递归算法
递归算法原理
递归算法原理
递归是一种算法设计技巧，它的原理是通过将一个问题分解成一个或多个规模较小但类似于原问题的子问题来解决。
递归算法通过反复调用自身来解决这些子问题，直到子问题的规模足够小并可以直接解决为止。
递归算法的主要思想是将问题转化为更小的同类问题的子问题，并在每一次递归调用中将问题的规模减小。
递归算法需要定义一个基准情况，即问题的最小规模情况，当问题达到基准情况时，递归的调用将停止，得到最终的解。
当使用递归算法时，需要注意以下几点：
1. 递归的结束条件：为了避免无限递归，递归函数必须定义结束条件，即基准情况。
2. 递归调用：在函数内部调用自身来解决规模较小的子问题。
3. 子问题规模的减小：每次递归调用时，子问题的规模应该比原问题要小。
4. 递归栈：在每次递归调用时，系统会将当前的函数调用信息存储在递归栈中，当递归调用结束后，系统将会按照递归栈的顺序逐个弹出函数调用信息，直到返回最终的解。
递归算法在解决某些问题时非常有效，例如树和图的遍历、排列组合、分治算法等。
然而，递归算法也存在一些缺点，例如
递归调用会消耗较多的内存空间和时间复杂度较高等问题，因此在实际应用中需要根据具体情况来选择是否使用递归算法。
递归算法详解完整版
递归算法详解完整版递归算法是一种重要的算法思想，在问题解决中起到了很大的作用。
它通过将一个大问题划分为相同或类似的小问题，并将小问题的解合并起来从而得到大问题的解。
下面我们将详细介绍递归算法的定义、基本原理以及其应用。
首先，我们来定义递归算法。
递归算法是一种通过调用自身解决问题的算法。
它通常包括两个部分：基础案例和递归步骤。
基础案例是指问题可以被直接解决的边界情况，而递归步骤是指将大问题划分为较小问题并通过递归调用自身解决。
递归算法的基本原理是"自顶向下"的思维方式。
即从大问题出发，不断将问题划分为较小的子问题，并解决子问题，直到达到基础案例。
然后将子问题的解合并起来，得到原始问题的解。
递归算法的最大特点是简洁而优雅。
通过将复杂问题分解为简单问题的解决方式，可以大大减少代码的复杂程度，提高程序的效率和可读性。
但是递归算法也有一些缺点，包括递归深度的限制和复杂度的不确定性。
过深的递归调用可能导致栈溢出，而不合理的递归步骤可能导致复杂度过高。
递归算法有许多应用场景，我们来介绍其中一些典型的应用。
1.阶乘问题：计算一个数的阶乘。
递归算法可以通过将问题划分为更小的子问题来解决。
例如，n的阶乘可以定义为n乘以(n-1)的阶乘。
当n 等于1时，我们可以直接返回1作为基础案例。
代码如下：```int factorial(int n)if (n == 1)return 1;}return n * factorial(n - 1);```2.斐波那契数列问题：求斐波那契数列中第n个数的值。
斐波那契数列的定义是前两个数为1，然后从第三个数开始，每个数都是前两个数的和。
递归算法可以通过将问题划分为两个子问题来解决。
当n等于1或2时，直接返回1作为基础案例。
代码如下：```int fibonacci(int n)if (n == 1 ， n == 2)return 1;}return fibonacci(n - 1) + fibonacci(n - 2);```3.二叉树问题：对于给定的二叉树，递归算法可以通过递归调用左子树和右子树的解来解决。
6种基本算法 递归
6种基本算法递归递归是一种重要的算法思想，它在计算机科学中得到广泛应用。
本文将介绍六种基本的递归算法，并对其原理和应用进行讲解。
一、递归的基本概念递归是指一个函数在其定义中调用自身的过程。
递归算法通过将一个大问题划分为一个或多个相同或相似的子问题，然后通过解决子问题来解决原始问题。
递归算法具有简洁、优雅以及可读性强的特点，但同时也需要注意递归的停止条件，以避免无限递归的发生。
二、阶乘算法阶乘算法是递归算法中最经典的例子之一。
它的定义如下：```n! = n * (n-1) * (n-2) * ... * 1```其中，n为一个非负整数。
阶乘算法可以通过递归的方式实现，即：```fact(n) = n * fact(n-1)```其中，停止条件为`n=0`时，返回1。
三、斐波那契数列算法斐波那契数列是一个无限序列，其定义如下：```F(0) = 0F(1) = 1F(n) = F(n-1) + F(n-2) (n>1)```斐波那契数列算法可以通过递归的方式实现，即：```fib(n) = fib(n-1) + fib(n-2)```其中，停止条件为`n=0`或`n=1`时，返回相应的值。
