新北师大版七年级数学下册三角形知识点精讲
1北师大版七年级下册数学[.全等三角形的概念和性质(基础)知识点整理及重点题型梳理]
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北师大版七年级下册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习全等三角形的概念和性质（基础）【学习目标】1．理解全等三角形及其对应边、对应角的概念；能准确辨认全等三角形的对应元素. 2．掌握全等三角形的性质；会用全等三角形的性质进行简单的推理和计算，解决某些实际问题.【要点梳理】要点一、全等形形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合.能够完全重合的两个图形叫做全等形.要点诠释：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等.两个全等形的周长相等，面积相等.要点二、全等三角形能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.要点三、对应顶点，对应边，对应角1. 对应顶点，对应边，对应角定义两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角.要点诠释：在写两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应位置上，这样容易找出对应边、对应角.如下图，△ABC与△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，其中点A和点D，点B和点E，点C和点F是对应顶点；AB和DE，BC和EF，AC和DF是对应边；∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是对应角.2. 找对应边、对应角的方法（1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；（2）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角；（3）有公共边的，公共边是对应边；（4）有公共角的，公共角是对应角；（5）有对顶角的，对顶角一定是对应角；（6）两个全等三角形中一对最长的边（或最大的角）是对应边（或角），一对最短的边（或最小的角）是对应边（或角），等等.要点四、全等三角形的性质全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等.要点诠释：全等三角形对应边上的高相等，对应边上的中线相等，周长相等，面积相等.全等三角形的性质是今后研究其它全等图形的重要工具.【典型例题】类型一、全等形和全等三角形的概念1、下列每组中的两个图形，是全等图形的为（）A． B．C．D．【答案】A【解析】B，C，D选项中形状相同，但大小不等.【总结升华】是不是全等形，既要看形状是否相同，还要看大小是否相等.举一反三：【变式】（2014秋•岱岳区期末）下列各组图形中，一定全等的是（）A.各有一个角是45°的两个等腰三角形B.两个等边三角形C.各有一个角是40°，腰长3cm的两个等腰三角形D.腰和顶角对应相等的两个等腰三角形【答案】D；解析：A、两个等腰三角形的45°不一定同是底角或顶角，还缺少对应边相等，所以，两个三角形不一定全等，故本选项错误；B、两个等边三角形的边长不一定相等，所以，两个三角形不一定全等，故本选项错误；C、40°角不一定是两个三角形的顶角，所以，两个三角形不一定全等，故本选项错误；D、腰和顶角对应相等的两个等腰三角形可以利用“边角边”证明全等，故本选项正确．类型二、全等三角形的对应边，对应角2、（2016•厦门）如图，点E，F在线段BC上，△ABF与△DCE全等，点A与点D，点B与点C是对应顶点，AF与DE交于点M，则∠DCE=（）A．∠B B．∠A C．∠EMF D．∠AFB【思路点拨】由全等三角形的性质：对应角相等即可得到问题的选项【答案与解析】∵△ABF与△DCE全等，点A与点D，点B与点C是对应顶点，∴∠DCE=∠B，故选A．【总结升华】全等三角形对应角所对的边是对应边；全等三角形对应边所对的角是对应角. 举一反三：【变式】如图，△ABD≌△ACE，AB＝AC，写出图中的对应边和对应角.【答案】AB和AC是对应边，AD和AE、BD和CE是对应边，∠A和∠A是对应角，∠B和∠C，∠ADB和∠AEC是对应角.类型三、全等三角形性质3、已知：如图所示，Rt△EBC中，∠EBC＝90°，∠E＝35°.以B为中心，将Rt△EBC绕点B逆时针旋转90°得到△ABD，求∠ADB的度数.解：∵Rt△EBC中，∠EBC＝90°，∠E＝35°，∴∠ECB＝________°.∵将Rt△EBC绕点B逆时针旋转90°得到△ABD，∴△________≌△_________.∴∠ADB＝∠________＝________°.【思路点拨】由旋转的定义，△ABD≌△EBC，∠ADB与∠ECB是对应角，通过计算得出结论.【答案】55；ABD，EBC；ECB，55【解析】旋转得到的图形是全等形，全等三角形对应边相等，对应角相等.【总结升华】根据全等三角形的性质来解题.4、（2014秋•青山区期中）如图，△ABC≌△DEC，点E在AB上，∠DCA=40°，请写出AB的对应边并求∠BCE的度数．【思路点拨】根据全等三角形的性质得出即可，根据全等得出∠ACB=∠DCE ，都减去∠ACE 即可．【答案与解析】解：AB 的对应边为DE ，∵△ABC ≌△DEC ，∴∠ACB=∠DCE ，∴∠ACB —∠ACE=∠DCE —∠ACE ，即∠BCE=∠DCA=40°．【总结升华】本题考查了全等三角形的性质的应用，注意：全等三角形的对应角相等，对应边相等．举一反三：【变式】如图，将△ABC 绕着点C 按顺时针方向旋转20°，B 点落在B '位置，A 点落在A '位置，若AC A B ''⊥，则BAC ∠的度数是____________.【答案】70°；提示：BAC ∠＝∠B A C ''＝90°－20°＝70°.。
北师大版数学七年级下册课件：4.三角形的三边关系
想一想
如果一根木棒能与长度分别为 5 cm 和 8 cm 的两根木棒摆成三角形，那么它的长度取值 范围是什么？
D
B
H
C
理由：任取异于点 H 的点H′， 连接AH′、BH′、CH′、DH′，根 据三角形的两边之和大于第三 A
边有：
AH′ + H′C > AH + HC,
D
BH′ + H′D > BH + HD 即 AH + HC + BH + HD 最小.
B
H
H′
C
课堂小结
三角形任意两边之和大于第三边. 三角形任意两边之差小于第三边.
8-5 < x < 5+8 3 < x < 13
随堂演练
1.三条线段的长度分别为： （1）3cm，4cm，5cm； （2）8cm，7cm，15cm； （3）13cm，12cm，20cm； （4）5cm，5cm，11cm. 能组成三角形的有（ B ）组.
A.1 B.2 C.3 D.4
2.现有长度分别为1cm，2cm，3cm，4cm， 5cm 的五条线段，从其中选三条线段为边可以 构成___3__个的不同的三角形.
普通等腰三角形 等边三角形
三边都相等的三角形是等边三角形.
等腰三角形 顶角
腰
腰
底角
Байду номын сангаас
底边
底角
专题4.1认识三角形(与三角形有关的线段)(知识讲解)-七年级数学下册基础知识专项讲练(北师大版)
专题4.1 认识三角形（与三角形有关的线段）（知识讲解）【学习目标】1. 理解三角形及与三角形有关的概念,掌握它们的文字、符号语言及图形表述方法；2. 理解并会应用三角形三边间的关系；3. 理解三角形的高、中线、角平分线及重心的概念，学会它们的画法及简单应用；4. 对三角形的稳定性有所认识，知道这个性质有广泛的应用．【要点梳理】要点一、三角形的定义及分类1. 定义： 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．特别说明：（1）三角形的基本元素：①三角形的边：即组成三角形的线段；②三角形的角：即相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角；③三角形的顶点：即相邻两边的公共端点.（2）三角形定义中的三个要求：“不在同一条直线上”、“三条线段”、“首尾顺次相接”.（3）三角形的表示：三角形用符号“△”表示，顶点为A 、B 、C 的三角形记作“△ABC ”，读作“三角形ABC ”，注意单独的△没有意义；△ABC 的三边可以用大写字母AB 、BC 、AC 来表示，也可以用小写字母a 、b 、c 来表示，边BC 用a 表示，边AC 、AB 分别用b 、c 表示．2．三角形的分类(1)按角分类：特别说明：①锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形;②钝角三角形：有一个内角为钝角的三角形.(2)按边分类：特别说明：①等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边都叫做腰，另外一边叫做底边，两腰的夹角叫顶角，腰与底边夹角叫做底角;②等边三角形：三边都相等的三角形.要点二、三角形的三边关系定理：三角形任意两边的和大于第三边.推论：三角形任意两边的差小于第三边.特别说明：（1）理论依据：两点之间线段最短.（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围．⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩直角三角形三角形 锐角三角形斜三角形 钝角三角形（3）证明线段之间的不等关系.要点三、三角形的高、中线与角平分线1、三角形的高从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高．三角形的高的数学语言：如下图，AD 是ΔABC 的高，或AD 是ΔABC 的BC 边上的高，或AD⊥BC 于D ，或∠ADB＝∠ADC＝∠90°.注意：AD 是ΔABC 的高∠ADB＝∠ADC＝90°(或AD⊥BC 于D)；特别说明：（1）三角形的高是线段；（2）三角形有三条高，且相交于一点，这一点叫做三角形的垂心；（3）三角形的三条高：(ⅰ)锐角三角形的三条高在三角形内部，三条高的交点也在三角形内部；(ⅱ)钝角三角形有两条高在三角形的外部，且三条高的交点在三角形的外部；(ⅲ)直角三角形三条高的交点是直角的顶点.2、三角形的中线三角形的一个顶点与它的对边中点的连线叫三角形的中线．三角形的中线的数学语言：如下图，AD 是ΔABC 的中线或AD 是ΔABC 的BC 边上的中线或BD ＝CD ＝BC. 特别说明：(1)三角形的中线是线段；(2)三角形三条中线全在三角形内部； (3)三角形三条中线交于三角形内部一点，这一点叫三角形的重心； (4)中线把三角形分成面积相等的两个三角形.3、三角形的角平分线三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线. 三角形的角平分线的数学语言：如下图，AD 是ΔABC 的角平分线，或∠BAD＝∠CAD 且点D 在BC 上.注意：AD 是ΔABC 的角平分线∠BAD＝∠DAC＝∠BAC (或∠BAC＝2∠BAD＝2∠DAC) . 特别说明：（1）三角形的角平分线是线段； ⇔21⇔21（2）一个三角形有三条角平分线，并且都在三角形的内部；（3）三角形三条角平分线交于三角形内部一点，这一点叫做三角形的内心；（4）可以用量角器或圆规画三角形的角平分线.要点四、三角形的稳定性三角形的三条边确定后，三角形的形状和大小就确定不变了，这个性质叫做三角形的稳定性. 特别说明：（1）三角形的形状固定是指三角形的三个内角不会改变，大小固定指三条边长不改变．（2）三角形的稳定性在生产和生活中很有用．例如，房屋的人字梁具有三角形的结构，它就坚固而稳定；在栅栏门上斜着钉一条(或两条)木板，构成一个三角形，就可以使栅栏门不变形．大桥钢架、输电线支架都采用三角形结构，也是这个道理．（3）四边形没有稳定性，也就是说，四边形的四条边长确定后，不能确定它的形状，它的各个角的大小可以改变．四边形的不稳定性也有广泛应用，如活动挂架，伸缩尺．有时我们又要克服四边形的不稳定性，如在门框未安好之前，先在门框上斜着钉一根木板，使它不变形．【典型例题】类型一、与三角形有关线段??三角形的边段??概念??分类1．如图所示，（1）图中有几个三角形？（2）说出CDE ∆的边和角．（3）AD 是哪些三角形的边？C ∠是哪些三角形的角？【答案】（1）图中有：ABD ∆，ADC ∆，ADE ∆，EDC ∆，ACB ∆，共5个；（2）CDE ∆的边：CD ，CE ，DE ，角：C ∠，CDE ∠，DEC ∠；（3）AD 是ADB ∆，ADE ∆，ADC ∆的边；C ∠是ABC ∆，ADC ∆，DEC ∆的角．【分析】（1）分类找三角形，含AB 的，含AD （不含AB ）的，含DE （不含AD ）的三类即可；（2）根据组成三角形的三条线段一一找出，利用三角形两边的夹角即可找出；（3）观察图形，找出含AD 的三角形，先找AD 左边的，再找AD 右边的即可，根据三角形内角的定义，角的两边是三角形的边，找到第三边，在∠C 的内部在线段看与角的两边是否相交即可解：（1）图中有：以AB 为边的三角形有∠ABD ，∠ABC ，以AD 为边的三角形有∠ADE ，∠ADC ，再以DE 为边三角形有∠DEC ，一共有5个三角形分别为ABD ∆，ABC ∆，ADC ∆，ADE ∆，EDC ∆；（2）CDE ∆的边：CD ，CE ，DE ，角：C ∠，CDE ∠，DEC ∠；（3）AD 是ADB ∆，ADE ∆，ADC ∆的边；C ∠是ABC ∆，ADC ∆，DEC ∆的角．【点拨】本题考查三角形的识别，三角形的基本要素，三角形个数，观察图形找出图中的三角形，三角形的组成，找以固定线段的三角形，和固定角的三角形，掌握利用分类思想找出所有的图形，三角形的边与角，共线段三角形以及共角三角形是解题关键．举一反三：【变式】如图，以BD 为边的三角形有哪些？分别写出来；以∠1为内角的三角形有哪些？分别写出来．【分析】先根据BD 边找三角形，再根据∠1找三角形.解：以BD 为边的三角形有：∠BDC ，∠BDO ，以∠1为内角的三角形有：∠EOC ，∠ACD ．【点拨】本题考查了三角形的内角和边的概念，学会分类的方法找三角形是本题的解题关键.2．