(完整版)高中数学圆锥曲线结论(最完美版本)

椭 圆
1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.
2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦
点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以
长轴为直径的圆，除去长轴的两个端
点.
3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.
4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.
5. 若000(,)P x y 在椭圆22
221x y a b
+=上，则过0
P 的椭圆的切线方程是00221x x y y
a b +=.
6. 若000(,)P x y 在椭圆22
221x y a b
+=外 ，则过
Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是
00221x x y y
a b
+=. 7. 椭圆22
221x y a b
+= (a ＞b ＞0)的左右焦点
分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为1
2
2tan 2
F PF S b γ
∆=.
8. 椭圆
22
22
1x y a b +=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：
10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - ,
2(,0)F c 00(,)M x y ).
9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、
Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于
两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶
点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q
交于点N ，则MF ⊥NF.
11. AB 是椭圆22
221x y a b
+=的不平行于对称轴
的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则
2
2OM AB b k k a ⋅=-，
即0
20
2y a x b K AB -=。

双曲线
1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角.
2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.
3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交.
4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右支；外切：P 在左支）
5. 若000(,)P x y 在双曲线22
221x y a b
-=（a ＞
0,b ＞0）上，则过0P 的双曲线的切
线方程是
00221x x y y
a b
-=. 6. 若000(,)P x y 在双曲线22
221x y a b
-=（a ＞
0,b ＞0）外 ，则过Po 作双曲线的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是
00221x x y y
a b
-=. 7. 双曲线22
221x y a b
-=（a ＞0,b ＞o ）的左
右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线上任意一点12F PF γ∠=，则双曲线的焦点角形的面积为1
2
2t 2
F PF S b co γ
∆=.
8. 双曲线22
221x y a b
-=（a ＞0,b ＞o ）的焦
半径公式：(1(,0)F c - , 2(,0)F c
当00(,)M x y 在右支上时，
10||MF ex a =+,20||MF ex a =-.
当00(,)M x y 在左支上时，10||MF ex a =-+,20||MF ex a =--
9. 设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的双曲线准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 10. 过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, A 1、A 2为双曲线实轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF. 11. AB 是双曲线
2
2
22
1x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的不平行于对称轴的弦，M )
,(00y x 为AB 的中点，则0
20
2y a x b K K AB OM =⋅，即0
20
2y a x b K AB
=。