四、二分查找算法二分查找算法是一种高效的查找算法，它的基本原理是将已排序的数组分成两部分，然后判断目标值在哪一部分，并继续在该部分中进行查找，直到找到目标值或者查找范围为空。
二分查找算法可以通过递归的方式实现，即：```binarySearch(arr, target, start, end) = binarySearch(arr, target, start, mid-1) (target < arr[mid])= binarySearch(arr, target, mid+1, end) (target > arr[mid])= mid (target = arr[mid])```其中，`arr`为已排序的数组，`target`为目标值，`start`和`end`为查找范围的起始和结束位置。
递归算法步骤
递归算法步骤
递归算法是一种通过自身调用来解决问题的算法。
其步骤可以简述为以下几点：
1. 定义递归函数：首先需要定义一个递归函数，该函数负责解决具体的问题。
函数的参数通常包括输入数据和递归所需的其他参数。
2. 设定递归终止条件：在递归函数中，需要设定一个终止条件，当满足这个条件时，递归将停止并返回结果。
这是确保递归不会无限循环的重要部分。
3. 处理基本情况：在递归函数中，需要考虑到一些基本情况，这些情况通常可以直接求解，而不需要继续进行递归。
在这些情况下，可以直接返回结果，从而减少递归的次数。
4. 缩小问题规模：在递归函数中，需要将原始问题划分成更小的子问题。
通过缩小问题规模，可以将原始问题转化为更简单的形式，并且递归地解决这些子问题。
5. 调用递归函数：在递归函数中，需要调用自身来解决子问题。
通过递归调用，可以反复地将问题分解为更小的子问题，直到达到终止条件为止。
6. 整合子问题的解：在递归函数中，需要将子问题的解整合起来，得到原始问题的解。
这通常涉及到对子问题的解进行合并、计算或其他操作。
7. 返回结果：最后，递归函数需要返回结果。
这个结果可
以是最终的解，也可以是在每次递归调用中得到的中间结果。
需要注意的是，在使用递归算法时，要确保递归能够正确地终止，并且要注意避免出现无限递归的情况。
另外，递归算法的效率通常较低，因此在设计算法时要考虑到时间和空间复杂度的问题。
递归算法时间复杂度计算
递归算法时间复杂度计算
递归算法是一种通过函数调用自身来解决问题的算法。
在计算递归算法的时间复杂度时，通常要考虑递归调用的次数及每次递归调用所需的时间复杂度。
具体来说，递归算法的时间复杂度可以用如下公式表示：
T(n) = aT(n/b) + O(f(n))
其中，a是递归调用的次数，n/b表示每次递归所处理的数据规模，f(n)表示除了递归调用外，剩余操作的时间复杂度。
根据主定理，如果a=1，b=2，则时间复杂度为O(log n)；如果a>1，b=1，则时间复杂度为O(n^logb a)；如果a<1，则时间复杂度为O(1)。
需要注意的是，递归调用次数可能会对时间复杂度产生重大影响，因此需要尽可能的减少递归调用次数。
总之，计算递归算法的时间复杂度需要确定递归调用次数、每次调用的数据规模以及剩余操作的时间复杂度。
递归算法
4563697
4564531 4565926
正中间 的元素
4566088
4572874
17
4120243
4276013
4328968 4397700
4462718
请问： 4565926是否在 此列表当中？ 4565925？
4466240 4475579
4478964
4480332 4494763
4499043
相应的参数来完成，这就是函数或子程序，使用时只需对其名字进行
简单调用就能来完成特定功能。
例如我们把上面的讲故事的过程包装成一个函数，就会得到：
void Story() { puts("从前有座山，山里有座庙，庙里有个老和尚，老和尚在讲故 事，它讲的故事是："); getchar();//按任意键听下一个故事的内容 Story(); //老和尚讲的故事，实际上就是上面那个故事 }
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请问： 4565926是否在 此列表当中？
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4499043
4508710 4549243