已知ABC 的三边长分别为a ，b ，c ．若a ，b ，c 满足22()()0a b b c -+-=，试判断ABC 的形状．【答案】ABC 的形状是等边三角形．【分析】利用平方数的非负性，求解a ，b ，c 的关系，进而判断ABC ．解：∠22()()0a b b c -+-=，∠0a b -=，0b c -=∠a =b =c ，∠ ABC ∆是等边三角形．【点拨】本题主要是考查了三角形的分类，熟练掌握各类三角形的特点，例如三边相等为等边三角形，含90︒的三角形为直角三角形等，这是解决此类题的关键．举一反三：【变式】满足下列条件的三角形是锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形．（1）∠ABC 中，∠A ＝30°，∠C ＝∠B ；（2）三个内角的度数之比为1:2:3.【答案】(1)锐角三角形；(2)直角三角形．【分析】根据角的分类对三角形进行分类即可.解：(1)∠∠A ＝30°，∠C ＝∠B ，∠A ＋∠C ＋∠B ＝180°，∠∠C ＝∠B ＝75°，∠满足条件的三角形是锐角三角形．(2) ∠三个内角的度数之比为1∠2∠3，∠可求得每个内角的度数分别为30°，60°，90°，∠满足条件的三角形是直角三角形．【点拨】本题主要考查了三角形的分类问题．类型二、与三角形有关线段??构成三角形条件??确定第三边取值范围3．判断下列长度的三条线段能否拼成三角形？为什么？（1）3cm 、8cm 、4cm ； （2）5cm 、6cm 、11cm ； （3）5cm 、6cm 、10cm ；【答案】（1）不能，因为3cm ＋4cm ＜8cm ；（2）不能，因为5cm ＋6cm ＝11cm ；（3）能，因为5cm ＋6cm ＞10cm【分析】略举一反三：【变式】如图所示三条线段a ，b ，c 能组成三角形吗？你是用什么方法判别的？【答案】三条线段a ，b ，c 能组成三角形，理由见分析【分析】只需要利用作图方法证明b a c b c -<<+即可．解：三条线段a ，b ，c 能组成三角形，理由如下：如图所示，根据线段的和差可知b a c b c -<<+，∠三条线段a ，b ，c 能组成三角形．【点拨】本题主要考查了构成三角形的条件，线段的尺规作图，证明b a c b c -<<+是解题的关键．4．己知三角形的两边长为5和7，第三边的边长a ．（1）求a 的取值范围；（2）若a 为整数，当a 为何值时，组成的三角形的周长最大，最大值是多少？【答案】(1) 212a << (2)当11a =时，三角形的周长最大为23【分析】（1）根据三角形三边关系求解即可得到答案；（2）由（1）取最大值即可得到答案．（1）解：由三角形的三边关系可知7575a -<<+，即212a <<，∠a 的取值范围是212a <<；（2）解：由（1）知，a 的取值范围是212a <<，a 是整数，∠当11a =时，三角形的周长最大，此时周长为：571123++=，∠周长的最大值是23．【点拨】本题考查三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 举一反三：【变式】已知：ABC 中，5AB =，21BC a =+，12AC =，求a 的范围．【答案】38a <<【分析】根据三角形的三边关系列不等式求解即可．解：∠AB BC AC 、、是ABC 的三边，∠AC AB BC AC AB -<<+，即：a -<+<+12521125，解得：38a <<，故答案为：38a <<．【点拨】本题考查了三角形的三边关系、解不等式组；熟练掌握三角形的三边关系以及解不等式组的方法是解题的关键．类型三、与三角形有关线段??三角形的高??作图??求值（等面积法）5．在如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，点A ，点B ，点C 均在小正方形的顶点上．(1) 画出ABC 中BC 边上的高AD ；(2) 直接写出ABC 的面积为___．【答案】(1)见分析 (2)8【分析】（1）结合网格图，直接利用三角形高线作法得出答案；（2）结合网格图，直接利用三角形的面积求法得出答案．（1）解：如图所示：AD 即为所求；1【变式】如图：(1) 用三角尺分别作出锐角三角形ABC ，直角三角形DEF 和钝角三角形PQR 的各边上的高线．(2) 观察你所作的图形，比较三个三角形中三条高线的位置，与三角形的类型有什么关系？【分析】（1）根据三角形高的画法画图即可；（2）根据（1）所作图形进行求解即可．（1）解；如图所示，即为所求； （2）解：由（1）可知，锐角三角形的三条高线的交点在三角形内部；直角三角形的三条高线的交点为直角顶点；钝角三角形的三条高线的交点在三角形外部．【点拨】本题主要考查了画三角形的高，三角形高线的交点，正确画出三角形的高是解题的关键．6．如图，,AD AE 分别是ABC 的中线和高，3cm AE =，26cm ABD S =△．求BC 和DC 的长．【答案】8cm BC =，4cm CD =ABD S =是ABC 的中线，得到解：由题意，得：BD AE ⋅4cm ，是ABC 的中线，12BD BC =∠4cm,28cm CD BC BD ===．【点拨】本题考查三角形的高线和中线．熟练掌握三角形的中线是三角形的顶点到对边中点所连线段，是解题的关键．举一反三：【变式】如图，AD BE ，分别是ABC 的高，若465AD BC AC ===，，，求BE 的长．2ABC S =分别是ABC 的高，1122ABC S BC AD AC =⨯=⨯45AD BC AC ===，，，462455BC BE ⨯==24BE =【点拨】本题考查了三角形面积的计算公式，掌握等面积法求解是解题的关键．7．如图，在ABC 中()2AB BC AC BC BC >=，，边上的中线AD 把ABC 的周长分成70和50两部分，求AC 和AB 的长．【答案】5636AC AB ==，【分析】先根据2AC BC =和三角形的中线列出方程求解，分类讨论7050AC CD AC CD +=+=①，②，注意答案是否满足条件，即是否满足题目给出的条件、是否满足三角形三边的关系．解：设BD CD x ==，则24AC BC x ==，BC 边上的中线AD 把ABC 的周长分成70和50两部分，AB BC >，①当7050AC CD AB BD +=+=，时，470x x +=，解得：14x =，441456AC x ∴==⨯=，14BD CD ==，50501436AB BD ∴=-=-=，36AB ∴=，36286456BC AB AC +=+=>=，满足三边关系，5636AC AB ∴==，；②当5070AC CD AB BD +=+=，时，450x x +=，解得：10x =，441040AC x ∴==⨯=，10BD CD ∴==，70701060AB BD =-=-=，60AC BC AB +==，不满足三角形三边关系，所以舍去，5636AC AB ∴==，．【点拨】本题考查了三角形中线的性质和三边的关系，解题的关键是找到等量关系，列出方程． 举一反三：【变式】如图，已知AD 、AE 分别是ABC 的高和中线9cm,12cm AB AC ==，15cm BC =，90BAC ∠=︒．试求：(1) ABE 的面积；(2) AD 的长度；(3) ACE △与ABE 的周长的差．2ACE △的周长－ABE 的周长）解：ABC 是直角三角形，2191254(cm )2ABC =⨯⨯，AE 是BC 上的中线，BE EC ∴=，ABE ACE S S ∆∆∴=，2127cm 2ABE ABC S S ∆∆∴=； ）解：BAC ∠=，AD 是BC 1122AD BC ∴⋅=AB AC AD BC ⋅∴=）解：AE 是BC BE CE =，ACE 的周长－ABE 的周长和ABE 的周长差是3cm 【点拨】本题考查了三角形的面积公式，以及三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，熟练掌握相关的性质与公式是解决此题的关键．8．如图，ABC 中，90C ∠=︒，8cm AC ，6cm BC ，10cm AB =．若动点P 从点C 开始，按C →A →B →C 的路径运动，且速度为每秒2cm ．设运动的时间为t 秒．(1) 当t =___________时，CP 把ABC 的周长分成相等的两部分？(2) 当t =___________时，CP 把ABC 的面积分成相等的两部分？(3) 当t 为何值时，BCP 的面积为12？【答案】(1)6(2)6.5(3) 2或6.5秒先求出ABC的周长为把ABC的周长分成相等的两部分时，12cmBC+=速度即可求解；）根据中线的性质可知，点把ABC的面积分成相等的两部分，进而求解即）分两种情况：∠P在AC1）ABC中，∠8cmAC，6cmBC，10cmAB，∠ABC的周长861024cm=++=，∠当CP把ABC的周长分成相等的两部分时，点P在AB上，此时212t=，解得6t=．故答案为：6；）当点P在AB中点时，把ABC的面积分成相等的两部分，此时213t=，解得 6.5t=．故答案为：6.5；）分两种情况：∠当P在AC∠BCP的面积16 2CP⨯⨯4CP=，24t=，t∠当P在AB∠BCP的面积=12=ABC面积的一半，∠P为AB中点，213t=， 6.5．故t为2或6.5秒时，BCP的面积为12．【点拨】本题考查了一元一次方程的应用，三角形的周长与面积，三角形的中线，难度适中．利用分【变式】已知ABC的面积为S，根据下列条件完成填空.图1图2图3(1) 1AM 是ABC 的边BC 上的中线，如图1，则1ACM 的面积为 （用含S 的式子表示，下同）；2CM 是1ACM 的边1AM 上的中线，如图2，则2ACM △的面积为 ；3AM 是2ACM △的边2CM 上的中线，如图3，则3ACM △的面积为 ；…… ）中的求解可得规律，利用规律即可求解．是ABC 的边上的中线，ABC 的面积为11122ACM ABC S S S ==； 2CM 是1ACM 的边AM 2， 12111244ACM ACM ABC S S S S ===；3AM 是2ACM △的边2CM 上的中线，如图3，231128ACM ACM S S S ==， 故答案为：12S ，14S ，1）解：∠112ACM SS =，211124ACM ACM S S S ==2312ACM ACM S S ==，以此类推，可得12n ACM S ⎛⎫= ⎪⎝⎭2022=2022ACM S故答案为：202212⎛⎫ ⎪【点拨】本题考查了三角形中线的性质，熟记三角形的一条中线把三角形的面积分成相等的两部分是9．如图，CE 是ABC 的角平分线，EF BC ∥，交AC 于点F ，已知64AFE ∠=︒，求FEC ∠的度数．【答案】32︒ ACB AFE ==∠是ABC 的角平分线，12BCE ACB =∠FEC BCE =∠本题主要考查了平行线的性质，【变式】如图，点E 为直线AB 上一点，B ACB ∠=∠，BC 平分ACD ∠，求证：AB CD ．【分析】根据平行线的判定定理求解即可．解：BC 平分ACD ∠，ACB BCD ∴∠=∠，B ACB ∠=∠，B BCD ∴∠=∠，∠AB CD ∥．【点拨】本题考查了平行线的判定，熟记“内错角相等，两直线平行”是解题的关键．10．如图，ABC 中，按要求画图：(1) BAC ∠的平分线AD ；(2) 画出ABC 中BC 边上的中线AE ；(3) 画出ABC 中AB 边上的高CF ．【分析】（1）画出BAC ∠的平分线交BC 于D 即可；（2）取BC 的中点E ，连接AE ，中线AE 即为所求；（3）过点C 作CF BA ⊥交BA 的延长线于F ，CF 即为ABC 中AB 边上的高．（1）解：如图，AD 即为所求；（2）解：如图，中线AE 即为所求；（3）解：如图，高CF 即为所求．【点拨】本题考查了作三角形的角平分线、中线和高线，解决本题的关键是掌握基本作图方法．举一反三：【变式】在边长为1的正方形网格中：'''；(1)画出ABC沿CB方向平移2个单位后的A B C'''的重叠部分面积为多少？(2)ABC与A B C重叠部分面积为'''即可；）根据题意画出ABC沿CB个单位后的A B C）正方形的边长为，根据图形进行求解即可．'''如图所示：解：（1）ABC沿CB方向平移2个单位后的A B C（2）∠正方形的边长为1，9．下列图形中哪些具有稳定性？【答案】（1）（4）（6）中的图形具有稳定性．【分析】根据三角形的稳定性可直接进行求解．解：具有三角形稳定性的有（1）（4）（6）．【点拨】本题主要考查三角形的稳定性，熟练掌握三角形的稳定性是解题的关键．举一反三：【变式1】（1）下列图形中具有稳定性是；（只填图形序号）（2）对不具有稳定性的图形，请适当地添加线段，使之具有稳定性．【答案】（1）∠∠∠；（2）图见分析【分析】根据三角形具有稳定性，只要图形分割成了三角形，则具有稳定性．解：（1）具有稳定性的是∠∠∠三个．（2）如图所示：【点拨】本题主要考查了三角形的稳定性，因此要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三角形而获得．【变式2】如图（1）扭动三角形木架，它的形状会改变吗？如图（2）扭动四边形木架，它的形状会改变吗？如图（3）斜钉一根木条的四边形木架的形状形状会改变吗？为什么？归纳：∠三角形木架的形状______，说明三角形具有______；∠四边形木架的形状______说明四边形没有______．【答案】图（1）扭动三角形木架，它的形状不会改变，因为三角形具有稳定性；图（2）扭动四边形木架，它的形状会改变，四边形不稳定；图（3）斜钉一根木条的四边形木架的形状形状不会改变，四边形变成两个三角形，三角形具有稳定性；归纳：∠是三角形，稳定性；∠四边形，稳定性．【分析】∠根据三角形的稳定性进行解答即可；∠根据四边形的不稳定性进行解答即可．解：图（1）扭动三角形木架，它的形状不会改变，因为三角形具有稳定性；图（2）扭动四边形木架，它的形状会改变，四边形不稳定；图（3）斜钉一根木条的四边形木架的形状形状不会改变，四边形变成两个三角形，三角形具有稳定性；归纳：∠由三角形具有稳定性知，三角形木架的形状不会改变，这说明三角形具有稳定性．故答案为：是三角形，稳定性；∠四边形木架的形状是四边形，四边形具有不稳定性．故答案为：四边形，稳定性．【点拨】本题考查的是三角形的稳定性，三角形的稳定性和四边形的不稳定性在实际生活中的应用问题，比较简单．。
北师大版数学七年级下册第四章：1、认识三角形 课件(共65张PPT)
1.三角形内角和定理:三角形三个内角的和等于180°.
