04.递归算法讲解
递归算法及经典例题详解
递归算法及经典例题详解
1.什么是递归
递归简单来说就是在运行过程中不断调用自己，直到碰到终止条件，返回结果的过程。
递归可以看作两个过程，分别是递和归。
递就是原问题把要计算的结果传给子问题；归则是子问题求出结果后，把结果层层返回原问题的过程。
下面设一个需要经过三次递归的问题，为大家详细看一下递归的过程：当然，现实中我们遇到递归问题是不会按照图中一样一步一步想下来，主要还是要掌握递归的思想，找到每个问题中的规律。
2.什么时候使用递归
递归算法无外乎就是以下三点：1.大问题可以拆分为若干小问题2.原问题与子问题除数据规模不同，求解思路完全相同3.存在递归终止条件
而在实际面对递归问题时，我们还需要考虑第四点：
当不满足终止条件时，要如何缩小函数值并让其进入
下一层循环中
3.递归的实际运用（阶层计算）
了解了大概的思路，现在就要开始实战了。
下面我们来看一道经典例题：
求N的阶层。
首先按照思路分析是否可以使用递归算法：
1.N！可以拆分为（N-1）！*N
2.（N-1）！与N！只有数字规模不同，求解思路相同
3.当N=1时，结果为1，递归终止
满足条件，可以递归：
publicstaticintFactorial(int num){if(num==1){return num;}return num*Factorial(num-1);}
而最后的return，便是第四步，缩小参数num的值，让递归进入下一层。
一般来说，第四步往往是最难的，需要弄清该如何缩
小范围，如何操作返回的数值，这一步只能通过不断
地练习提高了（当然如果你知道问题的数学规律也是
可以试出来的）。
《c语言递归算法》课件
C语言递归算法是一种强大的编程技巧，通过函数自身调用实现问题的解决。 本课件将介绍递归算法的概念、实现方式、应用场景、优缺点以及与循环的 区别，同时还会通过案例演示帮助理解。
什么是递归算法？
基本概念
递归是指函数直接或间接地调用自身的过程。
递归特点
递归算法需要有基准条件和递推关系，用于结 束递归和推进递归过程。
递归算法的实现方式
递归函数
通过函数自身调用实现递归，需要定义递归函数和 递归终止条件。
递归流程图
通过流程图展示递归算法的执行过程，帮助理解递 归逻辑。
递归算法的应用场景
1 数学计算
递归算法可以用于解决数学问题，如斐波那契数列、阶乘等。
2 数据结构
递归算法在树、图等数据结构的遍历和搜索中有广泛应用。
递归算法的优点和缺点
优点
• 简化问题复杂度 • 代码结构清晰
缺点
• 执行效率较低 • 内存占用较高
递归算法与循环的区别
1
循环
2
迭代操作
3
递归
函数自身调用
区别
递归更直观，但消耗资源较多；循环更 高效，但代码可读性差。
递归算法的注意事项
1 递归终止条件
保证递归过程能够结束，否则可能导致死循 环。
2 堆栈溢出
过深的递归调用可能导致堆栈溢出，需要注 意递归深度。
递归算法的案例演示
斐波那契数列
通过递归实现斐波那契数列的计算。
二叉树遍历
通过递归遍历二叉树的各种方式。
递归算法原理
递归算法原理
递归是一种算法设计技巧，它的原理是通过将一个问题分解成一个或多个规模较小但类似于原问题的子问题来解决。
递归算法通过反复调用自身来解决这些子问题，直到子问题的规模足够小并可以直接解决为止。
递归算法的主要思想是将问题转化为更小的同类问题的子问题，并在每一次递归调用中将问题的规模减小。
递归算法需要定义一个基准情况，即问题的最小规模情况，当问题达到基准情况时，递归的调用将停止，得到最终的解。
当使用递归算法时，需要注意以下几点：
1. 递归的结束条件：为了避免无限递归，递归函数必须定义结束条件，即基准情况。
2. 递归调用：在函数内部调用自身来解决规模较小的子问题。
3. 子问题规模的减小：每次递归调用时，子问题的规模应该比原问题要小。
4. 递归栈：在每次递归调用时，系统会将当前的函数调用信息存储在递归栈中，当递归调用结束后，系统将会按照递归栈的顺序逐个弹出函数调用信息，直到返回最终的解。
递归算法在解决某些问题时非常有效，例如树和图的遍历、排列组合、分治算法等。
然而，递归算法也存在一些缺点，例如
递归调用会消耗较多的内存空间和时间复杂度较高等问题，因此在实际应用中需要根据具体情况来选择是否使用递归算法。
递归算法及经典递归例子代码实现
递归算法及经典递归例子代码实现递归算法是一种在函数体内调用函数本身的算法。
通过递归，问题可以被分解为规模更小的子问题，直到达到基本情况，然后将所有的子问题的解合并起来，得到原始问题的解。
递归算法的实现通常包含两个要素：基本情况和递归调用。
基本情况是指不能再进一步分解的情况，一般是针对问题的最小输入。
递归调用是指在解决子问题之后，将问题规模缩小，然后调用自身来解决更小规模的问题。
下面将介绍三个经典的递归例子，并给出相应的代码实现。
1.阶乘计算：阶乘是指从1到给定的数字n之间所有整数的乘积。
它是递归问题的经典例子之一```pythondef factorial(n):if n == 0:return 1else:return n * factorial(n - 1)```在阶乘的递归实现中，基本情况是n等于0时，返回1、递归调用是将问题规模变为n-1，然后将得到的结果与n相乘。
通过递归调用，可以一直计算到n为1，然后将每个阶乘结果逐步合并返回，最终得到n的阶乘。
2.斐波那契数列：斐波那契数列是指从0和1开始，后续的数字都是前两个数字之和。
