抛物线专题练习(含解析)
2023年新高考数学一轮复习9-5 抛物线(真题测试)含详解
专题9.5 抛物线（真题测试）一、单选题1．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线24y x =上一点M 到x 轴的距离是2，则点M 到焦点F 的距离为（ ）A B ．2C ．D ．32．（2023·全国·高三专题练习）抛物线21:4E y x =的焦点到其准线的距离为（ ） A ．18B ．14C ．2D ．43．（2022·全国·高考真题（文））设F 为抛物线2:4C y x =的焦点，点A 在C 上，点(3,0)B ，若AF BF =，则AB =（ ）A ．2B ．C ．3D ．4．（2021·全国·高考真题）抛物线22(0)y px p =>的焦点到直线1y x =+，则p =（ ）A ．1B ．2C ．D ．45．（2020·北京·高考真题）设抛物线的顶点为O ，焦点为F ，准线为l ．P 是抛物线上异于O 的一点，过P 作PQ l ⊥于Q ，则线段FQ 的垂直平分线（ ）．A ．经过点OB ．经过点PC ．平行于直线OPD ．垂直于直线OP6.（2019·全国·高考真题（文））若抛物线y 2=2px （p >0）的焦点是椭圆2231x y pp+=的一个焦点，则p =（ ）A ．2B ．3C ．4D ．87．（山东·高考真题（文））已知抛物线22(0)y px p =>，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于 ,A B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为（ ） A ．1x = B ．1x =- C ．2x =D ．2x =-8.（2017·全国·高考真题（理））已知F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为（ ） A ．16B ．14C ．12D ．10二、多选题9．（2022·全国·高考真题）已知O 为坐标原点，点(1,1)A 在抛物线2:2(0)C x py p =>上，过点(0,1)B -的直线交C 于P ，Q 两点，则（ ） A ．C 的准线为1y =- B ．直线AB 与C 相切 C ．2|OP OQ OA ⋅>D ．2||||||BP BQ BA ⋅>10．（2022·全国·高考真题）已知O 为坐标原点，过抛物线2:2(0)C y px p =>焦点F 的直线与C 交于A ，B 两点，其中A 在第一象限，点(,0)M p ，若||||AF AM =，则（ ）A ．直线AB 的斜率为B ．||||OB OF =C ．||4||AB OF >D ．180OAM OBM ∠+∠<︒11．（2022·全国·高三专题练习）已知O 为坐标原点，抛物线E 的方程为214y x =，E 的焦点为F ，直线l 与E 交于A ，B 两点，且AB 的中点到x 轴的距离为2，则下列结论正确的是（ ）A ．E 的准线方程为116y =- B ．AB 的最大值为6C ．若2AF FB =，则直线AB 的方程为1y x =+D ．若OA OB ⊥，则AOB 面积的最小值为1612．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线Γ：()220x py p =>，过其准线上的点(),1T t -作的两条切线，切点分别为A ，B ，下列说法正确的是（ ） A ．2p =B ．当1t =时，TA TB ⊥C ．当1t =时，直线AB 的斜率为2D ．TAB △面积的最小值为4三、填空题13．（2018·北京·高考真题（文））已知直线l 过点（1,0）且垂直于x 轴，若l 被抛物线24y ax =截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为_________.14．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线C ：26y x =的焦点为F ，A 为C 上一点且在第一象限，以F 为圆心，线段FA 的长度为半径的圆交C 的准线于M ，N 两点，且A ，F ，M 三点共线，则AF =______．15．（2020·山东·高考真题）已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点F 与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点重合，若两曲线相交于M ，N 两点，且线段MN 的中点是点F ，则该双曲线的离心率等于______.16.（2021·北京·高考真题）已知抛物线24y x =的焦点为F ，点M 在抛物线上，MN 垂直x 轴与于点N .若6MF =，则点M 的横坐标为_______； MNF 的面积为_______．四、解答题17.（2017·北京·高考真题（理））已知抛物线C ：y 2＝2px 过点P (1,1)．过点10,2⎛⎫⎪⎝⎭作直线l 与抛物线C 交于不同的两点M ，N ，过点M 作x 轴的垂线分别与直线OP ，ON 交于点A ，B ，其中O 为原点． (1)求抛物线C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程； (2)求证：A 为线段BM 的中点．18.（2019·全国·高考真题（理））已知抛物线C ：y 2=3x 的焦点为F ，斜率为32的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P ．（1）若|AF |+|BF |=4，求l 的方程； （2）若3AP PB =，求|AB |．19．（2019·北京·高考真题（理））已知抛物线C ：x 2=−2py 经过点（2，−1）． （Ⅰ）求抛物线C 的方程及其准线方程；（Ⅱ）设O 为原点，过抛物线C 的焦点作斜率不为0的直线l 交抛物线C 于两点M ，N ，直线y =−1分别交直线OM ，ON 于点A 和点B .求证：以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点．20．（2022·全国·高考真题（理））设抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点(),0D p ，过F 的直线交C 于M ，N 两点．当直线MD 垂直于x 轴时，3MF =． (1)求C 的方程；(2)设直线,MD ND 与C 的另一个交点分别为A ，B ，记直线,MN AB 的倾斜角分别为,αβ．当αβ-取得最大值时，求直线AB 的方程．21.（2020·全国·高考真题（理））已知椭圆C 1：22221x y a b+=(a >b >0)的右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合，C 1的中心与C 2的顶点重合.过F 且与x 轴垂直的直线交C 1于A ，B 两点，交C 2于C ，D 两点，且|CD |=43|AB |.（1）求C 1的离心率；（2）设M 是C 1与C 2的公共点，若|MF |=5，求C 1与C 2的标准方程.22.（2021·全国·高考真题（文））已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F 到准线的距离为2．（1）求C 的方程;（2）已知O 为坐标原点，点P 在C 上，点Q 满足9PQ QF =，求直线OQ 斜率的最大值.专题9.5 抛物线（真题测试）一、单选题1．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线24y x =上一点M 到x 轴的距离是2，则点M 到焦点F 的距离为（ ）A B ．2C ．D ．3【答案】B【分析】有题意可知()1,2M ±,由焦点(1,0)F 则可求出点M 到焦点F 的距离. 【详解】M 到x 轴的距离是2，可得()1,2M ±，焦点(1,0)F 则点M 到焦点的距离为2. 故选:B.2．（2023·全国·高三专题练习）抛物线21:4E y x =的焦点到其准线的距离为（ ） A ．18B ．14C ．2D ．43．（2022·全国·高考真题（文））设F 为抛物线2:4C y x =的焦点，点A 在C 上，点(3,0)B ，若AF BF =，则AB =（ ）A ．2B ．C ．3D ．故选：B4．（2021·全国·高考真题）抛物线22(0)y px p =>的焦点到直线1y x =+，则p =（ ） A ．1 B ．2 C．D ．45．（2020·北京·高考真题）设抛物线的顶点为O ，焦点为F ，准线为l ．P 是抛物线上异于O 的一点，过P 作PQ l ⊥于Q ，则线段FQ 的垂直平分线（ ）．A ．经过点OB ．经过点PC ．平行于直线OPD ．垂直于直线OP【详解】如图所示：．故选：B.6.（2019·全国·高考真题（文））若抛物线y 2=2px （p >0）的焦点是椭圆2231x y pp+=的一个焦点，则p =（ ） A ．2B ．3C ．4D ．87．（山东·高考真题（文））已知抛物线22(0)y px p =>，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于 ,A B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为（ ） A ．1x = B ．1x =- C ．2x = D ．2x=-8.（2017·全国·高考真题（理））已知F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为（ ） A ．16 B ．14C ．12D ．10二、多选题9．（2022·全国·高考真题）已知O 为坐标原点，点(1,1)A 在抛物线2:2(0)C x py p =>上，过点(0,1)B -的直线交C 于P ，Q 两点，则（ ） A ．C 的准线为1y =- B ．直线AB 与C 相切 C ．2|OP OQ OA ⋅> D ．2||||||BP BQ BA ⋅>所以2212||||(1)||15BP BQ k x x k ⋅=+=+>，而2||5BA =，故D 正确.故选：BCD10．（2022·全国·高考真题）已知O 为坐标原点，过抛物线2:2(0)Cy px p =>焦点F 的直线与C 交于A ，B 两点，其中A 在第一象限，点(,0)M p ，若||||AF AM =，则（ ） A ．直线AB 的斜率为B ．||||OB OF =C ．||4||AB OF >D ．180OAM OBM ∠+∠<︒33选项；由0OA OB ⋅<，0MA MB ⋅<求得，易得(,0)2p F ，由AF AM =3(4p OA OB ⋅=又(4p MA MB ⋅=-又360AOB AMB OAM OBM ∠+∠+∠+∠=，则180OAM OBM ∠+∠<，D 正确. 故选：ACD.11．（2022·全国·高三专题练习）已知O 为坐标原点，抛物线E 的方程为214y x =，E 的焦点为F ，直线l 与E 交于A ，B 两点，且AB 的中点到x 轴的距离为2，则下列结论正确的是（ ）A ．E 的准线方程为116y =- B ．AB 的最大值为6C ．若2AF FB =，则直线AB 的方程为1y x =+D ．若OA OB ⊥，则AOB 面积的最小值为16 ，联立抛物线，由2AF FB =解出A 即可求出面积最小值，即可判断D 选项.【详解】由2AF FB =得直线设直线AB 的方程为4A B x x =-.由于2AF FB =，所以22x =±，所以2124A A y x ==，直线AB 的方程为),y OA ⊥所以AOB 面积的是小值为故选：BCD.12．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线Γ：()220x py p =>，过其准线上的点(),1T t -作的两条切线，切点分别为A ，B ，下列说法正确的是（ ） A ．2p =B ．当1t =时，TA TB ⊥C ．当1t =时，直线AB 的斜率为2D ．TAB △面积的最小值为4220x y ，故AB k C ，切线方程TA ：的方程为1xt y -=-三、填空题13．（2018·北京·高考真题（文））已知直线l过点（1,0）且垂直于x轴，若l被抛物线24y ax=截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为_________.14．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线C：26=的焦点为F，y xA为C上一点且在第一象限，以F为圆心，线段FA的长度为半径的圆交C的准线于M，N两点，且A，F，M三点共线，则AF=______．【答案】6【分析】根据圆的几何性质以及抛物线的定义即可解出．故答案为：6．15．（2020·山东·高考真题）已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点F与双曲线22221(0,0)x ya ba b-=>>的左焦点重合，若两曲线相交于M，N两点，且线段MN的中点是点F，则该双曲线的离心率等于______.M在抛物线上，所以M在双曲线上，22cb=-故答案为：16.（2021·北京·高考真题）已知抛物线24y x=的焦点为F，点M在抛物线上，MN垂直x轴与于点N.若6MF=，则点M的横坐标为_______；MNF的面积为_______．FMNS.【FMNS=故答案为：四、解答题17.（2017·北京·高考真题（理））已知抛物线C：y2＝2px过点P(1,1)．过点10,2⎛⎫⎪⎝⎭作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP，ON交于点A，B，其中O为原点．(1)求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；(2)求证：A为线段BM的中点．故A 为线段BM 的中点.18.（2019·全国·高考真题（理））已知抛物线C ：y 2=3x 的焦点为F ，斜率为32的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P ．（1）若|AF |+|BF |=4，求l 的方程； （2）若3AP PB =，求|AB |． 利用3AP PB =可得y ()22,B x y 1252x x ∴+= 3AP PB = ∴则419AB =+⋅19．（2019·北京·高考真题（理））已知抛物线C ：x 2=−2py 经过点（2，−1）．（Ⅰ）求抛物线C的方程及其准线方程；（Ⅱ）设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y=−1分别交直线OM，ON于点A和点B.求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点．D p，过F的直线交C于20．（2022·全国·高考真题（理））设抛物线2=>的焦点为F，点(),0:2(0)C y px pMF=．M，N两点．当直线MD垂直于x轴时，3(1)求C 的方程；(2)设直线,MD ND 与C 的另一个交点分别为A ，B ，记直线,MN AB 的倾斜角分别为,αβ．当αβ-取得最大值时，求直线AB 的方程．21.（2020·全国·高考真题（理））已知椭圆C 1：22221x y a b+=(a >b >0)的右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合，C 1的中心与C 2的顶点重合.过F 且与x 轴垂直的直线交C 1于A ，B 两点，交C 2于C ，D 两点，且|CD |=43|AB |.（1）求C 1的离心率；（2）设M 是C 1与C 2的公共点，若|MF |=5，求C 1与C 2的标准方程.）(),0F c ，的方程为x =21c=+，解得抛物线2C 的方程为24y cx =，联立24x c y cx=⎧⎨=⎩，43CD =即223c ac +01e <<，解得（2）[方法一由椭圆的第二定义知所以12-a22.（2021·全国·高考真题（文））已知抛物线2=>的焦点F到准线的距离为2．C y px p:2(0)（1）求C的方程;（2）已知O 为坐标原点，点P 在C 上，点Q 满足9PQ QF =，求直线OQ 斜率的最大值. ，则(99PQ QF ==-)09,10y ，由P 在抛物线上可得Q 的轨迹方程为的斜率0025OQ y k x ==(1,0),9=PQ QF ，所以29(1)9x y =-=-，所以的斜率为244=y x t 方法四利用参数法，由题可设()24,4(0),(,)>P t t t Q x y ，求得x,y 关于t 的参数表达式，得到直线OQ 的斜率关于t 的表达式，结合使用基本不等式，求得直线OQ 斜率的最大值.。
高考数学专题《抛物线》习题含答案解析
专题9.5 抛物线1.（2020·全国高考真题（理））已知A 为抛物线C :y 2=2px （p >0）上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p =（ ） A ．2 B ．3 C ．6 D ．9【答案】C 【解析】设抛物线的焦点为F ，由抛物线的定义知||122A p AF x =+=，即1292p=+，解得6p.故选：C.2．（2020·北京高三二模）焦点在x 轴的正半轴上，且焦点到准线的距离为4的抛物线的标准方程是（ ） A ．x 2＝4y B ．y 2＝4x C ．x 2＝8y D ．y 2＝8x【答案】D 【解析】根据题意，要求抛物线的焦点在x 轴的正半轴上， 设其标准方程为22(0)y px p =>， 又由焦点到准线的距离为4，即p ＝4， 故要求抛物线的标准方程为y 2＝8x ， 故选：D.3.（全国高考真题）设F 为抛物线2:4C y x =的焦点，曲线()0ky k x=>与C 交于点P ，PF x ⊥轴，则k =（ ）A ．12B ．1C ．32D ．2【答案】D 【解析】由抛物线的性质可得(1,2)221kP y k ⇒==⇒=，故选D. 4．（2020·全国高考真题（文））设O 为坐标原点，直线2x =与抛物线C ：22(0)y px p =>交于D ，E 两点，若OD OE ⊥，则C 的焦点坐标为（ ） A ．1,04⎛⎫⎪⎝⎭B ．1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．(1,0)D ．(2,0)练基础【答案】B 【解析】因为直线2x =与抛物线22(0)y px p =>交于,E D 两点，且OD OE ⊥， 根据抛物线的对称性可以确定4DOx EOx π∠=∠=，所以()2,2D ，代入抛物线方程44p =，求得1p =，所以其焦点坐标为1(,0)2， 故选：B.5.（2019·四川高三月考（文））若抛物线22y px =的准线为圆2240x y x ++=的一条切线，则抛物线的方程为（ ） A.216y x =- B.28y x =-C.216y x =D.24y x =【答案】C 【解析】∵抛物线22y px =的准线方程为x=2p-，垂直于x 轴． 而圆2240x y x ++=垂直于x 轴的一条切线为4x =-， 则42p=，即8p =． 故抛物线的方程为216y x =． 故选：C ．6.（2019·北京高考真题（文））设抛物线y 2=4x 的焦点为F ，准线为l .则以F 为圆心，且与l 相切的圆的方程为__________． 【答案】(x -1)2+y 2=4. 【解析】抛物线y 2=4x 中，2p =4，p =2， 焦点F （1,0），准线l 的方程为x =-1， 以F 为圆心，且与l 相切的圆的方程为 (x -1)2+y 2=22,即为(x -1)2+y 2=4.7.（2019·山东高三月考（文））直线l 与抛物线22x y =相交于A ，B 两点，当AB 4=时，则弦AB 中点M 到x 轴距离的最小值为______. 【答案】32【解析】由题意，抛物线22x y =的焦点坐标为（0，12），根据抛物线的定义如图，所求d=111A B AF BF 113M 2222A B AB M ++--==≥= 故答案为：32． 8.（2021·沙湾县第一中学（文））设过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，且直线AB 的倾斜角为4π，则线段AB 的长是____，焦点F 到A ，B 两点的距离之积为_________.【答案】8 8 【分析】由题意可得直线AB 的方程为1y x =-，然后将直线方程与抛物线方程联立方程组，消去y 后，利用根与系数的关系，结合抛物线的定义可求得答案 【详解】解：由题意得(1,0)F ，则直线AB 的方程为1y x =-，设1122(,),(,)A x y B x y ，由241y x y x ⎧=⎨=-⎩，得2610x x -+=， 所以12126,1x x x x +==， 所以12628AB x x p =++=+=，因为11221,122=+=+=+=+p pAF x x BF x x ， 所以()()1212121116118AF BF x x x x x x ⋅=+⋅+=+++=++=， 故答案为：8，89．（2021·全国高三专题练习）已知抛物线顶点在原点，焦点在坐标轴上，又知此抛物线上的一点(),3A m -到焦点F 的距离为5，则m 的值为__________；抛物线方程为__________. 【答案】答案见解析 答案见解析 【分析】由于抛物线的开口方向未定，根据点(),3A m -在抛物线上这一条件，抛物线开口向下，向左、向右均有可能，以此分类讨论，利用焦半径公式列方程可得p 的值，根据点(),3A m -在抛物线上可得m 的值. 【详解】根据点(),3A m -在抛物线上，可知抛物线开口向下，向左、向右均有可能， 当抛物线开口向下时，设抛物线方程为22x py =-（0p >）， 此时准线方程为2py =，由抛物线定义知(3)52p --=，解得4p =.所以抛物线方程为28x y ，这时将(),3A m -代入方程得m =±当抛物线开口向左或向右时，可设抛物线方程为22y ax （0a ≠），从p a =知准线方程为2ax =-，由题意知()25232am am⎧+=⎪⎨⎪-=⎩，解此方程组得11192a m =⎧⎪⎨=⎪⎩，22192a m =-⎧⎪⎨=-⎪⎩，33912a m =⎧⎪⎨=⎪⎩，44912a m =-⎧⎪⎨=-⎪⎩，综合（1）、（2）得92m =，22y x =； 92m =-，22y x =-；12m =，218y x =； 12m =-，218y x =-；m =±28xy .故答案为：92，92-，12，12-，±22y x =，22y x =-，218y x =，218y x =-，28x y .10.（2019·广东高三月考（理））已知F 为抛物线2:4T x y =的焦点，直线:2l y kx =+与T 相交于,A B 两点.()1若1k =，求FA FB +的值；()2点(3,2)C --，若CFA CFB ∠=∠，求直线l 的方程.