2y x =上取一点(1)1，及附近一点()11x y +∆+∆，，则曲线在点(1)1，处的切线的斜率为( ) A.12x x∆++∆ B.2 C .2x ∆+ D.12x x+∆-∆ 设计意图：让学生进一步理解曲线在某点处的切线及切线斜率的求解. 2.已知曲线11y x =-上两点112222A B x y ⎛⎫⎛⎫-+∆-+∆ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，当1x ∆=时，割线AB 的斜率为_______. 3．求曲线24y x =在x ＝2处的切线的方程． 设计意图：让学生进一步理解曲线在某点处的切线方程的求法.参考答案：1. B 设2()f x x =，则2000(1)(1)(1)1limlim lim(2)2x x x f x f x x x x∆→∆→∆→+∆-+∆-==∆+=∆∆.故选B.2.16-设1()1f x x =-，则1111(2)(2)1122222(2)x f x f x x x -∆⎛⎫⎛⎫+∆-=---=-= ⎪ ⎪+∆+∆+∆⎝⎭⎝⎭， 则(2)(2)12(2)2(2)xf x f x xx x ∆-+∆--+∆==∆∆+∆， 当1x ∆=时，割线AB 的斜率112(21)6k -==-⨯+.3．解：∵2222()4(2)2(24)4x xy x x -∆-∆∆=-=+∆+∆，24(2)y x x x ∆-∆-=∆+∆ ∴20044limlim 1(2)4x x y x x x ∆→∆→∆-∆--===-∆+∆，∴曲线24y x=在x ＝2处的切线的斜率为-1， ∴曲线24y x=在x ＝2处的切线的方程为y -1=-1（x -2），即y =-x +3．。
高二数学直线与双曲线(绝对精品,有答案超好的讲义,自己整理原创)
双曲线与直线一、双曲线性质：1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右支；外切：P 在左支）5. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上，则过0P 的双曲线的切线方程是00221x x y y a b -=.6. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）外 ，则过Po 作双曲线的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b-=.7. 双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线上任意一点12F PF γ∠=，则双曲线的焦点角形的面积为122t2F PF S b co γ∆=.8. 双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的焦半径公式：(1(,0)F c - , 2(,0)F c当00(,)M x y 在右支上时，10||MF ex a =+,20||MF ex a =-.当00(,)M x y 在左支上时，10||MF ex a =-+,20||MF ex a =--9. 设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的双曲线准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.10. 过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, A 1、A 2为双曲线实轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.11. 11.AB 是双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则0202y a x b K K AB OM =⋅，即0202y a x b K AB =。
高中数学导数的几何意义求切线方程专题-解析版
导数的几何意义求切线方程专题题型一：切点已知求切线方程【例1】.函数f(x)=xe x的图象在点(1,f(1))处的切线方程是________．【答案】y=2ex−e【解析】因为f(x)=xe x，所以f(1)=e，f′(x)=e x+xe x，所以f′(1)=2e，所以f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线方程为y−e=2e(x−1)，即y=2ex−e．变式1.已知函数f(x)=x+alnx．当a=1时，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；【答案】2x−y−1=0【解析】当a=1时，f(x)=x+lnx，f′(x)=1+1x(x>0)．所以f(1)=1，f′(1)=2，所以切线方程为2x−y−1=0．【备注】考查导数的几何意义，先由导数得到斜率，再根据点斜式得到切线方程．变式2.已知函数f(x)=(x+1)lnx−a(x−1)．当a=4时，求曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程；【答案】y=−2x+2．【解析】当a=4时，f(1)=0，函数f(x)的导函数f′(x)=lnx+1−3,因此f′(1)=−2，从而所求的切线方程为y=−2(x−1)，也即y=−2x+2．【备注】本小题是常规的利用导函数求函数的切线方程问题．题型二：切点未知求切线方程【例2】.【2018年浙江宁波高二下学期周测】过原点作曲线y=e x的切线，则切线方程为________【答案】y=ex【解析】y′=e x设切点的坐标为(x0,e x0)，切线的斜率为k，则k=e x0，故切线方程为y−e x0=e x0(x−x0)又切线过原点，∴−e x0=e x0(−x0)，∴x0=1，y0=e，k=e．则切线方程为y=ex故答案为y=ex．变式.已知函数f(x)=x3−3x，过点P(2,−6)作曲线y=f(x)的切线，则切线方程是 ________【答案】3x+y=0或24x−y−54=0【解析】由f(x)=x3−3x，得f′(x)=3x2−3，设切点为(x0,x03−3x0)，则斜率k=3x02−3，∴切线方程为y−(x03−3x0)=(3x02−3)(x−x0)，即y=(3x02−3)x−2x03．∵切线过点P(2,−6)，则−6=2(3x02−3)−2x03，解得：x0=0或x0=3．∴所求切线方程是y=−3x或y=24x−54．故答案为：3x+y=0或24x−y−54=0．题型三：已知切线方程求参数【例3】.若抛物线y=x2与直线2x+y+m=0相切，则m= ________【答案】1【解析】设切点为P(x0,y0)．易知y′|x=x=2x0．由{2x0=−2,y0=x02,得{x0=−1,y0=1,所以P(−1,1)．又P(−1,1)在直线2x+y+m=0上，所以2×(−1)+1+m=0，解得m=1．变式1.【2016年辽宁大连单元测试】设函数f(x)=x2-ln(x+a)+b，g(x)=x3．若函数f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为x+y=0，求实数a,b的值；【答案】a=1，b=0【解析】f′(x)=2x−1x+a依题意{f′(0)=−1a=−1 f(0)=−lna+b=0变式2.【2015年浙江舟山高二下学期月考】在同一坐标系中，直线l是函数f(x)=√1−x2在(0,1)处的切线，若直线l与g(x)=−x2+mx相切于x=1处，则m=________【答案】2【解析】函数y=f(x)=2即为上半圆x2+y2=1，(0,1)为与y轴的交点，即有在(0,1)处的切线为y=1，由题意可得直线l：y=1也是g(x)=−x2+mx的切线，所以g(x)在x=0处的导函数值为0,g′(0)=−2∗0+m=0且g(1)=1,所以m=2题型四:公切线求参数问题【例4】.若直线y=kx+t是曲线y=e x+2的切线，也是曲线y=e x+1的切线，则t=________ ．【答案】4−2ln2【解析】设y=kx+t与y=e x+2和y=e x+1的切点分别为(x1,kx1+t)、(x2,kx2+t)．由导数的几何意义可得k=e x1=e x2+1，得x1=x2+1．再由切点也在各自的曲线上，可得kx1+t=e x1+2，kx2+t=e x2+1．联立上述式子{k=e x1x1=x2+1 kx1+t=e x1+2 kx2+t=e x2+1解得k=2，x1=ln2，t=4−2ln2．故答案为4−2ln2．【备注】本题考查了导数的几何意义，体现了方程思想，对学生综合计算能力有一定要求，中档题．先设切点，然后利用切点来寻找切线斜率的联系，以及对应的函数值，综合联立求解即可变式：函数f(x)=lnx+mxx+1与g(x)=x2+1有公切线y=ax(a>0)，则实数m的值为________ ．