12. 若000(,)P x y 在双曲线22
221x y a b
-=（a ＞
0,b ＞0）内，则被Po 所平分的中点
弦的方程是22
00002222x x y y x y a b a b
-=-.
13. 若000(,)P x y 在双曲线22
221x y a b
-=（a ＞
0,b ＞0）内，则过Po 的弦中点的轨
迹方程是22002222x x y y
x y a b a b
-=-.
椭圆与双曲线的对偶性质--椭 圆
1. 椭圆22
221x y a b
+=（a ＞b ＞o ）的两个顶
点为1(,0)A a -,2(,0)A a ，与y 轴平行的
直线交椭圆于P 1、P 2时A 1P 1与A 2P 2
交点的轨迹方程是22
221x y a b
-=.
2. 过椭圆22
221x y a b
+= (a ＞0, b ＞0)上任
一点00(,)A x y 任意作两条倾斜角互
补的直线交椭圆于B,C 两点，则直线BC 有定向且20
20
BC
b x k a y =（常数）. 3. 若P 为椭圆22
221x y a b
+=（a ＞b ＞0）上
异于长轴端点的任一点,F 1, F 2是焦点, 12PF F α∠=, 21PF F β∠=，则
tan t 22
a c co a c αβ
-=+. 4. 设椭圆22
221x y a b
+=（a ＞b ＞0）的两个
焦点为F 1、F 2,P （异于长轴端点）
为椭圆上任意一点，在△PF 1F 2中，记12F PF α∠=,
12PF F β∠=,12F F P γ∠=，则有
sin sin sin c
e a
αβγ==+.
5. 若椭圆22
221x y a b
+=（a ＞b ＞0）的左、
右焦点分别为F 1、F 2，左准线为L ，则当0＜e
1时，可在椭圆上求一点P ，使得PF 1是P 到对应准线距离d 与PF 2的比例中项.
6. P 为椭圆22
221x y a b
+=（a ＞b ＞0）上任
一点,F 1,F 2为二焦点，A 为椭圆内一定点，则
2112||||||2||a AF PA PF a AF -≤+≤+,当且
仅当2,,A F P 三点共线时，等号成立.
7. 椭圆22
0022
()()1x x y y a b --+=与直线0Ax By C ++=有公共点的充要条件
是2
2
2
2
2
00()A a B b Ax By C +≥++.
8. 已知椭圆22
221x y a b
+=（a ＞b ＞0），O
为坐标原点，P 、Q 为椭圆上两动点，
且OP OQ ⊥. 1)
222
21111
||||OP OQ a b
+=+; 2) |OP|2
+|OQ|2
的最大值为22
224a b a b +;
3) OPQ S ∆的最小值是22
22a b a b
+.
9. 过椭圆22
221x y a b
+=（a ＞b ＞0）的右焦
点F 作直线交该椭圆右支于M,N 两点，弦MN 的垂直平分线交x 轴于P ，则
||||2
PF e
MN =. 10. 已知椭圆22
221x y a b
+=（ a ＞b ＞0）
,A 、B 、是椭圆上的两点，线段
AB 的垂直平分线与x 轴相交于点
0(,0)P x , 则2222
0a b a b x a a
---<<.
11. 设P 点是椭圆22
221x y a b
+=（ a ＞b ＞0）
上异于长轴端点的任一点,F 1、F 2为其焦点记12F PF θ∠=，则
1) 2
122||||1cos b PF PF θ
=+.
2) 12
2tan 2
PF F S b γ
∆=.
12. 设A 、B 是椭圆22
221x y a b
+=（ a ＞b
＞0）的长轴两端点，P 是椭圆上的一点，PAB α∠=,
PBA β∠=,BPA γ∠=，c 、e 分别是椭圆的半焦距离心率，则有
(1)22222|cos |
||s ab PA a c co αγ
=-.(2)
2tan tan 1e αβ=-.(3)
2222
2cot PAB
a b S b a γ∆=-. 13. 已知椭圆22
221x y a b
+=（ a ＞b ＞0）的
右准线l 与x 轴相交于点E ，过椭圆右焦点F 的直线与椭圆相交于A 、B 两点,点C 在右准线l 上，且BC x ⊥轴，则直线AC 经过线段EF 的中点.
14. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.
15. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点
的连线必与焦半径互相垂直. 16.椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率). （注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.）
17.椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e. 18.椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.
椭圆与双曲线的对偶性
质--双曲线
1. 双曲线22
221x y a b
-=（a ＞0,b ＞0）
的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ，
与y 轴平行的直线交双曲线于P 1、P 2时A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹
方程是22
221x y a b +=.
2. 过双曲线22
221x y a b
-=（a ＞0,b ＞o ）
上任一点00(,)A x y 任意作两条倾
斜角互补的直线交双曲线于B,C 两点，则直线BC 有定向且
20
20
BC
b x k a y =-（常数）. 3. 若P 为双曲线22
221x y a b
-=（a ＞0,b
＞0）右（或左）支上除顶点外
的任一点,F 1, F 2是焦点,
12PF F α∠=, 21PF F β∠=，则
tan t 22c a co c a αβ
-=+（或tan t 22
c a co c a βα
-=+）. 4. 设双曲线22
221x y a b
-=（a ＞0,b ＞0）
的两个焦点为F 1、F 2,P （异于长轴端点）为双曲线上任意一点，在△PF 1F 2中，记12F PF α∠=,
12PF F β∠=,12F F P γ∠=，则有
sin (sin sin )c
e a
αγβ==±-.
5. 若双曲线22
221x y a b
-=（a ＞0,b ＞0）
的左、右焦点分别为F 1、F 2，左准线为L ，则当1＜e
1+时，可在双曲线上求一点P ，使得PF 1是P 到对应准线距离d 与PF 2的比例中项.
6. P 为双曲线22
221x y a b
-=（a ＞0,b ＞
0）上任一点,F 1,F 2为二焦点，A 为双曲线内一定点，则
21||2||||AF a PA PF -≤+,当且仅当2,,A F P 三点共线且P 和2,A F 在y
轴同侧时，等号成立.
7. 双曲线22
221x y a b
-=（a ＞0,b ＞0）
与直线0Ax By C ++=有公共点
的充要条件是2
2
22
2
A a
B b
C -≤.
8. 已知双曲线22
221x y a b
-=（b ＞a ＞
0），O 为坐标原点，P 、Q 为双曲线上两动点，且OP OQ ⊥. （1）
2222
1111
||||OP OQ a b +=-; （2）|OP|2
+|OQ|2
的最小值为22
224a b b a -;
（3）OPQ S ∆的最小值是22
22a b b a
-.
9. 过双曲线22
221x y a b
-=（a ＞0,b ＞0）
的右焦点F 作直线交该双曲线的右支于M,N 两点，弦MN 的垂直平分线交x 轴于P ，则
||||2
PF e
MN =. 10. 已知双曲线22
221x y a b
-=（a ＞0,b ＞
0）,A 、B 是双曲线上的两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴相
交于点0(,0)P x , 则22
0a b x a
+≥或
22
0a b x a
+≤-.
11. 设P 点是双曲线22
221x y a b
-=（a ＞
0,b ＞0）上异于实轴端点的任一点,F 1、F 2为其焦点记12F PF θ∠=，
则(1)2122||||1cos b PF PF θ
=-.(2)
122cot 2
PF F S b γ
∆=.
12. 设A 、B 是双曲线22
221x y a b
-=（a
＞0,b ＞0）的长轴两端点，P 是双曲线上的一点，PAB α∠=,
PBA β∠=,BPA γ∠=，
c 、e 分别是双曲线的半焦距离心率，则有
1) 22222|cos |
|||s |
ab PA a c co αγ=-.
2) 2tan tan 1e αβ=-. 3) 2222
2cot PAB
a b S b a γ∆=+. 13. 已知双曲线22
221x y a b
-=（a ＞0,b ＞
0）的右准线l 与x 轴相交于点E ，过双曲线右焦点F 的直线与双曲线相交于A 、B 两点,点C 在右准线l 上，且BC x ⊥轴，则直线AC 经过线段EF 的中点. 14. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.
15. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.
16.双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率).
(注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点).
17.双曲线焦三角形中,其焦点所对
的旁心将外点与非焦顶点连线
段分成定比e.
18.双曲线焦三角形中,半焦距必为
内、外点到双曲线中心的比例中项.
圆锥曲线问题解题方法
圆锥曲线中的知识综合性较强，因而解题时就需要运用多种基础知识、采用多种数学手段来处理问题。

