空间直线和平面总结知识结构图例题

空间直线和平面［知识串讲］空间直线和平面： （一）知识结构（二）平行与垂直关系的论证1、线线、线面、面面平行关系的转化：线线∥线面∥面面∥公理4(a//b,b//c a//c)线面平行判定 αβαγβγ//,//I I ==⇒⎫⎬⎭a b a b面面平行判定1a b a b a //,//⊄⊂⇒⎫⎬⎭ααα面面平行性质a b a b A a b ⊂⊂=⇒⎫⎬⎪⎭⎪ααββαβ,//,////I 线面平行性质a ab a b////αβαβ⊂=⇒⎫⎬⎪⎭⎪I 面面平行性质1αβαβ////a a ⊂⇒⎫⎬⎭面面平行性质αγβγαβ//////⎫⎬⎭⇒A bα aβ abα2. 线线、线面、面面垂直关系的转化：线线⊥线面⊥面面⊥三垂线定理、逆定理PA AO POaa OA a POa PO a AO⊥⊂⊥⇒⊥⊥⇒⊥ααα,为在内射影则线面垂直判定1面面垂直判定a ba b Ol a l bl,,⊂=⊥⊥⇒⊥⎫⎬⎪⎭⎪ααIaa⊥⊂⇒⊥⎫⎬⎭αβαβ线面垂直定义lal a⊥⊂⇒⊥⎫⎬⎭αα面面垂直性质，推论2αβαββα⊥=⊂⊥⇒⊥⎫⎬⎪⎭⎪I ba a ba,αγβγαβγ⊥⊥=⇒⊥⎫⎬⎪⎭⎪I aa面面垂直定义αβαβαβI=--⇒⊥⎫⎬⎭l l，且二面角成直二面角3. 平行与垂直关系的转化：线线∥线面⊥面面∥线面垂直判定2面面平行判定2面面平行性质3a bab//⊥⇒⊥⎫⎬⎭ααaba b⊥⊥⇒⎫⎬⎭αα//aa⊥⊥⇒⎫⎬⎭αβαβ//αβαβ//aa⊥⊥⎫⎬⎭a4. 应用以上“转化”的基本思路——“由求证想判定，由已知想性质。

”5. 唯一性结论：（三）空间中的角与距离 1. 三类角的定义：（1）异面直线所成的角θ：0°＜θ≤90°（2）直线与平面所成的角：0°≤θ≤90° （时，∥或）θαα=︒⊂0b b（3）二面角：二面角的平面角θ，0°≤θ≤180°2. 三类角的求法：转化为平面角“一找、二作、三算”即：（1）找出或作出有关的角；（2）证明其符合定义； （3）指出所求作的角； （4）计算大小。

3. 空间距离：将空间距离转化为两点间距离——构造三角形，解三角形，求该线段的长。

4. 点到面的距离，线线间距离、线面间距离、面面间距离都可转化为点到面的距离。

常用方法：三垂线法、垂面法、体积法、向量法等。

【典型例题】例. 在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是A 1B 1和BB 1的中点，那么AM 与CM 所成角的余弦值为（ ）52.D 53.C 210.B 23.A分析：如图，取AB 中点E ，CC 1中点F 连结B 1E 、B 1F 、EF 则B 1E//AM ，B 1F//NC ∴∠EB 1F 为AM 与CN 所成的角又棱长为1∴===B E B F EF 11525262，，∴∠=+-⋅=cos EB F B E B F EF B E B F 11212211225 ∴选D例3. 已知直线平面，直线平面，有下面四个命题：l m ⊥⊂αβ①②③④αβαβαβαβ/⇒⊥⊥⇒⇒⊥⊥⇒///////l ml m l m l m其中正确的两个命题是（ ）A. ①与②B. ③与④C. ②与④D. ①与③分析：对于①①正确l l m l m ⊥⎫⎬⎭⇒⊥⊂⎫⎬⎭⇒⊥∴ααβββ//对于②，如图l a m l m ⊥⊥⊂⎫⎬⎪⎭⎪⇒αββ/// ∴②错对于③③正确l l m m m ⊥⎫⎬⎭⇒⊥⊂⎫⎬⎭⇒⊥∴ααβαβ//对于④，如图l l m m ⊥⊥⊂⎫⎬⎪⎭⎪⇒αβαβ/// ∴④错∴①③正确，选D例4. 如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD=DC ，E 是PC 的中点，作EF ⊥PB 交PB 于点F 。

