抗干扰编码工程的基本概念
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第四章 抗干扰二元编码
§4.1 抗干扰编码的基本概念 §4.2 检错码 §4.3 用于单向信道的简单纠错码 §4.4 纠一位错误的汉明码 §4.5 循环码 §4.6 纠独立错误的卷积码 §4.7 纠突发错误的编码
抗干扰编码工程的基本概念
§4.1 抗干扰编码的基本概念
一、引言 二、几个名词 三、最小码距与纠错能力的关系 四、抗干扰编码的基本原理 五、抗干扰编码的分类
三、最小码距与纠错能力的关系 P138
结论 (1) 若要发现 e 位错误， 则 最小码距 dmin 必须满足条件： dmi ne1;
(2) 若要纠正 t 位错误， 则必须满足条件： dm in 2t1;
t
t d min
(3) 若要纠正 t 位错误，且“发现” e 位错误， 其中 et, 则必须满足条件： d m itn e 1 . (如何理解?)
一、引言
3. 引例 考虑某二元序列： 0010100111
方案二
00000
2
01011 2
2 2 位不相同
10101 2
2
11110
编码后的序列：0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0
若出现一位错，则能够发现错误； (检错) 但不能纠正错误。 (纠错)
注 由于每两位只增加一位，因此与方案一相比具有优势。
抗干扰编码工程的基本概念
一、引言
信号通过信道进行传递时，由于噪声的干扰，使得收到 的信号受到破坏，因此，常常需要对待传递的信号进行编码 改造(即抗干扰编码)，使信号具有抗干扰性。 抗干扰编码又 称为信道编码。
值得注意的是，抗干扰编码不仅仅用于通信，其应用的 广泛程度是当初抗干扰编码的创始者们万万没有想到的。
则(汉明)码距为 d N |xix ~i|. i 1
模 2 加：
如果引入模 2 加，则有
00 0 01 1
N
dx i i 1
x~ i
N
[( i 1
xi
x ~i)(m2)o ]. d11
0 1
1 0
抗干扰编码工程的基本概念
二、几个名词
2. 码距与最小码距
最小码距 码字集合中各个码字之间码距的最小值。
方案一 000
2 位不相同
111 编码后的序列：0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 若收到 01 或 10，则能够发现错误；(检错)
但不能纠正错误。(纠错)
注 事实上，如果假定每两位同时出错的概率非常小， 则上述编码方案得到一个相当好的检错码。
抗干扰编码工程的基本概念
若出现一位错，则能够发现错误； (检错) 且能够纠正错误。 (纠错)
注 由于每两位只增加三位，因此与方案三相比具有优势。
抗干扰编码工程的基本概念
源自文库、引言
小结 (1) 码字之间相差一个码元 —— 不能发现错误。 (2) 码字之间相差两个码元 —— 可以发现一位错误。 (3) 码字之间相差三个码元 —— 可以发现两位错误； 或者纠正一位错误。 (4) 码字之间相差四个码元 —— ?