2.三角形内角和定理的应用:①在三角形中,已知任意两个内角的度数可以 求出第三个内角的度数;②已知三角形三个内角的关系,可以求出各个内角 的度数;③求一个三角形中各角之间的关系.
3.三角形按角分类:
直角三角形:有一个角是直角的三角形 锐角三角形:三个角都是锐角的三角形 钝角三角形:有一个角是钝角的三角形
∠A、∠C的公共边是
.
,∠A的对边是
栏目索引
,
图4-1-3 答案 ∠B;BC;AC 解析 △ABC中,AB与BC的夹角是∠B,∠A的对边是BC,∠A、∠C的公共 边是AC.
1 认识三角形
知识点二 三角形三个内角之间的关系
栏目索引
4.(2017广西南宁中考)如图4-1-4,△ABC中,∠A=60°,∠B=40°,则∠C等于
其所在直 直角三角形
线)的交
点位置 钝角三角形
交点在三角形内 交点在直角顶点处 交点在三角形外
三条中线交于三 角形内一点(这一 点称为三角形的 重心)
交点在三角形内
共同点
每个三角形都有三条高、三条中线、三条角平分线,它们(或它们所在的直线) 都分别交于一个点,它们都是线段
1 认识三角形
栏目索引
知识拓展
(1)得到线段垂直;(2)得到角相等 (1)得到线段相等; (2)得到面积相等
得到角相等
1 认识三角形
栏目索引
线段 的位置
锐角三角形 直角三角形
钝角三角形
三条高全在三角形内
三条中线全在三
角形内 一条高在三角形内,另外两条
与两直角边重合
三条角平分线全 在三角形内
三角形内一条,三角形外两条
七年级数学下册 第4章 三角形 4.3 探索三角形全等的条件课件 (新版)北师大版
例2 (2017四川宜宾中考)如图4-3-2,已知点B、E、C、F在同一条直线 上,AB=DE,∠A=∠D,AC∥DF.试说明:BE=CF.
图4-3-2 分析 由AC∥DF可得∠ACB=∠F,又∠A=∠D,AB=DE,可以利用AAS 得到△ABC≌△DEF,根据全等三角形的对应边相等可得BC=EF,都减 去EC即可得BE=CF.
AD BC,
因为DAB CBA,所以△ABD≌△BAC(SAS).
AB AB,
知识点一 判定三角形全等的条件——边边边 1.如图4-3-1,在△ABC和△FED中,AC=FD,BC=ED,要利用“SSS”来判 定△ABC和△FED全等,下面的4个条件中:①AE=FB;②AB=FE;③AE= BE;④BF=BE,可利用的是 ( )
AB=DE,BC=EF (2)已知两角
思路一(找第三边)
思路二(找角)
首先找出AC=DF,然后应用“SSS”判定全等
①找夹角:首先找出∠B=∠E,然后应用 “SAS”判定全等;②找直角用“HL”判定 全等(后面会学到)
思路一(找夹边)
思路二(找角的对边)
首先找出AB=DE,然后应用“ASA”判定全 等
A.①或②
B.②或③
图4-3-1 C.①或③ D.①或④
答案 A 由题意可得,要用“SSS”进行△ABC和△FED全等的判定, 只需AB=FE,若添加①AE=FB,则可得AE+BE=FB+BE,即AB=FE,故①可 以;显然②可以;若添加③AE=BE或④BF=BE,均不能得出AB=FE,故③④ 不可以,故选A.
架不变形,他至少要再钉上
根木条.
()
图4-3-5
A.0 解析 答案
B.1 C.2 D.3 连接AC或BD,构成三角形,三角形具有稳定性. B
七年级数学下册北师大版第五章《三角形》知识点总结
七年级数学下册北师大版第五章《三角形》知识点总结第一篇：七年级数学下册北师大版第五章《三角形》知识点总结第五章《三角形》知识点总结（北师大版七年级下）一、三角形及其有关概念1、三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
组成三角形的线段叫做三角形的边；相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点；相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角。
2、三角形的表示：三角形用符号“△”表示，顶点是A、B、C的三角形记作“△ABC”，读作“三角形ABC”。
3、三角形的三边关系：（1）三角形的任意两边之和大于第三边。
（2）三角形的任意两边之差小于第三边。
（3）作用：①判断三条已知线段能否组成三角形②当已知两边时，可确定第三边的范围。
③证明线段不等关系。
4、三角形的内角的关系：（1）三角形三个内角和等于180°。
（2）直角三角形的两个锐角互余。
5、三角形的稳定性：三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性。
6、三角形的分类：(1)三角形按边分类：不等边三角形三角形等腰三角形底和腰不相等的等腰三角形等边三角形(2)三角形按角分类：直角三角形（有一个角为直角的三角形）锐角三角形（三个角都是锐角的三角形）钝角三角形（有一个角为钝角的三角形）把边和角联系在一起，我们又有一种特殊的三角形：等腰直角三角形。
它是两条直角边相等的直角三角形。
7、三角形的三种重要线段：（1）三角形的角平分线：定义：在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。
性质：三角形的三条角平分线交于一点。
交点在三角形的内部。
（2）三角形的中线：定义：在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。
性质：三角形的三条中线交于一点，交点在三角形的内部。
（3）三角形的高线：定义：从三角形一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）。
北师大版数学七年级下册4 第2课时 利用“角边角”“角角边”判定三角形全等
►If I had not been born Napoleon, I would have liked to have been born Alexander. 如果今天我不是拿破仑的话，我想成为亚历山大。
►Never underestimate your power to change yourself! 永远不要低估你改变自我的能力！
因为AB⊥AC，
∠ADB=∠CEA=90°，
所以∠BAD＋∠CAE＝90°，∠ABD＝∠CAE,
∠ABD＝∠CAE.
AB＝AC，
在△BDA和△AEC中，
所以△BDA≌△AEC(AAS).
(2)DE＝BD＋CE.
解：因为△BDA≌△AEC,
所以BD＝AE，AD＝CE， 所以DE＝DA＋AE＝BD＋CE.
所以AB=A'B'（全等三角形对应边相等），
D′ C′
∠ABD=∠A'B'D'（全等三角形对应角相等）.
因为AD⊥BC，A'D'⊥B'C'，所以∠ADB=∠A'D'B'.
在△ABD和△A'B'D'中，
∠ADB=∠A'D'B'（已证）， ∠ABD=∠A'B'D'（已证），
全等三角形对应边上 的高也相等.
A
不全等，因为BC虽然是
公共边，但不是对应边.