```pythondef fib(n):if n <= 0:return 0elif n == 1:return 1else:return fib(n - 1) + fib(n - 2)```在斐波那契数列的递归实现中，基本情况是n小于等于0时返回0，n等于1时返回1、递归调用是将问题规模分为两个子问题，分别计算n-1和n-2的斐波那契数，然后将两个子问题的结果相加返回。
通过递归调用，可以一直计算到n为0或1，然后将每个斐波那契数逐步合并返回，最终得到第n个斐波那契数。
3.二叉树遍历：二叉树遍历是指按照一定的顺序访问二叉树的所有节点。
```pythonclass TreeNode:def __init__(self, val=0, left=None, right=None):self.val = valself.left = leftself.right = rightdef inorderTraversal(root):if root is None:return []else:return inorderTraversal(root.left) + [root.val] + inorderTraversal(root.right)```在二叉树的中序遍历的递归实现中，基本情况是判断当前节点是否为空，如果为空则返回一个空列表。
递归算法知识点总结
递归算法知识点总结一、基本概念递归算法的基本概念是基于递归函数的思想。
递归函数是一个调用自身的函数。
递归算法通常可以分为两种类型：简单递归和复杂递归。
简单递归是指在递归函数中直接调用自身，而复杂递归则是指在递归函数中可能会有多个递归调用。
递归算法通常用于解决可以分解为若干子问题的问题，这种方法通常可以更加简洁地解决问题，但同时也可能会带来一些计算复杂度的问题。
递归算法的设计通常包括以下几个步骤：1. 确定基本情况：在设计递归函数时，通常需要确定一个或多个基本情况。
基本情况通常是指在递归函数中不需要再次调用自身的情况。
2. 确定递归情况：在设计递归函数时，需要确定一个或多个递归情况。
递归情况通常是指在递归函数中需要调用自身的情况。
3. 确定递归方式：当确定了递归函数的基本情况和递归情况之后，就需要确定递归函数的调用方式。
通常有两种方式：直接递归和间接递归。
4. 编写递归函数：根据确定的基本情况、递归情况和递归方式，编写递归函数。
5. 测试递归函数：编写递归函数后，需要对递归函数进行测试，确保递归函数能够正确地解决问题。
二、递归算法的原理递归算法的原理是基于递归函数的调用。
当一个递归函数被调用时，它会将自身的执行环境保存到栈中，并且在栈中分配一些空间。
在递归函数中，如果有一些局部变量，这些变量会在栈中分配空间。
随着递归函数的深入调用，栈中的空间也会不断增加。
在递归函数的执行过程中，通常需要考虑递归栈的压栈和出栈操作。
在递归函数被调用时，会执行一些初始化操作，并将递归参数保存到栈中。
在递归函数中，如果遇到递归情况，会再次调用自身，并且将自身的执行环境保存到栈中。
在递归函数的执行过程中，如果遇到基本情况，就会结束当前递归调用，并且从栈中释放空间。
递归算法的原理是基于递归函数的深度调用的。
当递归函数被调用时，会执行一些初始化过程，并将递归参数保存到栈中。
当递归函数执行完毕后，会从栈中释放空间。
在递归函数的执行过程中，栈中的空间会不断增加和释放。
递归算法详解完整版
递归算法详解完整版递归算法是一种重要的算法思想，在问题解决中起到了很大的作用。
它通过将一个大问题划分为相同或类似的小问题，并将小问题的解合并起来从而得到大问题的解。
下面我们将详细介绍递归算法的定义、基本原理以及其应用。
首先，我们来定义递归算法。
递归算法是一种通过调用自身解决问题的算法。
它通常包括两个部分：基础案例和递归步骤。
基础案例是指问题可以被直接解决的边界情况，而递归步骤是指将大问题划分为较小问题并通过递归调用自身解决。
递归算法的基本原理是"自顶向下"的思维方式。
即从大问题出发，不断将问题划分为较小的子问题，并解决子问题，直到达到基础案例。
然后将子问题的解合并起来，得到原始问题的解。
递归算法的最大特点是简洁而优雅。
通过将复杂问题分解为简单问题的解决方式，可以大大减少代码的复杂程度，提高程序的效率和可读性。
但是递归算法也有一些缺点，包括递归深度的限制和复杂度的不确定性。
过深的递归调用可能导致栈溢出，而不合理的递归步骤可能导致复杂度过高。
递归算法有许多应用场景，我们来介绍其中一些典型的应用。
1.阶乘问题：计算一个数的阶乘。
递归算法可以通过将问题划分为更小的子问题来解决。
例如，n的阶乘可以定义为n乘以(n-1)的阶乘。
当n 等于1时，我们可以直接返回1作为基础案例。
代码如下：```int factorial(int n)if (n == 1)return 1;}return n * factorial(n - 1);```2.斐波那契数列问题：求斐波那契数列中第n个数的值。
斐波那契数列的定义是前两个数为1，然后从第三个数开始，每个数都是前两个数的和。
递归算法可以通过将问题划分为两个子问题来解决。
当n等于1或2时，直接返回1作为基础案例。
代码如下：```int fibonacci(int n)if (n == 1 ， n == 2)return 1;}return fibonacci(n - 1) + fibonacci(n - 2);```3.二叉树问题：对于给定的二叉树，递归算法可以通过递归调用左子树和右子树的解来解决。
