人教中考数学锐角三角函数(大题培优易错试卷)附答案

一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．小红将笔记本电脑水平放置在桌子上，显示屏OB与底板OA所在水平线的夹角为120°时，感觉最舒适（如图1），侧面示意图为图2；使用时为了散热，她在底板下面垫入散热架ACO＇后，电脑转到AO＇B＇位置（如图3），侧面示意图为图4．已知OA=OB=24cm，O＇C⊥OA于点C，O＇C=12cm．

（1）求∠CAO＇的度数．

（2）显示屏的顶部B＇比原来升高了多少？

（3）如图4，垫入散热架后，要使显示屏O＇B＇与水平线的夹角仍保持120°，则显示屏O＇B＇应绕点O＇按顺时针方向旋转多少度？

【答案】（1）∠CAO′=30°；（2）（36﹣12）cm；（3）显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°．

【解析】

试题分析：（1）通过解直角三角形即可得到结果；

（2）过点B作BD⊥AO交AO的延长线于D，通过解直角三角形求得

BD=OBsin∠BOD=24×=12，由C、O′、B′三点共线可得结果；

（3）显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°，求得∠EO′B′=∠FO′A=30°，既是显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°．

试题解析：（1）∵O′C⊥OA于C，OA=OB=24cm，

∴sin∠CAO′=，

∴∠CAO′=30°；

（2）过点B作BD⊥AO交AO的延长线于D，∵sin∠BOD=，∴BD=OBsin∠BOD，

∵∠AOB=120°，∴∠BOD=60°，∴BD=OBsin∠BOD=24×=12，∵O′C⊥OA，

∠CAO′=30°，

∴∠AO′C=60°，∵∠AO′B′=120°，∴∠AO′B′+∠AO′C=180°，

∴O′B′+O′C﹣BD=24+12﹣12=36﹣12，

∴显示屏的顶部B′比原来升高了（36﹣12）cm；

（3）显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°，

理由：∵显示屏O′B与水平线的夹角仍保持120°，

∴∠EO′F=120°，

∴∠FO′A=∠CAO′=30°，

∵∠AO′B′=120°，

∴∠EO′B′=∠FO′A=30°，

∴显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°．

考点：解直角三角形的应用；旋转的性质．

2．（6分）某海域有A，B两个港口，B港口在A港口北偏西30°方向上，距A港口60海里，有一艘船从A港口出发，沿东北方向行驶一段距离后，到达位于B港口南偏东75°方向的C处，求该船与B港口之间的距离即CB的长（结果保留根号）．

【答案】．

【解析】

试题分析：作AD⊥BC于D，于是有∠ABD=45°，得到AD=BD=，求出∠C=60°，根据正切的定义求出CD的长，得到答案．

试题解析：作AD⊥BC于D，∵∠EAB=30°，AE∥BF，∴∠FBA=30°，又∠FBC=75°，

∴∠ABD=45°，又AB=60，∴AD=BD=，∵∠BAC=∠BAE+∠CAE=75°，∠ABC=45°，

∴∠C=60°，在Rt△ACD中，∠C=60°，AD=，则tanC=，∴CD==，

∴BC=．故该船与B港口之间的距离CB的长为海里．

考点：解直角三角形的应用-方向角问题．

3．如图（9）所示（左图为实景侧视图，右图为安装示意图），在屋顶的斜坡面上安装太阳能热水器：先安装支架AB 和CD （均与水平面垂直），再将集热板安装在AD 上.为使集热板吸热率更高，公司规定：AD 与水平面夹角为1θ，且在水平线上的射影AF 为

1.4m .现已测量出屋顶斜面与水平面夹角为2θ，并已知1tan 1.082θ=，

2tan 0.412θ=．如果安装工人确定支架AB 高为25cm ，求支架CD 的高（结果精确到

1cm ）？

【答案】

【解析】

过A 作AF CD ⊥于F ，根据锐角三角函数的定义用θ1、θ2表示出DF 、EF 的值，又可证四边形ABCE 为平行四边形，故有EC=AB=25cm ，再再根据DC=DE+EC 进行解答即可．

4．已知：如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，点M 是斜边AB 的中点，MD ∥BC ，且

MD=CM，DE⊥AB于点E，连结AD、CD．（1）求证：△MED∽△BCA；

（2）求证：△AMD≌△CMD；

（3）设△MDE的面积为S1，四边形BCMD的面积为S2，当S2=

17

5

S1时，求cos∠ABC的

值．

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）cos∠ABC=5 7 .

【解析】

【分析】

（1）易证∠DME=∠CBA，∠ACB=∠MED=90°，从而可证明△MED∽△BCA；（2）由∠ACB=90°，点M是斜边AB的中点，可知MB=MC=AM，从而可证明∠AMD=∠CMD，从而可利用全等三角形的判定证明△AMD≌△CMD；

（3）易证MD=2AB，由（1）可知：△MED∽△BCA，所以

2

1

1

4

ACB

S MD

S AB

⎛⎫

==

⎪

⎝⎭

，所以

S△MCB=1

2

S△ACB=2S1，从而可求出S△EBD=S2﹣S△MCB﹣S1=

2

5

S1，由于1

EBD

S ME

S EB

=，从而可

知

5

2

ME

EB

=，设ME=5x，EB=2x，从而可求出AB=14x，BC=

7

2

，最后根据锐角三角函数的

定义即可求出答案．

【详解】

（1）∵MD∥BC，

∴∠DME=∠CBA，

∵∠ACB=∠MED=90°，

∴△MED∽△BCA；

（2）∵∠ACB=90°，点M是斜边AB的中点，

∴MB=MC=AM，

∴∠MCB=∠MBC，

∵∠DMB=∠MBC，

∴∠MCB=∠DMB=∠MBC，

∵∠AMD=180°﹣∠DMB，

∠CMD=180°﹣∠MCB﹣∠MBC+∠DMB=180°﹣∠MBC，∴∠AMD=∠CMD，