C
B
D
随堂即练
4.如图∠ACB=∠DFE，BC=EF，那么应补充一
个条件
，才能使△ABC≌△DEF
（写出一个即可）. AB=DE可以吗？×
B
A AB∥DE
()七年级数学下册第四章三角形1认识三角形三角形认识讲义(无答案)(新版)北师大版
三角形的认识段【根底知识】从三角形的一个顶知识点1三角形的定义点向它的对边所在1.由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
三角形的高线的直线作垂线,顶点表示：三角形可用符号“△〞表示，如右图和垂足之间的线段三角形记作：△ABC b CAc a三角形中,连结一个B 顶点和它对边中点2.一个三角形有三条边，三个角、三个顶点三角形的中线的线段如图三角形中三边可表示为AB，BC，AC，顶点A所对的边BC也可表示为a，顶点B所对的边AC表示为b，顶点C所对的边AB表示为c 三角形一个内角的知识点2三角形的性质平分线与它的对边1.三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边；三角形任意两边之差小于三角形的角平分相交,这个角顶点与第三边。
线交点之间的线段3.4.三角形的内角关系：三角形内角和为1805.三角形的分类：三角形按内角的大小可以分为锐角三角形、直角三角形、钝角结论总结：三角形。
其中直角三角形的两个锐角互余知识点3三角形的中线、角平分线和高线三角形的重要线概念图形表示法AE是△ABC的AB上的高线.CE⊥AB∠AEC=∠BEC=90°.AD是△ABC的BC上的中线.BD=CD=?BC.AE是△ABC的∠ABC的平分线1∴∠1=∠2=2ABC-1-/12【典例剖析】例1.有两根长度分别为5cm和8cm的木棒，再取一根长度为2cm的木棒，它们能摆成三角形吗？为什么？如果取一根长度为13cm的木棒呢？聪明的你能取一根木棒,与原来的两根木棒摆成三角形吗？(4)要选取的第三根木棒的长度x要满足什么条件呢？例2.假设△ABC的三边长a,b,c都是正整数,且满足a.bc,如果b=4,问这样的三角形有几个?例3.一个三角形有两边相等，并且周长为56cm，两不等边之比为3︰2，求这个三角形各边的长。
锐角三角形直角三角形钝角三角形角平分线〔有几中线条，是否相交，交高线点在那〕例4.判断满足以下条件的VABC是锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形；〔1〕A80o,B25o〔2〕A B30o,BC36oA11CB6〔3〕2例5.三角形ABC的一个内角度数为40o，且A B，求C的外角的度数。
北师大版七年级数学下册角边角判定三角形全等课件
B
∠B=∠E（已知）
BC=EF（已知）
∠C=∠F（已证）
E
∴ △ABC≌△DEF （ASA）
D F
探究二反应的规律是：
有两个角和其中一个角的对边对应相等的两个 三角形全等。 (简写成“角角边”或“AAS”）
A
用几何语言表达为：
证明：在△ABC和△DEF中
∠A= ∠D
B
ห้องสมุดไป่ตู้
∠B = ∠E
BC=EF
C D
例1.已知：点D在AB上，点E在AC上，BE和 CD相交于点O，AB=AC，∠B=∠C。
求证：△ACD≌△ABE
A
证明 ：在△ADC和△AEB中 ∠A=∠A（公共角）
DO E
AC=AB（已知）
∠C=∠B（已知）
B
C
∴△ACD≌△ABE（ASA）
思考 如果把已知中的AB=AC改成AD=AE,那么
△ADC和△AEB还全等吗 ？
∴ △ABC≌△CDA（ASA） ∴ AB=CD BC=AD
（全等三角形对应边相等）
（1）学习了角边角、角角边
（2）注意角角边、角边角中两角与边的区分。
（3）会根据已知两角一边画三角形
（4）进一步学会用推理证明。 (5)证明线段或角相等，就是证明它们所 在的两个三角形全等。
布置作业
P
∴ △ABC≌△DEF （AAS）
F E
典型例题
例2.如图，∠1=∠2，∠3=∠4 求证： AC=AD
证明：∵ ∠3=∠4 ∴ ∠ABC=∠ABD
在△AB C与△ ABD中
∠1=∠2
AB=AB ∠ABC=∠ABD ∴ △AB C ≌ △ ABD (ASA)
∴ AC=AD
北师大版数学七年级下册第3课时 利用“边角边”判定三角形全等课件
2.5 cm C
F
E 40°
A 3.5 cm D
40° B
3.5 cm
E
A
D
F
A
D
两边及其一边所对的角对应相等， 两个三角形不一定全等.
“SAS”的几何语言：
在△ABC 和△DEF 中，
因为
AB = DE， ∠B = ∠E， BC = EF，
所以△ABC ≌ △DEF（SAS）.
A
B
C
D
E
F
随堂演练
►为你理想的人，否则，爱的只是你在他身上找到的你的影子。 ►有时候，我们愿意原谅一个人，并不是我们真的愿意原谅他，而是我们 不愿意失去他。不想失去他，惟有假装原谅他。不管你爱过多少人，不管 你爱得多么痛苦或快乐。最后，你不是学会了怎样恋爱，而是学会了，怎 样去爱自己。
►雨水打在窗户上，发出嘀嗒，嘀嗒的声响。这天空好似一个大筛子， 正永不疲倦地把银币似的雨点洒向大地。远处，被笼罩在雨山之中的 大楼，如海市蜃楼般忽隐忽现，让人捉摸不透，还不时亮起一丝红灯， 给人片丝暖意。 ►七月盛夏，夏婆婆又开始炫耀她的手下——太阳公公的厉害。太阳 公公接到夏婆婆的命令，以最高的温度炙烤着大地，天热得发了狂， 地烤得发烫、直冒烟，像着了火似的，马上要和巧克力一样融化掉。 公路上的人寥寥无几，只有汽车在来回穿梭奔跑着。瓦蓝瓦蓝的天空 没有一丝云彩，一些似云非云、似雾非雾的灰气，低低地浮在空中， 使人觉得憋气不舒服。外面的花草树木被热得打不起精神来，耷拉着 脑袋。
解：因为∠1＝∠2，所以∠ABC ＝∠FBE . 在△ABC 和 △FBE 中，
BC = BE, 因为 ∠ABC = ∠FBE,
AB = FB, 所以△ABC ≌△FBE (SAS)，
北师大版 七年级数学下册第四章三角形 复习课件 (26PPT)
考点攻略
►考点一 三角形的有关概念
例 1 下列各组长度的线段为边，能构成三角形( D ) A．7 cm、5 cm、12 cm B．6 cm、8 cm、15 cm C．8 cm、4 cm、3 cm D．4 cm、5 cm、6 cm
[解析] 7＋5＝12；6＋8＝14＜15；4＋3＝7＜8；4＋5 ＝9＞6.
例 7 如图 3－4，山脚下有 A、B 两点，要测出 A，B 两 点的距离，在地上取一个可以直接到达 A、B 两点的点 O，连 接 AO 并延长到 D，使 AO＝DO，连接 BO 并延长到 C，使 BO＝CO，量得 CD＝12 米，那么山脚 A、B 两点的距离为 _____1_2_米___．
图 3－4
图YK－2－4
[解析] 根据已知条件，可得△ABC≌△EDC，进而 AB＝ED. 解： 根据题意，在△ABC 和△EDC 中，
∠ABC＝∠EDC＝90°， BC＝DC， ∠1＝∠2，
所以△ABC≌△EDC(ASA)． 所以 AB＝DE(全等三角形对应边相等)．
解：设腰长为 a，底边长为 b. 则由题意 2a＋b＝10.而 2a>b， ∴b＋b<10，∴b<5. ∵a、b 为整数， 讨论当 b＝4 时，则 a＝3. 当 b＝3 时，a＝3.5(舍)． 当 b＝2 时，a＝4. 当 b＝1 时，a＝4.5(舍)． 所以三边长为 3,3,4 或 4,4,2.
►考点二 三角形的内角和定理
解：(1)在△ABC 中， ∠BAC＝180°－∠B－∠C ＝180°－44°－72° ＝64°； (2)因为 AD 是△ABC 的角平分线，
所以∠CAD＝12∠BAC＝12×64°＝32°. 在△ACD 中，∠ADC＝180°－∠CAD－∠C ＝180°－32°－72°＝76°.
北师大版七年级下册数学《全等三角形》全等三角形的基本性质讲义
AFE全等三角形知识点一：全等形的有关概念1、全等形的定义：能够完全重合的两个图形叫做全等形．2、全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．3、对应顶点、对应边、对应角：把两个全等的三角形重合在一起，重合的顶点叫对应顶点；重合的边叫对应边，重合的角叫做对应角.（1）全等三角形对应角所对的边是对应边；两个对应角所夹的边也是对应边． （2）全等三角形对应边所对的角是对应角；两条对应边所夹的角是对应角． 4、“全等”的符号：“≅”，读作“全等于”.知识点二：从运动的角度看全等三角形的生成方法1、翻折法：找到中心线，沿中心线翻折后能相互重合，从而发现对应元素；2、旋转法：三角形沿某一点旋转一定的角度能与另一三角形重合，从而发现对应元素；3、平移法：沿某一方向平移使两个三角形重合来找对应元素. 知识点三：全等三角形的性质全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等；全等三角形的周长、面积相等. 例题一：1、下列命题中，真命题的个数是（ ）． ①全等三角形的周长相等 ②全等三角形的对应角相等 ③全等三角形的面积相等 ④面积相等的两个三角形全等 A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 2、如图，△ABC ≌△ADE ，其中C 和E ，B 和D 是对应点，写出其他的对应边和对应角．3、已知△ABC ≌△MNP ，∠A=48°，∠N=62°，则∠B=______°，∠C 、∠M 、∠P 的度数分别为__________， __________， __________.4、已知：如图所示，以B 为中心，将Rt △EBC 绕B 点逆时针旋转90°得到△ABD ，若∠E ＝35°，求∠ADB 的度数.5、如图，△ACF ≌△ADE ，AD =9，AE =4，求DF 的长．ABDCEDCABE EDCBA6、已知：如图，△ABC ≌△DEF ，∠A ＝85°，∠B ＝60°，AB ＝8，EH ＝2． （1）求∠F 的度数与DH 的长； （2）求证：AB ∥DE ． 练习一：1、如图，如果ΔABC ≌ΔDEF ，则AB 的对应边是_____，AC 的对应边是_____，∠C 的对应角是_____，∠DEF 的对应角是_____．第1题图 第2题图 第3题图2、如图，已知△ABE ≌△DCE ，AE ＝2 cm ，BE ＝1.5 cm ，∠A ＝25°，∠B ＝48°；那么DE ＝_____cm ，EC ＝_____cm ，∠C ＝_____°；∠D ＝_____°3、如图所示，ΔABC ≌ΔDCB ．（1）若∠D ＝74°∠DBC ＝38°，则∠A ＝_____， ∠ABC ＝_____ （2）如果AC ＝DB ，请指出其他的对应边___________________；（3）如果ΔAOB ≌ΔDOC ，请指出所有的对应边___________________，对应角______________________． 4、如图，若ΔABE ≌ΔACD ，AB=8cm ，AD=5cm ，∠A=60°，∠B=40°，则AE=_______，∠C=_______. 5、如图，,ACD ABE ∆≅∆AB 与AC ，AD 与AE 是对应边，已知∠DAE=43°，∠B=30°，求ADC ∠的大小.6、如图，已知△EAD ≌△ABC ，求证：CD+BC=AC.AB C D EFE DCBA第4题FE DCBA 7、如图，若△OAD ≌△OBC ，且∠O=65°，∠BEA=135°，求∠C 的度数. 例题二：7、如图，△ABC ≌△ADE ，若∠BAE=120°，∠BAD=40°，求∠BAC 的度数.练习二：9、如图，在△ABC 中，∠BAC=60°，将△ABC 绕着点A 顺时针旋转40°后得到△ADE ，则∠BAE 的度数为________度．10、如图，△ABC ≌△AEF ，若∠ABC 和∠AEF 是对应角，则∠EAC 等于（ ） A ．∠ACB B ．∠CAF C ．∠BAF D ．∠BAC第9题 第10题 第11题11、如图, 在平行四边形ABCD 中, 将△ABE 沿BE 翻折, 点A 落在CD 边上, 成为点F, 如果△DEF 和△BCF 的周长分别是8cm 和22cm, 那么FC 的长度为_______________.综合：如图，AB ⊥BC ，ΔABE ≌ΔECD ．判断AE 与DE 的关系，并证明你的结论．例题三：F EDC BA 8、如图，在△ABC 中，D 、E 分别是边AC 、BC 上的点，若△ADB ≌△EDB ≌△EDC ，则∠C 的度数为（ ） A 、15° B 、20° C 、25°D 、30°9、如图，Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∠A=50°，将其折叠，使点A 落在边CB 上A′处，折痕为CD ，则∠A′DB=( ) A 、40° B 、30° C 、20° D 、10° 练习三：12、如图所示，把一个长方形纸片沿EF 折叠后，点D ，C 分别落在D ′，C ′的位置．若∠EFB ＝65°，则∠AED ′等于（ ） A 、70°B 、65°C 、50°D 、25°13、如图，将直角三角形BCA 沿BC 方向平移得到△FED ， H 是线段AC 和FD 的交点.如果ED=9, BF=4, AH=3, 那么四边形FBAH 的面积是_______________.