（1）证明PA//面EDB 。

（2）PB ⊥平面EFD 。

证：（1）连AC ，AC 交BD 于O ，连EO ∵底面ABCD 是正方形 ∴点O 是AC 中点 又E 为PC 中点 ∴EO//PA又面，且面EO EDB PA EDB ⊂⊄ ∴PA//面EDB （2）∵PD ⊥底面ABCD ∴BC ⊥PD又且BC DC PD DC D ⊥=I ∴BC ⊥面PDC∴BC ⊥DE又E 为等直角三角形中点 ∴⊥=DE PC PC BC C 且I ∴DE ⊥面PBC∴DE ⊥PB 又已知且EF PB EF DE E ⊥=I ∴PB ⊥面DEF例5. 正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB 1⊥BC 1，求证：A 1C ⊥BC 1。

证明：设E 、E 1分别是BC 、B 1C 1的中点，连AE ，A 1E 1，B 1E ，E 1C 则面，面及AE B BCC A E B BCC EB E C ⊥⊥11111111//AE B BCC AB BC EB BC EB E C E C BC A E B BCC A C BC ⊥⊥⎫⎬⎭⇒⊥⎫⎬⎭⇒⊥⊥⎫⎬⎭⇒⊥面面1111111111111111//注：三垂线定理是证明两直线异面垂直的常用手段。

例6. 下列正方体中，l 是一条体对角线，M 、N 、P 分别为其所在棱的中点，如何证明l ⊥面MNP 。

（1） D 1 P C 1MA 1B 1lD CN（2） D C 1A 1B 1 l NMD C P（3） D C 1A 1 PB 1N lD C M分析：①在侧面的射影显然与、垂直l MP MN ∴⊥⊥∴⊥MP l MN ll MNP ，面②显然分别与在底面上射影垂直及与垂直l MN MP ∴⊥l MNP 面③如图，取棱A 1A 、DC 、B 1C 1的中点，分别记为E 、F 、G ，显然EMFNGP 为平面图形，而D 1B 与该平面垂直∴l ⊥面MNP例7. 如图，斜三棱柱中，，，，ABC A B C AC A B AA AC AB -⊥===''''''810 ∠ACB=90°，侧棱与底面成60°的角。

（）求证：面面；1AA C C ABC ''⊥ （）求侧面的面积。

2AA B B ''分析：要证明面面，只要证明面，又，只要AA C C ABC BC AA C C BC AC ''''⊥⊥⊥证明，故只要证明平面。

BC AC AC A BC ⊥⊥'''证明：（）∵为菱形1AA C C '' ∴⊥AC A C '' 又面AC A BAC A BCAC BC '''''⊥∴⊥∴⊥又∠ACB=90°，即AC ⊥BC ∴⊥BC AA C C 面'' 又面面面BC ABC ABC AA C C ⊂∴⊥''（）作于2A D AC D '⊥Θ面面，为交线AA C C ABC AC ''⊥ ∴⊥A D ABC '面 °与底面成的角，即∠为侧棱∠60AC 'A AA AD 'A =∴ 过作于，连结，则D DE AB E A E A E AB ⊥⊥'' 又，AD A D =︒==︒=860486043cos 'sin ∴D 为AC 中点 在中Rt ABC ∆ΘDE BC ADABDE =∴=⨯=4610125∴=+=+=A E A D DE ''()()2222431258521∴=⨯=⨯=S AB A EA ABB 平行四边形'''1085211621例8. 已知Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=8，BC=6，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，沿DE 将△ABC 折成直二面角，使A 到A’的位置（如图）。