【答案】4【解析】设公切线y=ax与g(x)=x2+1的切点为(x0,x02+1)，g"(x)=2x，故切线斜率为2x0，则切线为y−(x02+1)=2x0(x−x0)，因为切线过原点(0,0)，所以−x 02−1=−2x 02，解答x 0=1或x 0=−1， 因为切线斜率a =2x 0>0，所以x 0=1，a =2， 设公切线y =2x 与f(x)=lnx +mxx+1相切与点(x 1,lnx 1+mx 1x 1+1)，f"(x)=1x +m (x+1)2，故斜率1x 1+m(x1+1)2=2①切线方程为y −(lnx 1+mx 1x1+1)=(1x 1+m(x 1+1)2)(x −x 1)，因为过(0,0)，所以−lnx 1−mx 1x1+1=−1−mx 1(x 1+1)2②联立①②解得x 1=1,m =4． 故答案为4．【备注】本题考查利用导数研究函数在某一点处的切线方程，根据条件设出切点，利用切线过原点且和两函数图象相切即可求出m 的值．针对训练1.曲线f(x)=x 3+11在点P(1,12)处的切线与y 轴交点的纵坐标是( ) A ．−9 B ．−3 C ．9 D ．15【答案】C【解析】因为y ′=3x 2，切点为(1,12)，所以切线的斜率为3，故切线方程为3x −y +9=0，令x =0，得y =9【备注】求在某点处切线2.【2018年浙江杭州下城区浙江省杭州高级中学高二下学期期中考试数学试卷】已知直线y =−2x −23与曲线2f(x)=13x 3−bx 相切，则b =________． 【答案】3【解析】f(x)=13x 3−bx ，f ′(x)=x 2−b =−2，{x 2−b =−213x 3−bx =−2x −23，x =1，b =3．3.已知函数f(x)=ax2+(2a−1)x−lnx，a∈R．若曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线经过点(2，11)，求实数a的值；【答案】a=2【解析】由题意得f′(x)=2ax+(2a−1)−1 x=2ax2+(2a−1)x−1x=(2ax−1)(x+1)x∴f′(1)=2(2a−1)∵f(1)=3a−1∴曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y=2(2a−1)(x−1)+3a−1代入点(2，11)，得a=2【备注】根据题意，对函数f(x)求导，由导数的几何意义分析可得曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程，代入点(2，11)，计算可得答案4.【2013年山西太原单元测试】设函数f(x)=x3−3ax+b,a≠0在点(2,f(2))处与直线y=8相切求实数a,b的值；【答案】a=4,b=24；【解析】f′(x)=3x2−3a，f′(2)=0,f(2)=8即12−3a=0,8−6a+b=8解得a=4,b= 245.函数f(x)=x2−2ax+lnx(a∈R)．函数y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线x−2y+ 1=0垂直，求a的值；【答案】a=52【解析】函数f(x)的定义域为(0,+∞)，f′(x)=2x−2a+1x，f′(1)=3−2a，由题意f′(1)⋅12=(3−2a)⋅12=−1，解得a=52．6.已知函数f(x)=alnx−bx2图像上一点P(2,f(2))处的切线方程为y=−3x+2ln2+2，求a,b 的值【答案】a=2,b=1【解析】f′(x)=ax−2bx{k=f′(2)=a2−4b=−3y0=f(2)=aln2−4b=−6+2ln2+2解得：a=2,b=1【备注】若想解得参数a,b需要注意两点：1、切点是个很特殊的点，既在曲线上，又在切线上。
高二数学导数的概念和几何意义试题答案及解析
高二数学导数的概念和几何意义试题答案及解析1.我们把形如的函数称为幂指函数，幂指函数在求导时，可以利用对数法：在函数解析式两边取对数得，两边对x求导数，得于是，运用此方法可以求得函数在（1，1）处的切线方程是 .【答案】【解析】：仿照题目给定的方法，所以，所以，所以，即：函数在处的切线的斜率为1，故切线方程为：，即，故答案为：．【考点】归纳推理.2.曲线y=e2x在点（0，1）处的切线方程为（）.A．y=x+1B．y=﹣2x+1C．y=2x﹣1D．y=2x+1【答案】D.【解析】，，则切线斜率，切线方程为，即.【考点】导数的几何意义.3.设函数的图像在点处切线的斜率为，则函数的部分图像为（）【答案】B【解析】 =xcosx,所以k=g(t)=tcost,是奇函数，图像关于原点对称，所以排除A,C，在t>0时，cost的值是先正后负的连续变换，故选B.【考点】导数，函数图像.4.已知函数的导函数为，．求实数的取值范围。
【答案】或。
【解析】对函数求导，得=，代入，得，=<0,求解即可，注意高次不等式的解法.试题解析：由得=，所以得，=<0,解得或.【考点】导数，高次不等式.5.已知函数在上可导，且，则函数的解析式为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由得，当时，有，进而得，所以，故选择B.【考点】导数的应用.6.曲线y＝－在点M处的切线的斜率为()A．－B．C．－D．【答案】B【解析】因为==，所以曲线在M处的切线的斜率为=，故选B.考点:常见函数的导数，导数的运算法则，导数的几何意义7.设曲线在点处的切线与直线垂直，则（）A．2B．C．D．【答案】B【解析】，故切线的斜率，在由切线与直线垂直得，即.【考点】导数的应用之一：曲线在一点处的切线以及两直线之间的位置关系.8.抛物线在点处的切线的倾斜角是 ( )A．30B．45C．60D．90【答案】B．【解析】已知抛物线，对其进行求导，即，当时，，即切线的斜率为，从而问题解决．【考点】导数的几何意义；利用导数研究曲线上某点切线方程．9.已知抛物线，和抛物线相切且与直线平行的的直线方程为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题得,与直线平行，则斜率为2，可得切点为，所以直线方程为．【考点】导数的几何意义，直线方程．10.曲线在点处切线的斜率为()A．B．C．D．【答案】B【解析】，则在点(1，－)处切线的斜率为，所以倾斜角为45°.【考点】导数的几何意义.特殊角的三角函数值.11.函数在点处的切线的斜率为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】令，则，所以。
【2018新课标 高考必考知识点 教学计划 教学安排 教案设计】高二数学：细说曲线的切线求法
一、导数的几何意义1. 函数y ＝f （x ）在x ＝x 0处的导数)(0x f '就是曲线y ＝f （x ）在点（0x ，)(0x f ）处的切线的斜率，即k ＝)(0x f '；2. 曲线y ＝f （x ）在点（x 0，)(0x f ）处的切线方程为000()()()y f x f x x x '-=-。
二、曲线的切线求法1. 曲线上某点处的切线的意义：割线的极限位置时的直线。
2. 曲线的切线的求法（1）已知切点，求曲线的切线方程此种情况直接根据导数的几何意义求出切线的斜率，即可求出切线方程。
（2）已知切线过某点，求曲线的切线方程 已知切线过点（a ，b ），求切线方程，此时需要注意点（a ，b ）可能在曲线上，也可能不在曲线上，其求法如下：①设切点))(,(00x f x ；②求斜率)(0x f k '=；③写切线方程))(()(000x x x f x f y -'=-； ④代入已知点),(b a 列方程组求得0x ；⑤代入求得切线方程。
点拨：在研究曲线在某点的切线与过该点的切线的问题时，要注意该点是不是切点问题。
“在某点的切线”说明该点是切点，但是“过某点的切线”，则该点不一定是切点，一般先设切点来求解。
例题1 设函数f （x ）＝a e x ＋1a ex ＋b （a >0），函数)(x f 在点（2，f （2））处的切线方程为y ＝32x ，求a ，b 的值。
解析：准确求解导数是解题的前提条件，同时能根据切线方程得到切点，这是求解切点的另一个角度。
答案：因为f ′（x ）＝a e x －1a e x ，所以f ′（2）＝a e 2－1a e 2＝32，解得a e 2＝2或a e 2＝－12（舍去），所以a ＝2e 2。
所以b ee e e xf x x ++=22)(22。
因为点))2(,2(f 在切线x y 23=上，所以3)2(=f ，所以3212=++b ， 即b ＝12。
曲线上一点处的切线讲解
割线PQ 割线PQ的斜率
Q无限逼近P时 Q无限逼近P时 令横坐标无限接近
P点处的切线 P点处的切线斜率
作业:
课课练 第2课时 书本 课后练习
⑵在点P附近你能作出一条比Ｌ1,Ｌ2更加逼近曲线
的直线Ｌ3吗?