熟记各种定义、基本公式、法则固然重要，但要做到迅速、准确解题，还须掌握一些方法和技巧。

一. 紧扣定义，灵活解题
灵活运用定义，方法往往直接又明了。

例1. 已知点A （3，2），F （2，0），双曲线x y 2
23
1-=，P 为双曲线上一点。

求||||PA PF +1
2
的最小值。

解析：如图所示，
双曲线离心率为2，F 为右焦点，由第
二定律知1
2
||PF 即点P 到准线距离。

∴+=+≥=||||||||PA PF PA PE AM 125
2
二. 引入参数，简捷明快
参数的引入，尤如化学中的催化剂，能简化和加快问题的解决。

例2. 求共焦点F 、共准线l 的椭圆短轴端点的轨迹方程。

解：取如图所示的坐标系，设点F 到准线l 的距离为p （定值），椭圆中心坐标为M （t ，0）（t 为参数）
p b
c
=
2
，而c t = ∴==b pc pt 2
再设椭圆短轴端点坐标为P （x ，y ），则
x c t y b pt ====⎧⎨⎪⎩
⎪
消去t ，得轨迹方程y px 2=
三. 数形结合，直观显示 将“数”与“形”两者结合起来，充分发挥“数”的严密性和“形”的直观性，以数促形，用形助数，结合使用，能使复杂问题简单化，抽象问题形象化。

