使用递归算法的思路分析问题
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如第三层的1只能走第四层 的3或1
问能否找到一条路径，使 得路径上的权值之和最大 ？
贪心法求解的算法设计
使用文件保存三角形的层数和所有数据
描述一个n层的三角形，需要(n*（n+1）)/2个 数据和一个描述层次的数据;
使用二维数组a[]，保存数字三角形的所有 数据
二维数组的大小为N*N，当然，其中有一半的 元素为空值0;
(3.8)
0-1背包问题求解
设有物件n项，重量为w(5,3,2), 价值v(9,7,8)，如果背包 只能装5斤，求可以放背包的物品最大价值。
使用回溯算法，决策树的建树过程为：深度有限，左侧优 先，左侧分支不取东西，右侧取当前物件
i：红色，表示物品的编号 aw：绿色，当前可用空间 V：蓝色，当前物品价值
省去了为寻找最优解要穷尽所有可能而必须耗 费的大量时间
采用自顶向下,以迭代的方法做出相关的贪 心选择
每做一次贪心选择就将所求问题简化为一个规 模更小的子问题
贪心算法的特点
通过每一步贪心选择,可得到问题的一个局 部最优解
但由此得到的全局解却不一定都是是最优的
求解数字三角形
有任意一个数字三角形， 只能自第一层(顶层)向下 行走,且只能走下接的相 邻两个结点
Maxvalue是一个递归实现的子程序，其中 的主要传递参数如下：
w： 项目物体的重量数组 v： 项目物体的价值数组 length_of(w)： 重量数组的长度，也是最后
一个物件下标，遍历循环的开始点，直到第一 个元素 max_weight：背包的最大容量 ｘ：最后的返回值，即背包中物体的价值
分治法的分（Divide）是指将较大的问题划分 为若干个较小的问题，然后用递归法求解子问 题；
分治法的治（Conquer）是指从小问题的解来 构建大问题的解
分治策略
分治法算法中至少包含有两次递归过程， 只有一个递归过程的算法在严格意义上不 能算作分治算法
求用分治法进行幂运算降序求解
在公钥加密的RSA算法中将高次幂运算转换 为低次幂运算可以加快加密和解密的计算 过程，从而提高了RSA算法的运算速度
算法一：采用递推循环的方式实现类似 a**b的计算过程；
算法二：采用递归方式实现分治算法： a**b= (a*a)**(b/2) b=偶数 a**b= a*(a**(b-1)) b=奇数
分治法的计算效率
以求520为例，使用分治方法与不使用分治 方法的递归算法比较，分治法可以节省近 三分之二时间
第3章 基本算法和策略 PART B
《可视化计算》
基本策略
算法设计过程中，发现问题、分析问题及 解决问题的思路、步骤与其他学科中的方 法是一致的，就是寻找规律
计算机科学家在算法研究过程中总结了一 些具有普遍意义的算法策略和一些可循的 规律，能够帮助我们较快地找到算法
基本策略
贪心策略 分治策略 回溯策略 动态规划 将递归算法转成非递归实现
分治方法乘幂运算流程图
回溯策略
如果问题的规模（数量）是按指数速度增 加的，那么这些算法的能力将受到一定的 限制
在这种情况下，回溯法（Backtracking） 也许是一个更好的选择
回溯法也叫穷尽搜索法（Brute-Force Search ），其基本思想是尝试分步地去解决一个问题
0-1背包问题的数学描述
动态规划
计算Fibonacci数列的第n项：当项数大于2 时，F（n）=F（n-1）+F（n-2）
如果计算Fibonacci数列第n项，这需要计 算从第3项到第n-1项
随着n值的增大，递归解法的算法时间复杂性 会按几何级数增长
这类问题的关键是子问题（sub-problem ）有重叠，因而分治法并不适合于此类问 题的求解
动态规划
基本思想是：如果一个较大问题可以被分 源自文库为若干个子问题，并且子问题有重叠， 那么，可以将每个子问题的解存放到一个 表中，然后通过查表来解决问题，减少不 必要的重复计算