【答案】（1）10（2）3240x y +-= 【解析】（1）由题意，可得()0,1F ，设221212,,,44x x A x B x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，联立方程组224y kx x y=+⎧⎨=⎩，整理得2480x kx --=，则124x x k +=，128x x =-，又由22121144x x FA FB +++=+()2121222104x x x x +-=+=.（2）由题意，知211,14x FA x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，222,14x FB x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()3.3FC =--， 由CFA CFB ∠=∠，可得cos ,cos ,FA FC FB FC =又2114x FA =+，2214x FB =+，则FA FC FB FC FA FC FB FC =， 整理得()1212420x x x x ++-=，解得32k =-， 所以直线l 的方程为3240x y +-=.1．（2021·吉林长春市·高三（理））已知M 是抛物线24y x =上的一点，F 是抛物线的焦点，若以Fx 为始边，FM 为终边的角60xFM ∠=，则FM 等于（ ） A ．2 B C ．D ．4【答案】D 【分析】设点200,4y M y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，取()1,0a =，可得1cos ,2FM a <>=，求出20y 的值，利用抛物线的定义可求练提升得FM 的值. 【详解】设点()00,M x y ，其中2004y x =，则()1,0F ，2001,4y FM y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，取()1,0a =，则211cos ,2y FM a FM a FM a-⋅<>===⋅⎛，可得4200340480y y -+=，因为20104y ->，可得204y >，解得2012y =，则20034y x ==，因此，014MF x=+=. 故选：D.2.（2017·全国高考真题（文））过抛物线2:4C y x =的焦点F 的直线交C 于点M （在x 轴上方），l 为C 的准线，点N 在l 上且MNl ⊥，则点M 到直线NF 的距离为（）A. B. D.【答案】A 【解析】设直线l 与x 轴相交于点P ，与直线MN 相交于点Q ，(1,0)F ，设||||MN MF m ==，因为||2,30PF NQM =∠=，所以||4,||2QF QM m ==， 所以42m m +=，解得：4m =，设00(,)M x y ，由焦半径公式得：014x +=， 所以03x=，0y =，所以sin sin 42NP MNF NFP NF ∠=∠===，所以点M 到直线NF 的距离为||sin 4NM MNF ⋅∠=⋅=3．（2020·广西南宁三中其他（理））已知抛物线28C y x =：的焦点为F ，P 是抛物线C 的准线上的一点，且P 的纵坐标为正数，Q 是直线PF 与抛物线C 的一个交点，若PQ =，则直线PF 的方程为（ ）A ．20x y --=B ．20x y +-=C ．20x y -+=D ．20x y ++=【答案】B 【解析】过Q 点作QH PM ⊥于H ，因为PQ =，由抛物线的定义得PQ =，所以在Rt PQH ∆中，4PQH π∠=，所以4PFM π∠=，所以直线PF 的斜率为1k =-，所以直线PF 的方程为()()012y x -=--， 即20x y +-=， 故选B.4.（2020·浙江高三月考）如图，已知抛物线21:4C y x =和圆222:(1)1C x y -+=，直线l 经过1C 的焦点F ，自上而下依次交1C 和2C 于A ，B ，C ，D 四点，则AB CD ⋅的值为（ ）A ．14B ．12C ．1D ．2【答案】C 【解析】因为抛物线21:4C y x =的焦点为(1,0)F ，又直线l 经过1C 的焦点F ，设直线:(1)l y k x =-，由24(1)y x y k x ⎧=⎨=-⎩得2222(24)0k x k x k -++=， 设1122(,),(,)A x y B x y ，则121=x x由题意可得：1111=-=+-=AB AF BF x x ， 同理2=CD x ，所以12cos01︒⋅=⋅⋅==AB CD AB CD x x . 故选C5．【多选题】（2022·全国高三专题练习）已知抛物线21:C y mx =与双曲线222:13y C x -=有相同的焦点，点()02,P y 在抛物线1C 上，则下列结论正确的有（ ）A ．双曲线2C 的离心率为2B ．双曲线2C 的渐近线为y x = C ．8m =D ．点P 到抛物线1C 的焦点的距离为4【答案】ACD 【分析】由双曲线方程写出离心率、渐近线及焦点，即可知A 、B 、C 的正误，根据所得抛物线方程求0y ，即知D 的正误. 【详解】双曲线2C 的离心率为2e ==，故A 正确；双曲线2C 的渐近线为y =，故B 错误； 由12,C C 有相同焦点，即24m=，即8m =，故C 正确； 抛物线28y x =焦点为()2,0，点()02,P y 在1C 上，则04y =±，故()2,4P 或()2,4P -，所以P 到1C 的焦点的距离为4，故D 正确． 故选：ACD ．6．【多选题】（2021·海南鑫源高级中学）在下列四个命题中，真命题为（ ）A ．当a 为任意实数时，直线(a -1)x -y +2a +1=0恒过定点P ，则过点P 且焦点在y 轴上的抛物线的标准方程是243x y =B ．已知双曲线的右焦点为(5，0)，一条渐近线方程为2x -y =0，则双曲线的标准方程为221205x y -= C ．抛物线y =ax 2(a ≠0)的准线方程14y a=-D ．已知双曲线2214x y m +=，其离心率()1,2e ∈，则m 的取值范围(-12，0)【答案】ACD 【分析】求出直线定点设出抛物方程即可判断A ；根据渐近线方程与焦点坐标求出,a b 即可判断B ；根据抛物线方程的准线方程公式即可判断C ；利用双曲线离心率公式即可判断D ． 【详解】对A 选项，直线(a -1)x -y +2a +1=0恒过定点为()2,3P -，则过点P 且焦点在y 轴上的抛物线的标准方程设为22x py =，将点()2,3P -代入可得23p =，所以243x y =，故A 正确；对B 选项，知5,2bc a==，又22225a b c +==，解得225,20a b ==，所以双曲线的标准方程为221520x y -=，故B 错； 对C 选项，得21x y a =，所以准线方程14y a=-，正确；对D 选项，化双曲线方程为2214x y m-=-，所以()1,2e =，解得()12,0m ∈-，故正确．故选：ACD7．（2021·全国高二课时练习）已知点M 为抛物线2:2(0)C y px p =>上一点，若点M 到两定点(,)A p p ，,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭的距离之和最小，则点M 的坐标为______．【答案】,2p p ⎛⎫⎪⎝⎭【分析】过点M 作抛物线准线的垂线，垂足为B ，根据抛物线的定义可得||||MF MB =， 易知当A ，B ，M 三点共线时||MB MA +取得最小值且为||AB ，进而可得结果. 【详解】过点M 作抛物线准线的垂线，垂足为B ，由抛物线的定义，知点M 到焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭的距离与点M 到准线的距离相等，即||||MF MB =，所以||||||||MF MA MB MA +=+， 易知当A ，B ，M 三点共线时，||MB MA +取得最小值， 所以min 3(||||)||2p MF MA AB +==，此时点M 的坐标为,2p p ⎛⎫⎪⎝⎭． 故答案为：2p p ⎛⎫⎪⎝⎭，8．（2021·全国高二课时练习）抛物线()220y px p =>的焦点为F ，已知点A ，B 为抛物线上的两个动点，且满足120AFB ∠=︒，过弦AB 的中点M 作抛物线准线的垂线MN ，垂足为N ，则MN AB的最大值为______.【分析】设=AF a ，=BF b ，根据中位线定理以及抛物线定义可得()12MN a b =+，在AFB △中，由余弦定理以及基本不等式可得)AB a b ≥+，即可求得MN AB 的最大值．【详解】设=AF a ，=BF b ，作AQ 垂直抛物线的准线于点Q ，BP 垂直抛物线的准线于点P .由抛物线的定义，知AF AQ =，BF BP =.由余弦定理得()2222222cos120AB a b ab a b ab a b ab =+=︒=++=+-.又22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，∴()()()()22221344a b ab a b a b a b +-≥+-+=+，当且仅当a b =时，等号成立，∴)AB a b ≥+，∴()1a b MN AB +≤=MN AB9．（2020·山东济南外国语学校高三月考）抛物线C ：22y x =的焦点坐标是________；经过点()4,1P 的直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点，且点P 恰为AB 的中点，F 为抛物线的焦点，则AF BF +=________.【答案】1,02⎛⎫⎪⎝⎭9【解析】抛物线C ：22y x =的焦点1,02F ⎛⎫⎪⎝⎭． 过A 作AM ⊥准线交准线于M ，过B 作BN ⊥准线交准线于N ，过P 作PK ⊥准线交准线 于K ，则由抛物线的定义可得AM BN AF BF +=+． 再根据P 为线段AB 的中点，119(||||)||4222AM BN PK +==+=， ∴9AF BF +=，故答案为：焦点坐标是1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭，9AF BF +=．10.（2019·四川高考模拟（文））抛物线C ：()220x py p =>的焦点为F ，抛物线过点(),1P p .（Ⅰ）求抛物线C 的标准方程与其准线l 的方程；（Ⅱ）过F 点作直线与抛物线C 交于A ，B 两点，过A ，B 分别作抛物线的切线，证明两条切线的交点在抛物线C 的准线l 上.【答案】（Ⅰ）抛物线的标准方程为24x y =，准线l 的方程为1y =-；（Ⅱ）详见解析. 【解析】（Ⅰ）由221p p =⨯，得2p =，所以抛物线的标准方程为24x y =，准线l 的方程为1y =-.（Ⅱ）根据题意直线AB 的斜率一定存在，又焦点()0,1F ，设过F 点的直线方程为1y kx =+，联立241x yy kx ⎧=⎨=+⎩，得，2440x kx --=. 设()11,A x y ，()22,B x y ，则124x x k +=，124x x =-.∴()22221212122168x x x x x x k +=+-=+.由214y x =得，1'2y x =，过A ，B 的抛物线的切线方程分别为 ()()1112221212y y x x x y y x x x ⎧-=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩， 即21122211241124y x x x y x x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，两式相加，得()()2212121148y x x x x x =+-+，化简，得()221y kx k =-+，即()21y k x k =--， 所以，两条切线交于点()2,1k -，该点显然在抛物线C 的准线l ：1y =-上.1．（2021·全国高考真题）抛物线22(0)y px p =>的焦点到直线1y x =+，则p =（ ） A ．1 B ．2 C ．D ．4【答案】B 【分析】首先确定抛物线的焦点坐标，然后结合点到直线距离公式可得p 的值. 【详解】抛物线的焦点坐标为,02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，其到直线10x y -+=的距离：d == 解得：2p =(6p =-舍去). 故选：B.2．（2021·天津高考真题）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点与抛物线22(0)y px p =>的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A ，B 两点，交双曲线的渐近线于C 、D 两点，若|CD AB ．则双曲线的离心率为（ ） A B C ．2D ．3练真题【答案】A 【分析】设公共焦点为(),0c ，进而可得准线为x c =-，代入双曲线及渐近线方程，结合线段长度比值可得2212a c =，再由双曲线离心率公式即可得解. 【详解】设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与抛物线22(0)y px p =>的公共焦点为(),0c ，则抛物线22(0)y px p =>的准线为x c =-，令x c =-，则22221c ya b-=，解得2b y a =±，所以22b AB a =, 又因为双曲线的渐近线方程为b y x a =±，所以2bcCD a=，所以2bc a c ，所以222212a cbc =-=，所以双曲线的离心率ce a== 故选：A.3．（2020·北京高考真题）设抛物线的顶点为O ，焦点为F ，准线为l ．P 是抛物线上异于O 的一点，过P 作PQ l ⊥于Q ，则线段FQ 的垂直平分线（ ）． A ．经过点O B ．经过点P C ．平行于直线OP D ．垂直于直线OP【答案】B 【解析】如图所示：．因为线段FQ 的垂直平分线上的点到,F Q 的距离相等，又点P 在抛物线上，根据定义可知，PQ PF =，所以线段FQ 的垂直平分线经过点P .故选：B.4.（2021·全国高考真题）已知O 为坐标原点，抛物线C ：22y px =(0p >)的焦点为F ，P 为C 上一点，PF 与x 轴垂直，Q 为x 轴上一点，且PQ OP ⊥，若6FQ =，则C 的准线方程为______. 【答案】32x =-【分析】先用坐标表示P Q ，，再根据向量垂直坐标表示列方程，解得p ，即得结果. 【详解】抛物线C ：22y px = (0p >)的焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭,∵P 为C 上一点，PF 与x 轴垂直， 所以P 的横坐标为2p，代入抛物线方程求得P 的纵坐标为p ±, 不妨设(,)2pP p ,因为Q 为x 轴上一点，且PQ OP ⊥，所以Q 在F 的右侧， 又||6FQ =， (6,0),(6,)2pQ PQ p ∴+∴=- 因为PQ OP ⊥，所以PQ OP ⋅=2602pp ⨯-=, 0,3p p >∴=，所以C 的准线方程为32x =-故答案为：32x =-.5．的直线过抛物线C ：y 2=4x 的焦点，且与C 交于A ，B 两点，则AB =________．【答案】163【解析】∵抛物线的方程为24y x =，∴抛物线的焦点F 坐标为(1,0)F ，又∵直线AB 过焦点F AB 的方程为：1)y x =- 代入抛物线方程消去y 并化简得231030x x -+=， 解法一：解得121,33x x ==所以12116||||3|33AB x x =-=-= 解法二：10036640∆=-=> 设1122(,),(,)A x y B x y ，则12103x x +=, 过,A B 分别作准线1x =-的垂线，设垂足分别为,C D 如图所示.12||||||||||11AB AF BF AC BD x x =+=+=+++1216+2=3x x =+故答案为：1636．（2020·浙江省高考真题）如图，已知椭圆221:12x C y +=，抛物线22:2(0)C y px p =>，点A 是椭圆1C 与抛物线2C 的交点，过点A 的直线l 交椭圆1C 于点B ，交抛物线2C 于M （B ，M 不同于A ）．（Ⅰ）若116=p ，求抛物线2C 的焦点坐标； （Ⅱ）若存在不过原点的直线l 使M 为线段AB 的中点，求p 的最大值．【答案】（Ⅰ）1(,0)32；【解析】 （Ⅰ）当116=p 时，2C 的方程为218y x =，故抛物线2C 的焦点坐标为1(,0)32；（Ⅱ）设()()()112200,,,,,,:A x y B x y M x y I x y m λ=+，由()22222222220x y y my m x y mλλλ⎧+=⇒+++-=⎨=+⎩， 1200022222,,222m m my y y x y m λλλλλλ--∴+===+=+++， 由M 在抛物线上，所以()222222244222m pm mp λλλλλ=⇒=+++， 又22222()220y pxy p y m y p y pm x y mλλλ⎧=⇒=+⇒--=⎨=+⎩， 012y y p λ∴+=，2101022x x y m y m p m λλλ∴+=+++=+，2122222mx p m λλ∴=+-+.由2222142,?22x y x px y px ⎧+=⎪⇒+=⎨⎪=⎩即2420x px +-=12x p ⇒==-222221822228162p p p m p p p λλλλλ+⇒-=+⋅=++≥+，18p ≥，21160p ≤，p ≤ 所以，p，此时A . 法2：设直线:(0,0)l x my t m t =+≠≠，()00,A x y .将直线l 的方程代入椭圆221:12x C y +=得：()2222220m y mty t +++-=，所以点M 的纵坐标为22M mty m =-+.将直线l 的方程代入抛物线22:2C y px =得：2220y pmy pt --=，所以02M y y pt =-，解得()2022p m y m+=，因此()220222p m xm+=，由220012x y +=解得22212242160m m p m m ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以当m t ==p .。
抛物线基础练习(有解析)
一、选择题（共 8 小题；共 40 分）
1. 抛物线 A.
68 上一点 的纵坐标为 6，则点 与抛物线焦点的距离为
B.
C. 6
D.
2. 设抛物线 ：8 A. 6
3. 若抛物线 8 A.
6 上一点 到 8 轴的距离为 6，则点 到抛物线 的焦点的距离是
B.
C.
D.
的焦点与椭圆 8 t 的右焦点重合，则 的值为
，
则 8 t，将 8 t 代入椭圆 8
t
将 t 代入抛物线方程，t
解得： t．
6
13.
h
t t㌳
t，解得： ，
【解析】抛物线 8 6㌳ ㌳ h 的标准方程为：
所以抛物线的焦点坐标为： h t ．
t㌳
14. t
，
t 6㌳
8，
轴，所以 t ，所
第三部分
15. （1） 由题意，抛物线的准线为
抛物线的方程为 8 6 ．
所以 t
t
8t
8
8t 8
t 7. C 8. A 第二部分 9. （1） ，（2） ，（3）√，（4） ，（5）√
10. 【解析】依题意，点 为坐标原点，
第 3页（共 4 页）
所以 t，即
．
11.
【解析】由题意知 t h ，又因为曲线 8
t h 与 交于点 ，
以
，解得
．
t
12. t
6
【解析】设 8 t h 8 t h ，由
（2）过 作直线 ，使 与 只ห้องสมุดไป่ตู้一个公共点，求 的方程.
h h t h 到 的距离
16. 已知抛物线 8
的焦点为 ，点 是抛物线上的动点，又有点
初三抛物线试题大全及解析
初三抛物线试题大全及解析一、抛物线的基本概念抛物线是一种重要的几何图形，它在中考数学试题中占有重要地位。
抛物线通常由一条直线和一个二次曲线组成，它可以用来描述一些常见的数学问题，如二次函数、几何问题等。
二、抛物线试题类型1. 已知抛物线解析式求未知量2. 抛物线的性质与应用3. 抛物线的形状与开口方向、对称轴、顶点坐标的关系4. 抛物线与方程的综合题5. 与抛物线有关的实际问题三、抛物线试题解析【例1】（基础题）已知抛物线解析式为y=x²-2x-3，请回答下列问题：（1）求该抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标；（2）当x在什么范围内时，y随x的增大而增大？【解析】（1）因为a=1>0，所以抛物线开口向上。
对称轴为直线x=-b/2a=-(-2)/2=1，顶点坐标为（1，-4）。
（2）因为对称轴为直线x=1，且开口向上，所以当x>1时，y随x的增大而增大。
【例2】（提高题）已知二次函数y=ax²+bx+c的图像经过A（1，0），B（0，-6），C（2，-4）三点，求这个二次函数的解析式。
【解析】由题意可设y=ax²+bx-6，把C（2，-4）代入得4a+2b-6=-4，即b-a=1。
再由点A（1，0）在抛物线上可求c值，即可得到二次函数的解析式。
【答案】解：由题意可设y=ax²+bx-6。
把C（2，-4）代入得4a+2b-6=-4，即b-a=1。
又因为图像经过A（1，0），B（0，-6），所以y=x²+x-6。
【例3】（压轴题）已知二次函数y=ax²+bx+c的图像经过A（0，5），B（1，3），C（-2，7）三点。
求这个二次函数的解析式和图像的对称轴。
【解析】这道题需要用到待定系数法。
首先根据条件确定系数可能取到的值，再代入求出解析式。
然后根据对称性求出对称轴。
【答案】设这个二次函数的解析式为y=a(x-h)²+k，将A（0，5），B（1，3），C（-2，7）三点代入得{c=5a+b+c=39a−2a+k=7解得{a=2k=5∴y=2(x−1)2+3图像的对称轴为直线x=1。
抛物线课件及练习题含详解
为 y k(x p).
2
又因为A,B两点是直线AB与抛物线的交点，则
y k(x y2 2px
p ), 2
x2
(
2p k2
p)x
p2 4
0,
所以x1·x2=p2 .
4
由|AF|·|BF|=
x1
x2
p 2
x1
x
2
p2 4
1. 3
得 p2 p (4 p) 1 ,
2 23
3
即 2p 所1 ,以 p 1 ,
2p y21p2y1y1y1 y2
x
x1
,
= 2p x y1y2 2p (x y1y2 ),
y1 y2 y1 y2 y1 y2
2p
将y1·y2=-4p2代入上式得y 2p x 2p,
y1 y2
故直线AB恒过定点(2p,0).
【方法技巧】利用抛物线的性质可以解决的问题 (1)对称性：解决抛物线的内接三角形问题. (2)焦点、准线：解决与抛物线的定义有关的问题. (3)范围：解决与抛物线有关的最值问题. (4)焦点：解决焦点弦问题.
|AF|=1，|BF|= 1，求抛物线及直线AB的方程.
3
【解题指南】设出A，B两点的坐标，根据抛物线定义可分别表
示出|AF|和|BF|，进而可求得|AF|+|BF|，求得x1+x2的表达
式，表示出|AF|·|BF|，建立等式求得p，则抛物线方程可得.
再由|AB|=
2p sin 2
得4， sin2θ=
(2)y2=2px(p＞0)的焦点为( p，0)，由题意得
2
( p 2)2 解9 得 5p，=4或p=-12(舍去).