⑶在点P附近你能作出一条比Ｌ1,Ｌ2,Ｌ3更加逼近
曲线的直线Ｌ4吗?
Q1 L1
Ｌ３
L2
Q2
Ｌ３
Ｌ4
Q3
P
L4 动画
问题3:我们找到了这条切线,我们还得能求这条切 线.怎么求呢?
如何求曲线上一点的切线?
(1)概念:曲线的割线和切线
y=f(x)
例3.已知 f (x) x ,求曲线 y f (x) 在 x x(x 0) 处
的切线的斜率.
解: 设 P(x, x ) , Q(x x, x x) ,
则割线PQ的斜率
kPQ
x x x
x
x x x
( x x x )x
3.9999
0.00001
4.00001 -0.00001
3.99999
求曲线 y f (x)
率的一般步骤:
上一点
P( x ,
f
(x ))处切线斜
1.设曲线上另一点 Q(x x, f (x x))
2.求出割线 PQ 的斜率kPQ
，并化简。
f (x x) x
f (x )
3. 令x无限趋近于0,若上式中的割线斜率“逼近”
一个常数，则其即为所求切线斜率。
例１、已知 f (x) x2 ,求曲线 y f (x)在 x 2 处 的切线的斜率.
练１：已知 f (x) x2,求曲线 y f (x)在 x 3处 的切线的斜率.
高二数学导数的概念和几何意义试题
高二数学导数的概念和几何意义试题1.若，则等于（）A．－1B．－2C．1D．【答案】A【解析】根据导数的定义知===-1，故选A.【考点】导数的定义2.已知函数，若曲线存在与直线平行的切线，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】对函数求导可得，存在与直线平行的切线，即有实数解，则，，则,得.故选A.【考点】导数的几何意义.3.抛物线在点处的切线的倾斜角是 ( )A．30B．45C．60D．90【答案】B．【解析】已知抛物线，对其进行求导，即，当时，，即切线的斜率为，从而问题解决．【考点】导数的几何意义；利用导数研究曲线上某点切线方程．4.已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）直线为曲线的切线，且经过原点，求直线的方程及切点坐标．【答案】（1）切线方程为；（2）直线的方程为，切点坐标为.．【解析】（1）根据导数的几何意义求出在点处的切线的斜率，再用直线的点斜式写出直线方程即可；（2）先设出切点坐标，用（1）的方法求出直线的方程，把原点带入，可求直线方程及切点坐标．（1）切线方程为：，即（2）设切点为则…….①，直线方程为，直线过原点，则…….②联立①、②解得，所以直线方程为:，切点坐标为.【考点】导数的几何意义、直线方程的求法.5.已知点在曲线上，为曲线在点处的切线的倾斜角，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】又，所以,故，则.【考点】利用导数求函数的切线，倾斜角与斜率，基本不等式.6.曲线在点处的切线倾斜角为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为，根据导数的几何意义可得曲线在点处的切线的斜率为，设直线的倾斜角为（），则有，从而，选A.【考点】导数的几何意义.7.设函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx(c<0)，其图象在点A(1,0)处的切线的斜率为0，则f(x)的单调递增区间是________．【答案】或或或【解析】，由题意可得且，解得。
则，因为，时，。
函数图像的切线问题(最新整理)
设切点为 P(x0，y0)，利用导数将切线方程表示为 y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)，再将
A(s,t)代入求出 x0. 2．两个函数图像的公切线
函数 y=f(x)与函数 y=g(x) 存在公切线，
若切点为同一点 P(x0，y0)，则有 Error!
若切点分别为(x1,f(x1)),(x2,g(x2)),则有
y
kx
与曲线
y
l8n
x
有公共点，则
k
6
的最大值为
15 5
30
20 10
.
解：根据题8意画出右图，由图可知，当直线和曲线相切时， k 取8 得最大值.
设切点坐标为 x0,
y0
，则
y0
ln
x0
，
y
'
1 x
y ' 1 ，切线方程为
x 10x0
x0
y
ln
x0
1 x0
(x
x0 ) ，原点在切线上，ln
x0
4
A. 1 或 25 64
B. 1 或 21 4
C. 7 或 25 4 64
D. 7 或 7 4
思路：本题两条曲线上的切点均不知道，且曲线 y ax2 15 x 9 含有参数，所以考虑 4
先 从 常 系 数 的 曲 线 y x3入 手 求 出 切 线 方 程 ， 再 考 虑 在 利 用 切 线 与 曲 线
1， x0
e12
斜率的最大值为
1
.
e
例 10.曲线 y ex 在点 2, e2 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ）
A. e2
B. 2e2
C. 4e2
e2
D.
高二数学函数与导数试题答案及解析
高二数学函数与导数试题答案及解析1.设函数，，当时，取得极值；(1) 求的值，并判断是函数的极大值还是极小值；(2) 当时，函数与的图象有两个公共点，求的取值范围；【答案】是函数的极小值；，【解析】解：（1）由题意当时，取得极值，即此时当时，，当时，，是函数的极小值； ---------------------4分（2）设，则，设，，令解得或，列表如下：4__0+函数在和上是增函数，在上是减函数；当时，有极大值；当时，有极小值；函数与的图象有两个公共点，函数与的图象有两个公共点或 ---------------------14分..2.若幂函数的图象经过点（4，2），则函数的单调递增区间为。
【答案】（0，+）【解析】略3.设函数若曲线的斜率最小的切线与直线平行。
（1）求的值；（2）求函数的单调区间。
【答案】（1）（2）当，所以为单调增区间.当，所以为单调减区间.【解析】略4.设是奇函数，对任意的实数，有则在区间上（）A．有最大值B．有最小值C．有最大值D．有最小值【答案】A【解析】任取，所以是单调递减函数，所以函数最大值为【考点】抽象函数单调性与最值5.已知函数的导数为，（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，故选C.【考点】导数公式应用研究.6.（本小题满分12分）已知函数，是函数的导函数，有且只有四个单调区间．（Ⅰ）设的导数为，分别求和（两个结果都含）；（Ⅱ）求实数的取值范围；（Ⅲ）设，试比较与的大小．【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）；（Ⅲ）.【解析】（Ⅰ）由导数公式直接求解即可；（Ⅱ）有且只有四个单调区间关于的方程有三个解，求二阶导数，研究的单调性与极值，由极大值大于，极小值小于可求的范围；（Ⅲ）由在上是增函数可得时，不等式恒成立得，计算，利用放缩比较两个数的大小.试题解析：（Ⅰ）∵，∴的定义域是，且，∴．（Ⅱ）∵有且只有四个单调区间，∴关于的方程有三个解．∴关于的方程有两个不同实根，设这两个根为，根据条件，这两个根是正根，且．∵，∴且，解得．下面验证时，．不妨假定，（方法一）由条件得，∴，∵，∴当变化时，函数，变化情况如下表：极大极小∵，∴极大，极小．由于，∴时，．又，令，则时，，即在区间上单调递增，∴时，，∴，∴有三个零点．综上所述，实数的取值范围是．（方法二）∴，．设，则时，，∴是区间上的单调增函数，∴当时，，∴∴，即，．