熟练的使用它，常能巧妙地解决许多貌似困难和麻烦的问题。

例3. 已知x y R ,∈，且满足方程
x y y 2230+=≥()，又m y x =
++3
3，求m 范围。

解析： m y x =++3
3
的几何意义为，曲线
x y y 2230+=≥()上的点与点（－3，－3）连线的斜率，如图所示
k m k PA PB ≤≤ ∴
-≤≤
+33235
2
m
四. 应用平几，一目了然
用代数研究几何问题是解析几何的本质特征，因此，很多“解几”题中的一些图形性质就和“平几”知识相关联，要抓住关键，适时引用，问题就会迎刃而解。

例4. 已知圆()x y -+=3422和直线y mx =的交点为P 、Q ，则||||OP OQ ⋅的值为________。

解： ∆∆OMP OQN ~
|||
|||||OP OQ OM ON ⋅=⋅=5
五. 应用平面向量，简化解题
向量的坐标形式与解析几何有机融为一体，因此，平面向量成为解决解析几何知识的有力工具。

例5. 已知椭圆：
x y 22
2416
1+=，直线l ：x y
128
1+=，P 是l 上一点，射线OP 交椭圆于一
点R ，点Q 在OP 上且满足||||||OQ OP OR ⋅=2，当点P 在l 上移动时，求点Q 的轨迹方程。

分析：考生见到此题基本上用的都是解析几何法，给解题带来了很大的难度，而如果用向量共线的条件便可简便地解出。

解：如图，OQ OR OP →→→
，，共线，设OR OQ →=→λ，OP OQ →=→μ，OQ x y →
=()，，则OR x y →=()λλ，，OP x y →
=()μμ，
||||||OQ OP OR →⋅→=→2
∴→=→μλ||||OQ OQ 22
2
∴=μλ2
点R 在椭圆上，P 点在直线l 上
∴+=λλ222224161x y ，μμx y
1281+= 即
x y x y 222416128
+=+ 化简整理得点Q 的轨迹方程为：
()()x y -+-=152153
122（直线y x =-2
3上方部分）
六. 应用曲线系，事半功倍
利用曲线系解题，往往简捷明快，收到事半功倍之效。

所以灵活运用曲线系是解析几何中重要的解题方法和技巧之一。

例6. 求经过两圆x y x 22640++-=和
x y y 226280++-=的交点，且圆心在直线
x y --=40上的圆的方程。

解：设所求圆的方程为：
x y x x y y 2222646280++-+++-=λ()
()()()1166284022+++++-+=λλλλx y x y
则圆心为()-+-+3131λλ
λ
，，在直线
x y --=40上
∴解得λ=-7
故所求的方程为x y x y 227320+-+-=
七. 巧用点差，简捷易行
在圆锥曲线中求线段中点轨迹方程，往往采用点差法，此法比其它方法更简捷一些。