递归算法步骤
递归算法步骤
递归算法是一种通过自身调用来解决问题的算法。
其步骤可以简述为以下几点：
1. 定义递归函数：首先需要定义一个递归函数，该函数负责解决具体的问题。
函数的参数通常包括输入数据和递归所需的其他参数。
2. 设定递归终止条件：在递归函数中，需要设定一个终止条件，当满足这个条件时，递归将停止并返回结果。
这是确保递归不会无限循环的重要部分。
3. 处理基本情况：在递归函数中，需要考虑到一些基本情况，这些情况通常可以直接求解，而不需要继续进行递归。
在这些情况下，可以直接返回结果，从而减少递归的次数。
4. 缩小问题规模：在递归函数中，需要将原始问题划分成更小的子问题。
通过缩小问题规模，可以将原始问题转化为更简单的形式，并且递归地解决这些子问题。
5. 调用递归函数：在递归函数中，需要调用自身来解决子问题。
通过递归调用，可以反复地将问题分解为更小的子问题，直到达到终止条件为止。
6. 整合子问题的解：在递归函数中，需要将子问题的解整合起来，得到原始问题的解。
这通常涉及到对子问题的解进行合并、计算或其他操作。
7. 返回结果：最后，递归函数需要返回结果。
这个结果可
以是最终的解，也可以是在每次递归调用中得到的中间结果。
需要注意的是，在使用递归算法时，要确保递归能够正确地终止，并且要注意避免出现无限递归的情况。
另外，递归算法的效率通常较低，因此在设计算法时要考虑到时间和空间复杂度的问题。
递归算法详解完整版
递归算法详解标准化管理处编码[BBX968T-XBB8968-NNJ668-MM9N]递归冯文科一、递归的基本概念。
一个函数、概念或数学结构，如果在其定义或说明内部直接或间接地出现对其本身的引用，或者是为了描述问题的某一状态，必须要用至它的上一状态，而描述上一状态，又必须用到它的上一状态……这种用自己来定义自己的方法，称之为递归或递归定义。
在程序设计中，函数直接或间接调用自己，就被称为递归调用。
二、递归的最简单应用：通过各项关系及初值求数列的某一项。
在数学中，有这样一种数列，很难求出它的通项公式，但数列中各项间关系却很简a与前面临近几项之间的关单，于是人们想出另一种办法来描述这种数列：通过初值及n系。
要使用这样的描述方式，至少要提供两个信息：一是最前面几项的数值，一是数列间各项的关系。
比如阶乘数列1、2、6、24、120、720……如果用上面的方式来描述它，应该是：a的值，那么可以很容易地写成这样：如果需要写一个函数来求n这就是递归函数的最简单形式，从中可以明显看出递归函数都有的一个特点：先处理一些特殊情况——这也是递归函数的第一个出口，再处理递归关系——这形成递归函数的第二个出口。
递归函数的执行过程总是先通过递归关系不断地缩小问题的规模，直到简单到可以作为特殊情况处理而得出直接的结果，再通过递归关系逐层返回到原来的数据规模，最终得出问题的解。
以上面求阶乘数列的函数)f为例。
如在求)3(f时，由于3不是特殊值，因此需(n要计算)2(3f，但)2(f是对它自己的调用，于是再计算)2(f，2也不是特殊值，需要计*算)1(f，返回)1(= 2f，需要知道)1(f的值，再计算)1(f，1是特殊值，于是直接得出1*上一步，得23*)2()3(==f，从而得最终=f)1(32**)2(==f2f，再返回上一步，得6解。
用图解来说明，就是下面再看一个稍复杂点的例子。
【例1】数列}{n a 的前几项为1、111+、11111++、1111111+++、……输入n ，编程求n a 的精确分数解。
递归算法 递推公式求解
递归算法递推公式求解递归算法是一种自我调用的算法，它通过不断将问题分解为更小的子问题来求解问题。
递归算法的核心是递推公式，也称为递归式，它描述了如何将问题分解为子问题，并如何从子问题的解中得到原问题的解。
递推公式通常具有以下形式：T(n) = aT(n/b) + f(n)其中，T(n) 表示问题规模为n 时的时间复杂度，a 表示每次递归调用的次数，b 表示每次递归调用后问题规模缩小的比例，f(n) 表示除了递归调用外的其他操作的时间复杂度。
为了求解递推公式，我们可以使用以下方法：1.迭代法：通过迭代递推公式的方式逐步计算出T(n) 的值。
这种方法比较直观，但对于较大的n 值，迭代次数可能非常多，计算量也会非常大。
2.替换法：通过猜测T(n) 的形式，并将其代入递推公式中进行验证。
如果猜测正确，则可以得到T(n) 的解。
这种方法需要对问题有一定的了解和猜测能力。
3.大师定理：大师定理是一种求解递推公式的通用方法。
它可以根据递推公式的形式，直接给出T(n) 的时间复杂度。
大师定理有多种形式，其中最常用的是以下三种：a. 如果f(n) = O(n^c)，其中c < log_b(a)，则T(n) = O(n^log_b(a))。
b. 如果f(n) = O(n^c)，其中c = log_b(a)，则T(n) = O(n^c * log_n)。
c. 如果f(n) = O(n^c)，其中c > log_b(a)，且对于所有足够大的n，有af(n/b) <= f(n)，则T(n) = O(f(n))。
需要注意的是，大师定理只是一种求解递推公式的工具，它并不能解决所有类型的递推公式。
在实际应用中，我们需要根据具体问题选择合适的求解方法。
python中的递归算法详解
python中的递归算法详解递归算法是一种在函数内部调用自身的方法。