抗干扰编码工程的基本概念
二、几个名词
1. 许用码字与禁用码字 P136 许用码字 抗干扰编码后实际使用的码字(或码组)。
全体许用码字构成码字集合。 禁用码字 抗干扰编码后不使用的码字(或码组)。
若收到的码字为禁用码字，则发现有错。
例如 某抗干扰编码为： 许用码字
00000
000
01011
011
10101
身份证的校验 条形码的校验
计算机中的奇偶校验 货币中的防伪编码
DVD 纠错
……………
抗干扰编码工程的基本概念
一、引言
1. 基本思想 有效性编码是尽可能降低信号内部的关联性，而抗干扰
编码则是通过某种运算方式使得信号(码字)的内部结构具有 更强的规律性或者关联性。 一旦这种规律性或者关联性遭到 破坏，就可以发现错误，甚至纠正错误。
() ()
例如
编 码 方 案
00000
2
01011 2
22
10101 2
一
2
11110
最小码距为 2
编 码 方 案
00 00000
3
01 01011 3
44
10 10101 3
二
3
11 11110
最小码距为 3
码重 码字中码元为“1”的个数；码重又称为汉明码重。 例如 码字 01011的码重为3。
抗干扰编码工程的基本概念
抗干扰编码的输出码字一般都采用等长码。
抗干扰编码工程的基本概念
一、引言
2. 编码对象 (1) 直接针对消息或者字符； (2) 针对(已经过有效性编码后的)二元序列。 本章中除了定比码是直接针对消息或者字符之外，其余的 工作都是围绕二元序列进行的。
抗干扰编码工程的基本概念
一、引言
3. 引例 考虑某二元序列： 0010100111
抗干扰编码工程的基本概念
一、引言
3. 引例 考虑某二元序列： 0010100111
方案三 0000 3 位不相同 1111 编码后的序列：00 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 若收到 001，则能够发现错误； (检错) 还“可以” 纠正为 000。 (纠错)
注 事实上，由于错一位的概率远远小于错两位的概率， 因此通常采用 最小距离准则 进行 自动纠错。
抗干扰编码工程的基本概念
一、引言
3. 引例 考虑某二元序列： 0010100111
方案四
00 00000
3
01 01011 3
4 4 位不相同
10 10101 3
3
11 11110
编码后的序列为：001000 1100111 001 111
抗干扰编码工程的基本概念
三、最小码距与纠错能力的关系
例如 (1) 对于编码方案: 0000, 1111, 最小码距为 3。 ① 检错 能够发现 2 位错。(纯粹进行检错) ② 纠错 能够纠正 1 位错。(采用最小距离准则自动纠错) 问题：如果出现 2 位错，会怎么样？ 比如发送的是 000, 收到的是 110 . 结果：不能发现，而是自动纠 “错” 了， 即将 11 0 自动地纠“错”为 111.
101
11110
110
抗干扰编码工程的基本概念
禁用码字
001 010 10 0 111
二、几个名词
2. 码距与最小码距 P137 码距 两个码字之间对应位置的不同码元的个数。
码距有时也称为汉明(Hamming)码距。
具体 设有两个码字分别为： x1x2x3 xN, x ~ 1x ~ 2x ~ 3 x ~ N , 其中 x i,x ~ i {0 ,1 }.
§4.1 抗干扰编码的基本概念 §4.2 检错码 §4.3 用于单向信道的简单纠错码 §4.4 纠一位错误的汉明码 §4.5 循环码 §4.6 纠独立错误的卷积码 §4.7 纠突发错误的编码
抗干扰编码工程的基本概念
§4.1 抗干扰编码的基本概念
一、引言 二、几个名词 三、最小码距与纠错能力的关系 四、抗干扰编码的基本原理 五、抗干扰编码的分类
三、最小码距与纠错能力的关系 P138
结论 (1) 若要发现 e 位错误， 则 最小码距 dmin 必须满足条件： dmi ne1;
(2) 若要纠正 t 位错误， 则必须满足条件： dm in 2t1;
t
t d min
(3) 若要纠正 t 位错误，且“发现” e 位错误， 其中 et, 则必须满足条件： d m itn e 1 . (如何理解?)
一、引言
3. 引例 考虑某二元序列： 0010100111
方案二
00000
2
01011 2
2 2 位不相同
10101 2
2
11110
编码后的序列：0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0
若出现一位错，则能够发现错误； (检错) 但不能纠正错误。 (纠错)
注 由于每两位只增加一位，因此与方案一相比具有优势。
抗干扰编码工程的基本概念
一、引言
信号通过信道进行传递时，由于噪声的干扰，使得收到 的信号受到破坏，因此，常常需要对待传递的信号进行编码 改造(即抗干扰编码)，使信号具有抗干扰性。 抗干扰编码又 称为信道编码。
值得注意的是，抗干扰编码不仅仅用于通信，其应用的 广泛程度是当初抗干扰编码的创始者们万万没有想到的。
则(汉明)码距为 d N |xix ~i|. i 1
模 2 加：
如果引入模 2 加，则有
00 0 01 1
N
dx i i 1
x~ i
N
[( i 1
xi
x ~i)(m2)o ]. d11
0 1
1 0
抗干扰编码工程的基本概念
二、几个名词
2. 码距与最小码距
最小码距 码字集合中各个码字之间码距的最小值。
方案一 000
2 位不相同
111 编码后的序列：0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 若收到 01 或 10，则能够发现错误；(检错)
但不能纠正错误。(纠错)
注 事实上，如果假定每两位同时出错的概率非常小， 则上述编码方案得到一个相当好的检错码。
抗干扰编码工程的基本概念
若出现一位错，则能够发现错误； (检错) 且能够纠正错误。 (纠错)
注 由于每两位只增加三位，因此与方案三相比具有优势。
抗干扰编码工程的基本概念
源自文库、引言
小结 (1) 码字之间相差一个码元 —— 不能发现错误。 (2) 码字之间相差两个码元 —— 可以发现一位错误。 (3) 码字之间相差三个码元 —— 可以发现两位错误； 或者纠正一位错误。 (4) 码字之间相差四个码元 —— ?