∵，∴当变化时，函数，变化情况如下表：极大值（大于极小值（小于由于，∴时，．又，令，则时，，即在区间上单调递增，∴时，，∴，∴有三个零点．综上所述，实数的取值范围是．（Ⅲ）设，当时，，∴在上是增函数，即时，，即∴.由（Ⅰ）知，，∴．∵，∴∴．【考点】1.导数公式的应用；2.导数与函数单调性、极值；3.函数与方程、不等式.7.函数的零点所在的大致区间是（）A．（3，4）B．（2，e）C．（1，2）D．（0，1）【答案】C【解析】判定端点值是否异号，，，，，都是同号，所以不选，，，所以零点必在区间内．【考点】函数的零点8.已知函数,则在点处的线方程为．【答案】【解析】根据题意，可知点，而，所以，所以在点处的线方程为，即．【考点】导数的几何意义，切线方程的求法，直线方程的点斜式，商函数的求导法则．9.函数在上的极小值点为（）A．0B．C．D．【答案】C【解析】因为所以，令，则或由得：；由得：或所以函数在区间上为减函数，在区间和区间上均为增函数，所以函数的极小值点为.故选C.【考点】1、导数在研究函数性质中的应用.10.函数在上的最大值为1，最小值为，则．【答案】【解析】由题意，，则；时，，不成立．【考点】函数的最值及其几何意义．11.定义区间的区间长度为，如图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图．这个圆的圆拱跨度，拱高，建造时每间隔需要用一根支柱支撑，求支柱的高度所处的区间．（要求区间长度为）【答案】支柱的高度大约为，从而得出其对应的区间，答案不唯一．【解析】该题让球支柱的高度所处的区间，只要求出的高度的大约值即可，而其高度需要借助于坐标来完成，所以在解题的过程中，需要建立相应的坐标系，求得圆拱桥对应的圆拱所在的抛物线方程，根据题中所给的有关长度，确定出点的横坐标，将其代入，求得对应的纵坐标，求得大约值，从而确定出其所在的相应的区间，答案是不唯一的．试题解析：建系如图：,则设圆拱所在的圆半径为，利用勾股定理，，圆心坐标为，故圆方程为：，点的横坐标为，故代入圆方程求出纵坐标为．故．注：答案不唯一哈．最后的答案估算占分．【考点】利用曲线方程，求点的坐标，解决实际问题．12.（本题12分）已知函数，（1）当时，解不等式；（2）比较的大小；（3）解关于x的不等式．【答案】（1）（2）当时，当时，有当时，（3）【解析】（1）将代入不等式，结合二次函数图像求解；（2）比较大小一般采用作差法，将结果与0比较，求解时注意分情况讨论；（3）中首先将不等式化为，通过讨论的大小得到不等式的解集试题解析：（1）当时，有不等式，∴，∴不等式的解集为：；（2）∵且∴当时，有当时，有当时，；（3）∵不等式当时，有，∴不等式的解集为；当时，有，∴不等式的解集为；当时，不等式的解集为．【考点】1．一元二次不等式解法；2．分情况讨论13.设函数，若，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】，当即时，，解得，舍；当即时，，所以，解得．综上可得．故D正确．【考点】分段函数．14.已知函数．（1）求的单调区间；（2）若方程有四个不等实根，求实数的取值范围．【答案】（1）的单调递减区间是和，单调递增区间是;（2）．【解析】（1）根据绝对值的含义，分区间把绝对值符号去掉，写成分段函数的形式，分离常数，再由反比例函数研究每个区间上的单调性即可；（2）分讨论，结合函数的图象特点，分段讨论，结合二次方程根的分布原理，可求的取值范围．试题解析：（1）．由反比例函数的单调性知：的单调递减区间是和，单调递增区间是．（2）①若，则方程，即，由（1）知，仅唯一零点，不合题意；②若，有四个实根即函数与开口向下的抛物线有四个交点．当时，单调递减，单调递增，故最多一个交点，当时，，，仅有一个交点，这与他们有四个交点不符；③若，由知，是其一根．当时，有，即．因为，所以该方程在实数范围有两根，而，故方程在上仅有一根，因此在上有两实数根，即在上有两实数根，等价于有两个不等的负实根，令，又，故，此时由韦达定理知有两个不等负根，且均不等于．综上可知的取值范围是．【考点】1．分段函数的表示及单调性；2．函数与方程．15.函数在处有极值10，则．【答案】7【解析】对原函数求导可得，由题得，当时，，此时不是极值点，不合题意，经检验符合题意，所以【考点】函数的极值16.已知二次函数的图象如图所示，则其导函数的图象大致形状是（）【答案】B【解析】由的图象可知，在上是增函数，在上是减函数，从而在上恒成立，在上恒成立，从而知的图象应如图B所示．故选B．【考点】导数在研究函数的应用．17.在R上可导的函数f（x）的图象如图示，f′（x）为函数f（x）的导数，则关于x的不等式x·f′（x）＜0的解集为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】根据图像，的解集是或，的解集是，所以的解集是或，所以不等式组的解集是或，故选A．【考点】导数的应用【方法点睛】主要考察了利用导数与函数的图像，属于基础题型，导数与函数单调性的关系是在某一区间内，函数单调递增，，函数单调递减，，所以由函数的图像就能确定导函数大于或小于0的区间，最后再解不等式．18.若曲线在处的切线与曲线在处的切线互相垂直，则实数的值为________．【答案】【解析】分别求出两个函数的导函数，求得两函数在x=1处的导数值，由题意知两导数值的乘积等于-1，由此求得a的值．根据在处的切线与曲线在处的切线互相垂直，可得．【考点】利用导数研究曲线上某点处的切线方程【方法点睛】函数f（x）在点x0处的导数f′（x）的几何意义是在曲线y＝f（x）上点P（x，y）处的切线的斜率（瞬时速度就是位移函数s（t）对时间t的导数）．相应地，切线方程为y－y＝f′（x0）（x－x）．求曲线切线时，要分清在点P处的切线与过P点的切线的不同．19.已知曲线上一点，则过点的切线的倾斜角为（）A．30°B．45°C．135°D．165°【答案】B【解析】由，因此，由导数的几何意义知，曲线上过点的切线的斜率为，因此过点的切线的倾斜角为45°【考点】导数的几何意义；20.已知f（x）=x3+x2-6x+c，若x[0，2]都有f（x）>2c-恒成立，则c的取值范围是【答案】【解析】，令，解得（舍）或，所以当时；当时，所以函数在上单调递减，在上单调递增．所以上，要使都有恒成立，只需，解得．【考点】1用导数求最值；2恒成立问题．21.设，函数的导函数是，且是奇函数，则的值为（）A．1B．C．D．-1【答案】A【解析】求导数可得，是奇函数，，解得，故选A.【考点】1、函数的求导法则；2、函数的奇偶性.22.直线y=kx+1与曲线y=x3+ax+b相切于点A（1，3），则b的值为．【答案】3【解析】由于切点在直线与曲线上，将切点的坐标代入两个方程，得到关于a，b，k 的方程，再求出在点（1，3）处的切线的斜率的值，即利用导数求出在x=1处的导函数值，结合导数的几何意义求出切线的斜率，再列出一个等式，最后解方程组即可得．从而问题解决．解：∵直线y=kx+1与曲线y=x3+ax+b相切于点A（1，3），∴…①又∵y=x3+ax+b，∴y'=3x2+ax，当x=1时，y'=3+a得切线的斜率为3+a，所以k=3+a；…②∴由①②得：b=3．故答案为：3．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．x的图象是（）23.当0＜a＜1时，在同一坐标系中，函数y=a﹣x与y=loga【答案】C【解析】先将函数y=a﹣x化成指数函数的形式，再结合函数的单调性同时考虑这两个函数的单调性即可判断出结果解：∵函数y=a﹣x与可化为函数y=，其底数大于1，是增函数，x，当0＜a＜1时是减函数，又y=loga两个函数是一增一减，前增后减．故选C．