例8题图 例9题图 练习12题图 练习13题图课 后 作 业1、△ABC 和△DEF 是全等三角形，若AB=DE ，∠B=50°，∠C=70°，∠E=50°，则∠D 的度数是_____．2、△ABC ≌△DEF ，且△ABC 的周长为12，若AB=3，EF=4，则AC=________.3、如图，点O 是平行四边形ABCD 的对角线的交点，△AOB 绕O 旋转180º，可以与△___________重合，这说明△AOB ≌△___________.这两个三角形的对应边是AO 与__________，OB 与__________，BA 与__________；对应角是∠AOB 与________，∠OBA 与_________, ∠BAO 与___________.4、已知△ABC ≌△DEF ，AB=2，AC=4，△DEF 的周长为偶数，则EF 的长为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．65、如图，△ABC ≌△CDA ，AC ＝7cm ，AB ＝5cm ，BC ＝8cm ，则AD 的长是（ ）A 、7cm B 、5cm C 、8cm D 、6cm6、如图所示，若△ABE ≌△A CF ，且AB ＝5，AE ＝2，则EC 的长为（ ） A.2 B.3 C.5 D.2.5EDB C′FCD ′AA 'B DAC A CD7、已知△DEF ≌△ABC ，AB=AC ，且△ABC 的周长是23cm ，BC=4cm ，则△DEF 的边长中必有一边等于（ ） A 、9.5cm B 、9.5cm 或4cm C 、9cm D 、4cm 或9cm8、如图，已知△ABC ≌△DBE ，∠BDA=∠A ．若∠A ：∠C=5：3，则∠DBE 的度数是（ ） A ．100° B ．80° C ．60° D ．120°9、如图，△ABC ≌△ADE ，若∠B ＝80°，∠C ＝30°，∠DAC ＝35°，则∠EAC 的度数为（ ） A ．40° B ．35° C ．30° D ．25°10、如图，△ABC ≌△AEF ，AB ＝AE ，∠B ＝∠E ，则对于结论①AC ＝AF ；②∠FAB ＝∠EAB ；③EF ＝BC ；④∠EAB ＝∠FAC ，其中正确结论的个数是（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个11、如图所示，已知AB ＝CD ，BE ＝DF ，△ABE ≌△CDF ，求证：AB ∥CD ，AE ∥CF.12、如图，△ABC ≌△ADE ，BC 的延长线交DA 于F ，交DE 于G ，∠D=25°，∠E=105°，∠DAC=16°，求∠DGB 的度数.第6题图FE CBA 第9题图第10题图第8题图DCB AE。
(完整版)新北师大版七年级数学下册三角形知识点精讲
北师大版七年级下第五章三角形一、三角形三边关系和角关系Cb1、三角形任意两边之和大于第三边。
A结合右边图形用数学符号表示：a+b＞c2、三角形任意两边之差小于第三边。
ac结合右边图形用数学符号表示：a-b＜c3、三角形三个内角和等于180°结合右边图形用数学符号表示：∠A+∠B+∠C=180°B4、三角形按角分为三类：（1）锐角三角形（2）直角三角形（3）钝角三角形5、直角三角形的两个锐角互余。
6、巩固练习：1）、下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形吗？为什么？（单位：cm）（1）1，3，3（2）3，4，7（3）5，9，13（4）11，12，22（5）14，15，302）、已知一个三角形的两边长分别是3cm和4cm，则第三边长X的取值范围是。
若X 是奇数，则X的值是。
这样的三角形有个；若X是偶数，则X的值是，这样的三角形又有个。
3）、判断：（1）一个三角形的三个内角可以都小于60°；（）（2）一个三角形最多只能有一个内角是钝角或直角；（）4）、在△ABC中，（1）∠C=70°，∠A=50°，则∠B=度；（2）∠B=100°，∠A=∠C，则∠C=度；（3）2∠A=∠B+∠C，则∠A=度。
5）、如下图，在Rt△CDE,∠C和∠E的关系是，其中∠C=55°，则∠E=度。
AECCBD6）、如上图，在Rt△ABC中，∠A=2∠B，则∠A=度，∠B=度。
二、三角形的角平分线、中线和高1、三角形的角平分线：三角形一个角的角平分线和这个角的对边相交，这个角的顶点和对边交点之间的线段叫做三角形中这个角的角平分线。
简称三角形的角平分线。
如图：∵AD是三角形ABC的角平分线。
∴∠BAD＝∠CAD＝1∠BAC或∠BAC＝ 2∠BAD＝ 2∠CAD 22、三角形的中线：线连结三角形一个顶点和它对边中点的线段，叫做三角形这个边上的中线。
简称三角形的中线。
北师大版七年级下册数学《认识三角形》三角形教学说课复习课件
议一议
C
A
B
在A点的小狗，为了尽快吃到B点的香肠，它选
择A—B路线，而不选择A—C—B路线，难道小狗也懂
数学？
任意两边之和大于第三边。
A
c
b
你知道 为什么
吗？
B
a
两点之间线段最短！
C
任意两边之差小于第三边。
A
a
b
Bc
C
任意两边之和大于第三边。
任意两边之差小于第三边。
A
a
b
Bc
C
第三边大于两边之差,小于两边之和。
课后作业
习题4.2 第2、3题
北师版 七年级 下册
第四章 三角形
1 认识三角形（第1课时）
课件
情景导入
讲授新课
探究点一 三角形的概念、表示方法及分类
1、三角形的定义： 由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组
成的图形叫做三角形。
注意：1、不在同一直线上； 2、首尾顺次相接。 2、三角形的表示：
三角形用符号“△”表示，如右图的三角形，记 A
三角形三边关系
三角形任意两边之和大于第三边 三角形任意两边之差小于第三边
议一议
A B
(1) 元宵节的晚上，房梁上亮起了彩 灯，装有黄色彩灯的电线与装有红色 彩灯的电线哪根长呢？说明你的理由。
利用你发现的规律填空
AB+AC
BC
c
AB+BC
AC
AC+BC
AB
(2)在一个三角形中,任意两边之和与第三边的长度有怎样 的关系?
等腰三角形
在等腰三角形中，两条相等的边叫腰，另一边叫底边。
在等腰三角形中，腰与底边的夹角叫
北师大版数学七年级下备课笔记考点9：三角形的角及多边形
B北师大版数学七年级下备课笔记 考点9：三角形中的角、多边形【知识梳理】知识点一：三角形的内角与外角（一）三角形的内角：（1）定义：三角形中相邻两边组成的角，叫做三角形的 角. （2）三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于 （3）三角形内角和定理的作用：①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数； ②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角度数； ③求一个三角形中各角之间的关系. （二）三角形的外角（1）定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的 . 三角形的外角和为 °.（2）特点：①外角的顶点在三角形的一个顶点上； ②外角的一条边是三角形的一边；③外角的另一条边是三角形某条边的 .（3）性质：①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个 的和.②三角形的一个外角 （大于，等于或小于）与它不相邻的任何一个内角.知识点二：多边形（一）多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形. 各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做 .注意：各个角都相等、各条边都相等是正多边形的必备条件，二者缺一不可. 如四条边都相等的四边形不一定是正方形，四个角都相等的四边形也不一定是正方形，只有满足四边都相等且四个角都相等的四边形才是正方形.（二）多边形的对角线：连接多边形 的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线. 从n 边形的一个顶点出发，可以画 条对角线，n 边形一共有 条对角线.（三）多边形的内角和公式：n 边形的内角和为 .内角和公式的应用：（1）已知多边形的边数，求其内角和；（2）已知多边形内角和，求其边数.（四）多边形的外角和定理：多边形的外角和等于 .外角和定理的应用：（1）已知外角度数，求正多边形边数；（2）已知正多边形边数，求外角度数.知识点三：镶嵌（一）平面镶嵌的定义：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做多边形覆盖平面（或平面镶嵌）.（二）镶嵌的条件：当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个 时，就能拼成一个平面图形.【典例分析】题型一：三角形的内角和例1、若三角形的一个角是另一个角的6倍，而这两个角的和比第三个角大︒44，求此三角形的最大角。
北师大版七年级下册第三章三角形讲义
三角形 1．认识三角形1、它的三个顶点分别是 ，三条边分别是 ，三个内角分别是 。
2、分别量出这三角形三边的长度，并计算任意两边之和以及任意两边之差。
你发现了什么？结论：三角形任意两边之和大于第三边三角形任意两边之差小于第三边例：有两根长度分别为5cm 和8cm 的木棒，用长度为2cm 的木棒与它们能摆成三角形吗？为什么？长度为13cm 的木棒呢？长度为7cm 的木棒呢？ 二、稳固练习：1、以下每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形吗？为什么？〔单位：cm 〕 〔1〕 1， 3， 3 〔2〕 3， 4， 7 〔3〕 5， 9， 13 〔4〕 11， 12， 22 〔5〕 14， 15， 302、已知一个三角形的两边长分别是3cm 和4cm ，则第三边长X 的取值范围是 。
假设X 是奇数，则X 的值是 。
这样的三角形有 个；假设X 是偶数，则X 的值是 ， 这样的三角形又有 个3、一个等腰三角形的一边是2cm ，另一边是9cm ,则这个三角形的周长是 cm夯实基础1、填空：〔1〕当0°＜α＜90°时，α是 角； 〔2〕当α＝ °时，α是直角；〔3〕当90°＜α＜180°时，α是 角； 〔4〕当α＝ °时，α是平角。
2、如右图，∵AB ∥CE ，〔已知〕 ∴∠A ＝ ，〔 〕∴∠B ＝ ，〔 〕 〔第2题〕 二、探索练习：根据知道三角形的三个内角和等于180°，那么是否对其他的三角形也有这样的一个结论呢？〔提出问题，激发学生的兴趣〕结论：三角形三个内角和等于180°〔几何表示〕 练习1： 1、判断：〔1〕一个三角形的三个内角可以都小于60°； 〔 〕 〔2〕一个三角形最多只能有一个内角是钝角或直角； 〔 〕 2、在△ABC 中，A BC a bcABCDE123〔1〕∠C=70°，∠A=50°，则∠B= 度； 〔2〕∠B=100°，∠A=∠C ，则∠C= 度； 〔3〕2∠A=∠B+∠C ，则∠A= 度。
2023年北师大版七年级下册数学第四章三角形中考重难点(模型观念)四大常考全等模型
中考重难点(模型观念) 四大常考全等模型
模型解读
·数学
模型一 平移型 (1)特征：沿同一直线平移可得两三角形重合.模型展示如下：
已知： AE＝BF， CB∥DF， AC∥DE 结论：△ABC≌△EFD
(2)解题思路： 判断三角形全等的关键： ①加(减)共线部分，得某一对应边相等； ②利用平行线性质找对应角相等.
·数学 4.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点E在AC的延长线上， ED⊥AB于点D，若BC＝ED，试说明：CE＝DB.
解：因为ED⊥AB，所以∠ADE＝∠ACB＝90°， 因为∠A＝∠A，ED＝BC，所以△AED≌△ABC(AAS). 所以AE＝AB，AC＝AD.所以CE＝DB.
·数学
模型三 旋转型 (1)特征： ①共顶点，绕该顶点旋转可得两三角形重合； ②不共顶点，绕某一点旋转后，再平移可得到两三角形重合.
解：因为∠BAC＝∠DAE， 所以∠BAC＋∠DAC＝∠DAE＋∠DAC， 即∠BAD＝∠CAE.
AB＝AC 在△BAD和△CAE中，ቐ∠BAD＝∠CAE，
AD＝AE 所以△BAD≌△CAE(SAS).所以BD＝CE.
·数学 6.如图，点C，E，F，B在同一直线上，点A，D在BC异侧， AB∥CD，AE＝DF，∠A＝∠D. (1)试说明：△ABE≌△DCF； (2)若AB＝CF，试说明：△CFD是等腰三角形.
三垂直型
·数学
考虑：△ABE≌△ECD 结论：BC＝BE＋EC＝AB＋CD
(2)三个直角(不在同一直线上)：
·数学
考虑：△ABE≌△BCD 结论：EC＝AB－CD
考虑：△ABE≌△ECD 结论：BC＝AB－CD
·数学 7.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点E是 ∠ACB内部的一点，连接CE，作AD⊥CE，BE⊥CE，垂 足分别为点D，E. (1)试说明：△BCE≌△CAD； (2)若BE＝5，DE＝7，BC＝13，则△ACD的周长是 30 .