(1)对原问题f(s)进行分析,假设出合理的“较小 问题” f(s')( 与数学归纳法中假设 n=k-1时等式 成立相似)； (2)假设f(s')是可解的,在此基础上确定f(s)的解, 即给出 f(s) 与 f(s') 之间的关系 ( 与数学归纳法中 求证n=k时等式成立的过程相似)； (3)确定一个特定情况(如f(1)或f(0))的解,由此 作为递归边界(与数学归纳法中求证n=1时等式 成立相似)。
递归算法
前言说白了递归就象我们讲的那个故事：山上有座庙，庙里有个老和尚，老和尚在讲故事，它讲的故事是：山上有座庙，庙里有个老和尚，老和尚在讲故事，它讲的故事是：……也就是直接或间接地调用了其自身。
就象上面的故事那样，故事中包含了故事本身。
因为对自身进行调用，所以需对程序段进行包装，也就出现了函数。
函数的利用是对数学上函数定义的推广，函数的正确运用有利于简化程序，也能使某些问题得到迅速实现。
对于代码中功能性较强的、重复执行的或经常要用到的部分，将其功能加以集成，通过一个名称和相应的参数来完成，这就是函数或子程序，使用时只需对其名字进行简单调用就能来完成特定功能。
例如我们把上面的讲故事的过程包装成一个函数，就会得到：void Story(){puts("从前有座山，山里有座庙，庙里有个老和尚，老和尚在讲故事，它讲的故事是：");getchar();//按任意键听下一个故事的内容Story(); //老和尚讲的故事，实际上就是上面那个故事}函数的功能是输出这个故事的内容，等用户按任意键后，重复的输出这段内容。
我们发现由于每个故事都是相同的，所以出现导致死循环的迂回逻辑，故事将不停的讲下去。
出现死循环的程序是一个不健全的程序，我们希望程序在满足某种条件以后能够停下来，正如我们听了几遍相同的故事后会大叫：“够了！”。
于是我们可以得到下面的程序：#include<stdio.h>const int MAX = 3;void Story(int n);//讲故事int main(void){Story(0);getchar();return 0;}void Story(int n){if (n < MAX){puts("从前有座山，山里有座庙，庙里有个老和尚，老和尚对小和尚说了一个故事：");getchar();Story(n+1);}else{printf("都讲%d遍了！你烦不烦哪？\n", n);return ;}}上面的Story函数设计了一个参数n，用来表示函数被重复的次数，当重复次数达到人们忍受的极限（MAX次）时，便停下来。
递归算法的剖析
递归算法：
1.自身函数中调用自己的函数。执导
2.递归结束的条件应放在递归函数之前。否则就会形成无穷循环调用。
3.每一次递归定义的变量都会保留在本次调用过程中，等到返回时，就可以得到变量的值。每一次调用过程中所定义的变量的值是不同的。
4.每一次调用时都会有类似中断的保护现场，等本次调用结束后返回该调用电继续执行语句。
printf("输入需要转换进制的数值：\n");
scanf("%d",&old); //输入需要转换的数字
printf("输入需要转换为的进制：\n");
scanf("%d",&base);
convto(s,old,base); //调用转换函数，s为转换后的数值
printf("%s\n",s);
printf("调用过后！！！！\n");
len = strlen(s);
s[len] = bit[n%b];
s[len+1] = '\0';
}
int main()
{
char s[80]; //定义了一个字符数组
int base,old; //old需要转换为其他进制的数，base为进制数可以为2、8、10、16
{
char bit[] = {"0123456789ABCDEF"}; //不同进制数数值
int len;
if(n == 0)
{
strcpy(s," ");
printf("这
printf("开始调用\n");
递归算法
return knap(m,n-1); }
3.递归算法设计
递归算法
算法设计和分析
递归算法
Hanoi塔问题
汉诺塔（Tower of Hanoi）游戏据说来源于布拉玛神庙。游戏的 装置如图所示（图上以3个金片例），底座上有三根金的针，第 一根针上放着从大到小64个金片。游戏的目标是把所有金片从 第一根针移到第三根针上，第二根针作为中间过渡。每次只能
建立标号：分别在过程的第一条可执行语句处、每个递归调
用处建立标号，依次为：L0,L1,L2,……，做为入口地址和返 回地址
消去递归调用：局部变量、形参、返回地址入栈,形式参数赋 值，goto语句到L0