【考点】对数函数的图象与性质；指数函数的图象与性质．24.二次函数f(x)的图像经过点，且，则不等式的解集为（）A．(－3，1)B．(－lg3，0)C．D．(－∞，0)【答案】D【解析】设，则，并且，由于，所以，所以，由，可得，解得所以不等式的解集为，故选D.【考点】1、二次函数及二次不等式；2、指数函数.【思路点睛】本题是一个二次函数、导数以及二次不等式的综合应用问题，属于中档题.解决本题的基本思路是，首先要设出二次函数的一般式，再根据题目条件确定二次函数的解析式，这样就得到一个关于的二次不等式，最后解这个关于的不等式，就可得出不等式的解集，使问题得以解决.25.已知函数，.⑴求函数的极大值和极小值;⑵求函数图象经过点的切线的方程；⑶求函数的图象与直线所围成的封闭图形的面积.【答案】（1）极大值1，极小值；（2）y=1或；（3）【解析】（1）f′（x）=x（x-1），分别令f′（x）＞0，f′（x）＜0，可得其单调性与极值；（2）由（1）可得，由点为切点时，可得切线方程；若点不为切点时，设切点为P，则切线方程为：把点代入解得，即可得出切线方程；（3）由，解得x=0或．可得函数的图象与直线y=1所围成的封闭图形的面积为：，利用微积分基本定理即可得出试题解析：（1），令，解得x=0或x=1，令，得x<0或x>1，，解得0<x<1，∴函数f（x）在上单调递增，在（0,1）上单调递减，在上单调递增∴x=0是其极大值点，x=1是极小值点，所以f（x）的极大值为f（0）=1；f（x）的极小值为（2）设切点为P，切线斜率∴曲线在P点处的切线方程为，把点代入，得，所以切线方程为y=1或；（3）由，所以所求的面积为.【考点】利用导数研究函数的极值；定积分；定积分在求面积中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程26.设函数是奇函数的导函数，，当x＞0时，，则使得成立的的取值范围是( )A．B．C．D．【答案】A【解析】设，则g（x）的导数为：，∵当x＞0时总有xf′（x）＜f（x）成立，即当x＞0时，g′（x）恒小于0，∴当x＞0时，函数为减函数，又∵，∴函数g（x）为定义域上的偶函数又∵，∴函数g（x）的图象性质类似如图：数形结合可得，不等式f（x）＞0⇔x g（x）＞0⇔或，【考点】函数的单调性与导数的关系27.函数，若对，求实数的最小值.【答案】【解析】任意存在型命题关键转化为对应函数最值问题：再分别求出对应函数最值，，最好解对应不等式即可试题解析：解：由题意，在递减，在递增，所以，在单调递增，，；【考点】恒成立问题28.已知函数在单调递增，则实数的取值范围是_______________.【答案】【解析】依题意在区间上恒成立,,所以.【考点】函数导数与单调性．29.已知直线与曲线相切，则的值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】设切点为,,所以切线方程为,依题意,切线过点,代入切线方程得,解得,故.【考点】利用导数求切线.30.若偶函数，当，满足，且，则的解集是 .【答案】【解析】由得，因为，所以，设，则，所以时，，即在上单调递增，因为，所以时，，当时，，又是偶函数，则是奇函数，因此当时，也有，所以不等式的解集是．【考点】导数与函数的单调性．构造法解函数不等式．31.某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量（单位：千克）与销售价格（单位：元/千克）满足关系式，其中，为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．（1）求的值；（2）若该商品的成品为3元/千克, 试确定销售价格的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大．【答案】（1）（2）【解析】（Ⅰ）由f（5）=11代入函数的解析式，解关于a的方程，可得a值；（Ⅱ）商场每日销售该商品所获得的利润=每日的销售量×销售该商品的单利润，可得日销售量的利润函数为关于x的三次多项式函数，再用求导数的方法讨论函数的单调性，得出函数的极大值点，从而得出最大值对应的x值试题解析：（1）因为时，所以∴；（2）由（1）知该商品每日的销售量，所以商场每日销售该商品所获得的利润：；．令得．当时，，当时，函数在上递增，在上递减，所以当时函数取得最大值答：当销售价格时，商场每日销售该商品所获得的利润最大，最大值为42．【考点】函数模型的选择与应用；利用导数研究函数的单调性32.如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部分），这两栏的面积之和为18000，四周空白的宽度为10cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5cm，怎样确定广告的高与宽的尺寸（单位：cm），能使矩形广告面积最小？【答案】.【解析】通过假设广告矩形栏目的长、宽，表达广告栏目的矩形面积，进而利用基本不等式求解面积的最小值.试题解析：解法1：设矩形栏目的高为a cm，宽为b cm，则ab="9000." ①广告的高为a+20，宽为2b+25，其中a＞0，b＞0.广告的面积S＝(a+20)(2b+25)＝2ab+40b+25a+500＝18500+25a+40b≥18500+2=18500+当且仅当25a＝40b时等号成立，此时b=，代入①式得a=120，从而b=75.即当a=120，b=75时，S取得最小值24500.故广告的高为140 cm，宽为175 cm时，可使广告的面积最小.解法2：设广告的高为宽分别为x cm，y cm，则每栏的高和宽分别为x－20，其中x＞20，y＞25两栏面积之和为2(x－20)，由此得y=广告的面积S=xy=x()＝x，整理得S=因为x－20＞0，所以S≥2当且仅当时等号成立，此时有(x－20)2＝14400(x＞20)，解得x=140，代入y=+25，得y＝175，即当x=140，y＝175时，S取得最小值24500，故当广告的高为140 cm，宽为175 cm时，可使广告的面积最小.【考点】基本不等式的应用.【思路点睛】本题主要考查函数表达式及基本不等式的应用.由题已知，可通过假设矩形的长与宽，进而表示广告面积的表达式，利用基本不等式，求出面积的最小值.在应用不等式求最值时，需要满足一正二定三相等的原则，即①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值.若使用基本不等式时，等号取不到，可以通过“对勾函数”，利用单调性求最值.33.如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部分），这两栏的面积之和为18000，四周空白的宽度为10cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5cm，怎样确定广告的高与宽的尺寸（单位：cm），能使矩形广告面积最小？【答案】.【解析】通过假设广告矩形栏目的长、宽，表达广告栏目的矩形面积，进而利用基本不等式求解面积的最小值.试题解析：解法1：设矩形栏目的高为a cm，宽为b cm，则ab="9000." ①广告的高为a+20，宽为2b+25，其中a＞0，b＞0.广告的面积S＝(a+20)(2b+25)＝2ab+40b+25a+500＝18500+25a+40b≥18500+2=18500+当且仅当25a＝40b时等号成立，此时b=，代入①式得a=120，从而b=75.即当a=120，b=75时，S取得最小值24500.故广告的高为140 cm，宽为175 cm时，可使广告的面积最小.