2
2022版新高考数学一轮复习专题限时练习：54 抛物线 (含解析)
2022年新高考数学专题限时练习(五十四) 抛物线建议用时：40分钟一、选择题1．点M (5,3)到抛物线y ＝ax 2的准线的距离为6，那么抛物线的标准方程是( )A ．x 2＝112y B ．x 2＝112y 或x 2＝－136y C ．x 2＝－136yD ．x 2＝12y 或x 2＝－36yD [将y ＝ax 2化为x 2＝1a y .当a >0时，准线y ＝－14a ，则3＋14a ＝6，∴a ＝112. 当a <0时，准线y ＝－14a ，则⎪⎪⎪⎪⎪⎪3＋14a ＝6，∴a ＝－136.∴抛物线方程为x 2＝12y 或x 2＝－36y .]2．(2020·泰安模拟)已知抛物线E ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，O 为坐标原点，OF 为菱形OBFC 的一条对角线，另一条对角线BC 的长为2，且点B ，C 在抛物线E 上，则p ＝( )A ．1B ． 2C ．2D ．2 2B [由题意，⎝ ⎛⎭⎪⎫p 4，1在抛物线上，代入抛物线方程可得1＝p 22，∵p ＞0，∴p ＝2，故选B.]3．(2020·北京高考)设抛物线的顶点为O ，焦点为F ，准线为l .P 是抛物线上异于O 的一点，过P 作PQ ⊥l 于Q ，则线段FQ 的垂直平分线( )A ．经过点OB ．经过点PC．平行于直线OP D．垂直于直线OPB[如图所示：因为线段FQ的垂直平分线上的点到F，Q的距离相等，又点P在抛物线上，根据定义可知，|PQ|＝|PF|，所以线段FQ的垂直平分线经过点P.故选B.]4．(多选)(2020·辽宁锦州月考)以下四个命题中，真命题的序号是()①平面内到两定点距离之比等于常数λ(λ≠1)的点的轨迹是圆；②平面内与定点A(－3,0)和B(3,0)的距离之差等于4的点的轨迹方程为x24－y25＝1；③点P是抛物线x2＝4y上的动点，点P在x轴上的射影是M，点A的坐标是A(1,0)，则|P A|＋|PM|的最小值是2＋1；④已知点P为抛物线y2＝4x上一个动点，点Q为圆x2＋(y－4)2＝1上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值是17－1.A．①B．②C．③D．④AD[对于①，平面内到两定点的距离之比为定值(不等于1)的点的轨迹是圆，这个圆被称为阿波罗尼斯圆，所以①正确；对于②，根据题意，结合双曲线的定义，可知题中点的轨迹是双曲线的一支，所以②错误；对于③，根据题意，结合抛物线的定义，可求得|P A|＋|PM|的最小值应为2－1，所以③错误；对于④，根据抛物线的定义，可知抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离是相等的，将其转化为到焦点的距离，结合圆的相关性质可知④是正确的．]5．(多选)(2020·山东胶州一中月考)已知抛物线y2＝4x上一点P到准线的距离为d1，到直线l：4x－3y＋11＝0的距离为d2，则d1＋d2的取值可以为()A．3 B．4C. 5 D．10ABD[抛物线上的点P到准线的距离等于到焦点F(1,0)的距离，过焦点F作直线4x－3y＋11＝0的垂线，则F到直线的距离为d1＋d2的最小值，如图所示：所以(d1＋d2)min＝|4－0＋11|42＋(－3)2＝3，故选ABD.]6．(2020·江西萍乡一模)已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，准线l：x ＝－1，点M在抛物线C上，点M在直线l：x＝－1上的射影为A，且直线AF的斜率为－3，则△MAF的面积为()A. 3 B．2 3C．4 3 D．8 3C[如图所示，设准线l与x轴交于点N.则|FN|＝2.∵直线AF的斜率为－3，∴∠AFN＝60°.∴∠MAF＝60°，|AF|＝4.由抛物线的定义可得|MA|＝|MF|，∴△AMF是边长为4的等边三角形．∴S△AMF＝34×42＝4 3.故选C.]二、填空题7．已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F(2,0)，则抛物线C的方程是________；若M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N，且M为FN的中点，则|FN|＝________.y2＝8x6[抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F(2,0)，可得p＝4，则抛物线C的方程是y2＝8x.由M为FN的中点，得M的横坐标为1，代入抛物线方程得y ＝±22，则M(1，±22)，则点N的坐标为(0，±42)，所以|FN|＝22＋(42)2＝6.]8．如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽________米．26[建立平面直角坐标系如图所示，设抛物线方程为x2＝－2py(p＞0)．由题意可知抛物线过点(2，－2)，故4＝4p，∴p＝1，∴x2＝－2y.故当y＝－3时，x2＝6，即x＝ 6.所以当水位降1米后，水面宽26米．]9．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过点F作一条直线交抛物线于A，B两点．若|AF|＝3，则|BF|＝________.32[法一：由题意可知F(1,0)，设A(x A，y A)，B(x B，y B)，点A在第一象限，则|AF|＝x A＋1＝3，所以x A＝2，y A＝22，所以直线AB的斜率为k＝222－1＝2 2.则直线AB的方程为y＝22(x－1)，与抛物线方程联立整理得2x 2－5x ＋2＝0，x A ＋x B ＝52， 所以x B ＝12，所以|BF |＝12＋1＝32.法二：由1|AF |＋1|BF |＝2p 可知1|BF |＝1－13＝23， ∴|BF |＝32.] 三、解答题10.如图，抛物线的顶点在原点，圆(x －2)2＋y 2＝4的圆心恰是抛物线的焦点．(1)求抛物线的方程；(2)一条直线的斜率等于2，且过抛物线焦点，它依次截抛物线和圆于A ，B ，C ，D 四点，求|AB |＋|CD |的值．[解] (1)设抛物线方程为y 2＝2px (p ＞0)， ∵圆(x －2)2＋y 2＝22的圆心恰是抛物线的焦点， ∴p ＝4.∴抛物线的方程为y 2＝8x .(2)依题意直线AB 的方程为y ＝2x －4， 设A (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －4，y 2＝8x ，得x 2－6x ＋4＝0，∴x 1＋x 2＝6，|AD |＝x 1＋x 2＋p ＝6＋4＝10. |AB |＋|CD |＝|AD |－|CB |＝10－4＝6.11.如图，已知点F 为抛物线E ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点，点A (2，m )在抛物线E 上，且|AF |＝3.(1)求抛物线E 的方程；(2)已知点G (－1,0)，延长AF 交抛物线E 于点B ，证明：GF 为∠AGB 的平分线．[解] (1)由抛物线定义可得|AF |＝2＋p2＝3，解得p ＝2.∴抛物线E 的方程为y 2＝4x .(2)证明：∵点A (2，m )在抛物线E 上，∴m 2＝4×2，解得m ＝±22，由抛物线的对称性，不妨设A (2,22)，由A (2,22)，F (1,0)，∴直线AF 的方程为y ＝22(x －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝22(x －1)，y 2＝4x ，得2x 2－5x ＋2＝0，解得x ＝2或12，∴B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2.又G (－1,0)，∴k GA ＝223，k GB ＝－223， ∴k GA ＋k GB ＝0，∴∠AGF ＝∠BGF . ∴GF 为∠AGB 的平分线．1．已知P 是抛物线y 2＝4x 上的一个动点，Q 是圆(x －3)2＋(y －1)2＝1上的一个动点，N (1,0)是一个定点，则|PQ |＋|PN |的最小值为( )A ．3B ．4C ．5D ．2＋1A [由抛物线方程y 2＝4x ，可得抛物线的焦点F (1,0)，又N (1,0)，所以N 与F 重合．过圆(x －3)2＋(y －1)2＝1的圆心M 作抛物线准线的垂线MH ，交圆于Q ，交抛物线于P ，则|PQ |＋|PN |的最小值等于|MH |－1＝3.]2．(2020·济宁三模)已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过点F 的直线与抛物线C 的两个交点分别为A ，B ，且满足AF→＝2FB →，E 为AB 的中点，则点E 到抛物线准线的距离为( )A ．114B ．94C ．52D ．54B [由题意得抛物线y 2＝4x 的焦点坐标为(1,0)，准线方程为x ＝－1，设 A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∵AF →＝2FB →，∴|AF |＝2|BF |，∴x 1＋1＝2(x 2＋1)， ∴x 1＝2x 2＋1，∵|y 1|＝2|y 2|，∴y 21＝4y 22，∴x 1＝4x 2，∴x 1＝2，x 2＝12.∴线段AB 的中点到该抛物线准线的距离为12[(x 1＋1)＋(x 2＋1)]＝94.故选B.] 3．已知点A (m,4)(m ＞0)在抛物线x 2＝4y 上，过点A 作倾斜角互补的两条直线l 1和l 2，且l 1，l 2与抛物线的另一个交点分别为B ，C .(1)求证：直线BC 的斜率为定值；(2)若抛物线上存在两点关于BC 对称，求|BC |的取值范围． [解] (1)证明：∵点A (m,4)在抛物线上， ∴16＝m 2，∴m ＝±4， 又m ＞0，∴m ＝4. 设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，则k AB ＋k AC ＝x 1＋44＋x 2＋44＝x 1＋x 2＋84＝0，∴x 1＋x 2＝－8.∴k BC ＝y 2－y 1x 2－x 1＝x 22－x 214(x 2－x 1)＝x 1＋x 24＝－2，∴直线BC 的斜率为定值－2.(2)设直线BC 的方程为y ＝－2x ＋b ，P (x 3，y 3)，Q (x 4，y 4)关于直线BC 对称，设PQ 的中点为M (x 0，y 0)，则k PQ ＝y 4－y 3x 4－x 3＝x 3＋x 44＝x 02＝12，∴x 0＝1.∴M (1，－2＋b )． 又点M 在抛物线内部， ∴－2＋b ＞14，即b ＞94.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x ＋b ，x 2＝4y ，得x 2＋8x －4b ＝0， ∴x 3＋x 4＝－8，x 3x 4＝－4b . ∴|BC |＝1＋4|x 3－x 4|＝5·(x 3＋x 4)2－4x 3x 4 ＝5×64＋16b .又b ＞94，∴|BC |＞10 5.∴|BC |的取值范围为(105，＋∞)．1．(多选)(2020·黑龙江大庆一中月考)如图，过抛物线y 2＝8x 的焦点F ，斜率为k 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，与抛物线准线交于C 点，若B 是AC 的中点，则( )A ．k ＝±2 B ．k ＝±2 2 C ．|AB |＝9D ．|AB |＝10BC [如图，设A ，B 在准线上的射影分别为D ，E ，连接AD ，BE ，设AB ＝BC ＝m ，直线l 的倾斜角为α，则|BE |＝m |cos α|，所以|AD |＝|AF |＝|AB |－|BF |＝|AB |－|BE |＝m (1－|cos α|)，|cos α|＝|AD ||AC |＝m (1－|cos α|)2m ，解得|cos α|＝13，所以|sin α|＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝223，故|k |＝|tan α|＝2 2.由抛物线焦点弦的弦长公式|AB |＝2p sin 2α可得|AB |＝81－19＝9.综上，选BC. 或：由|cos α|＝13得tan α＝±22，可得直线方程．设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，将直线方程与抛物线方程联立，进而可解得x A ＋x B ＝5，于是|AB |＝x A ＋x B ＋4＝9.故选BC.]2．(2020·静安区二模)已知抛物线Γ：y 2＝4x 的焦点为F ，若△ABC 的三个顶点都在抛物线Γ上，且F A →＋FB→＋FC →＝0，则称该三角形为“核心三角形”． (1)是否存在“核心三角形”，其中两个顶点的坐标分别为(0,0)和(1,2)？请说明理由；(2)设“核心三角形”ABC 的一边AB 所在直线的斜率为4，求直线AB 的方程；(3)已知△ABC 是“核心三角形”，证明：点A 的横坐标小于2. [解] (1)抛物线Г：y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，由F A →＋FB →＋FC →＝0，得1＝x A ＋x B ＋x C 3，0＝y A ＋y B ＋y C3，故第三个顶点的坐标为3(1,0)－(0,0)－(1,2)＝(2，－2)，但点(2，－2)不满足抛物线的方程，即点(2，－2)不在抛物线上，所以这样的“核心三角形”不存在．(2)设直线AB 的方程为y ＝4x ＋t ，与y 2＝4x 联立，可得y 2－y ＋t ＝0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)， y 1＋y 2＝1，x 1＋x 2＝14(y 1＋y 2－2t )＝14－12t ， 由(x 1＋x 2＋x 3，y 1＋y 2＋y 3)＝(3,0)， 可得x 3＝12t ＋114，y 3＝－1， 代入方程y 2＝4x ，可得11＋2t ＝1， 解得t ＝－5，所以直线AB 的方程为4x －y －5＝0.(3)证明：设直线BC 的方程为x ＝ny ＋m ，与y 2＝4x 联立，可得y 2－4ny －4m ＝0，因为直线BC 与抛物线相交，故判别式Δ＝16(n 2＋m )＞0，y 1＋y 2＝4n ， 所以x 1＋x 2＝n (y 1＋y 2)＋2m ＝4n 2＋2m ， 可得点A 的坐标为(－4n 2－2m ＋3，－4n )， 又因为A 在抛物线上，故16n2＝－16n2－8m＋12，可得m＝－4n2＋3，2，因为m＞－n2，所以n2＜12故A的横坐标为－4n2－2m＋3＝－4n2＋8n2＝4n2＜2.。
初中抛物线经典练习题(含详细答案)
初中数学抛物线经典试题集锦【编著】黄勇权【第一组题型】1、已知二次函数y=x²+bx+c过点A（2,0），C（0, -8）（1）求此二次函数的解析式，（2）在抛物线上存在一点p使△ABP的面积为15，请直接写出p点的坐标。
2、在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=2x²+mx+n经过点A（5，0），B（2，-6）．（1）求抛物线的表达式及对称轴（2）设点B关于原点的对称点为C，写出过A、C两点直线的表达式。
3、在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的顶点C为（2，4），并在x轴上截得的长度为6。
（1）写出抛物线与x轴交点A、B的坐标（2）求该抛物线的表达式（3）写出抛物线与y轴交点P的坐标4、直线的解析式为y=2x+4，交x轴于点A，交y轴于点B，若以A 为顶点,，且开口向下作抛物线，交直线AB于点D，交y轴负半轴于点C，（1）若△ABC的面积为20，求此时抛物线的解析式（2）若△BDO的面积为8，求此时抛物线的解析式【答案】1、已知二次函数y=x²+bx+c过点A（2,0），C（0, -8）（1）求此二次函数的解析式，（2）在抛物线上存在一点p使△ABP的面积为15，请直接写出p点的坐标。
解：【第一问】因为函数y=x²+bx+c过点A（2,0），C（0, -8）分别将x=2，y=0代入y=x²+bx+c，得0=4+2b+c-----①将x=0，y=-8代入y=x²+bx+c，得-8=c-------------②将②代入①，解得：b=2--------------------------------------③此时，将②③代入y=x²+bx+c，所以：二次函数的解析式y=x²+ 2x -8【第二问】△ABP的面积= 12│AB│*│y p│----------------------④因为A、B两点在x轴上，令x²+ 2x -8=0（x-2）（x+4）=0解得：x1=2，x2= -4所以：│AB│=│X1- X2│=│2-（- 4）│=6------⑤又△ABP的面积=15-------------------------------------⑥由④⑤⑥，得：12*6*│y p│=15│y p│=5 故有：y p= ±5即：p点的纵坐标为5或-5.把y=5代入y=x²+ 2x -8，即：5=x²+ 2x -8x²+ 2x -13=0解得：x= -1± 14那么，此时p点坐标（-1+ 14，5），（-1- 14，5）-------⑦把y=-5代入y=x²+ 2x -8，即：-5=x²+ 2x -8x²+ 2x -3=0（x-1）（x+3）=0解得：x= 1或x= -3那么，此时p点坐标（1，-5），（-3，-5）------------------⑧由⑦⑧得，使△ABP的面积为15，p点坐标是：（-1+ 14，5），（-1- 14，5），（1，-5），（-3，-5）2、在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=2x²+mx+n经过点A（5，0），B（2，-6）．（1）求抛物线的表达式及对称轴（2）设点B关于原点的对称点为C，写出过A、C两点直线的表达式。
抛物线的方程及性质(分层练习)
抛物线的方程及性质（分层练习）[基础训练]1．[2020福建厦门一模]若抛物线x 2＝ay 的焦点到准线的距离为1，则a ＝( )A ．2B ．4C ．±2D ．±4答案：C 解析：∵x 2＝ay ＝2·a2·y ，∴p ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 2＝1，∴a ＝±2，故选C.2．已知抛物线C: y 2＝x 的焦点为F ，A (x 0，y 0)是C 上一点，|AF |＝32x 0，则x 0＝( )A.14 B ．12 C ．1D ．2答案：B 解析：由题意知，抛物线的准线为x ＝－14， 因为|AF |＝32x 0，根据抛物线的定义可得 x 0＋14＝|AF |＝32x 0，解得x 0＝12.3．[2020江西萍乡一模]已知动圆C 经过点A (2,0)，且截y 轴所得的弦长为4，则圆心C 的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线答案：D 解析：设圆心C (x ，y )，截y 轴所得弦为BD ，过点C 作CE ⊥y轴，垂足为E ，则|BE |＝2，则有|CA |2＝|BC |2＝|BE |2＋|CE |2，∴(x －2)2＋y 2＝22＋x 2，化为y 2＝4x ，则圆心C 的轨迹为抛物线．故选D. 4．[2020河南洛阳模拟]已知点M 是抛物线C ：y 2＝2px (p >0)上一点，F 为C 的焦点，MF 的中点坐标是(2,2)，则p 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案：D 解析：F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，那么M ⎝ ⎛⎭⎪⎫4－p 2，4在抛物线上，即16＝2p ⎝ ⎛⎭⎪⎫4－p 2，即p 2－8p ＋16＝0，解得p ＝4.5．过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点．若|AF |＝3，则△AOB 的面积为( )A.22 B ．2 C.322D ．22答案：C 解析：焦点F (1,0)，设A ，B 分别在第一、四象限，则点A 到准线l ：x ＝－1的距离为3，得A 的横坐标为2，纵坐标为22，AB 的方程为y ＝22(x －1)，与抛物线方程联立可得2x 2－5x ＋2＝0，所以B 的横坐标为12，纵坐标为－2，S △AOB ＝12×1×(22＋2)＝322.6．[2020海南海口模拟]过点F (0,3)，且和直线y ＋3＝0相切的动圆圆心轨迹方程是( )A ．y 2＝12xB ．y 2＝－12xC ．x 2＝－12yD ．x 2＝12y答案：D 解析：由已知条件知，动圆圆心到点F 和到直线y ＋3＝0的距离相等，所以动圆圆心轨迹是以点F (0,3)为焦点，直线y ＝－3为准线的抛物线，故其方程为x 2＝12y ，故选D.7．[2020豫南九校联考]已知点P 是抛物线x 2＝4y 上的动点，点P 在x 轴上的射影是点Q ，点A 的坐标是(8,7)，则|P A |＋|PQ |的最小值为( )A ．7B ．8C ．9D ．10答案：C 解析：如图，抛物线的焦点为F (0,1)，准线方程为y ＝－1，根据抛物线的定义知，|PF |＝|PM |＝|PQ |＋1.∴|P A |＋|PQ |＝|P A |＋|PM |－1＝|P A |＋|PF |－1≥|AF |－1＝82＋(7－1)2－1＝10－1＝9，当且仅当点P 在线段AF 上时，等号成立， 则|P A |＋|PQ |的最小值为9. 故选C.8．已知F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，|AF |＋|BF |＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为( )A.34 B ．1 C.54D ．74答案：C 解析：如图，过A ，B 及线段AB 的中点C 向抛物线的准线l 作垂线，垂足分别为A 1，B 1，C 1，CC 1交y 轴于C 0.由抛物线定义可知， |AA 1|＋|BB 1|＝|AF |＋|BF |， ∴|CC 0|＝|CC 1|－|C 1C 0| ＝12(|AA 1|＋|BB 1|)－|C 1C 0| ＝32－14＝54， 故选C.9．过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 作直线l 交抛物线于A ，B 两点，交准线于点C ，若CB→＝3BF →，则直线l 斜率为________． 答案：±22 解析：如图，过B 作BB 1垂直于准线，垂足为B 1，由抛物线定义可知，|BB 1|＝|BF |， ∵CB →＝3BF →，∴|BC |＝3|BB 1|. 在Rt △B 1BC 中，tan ∠B 1BC ＝2 2. ∴tan α＝22(α为倾斜角)． 由对称性可知，斜率还可等于－2 2. ∴斜率为±2 2.10．[2020湖南衡阳联考]已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，过点(－1,0)的直线与C 交于A ，B 两点．若4|F A |＋|FB |的最小值为19，则抛物线C 的标准方程为________．答案：y 2＝12x 解析：设AB ：y ＝k (x ＋1)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋1)，y 2＝2px ，得k 2x 2＋2(k 2－p )x ＋k 2＝0，则x 1x 2＝1,4|F A |＋|FB |＝4x 1＋x 2＋52p ＝4x 1＋1x 1＋52p ≥4＋52p ＝19⎝ ⎛⎭⎪⎫当x 1＝12时等号成立，得p ＝6，则抛物线C 的标准方程为y 2＝12x .11．[2019全国卷Ⅰ]已知点A ，B 关于坐标原点O 对称，|AB |＝4，⊙M 过点A ，B 且与直线x ＋2＝0相切．(1)若A 在直线x ＋y ＝0上，求⊙M 的半径．(2)是否存在定点P ，使得当A 运动时，|MA |－|MP |为定值？并说明理由． 解：(1)因为⊙M 过点A ，B ，所以圆心M 在AB 的垂直平分线上．由已知A 在直线x ＋y ＝0上，且A ，B 关于坐标原点O 对称，所以M 在直线y ＝x 上，故可设M (a ，a )．因为⊙M 与直线x ＋2＝0相切， 所以⊙M 的半径为r ＝|a ＋2|. 由已知得|AO |＝2，又MO ⊥AO ，故可得2a 2＋4＝(a ＋2)2，解得a ＝0或a ＝4. 故⊙M 的半径r ＝2或r ＝6.(2)证明：存在定点P (1,0)，使得|MA |－|MP |为定值． 理由如下：设M (x ，y )，由已知得⊙M 的半径为r ＝|x ＋2|，|AO |＝2，由于MO ⊥AO ，故可得x 2＋y 2＋4＝(x ＋2)2，化简得M 的轨迹方程为y 2＝4x . 因为曲线C ：y 2＝4x 是以点P (1,0)为焦点，以直线x ＝－1为准线的抛物线， 所以|MP |＝x ＋1.因为|MA |－|MP |＝r －|MP |＝x ＋2－(x ＋1)＝1，所以存在满足条件的定点P .[强化训练]1．[2020广东广州一模]已知F 为抛物线C ：y 2＝6x 的焦点，过点F 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，且|AF |＝3|BF |，则|AB |＝( )A ．6B ．8C ．10D ．