第六章 递归算法

阶乘递归函数运行时栈的变化过程： 阶乘递归函数运行时栈的变化过程：
6.5 递归算法的效率分析
我们以斐波那契数列递归函数的执行效率为例来讨论 递归算法的执行效率问题。 递归算法的执行效率问题。 斐波那契数列Fib(n)的递推定义是： 斐波那契数列 的递推定义是： 的递推定义是
0 Fib ( n ) = 1 Fib ( n − 1) + Fib ( n − 2 )
+
C D E
C
D
C
E
D
E
6.72 回溯法及设计举例 回溯法的基本思想是：对一个包括有很多结点， 回溯法的基本思想是：对一个包括有很多结点，每个 的基本思想是 结点有若干个搜索分支的问题， 结点有若干个搜索分支的问题，把原问题分解为对若 干个子问题求解的算法。当搜索到某个结点、 干个子问题求解的算法。当搜索到某个结点、发现无 法再继续搜索下去时，就让搜索过程回溯（即退回） 法再继续搜索下去时，就让搜索过程回溯（即退回） 到该结点的前一结点，继续搜索这个结点的其他尚未 到该结点的前一结点， 搜索过的分支； 搜索过的分支；如果发现这个结点也无法再继续搜索 下去时，就让搜索过程回溯到这个结点的前一结点继 下去时， 续这样的搜索过程； 续这样的搜索过程；这样的搜索过程一直进行到搜索 到问题的解或搜索完了全部可搜索分支没有解存在为 止。
例：求解迷宫问题
迷宫问题的搜索过程： 迷宫问题的搜索过程：
路口 1 2 3 4(死 路 ) 3(死 路 ) 2 5(死 路 ) 2 6 动作 向前 向左 向右 回溯 回溯 向前 回溯 向右 向左 结果 进入2 进入3 进入4 进入3 进入2 进入5 进入2 进入6 进入7
当 n = 0时 当 n = 1时 当 n > 1时
6−4
按照上式，求第 项斐波那契数列的递归函数如下 项斐波那契数列的递归函数如下： 按照上式，求第n项斐波那契数列的递归函数如下：
public static long fib(int n){ if(n == 0 || n == 1) return n; else return fib(n - 1) + fib(n - 2); } //递归出口 递归出口 //递归调用 递归调用
6.1 递归的概念
若一个算法直接地或间接地调用自己本身， 若一个算法直接地或间接地调用自己本身，则称 这个算法是递归算法。 这个算法是递归算法。 递归算法 1.问题的定义是递归的 问题的定义是递归的 例如： 例如：阶乘函数的定义 1 n= n*(n-1) 当n>0时 时 当n=0时 时
2. 问题的解法存在自调用 例如： 例如：折半查找算法
测试主函数设计如下： 测试主函数设计如下：
public static void main(String[] args){ int[] a = {1, 3, 4, 5, 17, 18, 31, 33}; int x = 17; int bn; bn = bSearch(a, x, 0, 7); if(bn == -1) System.out.println("x不在数组 中"); 不在数组a中 不在数组 else System.out.println("x在数组 中，下标为 + bn); 在数组a中 下标为" 在数组 }
if(n > 0) display(n - 1);
//递归 递归
//n<=0为递归出口，递归出口为空语句 为递归出口， 为递归出口 }
例2：设计求解委员会问题 ：
A B C D E
C D C E A B A C A D A E
B
C
B
D
B
E
D
E
B C D E
A A A A
B C D E
B
B
C
B
D
B
E
6.2 递归算法的执行过程
例1：阶乘的递归算法 ：
public static long fact(int n) throws Exception{ int x; long y; if(n < 0){ throw new Exception("参数错！"); 参数错！ 参数错 } if(n == 0) return 1; else{ x = n - 1; y = fact(x); return n * y; } }
第6章 递归算法 章
6.1 递归的概念 6.2 递归算法的执行过 6.3 递法的效率分析 6.6 递归算法到非递归算法的转换 6.7 设计举例
本章主要知识点： 本章主要知识点： ● 递归的概念 ● 递归算法的设计方法 ● 递归算法的执行过程 ● 递归算法的效率