解法2：设广告的高为宽分别为x cm，y cm，则每栏的高和宽分别为x－20，其中x＞20，y＞25两栏面积之和为2(x－20)，由此得y=广告的面积S=xy=x()＝x，整理得S=因为x－20＞0，所以S≥2当且仅当时等号成立，此时有(x－20)2＝14400(x＞20)，解得x=140，代入y=+25，得y＝175，即当x=140，y＝175时，S取得最小值24500，故当广告的高为140 cm，宽为175 cm时，可使广告的面积最小.【考点】基本不等式的应用.【思路点睛】本题主要考查函数表达式及基本不等式的应用.由题已知，可通过假设矩形的长与宽，进而表示广告面积的表达式，利用基本不等式，求出面积的最小值.在应用不等式求最值时，需要满足一正二定三相等的原则，即①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值.若使用基本不等式时，等号取不到，可以通过“对勾函数”，利用单调性求最值.34.已知函数.（I）求函数的单调区间；（II）若函数上是减函数，求实数a的最小值．【答案】（I）当时,，所以函数的增区间是，当且时,，所以函数的单调减区间是;（II）【解析】（I）先求出函数的定义域为, 再求出，由，得到函数的增区间，由，可得函数的单调减区间（II）因f(x)在上为减函数，在上恒成立，可得当时，．从而可得a的最小值试题解析：（I）由已知得函数的定义域为,函数,当时,，所以函数的增区间是;当且时,，所以函数的单调减区间是,（II）因f(x)在上为减函数，且.故在上恒成立．所以当时，．又，故当，即时，．所以于是，故a的最小值为．【考点】函数的单调性及导数的关系，求参数的取值范围【方法点睛】(1)函数的定义域是函数的灵魂，它决定了函数的值域，并且它是研究函数性质的基础，因此，我们一定要树立函数的定义域优先意识；（2）可导函数在指定的区间上单调递增（减），求参数问题，可转化为恒成立，从而构建不等式，要注意“=”是否可以取到. (3)对于恒成立的问题，常用到以下两个结论：（1），（2）35.设是定义在R上的奇函数，当x≤0时，=，则 .【答案】【解析】由函数是奇函数可得【考点】函数奇偶性与函数求值36.已知函数的图象如图所示，则不等式的解集为（）A．(-∞，)∪(,2)B．(－∞，0)∪(，2)C．(－∞，∪(，＋∞)D．(－∞，)∪(2，＋∞)【答案】B【解析】由的图象可知，在上，在上，，所以等价于或，即或或，解得或，故选B．【考点】导数与函数单调性的关系．37.已知f（x）为偶函数，当时，,则曲线y=f（x）在点（1,−3）处的切线方程是_______________.【答案】【解析】当时，，则．又因为为偶函数，所以，所以，则切线斜率为，所以切线方程为，即．【考点】函数的奇偶性与解析式，导数的几何意义．【知识拓展】本题题型可归纳为“已知当时，函数，则当时，求函数的解析式”．有如下结论：若函数为偶函数，则当时，函数的解析式为；若为奇函数，则函数的解析式为．38.f（x）的定义域为（0，＋∞），且对一切x＞0，y＞0都有f＝f（x）－f（y），当x＞1时，有f（x）＞0.（1）求f（1）的值；（2）判断f（x）的单调性并证明；（3）若f（6）＝1，解不等式.【答案】（1）0；（2）证明见解析；（3）0＜x＜4．【解析】（1）应用已知不等式，令则（2）应用单调性的定义判断.（3）对于解析式不清楚的抽象函数，当单调递增时当单调递减时试题解析：（1）f（1）＝f＝f（x）－f（x）＝0，x＞0.（2）f（x）在（0，＋∞）上是增函数．证明：设0＜x1＜x2，则由f＝f（x）－f（y），得f（x2）－f（x1）＝f，∵＞1，∴f＞0.∴f（x2）－f（x1）＞0，即f（x）在（0，＋∞）上是增函数．（3）∵f（6）＝f＝f（36）－f（6），又f（6）＝1，∴f（36）＝2，原不等式化为：f（x2＋5x）＜f（36），又∵ f（x）在（0，＋∞）上是增函数，∴解得0＜x＜4.【考点】1、函数的单调性；2、函数单调性的应用．39.已知函数，为常数，且函数的图象过点．（1）求的值；（2）若，且，求满足条件的的值．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由函数过点,代入表达式可得值；（2）由将两函数表代入,转化为关于的指数型复合方程.利用换元法,将指数型方程化为一元二次方程,解一元二次方程后再解指数方程,可得值.试题解析：（1）由已知得，解得．（2）由（1）知，又，则，即，即，令，则，即，又，故，即，解得．【考点】1.指数运算；2.一元二次方程的解法；3.换元法.40.设定义在上的函数，且对任意有，且当时，．（1）求证：，且当时，有；（2）判断在上的单调性；（3）设集合，集合，若，求的取值范围．【答案】（1）证明见解析；（2）在上单调递减；（3）.【解析】（1）由所给函数满足的条件,用特殊值法令,可得,再利用,可得与之间的关系,由时,范围,可得时,范围；（2）由函数单调性的定义出发,可判断函数单调性；（3）结合条件由可得,由可得,由,将两式联立可得一元二次不等式无解,可得关于的不等式,解可得的范围. 试题解析：（1）由题意知，令，则，因为当时，，所以，设，则，所以即当时，有．（2）设是上的任意两个值，且，则，所以，因为，且，所以，即，即．所以在上单调递减．（3）因为，所以，由（2）知在上单调递减，则，又，所以，因为，又由得，由题可知上式无解即，即，解得：，故的取值范围为．【考点】1.函数单调性；2.一元二次不等式；3.集合的交集.41.已知函数（Ⅰ）讨论函数的单调性；（Ⅱ）若对任意的，都存在使得不等式成立，求实数的取值范围。
高二数学导数及其应用试题答案及解析
高二数学导数及其应用试题答案及解析1.函数的导数是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】===【考点】基本函数的求导公式、积的求导法则点评：本题比较简单，直接代入求导公式运算。
要求学生熟记公式。
2.已知直线是的切线，则的值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】，则∴切点为，曲线过∴，。
【考点】切线方程、对数运算。
点评：根据导数的几何意义，先把切点利用k表示，再利用切点是切线和曲线的公共点代入已知方程求值。
3.在曲线y=2x2－1的图象上取一点（1， 1）及邻近一点（1+Δx,1+Δy）,则等于A．4Δx+2Δx2B．4+2Δx C．4Δx+Δx2D．4+Δx【答案】B【解析】∵△y=2（1+△x）2-1-1=2△x2+4△x，∴=4+2△x，故选B．【考点】本题主要考查导数的概念。
点评：遵循“算增量，求比值”，细心计算。
4.（2006年福建卷）统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量（升）关于行驶速度（千米/小时）的函数解析式可以表示为：已知甲、乙两地相距100千米。
（I）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？（II）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？【答案】（I）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升。
（II）当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升.【解析】分析：结合物理知识进行求解.解：（I）当时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，要耗没（升）。