12答案：B 解析：抛物线y 2＝6x 的焦点坐标为F ⎝⎛⎭⎪⎫32，0，准线方程为x ＝－32，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∵|AF |＝3|BF |，∴x 1＋32＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋32， ∴x 1＝3x 2＋3，∵|y 1|＝3|y 2|，∴x 1＝9x 2， ∴x 1＝92，x 2＝12，∴|AB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋32＝8. 故选B.2．[2020湖北四地七校联考]已知抛物线y 2＝2px (p >0)，点C (－4,0)．过抛物线的焦点作垂直于x 轴的直线，与抛物线交于A ，B 两点，若△CAB 的面积为24.则以直线AB 为准线的抛物线的标准方程是( )A ．y 2＝4xB ．y 2＝－4xC ．y 2＝8xD ．y 2＝－8x答案：D 解析：因为AB ⊥x 轴，且AB 过点F ， 所以AB 是焦点弦，且|AB |＝2p ，所以S △CAB ＝12×2p ×⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2＋4＝24，解得p ＝4或p ＝－12(舍)， 所以抛物线方程为y 2＝8x ， 所以直线AB 的方程为x ＝2，所以以直线AB 为准线的抛物线的标准方程为y 2＝－8x ， 故选D.3．[2020重庆一中模拟]过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 作斜率为3的直线，与抛物线在第一象限内交于点A ，若|AF |＝4，则p ＝( )A ．4B ．2C ．1D ．3答案：B 解析：设A (x 0，y 0)，过A 作x 轴的垂线交x 轴于点M ，在Rt △AMF 中，|AF |＝4，由于AF 所在直线的斜率为3， 所以∠AFM ＝60°，则|FM |＝2，故x 0＝p 2＋2，|AF |＝x 0＋p 2＝4，得x 0＝4－p 2，所以p 2＋2＝4－p2，解得p ＝2.故选B.4．已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的动点，点P 到准线的距离为d ，且点P 在y 轴上的射影是M ，点A ⎝⎛⎭⎪⎫72，4，则|P A |＋|PM |的最小值是( )A.72 B ．4 C.92D ．5答案：C 解析：设抛物线y 2＝2x 的焦点为F ，则F ⎝⎛⎭⎪⎫12，0.又点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫72，4在抛物线的外侧，抛物线的准线方程为x ＝－12，则|PM |＝d －12. 又|P A |＋d ＝|P A |＋|PF |≥|AF |＝5， 所以|P A |＋|PM |≥92.5．设F 为抛物线y 2＝6x 的焦点，A ，B ，C 为该抛物线上三点．若F A →＋FB →＋FC →＝0，则|F A →|＋|FB→|＋|FC →|＝( ) A ．4 B ．6 C ．9D ．12答案：C 解析：由题意，得抛物线的焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，准线方程为x ＝－32. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，∵F A →＋FB →＋FC →＝0，∴点F 是△ABC 的重心， ∴x 1＋x 2＋x 3＝92. 由抛物线的定义，可得|F A →|＝x 1－⎝⎛⎭⎪⎫－32＝x 1＋32，|FB →|＝x 2－⎝⎛⎭⎪⎫－32＝x 2＋32，|FC →|＝x 3－⎝⎛⎭⎪⎫－32＝x 3＋32，∴|F A →|＋|FB →|＋|FC →|＝x 1＋32＋x 2＋32＋x 3＋32＝9. 6．[2020安徽合肥一模]已知过抛物线y 2＝42x 焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，AF→＝3FB →，抛物线的准线l 与x 轴交于点C ，AM ⊥l 于点M ，则四边形AMCF 的面积为( )A ．123B ．12C ．83D ．63答案：A 解析：由题意得，直线AB 的斜率不为0，设直线AB 的方程为x ＝my ＋2，将其与y 2＝42x 联立可得y 2－42my －8＝0，设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，则y A y B ＝－8.∵AF →＝3FB →，∴y B＝－13y A， ∴y 2A ＝24，则y A ＝±26，24＝42x A ， 可得x A ＝32，|AM |＝x A ＋p2＝32＋2＝42，四边形AMCF 的面积为12(|CF |＋|AM |)×|y A |＝12×(22＋42)×26＝12 3. 故选A.7．[2020名校联盟模拟]直线l 与抛物线y 2＝2px (p >0)交于A ，B 两点，O 为坐标原点，OA ⊥OB ，若△AOB 的面积的最小值为4，则抛物线的方程为( )A ．y 2＝xB ．y 2＝2xC ．y 2＝4xD ．y 2＝8x答案：B 解析：设直线l ：x ＝λy ＋m ，代入抛物线方程，得y 2－2pλy －2pm ＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝2pλ，y 1y 2＝－2pm .∵OA ⊥OB ，∴OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝y 21y 222p ·2p ＋y 1y 2＝0，即y 1y 2＝－4p 2，∴－2pm ＝－4p 2，∴m ＝2p . ∴直线l 恒过点M (2p,0)． ∴S △AOB ＝12|OM ||y 1－y 2| ＝12×2p (y 1＋y 2)2－4y 1y 2 ＝p (2pλ)2＋16p 2 ＝2p 2λ2＋4，当且仅当λ＝0时，S △AOB 取最小值4p 2，由4p 2＝4得p ＝1，故抛物线的方程为y 2＝2x .故选B.8．[2020河南郑州模拟]已知抛物线C ：y 2＝2x ，过原点作两条互相垂直的直线分别交C 于A ，B 两点(A ，B 均不与坐标原点重合)，则抛物线的焦点F 到直线AB 的距离的最大值为( )A ．2B ．3 C.32D ．4答案：C 解析：设直线AB 的方程为x ＝my ＋t ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋t ，y 2＝2x⇒y 2－2my －2t ＝0⇒y 1y 2＝－2t ， 由OA ⊥OB ⇒x 1x 2＋y 1y 2＝(y 1y 2)24＋y 1y 2＝0⇒y 1y 2＝－4， ∴t ＝2，即直线AB 过定点(2,0)．∴抛物线的焦点F 到直线AB 的距离的最大值为2－12＝32.故选C.9．[2020河南安阳一模]已知抛物线C 1：y ＝ax 2(a >0)的焦点F 也是椭圆C 2：y 24＋x 2b 2＝1(b >0)的一个焦点，点M ，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，1分别为曲线C 1，C 2上的点，则|MP |＋|MF |的最小值为________．答案：2 解析：将P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，1代入y 24＋x 2b 2＝1，可得14＋94b 2＝1，∴b ＝3，∴c ＝1，∴抛物线的焦点F 为(0,1)， ∴抛物线C 1的方程为x 2＝4y ，准线为直线y ＝－1. 设点M 在准线上的射影为D ， 根据抛物线的定义可知，|MF |＝|MD |，∴要求|MP |＋|MF |的最小值，即求|MP |＋|MD |的最小值，易知当D ，M ，P 三点共线时，|MP |＋|MD |最小，最小值为1－(－1)＝2.10．[2020湖北武汉一模]设抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，准线为l .过焦点的直线分别交抛物线于A ，B 两点，分别过点A ，B 作l 的垂线，垂足分别为点C ，D .若|AF |＝2|BF |，且△CDF 的面积为2，则p 的值为________．答案：233 解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．因为直线AB 过焦点F ，所以y 1y 2＝－p 2. 不妨设点A 在第一象限，因为|AF |＝2|BF |，所以|y 1|＝2|y 2|，所以－2y 22＝－p 2.解得y 2＝－22p ，所以y 1＝－2y 2＝2p . 所以S △CDF ＝12|y 1－y 2|×p ＝12×322p 2＝2， 解得p ＝233.11．[2020北京二中模拟]已知抛物线y 2＝2px (p >0)过点A (2，y 0)，且点A 到其准线的距离为4.(1)求抛物线的方程；(2)直线l ：y ＝x ＋m 与抛物线交于两个不同的点P ，Q ，若OP ⊥OQ ，求实数m 的值．解：(1)已知抛物线y 2＝2px (p >0)过点A (2，y 0)，且点A 到准线的距离为4， ∴2＋p2＝4，∴p ＝4， ∴抛物线的方程为y 2＝8x .(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，y 2＝8x ，得x 2＋(2m －8)x ＋m 2＝0.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝8－2m ，x 1x 2＝m 2，y 1＋y 2＝x 1＋x 2＋2m ＝8，y 1y 2＝(x 1＋m )(x 2＋m )＝x 1x 2＋m (x 1＋x 2)＋m 2＝8m . ∵OP ⊥OQ ，∴x 1x 2＋y 1y 2＝m 2＋8m ＝0， ∴m ＝0或m ＝－8.经检验，当m ＝0时，直线与抛物线交点中有一点与原点O 重合，不符合题意．当m ＝－8时，Δ＝242－4×64>0，符合题意． 综上，实数m 的值为－8.。
(完整版)抛物线练习题(含答案)
抛物线练习题一、选择题1．在直角坐标平面内，到点(1,1)和直线 x＋ 2y＝ 3 距离相等的点的轨迹是 ()A ．直线B．抛物线C．圆D．双曲线2．抛物线 y2＝ x 上一点 P 到焦点的距离是 2，则 P 点坐标为 ()3，± 67，± 79，± 35，± 10A. 22B. 42C. 42D. 223．抛物线 y＝ ax2的准线方程是y＝ 2，则 a 的值为 ()11A. 8 B ．－8C． 8D．－ 84．设抛物线 y2＝ 8x 上一点 P 到 y 轴的距离是4，则点 P 到该抛物线焦点的距离是 ()A ．4B ． 6C． 8D． 125．设过抛物线的焦点 F 的弦为 AB，则以 AB 为直径的圆与抛物线的准线的地址关系是()A ．订交B ．相切C．相离D．以上答案都有可能6．过点 F(0,3)且和直线 y＋ 3＝0 相切的动圆圆心的轨迹方程为 ()A ．y2＝ 12xB ．y2＝－ 12x C． x2＝ 12y D ．x2＝－ 12y7．抛物线 y2＝ 8x 上一点 P 到 x 轴距离为12，则点 P 到抛物线焦点 F 的距离为 ()A ．20B ．8C． 22D． 248．抛物线的极点在坐标原点，焦点是椭圆4x2＋ y2＝ 1 的一个焦点，则此抛物线的焦点到准线的距离为 ()11A． 2 3 B. 3 C.2 3 D.4 39．设抛物线的极点在原点，其焦点F 在 y 轴上，又抛物线上的点(k，－ 2)与 F 点的距离为4，则 k 的值是 ()A． 4 B ． 4 或－ 4C．－ 2 D ．2 或－ 212的焦点坐标是 ()10．抛物线 y＝m x (m<0)A.0，mB. 0，－mC. 0，1D. 0，－1 444m4m11．抛物线的极点在原点，对称轴是x 轴，抛物线上的点(－5,2 5) 到焦点的距离是6，则抛物线的方程为 ()A． y2＝－ 2x B ．y2＝－ 4x C． y2＝ 2x D． y2＝－ 4x 或 y2＝－ 36x12．已知抛物线y2＝2px(p>0) 的准线与圆 (x－ 3)2＋ y2＝ 16 相切，则p 的值为 () 1A. 2 B ． 1C．2 D ．4二、填空题13．过抛物线焦点 F 的直线与抛物线订交于A 、B 两点，若A 、B 在抛物线准线上的射影是A 1、B 1，则∠ A 1FB 1=。
2024届高考数学复习：精选好题专项(抛物线)练习(附答案)
2024届高考数学复习：精选好题专项（抛物线）练习[基础巩固]一、选择题1．抛物线y＝14x2的焦点到其准线的距离为()A．1 B．2C．12D．182．已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线经过点(－1，1)，则该抛物线的焦点坐标为() A．(－1，0) B．(1，0)C．(0，－1) D．(0，1)3．动点M到点F(2，1)的距离和到直线l：3x＋4y－10＝0的距离相等，则动点M的轨迹为()A．抛物线B．直线C．线段D．射线4．若抛物线y2＝2px的焦点与双曲线x23－y2＝1的右焦点重合，则p的值为()A．－4 B．4C．－2 D．25．[2022ꞏ全国乙卷(文)，6] 设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，点A在C上，点B(3，0)，若|AF|＝|BF|，则|AB|＝()A.2 B．22C．3 D．326．若抛物线y2＝2px(p>0)的焦点是椭圆x23p＋y2p＝1的一个焦点，则p＝()A．2 B．3C．4 D．87.如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A，B，C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝4，则抛物线的方程为()A．y2＝8x B．y2＝4xC．y2＝2x D．y2＝x8．设坐标原点为O ，抛物线y 2＝2x 与过焦点的直线交于A ，B 两点，则OA → ꞏOB →等于( )A ．34B ．－34C ．3D ．－39．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，准线为l ，过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，过点A 作准线l 的垂线，垂足为E ，当A 点坐标为(3，y 0)时，△AEF 为正三角形，则此时△OAB 的面积为( )A ．433 B ．3C ．233D ．33二、填空题10．[2021ꞏ新高考Ⅰ卷]已知O 为坐标原点，抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，P 为C 上一点，PF 与x 轴垂直，Q 为x 轴上一点，且PQ ⊥OP ，若|FQ |＝6，则C 的准线方程为________．11．[2023ꞏ全国乙卷(理)]已知点A ()1，5 在抛物线C ：y 2＝2px 上，则A 到C 的准线的距离为________．12．已知直线y ＝kx ＋2与抛物线y 2＝8x 有且只有一个公共点，则k 的值为________．[强化练习]13．(多选)[2023ꞏ新课标Ⅱ卷]设O 为坐标原点，直线y ＝－3 (x －1)过抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点，且与C 交于M ，N 两点，l 为C 的准线，则( )A ．p ＝2B ．|MN |＝83C ．以MN 为直径的圆与l 相切D ．△OMN 为等腰三角形 14．抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，一条平行于x 轴的光线从点M (3，1)射出，经过抛物线上的点A 反射后，再经抛物线上的另一点B 射出，则△ABM 的周长为( )A ．7112 ＋26 B ．9＋26C ．9＋10D ．8312 ＋2615．已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，准线为l ，抛物线C 有一点P ，过点P 作PM ⊥l ，垂足为M ，若等边△PMF 的面积为43 ，则p ＝________．16．过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 作倾斜角为60°的直线，与抛物线分别交于A ，B两点(点A 在x 轴上方)，则|AF ||BF | ＝________.参考答案1．B y ＝14 x 2可化为x 2＝4y ，则焦点到准线的距离为12 ×4＝2.2．B ∵y 2＝2px 的准线为x ＝－p 2 ，又准线过点(－1，1)，∴－p2 ＝－1，∴p ＝2，故其焦点坐标为(1，0).3．B ∵F (2，1)在直线l ：3x ＋4y －10＝0上，∴动点M 的轨迹为过点F 且与直线l 垂直的直线．4．B ∵x 23 －y 2＝1的右焦点为(2，0)，∴p2 ＝2，p ＝4.5．B 由已知条件，易知抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1，0)，准线方程为x ＝－1.又B (3，0)，则|AF |＝|BF |＝2.不妨设点A 在第一象限，则A (x 0，2x 0 ).根据抛物线的定义可知x 0－(－1)＝2，所以x 0＝1，所以A (1，2)，所以|AB |＝（1－3）2＋（2－0）2 ＝22 .故选B.6．D 由题意，知抛物线的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫p 2，0 ，椭圆的焦点坐标为(±2p ，0)，所以p 2 ＝2p ，解得p ＝8，故选D.7．B如图，分别过点A ，B 作准线的垂线，交准线于点E ，D ，设准线与x 轴交于点G ，设|BF |＝a ，则由已知得|BC |＝2a ，由定义得|BD |＝a ，故∠BCD ＝30°，在Rt △ACE 中，∵|AF |＝4，|AC |＝4＋3a ，∴2|AE |＝|AC |，∴4＋3a ＝8，从而得a ＝43 ，∵AE ∥FG ，∴FG AE ＝CF AC ，即p 4 ＝48 ，得p ＝2.∴抛物线方程为y 2＝4x .故选B.8．B 当AB 与x 轴垂直时，A ⎝⎛⎭⎫12，1 ，B ⎝⎛⎭⎫12，－1 ，OA → ꞏOB → ＝12 ×12 ＋1×(－1)＝－34 ；当AB 与x 轴不垂直时，设l ：y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －12 ， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －12，y 2＝2x ，得k 2x 2－(k 2＋2)x ＋k 24 ＝0 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)由韦达定理得x 1＋x 2＝k 2＋2k 2 ，x 1x 2＝14 ，∴OA → ꞏOB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋k 2⎝⎛⎭⎫x 1－12 ⎝⎛⎭⎫x 2－12 ＝(1＋k 2)x 1x 2－12 k 2(x 1＋x 2)＋k 24 ＝－34 . 9．A 不妨设点A 在第一象限，如图所示，过点F 作AE 的垂线，垂足为H ，由题知当A 的坐标为(3，y 0)时△AEF 为正三角形，此时H 为AE 的中点，|AE |＝3＋p 2 ，|EH |＝p ，∴2p ＝3＋p2 ，解得p ＝2，∴y 2＝4x ，A (3，23 )，F (1，0)，∴k AF ＝3 ，直线AF 的方程为y ＝3 (x －1)，代入抛物线方程得3(x －1)2＝4x .设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，解得x 1＝3，x 2＝13 ，此时y 1＝23 ，y 2＝－233 ，∴S △AOB ＝S △OFB ＋S △OF A ＝12 ×1×⎝⎛⎭⎫233＋23 ＝433 ，故选A. 10．x ＝－32答案解析：抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0 ，∵P 为C 上一点，PF 与x 轴垂直，所以P 的横坐标为p2 ，代入抛物线方程求得P 的纵坐标为±p ，不妨设P (p2 ，p )，因为Q 为x 轴上一点，且PQ ⊥OP ，所以Q 在F 的右侧， 又∵|FQ |＝6，∴Q (6＋p 2 ，0)，∴PQ →＝(6，－p )因为PQ ⊥OP ，所以PQ → ꞏOP →＝p 2 ×6－p 2＝0， ∵p >0，∴p ＝3，所以C 的准线方程为x ＝－32 . 11.94答案解析：将点A 的坐标代入抛物线方程，得5＝2p ，于是y 2＝5x ，则抛物线的准线方程为x ＝－54 ，所以A 到准线的距离为1－⎝⎛⎭⎫－54 ＝94. 12．0或1答案解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，y 2＝8x ， 得k 2x 2＋(4k －8)x ＋4＝0， 若k ＝0，满足题意；若k ≠0，则Δ＝(4k －8)2－4×4k 2＝0，得k ＝1.综上得k ＝0或k ＝1.13．AC 由题意，易知直线y ＝－3 (x －1)过点(1，0).对于A ，因为直线经过抛物线C 的焦点，所以易知焦点坐标为(1，0)，所以p2 ＝1，即p ＝2，所以A 选项正确．对于B ，不妨设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，x 1<x 2，联立方程得⎩⎨⎧y ＝－3（x －1）y 2＝4x，消去y并整理得3x 2－10x ＋3＝0，解得x 1＝13 ，x 2＝3.所以M (13 ，233 )，N (3，－23 )，所以由两点间距离公式可得|MN |＝（3－13）2－（－23－233）2 ＝163 ，故B 选项错误．对于C ，由以上分析易知，l 的方程为x ＝－1，以MN 为直径的圆的圆心坐标为(53 ，－233)，半径r ＝12 |MN |＝83 ＝53 ＋1，所以以MN 为直径的圆与l 相切，故C 选项正确． 对于D ，由两点间距离公式可得|MN |＝163 ，|OM |＝133 ，|ON |＝21 ，故D 选项错误．综上，选AC.14．B 令y ＝1，得x ＝14 ，即A ⎝⎛⎭⎫14，1 . 由抛物线的光学性质可知AB 经过焦点F ，设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，代入y 2＝4x .消去y ，得k 2x 2－2(k 2＋2)x ＋k 2＝0.则x A x B ＝1，所以x B ＝1x A＝4.|AB |＝x A ＋x B ＋p ＝254 .将x ＝4代入y 2＝4x 得y ＝±4，故B (4，－4). 故|MB |＝（4－3）2＋（－4－1）2 ＝26 .故△ABM 的周长为|MA |＋|MB |＋|AB |＝⎝⎛⎭⎫3－14 ＋26 ＋254 ＝9＋26 .故选B. 15．2答案解析：设准线l 和x 轴交于N 点，PM 平行于x 轴，∠PMF ＝∠MFN ＝60°，由抛物线的定义得到|NF |＝p ，故|MF |＝2p ，故34 (2p )2＝43 ，∴p ＝2.16．3答案解析：如图所示，由题意得准线l ：x ＝－p2 .作AC ⊥l 于点C ，BD ⊥l 于点D ，BH ⊥AC 于点H ，则|AF |＝|AC |，|BF |＝|BD |，|AH |＝|AC |－|BD |＝|AF |－|BF |，因为在Rt △AHB 中，∠HAB ＝60°，所以cos 60°＝|AH ||AB | ＝|AF |－|BF ||AF |＋|BF |，即12 (|AF |＋|BF |)＝|AF |－|BF |，得|AF ||BF | ＝3.。
高中抛物线知识点归纳总结与练习题(含答案)
则 AFK 的面积为
。
7、已知双曲线 x2 y2 1，则以双曲线中心为焦点，以双曲线左焦点为顶点的抛物线方程 45
为
。
8、在平面直角坐标系 xoy 中，有一定点 A(2,1) ,若线段 OA 的垂直平分线过抛物线
y2 2 px( p 0) 焦点，则该抛物线的方程是
高中抛物线知识点归纳总结与练习题
y 2 2 px ( p 0)
抛
y l
物
线
OF x
y 2 2 px ( p 0)
y l
FO x
x 2 2 py ( p 0)
y
F
O
x
l
x 2 2 py ( p 0)
y l
O x
F
定义 范围
平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点 F 叫 做抛物线的焦点，直线 l 叫做抛物线的准线。
二． 关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法
直线 l ： y kx b 抛物线
1 联立方程法：
y kx b
y
2
2
px
k 2x22源自kbp)x
b2
0
， ( p 0)
设交点坐标为 A(x1, y1) , B(x2, y2 ) ，则有 0 ,以及 x1 x2, x1x2 ，还可进一步求出
距离之和的最小值为
。
3、直线 y x 3 与抛物线 y2 4x 交于 A, B 两点，过 A, B 两点向抛物线的准线作垂线，垂足分
别为 P,Q ，则梯形 APQB 的面积为
。
4、设 O 是坐标原点， F 是抛物线 y2 2 px( p 0) 的焦点， A 是抛物线上的一点， FA 与 x 轴正
(完整版)抛物线练习题(含答案)