例7. 过点A （2，1）的直线与双曲线x y 2
22
1-=相交于两点P 1、P 2，求线段P 1P 2中点
的轨迹方程。

解：设P x y 111()，，P x y 222()，，则
x y x y 12122222
211212-=<>
-=<>
⎧⎨⎪⎪⎩
⎪⎪
<2>－<1>得
()()()()
x x x x y y y y 211221122
-+=
-+
即y y x x x x y y 21211212
2--=++()
设P 1P 2的中点为M x y ()00，，则
k y y x x x y P P 1221210
02=--=
又，而P 1、A 、M 、P 2共线
∴=k k P P AM 12，即y x x y 000
122--=∴P P 12中点M 的轨迹方程是24022x y x y --+=
解析几何题怎么解
高考解析几何试题一般共有4题(2个选择题, 1个填空题, 1个解答题), 共计30分左右, 考查的知识点约为20个左右. 其命题一般紧扣课本, 突出重点, 全面考查. 选择题和填空题考查直线, 圆, 圆锥曲线, 参数方程和极坐标系中的基础知识. 解答题重点考查圆锥曲线中的重要知识点, 通过知识的重组与链接, 使知识形成网络, 着重考查直线与圆锥曲线的位置关系, 求解有时还要用到平几的基本知识,这点值得考生在复课时强化.
例1 已知点T 是半圆O 的直径AB 上一点，AB=2、OT=t (0<t<1)，以AB 为直腰作直角梯形B B A A ''，使A A '垂直且等于AT ，使B B '垂直且等于BT ，B A ''交半圆于P 、Q 两点，建立如图所示的直角坐标系.
(1)写出直线B A ''的方程； （2）计算出点P 、Q 的坐标； （3）证明：由点P 发出的光线，经AB 反射后，反射光线通过点Q.
讲解: 通过读图, 看出'',B A 点的坐标.
(1 ) 显然()t A -1,1', ()，，‘
t B +-11 于是 直线B A ''
的方程为1+-=tx y ；
（2）由方程组⎩⎨⎧+-==+,
1,122tx y y x 解出),(10P 、),(2
2
21112t t t t Q +-+； （3）t
t k PT 1
001-=--=
, t t t t t
t t t t k QT
11112011222
22
=--=-+-+-=)(. 由直线PT 的斜率和直线QT 的斜率互为相反数知，由点P 发出的光线经点T 反射，反射光线通过点Q.
需要注意的是, Q 点的坐标本质上是三角中的万能公式, 有趣吗?
例2 已知直线l 与椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 有且仅有一个交点Q ，且与x 轴、y 轴分别交于R 、S ，
求以线段SR 为对角线的矩形ORPS 的一个顶点P 的轨迹方程．
讲解：从直线l 所处的位置, 设出直线l 的方程,
由已知，直线l 不过椭圆的四个顶点，所以设直线l 的方程为).0(≠+=k m kx y 代入椭圆方程，222222b a y a x b =+ 得 .)2(22222222b a m kmx x k a x b =+++ 化简后，得关于x 的一元二次方程 .02)(222222222=-+++b a m a mx ka x b k a 于是其判别式).(4))((4)2(222222222222222m b k a b a b a m a b k a m ka -+=-+-=∆ 由已知，得△=0．即.2222m b k a =+ ①
在直线方程m kx y +=中，分别令y=0，x=0，求得).,0(),0,(m S k
m R -
令顶点P 的坐标为（x ，y ）， 由已知，得⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧=-=.,.,y m x y k m y k m x 解得 代入①式并整理，得 12
2
22=+y
b x a , 即为所求顶点P 的轨迹方程．
方程12
2
22=+y
b x
a 形似椭圆的标准方程, 你能画出它的图形吗?
例3已知双曲线122
22=-b
y a x 的离心率332=e ，过),0(),0,(b B a A -的直线到原点的距离是
.23 （1）求双曲线的方程；
（2）已知直线)0(5≠+=k kx y 交双曲线于不同的点C ，D 且C ，D 都在以B 为圆心的圆上，求k 的值.
讲解：∵（1）,332=a c 原点到直线AB ：1=-b
y a x 的距离.
3,1.2322==∴==+=a b c ab
b a ab d .
故所求双曲线方程为
.13
22
=-y x （2）把33522=-+=y x kx y 代入中消去y ，整理得 07830)31(22=---kx x k . 设CD y x D y x C ),,(),,(2211的中点是),(00y x E ，则 0120002
2
011551
5,.2
1313BE y x x k
x y kx k k
k x k
++==⋅=+=
==--- ,000=++∴k ky x 即
7,0,031531152
2
2=∴≠=+-+-k k k k
k k k 又 故所求k=±7. 为了求出k 的值, 需要通过消元, 想法设法建构k 的方程.
例4 已知椭圆C 的中心在原点，焦点F 1、F 2在x 轴上，点P 为椭圆上的一个动点，且∠F 1PF 2
的最大值为90°，直线l 过左焦点F 1与椭圆交于A 、B 两点，△ABF 2的面积最大值为12． （1）求椭圆C 的离心率； （2）求椭圆C 的方程．
讲解：（1）设112212||,||,||2PF r PF r F F c ===, 对,21F PF ∆ 由余弦定理, 得
1)2