答：当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升。
（II）当速度为千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，设耗油量为升，依题意得令得当时，是减函数；当时，是增函数。
当时，取到极小值因为在上只有一个极值，所以它是最小值。
答：当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升.【考点】本小题主要考查函数、导数及其应用。
江苏省宿迁市高中数学 第3章 导数及其应用 第2课时 曲
第2课时 曲线上一点处的切线学习目标：1. 理解并掌握曲线在一点处的切线的斜率的概念、求法及切线方程的求法；2. 掌握“局部以直代曲”和“用割线的逼近切线”的思想方法. 问题情境：1. 什么叫做平均变化率？2.如何精确地刻画曲线上某一点处的变化趋势呢？（点P 附近的曲线的研究）（1）观察“点P 附近的曲线”，随着图形放大，你看到了怎样的现象？（2）“几乎成了一条直线”，这么一条特殊的直线有明确位置么？（趋势）又为什么说是“几乎”？（逼近） Ⅱ.建构数学1.割线逼近切线2.割线斜率逼近切线斜率合作探究：展示点拨：例1：已知2()f x x =，求曲线()y f x =在2x =处的切线斜率．练习：已知2()f x x =+1，求曲线()y f x =在1x =-处的切线斜率.例2：已知2()f x x =，求曲线()y f x =在1x =-处的切线方程．练习：已知1()f x x -=，求曲线()y f x =在1x =-处的切线斜率和切线方程．思考：已知()f x =()y f x =在12x =处的切线斜率是多少？学以致用：1．抛物线y ＝14x 2在点Q (2，1)处的切线方程是________．【解析】 ∵Δy Δx ＝f （2＋Δx ）－f （2）Δx ＝14Δx ＋1，∴当Δx →0时，ΔyΔx →1，∴k ＝f ′(2)＝1，∴切线方程为y －1＝x －2，即x －y －1＝0. 【答案】 x －y －1＝02．在曲线y ＝x 2上切线倾斜角为π4的点是( )A ．(0,0)B ．(2,4)C ．(14， 116)D ．(12，14)解析 由导数的定义，知y ′＝2x ，∴tan π4＝1，y ′|x ＝x 0＝2x 0＝1，∴x 0＝12，则y 0＝14，故选D. 答案 D3．某物体走过的路程S (单位：m)是时间t (单位：s)的函数：S ＝t 2－1，则该物体在t ＝2 s 时的瞬时速度为________．【解析】S （2＋Δt ）－S （2）Δt＝（Δt ）2＋4Δt ＋4－1－4＋1Δt＝Δt ＋4，当Δt →0时，S （2＋Δt ）－S （2）Δt＝Δt ＋4→4，即所求瞬时速度为4 m/s. 【答案】 4 m/s4．一木块沿某一斜面自由下滑，测得下滑的水平距离s 与时间t 之间的函数关系为s ＝18t 2，则当t ＝2时，此木块在水平方向的瞬时速度为( )A. 2B. 1C.12D.14答案 C5．已知曲线y ＝x 2的切线分别满足下列条件，请求出切点的坐标．(1)平行于直线y ＝4x －5； (2)垂直于直线2x －6y ＋5＝0； (3)切线的倾斜角为135°.【解】 设切点坐标为P(x 0，y 0)，则Δy ＝(x 0＋Δx)2－x 20＝2x 0·Δx ＋(Δx)2， ∴Δy Δx ＝2x 0·Δx ＋（Δx ）2Δx ＝2x 0＋Δx ， 当Δx →0时，ΔyΔx →2x 0，∴f ′(x 0)＝2x 0，即过点P(x 0，y 0)的切线的斜率为2x 0. (1)因为切线与直线y ＝4x －5平行， 所以2x 0＝4，x 0＝2，得P(2，4)．(2)因为切线与直线2x －6y ＋5＝0垂直，所以2x 0·26＝－1，得x 0＝－32，即P(－32，94)．(3)因为切线与x 轴成135°的倾斜角，所以其斜率为－1，即2x 0＝－1，得x 0＝－12，即P(－12，14)．同步训练2．如图3－1－5所示，函数y＝f(x)的图象在点P处的切线方程是y＝－x＋8，则f(5)＝________，f′(5)＝________．【解析】f(5)＝－5＋8＝3，f′(5)＝k切线＝－1.【答案】 3 －17．已知函数y＝f(x)在点(2，1)处的切线与直线x－y＋2＝0平行，则f′(2)等于________．【解析】由题意知k＝1，∴f′(2)等于1.【答案】 13．设曲线y＝ax2在点(1，a)处的切线与直线2x－y－6＝0平行，则a＝( )A ．1 B.12 C ．－12D ．－1解析 由导数的定义知y ′＝2ax ，∴f ′(1)＝2a ＝2. ∴a ＝1. 答案 A4．若曲线y ＝h (x )在点P (a ，h (a ))处切线方程为2x ＋y ＋1＝0，则( ) A ．h ′(a )<0 B ．h ′(a )>0 C ．h ′(a )＝0 D ．h ′(a )的符号不定答案 A6．(2013·陇西高二检测)如图3－1－5所示，函数y ＝f (x )的图象在点P 处的切线方程是y ＝－x ＋8，则f (5)＝________，f ′(5)＝________．图3－1－5 【解析】 f (5)＝－5＋8＝3，f ′(5)＝k 切线＝－1. 【答案】 3 －17．已知函数y ＝f (x )在点(2，1)处的切线与直线x －y ＋2＝0平行，则f ′(2)等于________．【解析】 由题意知k ＝1，∴f ′(2)等于1. 【答案】 18．曲线y ＝x 3＋11在点P (1，12)处的切线与y 轴交点的纵坐标是________． 【解析】 ∵点P (1，12)在曲线y ＝x 3＋11上，∴曲线在点P 处的切线斜率等于y ＝x 3＋11在x ＝1处的导数．∴Δy Δx ＝f （1＋Δx ）－f （1）Δx ＝（1＋Δx ）3＋11－（13＋11）Δx ＝(Δx )2＋3Δx ＋3， 当Δx →0时，ΔyΔx →3，∴k ＝f ′(1)＝3.又∵过点P 的切线方程为y －12＝3(x －1)， 即3x －y ＋9＝0，令x＝0，则y＝9.【答案】9Ⅳ.课时小结:Ⅴ.课堂检测Ⅵ.课后作业书本P62 1,2,3,41.已知()3x x f =，求曲线()y f x =在1x =-处的切线斜率和切线方程．3．(2013·烟台高二检测)曲线y ＝x e x＋2x ＋1在点(0，1)处的切线方程为________． 【解析】 y ′＝e x＋x e x＋2，则曲线在点(0，1)处的切线的斜率k ＝e 0＋0＋2＝3，所以所求切线方程为y ＝3x ＋1.【答案】 y ＝3x ＋12. 5．已知曲线y ＝x 6在点P 处的切线与直线y ＝16x ＋3垂直，则此切线的方程为________．【解析】 ∵y ′＝6x 5，设切点为(x 0，x 60)，则6x 50×16＝－1，∴x 0＝－1，∴切点为(－1，1)，切线斜率为－6，∴切线方程为y －1＝－6(x ＋1)，即6x ＋y ＋5＝0. 【答案】 6x ＋y ＋5＝06．曲线y ＝sin x sin x ＋cos x －12在点M (π4，0)处的切线的斜率为________．【解析】 y ′＝cos x （sin x ＋cos x ）－（cos x －sin x ）sin x（sin x ＋cos x ）2＝1（sin x ＋cos x ）2，故y ′|x ＝π4＝12， ∴曲线在点M (π4，0)处的切线的斜率为12.【答案】 127．(2013·杭州高二检测)设点P 是曲线y ＝x 3－3x ＋23上的任意一点，曲线在点P 处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是________．