fib(5)的递归调用树 的递归调用树
Fib(5)
Fib(4)
Fib(3)
Fib(3)
Fib(2)
Fib(2)
Fib(1)
Fib(2)
Fib(1)
Fib(1)
Fib(0)
Fib(1)
Fib(0)
Fib(1)
Fib(0)
6.6 递归算法到非递归算法的转换
一般来说，如下两种情况的递归算法可转化为非递归算法： 一般来说，如下两种情况的递归算法可转化为非递归算法： （1）存在不借助堆栈的循环结构的非递归算法，如阶乘计算 ）存在不借助堆栈的循环结构的非递归算法， 问题、斐波那契数列的计算问题、 问题、斐波那契数列的计算问题、折半查找问题等 （2）存在借助堆栈的循环结构的非递归算法。所有递归算法 ）存在借助堆栈的循环结构的非递归算法。 都可以借助堆栈转换成循环结构的非递归算法。 都可以借助堆栈转换成循环结构的非递归算法
6.7 设计举例
6.7.1 一般递归函数设计举例 例1： 设计一个输出如下形式数值的递归函数。 ： 设计一个输出如下形式数值的递归函数。 n n n ... n ...... 3 3 3 2 2 1
递归函数设计如下 ： public static void display(int n){ for(int i = 1; i <= n; i ++){ System.out.print(" } System.out.println(); " + n);
递归调用执行过程： 递归调用执行过程：
例2：折半查找递归算法 折半查找递归算法
public static int bSearch(int[] a, int x, int low, int high){ int mid; if(low > high) return -1; mid = (low + high) / 2; if(x == a[mid]) return mid; else if(x < a[mid]) return bSearch(a, x, low, mid - 1); else return bSearch(a, x, mid + 1, high); } //在下半区查找 在下半区查找 //在上半区查找 在上半区查找 //查找成功 查找成功 //查找不成功 查找不成功
设计一个计算3！得主函数如下 用来说明递归算法的 设计一个计算 ！得主函数如下,用来说明递归算法的 执行过程： 执行过程：
public static void main(String[] args){ long fn; try{ fn = fact(3); System.out.println("fn = " + fn); } catch(Exception e){ System.out.println(e.getMessage()); } }
例 ：汉诺塔问题的递归求解过程
A B C A B C
1 2 3 4 (a) 4 (b) 1 2 3
A
B
C
A
B
C
1 1 2 3 (c) 4 (d) 2 3 4
6.4 递归过程和运行时栈
递归函数的执行过程具有三个特点： 递归函数的执行过程具有三个特点： （1）函数名相同； ）函数名相同； （2）不断地自调用； ）不断地自调用； （3）最后被调用的函数要最先被返回。 ）最后被调用的函数要最先被返回。 系统用于保存递归函数调用信息的堆栈称作运行时栈。 系统用于保存递归函数调用信息的堆栈称作运行时栈。 运行时栈 每一层递归调用所需保存的信息构成运行时栈的一个工作 每一层递归调用所需保存的信息构成运行时栈的一个工作 记录 栈顶的工作记录保存的是当前调用函数的信息， 栈顶的工作记录保存的是当前调用函数的信息，所以栈顶 的工作记录也称为活动记录 活动记录。 的工作记录也称为活动记录。
递归调用执行过程： 递归调用执行过程：
6.3 递归算法的设计方法
适宜于用递归算法求解的问题的充分必要条件是： 适宜于用递归算法求解的问题的充分必要条件是： （1）问题具有某种可借用的类同自身的子问题描述的性质 ） （2）某一有限步的子问题（也称作本原问题）有直接的解 ）某一有限步的子问题（也称作本原问题） 存在。 存在。 当一个问题存在上述两个基本要素时， 当一个问题存在上述两个基本要素时，设计该问题的递归 算法的方法是： 算法的方法是： （1）把对原问题的求解表示成对子问题求解的形式。 ）把对原问题的求解表示成对子问题求解的形式。 （2）设计递归出口。 ）设计递归出口。