抛物线练习题一、选择题1．在直角坐标平面内，到点(1,1)和直线x ＋2y ＝3距离相等的点的轨迹是( )A ．直线B ．抛物线C ．圆D ．双曲线2．抛物线y 2＝x 上一点P 到焦点的距离是2，则P 点坐标为( )A.⎝⎛⎭⎫32，±62B.⎝⎛⎭⎫74，±72C.⎝⎛⎭⎫94，±32D.⎝⎛⎭⎫52，±102 3．抛物线y ＝ax 2的准线方程是y ＝2，则a 的值为( )A.18 B ．－18C ．8D ．－8 4．设抛物线y 2＝8x 上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是( )A ．4B ．6C ．8D ．125．设过抛物线的焦点F 的弦为AB ，则以AB 为直径的圆与抛物线的准线的位置关系是( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．以上答案都有可能6．过点F (0,3)且和直线y ＋3＝0相切的动圆圆心的轨迹方程为( )A ．y 2＝12xB ．y 2＝－12xC ．x 2＝12yD ．x 2＝－12y7．抛物线y 2＝8x 上一点P 到x 轴距离为12，则点P 到抛物线焦点F 的距离为( )A ．20B ．8C ．22D ．248．抛物线的顶点在坐标原点，焦点是椭圆4x 2＋y 2＝1的一个焦点，则此抛物线的焦点到准线的距离为( )A ．2 3 B. 3 C.12 3 D.143 9．设抛物线的顶点在原点，其焦点F 在y 轴上，又抛物线上的点(k ，－2)与F 点的距离为4，则k 的值是( )A ．4B ．4或－4C ．－2D ．2或－210．抛物线y ＝1mx 2(m <0)的焦点坐标是( ) A.⎝⎛⎭⎫0，m 4 B.⎝⎛⎭⎫0，－m 4 C.⎝⎛⎭⎫0，14m D.⎝⎛⎭⎫0，－14m 11．抛物线的顶点在原点，对称轴是x 轴，抛物线上的点(－5,25)到焦点的距离是6，则抛物线的方程为( )A ．y 2＝－2xB ．y 2＝－4xC ．y 2＝2xD ．y 2＝－4x 或y 2＝－36x12．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线与圆(x －3)2＋y 2＝16相切，则p 的值为( )A.12 B ．1 C ．2 D ．4二、填空题13．过抛物线焦点F的直线与抛物线相交于A、B两点，若A、B在抛物线准线上的射影是A1、B1，则∠A1FB1= 。
2025届高考数学复习：压轴好题专项(抛物线中的切线问题)练习(附答案)
2025届高考数学复习：压轴好题专项(抛物线中的切线问题)练习1.（2023届云南省名校高三上学期月考）已知抛物线()2:20E x py p =>的焦点为F ,斜率为()0k k ≠的直线l 与E 相切于点A .(1)当=2k ,=5AF 时,求E 的方程；(2)若直线l '与l 平行,l '与E 交于B ,C 两点,且2BAC π∠=,设点F 到l '的距离为1d ,到l 的距离为2d ,试问：12d d 是否为定值？若是,求出定值；若不是,说明理由. 2.（2023届河南省北大公学禹州国际学校高三上学期月考）已知抛物线C 的顶点在坐标原点,焦点在y 轴的正半轴上,直线l ：10mx y +-=经过抛物线C 的焦点． (1)求抛物线C 的方程；(2)若直线l 与抛物线C 相交于A ,B 两点,过A ,B 两点分别作抛物线C 的切线,两条切线相交于点P ,求△ABP 面积的最小值．3．（2022届浙江省绍兴市高三上学期12月选考）已知抛物线C 的焦点是10,4⎛⎫⎪⎝⎭,如图,过点,(0)2⎫≤⎪⎪⎝⎭D t t 作抛物线C 的两条切线,切点分别是A 和B ,线段AB 的中点为M ．（1）求抛物线C 的标准方程； （2）求证：直线//MD y 轴；（3）以线段MD 为直径作圆,交直线AB 于MN ,求||||||||AB MN AB MN -+ 的取值范围．4．（2022届山东省济宁市高三上学期期末）已知抛物线E ：22y px =（0p >）上一点()01,C y 到其焦点F 的距离为2． （1）求实数p 的值；（2）若过焦点F 的动直线l 与抛物线交于A 、B 两点,过A 、B 分别作抛物线的切线1l 、2l ,且1l 、2l 的交点为Q ,1l 、2l 与y 轴的交点分别为M 、N ．求QMN 面积的取值范围． 5.（2022届百校联盟高三上学期12月联考）已知曲线C 上任意一点到1(1,0)F -,2(1,0)F 距离之和为3,抛物线E ：22y px =的焦点是点2F.（1）求曲线C 和抛物线E 的方程；（2）点()()000,0Q x y x <是曲线C 上的任意一点,过点Q 分别作抛物线E 的两条切线,切点分别为M ,N ,求QMN 的面积的取值范围．6．（2022届四川省达州高三上学期诊断）过定点()0,1的动圆始终与直线l ：1y =-相切. （1）求动圆圆心的轨迹C 的方程；（2）动点A 在直线l 上,过点A 作曲线C 的两条切线分别交x 轴于B ,D 两点,当ABD △的面积是32时,求点A 坐标. 7．（2022届四川省成都市高三上学期考试）已知抛物线()2:20C x py p =>的焦点为F .且F与圆()22:41M x y ++=上点的距离的最小值为4. （1）求抛物线的方程；（2）若点P 在圆M 上,PA ,PB 是C 的两条切线.A ,B 是切点,求PAB △面积的最大值.8．（2022届山西省怀仁市高三上学期期中）已知抛物线C ：()220y px p =>的焦点为F ,准线与x 轴交于D 点,过点F 的直线与抛物线C 交于A ,B 两点,且FA FB FA FB ⋅=+. （1）求抛物线C 的方程；（2）设P ,Q 是抛物线C 上的不同两点,且PF x ⊥轴,直线PQ 与x 轴交于G 点,再在x 轴上截取线段GE GD =,且点G 介于点E 点D 之间,连接PE ,过点Q 作直线PE 的平行线l ,证明l 是抛物线C 的切线.9.已知抛物线2:2C x py =,点()4,4M -在抛物线C 上,过点M 作抛物线C 的切线,交x 轴于点P ,点O 为坐标原点． (1)求P 点的坐标；(2)点E 的坐标为()2,1--,经过点P 的直线交抛物线于A ,B 两点,交线段OM 于点Q ,记EA ,EB ,EQ 的斜率分别为1k ,2k ,3k ,是否存在常数λ使得123k k k λ+=．若存在,求出λ的值,若不存在,请说明理由．10．如图,已知()()1122,,A x y B x y ､为二次函数2(0)y ax a =>的图像上异于顶点的两个点,曲线2y ax =在点()()1122,,A x y B x y ､处的切线相交于点()00,P x y .(1)利用抛物线的定义证明：曲线2y ax =上的每一个点都在一条抛物线上,并指出这条抛物线的焦点坐标和准线方程；(2)求证：102x x x ､､成等差数列,102y y y ､､成等比数列；(3)设抛物线2y ax =焦点为F ,过P 作PH 垂直准线l ,垂足为H ,求证：BPH APF ∠∠=. 11．已知抛物线22(0)x py p =>上的任意一点到(0,1)P 的距离比到x 轴的距离大1． (1)求抛物线的方程；(2)若过点(0,2)的直线l 与抛物线交于A ,B 两点,过A ,B 两点分别作抛物线的切线,两条切线交于点Q ,求QAB 重心G 的轨迹方程．12．已知抛物线()2:20C x py p =>的焦点为F ,点()02,P y -为抛物线上一点,抛物线C 在点P处的切线与y 轴相交于点Q ,且FPQ △的面积为2． (1)求抛物线的方程．(2)若斜率不为0的直线l 过焦点F ,且交抛物线C 于A ,B 两点,线段AB 的中垂线与y 轴交于点M ,证明：MFAB为定值． 13．（2022届新未来4月联考）已知直线:10l x ky k -+-=与抛物线2:2(0)C y px p =>交于A ,B 两点,过A ,B 两点且与抛物线C 相切的两条直线相交于点D ,当直线l x ⊥轴时,||4AB =．(1)求抛物线C 的标准方程； (2)求||OD 的最小值．14．过原点O 的直线与拋物线C ：22y px =（0p >）交于点A ,线段OA 的中点为M ,又点()3,0P p ,PM OA ⊥．在下面给出的三个条件中任选一个填在横线处,并解答下列问题：①OA =②PM =；③POM 的面积为（1）______,求拋物线C 的方程；（2）在（1）的条件下,过y 轴上的动点B 作拋物线C 的切线,切点为Q （不与原点O 重合）,过点B 作直线l 与OQ 垂直,求证：直线l 过定点． 注：如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分．15．已知抛物线22(0)x py y =>,其焦点为F ,抛物线上有相异两点()11,A x y ,()22,B x y ．（1）若//AF x 轴,且经过点A 的抛物线的切线经过点(1,0),求抛物线方程；（2）若2p =,且||||4AF BF +=,线段AB 的中垂线交x 轴于点C ,求ABC 面积的最大值． 16．设抛物线C ：22x py =（0p >）的焦点为F ,点(),2P m （0m >）在抛物线C 上,且满足3PF =．（1）求抛物线C 的标准方程；（2）过点()0,4G 的直线l 与抛物线C 交于A ,B 两点,分别以A ,B 为切点的抛物线C 的两条切线交于点Q ,求三角形PQG 周长的最小值．17．已知圆()22:21C x y +-=与定直线:1l y =-,且动圆M 与圆C 外切并与直线l 相切.（1）求动圆圆心M 的轨迹E 的方程；（2）已知点P 是直线1:2l y =-上一个动点,过点P 作轨迹E 的两条切线,切点分别为A 、B .①求证：直线AB 过定点； ②求证：PCA PCB ∠=∠.18.设抛物线C ：()220x py p =>,其焦点为 F ,准线为l ,点P 为C 上的一点,过点P 作直线l 的垂线,垂足为M ,且MF FP =,2FM FP ⋅=.（1）求抛物线C 的方程；（2）设点Q 为C 外的一点且Q 点不在坐标轴上,过点Q 作抛物线C 的两条切线,切点分别为A ,B ,过点Q 作y 轴的垂线,垂足为S ,连接 AS ,BS ,证明：直线AS 与直线BS 关于y 轴对称.参考答案1.（2023届云南省名校高三上学期月考）已知抛物线()2:20E x py p =>的焦点为F ,斜率为()0k k ≠的直线l 与E 相切于点A .(1)当=2k ,=5AF 时,求E 的方程；(2)若直线l '与l 平行,l '与E 交于B ,C 两点,且2BAC π∠=,设点F 到l '的距离为1d ,到l 的距离为2d ,试问：12d d 是否为定值？若是,求出定值；若不是,说明理由. 【过程详解】（1）由22x py =得22x y p=,则x y p '=, 令2x p =,则2x p =,即2A x p =,()2222A p y p p== 则252pAF p =+=,所以=2p ,故抛物线E 的方程为24x y =. （2）设()2002,2A pt pt ,()2112,2B pt pt ,()2222,2C pt pt , 则切线l 的斜率0022pt k t p==, 则切线l 的方程为：()2000222y pt t x pt -=-,即20022y t x pt =-,221212122222BCpt pt k t t pt pt -==+-. 直线l '的方程为()()2112122y pt t t x pt -=+-,化简得()12122y t t x pt t =+-,因为l l '∥,所以1202t t t +=,由2BAC π∠=得222210201020222212222pt pt pt pt pt pt pt pt --⋅=---, 则()()10201t t t t +=-+,即012213t t t =--, 即200:2260l t x y p pt '-++=.由0,2p F ⎛⎫⎪⎝⎭,则20136p pt d +=,2022p pt d +==所以20122013223122p t d d p t ⎛⎫+ ⎪⎝⎭==⎛⎫+ ⎪⎝⎭. 故12d d 是定值,定值为3.2.（2023届河南省北大公学禹州国际学校高三上学期月考）已知抛物线C 的顶点在坐标原点,焦点在y 轴的正半轴上,直线l ：10mx y +-=经过抛物线C 的焦点．(1)求抛物线C 的方程；(2)若直线l 与抛物线C 相交于A ,B 两点,过A ,B 两点分别作抛物线C 的切线,两条切线相交于点P ,求△ABP 面积的最小值．【过程详解】（1）由题意,设抛物线C 的方程为()220x py p =>,因为直线:10l mx y +-=经过()0,1,即抛物线C 的焦点(0,)2p F ,所以12p=,解得2p =, 所以抛物线C 的方程为24x y =.（2）设()11,A x y ､()22,B x y ,联立方程组2410x ymx y ⎧=⎨+-=⎩,整理得2440x mx +-=, 因为216160m ∆=+>,且124x x m +=-,124x x =-,()222121221212242444x x x x x x y y m +-+=+==+,()2221212414416x x y y -=⨯== 所以()21241AB y y p m =++=+,由24x y =,可得24x y =,则2x y '=, 所以抛物线C 经过点A 的切线方程是()1112x y y x x -=-,将2114x y =代入上式整理得21124x x y x =-,同理可得抛物线C 经过点B 的切线方程为22224x x y x =-,联立方程组2112222424x x y x x xy x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,解得1212,24x x x x x y +==,所以2,1x m y =-=-, 所以()2,1P m --到直线10mx y +-=的距离d ==所以ABP的面积()()322211414122S AB d m m ==⨯⨯+⨯=+,因为211m +≥,所以4S ≥,即当0m =时,4S =,所以ABP 面积的最小值为4.3．（2022届浙江省绍兴市高三上学期12月选考）已知抛物线C 的焦点是10,4⎛⎫⎪⎝⎭,如图,过点,(0)2⎫≤⎪⎪⎝⎭D t t 作抛物线C 的两条切线,切点分别是A 和B ,线段AB 的中点为M ．（1）求抛物线C 的标准方程； （2）求证：直线//MD y 轴；（3）以线段MD 为直径作圆,交直线AB 于MN ,求||||||||AB MN AB MN -+ 的取值范围．【过程详解】（1）设抛物线的方程为()220x py p =>,由题意可得124p =,所以12p =,所以抛物线方程2y x =. （2）由（1）2y x =,因为2y x '=,设1122(,),(,)A x y B x y , 直线AD 的方程为2112y x x x =-,直线BD 的方程为2222y x x x =-,联立上述两直线方程,得D 点坐标1212,2+⎛⎫⎪⎝⎭x x D x x ,又因为M 点为线段AB 的中点,所以M 点坐标1212,12+⎛⎫- ⎪⎝⎭x x M x x ,因为D M x x =,所以直线//MD y 轴：（3）因为点(0)2⎛⎫≤ ⎪ ⎪⎝⎭D t t ,所以12122x x x x t +==,则2⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭M t ,圆心1,22⎫⎪⎪⎝⎭,直线AB 的斜率为22121212x x k x x x x -==+=-直线AB 方程为y t =-, 2y xy t⎧=⎪⎨-⎪⎩,得20x t +=,24t ∆=-,||AB ==, 圆心到直线AB 的距离为d 半径||1222MD tr -==,||12)3MN t ==-（,1m =≥, ||||361||||33AB MN m AB MN m m --==-++++在m 1≥时单调递减,||||11,||||2-⎛⎤∈- ⎥+⎝⎦AB MN AB MN ．4．（2022届山东省济宁市高三上学期期末）已知抛物线E ：22y px =（0p >）上一点()01,C y 到其焦点F 的距离为2． （1）求实数p 的值；（2）若过焦点F 的动直线l 与抛物线交于A 、B 两点,过A 、B 分别作抛物线的切线1l 、2l ,且1l 、2l 的交点为Q ,1l 、2l 与y 轴的交点分别为M 、N ．求QMN 面积的取值范围． 【过程详解】（1）因为点()01,C y 到其焦点F 的距离为2,由抛物线的定义知122p+= 解得2p =（2）由上问可知,抛物线方程E ：24y x =设211,4y A y ⎛⎫ ⎪⎝⎭,222,4y B y ⎛⎫⎪⎝⎭,（10y ≠,20y ≠）,设l ：1x ty =+,联立241y xx ty ⎧=⎨=+⎩,得2440y ty --=, 判别式2=16160t ∆+>,故t ∈R124y y t +=,124y y =-设1l ：2114y y y k x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭联立方程组221144y xy y y k x ⎧=⎪⎛⎫⎨-=- ⎪⎪⎝⎭⎩,消x 得2211440ky y y ky -+-=,所以()()2221111Δ16444440k y ky ky k y =--=-+=所以12k y =则1l ：211124y y y x y ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭,即1122y y x y =+,令0x =,得10,2y M ⎛⎫⎪⎝⎭,同理2l ：2222y y x y =+,20,2y N ⎛⎫⎪⎝⎭, 联立11222222yy x y y y x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩,得交点Q 的横坐标为1214Q y y x ==-, ∴1211112222QMN Q y y S MN x =⋅=-⨯==≥△∴QMN 面积的取值范围是[)1,+∞．5.（2022届百校联盟高三上学期12月联考）已知曲线C 上任意一点到1(1,0)F -,2(1,0)F 距离抛物线E ：22y px =的焦点是点2F . （1）求曲线C 和抛物线E 的方程；（2）点()()000,0Q x y x <是曲线C 上的任意一点,过点Q 分别作抛物线E 的两条切线,切点分别为M ,N ,求QMN 的面积的取值范围．【过程详解】（1）依题意,曲线C 是以1(1,0)F -,2(1,0)F 为左右焦点,,则短半轴长b有222113b =-=,曲线C 的方程为：2214133x y +=,即223314x y +=,在22y px =中,12p =,即2p =, 所以曲线C 的方程为：223314x y +=,抛物线E 的方程为：24y x =.（2）显然,过点Q 的抛物线E 的切线斜率存在且不为0,设切线方程为：00()y y k x x -=-,由002()4y y k x x y x-=-⎧⎨=⎩消去x 并整理得：20004k y y y kx ⋅-+-=,依题意,200001()10k y kx x k y k ∆=--=-+=,设二切线斜率为12,k k ,则0120y k k x +=,1201k k x =,设斜率为1k 的切线所对切点11(,)M x y ,斜率为2k 的切线所对切点22(,)N x y , 因此,112y k =,222y k =,于是得21112(,)M k k ,22212(,)N k k ,2212121122(,)NM k k k k =-- , 直线MN 上任意点(,)P x y ,21112(,)MP x y k k =-- ,由//MP NM得： 222121*********()()(0x y k k k k k k -----=,化简整理得：121212220k k x y k k k k +-+=, 则直线MN 的方程为：00220x y y x -+=,点Q 到直线MN的距离2d =,||MN ====,则QMN的面积322200111||(224)2QMNy x S MN d =⋅==- ,而点()()000,0Q x y x <在曲线C 上,即22001134y x =-,00x ≤<,220000114443y x x x -=--+在0[x ∈上单调递减,当00x =时,200min 1(4)3y x -=,当0x =时,200max(4)y x -=于是有200143y x <-≤则32200(4)93y x <-≤,183QMN S <≤ 所以QMN的面积的取值范围是(,]183.6．（2022届四川省达州高三上学期诊断）过定点()0,1的动圆始终与直线l ：1y =-相切. （1）求动圆圆心的轨迹C 的方程；（2）动点A 在直线l 上,过点A 作曲线C 的两条切线分别交x 轴于B ,D 两点,当ABD △的面积是32时,求点A 坐标. 【过程详解】（1）设动圆圆心坐标为(),x y , 因为过定点()0,1的动圆始终与直线l ：1y =-相切, 可得1y =+,化简得24x y =, 即动圆圆心的轨迹方程C ：24x y =.（2）设动点()0,1A x -,根据题意过点A 作曲线C 的切线斜率存在, 设为()0k k ≠,所以切线方程为()01y k x x =--,联立方程组()204,1x y y k x x ⎧=⎪⎨=--⎪⎩,整理得204440x kx kx -++=,且2010k kx ∆=--=, 因为2010k kx --=有两不等实根,所以有两条切线,斜率分别设为1k ,2k ,所以120k k x +=,121k k =-,切线()101y k x x =--交x 轴于点011,0B x k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭,切线()201y k x x =--交x 轴于点021,0D x k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭,所以21001212111131222ABDk k S x x k k k k -=+--⨯===△, 32=,解得0x =, 所以点A 坐标为)1-或()1-.7．（2022届四川省成都市高三上学期考试）已知抛物线()2:20C x py p =>的焦点为F .且F与圆()22:41M x y ++=上点的距离的最小值为4. （1）求抛物线的方程；（2）若点P 在圆M 上,PA ,PB 是C 的两条切线.A ,B 是切点,求PAB △面积的最大值. 【过程详解】（1）抛物线C 的焦点为0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭,42pFM =+, 所以,F 与圆22:(4)1M x y ++=上点的距离的最小值为4142p+-=,解得2p =； 所以抛物线的方程为24x y =.（2）抛物线C 的方程为24x y =,即24x y =,对该函数求导得2x y '=, 设点()11,A x y ,()22,B x y ,()00,P x y , 直线PA 的方程为()1112x y y x x -=-,即112x xy y =-,即11220x x y y --=, 同理可知,直线PB 的方程为22220x x y y --=,由于点P 为这两条直线的公共点,则10102020220220x x y y x x y y --=⎧⎨--=⎩, 所以,点A 、B 的坐标满足方程00220x x y y --=, 所以,直线AB 的方程为00220x x y y --=,联立0022204x x y y x y --=⎧⎪⎨=⎪⎩,可得200240x x x y -+=, 由韦达定理可得1202x x x +=,1204x x y =,所以AB ===点P 到直线AB的距离为d =所以,()3220011422PABS AB d x y =⋅==-△, ()()2222000000041441215621x y y y y y y -=-+-=---=-++ ,由已知可得053y -≤≤-,所以,当05y =-时,PAB △的面积取最大值321202⨯=8．（2022届山西省怀仁市高三上学期期中）已知抛物线C ：()220y px p =>的焦点为F ,准线与x 轴交于D 点,过点F 的直线与抛物线C 交于A ,B 两点,且FA FB FA FB ⋅=+. （1）求抛物线C 的方程；（2）设P ,Q 是抛物线C 上的不同两点,且PF x ⊥轴,直线PQ 与x 轴交于G 点,再在x 轴上截取线段GE GD =,且点G 介于点E 点D 之间,连接PE ,过点Q 作直线PE 的平行线l ,证明l 是抛物线C 的切线.