求： （1）C 到A’D 的距离； （2）D 到平面A’BC 的距离；（3）A’D 与平面A’BC 所成角的正弦值。

解：（1）∵二面角A’－DE －B 是直二面角又A’E ⊥ED ，CE ⊥ED ∴ED ⊥面A’EC 及EC ⊥面A’ED作EF ⊥A’D 于F ，连结CF ，则CF ⊥A’D ∴CF 即为C 点到直线A’D 的距离在Rt △A’ED 中，EF ·A’D=A’E ·ED∴=⨯=EF 435125∴=+=+=FC EF EC 222212544345()/BC 'A DE BC 'A BC BC //DE 2面，面，）（⊂⊂Θ ∴DE//面A’BC ∴E 到面A’BC 的距离即为D 点到平面A’BC 的距离 过E 作EM ⊥A’C 于M ∵ED ⊥面A’EC 又BC//ED ∴BC ⊥面A’EC ∴BC ⊥EM ∴EM ⊥面A’BC∴为点到平面的距离即为点到面的距离且EM E A BC D A BC EM ''=22 或者用体积法： 由V V D A BCA BCD --='' 即1313S h S A EA BC BCD ∆∆''⋅=⋅∴=⋅=⋅⋅⋅=h S A E S BC CE A EBC A C BCD A BC∆∆''''121222（）设与平面所成角为3A D A BC ''θ5D 'A 22h BC 'A D 2==及的距离为点到面）知又由（∴==sin 'θh A D 225例9. 如图，直三棱柱中，∠°，，，侧棱ABC A B C ACB AC CB -===1119012AA AA B B D B C M 111111=，侧面的两条对角线交点为，的中点为。

（）求证：平面；1CD BDM ⊥（）求面与面所成二面角的大小。

21B BD CBD（1）证明：连结，则CA CA BC 112==又为中点①D A B CD BD1∴⊥易知面AC BB C C ⊥11∴CB CD BB C C 111是在底面上射影 故只要BM CB ⊥1 设BM CB E I 1=在和中Rt CBB Rt BB M CB BB BB MB ∆∆1111121122===°∠又∠90M BB CBB 11== ∴Rt CBB Rt BB M ∆∆11~ ∴=∠∠BCB B BM 11 又∠∠°B BM CBM 190+= ∴+=∴=∠∠°∠°BCB CBM CEB 19090 ∴⊥∴⊥BM CB BM CD 1②由①②知面CD BDM ⊥ （2）解：ΘAB 12312=+= ∴===B D BD BB 111即△为正三角形，取中点，则B DB BD F B F BD 11⊥又取BC 中点N ，连结NF∴NFCD //12 又CD BDNF BD ⊥∴⊥∴∠为所求二面角的平面角NFB 1又，B N CD BC BD 12222222162211=+==-=-=()∴==NF B F 12321，在△中由余弦定理DCB 1 cos ()()()∠NFB FN FB NB FN FB 12121222221232622123233=+-⋅⋅=+-⋅⋅=-∴-所求二面角为πarccos33【模拟试题】一. 选择题1. 一条直线若同时平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线（ ） A. 成异面直线B. 相交C. 平行D. 平行或相交2. 已知直线a ，b ，平面αβγ，，，有下列四个命题 ①a a //////αβαβ，⇒； ②αββγαγ/////，/⇒； ③a a ⊥⊥⇒αβαβ，//；④a b a b ⊥⊥⇒αβαβ，，////其中正确的命题有（ ） A. ①②③B. ①②④C. ②③④D. 以上都不对3. 边长为a 的正三角形ABC 中，AD ⊥BC 于D ，沿AD 折成二面角B －AD －C 后，BC a=12，这时二面角B －AD －C 的大小为（ ） A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°4. 设a ，b 是两条异面直线，P 是a ，b 外的一点，则下列结论正确的是（ ） A. 过P 有一条直线和a ，b 都平行 B. 过P 有一条直线和a ，b 都相交 C. 过P 有一条直线和a ，b 都垂直 D. 过P 有一个平面与a ，b 都平行5. 若a ，b 是异面直线，点A 、B 在直线a 上，点C 、D 在直线b 上，且AD=AC ，BD=BC ，则直线a ，b 所成的角为（ ） A. 90° B. 60° C. 45° D. 30°二. 填空题6. 设正方体ABCD A B C D -1111的棱长为1，则（1）A 点到CD 1的距离为_____________ （2）A 点到BD 1的距离为_____________ （3）A 点到面BDD B 11的距离为_____________ （4）A 点到面A BD 1的距离为_____________ （5）AA BB D D 111与面的距离为_____________7. 如图，正方形ABCD 中，E 、F 分别是DC BC 、中点，现沿AE 、AF 、 EF 把它折成一个四面体，使B 、D 、C 三点重合于G ，则V A GEF -=_____________。