抗干扰编码工程的基本概念
二、几个名词
1. 许用码字与禁用码字 P136 许用码字 抗干扰编码后实际使用的码字(或码组)。
全体许用码字构成码字集合。 禁用码字 抗干扰编码后不使用的码字(或码组)。
若收到的码字为禁用码字，则发现有错。
例如 某抗干扰编码为： 许用码字
00000
000
01011
011
10101
身份证的校验 条形码的校验
计算机中的奇偶校验 货币中的防伪编码
DVD 纠错
……………
抗干扰编码工程的基本概念
一、引言
1. 基本思想 有效性编码是尽可能降低信号内部的关联性，而抗干扰
编码则是通过某种运算方式使得信号(码字)的内部结构具有 更强的规律性或者关联性。 一旦这种规律性或者关联性遭到 破坏，就可以发现错误，甚至纠正错误。
() ()
例如
编 码 方 案
00000
2
01011 2
22
10101 2
一
2
11110
最小码距为 2
编 码 方 案
00 00000
3
01 01011 3
44
10 10101 3
二
3
11 11110
最小码距为 3
码重 码字中码元为“1”的个数；码重又称为汉明码重。 例如 码字 01011的码重为3。
抗干扰编码工程的基本概念
抗干扰编码的输出码字一般都采用等长码。
抗干扰编码工程的基本概念
一、引言
2. 编码对象 (1) 直接针对消息或者字符； (2) 针对(已经过有效性编码后的)二元序列。 本章中除了定比码是直接针对消息或者字符之外，其余的 工作都是围绕二元序列进行的。
抗干扰编码工程的基本概念
一、引言
3. 引例 考虑某二元序列： 0010100111
抗干扰编码工程的基本概念
一、引言
3. 引例 考虑某二元序列： 0010100111
方案三 0000 3 位不相同 1111 编码后的序列：00 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 若收到 001，则能够发现错误； (检错) 还“可以” 纠正为 000。 (纠错)
注 事实上，由于错一位的概率远远小于错两位的概率， 因此通常采用 最小距离准则 进行 自动纠错。
抗干扰编码工程的基本概念
一、引言
3. 引例 考虑某二元序列： 0010100111
方案四
00 00000
3
01 01011 3
4 4 位不相同
10 10101 3
3
11 11110
编码后的序列为：001000 1100111 001 111
抗干扰编码工程的基本概念
三、最小码距与纠错能力的关系
例如 (1) 对于编码方案: 0000, 1111, 最小码距为 3。 ① 检错 能够发现 2 位错。(纯粹进行检错) ② 纠错 能够纠正 1 位错。(采用最小距离准则自动纠错) 问题：如果出现 2 位错，会怎么样？ 比如发送的是 000, 收到的是 110 . 结果：不能发现，而是自动纠 “错” 了， 即将 11 0 自动地纠“错”为 111.
101
11110
110
抗干扰编码工程的基本概念
禁用码字
001 010 10 0 111
二、几个名词
2. 码距与最小码距 P137 码距 两个码字之间对应位置的不同码元的个数。
码距有时也称为汉明(Hamming)码距。
具体 设有两个码字分别为： x1x2x3 xN, x ~ 1x ~ 2x ~ 3 x ~ N , 其中 x i,x ~ i {0 ,1 }.