【过程详解】（1）解：设过点F 的直线方程为2p y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,()()1122,,,A x y B x y ,联立222p y k x y px⎧⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩,得()22222204k p k x pk p x -++=, 则22121222,4pk p p x x x x k ++=⋅=, 所以21222222p p pk pFA FB x x k ++=+++=, ()22212222222p k p p p FA FB x x k +⎛⎫⎛⎫⋅=++=+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭, 因为FA FB FA FB ⋅=+,所以()22222222222p k pk p p kk ++=+, 化简得()221210p p k ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭,所以2p =,当过点F 的直线斜率不存在时,则FA FB p ==,故22,FA FB p FA FB p +=⋅=,又因为FA FB FA FB ⋅=+, 则22p p =,所以2p =, 综上所述,2p =, 所以24y x =；（2）证明：不妨设点P 在第一象限, 则()()()1,2,1,0,1,0P D F -,设直线PQ 的方程为()21,0y m x m -=-≠,()33,Q x y ,联立()2214y m x y x ⎧-=-⎨=⎩,消元整理得22204m y y m --+=,则342y m +=,即342m y m -=故()2322m x m -=,即()22242,m m Q m m ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭, 当0y =时,21x m =-+,则21,0G m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭,又因GE GD =,且点G 介于点E 点D 之间,则G 为DE 的中点,所以43,0E m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭,则直线PE 的斜率为2422m m m =--,因为直线PE 平行直线l , 所以直线l 的斜率为2mm-, 故直线l 的方程为()222422m m m y x m m m ⎡⎤---=-⎢⎥-⎢⎥⎣⎦,即22m my x m m -=+-, 联立2224m m y x m m y x-⎧=+⎪-⎨⎪=⎩,消元整理得()22042m m y y m m --+=-, ()214042m mm m-∆=-⨯⋅=-,所以直线l 与抛物线只有一个交点, 有直线l 斜率不为0, 所以l 是抛物线C 的切线.9.已知抛物线2:2C x py =,点()4,4M -在抛物线C 上,过点M 作抛物线C 的切线,交x 轴于点P ,点O 为坐标原点． (1)求P 点的坐标；(2)点E 的坐标为()2,1--,经过点P 的直线交抛物线于A ,B 两点,交线段OM 于点Q ,记EA ,EB ,EQ 的斜率分别为1k ,2k ,3k ,是否存在常数λ使得123k k k λ+=．若存在,求出λ的值,若不存在,请说明理由．【过程详解】（1）因为()4,4M -在抛物线C 上,所以()248p -=,所以2p =所以抛物线C 的方程为24x y =,即214y x =,则12y x '=, 所以切线的斜率为1(4)22⨯-=-,所以过点M 的切线方程为()244y x =-++,即y x =--24联立24y x y =--⎧⎨=⎩,解得P 点的坐标为()2,0- （2）由题意可知过点P 的直线的斜率存在,设为2y kx k =+,线段OM 所在的直线为y x =-,联立2y kx k y x =+⎧⎨=-⎩,解得Q 点坐标为22,11k k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭, 所以3213112221kk k k k k +++==-++ 设211,4x A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭,222,4x B x ⎛⎫ ⎪⎝⎭,联立224y kx k x y =+⎧⎨=⎩,得2480x kx k --=, 所以124x x k +=,128x x k =-．则()()()()22221212121212121212121111444422224x x x x x x x x x x k k x x x x x x +++++++++=+=+++++()22184161641242318844k k k k k k k k -+++++===+-++ 所以1232k k k +=,即存在2λ=满足条件．10．如图,已知()()1122,,A x y B x y ､为二次函数2(0)y ax a =>的图像上异于顶点的两个点,曲线2y ax =在点()()1122,,A x y B x y ､处的切线相交于点()00,P x y .(1)利用抛物线的定义证明：曲线2y ax =上的每一个点都在一条抛物线上,并指出这条抛物线的焦点坐标和准线方程；(2)求证：102x x x ､､成等差数列,102y y y ､､成等比数列；(3)设抛物线2y ax =焦点为F ,过P 作PH 垂直准线l ,垂足为H ,求证：BPH APF ∠∠=. 【过程详解】（1）证明：令10,4F a ⎛⎫ ⎪⎝⎭,直线l ：14y a =-,曲线2y ax =上任意一点()200,P x ax ,又0a >,则点()200,P x ax 到直线l 的距离2014d ax a=+,则PF ===22001144ax ax d a a ==+=+=, 即曲线2y ax =上任意一点到点10,4F a ⎛⎫⎪⎝⎭的距离与到直线l ：14y a =-的距离相等,且点10,4F a ⎛⎫⎪⎝⎭不在直线l ：14y a =-上,所以曲线2y ax =上的每一个点都在一条抛物线上,抛物线的方程即为2y ax =,焦点坐标为10,4F a ⎛⎫⎪⎝⎭,准线方程为14y a =-；（2）解：对于2y ax =,则2y ax '=,所以11|2x x y ax ='=,22|2x x y ax ='=,即过点()11,A x y 、()22,B x y 的切线方程分别为()1112y y ax x x -=-、()2222y y ax x x -=-,又211y ax =,222y ax =,所以2112y ax x ax =-、2222y ax x ax =-,由21122222y ax x ax y ax x ax ⎧=-⎨=-⎩,解得12212x x x y ax x +⎧=⎪⎨⎪=⎩,即1221,2x x P ax x +⎛⎫⎪⎝⎭, 即1202x x x +=,021y ax x =,又222202112y a x x y y ==⋅, 所以1x 、0x 、2x 成等差数列,1y 、0y 、2y 成等比数列；（3）解：由（2）可知22BP k ax =,12AP k ax =,10,4F a ⎛⎫⎪⎝⎭,所以02112011442PF y ax x a a k x x x --==+,如图,设AP ,PF ,PB 与x 轴分别交于点C 、D 、E ,则1tan 2ACx ax ∠=,2tan 2BEx ax ∠=,211214tan 2ax x a FDx x x -∠=+,又()22BPH BEx BEx πππ∠=--∠=∠-,FPA FDx ACx ∠=∠-∠,所以211tan tan 2tan 2BPH BEx BEx ax π⎛⎫∠=∠-=-=- ⎪∠⎝⎭, ()tan tan tan tan 1tan tan FDx ACxFPA FDx ACx FDx ACx∠-∠∠=∠-∠=+∠∠2111221112142214122ax x a axx x ax x a ax x x --+=-+⋅+122111221112421224x x ax x ax a x x ax x ax a +--⋅=+⎛⎫+-⋅ ⎪⎝⎭21221211214222ax a x x x a x x --=++-21222121422ax ax a x x --=+()212221214142ax ax a x x --=+()()221222211412214a x ax ax a x -+==-++, 即tan tan BPH FPA ∠=∠, 所以BPH FPA ∠=∠；11．已知抛物线22(0)x py p =>上的任意一点到(0,1)P 的距离比到x 轴的距离大1． (1)求抛物线的方程；(2)若过点(0,2)的直线l 与抛物线交于A ,B 两点,过A ,B 两点分别作抛物线的切线,两条切线交于点Q ,求QAB 重心G 的轨迹方程．【过程详解】（1）由抛物线的定义可得2p =,∴抛物线的方程为24x y =；（2）由题意可得直线AB 的斜率存在,设其为k ,设()()1122,,,A x y B x y ,则直线AB 的方程为2y kx =+；代入抛物线方程得2480x kx --=,则有12124,8x x k x x +==-,∵24x y =,∴2x y '=,∴()111:2-=-AQ x l y y x x ,即21124x x y x =-①同理可得222:24=-BQ x x l y x ②,①-②有22121224x x x x x ⎛⎫=⎪-⎝⎭-,得1222Q x x x k +==,∴2111124=-=-=-Q x y kx kx y ．∴(2,2)Q k - 又()21212444y y k x x k +=++=+,设()G x y ,,则12212234233Q Q x x x x k y y y k y ++⎧==⎪⎪⎨+++⎪==⎪⎩,消k 得223+=x y ,所以G 的轨迹方程为21233=+y x ． 12．已知抛物线()2:20C x py p =>的焦点为F ,点()02,P y -为抛物线上一点,抛物线C 在点P处的切线与y 轴相交于点Q ,且FPQ △的面积为2． (1)求抛物线的方程．(2)若斜率不为0的直线l 过焦点F ,且交抛物线C 于A ,B 两点,线段AB 的中垂线与y 轴交于点M ,证明：MFAB为定值． 【过程详解】（1）将()02,P y -代入22x py =得,02y p= 设抛物线的切线方程为2(2)y k x p=++,代入22x py =整理得： 22(44)0x pkx pk --+=由题知224440p k pk ∆=++=,解得2k p=-又22Q y k p =+,所以222p FQ k p =-- 所以222222FPQ p p S k p p=--=+= ,解得2p = 所以抛物线C 的方程为24x y =（2）记AB 中点为N ,112233(,),(,),(,)A x y B x y N x y 设直线AB 方程为1y mx =+,代入24x y =整理得： 2440x mx --=,则12124,4x x m x x +==-所以24(1)AB m =+ 因为N 为AB 中点,所以12322x x x m +==,2321y m =+ 所以直线MN 的方程为21(21)(2)y m x m m-+=-- 则223M y m =+所以222MF m =+所以222214(1)2MF m AB m +==+ 13．（2022届新未来4月联考）已知直线:10l x ky k -+-=与抛物线2:2(0)C y px p =>交于A ,B 两点,过A ,B 两点且与抛物线C 相切的两条直线相交于点D ,当直线l x ⊥轴时,||4AB =． (1)求抛物线C 的标准方程； (2)求||OD 的最小值．【过程详解】（1）当直线l x ⊥轴时,1x =,代入22y px =解得y =∴||4AB ==,得2p =,∴抛物线C 的标准方程为24y x =；（2）设()()(),,,,,A A B B D D A x y B x y D x y ．联立210,4,x ky k y x -+-=⎧⎨=⎩得24440y ky k -+-=．∴4,44A B A B y y k y y k +=⋅=-①,∵直线:10l x ky k -+-=恒过点(1,1),且与抛物线有两个交点,点(1,1)在抛物线上,∴0k ≠,当直线AD 和直线BD 斜率存在时,设直线:AD y mx n =+,联立2,4,y mx n y x =+⎧⎨=⎩∴2440my y n -+=,Δ16440m n =-⋅=,∴1⋅=m n ,∴2A y m =,同理,设直线:BD y ax b =+,则21,B ab y a ==,联立,,y mx n y ax b =+⎧⎨=+⎩∴1,11.D D x amy a m ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ 由①可知22224,44k k m a m a +=⋅=-,∴1122m a ma+-=,即22D D y x -=,∴点D 在直线220x y -+=上．当直线AD 或直线BD 斜率不存在时,即直线l 过原点时,1k =,过原点的切线方程为0x =,易知另外一点为(4,4),过点(4,4)的切线方程设为4(4)x t y -=-,联立24(4)4x t y y x-=-⎧⎨=⎩,得2416160y ty t -+-=, ()2Δ16416160t t =--=,解得2t =,即切线方程122y x =+．此时交点D 的坐标为(0,2),在直线220x y -+=上,故OD 的最小值为原点到直线220x y -+=的距离,5=． 14．过原点O 的直线与拋物线C ：22y px =（0p >）交于点A ,线段OA 的中点为M ,又点()3,0P p ,PM OA ⊥．在下面给出的三个条件中任选一个填在横线处,并解答下列问题：①OA =②PM =；③POM的面积为（1）______,求拋物线C 的方程；（2）在（1）的条件下,过y 轴上的动点B 作拋物线C 的切线,切点为Q （不与原点O 重合）,过点B 作直线l 与OQ 垂直,求证：直线l 过定点． 注：如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分．【过程详解】（1）由题意知直线OA 的斜率存在且不为0,设其方程为()0y kx k =≠,由22,y px y kx ⎧=⎨=⎩得0,0x y =⎧⎨=⎩或22,2,p x k p y k ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即()0,0O ,222,p p A k k ⎛⎫ ⎪⎝⎭所以线段OA 的中点2,p p M k k ⎛⎫⎪⎝⎭．因为PM OA ⊥,所以直线PM 的斜率存在,22133PM p kkk pk p k ==--． 所以2113k k k ⋅=--,解得2k =±, 所以直线OA的方程为0x =,()4,A p ±． 若选①,不妨令()4,A p ,由OA ==解得2p =（舍去2p =-）,所以抛物线C 的方程为24y x =． 若选②,因为PM OA ⊥,PM=所以点P 到直线OA 的距离为=,解得2p =（舍去2p =-）,所以抛物线C 的方程为24y x=． 若选③,不妨令()4,A p ,因为12OM OA ===,点P 到直线OA的距离PM ==,所以1122POM S OM PM =⋅==△,解得2p =（舍去2p =-）, 所以抛物线C 的方程为24y x =．（2）由题意可知切线BQ 的斜率存在且不为0． 设()()0,0B b b ≠,切线BQ 的方程为1y k x b =+, 由12,4y k x b y x=+⎧⎨=⎩得21440k y y b -+=,（*） 所以()214440k b ∆=--⨯⨯=,解得11k b=, 所以方程（*）的根为2y b =,代入24y x =得2x b =,所以切点()2,2b b ,于是222OQ b k b b ==,则2l b k =-, 所以直线l 的方程为2by x b =-+,即()22b y x =--,所以当b 变化时,直线l 恒过定点()2,0．15．已知抛物线22(0)x py y =>,其焦点为F ,抛物线上有相异两点()11,A x y ,()22,B x y ．（1）若//AF x 轴,且经过点A 的抛物线的切线经过点(1,0),求抛物线方程；（2）若2p =,且||||4AF BF +=,线段AB 的中垂线交x 轴于点C ,求ABC 面积的最大值． 【过程详解】（1）抛物线22(0)x py y =>,焦点坐标为0,2p ⎛⎫⎪⎝⎭,因为//AF x ,所以2A p y =,所以A x p =,又22x y p =,所以x y p '=,所以过A 点的切线的斜率1k =,所以切线方程为2p y x p -=-,令0y =得12px ==,所以2p =,所以24x y = （2）若2p =,则抛物线为24x y =,焦点为()0,1,准线方程为1y =-,因为||||4AF BF +=,所以114A B y y +++=,所以2A B y y +=,设直线AB 的方程为y kx m =+,联立24x y =得2440x kx m --=,216160k m ∆=+>所以124x x k +=,124x x m =-,所以212122422y y kx kx m k m +=++=+=,即212m k =-,所以()221616120k k ∆=+->,解得11k -<<,当0k =时,直线方程为1y =,则()2,0A ,()2,0B -,所以AB 的中垂线恰为y 轴,则()0,0C ,所以14122ABC S =⨯⨯= , 当11k -<<,且0k ≠时,又AB 的中点坐标为()1212,2,122x x y y k ++⎛⎫= ⎪⎝⎭,所以AB 的中垂线l 的方程为()121y x k k =--+,令0y =得3x k =,所以()3,0C k ,所以C 到AB 的距离d =又AB =所以221312ABC S AB d k m k ==+=+= 令21k t -=,则()0,1t ∈,()()232244f t t t t t t =-=-+,因为()()()2384232f t t t t t '=-+=--,所以当20,3t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时()0f t '>,()f t 在20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增,当2,13t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时()0f t '<,()f t 在2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减,所以()max 232327f t f ⎛⎫==⎪⎝⎭所以()max 2ABC S =>所以()max ABC S =16．设抛物线C ：22x py =（0p >）的焦点为F ,点(),2P m （0m >）在抛物线C 上,且满足3PF =．（1）求抛物线C 的标准方程；（2）过点()0,4G 的直线l 与抛物线C 交于A ,B 两点,分别以A ,B 为切点的抛物线C 的两条切线交于点Q ,求三角形PQG 周长的最小值． 【过程详解】（1）由抛物线定义,得232pPF =+=,得2p =, ∴抛物线C 的标准方程为24xy =；（2）设()11,A x y ,()22,B x y ,直线l 的方程为4y kx =+,∴联立244y kx x y=+⎧⎨=⎩,消掉x ,得24160x kx --=,0∆>,∴124x x k +=,1216x x =-,设A ,B 处的切线斜率分别为1k ,2k ,则112x k =,222x k =, ∴在点A 的切线方程为()1112x y y x x -=-,即21124x x x y =-①,同理,在B 的切线方程为22224x x x y =-②, 由①②得：1222Q x x x k +==,代入①或②中可得：21111444Q x y kx y y ==--=--, ∴()2,4Q k -,即Q 在定直线4y =-上,设点G 关于直线4y =-的对称点为G ',则()0,12G '-,由（1）知()2P ,∵PQ GQ PQ G Q G P ''+=+≥=即,,P Q G '三点共线时等号成立,∴三角形PQG周长最小值为GP G P '+=．17．已知圆()22:21C x y +-=与定直线:1l y =-,且动圆M 与圆C 外切并与直线l 相切. （1）求动圆圆心M 的轨迹E 的方程；（2）已知点P 是直线1:2l y =-上一个动点,过点P 作轨迹E 的两条切线,切点分别为A 、B .①求证：直线AB 过定点； ②求证：PCA PCB ∠=∠.【过程详解】（1）依题意知：M 到()0,2C 的距离等于M 到直线2y =-的距离,∴动点M 的轨迹是以C 为焦点,直线2y =-为准线的抛物线,设抛物线方程为()220x py p =>,则22p=,则4p =,即抛物线的方程为28x y =, 故：动圆圆心M 的轨迹E 的方程为：28x y =；（2）①由28x y =得：218y x =,14y x '∴=,设2111,8A x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭、2221,8B x x ⎛⎫⎪⎝⎭,(),2P t -,其中12x x ≠,则切线PA 的方程为()2111184x y x x x -=-,即2111148y x x x =-,同理,切线PB 的方程为2221148y x x x =-, 由21122211481148y x x x y x x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,解得121228x x x x x y +⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,1212228x x t x x +⎧=⎪⎪∴⎨⎪-=⎪⎩,即1212216x x t x x +=⎧⎨=-⎩, 2111,8A x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 、()222121,8B x x x x ⎛⎫≠ ⎪⎝⎭,∴直线AB 的方程为()222121*********x x y x x x x x --=--,化简得121288x x x x y x +=-, 即24ty x =+, 故直线AB 过定点()0,2；②由①知：直线AB 的斜率为4ABt k =, （i ）当直线PC 的斜率不存在时,直线AB 的方程为2y =,PC AB ∴⊥,PCA PCB ∴∠=∠； （ii ）当直线PC 的斜率存在时,(),2P t - 、()0,2C ,∴直线PC 的斜率2240PC k t t --==--,414AB PC t k k t-∴⋅=⨯=-, PC AB ∴⊥,PCA PCB ∴∠=∠.综上所述：PCA PCB ∠=∠得证.18.设抛物线C ：()220x py p =>,其焦点为 F ,准线为l ,点P 为C 上的一点,过点P 作直线l 的垂线,垂足为M ,且MF FP =,2FM FP ⋅=.（1）求抛物线C 的方程；（2）设点Q 为C 外的一点且Q 点不在坐标轴上,过点Q 作抛物线C 的两条切线,切点分别为A ,B ,过点Q 作y 轴的垂线,垂足为S ,连接 AS ,BS ,证明：直线AS 与直线BS 关于y 轴对称.【过程详解】（1）PM PF FM == ,PFM ∴△为等边三角形,60FMP PFM ∴∠=∠=︒,又2cos cos602FM FP FM FP PFM FM ⋅=⋅∠=︒= ,2FM ∴=设直线l 交y 轴于N 点,则在Rt MNF △中30NMF ∠=︒,1NF p ==,C ∴的方程为22x y = （2）设点()(),0,0Q a b a b ≠≠,()11,A x y ,()22,B x y ,又C 的方程为22x y =可化为22x y =,y x '∴=所以过点A 且与C 相切的直线的斜率为1x ,过点B 且与C 相切的直线的斜率为2x ,所以直线QA 的方程为()111y y x x x -=-,直线QB 的方程为()222y y x x x -=-.又直线QA 与QB 均过点Q ,()111b y x a x -=-,()222b y x a x -=-,又2112x y =,2222x y =,11y ax b ∴=-,22y ax b =-,所以直线AB 的方程为y ax b =-,联立方程y ax b =-和22x y =得方程组22,,x y y ax b ⎧=⎨=-⎩消去y 得2220x ax b -+=, 0b ≠ ,10x ∴≠,20x ≠,122x x b = ,又()0,S b ,则直线AS 的斜率111y b k x -=；直线BS 的斜率222y b k x -=,()121212122x x x x b k k x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭∴+=, 1202x x b -=, 120k k ∴+=,所以直线AS 与直线BS 关于y 轴对称.。
抛物线分类题型(含答案)