北师大版初北师大版七年级(下)数学第四章三角形教案：全等三角形的判定讲义(含答案)
三角形全等的判定1、掌握直角三角形全等的判定方法：“斜边、直角边”；2、判断能证明三角形全等的条件；3、判断三角形全等能推出的结论；4、探索全等三角形判定的综合问题．1．斜边、直角边定理（HL ）文字描述：_______和一条______分别相等的两个直角三角形全等． 符号语言：在Rt △ABC 与Rt △DEF 中， ∠ABC=∠DEF=90°，AB DE BC EFAC DF==⎧⎨=⎩或 ∴Rt △ABC ≌Rt △DEF （HL ）． 图示：2．探究三角形全等的思路 （1）已知两边→⎧⎪→⎨⎪→⎩找夹角找直角找另一边（2）已知一边一角→→⎧⎪→⎧⎪⎨⎪→→⎨⎪⎪⎪→⎩⎩一边为角的对边找另一角找夹角的另一边一边为角的一边找夹角的另一角找边的对角（3）已知两角→⎧⎨→⎩找夹边找其中一边的对边3.什么是开放题所谓开放题，即为答案不唯一的问题，其主要特征是答案的多样性和多层次性.由于这类题综合性强、解题方法灵活多变，结果往往具有开放性，因而需观察、实验、猜测、分析和推理，同时运用树形结合、分类讨论等数学思想. 4. 开放题问题类型及解题策略 （1）条件开放与探索型问题.从结论出发，执果索因，逆向推理，逐步探求结论成立的条件或把可能产生结论的条件一一列出，逐个分析.（2）结论开放与探索型问题.从剖析题意入手，充分捕捉题设信息，通过由因导果，顺向推理或联想类比、猜测等，从而获得所求的结论.（3）条件、结论开放与探索型问题.此类问题没有明确的条件和结论，并且符合条件的结论具有多样性，需将已知的信息集中进行分析，探索问题成立所必须具备的条件或特定的条件应该有什么结论，通过这一思维活动得出事物内在联系，从而把握事物的整体性和一般性. 参考答案：1、斜边 直角边 2、(1)SAS HL SSS (2)AAS SAS ASA AAS (3)ASA AAS1．利用HL 证全等【例1】如图，已知∠A=∠D=90°，E 、F 在线段BC 上，DE 与AF 交于点O ，且AB=CD ，BE=CF ．求证：Rt △ABF ≌Rt △DCE ．【解析】由于△ABF 与△DCE 是直角三角形，根据直角三角形全等的判定的方法即可证明．证明：∵BE=CF ，∴BE+EF=CF+EF ，即BF=CE. ∵∠A=∠D=90°，∴△ABF 与△DCE 都为直角三角形， 在Rt △ABF 和Rt △DCE 中，BF CE AB CD ⎧⎨⎩＝＝， ∴Rt △ABF ≌Rt △DCE （HL ）．点评：此题考查了直角三角形全等的判定，解题关键是由BE=CF 通过等量代换得到BF=CE ． 总结：1．判定直角三角形全等共有五种方法：“SSS ”“ASA ”“AAS ”和“HL ”；一般先考虑利用“HL ”定理，再考虑利用一般三角形全等的判定方法；2．“HL ”定理是直角三角形所特有的判定方法，对于一般的三角形不成立；3．判定两个直角三角形全等时，这两个直角三角形已有“两个直角相等”的条件，只需再找两个条件，但所找条件中必须有一组边对应相等．练1．如图，要用“HL”判定Rt △ABC 和Rt △A′B′C′全等的条件是（ ）A ．AC=A′C′，BC=B′C′B ．∠A=∠A′，AB=A′B′C ．AC=A′C′，AB=A′B′D ．∠B=∠B′，BC=B′C′ 【解析】根据直角三角形全等的判定方法（HL ）即可直接得出答案．∵在Rt △ABC 和Rt △A′B′C′中，如果AC=A′C′，AB=A′B′，那么BC 一定等于B′C′， Rt △ABC 和Rt △A′B′C′一定全等， 故选C ．点评：此题主要考查学生对直角三角形全等的判定的理解和掌握，难度不大，是一道基础题． 练2．如图，已知AB ⊥CD ，垂足为B ，BC=BE ，若直接应用“HL”判定△ABC ≌△DBE ，则需要添加的一个条件是_______________．【解析】先求出∠ABC=∠DBE=90°，再根据直角三角形全等的判定定理推出即可．AC=DE ，理由是：∵AB ⊥DC ， ∴∠ABC=∠DBE=90°， 在Rt △ABC 和Rt △DBE 中，AC DEBE BC=⎧⎨=⎩， ∴Rt △ABC ≌Rt △DBE （HL ）． 故答案为：AC=DE ．点评：本题考查了全等三角形的判定定理，主要考查学生的推理能力，注意：判定两直角三角形全等的方法有SAS ，ASA ，AAS ，SSS ，HL ． 2．利用HL 证全等，再证边角相等【例2】如图，AB ⊥BC ，AD ⊥DC ，AB=AD ．求证：CB=CD ．【解析】根据已知条件，利用“HL ”判定Rt △ABC ≌Rt △ADC ，根据全等三角形的对应边相等即可得到CB=CD ．证明：∵AB ⊥BC ，AD ⊥DC ，∴∠B=∠D=90°．在Rt △ABC 和Rt △ADC 中，AB ADAC AC=⎧⎨=⎩ ∴Rt △ABC ≌Rt △ADC ． ∴CB=CD ．点评：此题主要考查学生对全等三角形的判定方法“HL ”的理解及运用，常用的判定方法有“SAS ”“ASA ”“AAS ”“SSS ”．总结：证明角或线段相等可以从证明角或线段所在的三角形全等入手. 在寻求全等条件时，要注意结合图形，挖掘图中存在的对顶角、公共角、公共边、平行线的同位角、内错角等相等关系． 练3．如图，MN ∥PQ ，AB ⊥PQ ，点A 、D 、B 、C 分别在直线MN 与PQ 上，点E 在AB 上，AD+BC=7，AD=EB ，DE=EC ，则AB=_____________．【解析】可判定△ADE ≌△BCE ，从而得出AE=BC ，则AB=AD+BC ．∵MN ∥PQ ，AB ⊥PQ ， ∴AB ⊥MN ，∴∠DAE=∠EBC=90°， 在Rt △ADE 和Rt △BCE 中，DE ECAD BE=⎧⎨=⎩， ∴△ADE ≌△BEC （HL ）， ∴AE=BC ， ∵AD+BC=7，∴AB=AE+BE=AD+BC=7． 故答案为7．点评：本题考查了直角三角形全等的判定和性质以及平行线的性质是基础知识比较简单． 练4．已知如图，∠A=90°，∠D=90°，且AE=DE ，求证：∠ACB=∠DBC ．【解析】由图片和已知，可得△ABE ≌△DCE ，则BE=CE ，然后再证明Rt △ABE ≌Rt △DCE ，即可得证．证明：∵∠A=∠D=90°，AE=DE （已知），∠AEB=∠DEC （对顶角相等）， ∴△ABE ≌△DCE （ASA ）， ∴AB=DC ，在Rt △ABE 和Rt △DCE 中，AB DCBC CB=⎧⎨=⎩， ∴Rt △ABE ≌Rt △DCE ， ∴∠ACB=∠DBC ．点评：本题主要考查全等三角形全等的判定，注意需证明两次全等． 3．利用HL 解决实际问题【例3】如图，A 、B 、C 、D 是四个村庄，B 、D 、C 三村在一条东西走向公路的沿线上，且D 村到B 村、C 村的距离相等；村庄A 与C ，A 与D 间也有公路相连，且公路 AD 是南北走向；只有村庄A 、B 之间由于间隔了一个小湖，所以无直接相连的公路．现决定在湖面上造一座斜拉桥，测得AC=3千米，AE=1.2千米，BF=0.7千米．试求建造的斜拉桥至少有多少千米.【解析】根据BD=CD ，∠BDA=∠CDA=90°，AD=AD ，得出Rt △ADB ≌Rt △ADC ，进而得出AB=AC=3，即可得出斜拉桥长度．由题意，知BD=CD ，∠BDA=∠CDA=90°，AD=AD ， 则Rt △ADB ≌Rt △ADC （SAS ）， 所以AB=AC=3千米，故斜拉桥至少有3-1.2-0.7=1.1（千米）．点评：此题主要考查了直角三角形全等的判定以及性质，根据已知得出Rt △ADB ≌Rt △ADC 是解决问题的关键．总结：对于实际问题，要善于转化为数学问题，充分运用题目条件、图形条件，寻找三角形全等的条件，从而证明三角形全等，然后利用全等三角形的性质求对应边长或对应角的大小．练5．如图，两根长度为12米的绳子，一端系在旗杆上，另一端分别固定在地面两个木桩上，则两个木桩离旗杆底部的距离BD 与CD 的距离间的关系是（ ）A ．BD ＞CDB ．BD ＜CDC ．BD=CD D ．不能确定【解析】根据“两根长度为12米的绳子，一端系在旗杆上，另一端分别固定在地面两个木桩上”可以判断AB=AC ，又AD=AD ，AD ⊥BC ，所以Rt △ABD ≌Rt △ACD ，所以BD=CD ．∵AD ⊥BC ，∴∠ADB=∠ADC=90°， 由AB=AC ，AD=AD ， ∴Rt △ABD ≌Rt △ACD （HL ）， ∴BD=CD ． 故选C ．点评：本题考查了全等三角形的判定及性质的应用；充分运用题目条件，图形条件，寻找三角形全等的条件．本题关键是证明Rt △ABD ≌Rt △ACD ． 4．全等三角形——补充条件型问题【例1】如图，点C ，F 在线段BE 上，BF=EC ，∠1=∠2，请你添加一个条件，使△ABC ≌△DEF ，并加以证明．（不再添加辅助线和字母）【解析】由已知先推出BC=EF ，添加条件AC=DF ，根据“SAS”可推出两三角形全等．解：AC=DF ． 证明：∵BF=EC ，∴BF ﹣CF=EC ﹣CF ， 即BC=EF.在△ABC 和△DEF 中12AC DFBC EF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABC ≌△DEF （SAS ）．总结：因为全等三角形的判定定理有“SAS”“ASA”“AAS”“SSS”，所以此类问题答案是不唯一的. 对于条件添加型的题目，要根据已知条件并结合图形及判定方法来添加一个条件．练6．如图，已知∠1=∠2，则不一定能使△ABD≌△ACD的条件是（）A．BD=CD B．AB=AC C．∠B=∠C D．∠BAD=∠CAD【解析】利用全等三角形判定定理ASA，SAS，AAS对各个选项逐一分析即可得出答案．A、∵∠1=∠2，AD为公共边，若BD=CD，则△ABD≌△ACD（SAS）；B、∵∠1=∠2，AD为公共边，若AB=AC，不符合全等三角形判定定理，不能判定△ABD≌△ACD；C、∵∠1=∠2，AD为公共边，若∠B=∠C，则△ABD≌△ACD（AAS）；D、∵∠1=∠2，AD为公共边，若∠BAD=∠CAD，则△ABD≌△ACD（ASA）；故选：B．点评：本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．练7．如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D，E，AD与CE交于点F，请你添加一个适当的条件，使△ADB≌△CEB．【解析】要使△ADB≌△CEB，已知∠B为公共角，∠BEC=∠BDA，具备了两组角对应相等，故添加AB=BC或BE=BD或EC=AD后可分别根据AAS、ASA、AAS能判定△ADB≌△CEB．解：AB=BC，AD⊥BC，CE⊥AB，B=∠B∴△ADB≌△CEB（AAS）．答案：AB=BC．点评：本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．点评：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．添加条件时，要首选明显的、简单的，由易到难．5．全等三角形——结论探索型问题【例5】如图，已知点A、F、E、C在同一直线上，AB∥CD，∠ABE=∠CDF，AF=CE．（1）从图中任找两组全等三角形；（2）从（1）中任选一组进行证明．【解析】（1）根据题目所给条件可分析出△ABE ≌△CDF ，△AFD ≌△CEB ；（2）根据AB ∥CD 可得∠1=∠2，根据AF=CE 可得AE=FC ，然后再证明△ABE ≌△CDF即可．解：（1）△ABE ≌△CDF ，△AFD ≌△CEB ； （2）∵AB ∥CD ，∴∠1=∠2， ∵AF=CE ， ∴AF+EF=CE+EF ， 即AE=FC.在△ABE 和△CDF 中，12AEB CDF AE CF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ABE ≌△CDF （AAS ）．总结：判定两个三角形全等的一般方法有：“SSS”“SAS”“ASA”“AAS”和“HL”．注意：“AAA”“SSA”不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．练8．如图，△ABC 中，AD ⊥BC ，AB=AC ，AE=AF ，则图中全等三角形的对数有（ ）A ．