在Python中，递归可以实现复杂的问题解决，它的实现遵循以下几个关键步骤。
第一，定义基本情况：递归算法在每一次调用中都需要判断是否达到了基本情况，即算法可以直接返回结果而不继续调用自身。
这个基本情况确保算法不会无限递归下去，而是能够找到问题的解。
第二，拆分问题：递归算法需要将大问题拆分成子问题，在每一次递归调用中解决子问题。
这样，较大的问题就会逐渐转化为较小的问题，直到最终达到基本情况。
第三，调用自身：递归算法通过调用自身来解决子问题。
在每次递归调用中，算法会传递不同的参数，以便在下一次调用中解决不同的子问题。
递归算法的关键在于它能够将复杂的问题转化为简单的子问题，并通过不断调用自身来解决这些子问题。
举个例子，考虑一个计算阶乘的递归算法：```pythondef factorial(n):# 基本情况if n == 0:return 1# 拆分问题subproblem = factorial(n - 1)# 调用自身result = n * subproblemreturn result```在这个例子中，递归算法使用了基本情况 `n == 0` 来停止递归。
当输入参数为0时，算法直接返回1，否则继续调用自身，解决 `n - 1` 的阶乘问题。
最终，算法将计算 `n` 的阶乘并返回结果。
需要注意的是，递归算法在处理大规模问题时可能会遇到效率问题。
递归算法会调用自身多次，每次调用都需要保存状态并分配栈空间，所以在某些情况下，循环迭代可能会更加高效。
因此，在使用递归算法时，需要谨慎考虑问题的规模和算法实现的复杂度，以充分利用递归的优势。
递归算法详解范文
递归算法详解范文递归是一种常用的算法思想，它通常用于解决可以被划分为更小规模相同问题的情况。
在递归算法中，问题被分解成更小的子问题，逐步求解子问题，最终得到整个问题的解。
接下来，我将详细介绍递归算法的原理、特点和应用。
一、递归算法的原理递归算法的原理是基于函数调用的特性。
在递归算法中，函数可以调用其自身来解决更小规模的子问题。
每次递归调用会将问题分解为更小规模的子问题，直到达到边界条件，然后逐步返回结果，最终得到整个问题的解。
递归算法通常具有以下两个重要的特点：1.递归定义：递归算法通过将问题分解为更小规模的子问题来定义。
2.递归调用：递归算法通过调用自身来解决更小规模的子问题。
递归算法的实现通常包含两个部分：基本情况和递归情况。
1.基本情况：基本情况是递归算法的边界条件，它表示问题已经足够小，可以直接求解，无需继续递归调用。
2.递归情况：递归情况是递归算法的重点，它描述了如何将当前问题分解为更小规模的子问题，并调用自身来解决子问题。
递归算法在实现时需要注意以下几点：1.基本情况的设置要合理，以确保算法能够终止。
2.递归调用时，问题规模要比上一次递归调用减小，确保算法能够在有限步骤内得到解。
3.递归算法的效率通常比较低，因为它会重复计算一些子问题。
可以通过记忆化、动态规划等方法进行优化。
二、递归算法的特点递归算法具有以下几个特点：1.逻辑简单清晰：递归算法的实现通常比较简洁，容易理解和调试。
2.代码复用性好：递归算法可以将问题分解为更小规模的子问题，这样可以复用代码来解决不同规模的问题。
3.可读性强：递归算法通常可以直观地反映问题的结构和解题思路。
4.可扩展性好：递归算法可以方便地将问题扩展到更大规模。
然而，递归算法也存在一些局限性：1.递归算法通常会消耗较多的内存空间，因为每一次递归调用都需要保存一些中间结果。
2.递归算法的效率较低，因为它会存在重复计算的问题，可以通过优化方法进行提升。
3.递归算法可能会因为递归过深而导致栈溢出，需要注意递归调用的次数。
离散数学中递归算法的工作原理解析
离散数学中递归算法的工作原理解析离散数学是一门研究离散对象和离散结构的数学学科，其在计算机科学中有着广泛的应用。
递归算法是离散数学中的一个重要概念，本文将对递归算法的工作原理进行解析。
1. 递归算法的定义递归算法是一种通过反复调用自身来解决问题的算法。
它通常包含了一个递归出口（基本情况）和一个递归体（递归情况）。
当问题达到递归出口时，算法停止递归并返回结果。
否则，算法继续递归调用自身，将问题分解为规模更小的子问题，并在子问题上进行递归求解。
2. 递归算法的优点与注意事项递归算法具有以下优点：1) 逻辑清晰简洁：递归算法能够使用简洁的方式描述问题的解决过程。
2) 结构灵活：递归算法能够解决各种类型的问题，适用范围广泛。
然而，递归算法也需要注意以下事项：1) 递归深度：递归算法的性能与问题的规模成反比。
递归深度过大可能导致栈溢出或性能下降。
2) 重复计算：递归算法中可能存在重复计算，增加了计算量。
可以使用记忆化技术（如动态规划）来优化递归算法。
3. 递归算法的应用场景递归算法在计算机科学中有广泛的应用，包括但不限于以下领域：1) 数据结构：递归算法常用于处理树、图、链表等数据结构，如树的遍历、图的深度优先搜索等。
2) 排列组合：递归算法可以用于生成排列组合，如全排列、组合数等。
3) 分治算法：分治算法通常使用递归来将问题分解为更小的子问题，并分别求解。
4. 递归算法的实现步骤实现一个递归算法通常包括以下步骤：1) 定义递归出口：确定递归算法何时停止递归，返回结果。
2) 确定递归体：根据问题的特点，将问题分解为规模更小的子问题，并调用自身来解决子问题。
3) 设计递归调用：根据子问题的规模和性质，设计递归调用的方式。