1练习一 二次函数1、 一个小球由静止开始在一个斜坡上向下滚动，通过仪器观察得到小球滚动的距离s （米）与时间t （秒）的数据如下表：写出用t 表示s 的函数关系式： 2、 下列函数：① y =()21y x x x =-+；③ ()224y x x x =+-；④ 21y x x =+； ⑤ ()1y x x =-，其中是二次函数的是 ，其中a = ，b = ，c = 3、当m 时，函数()2235y m x x =-+-（m 为常数）是关于x 的二次函数 4、当____m =时，函数()2221mm y m m x --=+是关于x 的二次函数5、当____m =时，函数()2564mm y m x-+=-+3x 是关于x 的二次函数6、若点 A ( 2, m ) 在函数 12-=x y 的图像上，则 A 点的坐标是＿＿＿＿.7、在圆的面积公式 S ＝πr 2 中，s 与 r 的关系是（ ）A 、一次函数关系B 、正比例函数关系C 、反比例函数关系D 、二次函数关系8、正方形铁片边长为15cm ，在四个角上各剪去一个边长为x （cm ）的小正方形，用余下的部分做成一个无盖的盒子． (1)求盒子的表面积S （cm 2）与小正方形边长x （cm ）之间的函数关系式； (2)当小正方形边长为3cm 时，求盒子的表面积．9、如图，矩形的长是 4cm ，宽是 3cm ，如果将长和宽都增加 x cm ，那么面积增加 ycm 2， ① 求 y 与 x 之间的函数关系式. ② 求当边长增加多少时，面积增加 8cm 2.10、已知二次函数),0(2≠+=a c ax y 当x=1时，y= -1；当x=2时，y=2，求该函数解析式.11、富根老伯想利用一边长为a 米的旧墙及可以围成24米长的旧木料，建造猪舍三间，如图，它们的平面图是一排大小相等的长方形.（1） 如果设猪舍的宽AB 为x 米，则猪舍的总面积S （米2）与x 有怎样的函数关系？（2） 请你帮富根老伯计算一下，如果猪舍的总面积为32米2，应该如何安排猪舍的长BC 和宽AB 的长度？旧墙的长度是否会对猪舍的长度有影响？怎样影响？练习二 函数2ax y =的图象与性质21、填空：（1）抛物线221x y =的对称轴是 （或 ），顶点坐标是 ，当x 时，y 随x 的增大而增大，当x 时，y 随x 的增大而减小，当x= 时，该函数有最 值是 ； （2）抛物线221x y -=的对称轴是 （或 ），顶点坐标是 ，当x 时，y 随x 的增大而增大，当x 时，y 随x 的增大而减小，当x= 时，该函数有最 值是 ；2、对于函数22x y =下列说法：①当x 取任何实数时，y 的值总是正的；②x 的值增大，y 的值也增大；③y 随x 的增大而减小；④图象关于y 轴对称.其中正确的是 . 3、抛物线 y ＝－x 2 不具有的性质是（ ）A 、开口向下B 、对称轴是 y 轴C 、与 y 轴不相交D 、最高点是原点4、苹果熟了，从树上落下所经过的路程 s 与下落时间 t 满足 S ＝12gt 2（g ＝9.8），则 s 与 t 的函数图像大致是（ ）A B C D5、函数2ax y =与b ax y +-=的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．6、已知函数24mm y mx--=的图象是开口向下的抛物线，求m 的值.7、二次函数12-=m mx y 在其图象对称轴的左侧，y 随x 的增大而增大，求m 的值.8、二次函数223x y -=，当x 1＞x 2＞0时，求y 1与y 2的大小关系. 9、已知函数()422-++=m mx m y 是关于x 的二次函数，求：（1） 满足条件的m 的值；（2） m 为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点，这时x 为何值时，y 随x 的增大而增大； （3） m 为何值时，抛物线有最大值？最大值是多少？当x 为何值时，y 随x 的增大而减小？ 10、如果抛物线2y ax =与直线1y x =-交于点(),2b ，求这条抛物线所对应的二次函数的关系式.练习三 函数c ax y +=2的图象与性质1、抛物线322--=x y 的开口 ,对称轴是 ,顶点坐标是 ,当x 时, y随x 的增大而增tttt3大, 当x 时, y 随x 的增大而减小. 2、将抛物线231x y =向下平移2个单位得到的抛物线的解析式为 ,再向上平移3个单位得到的抛物线的解析式为 ,并分别写出这两个函数的顶点坐标 、 .3、任给一些不同的实数k ，得到不同的抛物线k x y +=2，当k 取0，1±时，关于这些抛物线有以下判断：①开口方向都相同；②对称轴都相同；③形状相同；④都有最底点.其中判断正确的是 .4、将抛物线122-=x y 向上平移4个单位后，所得的抛物线是 ，当x= 时，该抛物线有最 （填大或小）值，是 .5、已知函数2)(22+-+=x m m mx y 的图象关于y 轴对称，则m ＝________；6、二次函数c ax y +=2()0≠a 中，若当x 取x 1、x 2（x 1≠x 2）时，函数值相等，则当x 取x 1+x 2时，函数值等于 .练习四 函数()2h x a y -=的图象与性质1、抛物线()2321--=x y ，顶点坐标是 ,当x 时,y 随x 的增大而减小， 函数有 最 值 .2、试写出抛物线23x y =经过下列平移后得到的抛物线的解析式并写出对称轴和顶点坐标. （1）右移2个单位；（2）左移32个单位；（3）先左移1个单位，再右移4个单位. 3、请你写出函数()21+=x y 和12+=x y 具有的共同性质（至少2个）.4、二次函数()2h x a y -=的图象如图：已知21=a ，OA=OC ，试求该抛物线的解析式.5、抛物线2)3(3-=x y 与x 轴交点为A ，与y 轴交点为B ，求A 、B 两点坐标及⊿AOB 的面积.6、二次函数2)4(-=x a y ，当自变量x 由0增加到2时，函数值增加6.（1）求出此函数关系式.（2）说明函数值y 随x 值的变化情况.7、已知抛物线9)2(2++-=x k x y 的顶点在坐标轴上，求k 的值.练习五 ()k h x a y +-=2的图象与性质1、请写出一个二次函数以（2, 3）为顶点，且开口向上.＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.2、二次函数 y ＝(x －1)2＋2，当 x ＝＿＿＿＿时，y 有最小值.3、函数 y ＝12(x －1)2＋3，当 x ＿＿＿＿时，函数值y 随 x 的增大而增大.4、函数y=21(x+3)2-2的图象可由函数y=21x 2的图象向 平移3个单位，再向 平移2个单位得到. 5、 已知抛物线的顶点坐标为()2,1，且抛物线过点()3,0，则抛物线的关系式是6、 如图所示，抛物线顶点坐标是P （1，3），则函数y 随自变量x 的增大而减小的x 的取值范围是（ ）A 、x>3B 、x<3C 、x>1D 、x<1 7、已知函数()9232+--=x y .（1） 确定下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标； （2） 当x= 时，抛物线有最 值，是 .（3） 当x 时，y 随x 的增大而增大；当x 时，y 随x 的增大而减小. （4） 求出该抛物线与x 轴的交点坐标及两交点间距离； （5） 求出该抛物线与y 轴的交点坐标；（6） 该函数图象可由23x y -=的图象经过怎样的平移得到的？ 8、已知函数()412-+=x y .（1） 指出函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；（2） 若图象与x 轴的交点为A 、B 和与y 轴的交点C ，求△ABC 的面积； （3） 指出该函数的最值和增减性；（4） 若将该抛物线先向右平移2个单位，在向上平移4个单位，求得到的抛物线的解析式； （5） 该抛物线经过怎样的平移能经过原点.（6） 画出该函数图象，并根据图象回答：当x 取何值时，函数值大于0；当x 取何值时，函数值小练习六 c bx ax y ++=2的图象和性质 1、抛物线942++=x x y 2、抛物线251222+-=x x y 的开口方向是 ，顶点坐标是 .3、试写出一个开口方向向上，对称轴为直线x=-2，且与y 轴的交点坐标为（0，3）的抛物线的解析式 .4、将 y ＝x 2－2x ＋3 化成 y ＝a (x －h)2＋k 的形式，则 y ＝＿＿＿＿.5 5、把二次函数215322y x x =---的图象向上平移3个单位，再向右平移4个单位，则两次平移后的函数图象的关系式是6、抛物线1662--=x x y 与x 轴交点的坐标为_________； 7、函数x x y +-=22有最____值，最值为_______；8、二次函数c bx x y ++=2的图象沿x 轴向左平移2个单位，再沿y 轴向上平移3个单位，得到的图象的函数解析式为122+-=x x y ，则b 与c 分别等于（ ）A 、6，4B 、－8，14C 、－6，6D 、－8，－149、二次函数122--=x x y 的图象在x 轴上截得的线段长为（ ） A 、22 B 、23 C 、32 D 、3310、通过配方，写出下列函数的开口方向、对称轴和顶点坐标： （1）12212+-=x x y ； （2）2832-+-=x x y ； （3）4412-+-=x x y 11、把抛物线1422++-=x x y 沿坐标轴先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，问所得的抛物线有没有最大值，若有，求出该最大值；若没有，说明理由.12、求二次函数62+--=x x y 的图象与x 轴和y 轴的交点坐标 13、已知一次函数的图象过抛物线223y x x =++的顶点和坐标原点 1） 求一次函数的关系式；2） 判断点()2,5-是否在这个一次函数的图象上14、某商场以每台2500元进口一批彩电.如每台售价定为2700元，可卖出400台，以每100元为一个价格单位，若将每台提高一个单位价格，则会少卖出50台，那么每台定价为多少元即可获得最大利润？最大利润是多少元？练习七 c bx ax y ++=2的性质1、函数2y x px q =++的图象是以()3,2为顶点的一条抛物线，这个二次函数的表达式为 2、二次函数2224y mx x m m =++-的图象经过原点，则此抛物线的顶点坐标是 3、如果抛物线2y ax bx c =++与y 轴交于点A (0,2)，它的对称轴是1x =-，那么acb= 4、抛物线c bx x y ++=2与x 轴的正半轴交于点A 、B 两点，与y 轴交于点C ，且线段AB 的长为1，△ABC 的面积6 为1，则b 的值为______.5、已知二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则a___0，b___0，c___0，ac b 42-____0；6、二次函数c bx ax y ++=2的图象如图，则直线bc ax y +=的图象不经过第 象限. 7、已知二次函数2y ax bx c =++（0≠a ）的图象如图所示，则下列结论：1）,a b 同号；2）当1x =和3x =时，函数值相同；3）40a b +=；4）当2y =-时，x 的值只能为0；其中正确的是 （第5题）（第6题） （第7题） （第10题） 8、已知二次函数2224m mx x y +--=与反比例函数xm y 42+=的图象在第二象限内的一个交点的横坐标是-2，则m= 9、二次函数2y x ax b =++中，若0a b +=，则它的图象必经过点（ ）A ()1,1--B ()1,1-C ()1,1D ()1,1-10、函数b ax y +=与c bx ax y ++=2的图象如上图所示，则下列选项中正确的是（ ） A 、0,0>>c ab B 、0,0><c ab C 、0,0<>c ab D 、0,0<<c ab 11、已知函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则函数b ax y +=的图象是（ ）12、二次函数c bx ax y ++=2的图象如图，那么abc 、2a+b 、a+b+c 、a-b+c 这四个代数式中，值为正数的有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个13、抛物线的图角如图，则下列结论： ①＞0；②；③＞；④＜1.其中正确的结论是（ ）.（A ）①② （B ）②③ （C ）②④ （D ）③④14、二次函数2y ax bx c =++的最大值是3a -，且它的图象经过()1,2--，()1,6两点， 求a 、b 、c 的值。
抛物线练习题带答案,知识点总结(基础版)
抛物线重难点复习一．知识点总结2.,,C F p M C 焦抛物线的焦点为为是准距上的点min ;.2pMF OF MF MF p ===(1)(2)若与对称轴垂直，则2000(,)2(0)23p M x y y px p MF x =>=±+±若是抛物线上的点则() 2000(,)224p P x y x py PF y =±=±+若是抛物线上的(点，则) (5).()(90)1cos s ()1co p MF MF pp or MF p MF MF θθθθ≥≤-+==≤ 若与抛物线的为则夹角，对称轴1)2MF MF MF 以为直径的圆与坐标轴相切(的中点到坐标轴的距离为(6)1122(,)(,),.F l A x y B x y l k θ3.过焦点的直线交抛物线于点、，记直线的斜率为倾斜角为221222:2,(),sin 2sin AOB p p C y px AB x x p S θθ∆==++==（1）若抛物线则221222:2,()cos 2cos AOB p p C x py AB y y p S θθ∆==++==（2）若抛物线则， 222222121212124:2,,;:2,,44p p C y px y y p x x C x py x x p y y ==-===-=（）若抛物线则若抛物线则112(3)2();p AF BF p+=通焦点弦的最径小值为 (5)以AB 为直径的圆与准线相切12MN AB ⎛⎫=⎪⎝⎭（6）以CD 为直径的圆与AB 相切与焦点F1．已知抛物线22(0)y px p =>上横坐标为 3 的点到其焦点的距离为 4，则p =________. 【答案】2【解析】抛物线y 2=2px （p ＞0， ∵抛物线y 2=2px （p ＞04，∴p=2.故答案为2.2．已知F 是抛物线y 2=2x 的焦点，A ,B 是该抛物线上的两点，|AF |+|BF |=11，则线段AB 的中点到y 轴的距离为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 7 【答案】C 【解析】∵F 是抛物线y 2=2x 的焦点∴F (12,0) ,准线方程x =−12， 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)∴|AF |+|BF |=x 1+1+x 2+1=11x 1+x 2=10,∴线段AB 的中点横坐标为5∴线段AB 5，所以B 选项是正确的.3．已知抛物线C ：的焦点为F ，()00A x y ，是C 上一点，则0x =（ ）A. 2B. 2±C. 4D. 4± 【答案】D【解析】28x y =，如图，由抛物线的几何意义，可知0022AF Al y y ===+，所以02y =， 所以04x =±，故选D 。
抛物线同步练习题小题含答案
抛物线根底训练题1. 抛物线y 2=8x 的准线方程是〔 A 〕。
〔A 〕x =－2 〔B 〕x =2 〔C 〕x =－4 〔D 〕y =－22. 过抛物线y 2=4x 的焦点F ，作倾斜角为60°的直线，那么直线的方程是〔 B 〕。
〔A 〕y =33(x －1) 〔B 〕y =3 (x －1) 〔C 〕y =33(x －2) 〔D 〕y =3 (x －2)3．抛物线的焦点是F (0，4)，那么此抛物线的标准方程是( A )〔A 〕x 2＝16y 〔B 〕x 2＝8y 〔C 〕y 2＝16x 〔D 〕y 2＝8x4. 假设抛物线y =x 2与x =－y 2的图象关于直线l 对称，那么l 的方程是〔B 〕。
〔A 〕x －y =0 〔B 〕x ＋y =0 〔C 〕x =0 〔D 〕y =05．AB 是过抛物线y 2＝4x 焦点F 的弦，A ，B 两点的横坐标分别是x 1与x 2，且x 1＋x 2＝6那么|AB |等于〔 B 〕〔A 〕10 〔B 〕8 〔C 〕7 〔D 〕66．经过〔1，2〕点的抛物线的标准方程是〔C 〕〔A 〕y 2＝4x 〔B 〕x 2＝21y (C ) y 2＝4x 或x 2＝21y (D ) y 2＝4x 或x 2＝4y7. 过抛物线y 2=4x 的焦点作直线交抛物线于A (x 1, y 1)、B (x 2, y 2)两点，如果AB 与x 轴成45°角，那么|AB |等于〔 B 〕。
〔A 〕10 〔B 〕8 〔C 〕6 〔D 〕48．抛物线的焦点在y 轴上，准线与椭圆4x 2＋3y 2＝1的左准线重合，并且经过椭圆的右焦点，那么它的对称轴方程是C〔A 〕y ＝24 〔B 〕y ＝26 或 y ＝－26〔C 〕y ＝26 〔D 〕y ＝22或y ＝－229. 顶点在原点，焦点是F (6, 0)的抛物线的方程是2y 24x =。
10．抛物线x 2＝4y 的焦点为F ，A 是抛物线上一点，|AF |＝4＋22，那么AF 所在直线方程是111-122y x y x =+=+或。
高中数学抛物线练习题(含答案)
抛物线练习题一、选择题1．在直角坐标平面内，到点(1,1)和直线x ＋2y ＝3距离相等的点的轨迹是( )A ．直线B ．抛物线C ．圆D ．双曲线2．抛物线y 2＝x 上一点P 到焦点的距离是2，则P 点坐标为( )A.⎝⎛⎭⎫32，±62B.⎝⎛⎭⎫74，±72C.⎝⎛⎭⎫94，±32D.⎝⎛⎭⎫52，±102 3．抛物线y ＝ax 2的准线方程是y ＝2，则a 的值为( )A.18 B ．－18C ．8D ．－8 4．设抛物线y 2＝8x 上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是( )A ．4B ．6C ．8D ．125．设过抛物线的焦点F 的弦为AB ，则以AB 为直径的圆与抛物线的准线的位置关系是( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．以上答案都有可能6．过点F (0,3)且和直线y ＋3＝0相切的动圆圆心的轨迹方程为( )A ．y 2＝12xB ．y 2＝－12xC ．x 2＝12yD ．x 2＝－12y7．抛物线y 2＝8x 上一点P 到x 轴距离为12，则点P 到抛物线焦点F 的距离为( )A ．20B ．8C ．22D ．248．抛物线的顶点在坐标原点，焦点是椭圆4x 2＋y 2＝1的一个焦点，则此抛物线的焦点到准线的距离为( )A ．2 3 B. 3 C.12 3 D.143 9．设抛物线的顶点在原点，其焦点F 在y 轴上，又抛物线上的点(k ，－2)与F 点的距离为4，则k 的值是( )A ．4B ．4或－4C ．－2D ．2或－210．抛物线y ＝1mx 2(m <0)的焦点坐标是( ) A.⎝⎛⎭⎫0，m 4 B.⎝⎛⎭⎫0，－m 4 C.⎝⎛⎭⎫0，14m D.⎝⎛⎭⎫0，－14m 11．抛物线的顶点在原点，对称轴是x 轴，抛物线上的点(－5,25)到焦点的距离是6，则抛物线的方程为( )A ．y 2＝－2xB ．y 2＝－4xC ．y 2＝2xD ．y 2＝－4x 或y 2＝－36x12．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线与圆(x －3)2＋y 2＝16相切，则p 的值为( )A.12 B ．1 C ．2 D ．4二、填空题13．过抛物线焦点F的直线与抛物线相交于A、B两点，若A、B在抛物线准线上的射影是A1、B1，则∠A1FB1= 。
初中抛物线经典练习题(含详细答案)
初中数学抛物线经典试题集锦【编著】黄勇权【第一组题型】1、已知二次函数y=x²+bx+c过点A（2,0），C（0, -8）（1）求此二次函数的解析式，（2）在抛物线上存在一点p使△ABP的面积为15，请直接写出p点的坐标。
2、在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=2x²+mx+n经过点A（5，0），B（2，-6）．（1）求抛物线的表达式及对称轴（2）设点B关于原点的对称点为C，写出过A、C两点直线的表达式。
3、在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的顶点C为（2，4），并在x轴上截得的长度为6。
（1）写出抛物线与x轴交点A、B的坐标（2）求该抛物线的表达式（3）写出抛物线与y轴交点P的坐标4、直线的解析式为y=2x+4，交x轴于点A，交y轴于点B，若以A 为顶点,，且开口向下作抛物线，交直线AB于点D，交y轴负半轴于点C，（1）若△ABC的面积为20，求此时抛物线的解析式（2）若△BDO的面积为8，求此时抛物线的解析式【答案】1、已知二次函数y=x²+bx+c过点A（2,0），C（0, -8）（1）求此二次函数的解析式，（2）在抛物线上存在一点p使△ABP的面积为15，请直接写出p点的坐标。
解：【第一问】因为函数y=x²+bx+c过点A（2,0），C（0, -8）分别将x=2，y=0代入y=x²+bx+c，得0=4+2b+c-----①将x=0，y=-8代入y=x²+bx+c，得-8=c-------------②将②代入①，解得：b=2--------------------------------------③此时，将②③代入y=x²+bx+c，所以：二次函数的解析式y=x²+ 2x -8【第二问】△ABP的面积= 12│AB│*│y p│----------------------④因为A、B两点在x轴上，令x²+ 2x -8=0（x-2）（x+4）=0解得：x1=2，x2= -4所以：│AB│=│X1- X2│=│2-（- 4）│=6------⑤又△ABP的面积=15-------------------------------------⑥由④⑤⑥，得：12*6*│y p│=15│y p│=5故有：y p= ±5即：p点的纵坐标为5或-5.把y=5代入y=x²+ 2x -8，即：5=x²+ 2x -8x²+ 2x -13=0解得：x= -1± 14那么，此时p点坐标（-1+ 14，5），（-1- 14，5）-------⑦把y=-5代入y=x²+ 2x -8，即：-5=x²+ 2x -8x²+ 2x -3=0（x-1）（x+3）=0解得：x= 1或x= -3那么，此时p点坐标（1，-5），（-3，-5）------------------⑧由⑦⑧得，使△ABP的面积为15，p点坐标是：（-1+ 14，5），（-1- 14，5），（1，-5），（-3，-5）2、在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=2x²+mx+n经过点A（5，0），B（2，-6）．（1）求抛物线的表达式及对称轴（2）设点B关于原点的对称点为C，写出过A、C两点直线的表达式。
初中抛物线经典练习题(含详细答案)
【编著】 黄勇权【第一组题型】1、已知二次函数y=x ²+bx+c 过点A （2,0），C （0, -8）（1）求此二次函数的解析式，（2）在抛物线上存在一点p 使△ABP 的面积为15，请直接写出p 点的坐标。
2、在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y=2x ²+mx+n 经过点A （5，0），B （2，-6）．（1）求抛物线的表达式及对称轴（2）设点B 关于原点的对称点为C ，写出过A 、C 两点直线的表达式。
初中数学抛物线 经典试题集锦3、在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的顶点C为（2，4），并在x轴上截得的长度为6。
（1）写出抛物线与x轴交点A、B的坐标（2）求该抛物线的表达式（3）写出抛物线与y轴交点P的坐标4、直线的解析式为y=2x+4，交x轴于点A，交y轴于点B，若以A为顶点,，且开口向下作抛物线，交直线AB于点D，交y轴负半轴于点C，（1）若△ABC的面积为20，求此时抛物线的解析式（2）若△BDO的面积为8，求此时抛物线的解析式【答案】1、已知二次函数y=x²+bx+c过点A（2,0），C（0, -8）（1）求此二次函数的解析式，（2）在抛物线上存在一点p使△ABP的面积为15，请直接写出p点的坐标。
解：【第一问】因为函数y=x ²+bx+c 过点A （2,0），C （0, -8）分别将x=2，y=0代入y=x ²+bx+c ， 得 0=4+2b+c-----①将x=0，y=-8代入y=x ²+bx+c ，得-8=c-------------②将②代入①，解得：b=2--------------------------------------③此时，将② ③代入y=x ²+bx+c ，所以：二次函数的解析式 y=x ²+ 2x -8【第二问】△ABP 的面积= 12│AB │*│y p │----------------------④ 因为A 、B 两点在x 轴上，令x ²+ 2x -8=0（x-2）（x+4）=0解得：x 1=2，x 2= -4所以：│AB │=│X 1- X 2│=│2-（- 4）│=6------⑤又△ABP 的面积=--------------------------⑥由 ④ ⑤ ⑥，得 ： 12*6*│y p │=15│y p│=5故有：y p= ±5即：p点的纵坐标为5或-5.把y=5代入 y=x²+ 2x -8，即：5=x²+ 2x -8x²+ 2x -13=0解得：x= -1± 14那么，此时p点坐标（-1+ 14，5），（-1- 14，5）-------⑦把y=-5代入 y=x²+ 2x -8，即：-5=x²+ 2x -8x²+ 2x -3=0（x-1）（x+3）=0解得：x= 1或x= -3那么，此时p点坐标（1，-5），（-3，-5）------------------⑧由⑦⑧得，使△ABP的面积为15，p点坐标是：（-1+ 14，5），（-1- 14，5），（1，-5），（-3，-5）2、在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=2x²+mx+n经过点A（5，0），B（2，-6）．（1）求抛物线的表达式及对称轴（2）设点B关于原点的对称点为C，写出过A、C两点直线的表达式。
高中数学选择性必修一(人教版)《抛物线练习题1答案》