动态规划是20世纪50年代美国数学家Richard Bellman提出的
素的顺序，但元组中的元素有严格的顺序 规定
在0-1背包问题中的决策树中的元素和重量 为w(5,3,2), 价值v(9,7,8)，皆为三元组
k元组的概念在下一章的有限状态机和图灵 机中还会用到
0-1背包回溯算法的main子图
建议测试案例从简单的方案开始
0-1背包问题-回溯法求解流程图
0-1背包回溯算法说明
贪心策略
贪心算法在对问题求解时，总是做出在当 前看来是最好的选择，因此它仅仅是某种 意义上的局部最优解
但在相当广泛范围内，对许多问题它能产 生整体最优解或者是整体最优解的近似解
“鼠目寸光” 是对贪心算法的最好描述
贪心算法的特点
以当前情况为基础根据某个偏好原则作最 优选择，而不考虑各种可能的整体情况
（3，5，0）
（2，5，0） （1，5，0） （1，2，7）
（2，3，8） （1，0，15）
（1，3，8）
（-，2，7）（-，-3，16）
（-，5，0）（-，0，9）
（-，3，8） （-，-2，17）
k元组的概念
元组(tuple)是一种有穷序列，k个元素的序 列称为k元组。与集合不同，集合不考虑元
现有n种物品，对1<=i<=n，已知第i种物 品的重量为正整数Wi，价值为正整数Vi， 背包能承受的最大载重量为正整数W
现要求找出这n种物品的一个子集，使得子
集中物品的总重量不超过W且总价值尽量
大
n
wi xi
W
i1
xi {0,1}(1 i n)
(3.7)
n
max vi xi i 1
贪心法求解的算法设计
使用line，colum 两个变量在二维数组中 ，作为数字定位的指针；
x作为保存权值累计的变量； line的值同时用来控制路径行走的循环
流程图
分治策略
分治法（Divide and Conquer）的基本 思想是，将一个较大规模的问题分解为若 干个较小规模的子问题，找出子问题的解 ，然后把各个子问题的解合并,从而得到整 个问题的解
问能否找到一条路径，使 得路径上的权值之和最大 ？
贪心法求解的算法设计
使用文件保存三角形的层数和所有数据
描述一个n层的三角形，需要(n*（n+1）)/2个 数据和一个描述层次的数据;
使用二维数组a[]，保存数字三角形的所有 数据
二维数组的大小为N*N，当然，其中有一半的 元素为空值0;
(3.8)
0-1背包问题求解
设有物件n项，重量为w(5,3,2), 价值v(9,7,8)，如果背包 只能装5斤，求可以放背包的物品最大价值。
使用回溯算法，决策树的建树过程为：深度有限，左侧优 先，左侧分支不取东西，右侧取当前物件
i：红色，表示物品的编号 aw：绿色，当前可用空间 V：蓝色，当前物品价值
省去了为寻找最优解要穷尽所有可能而必须耗 费的大量时间
采用自顶向下,以迭代的方法做出相关的贪 心选择
每做一次贪心选择就将所求问题简化为一个规 模更小的子问题
贪心算法的特点
通过每一步贪心选择,可得到问题的一个局 部最优解
但由此得到的全局解却不一定都是是最优的
求解数字三角形
有任意一个数字三角形， 只能自第一层(顶层)向下 行走,且只能走下接的相 邻两个结点
Maxvalue是一个递归实现的子程序，其中 的主要传递参数如下：
w： 项目物体的重量数组 v： 项目物体的价值数组 length_of(w)： 重量数组的长度，也是最后
一个物件下标，遍历循环的开始点，直到第一 个元素 max_weight：背包的最大容量 ｘ：最后的返回值，即背包中物体的价值
分治法的分（Divide）是指将较大的问题划分 为若干个较小的问题，然后用递归法求解子问 题；
分治法的治（Conquer）是指从小问题的解来 构建大问题的解
分治策略
分治法算法中至少包含有两次递归过程， 只有一个递归过程的算法在严格意义上不 能算作分治算法
求用分治法进行幂运算降序求解