5对B ．6对C ．7对D ．8对【解析】三角形全等条件中必须是三个元素，并且一定有一组对应边相等．做题时要从已知条件开始，结合判定方法对选项逐一验证．解：∵△ABC 中，AD ⊥BC ，AB=AC ，∴BD=CD ， ∴△ABD ≌△ACD ， ∴∠BAD=∠CAD ， 又AE=AF ，AO=AO ，∴△AOE ≌△AOF ， EO=FO ，进一步证明可得△BOD ≌△COD ，△BOE ≌△COF ，△AOB ≌△AOC ，△ABF ≌△ACE ，△BCE ≌△CBF ，共7对．故选：C ．点评：本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS 、ASA 、SAS 、SSS ，直角三角形可用HL 定理． 6．全等三角形——条件和结论全开放型问题【例6】有下列四个判断：①AD=BF ；②AE=BC ；③∠EFA=∠CDB ；④AE ∥BC ．请你以其中三个作为题设，余下一个作为结论，写出一个真命题并加以证明．已知： 求证： 证明：【解析】由已知AD=BF ，证出AF=BD ，再由平行线AE ∥BC 得出∠A=∠B ，证明△AEF ≌△BCD ，即可得出∠EFA=∠CDB ．解：已知：AD=BF ，AE=BC ，AE ∥BC ； 求证：∠EFA=∠CDB ； 证明：∵AD=BF ，∴AD+DF=BF+DF ， 即AF=BD. ∵AE ∥BC ， ∴∠A=∠B ， 在△AEF 和△BCD 中，AE BC A B AF BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AEF ≌△BCD （SAS ）， ∴∠EFA=∠CDB ．点评：本题考查了全等三角形的判定与性质以及命题与定理；熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．总结：条件和结论全开放的三角形全等问题，进一步加强了对SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL 的考查．要熟练掌握全等三角形的证明思路：练9．如图，AC 交BD 于点O ，有如下三个关系式：①OA=OC ，②OB=OD ，③AB ∥DC ．(1)请用其中两个关系式作为条件，另一个作为结论，写出所有你认为正确的命题．(用序号写出命题书写形式，如：如果⊗、⊗，那么⊗)(2)选择(1)中你写出的—个命题，说明它正确的理由．【解析】（1）如果①、②，那么③，或如果①、③，那么②，如果②、③，那么①；（2）下面选择“如果①、②，那么③”加以证明． 证明：在△AOB 和△COD 中，,,,OA OC AOB COD OB OD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AOB ≌△COD ， ∴∠A＝∠C ， ∴AB ∥DC ．练10．在△ABC 和△DEF 中，AB=DE ，∠A=∠D ，若证△ABC ≌△DEF ，还需补充一个条件，错误的补充方法是（ ）A ．∠B=∠EB ．∠C=∠FC ．BC=EFD ．AC=DF【解析】根据已知及全等三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到答案．解：A 、正确，符合判定ASA ；B 、正确，符合判定AAS ；C 、不正确，满足SSA 没有与之对应的判定方法，不能判定全等；D 、正确，符合判定SAS ． 故选：C ．点评：此题主要考查学生对全等三角形的判定方法的理解及运用，常用的判定方法有AAS ，SAS ，SSS ，HL 等．练11．如图，已知等边△ABC ，AB=2，点D 在AB 上，点F 在AC 的延长线上，BD=CF ，DE ⊥BC 于E ，FG ⊥BC 于G ，DF 交BC 于点P ，则下列结论：①BE=CG ；②△EDP ≌△GFP ；③∠EDP=60°；④EP=1中，一定正确的是（ ）A ．①③B ．②④C ．①②③D ．①②④【解析】由等边三角形的性质可以得出△DEB ≌△FGC ，就可以得出BE=CG ，DE=FG ，就可以得出△DEP ≌△FGP ，得出∠EDP=∠GFP ，EP=PG ，得出PC+BE=PE ，就可以得出PE=1，从而得出结论．解：∵△ABC 是等边三角形，∴AB=BC=AC ，∠A=∠B=∠ACB=60°．∵∠ACB=∠GCF ，∵DE ⊥BC ，FG ⊥BC ，∴∠DEB=∠FGC=∠DEP=90°．在△DEB 和△FGC 中，DEB FGC GCF A BD CF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DEB ≌△FGC （AAS ），∴BE=CG ，DE=FG ，故①正确；在△DEP 和△FGP 中，DEP FGP DPE FPG DE FG ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DEP ≌△FGP （AAS ），故②正确；∴PE=PG ∠EDP=∠GFP≠60°，故③错误；∵PG=PC+CG ，∴PE=PC+BE ．∵PE+PC+BE=2，∴PE=1．故④正确．正确的有①②④，故选：D ．点评：本题考查了等边三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．练12．如图，EA⊥AB，BC⊥AB EA=AB=2BC，D为AB中点，有以下结论：（1）DE=AC（2）DE⊥AC（3）∠CAB=30°（4）∠EAF=∠ADE，其中结论正确的是（）A．（1），（3）B．（2），（3）C．（3），（4）D．（1），（2），（4）【解析】本题条件较为充分，EA⊥AB，BC⊥AB，EA=AB=2BC，D为AB中点可得两直角三角形全等，然后利用三角形的性质问题可解决．做题时，要结合已知条件与全等的判定方法对选项逐一验证．解：∵EA⊥AB，BC⊥AB，∴∠EAB=∠ABC=90°Rt△EAD与Rt△ABC∵D为AB中点，∴AB=2AD又EA=AB=2BC∴AD=BC∴Rt△EAD≌Rt△ABC∴DE=AC，∠C=∠ADE，∠E=∠FAD又∠EAF+∠DAF=90°∴∠EAF+∠E=90°∴∠EFA=180°﹣90°=90°，即DE⊥AC，∠EAF+∠DAF=90°，∠C+∠DAF=90°∴∠C=∠EAF，∠C=∠ADE∴∠EAF=∠ADE故选：D．点评：本题考查了全等三角形的判定与性质；全等三角形问题要认真观察已知与图形，仔细寻找全等条件证出全等，再利用全等的性质解决问题．1．下列条件不可以判定两个直角三角形全等的是（）A．两条直角边对应相等B．两个锐角对应相等C．一条直角边和它所对的锐角对应相等D．一个锐角和锐角所对的直角边对应相等2．如图，O是∠BAC内一点，且点O到AB，AC的距离OE=OF，则△AEO≌△AFO的依据是（）A．HL B．AAS C．SSS D．ASA3．已知：如图所示，△ABC与△ABD中，∠C=∠D=90°，要使△ABC≌△ABD（HL）成立，还需要加的条件是（）A．∠BAC=∠BAD B．BC=BD或AC=ADC．∠ABC=∠ABD D．AB为公共边4．如图，∠B=∠D=90°，BC=CD，∠1=40°，则∠2=（）A．40°B．50°C．60°D．75°5．如图1，已知△ABC的六个元素，则图2甲、乙、丙三个三角形中和图1△ABC全等的图形是（）A．甲乙B．丙C．乙丙D．乙6．如图，在△ABC中，AB=AC，AE=AF，AD⊥BC于点D，且点E、F在BC上，则图中全等的直角三角形共有（）A．1对B．2对C．3对D．4对7.已知：如图，△ABC中，AB=AC，点D为BC的中点，连接AD．（1）请你写出两个正确结论：①__________；②__________；（2）当∠B=60°时，还可以得出哪些正确结论？（只需写出一个）（3）请在图中过点D作于DM⊥AB于M，DN⊥AC于N．求证：△DBM≌△DCN．1．如图，△ABC中，AD⊥BC于D，要使△ABD≌△ACD，若根据“HL”判定，还需加条件_____________．2．如图，∠B=∠D=90°，BC=DC，∠1=40°，则∠2=_____________度．3．如图所示，有两个长度相同的滑梯靠在一面墙上．已知左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，滑梯BC与地面夹角∠ABC=35°，则滑梯EF与地面夹角∠DFE的度数是_______________．4．如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AE是BC边上的中线，过C作CF⊥AE，垂足为F，过B作BD⊥BC交CF的延长线于D．（1）求证：AE=CD；（2）若AC=12cm，求BD的长．5．如图，这是建筑物上的人字架，已知：AB=AC，AD⊥BC，则BD与CD相等吗？为什么？6．请从以下三个等式中，选出一个等式天在横线上，并加以证明．等式：AB=CD，∠A=∠C，∠AEB=∠CFD，已知：AB∥CD，BE=DF，_______求证：△ABE≌△CDF．证明：参考答案：当堂检测1．【解析】A 、两条直角边对应相等，可利用全等三角形的判定定理SAS 来判定两直角三角形全等，故本选项正确；B 、两个锐角对应相等，再由两个直角三角形的两个直角相等，AAA 没有边的参与，所以不能判定两个直角三角形全等；故本选项错误；C 、一条直角边和它所对的锐角对应相等，可利用全等三角形的判定定理ASA 来判定两个直角三角形全等；故本选项正确；D 、一个锐角和锐角所对的直角边对应相等，可以利用全等三角形的判定定理ASA 或AAS 来判定两个直角三角形全等；故本选项正确；故选B ．2．【解析】∵OE ⊥AB ，OF ⊥AC ，∴∠AEO=∠AFO=90°，又∵OE=OF ，AO 为公共边，∴△AEO ≌△AFO ．故选A ．3．【解析】需要添加的条件为BC=BD 或AC=AD ，理由为：若添加的条件为BC=BD ，在Rt △ABC 与Rt △ABD 中，∵BC BD AB AB =⎧⎨=⎩， ∴Rt △ABC ≌Rt △ABD （HL ）；若添加的条件为AC=AD ，在Rt △ABC 与Rt △ABD 中，∵AC AD AB AB =⎧⎨=⎩， ∴Rt △ABC ≌Rt △ABD （HL ）．故选B ．4．【解析】∵∠B=∠D=90°，在Rt △ABC 和Rt △ADC 中，BC CD AC AC =⎧⎨=⎩， ∴Rt △ABC ≌Rt △ADC （HL ），∴∠2=∠ACB=90°﹣∠1=50°．故选B ．5．【解析】根据全等三角形的判定定理（SAS ，ASA ，AAS ，SSS ）逐个判断即可．解：已知图1的△ABC 中，∠B=50°，BC=a ，AB=c ，AC=b ，∠C=58°，∠A=72°，图2中，甲：只有一个角和∠B 相等，没有其它条件，不符合三角形全等的判定定理，即和△ABC 不全等；乙：符合SAS 定理，能推出两三角形全等；丙：符合AAS 定理，能推出两三角形全等；故选：C ．点评：本题考查了全等三角形的判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS ，ASA ，AAS ，SSS ．6．【解析】如图，运用等腰三角形的性质证明BD=CD ，DE=DF ；证明△ABD ≌△ACD ，△AED ≌△AFD ，即可解决问题．解：如图，∵AB=AC ，AE=AF ，AD ⊥BC ，∴BD=CD ，DE=DF ；在△ABD 与△ACD 中，AD AD ADB ADC BD CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABD ≌△ACD （SAS ），同理可证△AED ≌△AFD ；故选：B ．点评：该题主要考查了全等三角形的判定问题、等腰三角形的性质及其应用问题；灵活运用全等三角形的判定问题、等腰三角形的性质是解题的关键．7.【解析】（1）根据中点的性质及全等三角形的判定，写出两个结论即可；（2）根据等边三角形的判定定理可得△ABC 是等边三角形；（3）先证明△ABD ≌△ACD ，再证明△DBM ≌△DCN ．解：（1）①BD=CD ；②△ABD ≌△ACD ；（2）∵AB=AC ，∠B=60°，∴△ABC 是等边三角形．