修改函数的返回部分：
• 用户栈为空，返回 • 返回值保存到全局变量中，同时将引用参数赋给栈顶的相应变量
{
CStack<int> stack;
int retvalue,retaddr;
int res ;
L0:
if( a < b )
{
res = GCD(b,a);
L1:
;
}
else if( b == 0 )
{
res = a;
}
else
{
res = GCD(b,a%b);
L2:
;
}
return res; }
}
修改标号L1处的递归调用
算法设计和分析
递归算法
else {
//res = GCD(b,a%b); //保护现场
stack.Push(a); stack.Push(b); stack.Push(res); stack.Push(2); //返回地址 stack.Push(b); stack.Push(a%b); //设置函数的调用参数 goto L0; L2: res = retvalue; //返回值放在全局变量里 }
算法设计与分析-递归法
b)
cn k
n1 n1
O (nlog b a ) T (n) O(nk log b n) O(nk )
a bk a bk a bk
但是并非所有的递推式都可以用公式法求解。 例T(n)=2T(n/2)+nlogn 由于a=2, b=2, f(n)=nlogn和nlogba=n。看起来似乎属于 主定理情况（3），但事实上f(n)只是渐近大于n，但并不 是多项式大于n。f(n)与的nlogba比值是log n，对于任何 正数，log n渐近小于n，所以，此例不能运用定理。
1 替换方法
替换方法要求首先猜测递推式的解，然后用归纳法证明。
例2.2 T(n) 2T(n / 2) n
需要注意在上述证明过程中，没有考虑初始条件，而初始条 件是归纳法成立的基础。上例归纳证明的初始条件是是 T(1)≤c，只要选择足够大的c≥1即成立。
2.迭代方法
迭代方法的思想是扩展递推式，将递推式先转换成 一个和式，然后计算该和式，得到渐近复杂度。 例2.4 使用迭代方法分析 T (n) 2T (n / 2) n2
本章要点
• 递归算法特性
• 递推关系 • 递归算法的应用
章节内容
2.1 递归算法 2.1.1 递归算法特性 2.1.2 递归算法的执行过程 2.1.3 递推关系
2.2 递归法应用举例
2.3 典型问题的C++程序
2.4 小结
2.1 递归法
2.1.1 递归算法的特性
若一个算法直接的或间接的调用自己本身，则称这个算 法是递归算法。递归本质上也是一种循环的算法结构，它把较 复杂的计算逐次归结为较简单的情形的计算，直到归结到最简 单情形的计算，并最终得到计算结果为止。
递归算法
递归算法是把问题转化为规模缩小了的同类问题的子问题。
然后递归调用函数(或过程)来表示问题的解。
一个过程(或函数)直接或间接调用自己本身,这种过程(或函数)叫递归过程(或函数)。
算法特点：
递归算法是直接或间接调用自身的算法。
在计算机程序设计中，递归算法对于解决一大类问题非常有效，它经常使算法的描述简洁明了且易于理解。
解决问题的递归算法特点：
（1）递归是在过程或函数中调用自身。
（2）使用递归策略时，必须有明确的递归结束条件，称为递归退出。
（3）递归算法求解问题通常看起来很简洁，但是递归算法求解问题的效率很低。
因此，通常不建议使用递归算法来设计程序。
（4）在递归调用过程中，系统打开了一个堆栈来存储每个层的返回点和局部变量。
太多的递归很容易导致堆栈溢出。
因此，通常不建议使用递归算法来设计程序。
折叠递归算法要求
递归算法所体现的“重复”一般有三个要求：
一是每次调用在规模上都有所缩小(通常是减半)；
二是相邻两次重复之间有紧密的联系，前一次要为后一次做准备(通常前一次的输出就作为后一次的输入)；
三是在问题的规模极小时必须用直接给出解答而不再进行递归调用，因而每次递归调用都是有条件的(以规模未达到直接解答的大小为条件)，无条件递归调用将会成为死循环而不能正常结束。
递归算法
问题分析：我们根据给出的样例可知：每次输出的 结果都是由前一次的结果变化而来的，也就是问题 每推进一步其结果仍维持与原问题的关系，可见采 用递归算法比较合适。其算法的大致过程如下： 1、利用循环语句实现对前一次的输出结果从后向 前找一个a[i]，使得a[i]到a[w]的字符都在s、t规定的 字母范围内，以确定本次的输出结果。 2、当输出结果达到5个，结束递归；如果没那么多 Jam数字，当第一次被入栈的循环结束时，递归结 束。
上楼梯问题