抛物线11．若抛物线x 2＝4y 上的点P (m ，n )到其焦点的距离为5，则n ＝( ) A ．194B ．92C ．3D ．4解析：选D 抛物线x 2＝4y 的准线方程为y ＝－1，根据抛物线定义可知5＝n ＋1，即n ＝4.2．(2019·全国卷Ⅱ)若抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点是椭圆x 23p ＋y 2p＝1的一个焦点，则p ＝( )A ．2B ．3C ．4D ．8解析：选D 抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫p 2，0，椭圆x 23p ＋y2p ＝1的焦点坐标为(±2p ，0)．3．已知动点P (x ，y )满足5(x －1)2＋(y －2)2＝|3x ＋4y －1|，则点P 的轨迹为( ) A ．直线 B ．抛物线 C ．双曲线 D ．椭圆解析：选B 把5(x －1)2＋(y －2)2＝|3x ＋4y －1|化为(x －1)2＋(y －2)2＝|3x ＋4y －1|5，由于点(1,2)不在直线3x ＋4y －1＝0上，满足抛物线的定义，则点P 的轨迹为抛物线．4．O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y 2＝2x 的焦点，P (x 0，y 0)为C 上一点，若|PF |＝32x 0，则△POF 的面积为( )A ．1B ．2C ．22D ．24解析：选D 由题意知，F 的坐标为⎝⎛⎭⎫12，0，因为点P (x 0，y 0)为C 上一点，|PF |＝32x 0，则12＋x 0＝32x 0，解得x 0＝1，所以P (1，±2)，则△POF 的面积为：12×12×2＝24. 5．已知A ，B 两点均在焦点为F 的抛物线y 2＝2px (p >0)上，若|AF |＋|BF |＝4，线段AB 的中点到直线x ＝p2的距离为1，则p 的值为( )A ．1B ．1或3C ．2D ．2或6解析：选B |AF |＋|BF |＝4⇒x A ＋p 2＋x B ＋p2＝4⇒x A ＋x B ＝4－p ⇒2x中＝4－p ，因为线段AB 的中点到直线x ＝p2的距离为1，所以⎪⎪⎪⎪x 中－p 2＝1，所以|2－p |＝1⇒p ＝1或3. 6．已知A ，B 为抛物线y 2＝2x 上两点，且A 与B 的纵坐标之和为4，则直线AB 的斜率为( )A ．12B ．－12C ．－2D ．2解析：选A 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4，由⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝2x 1，y 22＝2x 2，得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)x 1－x 2＝2，即4k AB ＝2，k AB ＝12.7．(2020·福州期末)设抛物线y 2＝2px 上的三个点A ⎝⎛⎭⎫23，y 1，B (1，y 2)，C ⎝⎛⎭⎫32，y 3到该抛物线的焦点距离分别为d 1，d 2，d 3.若d 1，d 2，d 3中的最大值为3，则p 的值为________．解析：根据抛物线的几何性质可得d 1＝p 2＋23，d 2＝p 2＋1，d 3＝p 2＋32，由题意可得p >0，因此可判断d 3最大，故d 3＝p 2＋32＝3，解得p ＝3.答案：38．(2018·全国卷Ⅲ)已知点M (－1,1)和抛物线C ：y 2＝4x ，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若∠AMB ＝90°，则k ＝________.解析：设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，∴y 21－y 22＝4(x 1－x 2)， ∴k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2.设AB 中点M ′(x 0，y 0)，抛物线的焦点为F ，分别过点A ，B 作准线x ＝－1的垂线，垂足为A ′，B ′，则|MM ′|＝12|AB |＝12(|AF |＋|BF |)＝12(|AA ′|＋|BB ′|)． ∵M ′(x 0，y 0)为AB 的中点，∴M 为A ′B ′的中点，∴MM ′平行于x 轴， ∴y 1＋y 2＝2，∴k ＝2. 答案：29．抛物线y ＝－14x 2上的动点M 到两定点F (0，－1)，E (1，－3)的距离之和的最小值为________．解析：抛物线标准方程为x 2＝－4y ，其焦点坐标为(0，－1)，准线方程为y ＝1，则|MF |的长度等于点M 到准线y ＝1的距离，从而点M 到两定点F ，E 的距离之和的最小值为点E (1，－3)到直线y ＝1的距离．即最小值为4.答案：410．已知抛物线y 2＝2px (p >0)上一点M (1，m )到其焦点的距离为5，双曲线x 2－y 2a＝1的左顶点为A ，若双曲线的一条渐近线与直线AM 垂直，则实数a ＝________.解析：根据抛物线的定义得1＋p2＝5，p ＝8.不妨取M (1,4)，则AM 的斜率为2，由已知得－a ×2＝－1，故a ＝14.答案：1411.如图，已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A 是抛物线上横坐标为4，且位于x 轴上方的点，点A 到抛物线准线的距离等于5，过点A 作AB 垂直于y 轴，垂足为点B ，OB 的中点为M .(1)求抛物线的方程；(2)过点M 作MN ⊥FA ，垂足为N ，求点N 的坐标． 解：(1)抛物线y 2＝2px 的准线方程为x ＝－p2，于是4＋p2＝5，p ＝2，所以抛物线的方程为y 2＝4x .(2)由题意得A (4,4)，B (0,4)，M (0,2)．又F (1,0)， 所以k AF ＝43，则直线FA 的方程为y ＝43(x －1)．因为MN ⊥FA ，所以k MN ＝－34，则直线MN 的方程为y ＝－34x ＋2.解方程组⎩⎨⎧ y ＝－34x ＋2，y ＝43(x －1)得⎩⎨⎧x ＝85，y ＝45，所以N ⎝⎛⎭⎫85，45.12．已知AB 是抛物线y 2＝2px (p >0)的过焦点F 的一条弦．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点为M (x 0，y 0)．求证：(1)若AB 的倾斜角为θ，则|AB |＝2psin 2θ； (2)x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2；(3)1|AF |＋1|BF |为定值2p. 证明：(1)设直线AB 的方程为x ＝my ＋p2，代入y 2＝2px ，可得y 2－2pmy －p 2＝0，则y 1y 2＝－p 2，y 1＋y 2＝2pm ，∴y 21＋y 22＝2p (x 1＋x 2)＝(y 1＋y 2)2－2y 1y 2＝4p 2m 2＋2p 2，∴x 1＋x 2＝2pm 2＋p .当θ＝90°时，m ＝0，x 1＋x 2＝p ， ∴|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2p ＝2p sin 2θ；当θ≠90°时，m ＝1tan θ，x 1＋x 2＝2ptan 2θ＋p ，∴|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2p tan 2θ＋2p ＝2psin 2θ. ∴|AB |＝2p sin 2θ. (2)由(1)知，y 1y 2＝－p 2，∴x 1x 2＝(y 1y 2)24p 2＝p 24.(3)1|AF |＋1|BF |＝1x 1＋p 2＋1x 2＋p2＝x 1＋x 2＋p x 1x 2＋p 2(x 1＋x 2)＋p 24＝x 1＋x 2＋p p 2(x 1＋x 2＋p )＝2p .13．已知抛物线y 2＝2x .(1)设点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫23，0，求抛物线上距离点A 最近的点P 的坐标及相应的距离|PA |； (2)在抛物线上求一点M ，使M 到直线x －y ＋3＝0的距离最短，并求出距离的最小值． 解：(1)设抛物线上任一点P (x ，y )，则|PA |2＝⎝⎛⎭⎫x －232＋y 2＝⎝⎛⎭⎫x －232＋2x ＝⎝⎛⎭⎫x ＋132＋13， 因为x ≥0，且在此区间上函数单调递增， 所以当x ＝0时，|PA |min ＝23，故距点A 最近的点P 的坐标为(0,0)．(2)设点M (x 0，y 0)是y 2＝2x 上任一点，则M 到直线x －y ＋3＝0的距离为d ＝|x 0－y 0＋3|2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪y 20－2y 0＋622＝|(y 0－1)2＋5|22，当y 0＝1时，d min ＝522＝524，所以点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
抛物线专题练习1．（2020·吉林省长春模拟）点M (5，3)到抛物线y ＝ax 2的准线的距离为6，那么抛物线的标准方程是( )A ．x 2＝112yB ．x 2＝112y 或x 2＝－136yC ．x 2＝－136yD ．x 2＝12y 或x 2＝－36y2．（2020·江西省安义中学模拟）已知抛物线y ＝px 2(其中p 为常数)过点A (1,3)，则抛物线的焦点到准线的距离等于( )A.92B.32C.118D.163．（2020·山东省乳山市第一中学模拟）顶点在原点，且过点(－4,4)的抛物线的标准方程是( ) A ．y 2＝－4xB ．x 2＝4yC ．y 2＝－4x 或x 2＝4yD ．y 2＝4x 或x 2＝－4y4．（2020·河南省信阳市第一中学模拟）已知AB 是抛物线y 2＝8x 的一条焦点弦，|AB |＝16，则AB 中点C 的横坐标是( )A ．3B ．4C ．6D ．85．（2020·四川省自贡市一中模拟）若直线AB 与抛物线y 2＝4x 交于A ，B 两点，且AB ⊥x 轴，|AB |＝42，则抛物线的焦点到直线AB 的距离为( )A ．1B ．2C ．3D ．56．（2020·四川省资阳模拟）设F 为抛物线y 2＝2x 的焦点，A ，B ，C 为抛物线上三点，若F 为⊥ABC 的重心，则|F A →|＋|FB →|＋|FC →|的值为( )7．A ．1 B ．2 C ．3 D ．47．（2020·陕西省延安模拟）已知F 是抛物线C 1：y 2＝2px (p ＞0)的焦点，曲线C 2是以F 为圆心，p2为半径的圆，直线4x －3y －2p ＝0与曲线C 1，C 2从上到下依次相交于点A ，B ，C ，D ，则|AB ||CD |＝( )A ．16B ．4 C.83 D.538．（2020·广东省惠州市一中模拟）已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，准线方程为x ＝－2，过点F 的直线与抛物线C 交于M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)两点，若|MN |＝8，则y 21＋y 22＝( )A ．16B ．32C ．24D ．489．（2020·湖南省邵阳市二中模拟）已知F 是抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点，过点R (2,1)的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，R 为线段AB 的中点．若|F A |＋|FB |＝5，则直线l的斜率为( )A ．3B ．1C ．2D.1210．（2020·湖北省汉川市一中模拟）已知直线l ：y ＝k (x ＋2)(k ＞0)与抛物线C ：y 2＝8x 相交于A ，B 两点，F 为C 的焦点．若|F A |＝2|FB |，则k ＝( )A.13B.23C.23D.223 11．（2020·山东省菏泽市一中模拟）已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 与双曲线x 23－y 2＝1的右焦点重合，若A 为抛物线在第一象限上的一点，且|AF |＝3，则直线AF 的斜率为 ．12．（2020·江西省任弼时中学模拟）若抛物线x 2＝4y 上的点A 到焦点的距离为10，则点A 到x 轴的距离是 ．13．（2020·福建省永春一中模拟）已知正三角形AOB (O 为坐标原点)的顶点A ，B 在抛物线y 2＝3x 上，则⊥AOB 的边长是 ．14．（2020·安徽省池州二中模拟）直线y＝k(x－1)与抛物线y2＝4x交于A，B两点，若|AB|＝163，则k＝.15．（2020·江苏省淮北中学模拟）已知抛物线y2＝2px(p＞0)过点A(2，y0)，且点A到其准线的距离为4.(1)求抛物线的方程；(2)直线l：y＝x＋m与抛物线交于两个不同的点P，Q，若OP⊥OQ，求实数m的值．16．（2020·浙江省丽水中学模拟）如图，已知点F为抛物线E：y2＝2px(p＞0)的焦点，点A(2，m)在抛物线E上，且|AF|＝3.(1)求抛物线E的方程；(2)已知点G(－1,0)，延长AF交抛物线E于点B，证明：GF为⊥AGB的平分线．17．（2020·吉林省松原市二中模拟）已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4，且位于x轴上方的点，A到抛物线准线的距离等于5，过A作AB垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为M.(1)求抛物线的方程；(2)若过M作MN⊥F A，垂足为N，求点N的坐标．1．（2020·吉林省长春模拟）点M (5，3)到抛物线y ＝ax 2的准线的距离为6，那么抛物线的标准方程是( )A ．x 2＝112yB ．x 2＝112y 或x 2＝－136yC ．x 2＝－136yD ．x 2＝12y 或x 2＝－36y【答案】D【解析】将y ＝ax 2化为x 2＝1a y .当a >0时，准线y ＝－14a ，则3＋14a ＝6，⊥a ＝112.当a <0时，准线y ＝－14a ，则⎪⎪⎪⎪3＋14a ＝6，⊥a ＝－136. ⊥抛物线方程为x 2＝12y 或x 2＝－36y2．（2020·江西省安义中学模拟）已知抛物线y ＝px 2(其中p 为常数)过点A (1,3)，则抛物线的焦点到准线的距离等于( )A.92B.32C.118D.16【答案】D【解析】由抛物线y ＝px 2(其中p 为常数)过点A (1,3)，可得p ＝3，则抛物线的标准方程为x 2＝13y ，则抛物线的焦点到准线的距离等于16.故选D.]3．（2020·山东省乳山市第一中学模拟）顶点在原点，且过点(－4,4)的抛物线的标准方程是( ) A ．y 2＝－4xB ．x 2＝4yC ．y 2＝－4x 或x 2＝4yD ．y 2＝4x 或x 2＝－4y 【答案】C【解析】设所求抛物线方程为y 2＝kx 或x 2＝my ，又点(－4,4)在抛物线上，则有－4k ＝16或4m ＝16，解得k ＝－4或m ＝4，所求抛物线方程为y 2＝－4x 或x 2＝4y .故选C.]4．（2020·河南省信阳市第一中学模拟）已知AB 是抛物线y 2＝8x 的一条焦点弦，|AB |＝16，则AB 中点C 的横坐标是( )A ．3B ．4C ．6D ．8【答案】C【解析】设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝16，又p ＝4，所以x 1＋x 2＝12，所以点C 的横坐标是x 1＋x 22＝6.]5．（2020·四川省自贡市一中模拟）若直线AB 与抛物线y 2＝4x 交于A ，B 两点，且AB ⊥x 轴，|AB |＝42，则抛物线的焦点到直线AB 的距离为( )A ．1B ．2C ．3D ．5【答案】A【解析】由|AB |＝42及AB ⊥x 轴，不妨设点A 的纵坐标为22，代入y 2＝4x 得点A 的横坐标为2，从而直线AB 的方程为x ＝2.又y 2＝4x 的焦点为(1,0)，所以抛物线的焦点到直线AB 的距离为2－1＝1，故选A.]6．（2020·四川省资阳模拟）设F 为抛物线y 2＝2x 的焦点，A ，B ，C 为抛物线上三点，若F 为⊥ABC 的重心，则|F A →|＋|FB →|＋|FC →|的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】C【解析】依题意，设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，又焦点F ⎝⎛⎭⎫12，0，所以x 1＋x 2＋x 3＝3×12＝32，则|F A →|＋|FB →|＋|FC →|＝⎝⎛⎭⎫x 1＋12＋⎝⎛⎭⎫x 2＋12＋⎝⎛⎭⎫x 3＋12＝(x 1＋x 2＋x 3)＋32＝32＋32＝3 7．（2020·陕西省延安模拟）已知F 是抛物线C 1：y 2＝2px (p ＞0)的焦点，曲线C 2是以F 为圆心，p2为半径的圆，直线4x －3y －2p ＝0与曲线C 1，C 2从上到下依次相交于点A ，B ，C ，D ，则|AB ||CD |＝( )A ．16B ．4 C.83 D.53【答案】A【解析】因为直线4x －3y －2p ＝0过C 1的焦点F (C 2的圆心)，故|BF |＝|CF |＝p 2，所以|AB ||CD |＝|AF |－p2|DF |－p2.由抛物线的定义得|AF |－p 2＝x A ，|DF |－p2＝x D .由⎩⎪⎨⎪⎧4x －3y －2p ＝0，y 2＝2px ，整理得8x 2－17px ＋2p 2＝0，即(8x －p )(x －2p )＝0，可得x A ＝2p ，x D ＝p 8，故|AB ||CD |＝x Ax D ＝2pp 8＝16.故选A 8．（2020·广东省惠州市一中模拟）已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，准线方程为x ＝－2，过点F 的直线与抛物线C 交于M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)两点，若|MN |＝8，则y 21＋y 22＝( )A ．16B ．32C ．24D ．48【答案】B【解析】由准线方程为x ＝－2，可知p ＝4，则抛物线C 的方程为y 2＝8x .由抛物线的定义可知，|MN |＝|MF |＋|NF |＝x 1＋x 2＋4＝8，则x 1＋x 2＝4，即y 218＋y 228＝4，故y 21＋y 22＝32.故选B.] 9．（2020·湖南省邵阳市二中模拟）已知F 是抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点，过点R (2,1)的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，R 为线段AB 的中点．若|F A |＋|FB |＝5，则直线l 的斜率为( )A ．3B ．1C ．2 D.12【答案】B【解析】由于R (2,1)为AB 中点，设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )．根据抛物线的定义|F A |＋|FB |＝x A ＋x B ＋p ＝2×2＋p ＝5，解得p ＝1，抛物线方程为y 2＝2x .y 2A ＝2x A ，y 2B ＝2x B，两式相减并化简得y B－y A x B －x A ＝2y A ＋y B ＝22×1＝1，即直线l 的斜率为1.故选B.]10．（2020·湖北省汉川市一中模拟）已知直线l ：y ＝k (x ＋2)(k ＞0)与抛物线C ：y 2＝8x 相交于A ，B 两点，F 为C 的焦点．若|F A |＝2|FB |，则k ＝( )A.13B.23C.23D.223 【答案】D【解析】由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋2)，y 2＝8x ，消去y 得k 2x 2＋(4k 2－8)x ＋4k 2＝0.Δ＝(4k 2－8)2－16k 4＞0，解得－1＜k ＜1.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．x 1＋x 2＝8k 2－4.⊥ x 1x 2＝4.⊥ 根据抛物线的定义及|F A |＝2|FB |，得x 1＋2＝2(x 2＋2)，即x 1＝2x 2＋2，⊥且x 1＞0，x 2＞0，由⊥⊥解得x 1＝4，x 2＝1，代入⊥得k 2＝89，k ＞0，⊥k ＝223.故选D.11．（2020·山东省菏泽市一中模拟）已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 与双曲线x 23－y 2＝1的右焦点重合，若A 为抛物线在第一象限上的一点，且|AF |＝3，则直线AF 的斜率为 ．【答案】－22【解析】⊥双曲线x 23－y 2＝1的右焦点为(2,0)，⊥抛物线方程为y 2＝8x .⊥|AF |＝3，⊥x A ＋2＝3，得x A ＝1，代入抛物线方程可得y A ＝±2 2.⊥点A 在第一象限，⊥A (1,22)，⊥直线AF 的斜率为221－2＝－2 2.]12．（2020·江西省任弼时中学模拟）若抛物线x 2＝4y 上的点A 到焦点的距离为10，则点A 到x 轴的距离是 ．【答案】9【解析】根据题意，抛物线x 2＝4y 的准线方程为y ＝－1，点A 到准线的距离为10，故点A 到x 轴的距离是9.]13．（2020·福建省永春一中模拟）已知正三角形AOB (O 为坐标原点)的顶点A ，B 在抛物线y 2＝3x 上，则⊥AOB 的边长是 ．【答案】63【解析】如图，设⊥AOB 的边长为a ，则A ⎝⎛⎭⎫32a ，12a ，⊥点A 在抛物线y 2＝3x 上，⊥14a 2＝3×32a ，⊥a ＝6 3.] 14．（2020·安徽省池州二中模拟）直线y ＝k (x －1)与抛物线y 2＝4x 交于A ，B 两点，若|AB |＝163，则k ＝ .【答案】±3【解析】设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，因为直线AB 经过抛物线y 2＝4x 的焦点，所以|AB |＝x 1＋x 2＋2＝163，所以x 1＋x 2＝103.联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝k (x －1)得到k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，所以x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2＝103，所以k ＝± 3.]15．（2020·江苏省淮北中学模拟）已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)过点A (2，y 0)，且点A 到其准线的距离为4.(1)求抛物线的方程；(2)直线l ：y ＝x ＋m 与抛物线交于两个不同的点P ，Q ，若OP ⊥OQ ，求实数m 的值． 【解析】(1)已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)过点A (2，y 0)，且点A 到准线的距离为4， ⊥2＋p2＝4，⊥p ＝4，⊥抛物线的方程为y 2＝8x .(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，y 2＝8x 得x 2＋(2m －8)x ＋m 2＝0.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝8－2m ，x 1x 2＝m 2，y 1＋y 2＝x 1＋x 2＋2m ＝8，y 1y 2＝(x 1＋m )(x 2＋m )＝x 1x 2＋m (x 1＋x 2)＋m 2＝8m . ⊥OP ⊥OQ ，⊥x 1x 2＋y 1y 2＝m 2＋8m ＝0， ⊥m ＝0或m ＝－8.经检验，当m ＝0时，直线与抛物线交点中有一点与原点O 重合，不符合题意． 当m ＝－8时，Δ＝(－24)2－4×64＞0，符合题意． 综上，实数m 的值为－8.16．（2020·浙江省丽水中学模拟）如图，已知点F 为抛物线E ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点，点A (2，m )在抛物线E 上，且|AF |＝3.(1)求抛物线E 的方程；(2)已知点G (－1,0)，延长AF 交抛物线E 于点B ，证明：GF 为⊥AGB 的平分线． 【解析】(1)由抛物线定义可得|AF |＝2＋p2＝3，解得p ＝2.⊥抛物线E 的方程为y 2＝4x .(2)证明：⊥点A (2，m )在抛物线E 上，⊥m 2＝4×2，解得m ＝±22，由抛物线的对称性，不妨设A (2,22)，由A (2,22)，F (1,0)， ⊥直线AF 的方程为y ＝22(x －1)，由⎩⎨⎧y ＝22(x －1)，y 2＝4x ，得2x 2－5x ＋2＝0，解得x ＝2或12，⊥B ⎝⎛⎭⎫12，－2. 又G (－1,0)，⊥k GA ＝223，k GB ＝－223，⊥k GA ＋k GB ＝0， ⊥⊥AGF ＝⊥BGF .⊥GF 为⊥AGB 的平分线．17．（2020·吉林省松原市二中模拟）已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，A 是抛物线上横坐标为4，且位于x 轴上方的点，A 到抛物线准线的距离等于5，过A 作AB 垂直于y 轴，垂足为B ，OB 的中点为M .(1)求抛物线的方程；(2)若过M 作MN ⊥F A ，垂足为N ，求点N 的坐标．【解析】(1)抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线为x ＝－p 2，于是4＋p 2＝5，⊥p ＝2. ⊥抛物线方程为y 2＝4x .(2)⊥点A 的坐标是(4,4)，由题意得B (0,4)，M (0,2)．又⊥F (1,0)，⊥k F A ＝43， ⊥MN ⊥F A ，⊥k MN ＝－34. ⊥F A 的方程为y ＝43(x －1)， ⊥ MN 的方程为y －2＝－34x ， ⊥联立⊥⊥，解得x ＝85，y ＝45， ⊥点N 的坐标为⎝⎛⎭⎫85，45.。