（3）在Rt △ABD 和Rt △ACD 中，AB AC AD AD BD CD =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴△ABD ≌△ACD ，∴∠ABD=∠ACD ，在Rt △DBM 和Rt △DCN 中，MBD NCD B CBD CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩, ∴△DBM ≌△DCN ．点评：本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ．家庭作业1．【解析】还需添加条件AB=AC ，∵AD ⊥BC 于D ，∴∠ADB=∠ADC=90°，在Rt △ABD 和Rt △ACD 中，AD AD AB AC=⎧⎨=⎩， ∴Rt △ABD ≌Rt △ACD （HL ），故答案为：AB=AC ．2．【解析】在直角△ABC 与直角△ADC 中，BC=DC ，AC=AC ，∴△ABC ≌△ADC ，∴∠2=∠ACB ，在△ABC 中，∠ACB=180°﹣∠B ﹣∠1=50°，∴∠2=50°．故填50°3．【解析】在Rt △ABC 和Rt △DEF 中，BC EF AC DF=⎧⎨=⎩， ∴Rt △ABC ≌Rt △DEF （HL ），∴∠DEF=∠ABC=35°，∴∠DFE=90°﹣35°=55°．故答案为：55°．4．【解析】（1）证明：∵DB ⊥BC ，CF ⊥AE ，∴∠DCB+∠D=∠DCB+∠AEC=90°．∴∠D=∠AEC ．又∵∠DBC=∠ECA=90°，且BC=CA ，在△DBC 和△ECA 中，∵90D AEC DBC ECA BC AC ∠=∠⎧⎪∠==⎨⎪=⎩,∴△DBC ≌△ECA （AAS ）．∴AE=CD ．（2）解：由（1）得AE=CD ，AC=BC ，在Rt △CDB 和Rt △AEC 中，AE CD AC BC =⎧⎨=⎩， ∴Rt △CDB ≌Rt △AEC （HL ），∴BD=CE ，∵AE 是BC 边上的中线，∴BD=EC= BC= AC ，且AC=12cm ．∴BD=6cm ．5．【解析】BD=CD ，理由：∵AD ⊥BC ，∴∠ADB=∠ADC=90°（垂直定义），在Rt △ABD 与Rt △ACD 中， AB AC AD AD =⎧⎨=⎩， ∴Rt △ABD ≌Rt △ACD （HL ），∴BD=CD （全等三角形的对应边相等）．6．【解析】先加上条件，再证明，根据所加的条件，利用证明：∵AB ∥CD ，∴∠B=∠D ，在△ABE 和△CDF 中，AB CD B D BE DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△ABE ≌△CDF ．点评：本题是一道开放性的题目，考查了全等三角形的判定，是基础知识比较简单．。
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北师大版七年级下第五章 三角形一、三角形三边关系和角关系1、三角形任意两边之和大于第三边。
结合右边图形用数学符号表示：a+b ＞c2、三角形任意两边之差小于第三边。
结合右边图形用数学符号表示：a-b ＜c 3、三角形三个内角和等于180°结合右边图形用数学符号表示：∠A+∠B+∠C=180°4、三角形按角分为三类：（1）锐角三角形（2）直角三角形（3）钝角三角形5、直角三角形的两个锐角互余。
6、巩固练习： 1）、下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形吗？为什么？ （单位：cm ） （1） 1， 3， 3 （2） 3， 4， 7 （3） 5， 9， 13 （4） 11，12，22 （5） 14，15，30 2）、已知一个三角形的两边长分别是3cm 和4cm ，则第三边长X 的取值范围是 。
若X是奇数，则X 的值是 。
这样的三角形有 个；若X 是偶数，则X 的值是 ，这样的三角形又有 个。
3）、判断：（1）一个三角形的三个内角可以都小于60°； （ ） （2）一个三角形最多只能有一个内角是钝角或直角； （ ） 4）、在△ABC 中，（1）∠C=70°，∠A=50°，则∠B= 度； （2）∠B=100°，∠A=∠C ，则∠C= 度； （3）2∠A=∠B+∠C ，则∠A= 度。
5）、如下图，在 Rt △CDE,∠C 和∠E 的关系是 ，其中∠C=55°，则∠E= 度。
6）、如上图，在Rt △ABC 中，∠A=2∠B ，则∠A= 度，∠B= 度。
二、三角形的角平分线、中线和高1、三角形的角平分线：三角形一个角的角平分线和这个角的对边相交，这个角的顶点和对边交点之间的线如图：∵AD 是三角形ABC 的角平分线。
∴∠BAD ＝∠CAD ＝21∠BAC 或∠BAC ＝ 2∠BAD ＝ 2∠CAD 2、三角形的中线：线连结三角形一个顶点和它对边中点的线段，叫做三角形这个边上的中线。
简称三角形的中线。
如图：∵AD 是三角形ABC 的中线。
∴BD ＝DC ＝21BC 或BC ＝ 2BD ＝2DC 3、三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高。
如图：∵ AM 是BC 边上的高 ∴AM ⊥BC 4、巩固练习： 1）、△ABC 中,∠B=80°∠C=40°,BO 、CO 平分∠B 、∠C ，则∠BOC=______.A BC a bcC D EBC2）、如右图,在△ABC 中,∠BAC=60°,∠B=45°,AD 是△ABC 的一条角平分线， 求∠ADB 的度数. 3）、如右图,已知,AD 是BC 边上的中线,AB=5cm,AD=4cm, △ABD 的周长是 12cm,求BC 的长. 三、全等三角形1、全等图形：能够重合的图形称为全等图形，全等图形的形状和大小都相同。
2、全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形或形状相同、大小相等的两个三角形．如图：三角形ABC 全等于三角形DEF 表示为：△ABC ≌△DEF3、全等三角形性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等。
如图，∵ △ABC ≌DFE ，(已知)∴AB=DF ，AC=DE ，BC=FE ，(全等三角形的对应边相等) ∠A=∠D ，∠B=∠F ，∠C=∠E ．(全等三角形的对应角相等) 4巩固练习:已知：△ABC ≌△DFE ，∠A=96°，∠B=25°，DF=10cm ．求∠E 的度数及AB 的长．四、三角形全等的条件1、三组对应边分别相等的两个三角形全等(简称SSS 或“边边边”)2、有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS 或“边角边”)。
3、有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA 或“角边角”)。
4、有两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS 或“角角边”)5、证明的书写格式：(1)通过证明，先把题设中的间接条件转化成为可以直接用于判定三角形全等的条件；(2)再写出在哪两个三角形中：具备按边角边的顺序写出可以直接用于判定全等的三个条件，并用括号把它们括起来；(3)最后写出判定这两个三角形全等的结论． 6、巩固练习： 1）、如图，AB=AC ， BD=DC 2）、如图，AM=AN ， BM=BN 求证：△ABD ≌△ACD 求证：△AMB ≌△ANB 证明：在△ABD 和△ACD 中 证明：在△AMB 和△ANB 中∴ △ABD △ACD （ ） ∴ ≌（ ） 3）如图，AB ＝AC ，∠B ＝∠C ，你能证明△ABD≌△ACE 吗？ 证明：△ABD 和△ACE 中⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∠∠∠=∠（公共角）＝（已知）＝（已知）∴ ≌ （ ）⎪⎩⎪⎨⎧===)_________(_______)(___________)_______(__公共边已知BN AM ⎪⎩⎪⎨⎧===)()_______(_______)(公共边已知已知AD AD AC AB A B CD AN M BA CD Eα4）、如图，已知AC 与BD 交于点O ，AD ∥BC ，且AD ＝BC ，你能说明BO=DO 吗？ 证明：∵AD ∥BC （已知） ∴∠A= ，（ ）∠D= ，（ ） 在 中， ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧∴ ≌ （ ）∴BO=DO （ ） 5）、已知：如图，AD ∥BC ，AD ＝CB ，AE=CF 求证：△ADF ≌△CBE ． 五、作三角形1、已知三角形的两边及其夹角,求作这个三角形. 已知：线段a ，c ，∠α。
求作：ΔABC ，使得BC= a ，AB=c ，∠ABC=∠α。
作法与过程： （1）作一条线段BC=a ，（2）以B 为顶点，BC 为一边，作角∠DBC=∠a ； （3）在射线BD 上截取线段BA=c ；（4）连接AC ，ΔABC 就是所求作的三角形。
2、已知三角形的两角及其夹边,求作这个三角形. 已知：线段∠α，∠β，线段c 。
求作：ΔABC ，使得∠A=∠α，∠B=∠β，AB=c 。
作法：（1）作____________=∠α;（2）在射线______上截取线段_________=c;（3） 以______为顶点,以_________为一边,作∠______=∠β,________交_______于点_______. ΔABC 就是所求作的三角形.3、已知三角形的三边,求作这个三角形. 已知：线段a ，b ，c 。
求作：ΔABC ，使得AB=c ，AC=b ，BC=a 。
做法：（1）作线段AB=a ；（2）以A 为圆心，以b 为半径画弧，再以B 为圆心，以c 为半径画弧，两弧交于点C ； （3）连结AC ，BC ，则三角形ABC 为所求的三角形. 六、利用三角形全等测距离能利用三角形的全等解决实际问题，能在解决问题的过程中进行有条理的思考和表达。
巩固练习： 1）、如图，山脚下有A 、B 两点，要测出A 、B 两点的距离。
（1）在地上取一个可以直接到达A 、B 点的点O ，连接AO 并延长到C ，使AO=CO ，你能完成下面的图形？ （2）说明你是如何求AB 的距离。
2）、如图，要量河两岸相对两点A 、B 的距离，可以在AB 的垂线BF 上取两点C 、D ，使CD=BC ，再定出BF 的垂线DF ，使A 、C 、E 在一条直线上，这时测得DE 的长就是AB 的长，试说明理由。
七、探索直角三角形全等的条件斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL 或“斜边，直角边”) 巩固练习：如图，B 、E 、F 、C 在同一直线上，AF ⊥BC 于F ，DE ⊥BC 于E ，AB=DC ，BE=CF ，你认为AB 平行于CD 吗？说说你的理由 答：ABCDO理由：∵ AF ⊥BC ，DE ⊥BC （已知）∴ ∠AFB=∠DEC= °（垂直的定义） 在Rt △ 和Rt △ 中⎩⎨⎧==_______________________________ ∴ ≌ （ ）∴∠ = ∠ （ ） ∴ （内错角相等，两直线平行） 八、检测练习：1、选择：三角形三个内角中，锐角最多可以是（ ） A 、0个 B 、1个 C 、2个2、如下图，△ABC 中，∠A=60°，∠C=80°，∠B= 度；（第2题） 3、如上图，∠1=60°，∠ 4、如右图，AD ⊥BC ，∠B= 度，∠5、在空白处填入“锐角”、“直角”或“钝角”：如果三角形的三个内角都相等，那么这个三角形是三角形；如果三角形的两个内角都小于40°，那么这个三角形是 三角形。
6、如图，AB=DC ，BF=CE ，AE=DF ，你能找到一对全等的三角形吗？ 说明你的理由。
7、如图，A 、C 、F 、D 在同一直线上，AF=DC ，AB=DE ，BC=EF 三角形全等？说明你的理由。
8、如图，AB ∥CD ，∠A ＝∠D ，BF ＝CE ，∠AEB ＝110°，求∠DCF 的度数。
9、如图，在Rt △ACB 中，∠C ＝90°，BE 是角平分线，ED ⊥AB 于D ，且BD ＝AD ，试确定∠A 的度数。
10、如图，AB//DC ，AD//BC ，AE ⊥BD ，CF ⊥BD ，垂足分别为E 、F ， 试说明AE=CFAC AB C A B D。