递归关系： f(1)=1; f(2)=2; f(n)=f(n-1)+f(n-2); (n≥3)
已知:ack(m,n)函数的计算公式如下:
请计算ack(m,n)的值。(m,n<=5)
用递归算法求解两个整数的最大公约数
分析：辗转相除法 。即：两个整数相除，看 其余数是否为0。若余数为0，则除数即为所 求最大公约数；若余数不为0，就将除数作为 被除数，余数作为除数，继续相除，循环往 复，直到余数为0。
数的计算
问题描述 我们要求找出具有下列性质数的个数(包含输入的自然数n): 先输入一个自然数n(n<=1000),然后对此自然数按照如下方法进行 处理: 1. 不作任何处理; 2. 在它的左边加上一个自然数,但该自然数不能超过原数的一半; 3. 加上数后,继续按此规则进行处理,直到不能再加自然数为止. 样例: 输入: 6 满足条件的数为 6 (此部分不必输出) 16 26 126 36 136 输出: 6
问题分析：对于这个问题，首先，我们得具备对一 颗二叉树能熟练并且正确写出它的前序、中序、后 序序列的能力，才能编写程序解决问题。 我们根据题中给出的中序及后序序列，可以找出该 树根结点及左右子树。同样对于左右子树，再根据 它们各自的中序及后序序列，又能找出它们的根结 点及它们的左右子树。由此可见，该问题能够被递 归描述。当最后的序列为空时，递归无法再进行下 去，就是递归结束的边界条件。
递归算法和递推算法的原理
递归算法和递推算法的原理-概述说明以及解释1.引言1.1 概述递归算法和递推算法是编程中常用的两种算法思想，它们都是一种问题解决的方法论。
递归算法通过将一个大问题分解为一个或多个相同的小问题来解决，而递推算法则是通过给定初始条件，通过逐步推导出后续结果来解决问题。
递归算法是一种自调用的算法，它将一个问题划分为更小规模的相同子问题，并通过调用自身来解决这些子问题。
每个子问题的解决方案被合并以形成原始问题的解决方案。
递归算法具有简洁的代码结构和易于理解的逻辑。
它在一些问题上能够提供高效的解决方案，例如树的遍历、图的搜索等。
递推算法则是从已知的初始条件开始，通过根据给定的递推公式或规则，逐步计算出后续的结果。
递推算法是一种迭代的过程，每一次迭代都会根据已知条件计算得出下一个结果。
递推算法常应用于数学问题，求解斐波那契数列、阶乘等等。
递归算法和递推算法在解决问题时的思路不同，但也存在一些相似之处。
它们都能够将大问题分解成小问题，并通过解决这些子问题来获得问题的解决方案。
而且递归算法和递推算法都有各自适用的场景和优缺点。
本文将详细介绍递归算法和递推算法的原理、应用场景以及它们的优缺点。
通过比较和分析两者的差异，帮助读者理解和选择合适的算法思想来解决问题。
1.2文章结构文章结构部分的内容可以描述文章的整体框架和各个章节的内容概要。
根据给出的目录，可以编写如下内容：文章结构：本文主要探讨递归算法和递推算法的原理及其应用场景，并对两者进行比较和结论。
文章分为四个部分，下面将对各章节的内容进行概要介绍。
第一部分：引言在引言部分，我们将对递归算法和递推算法进行简要概述，并介绍本文的结构和目的。
进一步，我们将总结递归算法和递推算法在实际问题中的应用和重要性。
第二部分：递归算法的原理在第二部分，我们将详细讨论递归算法的原理。
首先，我们会给出递归的定义和特点，探索递归的本质以及递归算法的基本原理。
其次，我们将展示递归算法在不同的应用场景中的灵活性和效果。
递归算法和非递归算法的区别和转换
递归算法和非递归算法的difference和转换递归算法实际上是一种分而治之的方法，它把复杂问题分解为简单问题来求解。
对于某些复杂问题(例如hanio塔问题)，递归算法是一种自然且合乎逻辑的解决问题的方式，但是递归算法的执行效率通常比较差。
因此，在求解某些问题时，常采用递归算法来分析问题，用非递归算法来求解问题；另外，有些程序设计语言不支持递归，这就需要把递归算法转换为非递归算法。
将递归算法转换为非递归算法有两种方法，一种是直接求值，不需要回溯；另一种是不能直接求值，需要回溯。
前者使用一些变量保存中间结果，称为直接转换法；后者使用栈保存中间结果，称为间接转换法，下面分别讨论这两种方法。
1. 直接转换法直接转换法通常用来消除尾递归和单向递归，将递归结构用循环结构来替代。
尾递归是指在递归算法中，递归调用语句只有一个，而且是处在算法的最后。
例如求阶乘的递归算法：long fact(int n){if (n==0) return 1;else return n*fact(n-1);}当递归调用返回时，是返回到上一层递归调用的下一条语句，而这个返回位置正好是算法的结束处，所以，不必利用栈来保存返回信息。