(2441244242)(24cos 2
21222
12221221221212221121-+-≥--=--+=-+=∠r r c a r r c a r r c r r r r r r c r r PF F 0212=-=e ，
解出
.2
2=
e （2）考虑直线l 的斜率的存在性，可分两种情况： i) 当k 存在时，设l 的方程为)(c x k y +=………………①
椭圆方程为),(),,(,1221122
22y x B y x A b y a x =+ 由.2
2=e 得 2222,2c b c a ==.
于是椭圆方程可转化为 222220x y c +-=………………②
将①代入②，消去y 得
02)(22222=-++c c x k x ,
整理为x 的一元二次方程，得
0)1(24)21(22222=-+++k c x ck x k .
则x 1、x 2是上述方程的两根．且221221122||k k c x x ++=-，2
212221)1(22||1||k k c x x k AB ++=-+=， AB 边上的高,1||2sin ||2
2121k k c F BF F F h +⨯=∠= c k
k k k c S 21||)211(2221222+++=
22.=== ii) 当k 不存在时，把直线c x -=
代入椭圆方程得2,||,2y AB S =±== 由①②知S 的最大值为22c 由题意得
22c =12 所以2226b c == 2122=a
故当△ABF 2面积最大时椭圆的方程为：
.12
62
1222=+y x
下面给出本题的另一解法,请读者比较二者的优劣： 设过左焦点的直线方程为：c my x -=…………①
（这样设直线方程的好处是什么？还请读者进一步反思反思.）
椭圆的方程为：),(),,(,1221122
22y x B y x A b
y a x =+
由.2
2=e 得：,,22222c b c a ==于是椭圆方程可化为：022222=-+c y x ……②
把①代入②并整理得：02)2(222=---c mcy y m
于是21,y y 是上述方程的两根
.
21|||AB y y ==-2)
2(441222222
++++=m m c c m m
2
)1(2222++=
m m c , AB 边上的高2
12m
c h +=
,
从而222
2
22)2(122122)1(22
2
1||2
1++=+⨯++⨯==m m c m c m m c h AB S .
221
1
11
2222
22
c m m c ≤+++
+=
当且仅当m=0取等号，即.22max c S = 由题意知
1222=c , 于是 212,26222===a c b .
故当△ABF 2面积最大时椭圆的方程为：
.12
62
1222=+y x
也可这样求解：
||||21
2121y y F F S -⋅= ||||21x x k c -⋅⋅=
例5 已知直线1+-=x y 与椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 相交于A 、B 两点，且线段AB 的中点在直
线02:=-y x l 上.（１）求此椭圆的离心率；
（2 ）若椭圆的右焦点关于直线l 的对称点的在圆422=+y x 上，求此椭圆的方程.
讲解:（1）设A 、B 两点的坐标分别为⎪⎩⎪
⎨⎧=++-=1
1).,(),,(22222211b y a
x x y y x B y x A ，
则由 得
02)(2222222=-+-+b a a x a x b a ,
根据韦达定理，得 ,22)(,22
22
212122
221b a b x x y y b a a x x +=++-=++=+ ∴线段AB 的中点坐标为（2
22
222,b
a b b a a ++）. 由已知得2
222222
222222)(22,02c a c a b a b a b b a a =∴-==∴=+-+，故椭圆的离心率为22=e .
（2）由（1）知,c b =从而椭圆的右焦点坐标为),0,(b F 设)0,(b F 关于直线02:=-y x l 的对称点为
,02221210),,(000000=⨯-+-=⋅--y b x b x y y x 且则
解得 b y b x 5
4
5300==且 由已知得 4,4)5
4()53(,42
2220
20
=∴=+∴=+b b b y x ，故所求的椭圆方程为14822=+y x . 例6 已知⊙M ：x Q y x 是,1)2(22=-+轴上的动点，QA ，QB 分别切⊙M 于A ，B 两点，
（1）如果3
2
4||=
AB ，求直线MQ 的方程；（2）求动弦AB 的中点P 的轨迹方程.
讲解:（1）由3
2
4||=
AB ，可得 ,3
1
)322(1)2||(
||||2222=-=-=AB MA MP 由射影定理，得 ,3|||,|||||2=⋅=MQ MQ MP MB 得 在Rt △MOQ 中，
523||||||2222=-=-=MO MQ OQ ，故55-==a a 或， 所以直线AB 方程是;0525205252=+-=-+y x y x 或
①
② ③
（2）连接MB ，MQ ，设),0,(),,(a Q y x P 由点M ，P ，Q 在一直线上，得
(*),22x
y a -=- 由射影定理得|,|||||2MQ MP MB ⋅=即(**),14)2(222=+⋅-+a y x
把（*）及（**）消去a ，并注意到2<y ，可得).2(16
1
)47(22≠=-+y y x
适时应用平面几何知识，这是快速解答本题的要害所在，还请读者反思其中的奥妙.
例7 如图，在Rt △ABC 中，∠CBA=90°，AB=2，AC=
2
2。