【解析】 ∵y ′＝3x 2－3，又∵k ＝f ′(x )＝3x 2－3， ∴k ≥－ 3.结合正切函数图象可知： 0≤α<π2或2π3≤α<π.【答案】 [0，π2)∪[2π3，π)8．对正整数n ，设曲线y ＝x n(1－x )在x ＝2处的切线与y 轴交点的纵坐标为a n ，则数列{a nn ＋1}的前n 项和为________．【解析】 y ′＝(x n－x n ＋1)′＝nxn －1－(n ＋1)x n ，曲线在x ＝2处的切点为(2，－2n)，则切线方程为y ＝y ′|x ＝2(x －2)－2n，当x ＝0时，a n ＝2n(n ＋1)，则a nn ＋1＝2n， ∴S n ＝2（1－2n）1－2＝2n ＋1－2.【答案】 2n ＋1－210．已知直线l 1为曲线y ＝x 2＋x －2在点(1，0)处的切线，l 2为该曲线的另一条切线，且l 1⊥l 2.(1)求直线l 2的方程；(2)求由直线l 1，l 2和x 轴所围成的三角形的面积． 【解】 (1)∵y ′＝2x ＋1， ∴直线l 1的方程为y ＝3x －3，设直线l 2过曲线y ＝x 2＋x －2上的点B (b ，b 2＋b －2)， ∵l 1⊥l 2，∴y ′|x ＝b ＝2b ＋1＝－13，∴b ＝－23，∴点B 的坐标为(－23，－209)，∴直线l 2的方程为y ＝－13x －229.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x －3，y ＝－13x －229， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝16，y ＝－52.∴直线l 1和l 2的交点坐标为(16，－52)；又l 1，l 2与x 轴交点的坐标分别为(1，0)，(－223，0)，∴所求三角形的面积S ＝12×[1－(－223)]×|－52|＝12512.11．设函数f (x )＝ax 3＋bx ＋c (a ＞0)为奇函数，其图象在点(1，f (1))处的切线与直线x －6y －7＝0垂直，导函数f ′(x )的最小值是－12，求a ，b ，c 的值．【解】 ∵f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，即－ax 3－bx ＋c ＝－ax 3－bx －c ， ∴c ＝0.∵f ′(x )＝3ax 2＋b 的最小值为－12且a ＞0，∴b ＝－12. 又直线x －6y －7＝0的斜率为16，∴f ′(1)＝3a ＋b ＝－6，∴a ＝2，综上可知，a ＝2，b ＝－12，c ＝0.曲线的切线一、学习目标1．知识目标：研究曲线的切线，从几何学的角度了解导数概念的背景，明确瞬时变化率就是导数，掌握求曲线切线斜率的一般方法.2．能力目标：通过嫦娥一号绕月探测卫星变轨瞬间的瞬时速度和运动的方向为背景，从极限入手，培养学生的创新意识和数形转化能力.3．情感目标：通过运动的观点，体会曲线切线的内涵，挖掘数形关系，激发学生学习数学的热情. 二、教学重点曲线切线的概念形成，导数公式的理解和运用. 三、教学难点理解曲线切线的形成是通过逼近的方法得出的.引导学生在平均变化率的基础上探求瞬时变化率. 四、教学过程1．新课引入，创设情景①（大屏幕显示）嫦娥一号绕月探测卫星运行轨迹以及四次变轨的全过程.②讨论问题：卫星在每次变轨的瞬间不仅有瞬时速度，而且要研究它运动的方向.引出本节课主要研究的课题——曲线的切线. 2．概念形成，提出问题①（大屏幕显示）分析卫星在变轨瞬间与变轨前的位置关系，引出曲线的割线. ②由运动的观点、极限的思想，归纳出曲线切线的概念.以及求曲线切线斜率的一种方法.3．转换角度，分析问题①引入增量的概念，在曲线C 上取P （x 0、y 0）及邻近的一点Q （x 0+△x ，y 0+△y ），过P 、Q 两点作割线，分别过P 、Q 作y 轴，x 轴的垂线相交于点M ，设割线PQ 的倾斜角β，tan y xβ∆=∆. ②割线斜率用增量表示的形式不变.（大屏幕显示） 改变P 的邻近点Q 的位置、曲线的类型、倾斜角的性质，发现tan βy x ∆=∆表示的形式始终不变.左、右邻近点的讨论，为下面说明极限的存在做准备.4．归纳总结，解决问题①（大屏幕显示）由于△x 可正可负，但△x ≠0，研究△x 无限趋近于0，用极限的观点导出曲线切线的斜率.②讨论问题：引导学生将这一运动过程 转化为已学的代数问题.k ==0000()()lim lim x x f x x f x y x x ∆→∆→+∆-∆=∆∆ 点评公式，重点强调平均变化率和瞬时变化率之间的关系，提出导数.同时引导学生归纳出求曲线切线斜率的一般方法和步骤5．例题剖析，深化问题例：曲线的方程f (x )=x 2+1 求此曲线在点P （1,2）处的切线的方程6．学生演板，落实问题①已知曲线y =2x 2上一点A(1,2)，求（1）点A 处的切线的斜率；（2）点A 处的切线的方程.②求曲线y =x 2+1在点P (－2,5)处的切线方程.7．课堂小结8．作业P125 第6、7、8、9题。
人教版数学高二人教A版选修2-2第一章《导数及其应用》章末小结
章末小结知识点一导数的概念与几何意义求曲线的切线的方法求曲线的切线分两种情况(1)求点P(x0，y0)处的切线，该点在曲线上，且点是切点，切线斜率k ＝y′|x＝x0.(2)求过点P(x1，y1)的切线方程，此点在切线上不一定是切点，需设出切点(x0，y0)，求出切线斜率k＝y′|x＝x0，利用点斜式方程写出切线方程，再根据点在切线上求出切点坐标即可求出切线方程．已知函数y＝x3－x，求函数图象(1)在点(1，0)处的切线方程；(2)过点(1，0)的切线方程．解析：(1)函数y＝x3－x的图象在点(1，0)处的切线斜率为k＝y′|x＝1＝(3x2－1)|x＝1＝2，所以函数的图象在点(1，0)处的切线方程为y＝2x－2.(2)设函数y＝x3－x图象上切点的坐标为P(x0，x30－x0)，则切线斜率为k＝y′|x＝x0＝3x20－1，切线方程为y－(x30－x0)＝(3x20－1)(x－x0)，由于切线经过点(1，0)，所以0－(x30－x0)＝(3x20－1)(1－x0)，整理，得2x 30－3x 20＋1＝0，即2(x 30－1)－3(x 20－1)＝0，所以2(x 0－1)(x 20＋x 0＋1)－3(x 0＋1)(x 0－1)＝0， 所以(x 0－1)2(2x 0＋1)＝0， 解得x 0＝1或x 0＝－12.所以P (1，0)或P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，38，所以切线方程为y ＝2x －2或y ＝－14x ＋14.知识点二 导数与函数的单调性 求函数f (x )的单调区间的方法步骤 (1)确定函数f (x )的定义域； (2)计算函数f (x )的导数f ′(x )；(3)解不等式f ′(x )>0，得到函数f (x )的递增区间；解不等式f ′(x )<0，得到函数f (x )的递减区间．提醒：求函数单调区间一定要先确定函数定义域，往往因忽视函数定义域而导致错误．(2014·高考大纲卷)函数f (x )＝ax 3＋3x 2＋3x (a ≠0)． (1)讨论函数f (x )的单调性；(2)若函数f (x )在区间(1，2)是增函数，求a 的取值范围． 解析：(1)因为函数f (x )＝ax 3＋3x 2＋3x ， 所以f ′(x )＝3ax 2＋6x ＋3.令f ′(x )＝0，即3ax 2＋6x ＋3＝0，则Δ＝36(1－a )。
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