4) 处理子问题的结果：将子问题的结果合并得到原问题的结果。
5. 递归算法的示例：阶乘计算下面通过计算阶乘的例子来具体说明递归算法的工作原理：```python# 递归算法计算阶乘def factorial(n):if n == 0:return 1else:return n * factorial(n-1)```上述代码中，factorial函数通过递归来计算阶乘。
C语言递归算法解析递归思想与应用
C语言递归算法解析递归思想与应用C语言递归算法解析C语言作为一种高级编程语言，拥有强大的功能和灵活性。
其中，递归算法是C语言中常用的一种算法，能够解决许多复杂的问题。
本文将解析C语言递归算法的思想与应用。
一、递归思想的理解与定义递归是指一个函数直接或间接地调用自身的一种技巧。
在递归过程中，问题规模不断缩小，直至到达基本问题（递归终止条件），然后逐步返回答案，最终解决整个问题。
递归算法的形式可以简单概括为以下几个步骤：1. 确定递归终止条件，即最小的问题，不需要再进行递归调用，直接返回结果。
2. 将原问题转化为规模更小的子问题，并通过递归调用解决这些子问题。
3. 将子问题的解合并为原问题的解，并返回结果。
递归算法与迭代算法相比，具有代码简洁、思路清晰等优点，但也需要注意递归调用的效率和内存消耗。
二、递归算法的应用场景递归算法在实际编程中广泛应用于以下几个方面：1. 阶乘计算阶乘是指从1到某个正整数n的所有整数相乘的结果。
递归算法可以通过将n的阶乘转化为(n-1)的阶乘并与n相乘的方式进行计算。
2. 斐波那契数列斐波那契数列是指从0和1开始，后面每一项都是前两项的和。
递归算法可以通过将第n项的值转化为第(n-1)项和第(n-2)项的和的方式进行计算。
3. 列表或树的遍历对于具有层次结构的数据，如列表、树等，递归算法可以方便地进行遍历操作。
例如，在二叉树中，可以通过递归地遍历左子树和右子树来访问整棵树的节点。
4. 文件目录的遍历在操作系统中，递归算法常被用于遍历文件目录。
通过递归地进入子文件夹，并处理其中的文件，可以方便地对整个文件目录进行操作。
以上仅是递归算法应用的常见场景，实际上递归算法可以解决更加复杂的问题，需要根据具体情况进行灵活应用。
三、递归算法的优化与注意事项虽然递归算法有许多优点，但也需要注意一些问题：1. 递归深度限制由于每次递归调用都会占用一定的栈空间，当递归深度过大时容易导致栈溢出。
递归算法 ppt课件
综合上述两种情况，应用加法原理，得出n个元素的集合 ｛a1，a2，……，an｝划分为k个子集的划分数为以下递归公 式：S(n，k)＝S(n－1，k－1) + k * S(n－1，k) (n>k，k>0)。
下面，我们来确定S(n，k)的边界条件,首先不能把n个元素 不放进任何一个集合中去，即k=0时，S(n，k)＝0；也不可能 在不允许空盒的情况下把n个元素放进多于n的k个集合中去， 即k＞n时,S(n，k)＝0；再者，把n个元素放进一个集合或把n 个元素放进n个集合，方案数显然都是1，即k=1或k=n时， S(n,k)=1。
//调用下一层递归
}
int main()
{
int n,k;
cin >> n >> k;
cout << s(n,k);
return 0;
}
ppt课件
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【例6】数的计数(Noip2001)
【问题描述】
我们要求找出具有下列性质数的个数（包括输入的自然数n）。先输入一 个自然数n（n≤1000），然后对此自然数按照如下方法进行处理：
成一个子集。则问题相当于先把a1，a2，……，an-1 划分成k
个子集，这种情况下划分数共有S(n－1，k)个；然后再把元素
an加入到k个子集中的任一个中去，共有k种加入方式，这样对
于an的每一种加入方式，都可以使集合划分为k个子集，因此
根据乘法原理，划分数共有k p*pt课S件(n－1，k)个。
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ppt课件
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【例3】Hanoi汉诺塔问题
有N个圆盘，依半径大小（半径都不同），自下而上套在A柱上，每次只允 许移动最上面一个盘子到另外的柱子上去（除A柱外，还有B柱和C柱，开始时这 两个柱子上无盘子），但绝不允许发生柱子上出现大盘子在上，小盘子在下的情 况，现要求设计将A柱子上N个盘子搬移到C柱去的方法。 【算法分析】
高中信息技术课件：递归算法 (共19张PPT)
(3)编写程序 窗ຫໍສະໝຸດ 中开设一个文本框Text1用于填 人月数N，设置命令框Commandl，点击 它即执行程序求出第N月的兔子数。然后用 文本框Text2输出答案。
根据递推式可以写出递归程序如下：
Function Fib(ByVal N As Integer) As Long If N < 3 Then Fib = 1 Else Fib = Fib(N - 1) + Fib(N - 2) End Function Private Sub Command1_Click() N = Val(Text1.Text) Text2.Text = "第" & N & "月的兔子数目是：" & Fib(N) End Sub
递 归 算 法
什么是递归算法?