对于尾递归形式的递归算法，可以利用循环结构来替代。
例如求阶乘的递归算法可以写成如下循环结构的非递归算法：long fact(int n){int s=0;for (int i=1; is=s*i; //用s保存中间结果return s;}单向递归是指递归算法中虽然有多处递归调用语句，但各递归调用语句的参数之间没有关系，并且这些递归调用语句都处在递归算法的最后。
显然，尾递归是单向递归的特例。
例如求斐波那契数列的递归算法如下：int f(int n){if (n= =1 | | n= =0) return 1;else return f(n-1)+f(n-2);}对于单向递归，可以设置一些变量保存中间结构，将递归结构用循环结构来替代。
递归算法(C++版)
不作任何处理；
在它的左边加上一个自然数，但该自然数不能超过原数的一半；
加上数后，继续按此规则进行处理，直到不能再加自然数为止。
输入：自然数n（n≤1000）
输出：满足条件的数
【输入样例】
6 满足条件的数为 6 (此部分不必输出)
16
26
126
36
136
【输出样例】
6
最新课件
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【方法一】 用递归，f(n)=1+f(1)+f(2)+…+f(div/2)，当n较大时会超时，时间应该为指
数级。 【参考程序】
#include<iostream>
using namespace std;
int ans;
void dfs(int m)
//调用下一层递归
}
int main()
{
int n,k;
cin >> n >> k;
cout << s(n,k);
return 0;
}
最新课件
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【例6】数的计数(Noip2001)
【问题描述】
我们要求找出具有下列性质数的个数（包括输入的自然数n）。先输入一 个自然数n（n≤1000），然后对此自然数按照如下方法进行处理：
for (k=1;k<=10;k++)
cin>>a[k];
cin>>x;
search(x,L,R);
system("pause");
} void search(int x,int top,int bot) //二分查找递归过程
{
递归算法思路
递归算法思路一、概念递归算法是指函数自身调用自身的方法，将一个问题分解为更小的同类问题直到问题简单到可以直接解决。
递归算法是由一种表达方式所实现的，这种表达方式就是递归定义。
二、递归算法的思路（1）确定递归函数的参数和返回值确定参数和返回值的关键是看待问题的方法。
递归函数所处理的问题应该是可以分解为若干个子问题的，而这些子问题其实就是原问题的缩小范围。
（2）递归边界问题在递归函数中，我们必须要规定好对应的递归边界，也就是终止条件。
如果没有递归边界，那么整个递归链式结构将不断进行推进，直到系统无法承受，连程序都无法正常运行。
（3）将原问题分解为更小的子问题我们需要在递归函数中对原问题进行分解，即将原问题转化为若干个子问题。
这些子问题与原问题是同类问题，由于子问题的规模比原问题更小，我们可以通过解决子问题来解决原问题。
（4）进行递归调用确定好递归边界和子问题之后，就可以通过递归调用将问题规模不断缩小，使得问题最终可以直接得到解决。
（5）整合所有递归的结果递归算法的最后一步是整合所有递归的结果，将其合并为一个完整的解决方案。
这可能需要对递归结果进行一些计算和转换，然后将它们组合在一起形成最终结果。
三、递归算法的优缺点（1）优点递归算法可以清晰地表达问题的递归结构，很容易理解和实现。
对于复杂的问题，递归算法往往比起迭代算法更具可读性。
同时，递归算法还可以缩小问题的规模，使问题的求解更为高效。
（2）缺点递归算法的缺点在于它可能导致许多不必要的重复计算，这样会大大降低算法的效率。
此外，在调用函数时，需要保存参数、返回值和局部变量等一些额外的信息，这些信息都需要分配内存并占用空间。
当递归调用太深时，可能会引起严重的栈溢出问题。
四、递归算法的应用（1）数学问题递归算法常常在解决数学问题时得到应用。
例如，斐波那契数列、阶乘问题、最大公约数和最小公倍数问题等，都可以通过递归算法来解决。
（2）树形问题当我们需要处理树形问题时，递归算法也可以起到很好的作用。