DO ⊥AB 于O 点，OA=OB ，DO=2，曲线E 过C 点，动点P 在E 上运动，且保持| PA |+| PB |的值不变. （1）建立适当的坐标系，求曲线E 的方程；
（2）过D 点的直线L 与曲线E 相交于不同的两点M 、N 且M 在D 、N 之间，设λ=DN
DM
，试确定实数λ的取值范围．
讲解: （1）建立平面直角坐标系, 如图所示∵| PA |+| PB |=| CA |+| CB | y=
22)2
2
(22222=++∴动点P
的轨迹是椭圆∵1,1a b c ===∴曲线E 的方程是 12
22
=+y x .
（2）设直线L 的方程为 2+=kx y , 代入曲线E 的方程
2222=+y x ，得068)12(22=+++kx x k 设M 1（),(),
221,1y x N y x , 则
⎪⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪⎨⎧
+=+-=+>⨯+-=∆.126,128,06)12(4)8(2
212
212k x x k k x x k k i) L 与y 轴重合时，3
1
||||==
DN DM λ ii) L 与y 轴不重合时， 由①得 .2
3
2>k 又∵21x x x x x x DN DM N D M D =--==λ, ∵,012<<x x 或 ,012>>x x ∴0＜λ＜1 ,
∴21
2)(122121221++=++=⋅+λλx x x x x x x x ∵)
1
2(332)
12(664)(22
22122k
k k x x x x +=+=⋅+
而,232>
k ∴.8)1
2(362<+<k
∴ ,316)1
2(33242<
+
<k
∴ 3
16214<++<λλ, 31012<+<λλ,.131,3101,
21,10<<⇒
⎪⎪⎪
⎩
⎪
⎪
⎪⎨⎧
<+>+<<λλλλλλ∴λ的取值范围是⎪⎭
⎫
⎢⎣⎡1,31 . 值得读者注意的是，直线L 与y 轴重合的情况易于遗漏，应当引起警惕.
例8 直线l 过抛物线)0(22≠=p px y 的焦点，且与抛物线相交于A ),(),(2211y x B y x 和两点. （1）求证：2214p x x =;（2）求证：对于抛物线的任意给定的一条弦CD ，直线l 不是CD 的垂直平分线.
讲解: （1）易求得抛物线的焦点)0,2
(P F . 若l ⊥x 轴，则l 的方程为4
,22
21P x x P x ==
显然.若l 不垂直于x
轴，可设)2
(P x k y -=,代入抛物线方程整理得4
,04)21(22122
2P x x P x k P P x ==++-则. 综上可知 2214p x x =. （2）设d c d p d D c p c C ≠且),2(),,2(2
2，则CD 的垂直平分线l '的方程为)4(2222p
d c x p d c d c y +-+-=+-
假设l '过F ，则)42(2202
2p
d c p p d c d c +-+-=+-整理得 0)2)((222=+++d c p d c 0≠p
02222≠++∴d c p ，0=+∴d
c . 这时l '的方程为y=0，从而l '与抛物线px y 22=只相交于原点. 而l 与
抛物线有两个不同的交点，因此l '与l 不重合，l 不是CD 的垂直平分线.
此题是课本题的深化，你能够找到它的原形吗？知识在记忆中积累，能力在联想中提升. 课本是
高考试题的生长点，复课切忌忘掉课本！。