递归算法：是一种直接或者间接地调 用自身的算法。在计算机编写程序中，递 归算法对解决一大类问题是十分有效的， 它往往使算法的描述简洁而且易于理解。
斐波那契的兔子问题
某人有一对兔子饲养在围墙中，如 果它们每个月生一对兔子，且新生的兔子 在第二个月后也是每个月生一对兔子，问 一年后围墙中共有多少对兔子。
算法:
① ② ③ ④ ⑤ ⑥ 输入计算兔子的月份数：n If n < 3 Then c = 1 Else a = 1: b = 1 i=3 c = a + b：a = b：b = c i=i+1,如果i≤n则返回④ 结束
Private Sub Command1_Click() n = Val(Text1.Text) If n < 3 Then c = 1 Else a = 1: b = 1 For i = 3 To n c=a+b a=b b=c Next i Text2.Text = "第" & n & "月的兔子数目是：" &c End Sub
数据结构递归算法
数据结构递归算法递归算法是一种常见的算法思想，它可以将一个问题分解成更小的子问题，直到问题的规模足够小，可以直接解决。
在计算机科学中，递归算法通常用于解决树形结构、图形结构等复杂的数据结构问题。
本文将介绍递归算法的基本概念、应用场景以及实现方法。
递归算法的基本概念递归算法是一种自我调用的算法，它通过将一个问题分解成更小的子问题来解决原问题。
递归算法通常包含两个部分：基本情况和递归情况。
基本情况是指问题的规模足够小，可以直接解决。
递归情况是指问题的规模较大，需要将问题分解成更小的子问题来解决。
递归算法的应用场景递归算法通常用于解决树形结构、图形结构等复杂的数据结构问题。
例如，计算一棵二叉树的深度、查找一张图的连通性等问题都可以使用递归算法来解决。
此外，递归算法还可以用于解决一些数学问题，例如计算斐波那契数列、计算阶乘等。
递归算法的实现方法递归算法的实现方法通常包含两个部分：递归函数和递归终止条件。
递归函数是指一个函数调用自身的过程，递归终止条件是指当问题的规模足够小时，递归函数不再调用自身，直接返回结果。
下面以计算斐波那契数列为例，介绍递归算法的实现方法。
斐波那契数列是一个数列，其中每个数都是前两个数的和。
例如，数列的前几个数为0、1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144、233、377、610、987、1597、2584、4181、6765、10946、17711、28657、46368、75025、121393、196418、317811、514229、832040、1346269、2178309、3524578、5702887、9227465、14930352、24157817、39088169、63245986、102334155、165580141、267914296、433494437、701408733、1134903170、1836311903、2971215073、4807526976、7778742049、12586269025等。
递归算法详解
递归算法详解递归详解通过运⾏时堆栈来⽀持递归的调⽤，在我们刚接触递归的时候，国内很多教材都采⽤求阶乘和菲波那契数列来描述该思想，就如同深受⼤家敬爱的国产的C语⾔程序设计，⽼谭也⽤了阶乘来描述递归，以⾄于很多新⼿⼀看见阶乘就理所当然的认为是递归，坑了不少⼈，说实在的，描述这个思想还是可以，但是利⽤递归求阶乘可是没有⼀点好处，递归解决菲波那契数列效率更是低得惊⼈，这点是显⽽易见的！废话不多说，接下来我们进⼊正题！（不过说实话，我很讨厌接下来这些太理论的东西，说到底就是那么个意思，⼤家懂就好了，也可以当看看故事！我主要说的就是各种各样递归的实例）1：递归算法的思想递归算法是把问题转化为规模缩⼩了的同类问题的⼦问题。
然后函数（或过程）来表⽰问题的解。
在C语⾔中的运⾏堆栈为他的存在提供了很好的⽀持，过程⼀般是通过函数或⼦过程来实现。
递归算法：在函数或⼦过程的内部，直接或者间接地调⽤⾃⼰的算法。
2：递归算法的特点：递归算法是⼀种直接或者间接地调⽤⾃⾝算法的过程。
在计算机编写程序中，递归算法对解决⼀⼤类问题是⼗分有效的，它往往使算法的描述简洁⽽且易于理解。
递归算法解决问题的特点：(1) 递归就是在过程或函数⾥调⽤⾃⾝。
(2) 在使⽤递归策略时，必须有⼀个明确的递归结束条件，称为递归出⼝。
(3) 递归算法解题通常显得很简洁，但递归算法解题的运⾏效率较低。
所以⼀般不提倡⽤递归算法设计程序。
(4) 在的过程当中系统为每⼀层的返回点、局部量等开辟了栈来存储。
递归次数过多容易造成等。
所以⼀般不提倡⽤递归算法设计程序。
3：递归算法的要求递归算法所体现的“重复”⼀般有三个要求：⼀是每次调⽤在规模上都有所缩⼩(通常是减半)；⼆是相邻两次重复之间有紧密的联系，前⼀次要为后⼀次做准备(通常前⼀次的输出就作为后⼀次的输⼊)；三是在问题的规模极⼩时必须⽤直接给出解答⽽不再进⾏，因⽽每次递归调⽤都是有条件的(以规模未达到直接解答的⼤⼩为条件)，⽆条件递归调⽤将会成为死循环⽽不能正常结束。
C语言的递归算法解析
C语言的递归算法解析递归算法是一种经常在编程中使用的重要技术。
在C语言中，递归算法可以通过函数的自我调用来实现。
本文将对C语言中的递归算法进行详细解析，并介绍递归算法在实际应用中的一些常见场景。
一、什么是递归算法递归算法是一种通过函数的自我调用来解决问题的方法。
在递归算法中，一个函数可以直接或间接地调用自身。
递归算法通常分为两个部分：基本情况和递归情况。
基本情况是指能够直接解决的问题，而递归情况是指将问题划分为子问题并通过递归调用解决。
递归算法的核心思想是将原问题转化为规模更小的子问题，并通过递归调用解决子问题。
递归算法必须要有一个终止条件，否则会进入无限循环，导致程序崩溃或者运行时间过长。
二、递归算法的实现在C语言中，递归算法可以通过函数的自我调用来实现。
下面是一个求解斐波那契数列的递归算法示例：```c#include <stdio.h>int fibonacci(int n) {if (n == 0 || n == 1) {return n;} else {return fibonacci(n-1) + fibonacci(n-2);}}int main() {int n = 10;int result = fibonacci(n);printf("The %dth Fibonacci number is: %d\n", n, result);return 0;}```在上述代码中，`fibonacci`函数通过递归调用自身来求解斐波那契数列的第n个数。
如果n为0或者1，那么直接返回n，否则将问题划分为求解第n-1个数和第n-2个数的和，并通过递归调用来解决子问题。
三、递归算法的优缺点递归算法具有以下优点：1. 递归算法可以简化问题的解决过程，将大问题划分为小问题，降低了问题解决的复杂度。
2. 递归算法的逻辑清晰，代码简洁，易于理解和维护。
然而，递归算法也存在一些缺点：1. 递归算法需要占用大量的系统栈空间，函数的调用层级过深可能导致栈溢出的问题。
递归及递归算法图解
递归问题的提出
第一步：将问题简化。 – 假设A杆上只有2个圆盘，即汉诺塔有2层，n＝2。
A
B
C
递归问题的提出
A
B
C
对于一个有 n（n>1）个圆盘的汉诺塔，将n个圆盘分 为两部分：上面的 n-1 个圆盘和最下面的n号圆盘。将 “上面的n-1个圆盘”看成一个整体。
– 将 n-1个盘子从一根木桩移到另一根木桩上
1
当n 1时
n ! n (n 1)! 当n 1时
long int Fact(int n)
{ long int x;
if (n > 1)
{ x = Fact(n-1);
/*递归调用*/
return n*x; }
else return 1;
/*递归基础*/
}
Fact(n) 开始 传进的参数n N n>1
两种不同的递归函数--递归与迭代
21
(2)递归和迭代有什么差别?