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出它的解,从而得到原来问题的解。
3.采用递归算法需具备的条件 (1)每一步骤解决问题的方法要一致。
(2)要有结束的边界条件。
必考+加试·信息技术
【典例1】小明利用下面的方法求2i(2的i次方)的值:如果i=0,则 2i=1,否则
将2i转换为2*2i-1 ,而2i-1 又可以转换为2*i-2, 如此继续,从而求出了2i的值。
必考+加试·信息技术
第四单元
递归算法
必考+加试·信息技术
考点与典例
考点 递归算法 1.递归的概念 函数或过程调用其本身,称为递归。 2.递归算法的基本思想 递归算法的基本思想是把规模较大的、较难解决的问题变成规模较小的、容 易解决的同一问题 , 规模较小的问题又变成规模更小的问题 , 直到可以直接得
If n=0 Then f=1 Else f=f(n-1)+5 End If End Function Private Sub Command1_Click() Dim y As Long
必考+加试·信息技术
y=f(5)
Label1.Caption=Str(y)
End Sub 程序运行时,单击命令按钮Command1后,在标签Label1中显示的内容是 ( A.1 ) B.5
C.21 D.26
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解析:本题考查的是递归算法的程序实现。这段程序有两部分组成:事件处理
过 程 (Private Sub Command1_Click()) 和 自 定 义 函 数 (Function f(n As
Integer) As Long) 。 在 自 定 义 函 数 f 中 又 出 现 了 调 用 函 数 f 本 身 的 语 句 f=f(n-1)+5,因此f函数采用的是递归算法。 在事件处理过程Private Sub Command1_Click()中,语句y=f(5)表示调用函 数f,将参数5传递给f函数中的变量n,最终将函数的返回值赋给变量y。 y=f(5)= 5+5+5+5+5+1=26,因此在标签Label1中显示的内容为26。 答案:D
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解析:本题主要考查递归算法的程序实现。根据算法可知 ,若当前两个数不
相等,则取较小数n和这两个数差的绝对值(Abs(m-n))再进行比较,因此答案
为 D。 答案:D
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小明采用的算法是( A.解析算法 C.递归算法 ) B.枚举算法 D.查找算法
解 析 :本题考查的是递归算法的基本思想。本题中求2i的值,采用“大事化小, 小事化了”的方法,符合递归算法的基本思想。 答案:C
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【典例2】下列VB程序中,f是一个递归函数。
Function f(n As Integer) As Long
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Dim m As Integer, n As Integer, t As Integer m =Val(Text1.Text)
n =Val(Text2.Text)
If m < n Then t = m:m = n:n = t Label1.Caption =Str(gcd(m, n)) End Sub 为实现上述功能,程序划线处应填入的语句为( A.m,n C.m, Abs(m - n) B.n,m-n D.n, Abs(m - n) )
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【典例3】下列程序的功能是求两个整数m,n的最大公约数。其算法思想为: 输入两个数,如果两个数相等,则最大公约数是其本身(m或n);如果不相等,取 两个数中的较小数和这两个数差的绝对值进行比较,若相等则为最大公约数, 不等则继续使用上述方法求解,直到相等为止。 Function gcd(m, n) As Integer If m = n Then gcd = m Else gcd = gcd() End If End Function Private Sub Command1_Click()