在公钥加密的RSA算法中将高次幂运算转换 为低次幂运算可以加快加密和解密的计算 过程，从而提高了RSA算法的运算速度
算法一：采用递推循环的方式实现类似 a**b的计算过程；
算法二：采用递归方式实现分治算法： a**b= (a*a)**(b/2) b=偶数 a**b= a*(a**(b-1)) b=奇数
分治法的计算效率
以求520为例，使用分治方法与不使用分治 方法的递归算法比较，分治法可以节省近 三分之二时间
第3章 基本算法和策略 PART B
《可视化计算》
基本策略
算法设计过程中，发现问题、分析问题及 解决问题的思路、步骤与其他学科中的方 法是一致的，就是寻找规律
计算机科学家在算法研究过程中总结了一 些具有普遍意义的算法策略和一些可循的 规律，能够帮助我们较快地找到算法
基本策略
贪心策略 分治策略 回溯策略 动态规划 将递归算法转成非递归实现
分治方法乘幂运算流程图
回溯策略
如果问题的规模（数量）是按指数速度增 加的，那么这些算法的能力将受到一定的 限制
在这种情况下，回溯法（Backtracking） 也许是一个更好的选择
回溯法也叫穷尽搜索法（Brute-Force Search ），其基本思想是尝试分步地去解决一个问题
0-1背包问题的数学描述
动态规划
计算Fibonacci数列的第n项：当项数大于2 时，F（n）=F（n-1）+F（n-2）
如果计算Fibonacci数列第n项，这需要计 算从第3项到第n-1项
随着n值的增大，递归解法的算法时间复杂性 会按几何级数增长
这类问题的关键是子问题（sub-problem ）有重叠，因而分治法并不适合于此类问 题的求解
动态规划
基本思想是：如果一个较大问题可以被分 源自文库为若干个子问题，并且子问题有重叠， 那么，可以将每个子问题的解存放到一个 表中，然后通过查表来解决问题，减少不 必要的重复计算
动态规划是20世纪50年代美国数学家Richard Bellman提出的
素的顺序，但元组中的元素有严格的顺序 规定
在0-1背包问题中的决策树中的元素和重量 为w(5,3,2), 价值v(9,7,8)，皆为三元组
k元组的概念在下一章的有限状态机和图灵 机中还会用到
0-1背包回溯算法的main子图
建议测试案例从简单的方案开始
0-1背包问题-回溯法求解流程图
0-1背包回溯算法说明
贪心策略
贪心算法在对问题求解时，总是做出在当 前看来是最好的选择，因此它仅仅是某种 意义上的局部最优解
但在相当广泛范围内，对许多问题它能产 生整体最优解或者是整体最优解的近似解
“鼠目寸光” 是对贪心算法的最好描述
贪心算法的特点
以当前情况为基础根据某个偏好原则作最 优选择，而不考虑各种可能的整体情况
（3，5，0）
（2，5，0） （1，5，0） （1，2，7）
（2，3，8） （1，0，15）
（1，3，8）
（-，2，7）（-，-3，16）
（-，5，0）（-，0，9）
（-，3，8） （-，-2，17）
k元组的概念
元组(tuple)是一种有穷序列，k个元素的序 列称为k元组。与集合不同，集合不考虑元
现有n种物品，对1<=i<=n，已知第i种物 品的重量为正整数Wi，价值为正整数Vi， 背包能承受的最大载重量为正整数W
现要求找出这n种物品的一个子集，使得子
集中物品的总重量不超过W且总价值尽量
大
n
wi xi
W
i1
xi {0,1}(1 i n)
(3.7)
n
max vi xi i 1
贪心法求解的算法设计
使用line，colum 两个变量在二维数组中 ，作为数字定位的指针；
x作为保存权值累计的变量； line的值同时用来控制路径行走的循环
流程图
分治策略
分治法（Divide and Conquer）的基本 思想是，将一个较大规模的问题分解为若 干个较小规模的子问题，找出子问题的解 ，然后把各个子问题的解合并,从而得到整 个问题的解