递归和迭代(递推)
迭代(递推)：可以自递归基础开始，由前向后依次计算或直
接计算；
递归：可以自递归基础开始，由前向后依次计算或直接计算；
但有些，只能由后向前代入，直到递归基础，寻找一条路径， 然后再由前向后计算。
递归包含了递推(迭代)，但递推(迭代)不能覆盖递归。
递归的概念 (5)小结
战德臣 教授
组合 抽象
构造 递归
用递归 定义
用递归 构造
递归计 算/执行
递归 基础
递归 步骤
两种不同的递归函数
递归
迭代
两种不同的递归函数--递归与迭代
20
(1)两种不同的递归函数?
递归和递推：比较下面两个示例
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1.用递归法计算n!【讲解】递归是算法设计中的一种基本而重要的算法。
递归方法即通过函数或过程调用自身将问题转化为本质相同但规模较小的子问题，是分治策略的具体体现。
递归方法具有易于描述、证明简单等优点，在动态规划、贪心算法、回溯法等诸多算法中都有着极为广泛的应用，是许多复杂算法的基础。
递归概述一个函数在它的函数体内调用它自身称为递归（recursion）调用。
是一个过程或函数在其定义或说明中直接或间接调用自身的一种方法，通常把一个大型复杂的问题层层转化为一个与原问题相似的规模较小的问题来求解。
递归策略只需少量的程序就可描述出解题过程所需要的多次重复计算，大大地减少了程序的代码量。
递归的能力在于用有限的语句来定义对象的无限集合。
用递归思想写出的程序往往十分简洁易懂。
一般来说，递归需要有边界条件、递归前进段和递归返回段。
当边界条件不满足时，递归前进；当边界条件满足时，递归返回。
使用递归要注意以下几点：（1）递归就是在过程或函数里调用自身；（2）在使用递增归策略时，必须有一个明确的递归结束条件，称为递归出口。
例如有函数r如下：int r(int a){ b=r(a−1);return b;}这个函数是一个递归函数，但是运行该函数将无休止地调用其自身，这显然是不正确的。
为了防止递归调用无终止地进行，必须在函数内有终止递归调用的手段。
常用的办法是加条件判断，满足某种条件后就不再作递归调用，然后逐层返回。
构造递归方法的关键在于建立递归关系。
这里的递归关系可以是递归描述的，也可以是递推描述的。
例4-1 用递归法计算n!。
n!的计算是一个典型的递归问题。
使用递归方法来描述程序，十分简单且易于理解。
（1）描述递归关系递归关系是这样的一种关系。
设{U1,U2,U3,…,Un,…}是一个序列，如果从某一项k开始，Un和它之前的若干项之间存在一种只与n有关的关系，这便称为递归关系。
注意到，当n≥1时，n!=n*(n−1)!（n=0时，0!=1），这就是一种递归关系。
对于特定的k!，它只与k与(k−1)!有关。
（2）确定递归边界在步骤1的递归关系中，对大于k的Un 的求解将最终归结为对Uk的求解。
这里的Uk称为递归边界（或递归出口）。
在本例中，递归边界为k=0，即0!=1。
对于任意给定的N!，程序将最终求解到0!。
确定递归边界十分重要，如果没有确定递归边界，将导致程序无限递归而引起死循环。
例如以下程序：#include <stdio.h>int f(int x){ return(f(x−1));}main(){ printf(f(5));}它没有规定递归边界，运行时将无限循环，会导致错误。
（3）写出递归函数并译为代码将步骤1和步骤2中的递归关系与边界统一起来用数学语言来表示，即n!= n*(n−1)! 当n>1时n!= 1 当n=1时再将这种关系翻译为代码，即一个函数：long f(int n){ long g;if(n<0) printf("n<0,输入错误！");else if(n==1) g=1;else g=n*f(n−1);return(g);}（4）完善程序主要的递归函数已经完成，设计主程序调用递归函数即可。
#include <stdio.h>long f(int n){ long g;if(n<0) printf("n<0,输入错误！");else if(n==1) g=1;else g=n*f(n-1);return(g);}void main(){ int n;long y;printf(" 计算n!，请输入n: ");scanf("%d",&n);y=f(n);printf(" %d!=%ld \n",n,y);}程序中给出的函数f是一个递归函数。
主函数调用f后即进入函数f执行，如果n<0,n==0或n=1时都将结束函数的执行，否则就递归调用f函数自身。
由于每次递归调用的实参为n−1，即把n−1的值赋予形参n，最后当n−1的值为1时再作递归调用，形参n的值也为1，将使递归终止，然后可逐层退回。
下面我们再举例说明该过程。
设执行本程序时输入为5，即求 5!。
在主函数中的调用语句即为y=f(5)，进入f函数后，由于n=5，不等于0或1，故应执行f=f(n−1)*n，即f=f(5−1)*5。
该语句对f作递归调用即f(4)。
进行4次递归调用后，f函数形参取得的值变为1，故不再继续递归调用而开始逐层返回主调函数。
f(1)的函数返回值为1，f(2)的返回值为1*2=2，f(3)的返回值为2*3=6，f(4) 的返回值为6*4=24，最后返回值f(5)为24*5=120。
综上，得出构造一个递归方法基本步骤，即描述递归关系、确定递归边界、写出递归函数并译为代码，最后将程序完善。
木桩A 木桩B 木桩C木桩A 木桩B木桩C 图1图35-1 汉诺塔游戏示意图（1）有三根桩子A 、B 、C 。
A 桩上有n 个碟子，最大的一个在底下，其余一个比一个小，依次叠上去。
（2）每次移动一块碟子，小的只能叠在大的上面。
（3）把所有碟子从A 桩全部移到C 桩上，如图35-1所示。
试求解n 个圆盘A 桩全部移到C 桩上的移动次数，并求出n 个圆盘的移动过程。
【讲解】1. 递归关系当n=1时，只一个盘，移动一次即完成。
当n=2时，由于条件是一次只能移动一个盘，且不允许大盘放在小盘上面，首先把小盘从A 桩移到B 桩；然后把大盘从A 桩移到C 桩；最后把小盘从B 桩移到C 桩，移动3次完成。
设移动n 个盘的汉诺塔需g(n)次完成。
分以下三个步骤：(1) 首先将n 个盘上面的n-1个盘子借助C 桩从A 桩移到B 桩上，需g(n-1)次；(2) 然后将A 桩上第n 个盘子移到C 桩上（1次）；(3) 最后，将B 桩上的n-1个盘子借助A 桩移到C 桩上，需g(n-1)次。
因而有递归关系：g(n)=2*g(n-1)+1初始条件(递归出口)：g(1)=1.2. 递归求解汉诺塔移动次数的程序设计// 汉诺塔n 盘移动次数#include<stdio.h>void main(){double g(int m); // 确定初始条件int n;printf(" 请输入盘片数n: ");scanf("%d",&n);if(n<=40)printf(" %d盘的移动次数为：%.0f\n",n,g(n));elseprintf(" %d盘的移动次数为：%.4e\n",n,g(n));}// 求移动次数的递归函数double g(int m){ double s;if(m==1)s=1;elses=2*p(m-1)+1;return s;}3. 程序运行示例请输入盘片数n: 4040盘的移动次数为：1099511627775请输入盘片数n: 6464盘的移动次数为：1.8447e+019这是一个很大的天文数字，若每一秒移动一次，那么需要数亿个世纪才能完成这64个盘的移动。
2.展示移动过程1. 求解思路设递归函数hn(n,a,b,c)展示把n个盘从A桩借助B桩移到C桩的过程,函数mv(a,c)输出从a桩到c桩的过程。
完成hn(n,a,b,c)，当n=1时，即mv(a,c)。
当n>1时，分以下三步：(1) 将A桩上面的n-1个盘子借助C桩移到B桩上，即hn(n-1,a,c,b)；(2) 将A桩上第n个盘子移到C桩上，即mv(a,c)；(3) 将B桩上的n-1个盘子借助A桩移到C桩上，即hn(n-1,b,a,c)。
在主程序中，用hn(m,1,2,3)带实参m,1,2,3调用hn(n,a,b,c)，这里m为具体移动盘子的个数。
同时设置变量k统计移动的次数。
2. 展示汉诺塔移动过程的程序设计函数mv(x,y)输出从x桩到y桩的过程，这里x,y分别不同情况取“A”或“B”或“C”，主函数调用hn(m,'A','B','C')。
// 展示汉诺塔移动过程的递归设计#include <stdio.h>int k=0;void mv(char x,char y) // 输出函数{ printf(" %c-->%c ",x,y);k++; // 统计移动次数if(k%5==0)printf("\n");}void hn(int m,char a,char b,char c) // 递归函数{ if(m==1) mv(a,c);else{ hn(m-1,a,c,b);mv(a,c);hn(m-1,b,a,c);}}#include <stdio.h>void main() // 主函数{ int n;printf("\n input n: "); scanf("%d",&n);hn(n,'A','B','C');printf("\n k=%d \n",k); // 输出移动次数}3. 程序运行示例与分析运行程序，input n: 4A-->B A-->C B-->C A-->B C-->AC-->B A-->B A-->C B-->C B-->AC-->A B-->C A-->B A-->C B-->Ck=15(1) 上面的运行结果是实现函数hn(4,A,B,C)的过程，可分解为以下三步：1）A-->B A-->C B-->C A-->B C-->A C-->B A-->B，这前7步是实施hn(3,A,C,B),即完成把上面3个盘从A桩借助C移到B桩。
2）A-->C 这1步是实施着mv(A,C)，即把最下面的盘从A桩移到C桩。
3）B-->C B-->A C-->A B-->C A-->B A-->C B-->C，这后7步是实施hn(3,B,A,C),即完成把B桩的3个盘借助A移到C桩。
(2) 其中实现hn(3,A,C,B)的过程,可分解为以下三步:1） A-->B A-->C B-->C，这前3步是实施hn(2,A,B,C),即完成把上面两个盘从A桩借助B移到C桩。